资源简介

教学设计
学校 课题 3.1.1 椭圆及其标准方程
年级 高二 学科 数学
教材分析 本节是圆锥曲线的开篇课，承接 “直线与圆的方程 ”的坐标法基础，又为双曲线、抛物线的学习提供 “定义 - 建系 - 推导方程 ” 的范式，是 “数形结合 ” 思想的核心载体。在智慧课堂视角下， 可通过动态技术将 “圆锥截线 ”“椭圆形成” 等抽象过程具象化，突破传统教学中“静态讲解 ” 的局限，同时强化教材中 “代数化研究几何” 的核心逻辑，为后续几何性质学习奠定技术与方法基础。
学情分析 本班是物理方向班，具备了 知识基础：已掌握直线、圆的方程及坐标法基本思路，能独立完成简单代数运算； 能力基础：具备初步类比思维，但在 “抽象几何条件转化为代数方程”“带根式方程化简” 处易卡顿； 技术基础：能熟练操作平板完成答题、上传文件。
教学目标 知识与技能 1、通过动态演示与动手操作， 精准理解椭圆定义，能辨析 “常数大于两焦点距离” 的约束条件；
2、掌握椭圆标准方程， 能利用待定系数法、定义法求椭圆方程； 3、熟练运用 “建系 - 列条件 - 化简方程 ” 的坐标法流程，解决简单椭圆应用问题。 过程与方法 1、通过 GGB 软件动态演示、平板互动探究，发展直观想象素养（如观察圆锥截线变化、椭圆动点距离关系） ； 2、通过小组协作推导方程、线上实时反馈， 提升逻辑推理与数学运算素养（如分步突破根式化简难点）； 3、通过 “课前感知 - 课中探究 - 课后拓展 ” 的智慧学习链，掌握 “从具体到抽象、从几何到代数 ” 的研究方法。 情感态度与价值观 1、结合椭圆在行星轨道、建筑设计等应用， 感受数学的实用性； 2、通过小组成果线上展示、匿名疑问互助， 培养合作意识与创新精神； 3、借助智慧工具自主探究（如用豆包分析椭圆扁率），增强数学学习的主动性。
教学重难点 重点 ：理解椭圆的定义，会用待定系数法和定义法求椭圆的方程。 难点 ：椭圆标准方程的建立和推导
教学工 具与方法 本课采用 PPT 课件辅助教学，同时结合 GeoGebra 软件、flash 动画、自制教具、模型等，实现了媒体技术、教具、学生平板、黑板板书等工具的互补融合．
教学过程
师生活动 设计意图
一、创设情境 感知椭圆 问题 1：实物展示双圆锥模型，提出问题用一个平面截这个圆锥体后截口曲线的情况，用一个垂直于圆锥轴线的平面截圆锥，截口曲线是圆，若改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形呢？ 师生活动：教师利用 GGB 软件进行动画演示，得出当圆锥的轴线与平面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线和双曲线，通常把圆、椭圆、抛物线和双曲线统称为圆锥曲线。圆锥曲线在现实生活中是较常见到的， 以椭圆为例，欣赏椭圆图片。 设计意图：利用GGB 软件制作动画，展示给学生平面截圆锥的各种动态情形，让学生认识并理解为什么要把圆、椭圆、抛物线和双曲线叫做“圆锥曲线”。以实际生活中可以见到的椭圆形状出发(饼干的轮廓，车标等)，让学生从直观上感受椭圆。引入课题椭圆。
二、合作探究 归纳定义 合作探究 ：分小组合作探究实验：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离， 分别固定在图板的两点 F1 、F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 师生活动： 1）教师在 PPT 上展示上述问题。 2）小组合作画椭圆：拿出事先准备好的教具，小组合作，学生操作画图。 3）教师巡视并指导，学生小组合作的成果推送平板展示，并用信息技术再演示椭圆的形成过程。 设计意图：在动手实验中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“定值”取值范围，在变化的过程中建立起用运动发展的观点看问题；结合信息技术演示，形象直观地说明定义中的必备条件，体会数学的理性与严谨。
4）教师引导学生概括椭圆定义： 椭圆定义 ：我们把平面内与两个定点F1, F2 的距离的和等于常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。 5）小组合作探讨椭圆几何特征与规律，总结得出： ①令 椭 圆 上 任 一 点 M， 则 有 MF1 MF2 2a(2a F1F2 ) ； ②轨迹的形状与绳长和F1, F2 间的距离有关系： Ⅰ)当0 | F1F2 | 2a 时，此时轨迹形状为椭
