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第三讲 反比例函数与面积
知识点：
(1)如图1,P 是双曲线 上任意一点，过点 P作PA⊥x轴于点A，连接OP，则 其他图示均为
变式1：如图2
变式2：如图3，
(2)如图4，P是双曲线 上任意一点，过点P作 轴于点A， 轴于点 B，则；其他图示均为
变式：如图5,
(3)如图6，过原点O作直线交双曲线 于点P，Q，分别过点P，Q作γ轴，x轴的平行线，交于点A,则 其他图示均为
(4)如图7，已知A，B是双曲线 同一支上的两点，分别过点A，B作AC⊥x轴(或y轴)于点C，BD⊥x轴(或γ轴)于点 D,连接OA,OB,则 四边形ABDC·
1.如图，已知A，B是双曲线 第一象限上的两点，连接OA，OB，过点A作 AM⊥x轴于点M,交OB 于点 C,过点 B作BN⊥x轴于点 N,则SAOC与S四边形BCMN的大小关系是 .
2. 如图，A是反比例函数 的图象上任意一点，AB⊥y轴于点 B，C是x轴上的动点，则△ABC的面积为 .
3. 如图，已知A为反比例函数 的图象上一点，过点A作 AB⊥y轴于点B, 则k的值为 .
4. 如图，一直线经过原点O，且与反比例函数 相交于点A,B,过点A作AC⊥y轴于点 C,连接BC, 则k= .
5.如图，以平行四边形ABCO 的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A，C的坐标分别是(2,4),(3,0),过点A的反比例函数 的图象交 BC 于点 D，连接AD，则四边形AOCD 的面积是 .
6. 如图，已知A，B两点在双曲线 上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段，且 则
7. 如图，A，B是反比例函数 在第一象限内的两点，且A，B两点的横坐标分别是2则△OAB 的面积是 .
8.如图，点A，B在反比例函数 的图象上，点C，D在反比例函数 的图象上，AC∥BD∥y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为 则k= .
9.如图，A是反比例函数 在第二象限内的一点，点 B 是反比例函数 在第一象限内的一点.直线AB与y轴交于C,且C是AB的中点,连接OA,OB,则S△AOB= .
10.如图，已知点B在x轴负半轴上，双曲线 经过直角三角形 OAB斜边 OA 的中点 D，且与直角边AB 相交于点 C.若点A 的坐标为(-10,6),则△AOC 的面积为 .
11.如图，P是双曲线 上的一点，过点 P作x轴的垂线交直线 AB: 于点 Q，连接OP，OQ.当点 P在这条双曲线上运动，且点 P 在点 Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是 .
12.如图,在平面直角坐标系中,过点 P(6,10)分别作PC⊥x轴于点 C,PD⊥y轴于点 D,PC,PD分别与反比例函数 的图象交于A，B两点，则四边形 BOAP 的面积为 .
13.如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限内，BA⊥x轴于点A，反比例函数 的图象与线段AB 相交于点 C,且AC=2BC,若△OAB的面积为10,则k= .
14.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过AB的中点D,与BC交于点E,连接OD,OE,DE,S△ODE=3,则k= .
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A，B在反比例函数 的图象上，横坐标分别为1，4，对角线 BD∥x轴.若菱形ABCD 的面积为则k 的值为 .
16. 如图，两个反比例函数 和 (其中 在第一象限内的图象是 C ，在第二、四象限内的图象是C ,点P在C 上,PC⊥x轴于点M,交C 于点C,PA⊥y轴于点N,交C 于点A,AB∥PC,CB∥AP,AB,CB 相交于点 B,则四边形 ODBE 的面积为 .
17. 如图，反比例函数 的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB，BC 相交于点D,E,S四边形ODBE=8,则k= .
18. 如图，直线 分别与双曲线 双曲线 交于点A 和点 B，且 将直线 向左平移 6 个单位长度后，与双曲线 交于点 C,若S△ABC=4,则 mn的值为 ，mn的值为 .
19. 如图，点 O在反比例函数 的图象上，过点 C的直线与x轴，y轴分别交于点 A，B，且AB=BC,△AOB 的面积为1,则 k的值为 .
20. 如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点 D，与反比例函数 在第一象限的图象交于点E,∠AOD=30°,点E的纵坐标为1,△ODE 的面积是则k= .
