资源简介

普通高中人教 A 版实验教科书选择性必修第一册
《抛物线及其标准方程》 (第 1 课时) 教学设计
一、教学主题：
《抛物线及其标准方程》
二、教学内容及分析
《《抛物线及其标准方程》位于普通高中课程标准人教 A 版教科书数学选择性必修第一册第三章第 3 节，主要内容是抛物线的定义及抛物线四种形式的标准方程。本节内容不但是初中二次函数知识的延续、同时又是继圆、椭圆、双曲线之后的又一解析几何的重点内容，在现实世界中有着广泛的实际应用价值。本节知识的学习能使学生进一步感受坐标法、数形结合、分类讨论、类比推理等数学思想，对学生逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象等核心素养的培养有着积极的意义；同时，为后面用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，因此，本节内容在知识结构上起承上启下的作用。
三、教学对象、特点及预习反馈
教学对象：合肥市第四中学 高二年级学生
学生特点：关于抛物线的图形，在初中阶段，学生已经通过二次函数的学习对其进行了初步探讨，但初中所介绍抛物线主要是开口向下和开口向上两种形式，而且并没有给出抛物线的准确定义，所以对本节的研究，是对初中内容的一个补充，教学中可利用学生已有的知识“惯性 ”，探寻新知识的增长点；同时，基于学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已熟悉，所以教师只需合理创设问题情景，恰当设问引导，学生应该可以自主抽象出抛物线的定义；对于抛物线标准方程的推导，学生知识基础是已经掌握二次函数知识以及曲线方程的求解方法：定义法。因此，应用曲线方程的求解步骤，类比椭圆、双曲线标准方程的求解方式探索抛物线的标准方程会相对比较容易；但是，要想熟练掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应图像、焦点坐标和准线方程，并准确表达出它们之间的联系，可能还存在一定难度。
预习反馈：课前，教师通过畅言智慧课堂的《作业平台教师端》APP,向学生
推送了预习微课 1、2 以及《抛物线及其标准方程预习案》，实际预习反馈如下：
各题知识点明细如下表：
题号 1 2 3 4 5
知识点 抛物线标准方程的一般形式（p 的几 何意义） 抛物线的标 准方程与准 线之间的关系 抛物线的标 准方程与焦 点之间的关系 抛物线的焦 点坐标与标 准方程之间的关系 抛物线的定义
预习结果分析 预习掌握情况良好 预习掌握良 好，能很好 地由抛物线 的标准方程 求出抛物线 的准线方程 忽略将抛物 线的方程转 化为标准方 程形式后再 求抛物线的 焦点坐标 由抛物线的 焦点坐标反 过来求抛物 线的标准方 程存在困难 不能灵活应用抛物线的定义，概念理解不深刻
四、教学目标
依据以上教学分析以及课前预习反馈结果，教师将本节课的教学目标、教学重、难点确定如下：
教学目标设置：
（1）通过观察物理中小球反弹实验视频，总结抛物线上点的几何特征，自主
抽象出抛物线的定义；根据曲线方程的求解步骤，依据抛物线的定义，建立恰当的坐标系求出抛物线方程，并熟练掌握四种标准方程的异同点；能根据条件求出抛物线的标准方程；会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程；
（2）通过自主探究抛物线的标准方程，感受求曲线方程的坐标法：定义法；通过小组合作探究其它形式的抛物线的标准方程，体验对称变换的数学方法以及数形结合的数学思想；提升学生逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象等核心素养；
（3）通过物理中小球反弹实验，体会学科融合的魅力；通过“ 中国天眼 ”的抛物线的应用实例，感受数学的实际应用价值，提升民族自豪感。
教学重、难点设置：
（1）教学重点：抛物线定义的形成；抛物线标准方程的推导；抛物线的四种基本形式及其简单应用。
（2）教学难点：四种抛物线标准方程的建立过程以及四种抛物线的标准方程、图形、焦点坐标、准线方程之间的相互联系。
五、教学准备
（1）课前准备：课前预习导学案（每人一份）、录制预习导学案配套的预习微课视频：视频 1《抛物线的光学性质》微课、视频 2《不同焦点位置的抛物线》微课、完成教学设计；
（2）课中技术应用：下载并利用《会声会影》软件剪辑上课视频、利用数学《画板》软件（如：几何画板、网络画板、GGB 画板等）制作上课课件、利用《X-mind》思维导图软件制作思维导图；
