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【期末冲刺】第24章 平面直角坐标系复习 优等生讲义
(新考题直达)2026年沪教版数学八年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握平面直角坐标系的基本概念，能根据坐标确定点的位置及所在象限。
熟练运用点到坐标轴的距离公式、两点间距离公式，解决与长度、形状相关的问题。
理解并掌握点的平移变换规律（左减右加，下减上加）及关于x轴、y轴对称的坐标变化。
能够结合几何条件（等腰、直角、最值等）建立方程，解决坐标系中的综合问题。
体会数形结合、转化思想在坐标系问题中的应用。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 平面直角坐标系的概念
象限与坐标轴： 第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）。x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。
点到坐标轴的距离： 点 P(x, y) 到 x 轴的距离为 |y|，到 y 轴的距离为 |x|。
平行于坐标轴的直线： 平行于 x 轴的直线上所有点纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上所有点横坐标相等。
对称性： 关于 x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数。
☆ 两点间距离公式
公式：。
特例：当两点在同一水平线（）上时，；当两点在同一竖直线（）上时，。
中点坐标公式：。
☆ 平移与轴对称
平移： 点 向右平移 个单位 → ；向左平移 个单位 → ；向上平移 个单位 → ；向下平移 个单位 → 。
轴对称： 关于 x 轴对称 → ；关于 y 轴对称 → ；关于直线 对称 → ；关于直线 对称 → 。
平移变换中图形整体移动，对应点坐标变化相同。
□ 知识总结表
类别 核心内容 常用公式/结论
坐标与象限 ， 为横坐标， 为纵坐标 第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限
点到轴的距离 到 x 轴距离 ，到 y 轴距离 绝对值
两点间距离 当 或 时可简化
中点坐标 重心坐标（平均）
平移变换 左减右加，下减上加 坐标变化量 = 平移量
轴对称 关于 x 轴：；关于 y 轴： 对称轴对应坐标取反
核心考点 ·3大考点精讲
【考点1】平面直角坐标系的概念（对应第1-14题）
※ 方法总结
根据横、纵坐标的符号判断点所在象限；注意 恒正。
点到 x 轴距离 = ，到 y 轴距离 = ，与坐标符号无关。
点在坐标轴上的条件：在 y 轴上 ；在 x 轴上 。
平行于坐标轴的直线： 轴 ； 轴 。
利用坐标确定位置时，可根据已知两点坐标建立坐标系，再求其它点坐标。
“好点”定义：，是曼哈顿距离为常数的点，分布在菱形边界上。
与密码结合的问题：需将字母视为数字（A=0,…,Z=25），进行模 26 的加解密运算。
1．（2026春 金山区期中）北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小明将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为（﹣4，2），表示“开阳”的点的坐标为（0，3），则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（6，﹣1） C．（5，﹣1） D．（7，0）
2．（2026春 金山区期中）在平面直角坐标系中，点P（a2+1，2）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2026春 闵行区期中）在直角坐标平面内，点P的坐标是（2，﹣3），则点P到x轴的距离是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
4．（2026春 闵行区期中）如果点P（m﹣3，m+1）在y轴上，则P的坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（0，﹣3） C．（0，4） D．（1，0）
5．（2026春 上海期中）已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为　 　 ．
6．（2026春 闵行区期中）已知点A（0，﹣3），点B在y轴上且线段AB的长度是4，那么点B的坐标为　 　 ．
7．（2026春 浦东新区期中）已知点A坐标为（2a，﹣3a﹣4），点B的坐标为（5，﹣3），若AB∥x轴，则a＝　 　 ．
8．（2026春 宝山区校级期中）已知△ABC三个顶点的坐标为A（1，2），B（4，3），C（3，﹣4），则三角形的形状为　 　 ．
9．（2026春 杨浦区校级月考）平面内四个点A（3，5）、B（0，y）、C（x，0）、D（5，1）将他们顺次联结，则折线AB+BC+CD的最小值为　 　 ．
10．（2026春 杨浦区校级月考）如图，直线l∥x轴，直线l与y轴交于点P，点Q（2，1）在直线l上，则点P的坐标为　 　 ．
11．（2026春 奉贤区期中）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1）、B（2，3）、C（0，﹣1），试判断这个三角形的形状．
12．（2026春 普陀区期中）近年来，依托红色革命、古代传统文化、绿色生态和蓝色水域等资源，某地发展成为红色旅游风景区．其中6个展馆最有特色，分别是：①抗日战斗纪念馆；②支前纪念馆；③治水陈列馆；④村史档案馆；⑤民俗馆；⑥进士府，各展馆的大致位置如图所示，请建立合适的平面直角坐标系，使①号展馆位于点（﹣3，1），⑤号展馆位于点（1，﹣1）．
