资源简介

第十讲 相似三角形的判定(一)
知识点：1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；2.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；3.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
基本模型：
(1)A型:如图1,DE∥BC,则△ADE∽ABC.
(2)8字型(或漏斗型):如图2,DE∥BC,则△ADE∽△ACB.
(3)A型线簇型:如图3,DE∥BC,则DF:FE=BM:MC;DF:FG:GE=BM:MN:NC.
(4)8字型(或漏斗型)线簇型:如图4,AB∥CD,则AE:EB=CM:MD;AF:FE:EB=CN:NM:MD.
(5)三角形内接矩形型:如图5,四边形 DEFG为矩形,AN⊥BC于点N,则AM:AN=DE:BC;若四边形DEFG是正方形，则有：
(6)三平行型:如图6,已知AB∥EF∥CD,则
1.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,P是线段DE上任意一点(不与点D,E重合),连接AP 并延长交BC 于点 Q.若BQ=5,CQ=4,DE=6,则DP= .
2.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD 相交于点O,点E在线段DO上,OE:DE=3:2,连接AE并延长交 DC 于点 F,则 DF:FC= .
3.如图,点D,G分别在△ABC的边AC,AB上,AD:CD=2:3,BG=4AG,延长GD与BC的延长线交于点 F,作AE∥BC,交 DG的延长线于点 E.则 BC:CF= .
4.如图,在△ABC中,在BC边上取一点 P,使得BP:PC=2:5,Q是AC的中点,AP,BQ交于点R,则AR:RP= .
5.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,F是线段AD上一点,AF:FD=1:5,连接CF,并延长交AB于点E,则AE:EB= .
6.如图,B为AC的中点,E为BD的中点,AE的延长线与CD交于点 F,则AF:AE= .
7.如图,在△ABC中,AB=AC=12,AD⊥BC于点D,点E在线段AD上且DE=2AE,连接BE并延长交AC 于点 F,则线段AF长为 .
8.如图,在△ABC中,中线AD和角平分线BE交于点G,且AD⊥BE,AD=BE=10,则AC= .
9.如图,在△ABC中,点 D,E分别在边 AB,AC上,DE∥BC,AD =EC,BD =1,AE =4,BC =5,则DE= .
10.如图,在△ABC中,点D在AB边上,AD=3BD,作DE∥BC交AC于点E,点M在线段DE上,DM:EM=3:2,CM交AB于点N,则BD:ND= .
11.如图,AD是△ABC的中线,点E在线段AD上,AE=3DE,连接BE并延长交AC于点F,则AF:AC=
12.如图,在Rt△ABC中有一正方形DEFG,点D在斜边AC上,EF在边AB上,连接AG并延长,分别交DE,BC于点M,N,AB=4,BC=3,EF=1,则BN= .
13.如图,AB∥CD,AD,BC 相交于点 E,过点 E 作 EF∥AB 交BD于点 F,AB =10,EF =4,则 CD= .
14.如图,AB是⊙O的直径,P是AB延长线上一点,PC与⊙O相切于点C,过点A作AD⊥PC于点D.已知PC=6,PB=3,则PD= .
15.如图,在△ABC中,底边 BC上的两点E,F把BC分成三等份,BM是AC边上的中线,AE,AF分别交BM于G,H两点,则 BG:GH:HM= .
16.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,AC交BD于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E,交CD于点F,EF=10,则
17.如图,已知P为△ABC的中位线MN上任意一点,BP,CP 的延长线分别交对边 AC,AB 于点D,E,则
18.如图,在△ABC中,AC>AB,AD是角平分线,AE是中线.作BF⊥AD于点G,交AE于点F,交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.则
19. AD是△ABC的角平分线,AB=8,AC=6.当∠BAC=120°时,AD= ;当∠BAC=90°时,AD= ;当∠BAC=60°时,AD= .
20.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,DE为△ABC的中位线,延长BC到点 F,使 连接FE 并延长交AB于点M.若BC=a,求△FMB的周长.
21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点E作⊙O的切线EF交AC 于点 F,连接BD.求证:EF是△CDB 的中位线.
22.如图,在△ABC中,直线DN平行于中线AF交AB于点D,交 CA的延长线于点E,交边 BC于点N.求证：