（3）课后反馈准备：利用录屏软件和《会声会影》剪辑软件制作课后复习微课、准备课后同步练习资料并通过智慧课堂平台完成推送、训练以及结果反馈等、完成教学反思并及时改进、巩固。
六、所选技术及其使用目的
（1）依托畅言智慧课堂平台。课前：利用此平台推送《预习导学案》以及预习视频微课，且平台不仅会自动批改选择题、填空题，还可以统计并反馈学生的课前预习练习的数据，帮助教师精准把握学情、精准制定教学目标；课中：此平台可以进行师生同屏、师生互动、随机点名、小组线上交流、评价鼓励等功能，
能有效提升课堂效率、助力突破教学重难点、活跃课堂的教学分位、提高学生课堂参与程度、激发学生的学习兴趣等等；课后：推送《课后同步练习》并结合课后作业反馈数据结果及时推送《课后巩固微课》，精准帮助学生查缺补漏。
（2）依托数学《几何画板》软件。抛物线定义探究阶段：结合《几何画板》的动态性、直观性，总结抛物线上点的几何特征，进而帮助学生抽象出抛物线的定义，培养学生的数学观察能力及探索精神，感受数学学科与物理学科的紧密联系；探究不同焦点位置的抛物线的标准方程时：依据《几何画板》的动态性、直观性、易操作性以及其轨迹、度量、画图等功能，师生共同探究最佳的建系方案以及抛物线四种形式的标准方程，帮助学生充分体会四种抛物线的标准方程、图形、焦点坐标、准线方程之间的相互联系，突破本节课的重难点。
（3）依托媒体视频以及《会声会影》等视频处理软件。课前、课后制作相应微课视频；课中：制作课堂引入视频《小球反射实验》、课堂结尾视频：《天眼模拟装置实验》，增加课程的直观性、生动性等。
（4）依托《X-mind》思维导图软件。课前制作单元知识导图，梳理本节教学内容与本单元知识内容间的相互关系；课后制作本节课知识框图，梳理本节课的教学具体内容及知识点间的相互关联。思维导图作为一种可视化的教学工具，能帮助学生清晰地建立各个知识点的联系，快速掌握学习内容，大大提升学习效率。
七、具体课堂教学过程
为了达到以上教学目标，在具体课堂教学中，我把学生分为 5 个合作小组，且将此节课的教学过程主体分为以下阶段：
抛物线的定义
(
课堂小结
) (
课下任务
) (
视频结尾
) (
视频引入
)抛物线的标准方程
抛物线的简单应用
下面，我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作具体说明。
教学 环节 教学内容 学生活动 教学目的
新课引入 ①播放视频《小球反弹实验》。 （视频来自中央电视台综艺节目《加油，向未来》）。 ②提问：被遮挡的神秘物体是什么？ 观看视频 ①通过抛物线在物理学中的光学性质，引入课题； ②感受数学学科、物理 学 科 间的 密 切 关联； ③借助多媒体平台，视频导入，设置疑问，引起学生兴趣。
观 察 与 验 证 ， 分 析 与 探 索 一、观察与验证 以引入的视频为背景，借助几何画板动态演示（如下图），引导学生观察验证： ①平行于抛物线轴的光线经抛物面反射后集中于轴上一点； ②视频中的神秘物体是抛物线。 一、学生观察验证。 二、学生自主分析、探索思考。并在老师的引导下，利用 《 几何画板》解决探究问题。如下： ① 虚 光 源 F,的轨迹是一条垂直于抛物线轴的定直线，如图中直线l ； 一、观察与验证的教学目的： ①利用《几何画板》软件做实验，解决视频疑问，验证答案，体验抛物线的光学性质，获得定点：抛物线的焦点。 二、分析与探索的教学目的： ①探索并获得定直线：抛物线的准线；
二、分析与探索 借助几何画板，带领学生进一步深化探究（如上图）。分析与探索： ①动点 M 在抛物线上运动时，位于焦点处的点光源 F 的虚光源 F9 的轨迹是什么？ ②抛物线的顶点 O 位于线段 FK 的何位置？为什么？ ③抛物线上的动点 M 运动时具有怎样的几何特征？为什么？ 学生在观察分析过程中，教师通过恰当设问，积极启发引导。 ② 抛 物 线 的 顶 点 O 是 线 段 FK 的 中 点；③抛物线 上 的 动 点 M 到 定 点 F 的 距 离与 到 定直线l 的距离相等。 ②为建系求抛物线的标准方程铺垫； ③探索抛物线上的点的几何特征，为引导学生自主总结归纳出抛物线的定义铺垫。
概 念 形 成 一、形成抛物线的定义。 教师设问： ①反之，如何根据抛物线上的点的几何特征给抛物线下个定义呢？ ②这个定义严谨吗？有无其它限制条件呢？ 学生独立思 考后小组讨 论 。（如图， 以开口向上 的抛物线为 例给出定义， 学生比较熟 悉。） ①结合《几何画板》画图的动态性、直观性、可操作性，学生自主抽象出抛物线的定义， 自然突破本节课的教学重点；（数学抽象） ②结合《几何画板》的实验结果，强调定义的两个重要条件： （1）在平面内；（2）定点不在定直线上。否则，动点的轨迹是过定点与定直线垂直的直线。培养学生数