（1）在图中画出建立的平面直角坐标系；
（2）在建立的平面直角坐标系中，
②号展馆的坐标是　 　 ；③号展馆的坐标是　 　 ；
④号展馆的坐标是　 　 ；⑥号展馆的坐标是　 　 ．
13．（2026春 虹口区期中）点P是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B．如果|PA|+|PB|＝5，那么点P称为“好点”．例如：点M（﹣1，4），因为|﹣1|+|4|＝5，所以点M是“好点”．
（1）在点A（2，﹣3）、、C（﹣2，7）中，“好点”是　 　 ；
（2）如果D（2a，﹣5a）是“好点”，求a的值．
14．（2026春 金山区期中）综合与实践：恺撒密码
恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文．例如，向前移动3位（密钥k＝3）的恺撒密码，如图1所示；为方便使用恺撒密码进行加密和解密，可以使用密码盘如图2所示．
（1）“解密”：已知密钥k＝3，密文uhdgb所对应的明文是　 　 ．
（2）“加密”：已知密钥k＝8，明文enjoy所对应的密文是　 　 ．
（3）“猜猜我是谁”：
信息一：“我的身份经过了双重加密，密文为“rdykqravw”，左起奇数位密钥为a，偶数位密钥为b．
信息二：密钥隐于坐标：已知点P（a，b）位于第一象限，到x轴距离为3，到y轴的距离为5．
根据以上信息，点P的坐标为　 　 ，我的身份对应的明文是　 　 ．
【考点2】两点间距离公式（对应第15-25题）
※ 方法总结
直接代入公式求距离，注意化简根式。
坐标系中三角形形状判断：计算三边长度，根据勾股定理判定是否为直角三角形，或根据边长相等等腰。
已知距离反求参数：列方程 ，平方后解得参数。
等腰三角形（以 AB 为底）：顶点 P 在 AB 的中垂线上，利用中点坐标和垂直关系列方程。
最短路径问题： 的最小值可转化为动点 到两个定点 和 的距离和，最小值即为两定点间的距离（当 P 在线段上时）。
新定义距离 （曼哈顿距离），需结合几何意义分析。
15．（2026春 香坊区校级月考）在平面直角坐标系中，点P（1，2）到原点的距离是（　　）
A．1 B． C． D．
16．（2026春 无锡期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），记dAB为线段AB的长度，DAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．下列结论：
①若点A与点B关于x轴对称，则dAB＝DAB；
②若dAB＝DAB，则点A与点B关于x轴对称；
③若动点P满足DOP＝1，则点P的运动路径所围成的图形面积为2；
④若dOA＝2dOB，则DOA＝2DOB．
其中正确的为（　　）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
17．（2026春 中山市校级期中）已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），点B是x轴上的一个动点，当A、B两点间的距离最短时，点B的坐标为（　　）
A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0）
18．（2026春 闵行区校级月考）点和点之间的距离是　 　 ．
19．（2026春 上海校级月考）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2）与点B（5，4）之间的距离是 　 　 ．
20．（2026春 松江区期中）DeepSeek公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：A（1，6）表示起点，B（5，8）表示终点．如果软件需要在线段AB之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 　 　 ．
21．（2026春 徐汇区校级期中）已知直角坐标平面上点P（3，﹣2）和Q（﹣1，6），则PQ＝　 　 ．
22．（2026春 余干县校级期中）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a+2，3a﹣1）．
（1）若点A在y轴上，求出点A的坐标；
（2）点B的坐标为（3，5），若AB∥x轴，求A、B两点之间的距离．
23．（2026春 杨浦区期中）平面直角坐标系内有点A（5，1）、B（﹣1，3），点P在y轴上，且△PAB是以AB为底边的等腰三角形，求点P的坐标．
24．（2026春 杨浦区期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点M1（x1，y1），M2（x2，y2），我们把d叫做M1，M2两点间的距离，记作d（M1，M2）．如A（﹣2，3），B（2，5），则d（A，B）．
请根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）若A（3，0），B（0，4），直接写出d（A，B）的值；
（2）当A（a，1），B（﹣1，4）的距离d（A，B）＝5时，求出a的值；
（3）若在平面内有一点C（x，y），使式子有最小值，请求出这个最小值．
25．（2026春 西青区校级月考）先阅读一段文字，再回答下列问题：
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，距离公式可简化成|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．已知点P（3，5），Q（﹣2，﹣1）．
