资源简介

学校 课题 3.1.1 椭圆及其标准方程
年级 高二 学科 数学
教材分析 本节选自高中数学人教版 A 版（2019）选择性必修第一册第三章第一节第一课时。教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上，通过求椭圆的标准方程，是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。因此，“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。 另外本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、类比思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。它体现了以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。符合“三新”背景下社会发展的需求、数学学科的特征和学生的认知规律。
学情分析 学生对坐标法已有初步的认识，对用坐标法研究曲线的基本思路与方法已有了解，但还不善于主动运用坐标法，研究椭圆的代数方法一般可以遵循：背景--概念--方程--性质--应用。学生需要掌握大观念的研究。
教学目标 1.通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养； 2.通过对椭圆的定义理解，进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养。
教学重难点 1.重点：椭圆的几何特征；椭圆的标准方程。 2.椭圆几何特征的发现；椭圆标准方程的推导。
教学准备 多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 智慧课堂应用及分析 1.功能选择 2.应用价值 3.评价体现 时长
情境导入 1．复习旧知识：复习直线与圆的相关知识，并回顾坐标法解决解析几何问题的主要步骤及思路。 2．以章节前言作为学习圆锥曲线的铺垫，通过演示课前老师准备的有关圆锥曲线的图片与视频（PPT），让学生从感性上认识圆锥曲线，尤其是对椭圆的感知。再以信息技术做好的动图代替数学抽象展示圆锥曲线的形成。（通过信息技术充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理 ,为引出新知做铺垫。） 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把圆、椭圆、抛物 线 、 双 曲 线 统 称 为 圆 锥 曲 线 (conic sections). 展示有 关圆锥 曲线的 生活实 例相关 图片与 视频。 5分钟
3 ．概括本章及本节的知识框架，介绍圆锥曲线需要学习的内容以及椭圆应该如何探究的问题。 第三章 知识导图 3.1 知识导图 4 ．提出问题：椭圆是怎么画出来的？ 【设计意图】激活学生已有的认知结构,为本课推导椭圆标准方程提供了方法与策略.引出课题。 介绍本 章及本 节的知 识框 架，引 出圆锥 曲线及 椭圆需 要探究 的问 题。
新知探究 一．小组探究 组织按照以下实验要求完成实验： ①取一条定长的细绳，把细绳的两端拉开一段距离，将绳子的两端分别固定在图板上的两点。 ②套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ （1）建立圆锥曲线模型，让学生两人一组进行合作操作，将画好的曲线拍照上传，并判断画出的轨迹是什么曲线？ （2）思考在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 【设计意图】动手实践学生用细绳画椭圆的方法将椭圆的定义具体化，加强对椭圆定义与图形的理解，在这过程中培养学生的思维能力 。 二．引入概念 类比平面几何中圆的定义，平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的 点 的轨迹 叫椭 圆 。这两个定 点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2 |叫做椭圆的焦距。焦距的一半称半焦距。 问题1：动点轨迹是椭圆应满足什么条件？ 定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离之和等于常数、常数大于|F1F2 |。 问题2： 1．椭圆定义中将“大于|F1F2| ”改为“等于 |F1F2| ”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答：点的轨迹是线段F1F2. 通过播 放视频 演示， 展示椭 圆的形 成过程 ,组织 学生动 手探 究，并 巡视指 导，学 生完成 后展示 活动成 果。 概括出 椭圆定 义，并 提出问 题。教 师设计 提问环 节。 合作操 作画图 过程， 并思考 上述问 题，必 要时， 允许合 作、讨 论、交 流。完 成后拍 照上传 活动成 果。 学生先 独立思 考，并 积极回 答问 题。 1. 学生通过 平板观看视 频学习如何 画出椭圆， 并通过拍照 上传。教师 展示学生作 品，并进行 抽选讲解， 通过平台可 以及时给予 评价。 2. 提高了课 堂效率与学 生的动手合 作能力，并 且能够直观 地给出评 价。 1. 教师设置 抢答，学生 进行回答问 题； 2. 提高学生 的注意力， 调动学生积 极性，并能 够给予评 价。 13分钟
