资源简介

学校 课题 3.1.1 椭圆及其标准方程
年级 高二 学科 数学
教材分析 解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。本节课是人教A 版选择性必修第一册第三章3.1.1椭圆及其标准方程第一课时。在这一章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，本节起到了承上启下的重要作用，同时蕴含了许多重要的数学思想方法，如: 数形结合思想、类比，化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
学情分析 这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法 、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
教学目标 1 ． 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，并在此基础上学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程 2 ．通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决几何问题的方法---坐标法 3 ．通过椭圆数学符号语言转化-，经历将图形几何特征用坐标法表示，进行计算，展现运用方程研究曲线的解析几何本质，进一步领悟数形结合思想．
教学重难点 教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程 教学难点：椭圆标准方程的建立和推导
教学准备 图钉、细绳、笔、纸板、GeoGebra 软件
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 智慧课 堂应用 及分析 1.功能选择 2.应用价值 3.评价体现 时长
课前预习 课前任务单 任务 1 ：教师在平板发布学习任务单 任务 2 ：对学生 完成任务单，画出思维导图，拍照上传 1. 在 线教学 互动， 提高课 前预习
提交作品点评 效率 2.方便教师学 情统计 和预测
情景引入 任务单中我们可以看出， 改变圆锥的轴与截平面所成的角 , 我们将会得出除了圆之外的其他曲线，我们把椭圆、双曲线 、抛物线叫圆锥曲线 , 今天我们先来研究椭圆。（板书题目) 书本封面上是载人飞船的运行图片，我们来看看动画效果 , 我们国家科技的发展下 ，神舟 18号飞船的运行的轨迹就是椭圆， 椭圆在生活中也是无处不在。 思考： 上一章我们研究了直线和圆这两种相对简单的图形， 我们回想一下， 直线和圆的研究路径是什么 任务1 ：展示丹德林双球图 任务2 ：板书题目，多媒体演示飞船运行轨迹 任务3 ：根据学生上传的思维导图，引导学生明确椭圆的研究路径 拍照上传思维导图，学生总结研究路径 通过 PPT 展示，抽象概念具象 化，初步形成对椭圆的直观认识 4
探究合作 我们已经知道， 取一条定长的细绳， 把它的两端都固定在图板的同一点， 套上铅笔 , 拉紧绳子， 移动笔尖， 这时笔尖（动点M）画 出 的轨迹是一个圆。 合作探究1 ：如果把绳子的两端拉开一段距离， 分别固定在图板的F1,F2， （图3.1-1）套上铅笔， 拉紧绳子 , 移动笔尖， 画出的轨迹是什么曲线？ 任务 1 ：课前准备图钉，细绳若干 任务 2 ：教师巡视，指导，将优秀小组拍照上 传。 任务3：引出椭圆的定义，引导学生在GeoGebra软件中，改变 2 a 和2c的值， 动手操作实验，然后观察分析 任务 4 ：板书定义，强调 2a＞ |F 1F 2 |这个条件 分组合作，动手操作 活动1：把绳子的两端拉开一段距离，分别固定在图板的F1,F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察形成的图形。 活动2：观察GeoGebra 软件演示椭圆的画图过程， 描述上述活动所画图形 活动3：完成两个追问，得 出结论：当 2a 等于|F 1F 2 |时，点 M 的轨迹是线段 F 1F 2 ；当 2a 小 于|F 1F 2 |时 ,点 M 的轨迹不存在 1.拍照上传， 对比点评 2.展示学生作品 3.合作探究， 课堂更 生动具 体，提 高积极性 4.方便教师精 讲与点评 13
追问1 ：这一过程中，哪些量在变？哪些量没有变？移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 追问2 ：为什么常数大于|F 1F 2 | ？去掉这个限制条件可以吗？ 根据刚才的分析， 我们能给椭圆下定义： 椭圆的定义： 平面内到两个定点F 1 , F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1F 2 | )的点的轨迹—椭圆 两个定点F 1 ，F 2 叫做焦点 两焦点间的距离叫做焦距 数学表达式： 若 MF1 MF2 2a(2a F1F2 ) 则M的轨迹是椭圆.
椭圆给人的印象是“ 压扁的圆” ，如图所示，所得的图形是否为数学概念上的椭圆？ 数学上我们是如何定义椭圆的呢？ 我们知道， 在平面上与定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。问题1 ：如何求出圆的标准方程？ 问题2 ：怎样建立坐标系会使所得的椭圆方程简单？ 建，设，列，代，化合作探究2 ：如何化简·+ ·=2a 任务1：引导学生从形产生疑问任务2：教师引导学生类比圆的研究路径，通过坐标法研究椭圆方程 任务 3 ：学生活动结束后 PPT 展示坐标法求方程的一般步骤 任务3：借助智慧课堂软件随机挑人回答，并对其解答及时点评 活动1：讨论建立合适的坐 标系：以 F 1F 2 为 x 轴，或者以 F 1F 2 为 y轴，选择第一种建系 活动2：将椭圆数学表达式用坐标表示，描述几何特征 活动 3 ：可以分成两组化 简方程： · + =2a ①直接将原式分母有理化后再化简；②移项后平 方。学生将两组化简过程拍照上传，对比研究 活动4：观察a ，c ， a2 -c2的几何意义 活动5：引入新量b进一步化简方程 活动6：一名学生讲解过程a ，b ，c的几何意义 通过 PPT 展示分 享，直观感 知。 针对性点评和总结 13
探究合作 问题 3 ：如何证明方程①就是椭圆的方程？ 问题 4 ：如果椭圆的焦点在 y 轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的 呢 问题 5 ：根据下图，你能从中找出 a, c, ·、 的几何意义吗？ 活动7：学生讨论， 计算发现问题，解决问题
归纳总结 师生共同归纳 学生归纳总结 1
例题讲解 例题： 例1 求下列方程表示 的椭圆的焦点坐标： 2 2 x +y =1 （1） 28 12 （2）4x2 2y2 1 例2 已知椭 圆 的两个焦点的坐标是(-2,0)和(2,0)并且经过 点(2.5,- 1.5) 任务 1 ：教师通过智慧课堂随机挑人，点评，板书完善解答过 程． 任务 2 ：例 1 讲解思路，例 2 考虑其他方法， 如：方程思想 活动1：学生在练习本上作答，平板拍照把解答上传到多媒体上 活动2：由学生讲解思路 推送例题，教 学互动 7
巩固提升 1、本节课学习了哪些知识？ 2、本节课用了哪些思想方法？ 师生共同总结归纳知识和方法 学生回答 2
布置作业 P112 第 3 、4 题 完成并上传作业 推送布 置，批 改作业
板书设计
教学反思 本节课有两个“合作探究 ”，也是本节课的重难点。从形（学生主观上对椭圆的认知，到动手操作，直观感知图形）到数（GGB 软件的验证）再到形（了解椭圆的形状及几何特征），延续了直线与圆的探究路径，为下一步研究圆锥曲线打下基础。如何更好地体现“探究”属性、展现“探究”过程 这需要研究学生的数学认知结构，基于学生的数学认知起点，设计本节课的探究过程。计算问题也是学生的难点，需要教师提醒点拨。
分层作业 1 ．已知△ ABC 的顶点B 、C 在椭圆 +y2 =1上，顶点A是椭圆的一个焦点， 且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ ABC 的周长为 . ___________ 2 ．已知方程 + =1表示椭圆，则m 的取值范围为___________． 3 ．阅读书本材料 答案为：4a =4、 (- 3, 1)U (1, 5 ) 布置课后作业时通过分层为学生提供个性化的作业

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