21. 如图,在矩形ABCD中,对角线BD在x轴上,点A(0,4),点B(2,0),经过点C的双曲线 0)与AD的延长线交于点 E，直线EC与y轴交于点 F，则△AEF 的面积为 .
22. 如图，反比例函数 的图象经过 ABCD对角线的交点 P，已知点A，C，D 在坐标轴上，BD⊥CD,则 ABCD的面积是 .
23.如图,A,B是双曲线 上的两点，点 B 的横坐标是点 A 的横坐标的2倍，线段 AB 的延长线交x轴于点C 则k= .
24.如图，直线 分别与第一象限内的双曲线 交于 A,B 两点, 则k = .
25.如图，双曲线 上三点的横坐标从左往右依次为3，5，12，阴影部分的面积为2，则k的值为 .
26.如图，双曲线 经过四边形 OABC 的顶点A,C,∠ABC=90°,OC 平分OA 与x轴正半轴的夹角,AB∥x轴,将△ABC沿AC 翻折后得到△AB'C,B'点落在OA 上,则四边形 OABC 的面积是
27.如图，矩形ABCD 的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数 的图象经过点 C，反比例函数 的图象分别与 AD,CD 交于点 E,F,若 则
28.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(-1，1)，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线 上，过点 C作 CE∥x轴交双曲线于点 E，连接BE，求△BCE 的面积.
29.如图，一次函数y=x-3的图象与反比例函数 的图象交于点A 与点B(a,-4).
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若P是第一象限内双曲线上的一动点(不与点A重合)，连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB 于点 C,连接OC,若的面积为3，求出点 P 的坐标.
30.如图，在平面直角坐标系中，A，B是双曲线 上不同的两点，作直线AB，交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作 轴于点 E，过点B作 轴于点F，连接EF.
求证:(1)CD∥EF;(2)AD=BC.
31.直线y= mx(m为常数)与双曲线 (k为常数)相交于A，B两点.
(1)如图1，若点A 的横坐标为3，点 B 的纵坐标为-4.
①直接写出:k= ,m= ;
②C在第一象限内是双曲线上的点，当 时，求点 C 的坐标.
(2)如图2，将直线y=mx向右平移得到直线y=mx+b，交双曲线 于点E(2,y )和点 F(-1, 写出不等式 的解集.
32.已知,矩形ABCD的顶点A(1,6),C都在双曲线 的图象上,AB∥x轴.
(1)若矩形ABCD 是正方形，试直接写出点 C 的坐标；
(2)如图2，点C在第三象限，将矩形ABCD绕点A 逆时针旋转90°得到矩形AB'C'D',若点C的对应点C'恰好落在 的图象上，求 的值；
(3)如图3，点C在第三象限内，若矩形ABCD被x轴，y轴分成四个小矩形，将矩形 BEOG和矩形OHDF 的面积分别记作 S 和 S ，求 的最小值.
4.8.
5.9.
6.8-6.
7.9.
8.3.
11.3.
12.35.
14.4.
15.5.
16.
17.
19.4.
20.3
21.60.
22.6.
23.2
24.6.
25.
26.2.
27.9.
28. 解:过 D作DH⊥x轴交CE于H,过A作AG⊥DH于G,过B作BM⊥EC于M.设D(x, ),∵四边形ABCD是正方形,∴AD =CD =BC,∠ADC =∠DCB =90°,易得△AGD≌△DHC≌△CMB,
∴AG=DH=
∴x=-2,∴D(-2,-3),∴CH=DG=BM=4.∵AG=DH=-1-x=1,∴点 E的纵坐标为-4.
解: (2)当 P 在 C 点上方时,P 点坐标为(1,4)或(2,2);当 P 在 C 点下方时,P点坐标为 30. 证明:(1)设 易得 E(a,0),F(0, kb). 设AB 为y= 易得 EF 为 (2)易得四边形 ADFE 和 BCEF 都是平行四边形,∴AD =EF =BC,即AD=BC.
31. (1)①12, ;②解:设C(a, 过A作AM⊥x轴于M,过C作 CN⊥x轴于N.易得
=9 或 解得 C(6,2)或 或-132. 解:(1)C(-6,-1)或(6,1);(2)设AB=m,BC=n,∴ C(1 - m,6 - n),C'(1 + n,6-m),∴ 当 m=n时, 取最小值.∵(1-m)(6-n) =6,解得 m =0(舍去), 的最小值是 18.

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