圆。 Ⅱ)当| F1F2 | 2a 时，此时轨迹形状为线段F1F2 。 Ⅲ)当| F1F2 | 2a 时，轨迹不存在。 ③椭圆具有对称性：两条对称轴和一个对称中心。 追问 1：根据上面的探究实践，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 追问 2：焦点为 F1 、F2 的椭圆上任意一点M，它有什么性质？ 三、建系推导 构建方程 问题 3 ：回顾用坐标法求圆的方程的步骤，结合椭圆的几何特征，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆的方程形式简单？ 你能根据所建的坐标系求出椭圆的方程吗？ 师生活动： 1）将学生的讨论方案归纳起来评议，坐标系的建立选定 由学生自己完成设点和列式，为了方便，设 设计意图：椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用合作探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征的方式，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学运算能力，培养学生独立主动获取知识的能力 ，培养数学抽象、数学直观、数学
| F1F2 | 2c 。 2）化简的过程根据实际情况来决定是教师带领学生共同完成，还是由学生合作完成。 3）教师巡视并引导学生“怎么化简带根式的式子”，是直接平方或移式再平方？学生讨论，对比、分析这两种方法的优缺点，发现这种方法都需要二次平方，但是移式再平方计算较简单，并追问： ①怎么能让方程 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ) 更简洁？ @怎么能让方程 1看起来更简洁？ 4）教师展示 1-2 位学生的推导过程并作简要陈述： 5）教师追问：观察下图你能从中找出表a, ·、 , c 示的线段吗？ 6）重点总结：师生共同完成的推导 过程中作思想方法、步骤总结，教师在适时处画龙点睛。 7）教师再进一步追问：你能不做具体推导 运算、逻辑推理等数学素养。 设计意图：设计典例分析 、变式探究，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调
就得出焦点在 y 轴上的椭圆标准方程？ 教师指出：我们所得的两个方程 + =1 和 + =1（a b 0 ）都是椭圆的标准方程，并引导学生对这两个方程作区分。 四、及时 固，提升能力 例 1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0), (2,0) ，并且经过点 ，求它的标准方程。 师生活动：请同学板演并阐述求解过程、求解思路，师生一起总结方法，并比较不同方法的特点。 追问 1 ：你是如何求解的？ 追问 2：是否还有其他的方法？试比较不同方法的特点。 变式：已知椭圆的标准方程为 P是椭圆上一点，根据本节课所学的知识，你能发现哪些结论？ 师生活动：采用“开火车 ”的方式邀请学生回答，师生共同探究。 五、回顾反思，提炼升华 1、本节课学习的主要知识是什么？ 动 、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神。 设计意图：归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法，以逐步提高学生 自我获取知识的能力，及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和 良好 的学 习 习惯。 设计意图：作业设计体现一定的层
2、本节课涉及哪些重要的数学思想方法？ 师生活动：学生思考、举手发言，其它同学补充。教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充。 六、作业布置 分层拓展 必做题 1.课本第 109 页 练习 第 2 、3 题选做题 2.课本第 115 页 综合运用 第 9 题探究题 3.使用豆包等软件探究椭圆的“圆” 、“扁”与参数a,b,c的什么有关？ 次，通过教材练习，让学生对椭圆的定义、椭圆的标准方程加以巩固，培养学生归纳总结的能力，反馈学生对知识的掌握情况。在练习过程中同时也重视数学思想的渗透，通过选做题与探究，拓展学生的思维，加强学生的动手能力与应用信息技术能力。
板书设计
教学反思 优势：①通过课前预习数据精准定位薄弱点，课堂互动参与率高； ②GeoGebra 动态演示帮助学生理解 “椭圆定义的约束条件”，突破抽象难点；③实时反馈功能让教师即时调整教学节奏。 改进方向：①部分学生平板操作不熟练需在课前增加技术培训； ②可引入其他信息技术体验（比如椭圆 VR 体验）进一步提升直观想象素养；③探究题参与度仅 60%，需优化探究指引，降低入门难度。

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