资源简介

椭圆及其标准方程(一)
（人教 A 版选择性必修第一册 第三章第一节）
一、教学内容解析
教材分析
内容：椭圆的定义及其标准方程的推导．
本节是高中数学人教 A 版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》3.1.1《椭圆及其标准方程》第 1 课时内容．在第二章《直线与圆的方程》中， 我们学习了确定直线与圆的几何特征：定点、定方向以及定点与定长（两定）.并且在平面直角坐标系中用坐标法给出了直线与圆的方程.本节课，我们将研究直线与圆的这种方法拓展到椭圆，给出确定椭圆的基本几何量并在平面直角坐标系中推导出椭圆的标准方程.本课时内容是学生继续学习椭圆几何性质的基础；椭圆是圆锥曲线中的代表性图形，它跟双曲线、抛物线在概念与性质上具有基本同构特点.椭圆的学习为学生后续研究双曲线、抛物线提供了基本模式及理论基础.因此，本节课具有承前启后的作用.
为了让学生了解椭圆的几何特征，教材设计了一个动手画椭圆的小实验.通过画图过程，学生总结分析得到椭圆上的点所要满足的基本几何条件是：平面内与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数 2a （大于 | F1F2 | ）.在椭圆定义中限制条件 2a >|F1F2 |是非常重要的.当 | F1F2 | =0 时，得到的轨迹是圆.若2a= | F1F2 | ,则得到的轨迹是线段；若2a <|F1F2 | 则满足条件的轨迹不存在.
在椭圆标准方程的推导过程中，可类比圆的方程的推导过程，以椭圆的焦点所在的直线标记正方向作为横坐标以两焦点的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，得到的椭圆方程才是椭圆的标准方程.将椭圆的几何条件 | MF1 | +| MF2 |=2a 代数化后，代数式 + =2a 的
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化简成为本节课的难点之一.此式的化简过程本质是无理式化有理式的过程.它的化简方法可以有平方法、分子有理化、平方差公式应用等.整个推导过程
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都是等价变形.从而方程 + =1(a >b >0) 与代数程.
+、
=2a 是等价的，
所以方程 + =1(a >b >0) 是椭圆的标准方
学生分析
学生在第二章学习了《直线和圆的方程》，对坐标法研究几何问题有了一定的了解，初步具备了用坐标法解决几何问题的经验.这为学生学习本节课的知识奠定了基础.由于椭圆的几何特征比圆的几何特征复杂，学生对于该从哪个角度入手研究椭圆的几何特征从而抽象出椭圆的概念会感到很困惑，所以，学生自己动手画椭圆的过程需要得到加强.另外，代数式 + =2a 的化简也是学生本节课学习过程中的运算障碍．学生对二次平方法解决上式的化简过程无历史经验可循.此时需要在教师主导下师生共同分析式子的结构特征，选用先移项后两边平方法进行化简，可有效扫除学生的运算障碍.
二、教学目标
（1）了解椭圆的几何特征，理解椭圆的几何定义．
（2）了解二次平方法推导椭圆标准方程的化简步骤．
（3）理解椭圆标准方程的代数特征及参数 a, b, c 的几何意义．
三、教学重难点
教学重点：
（1）类比圆的学习过程，通过画图总结椭圆的几何特征，并正确给出椭圆的定义.
（2）利用坐标法建立合理的平面直角坐标系推导椭圆的标准方程．理解坐标法的基本思想.
教学难点：理解并能准确刻画椭圆的几何特征，椭圆标准方程的正确推导（含有两个根式的和的等式如何化简）．
四、教学准备
教学方法：采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
教学道具：教师为每个小组准备一张白色卡纸，一条细绳，几何画板、PPT. 学生自备铅笔．
五、流程框图
（一）数学流程：
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（二）教学流程：
六、教学过程与设计
教学 环节 问题或任务 教师活动 学生活动 设计意图
创设情境引入课题 了解圆锥曲线 展示平面截圆锥得椭圆、双曲线、抛物线的实物模型. 介绍圆锥曲线的简单历史及其在现实生产生活中的应用. 介绍本章学习任务：用坐标法研究圆锥曲线 观察实物模型，了解圆锥曲线的历史背景及现实作用. 明确本章学习任务. 重现古希腊阿波罗尼斯发现圆锥曲线的过程，用数学文化滋养学生，发展学生的数学思维.