学思维的严密性。（逻辑推理）
概 念 深 化 二、探讨抛物线的标准方程。（以开口向上的抛物线为例） ①教师设问：记焦点F 到准线l的距离为p(p > 0) , 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何选择坐标系，求解抛物线的方程更简单呢？ ②教师给出抛物线标准方程的定义； ③初步分析抛物线标准方程等（如焦点坐标、准线方程、参数 p等），探究p 值的几何意义。 结合《几何画 板》，学生自 主探究、独立 思考、小组交 流成果。 ①说明：以开口向上的抛物线为例求解抛物线的标准方程，可在学生已有的知识基础之上产生新知识的增长点。学生由二次函数的知识很容易知道，以抛物线的顶点为原点、对称轴为坐标轴建系时，二次函数形式最简单。由此推测如图建系抛物线方程较简单。（数学运算、逻辑推理） ②强调：抛物线的标准方程仅含一个参数p 。
合 作 探 究 ①《几何画板》动态呈现四种不同焦点位置的抛物线情况，小组合作探究其余三种不同位置的抛物线的标准方程，并完成下表。 ①获得抛物线的四种标准形式，培养合作精神； ②其余三种形式的标准方程一方面可通过类比法获得，另一方
②思考： （1） 四种标准方程之间有何变换关系？ （2）抛物线图像、标准方程、焦点坐标、准线方程之间有何联系？ 学生在合作交流过程中，教师进入各个小组积极引导，帮助学生突破本节课的难点。 结合《几何画 板》，小组合 作交流，完成 表格及思考 问题。 面可引导学生通过图 像对称的方法亦可获 得；（2）体会抛物线 图像、标准方程、焦 点坐标、准线方程之 间的关联，加强知识 的深刻性，巩固新知 识（学生自主总结规 律难度较大，教师应 引导学生总结）。
知 识 应 用 例 1 ： 已 知 抛 物 线 的 标 准 方 程 是y2 = 6x ，求它的焦点坐标和准线方程. 跟踪训练： 已知抛物线的方程为y = 4x2 ，其焦点坐标为 . 例 2：“中国天眼 FAST”是当今世界上最大的射电望远镜，如图所示。它可通过主动控制技术形成一口径为 300米的巨型抛物面，该抛物面的轴截面为抛物线。若其深度为 50 米，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方 例 1: 教师带 领学生，师生 共同完成； 跟踪训练 1、2 学生自主完 成练习（学生 通过智慧课 堂全班作答 或抢答汇报 结果，根据智 慧课堂统计 结果实时跟 踪检测全体 学生的知识 掌握情况）； 例 1:已知标准方程求 焦点坐标和准线方 程，巩固前面小组探 索获得的知识规律； 跟踪训练：强调抛物 线方程的标准形式， 此题是易错题。（逻辑 推理） 例 2 ：体会数学知识 的巨大应用价值，增 强民族自豪感，强调 待定系数法；（数学建 模）
程和焦点坐标. 反馈检测：已知动点M 到定点 (2, 0)的距离比到y 轴的距离大 2 ，求动点M 的轨迹方程. 例 2: 学生 自 主完成练习 （ 学生通过 智慧课堂拍 照上传结果， 教师选取 1-2 名学生汇报 结果）； 反馈检测：学 生自主完成 练习（拍照汇 报结果）。 反馈检测：强调数形 结合思想，此题是易 错题。 此过程依托智慧课堂 平台可轻松实现练习 结果的同屏共享、精 准反馈、师生互动等， 助力学生相互交流， 增加知识的深层次理 解和掌握。
课 堂 小 结 师生共同总结本节课的收获。 （思维导图形式） 总结收获 知识巩固，思维导图帮助学生构建知识框架，形成知识系统，激发学生学习动力。
课 后 作 业 布置作业：必做题、选做题、推送本节课后复习巩固微课视频。（选自中国微课网） （播放中国天眼接收宇宙信号的模拟装置实验视频结束本节课）。 通过智慧课 堂的《作业平 台学生端》 APP,接收复 习巩固微课、 《抛物线及 其标准方程 课后同步练 习》（见附件） 依托畅言智慧课堂平 台。及时统计并反馈 学生的课后同步练习 的数据，帮助教师精 确把握学情，有效提 升教学效率，精准帮 助学生查缺补漏，完 成课后的知识巩固工 作。
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抛物线及其标准方程
一、抛物线的定义。
二、抛物线标准方程的四种形式。
)八、板书设计
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