2．椭圆定义中将“大于|F1F2| ”改为“ 小于 |F1F2| ”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ 答： 当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． （学生思考并回答后，展示动画。） 问题3：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单 每个小组的建立坐标系的方案一一画图表示．然后通过拍照上传，进行对比讲解。 三．建立坐标系 根据椭圆的几何特征（主要是对称性） ，选择适当的坐标系，才可能使建立的椭圆方程简单．这样，师生就会达成一致意见 ,选定以下两种方案： 方案一：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy． 方案二：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系xOy． 方案二：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系xOy． 展示相 关问题 的动画 , 在一 定的指 导下， 让学生 自行建 立坐标 系并拍 照上传 。 教师将 各个学 生或学 习小组 的建立 坐标系 的方案 展示。 自主建 立合适 坐标 系，完 成后拍 照上 传，并 讨论如 何选择 合适坐 标系。 1. 利用了拍照上传的功能，并能进行对比讲 解。 2. 直观的让学生感受到建立坐标系的步骤，并互相进行对比，提高了学生的学习兴趣，也提高了课堂效率。
四．推导方程 1．提出问题：请同学们按方案一具体求出椭圆的方程． 设点：设椭圆上点M的坐标为（x，y） 列 式 ： |MF1 |＋ |MF2 | ＝ 2a ， : (x＋c)2＋y2 ＋ (x－c)2＋y2 ＝2a ．① 化简： （这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎样化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？） (x＋c)2＋y2 ＝2a－(x－c)2＋y． 两 边 平 方 ， 得 （ x＋ c） 2 ＋y2 ＝ 4a2 － 4a (x－c)2＋y2＋（x－c）2＋y2． 即a2－cx ＝a\(x－c)2＋y． 两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2 ＝a2（x－c）2 +a2y2． 整理，得（a2－c2）x2＋a2y2 ＝a2（a2－c2） 思考1：观察如图, 你能从中找出表示a, , c的线段吗？ 2．b的引入 由椭圆的定义可知，2a > 2c, : a2 -c2 > 0． 让点P运动到y轴正半轴上（如图），由学生观察图形直观获得a，c的几何意义，进而自然引进b，此时设 b2 = a2 -c2， 两边同时除以a2 b2，得到方程： 2 2 x + y = 1(a > b > 0) a2 b2 这个方程称为椭圆的标准方程，它所表示的 指导学 生按照 方案 一，依 据椭圆 的定 义，并 类比圆 的标准 方程的 推导， 对椭圆 的标准 方程进 行推 导。拍 照上传 后，进 行讲解 与推 演。 提出思 考，并 发布观 点云讨 论。 独立解 决问 题，必 要时， 教师可 以进行 指导。 完成后 在规定 时间内 拍照提 交推导 结果。 利用观 点云发 表自己 对思考 1 的看 法。 1. 利用了拍 照上传的功 能，并能过 进行对比讲 解。 2. 学生能够 感受到不同 做法或思路 下，解题不 同的效果， 并能够及时 给予评价。 1. 利用观点 云的功能， 学生能够发 送弹幕到大 屏。 2. 活跃了课 堂气氛，充 分发挥学生 主体性，促 进每一位同 学积极参与 到实际教学 活动中。
椭圆焦点在x轴上。 思考2：如图示, 焦点F1,F2在y轴上, 且F1, F2 的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆方程是什么 + = 1（a>b>0） 教师进行随机点名。 1. 教师设置随机点名， 学生进行回答问题。
概念归纳 2分钟
典例分析 例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(- 2,0) , (2,0),并且经过点M( ,-),求它的标准方程。 探究：类比圆的标准方程的求法，你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点． 发布例 题，学 生解答 完后上 传，进 行对比 讲解与 评价。 完成例题，并拍照上传。 1. 利用了拍 照上传的功 能，并进行 对比讲解。 2. 学生能够 感受到不同 做法或思路 下，解题不 同的效果， 并能够及时 给予评价。 7分钟
新知巩固 1．已知椭圆＋ ＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（ ）。 A.2 B.3 C.5 D.7 2．写出合适下列条件的椭圆的标准方程： （1）a=1,b=1,焦点在x轴上； （2）a=4,b= ,焦点在y轴上； （3）a+b=10,c=2 . 发布选 择题限 时练与 教材练 习，学 生解答 完后上 传，进 行对比 讲解与 评价。 完成发布的练习。 1. 利用了限 时练功能， 完成后教师 能够展示准 确率。 2. 提高课堂 效率，并体 现了教学评 价在课堂上 的重要性。 8分钟
课堂小结 1.结合具体情境探索了椭圆、双曲线和抛物线的几何特征； 2.利用确定椭圆的几何要素(如定点、定直线等)合理地建立坐标系； 3.用代数语言描述这些特征，得到相应的标准方程。 对椭圆 标准方 程的推 导过程 进行解 析。 2分钟
作业设计 基础题：练习题第 1 题 拓展题：练习题第 3 题 课后探究：在例 1 中，类比圆的标准方程的求法，你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点．
板书设计 3.1.1 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 (1) 焦点在x轴上 (2) 焦点在y轴上
教学反思 1.应该更多地运用智慧课堂地几何画板功能，调动学生的积极性，通过提高教学水平和知识有效性等措施，综合全面地完成素质教育任务； 2.没有向学生征询对自己教学的反馈意见，课堂上学生的主体性也没有得到充分的发挥，应该多听学生去总结回答知识结构。

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