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【问题 1】将一个圆形玻璃杯稍微倾斜，杯中水面是不是椭圆形？一个鸡蛋是不是椭圆？ 教师：教师手拿一个盛有半杯水的圆柱形透明水杯展示给学生看并问：同学们，水面是什么形状？当教师将水杯稍微倾斜，再问：此时呢？ 教师：利用 PPT 投影出鸡蛋图说：鸡蛋的截面是椭圆吗？ 教师：什么样的图形才是椭圆呢？数学上怎么定义椭圆？带着这些疑问我们一起来学习本节课的内容《椭圆及其标准方程》 学生：水杯没有倾斜时水面是圆形.当水杯稍微倾斜时，水面是椭圆形. 学生：鸡蛋是椭圆形，因为它的截面是椭圆． 学生：鸡蛋不是椭圆形，椭圆是平面图形，鸡蛋是空间图形. 通过实例，引发认知冲突，激发学生学习椭圆的兴趣.
动手实验定义椭圆 【问题 2】坐标法研究《圆的方程》的过程是怎么样的？ 教师：上一章我们已经用坐标法研究了直线与圆两种平面图形，其基本操作是先画出图象确定其几何特征然后建立恰当的平面直角坐标系给出直线与圆的代数方程. 学生聆听教师分析回忆坐标法研究直线与圆的基本流程，为学习椭圆做知识储备. 为本节课类比圆的研究方法研究椭圆做好方法及心理铺垫
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合理建系 推导方程 【问题 5】如何建立平面直角坐标系可能使得椭圆方程形式简单． 教师：通过刚才的探究学习，我们已经了解了椭圆的几何特征及几何定义，我们该如何应用椭圆的这些几何特征建立椭圆的方程呢？ 教师：提出问题 5. 教师：教师在 PPT 上展示多种不同的建系方法并追问学生：根据刚才的分析以及你的经验，以上哪种建系方法会使得运算更简单？ 师生共同选在以 F1 、F2 所在的直线为x 轴，以F1 、F2 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系 教师：椭圆几何定义的符号表达怎么 写 如何将几何定义代数表示？（教师旁白：设 定 义 中 的 定 长 为 2a ， 两 焦 点 坐 标 为F1 (- c, 0), F2 (c, 0) ） 教师在黑板上板书椭圆定义的符号表示，在椭圆图象上建立直角坐标系，写出椭圆定义的代数表示.并强调几何问题代数化为坐标法解决几何问题的基础. 学生：建立平面直角坐标系，利用坐标法建立方程. 学生：思考问题 5． 学生：分析并得出结论：椭圆关于两定点 F1F2 所在直线对称，关于线段 F1F2 的中垂线对称，且两对称轴交点是椭圆对称中心． 学生：学生独立思考后给出自己的选择. 学生：椭圆几何定义写成| MF1 | +| MF2 |=2a 建立平面直角坐标系后 M (x, y) F1 (- c, 0), F2 (c, 0) , 椭圆定义的代数表达为： 类比圆方程最简形式与坐标系的关系，根据椭圆的对称性选择最佳建系方法推导椭圆的方程，进而更好地理解标准方程之 “ 标准 ”所在．在推导方程过程中，利用两种常用的平方法，引导学生在化简时要注意分析式子的结构特征，选择对应的化简方法，提高运算能力．发展学生数学运算核心素养，培养学生坚韧不拔的意志 品质.在数学运算教学中渗透“立德树人 ”的基本要求.
【问题 6】如何化简以下式子？ · +、 =2a方法一：移项两边平方法 方法二：直接两边平方法 教师：同学们，我们已经将椭圆的定义用代数式表示出来了，接下来我们需要做什么工作？ 教师：这个等式有什么特点？我们有哪些类似的化简经验帮助我们化简上面的式子？ 教师：教师点评学生对椭圆定义代数式结构特点以及化简方法的分析并安排学生动手化简该代数式. 学生：化简上面的代数式 学生：该代数式的左边是两个无理式的和，右边是常数。我们可以平方来化简. 学生：可以将一个根式移项到等式右边去，再根式两边分别平方. 学生：初中学习的分母有理化的过程中有两个根式的和或者差出现，这里应该可以类比应用.