23.如图,正方形ABCD中,以AB 为边向外作等边三角形ABE,连接DE交AC 于点 F,交AB于点G,连接 BF.
求证：
24.如图,已知正方形 OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC,BD的交点,连接DG, 正方形ABCD 的边长为5,线段AD 与线段OG相交于点M,AM=1,求正方形OEFG的边长.
25.如图,在 中,D为BC的中点,点E,F分别在AB,AC上,AE=4BE,AF:CF=3:2,,连接EF,AD交于点 P.求(1)PE:PF;(2)AP:PD.
26.如图,在 中， ,点 D 在边 BC上,点 E 在线段 AD上, 于点 F,EG⊥EF交AB于点 G,若 EF=EG,求CD的长.
27.在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线分别交AB,AC于点 E,F.
(1)如图1,当EF∥BC时,求证:
(2)如图2,当EF和BC不平行,点E,F分别在边AB,AC上,且BE(3)如图3，当点F在AC的延长线上时，(1)中的结论是否成立 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
28.如图,正方形ABCD 的对角线交于点 O,点 E 在边 BC 上, AE 交 OB 于点 F,过点 B 作AE 的垂线 BG交OC 于点 G,连接GE.
(1)求证:OF=OG;
(2)用含有n的式子表示 的值.
29.如图1,在四边形ABCD中, 于点E,AC交DE于点F.
(1)求 AE·AB 的值;
(2)若 CD =4,求 的值；
(3)如图2,若CD=6,过点A作AM∥CD交CE的延长线于点M,求 的值.
30.已知AD 是△ABC 的平分线.
(1)如图1,∠BAC=120°,BE∥AD,交CA的延长线于点E,CF∥AD,交BA的延长线于点F.求证：
(2)过点D作直线MN交AB于点M，交AC的延长线于点 N.
①如图2,当∠BAC=90°时,求 的值；
②如图3,当∠BAC=60°时,求证:
1. 2.1:3. 3.5:3. 4.7:2. 5.1:10. 6.4:3. 7. 9. 10.11:9. 11.3:5. 12. 13. 14. 15.5:3:2.
16. . 17.1. 18.1. 19. , ,
20. 解:∵ ∵ DE 为△ABC的中位线,∴ 在 Rt△ABC中,∠ACB =90°,∠B=60°,∴∠A =30°,AB=2a, =60°,△BMF是等边三角形,周长
21. 证明:连接OE,AE,OE 与 BD 交于点 G.∵AB是⊙O 的直径,∴ ∠ADB =∠CDB =∠AEB =90°.∵AB=AC,∴BE=CE,∠OBC=∠C.∵OB=OE,∴∠OBC=∠OEB,∴∠OEB=∠C,∴OE∥AC,∴∠DGE = ∠ADB =90°.∵ EF 是⊙O 的切线,∴∠OEF=90°,易得 ∴DF=CF.∴EF 是△CDB的中位线.
22. 证:易得 BF = CF,由 EN∥AF,有
23. 证明:(1)在EG上截取EH=DF.易得∠AED = ∠ADE = 15°,∠AFE = 60°,∠AFB =120°,△AFB≌△AFD,BF = DF.易得△EAH≌△DAF,∴AH=AF,EH=DF=BF.∴△AHF是等边三角形.∴ AF = HF ,∴ AF +BF = HF +EH =EF;(2)易得 易得△FCD∽△BEG,∴BE=GB
24. 解:易得∠GDM =∠GDO 即正方形OEFG的边长是
25. 解:过 E 作 EG∥BC交AD于G,过F作FH∥BC交AD 于H.
(1) 由题意，易得
设AD=5x,则AH =3x,AG =4x,
26. 解:过点 D 作DH⊥BC 交AB 于点 H.∵ EF⊥AC,∴ BC,EG⊥EF,∴ DH∥EG,∴ △AEG∽△ADH, 设DH=DC=x,则BD=12-x,∵△BDH∽△BCA, 即 解得:x=4,即 CD=4.
27. (1)证明:∵G是重心,易得AG=2DG.
1;(2)延长FE,CB 交于点 M,过A作BC的平行线,交 EF 的延长线于 N.∴△BME∽△ANE, (3)此时(1)中结论不成立，理由如下：当E靠近,A 点时, (1) 中结论不成立.
28. (1)证明:易证△AOF≌△BOG,∴OF=OG;(2)解:连接FG.设BE=x,则CE= nx,AD=BC=(n+1)x.∵OF=OG,∴∠OFG=∠OBC
29. 解:(1)过 B 作 BH⊥AD 于 H.易得. .AH=6×3=18;
(2)延长BE,CB交于点G,在 Rt△ABH中, 易得 BG (3)延长AB,DC 交于点 N.
∵ 得 NC
30. (1) 证明:∵∠BAC=120°,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=60°.∵ BE∥AD,∴∠E =∠ABE = ∠BAD =∠CAD = 60°,∴△ABE 是等边三角形,∴ BE =AB.∵ BE∥AD,∴△CAD∽△CEB, 同理 (2)①过D作 DG∥AC,交 AB 于 G,作DH∥AB 交AC于 H.易得 ②过D 作DG∥AC交AB于G,作DH∥AB交AC 于H.易得 同(2)有 又∵DG∥AC,DH∥AB,易得

展开更多......

收起↑