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教师巡视课堂，并对部分同学的化简过程给予适当的点评与帮助. 教师：教师展示部分学生的方程化简过程. 师生共同利用两种方法化简至 ： 学生：学生根据自己的选择独立的尝试化简椭圆的方程． 学生：学生消化其他同学所用的不同的化简过程，并对比分析各种方法的优劣.积累两个根式和的等式化简的经验，为双曲线方程推导积累方法储备.
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,
)【问题 7】观察下图，你 能 找 到 表 示 a ， c 教师：提出问题 7． 教师：令b = ，则（1）式可化为： + =1 （ a >b >0 ）（2）． 学生：学生思考问题 7 并相互讨 论 分 析 .并 在 椭 圆 图 象 中 找 出a, b, c 的 几 何 量 并 得 出a2 =b2 +c2 这一个重要 的等量关系 让学生了解椭圆标准方程中a, b, c 三 个 重 要参数的几何意义，加深对椭圆标准方程的理解
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a
-
c
) 的线段吗？
方 程 + =1 ( a >b >0 ）与椭圆的关系 教师：同学们，回顾整个推导过程，方程 + =1 （ a >b >0 ）与式子 a 等价吗？方程 + =1 （ a >b >0 ）的解与椭圆上的点的坐标之间的关系是什么样的？ 教师：上面的方程称为椭圆的标准方程.它体现数学式子的简洁美、对称美， 内在的每一个字母 a, b 都赋予它深刻的含义，最能 学生：整个化简过程是等价变形 ， 所 以 方 程 + =1 ( a >b >0 ）与式子 · + =2a等价.方程的每一组根是椭圆上的点的坐标，同时，椭圆上的点的坐标也满足方程. 通过椭圆上的点的坐标与椭圆方程之间的关系，使学生加深对曲线与方程关系的认识.从而加强对坐标法的认识.
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直观体现参数几何意义，方便对椭圆的研究.只需要确定 a, b 两个代数量就可以确定椭圆方程。
类比推理 分类讨论 【问题 8】如果焦点在 y 轴上，原点为两焦点的中点，则椭圆方程是与焦点在 x 轴上的方程有什么不同？ 教师：提出问题 8． 教师:小结椭圆几何定义及标准方程知识点 教师：椭圆两种方程形式的共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是 1. 2 不同点：焦点在x 轴的椭圆x 项分母较大. 2 焦点在y 轴的椭圆y 项分母较大. 由上表可知，从几何角度考虑，要确定椭圆只需要确定椭圆的两定点及定长。从代数角度考虑，要确定椭圆只需要确定椭圆的方程形式以及a, b.c 三个基本代数量. 学生：思考问题 8 利用类比的方法，得到方程： 总结方程特征，明确方程与焦点的对应关系．
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例题研讨 学以致用 例 1： 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 (- 2, 0 ) , (2, 0 )， 并 且 经 过 点 (

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)2 , - 2 , 求它的标准方 程． 教师：教师引导学生阅读题目，分析题目条件，对条件之间的关系做出解释. 方法一：定义法 方法二：待定系数法 学生：学生独立完成例 1 的解答并展示讲解.与教师一起整理两种方法的解题步骤。 使学生体验椭圆定义在解题中的作用．培养学生先分析条件，再选择解题方法解题 的解题 习惯.提高学生的数学运算能力.
教师：定义法与待
定系数法分别从几何与代数两个角度分析题目条件，从而求解出椭圆的标准方程方程.体现了研究几何问题的两个不同的角度.
归纳 小结 明晰 重点 1．椭圆的定义，焦点、焦距的概念； 2 ．椭圆的两种标准方程． 师生共同完成． 总结学习要点．
课后 练习 巩固 提升 1 ．教材第 109 页第1.2.3 题． 教师：本节课开始时平面截椭圆所成的封闭曲线以及倾斜的水杯水平面都是椭圆，数学家们用旦德林双球模型证明它，请大家课后查阅有关旦德林双球模型证明以上两个椭圆的资料． 检验是否掌握椭圆标准方程；作业
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