（1）试求P，Q两点的距离；
（2）已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为﹣1，试求M，N两点的距离；
（3）已知一个三角形各顶点的坐标为A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
【考点3】平移与轴对称（对应第26-38题）
※ 方法总结
点的平移：左减右加（x），下减上加（y）。注意方向与坐标变化相反。
已知平移前后对应点坐标，可求平移向量，进而求其他对应点坐标。
关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数。
多次对称可还原：点关于 x 轴对称后再关于 y 轴对称等价于关于原点对称。
线段平移扫过的图形面积：通常为平行四边形，可用割补法或底乘高计算。
动点问题中注意分类讨论（如点 C 在 y 轴上满足 ∠ABC = ∠ACB，则 C 可能在 AB 的中垂线上或在 y 轴上形成等腰三角形）。
26．（2026春 奉贤区期中）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（x，y）重合，则点B的坐标是（　　）
A．（4，5） B．（﹣6，5） C．（4，﹣1） D．（﹣6，﹣1）
27．（2026春 宝山区校级期中）已知点P（m﹣1，n+1），若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P′（2，﹣1），则m，n的值分别为（　　）
A．6，2 B．0，2 C．6，﹣6 D．0，﹣6
28．（2026春 松江区期中）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣1）与点B（3，b）关于x轴对称，则（　　）
A．a＝3，b＝﹣1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝﹣3，b＝﹣1 D．a＝3，b＝1
29．（2026春 闵行区校级月考）将点M（﹣3，2）先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点N，那么点N的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（﹣6，﹣2）
30．（2026春 闵行区校级月考）将点P（﹣2，8）向右平移7个单位后，向下平移6个单位得到点Q，则点Q的坐标为（　　）
A．（﹣9，14） B．（5，2） C．（5，14） D．（﹣9，2）
31．（2026春 金山区期中）在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣1，5）和点Q（2，b﹣1）为关于x轴对称，则（a+b）2025＝　 　 ．
32．（2026春 普陀区期中）在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（﹣4，0），将线段AB平移得到线段A'B'，点A和点B的对应点分别是点A′和点B′，如果点A′的坐标是（2，1），那么点B′的坐标是　 　 ．
33．（2026春 杨浦区期中）如图，点A、B的坐标分别是（﹣4，1），（﹣1，﹣3），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，5）和（4，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为　 　 ．
34．（2026春 虹口区期中）已知点Q关于y轴的对称点为（2，y），关于x轴的对称点为（x，﹣7），那么点Q的坐标为　 　 ．
35．（2026春 静安区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（2，﹣2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为（2，5），则点B的对应点D的坐标为　 　 ．
36．（2026春 金山区期中）如图，在平面直角坐标系内，有一点A，将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B．
（1）写出点A，点B的坐标；
（2）如果点C在y轴上，且∠ABC＝∠ACB．求点C的坐标．
37．（2026春 宝山区校级月考）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3a﹣13，a﹣3）．
（1）若点P位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标；
（2）若将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点P的坐标．
38．（2026春 洛阳期中）如图①，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（5，0），将AO向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段BC．连接AB，AC，OC．
（1）点B的坐标为　 　 ，点C的坐标为　 　 ；
（2）在x轴上是否存在一点D，使得三角形ABD的面积等于三角形AOC面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若P是直线AB上的一个动点，连接OP，PC，当点P在直线AB上运动时，请直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间的数量关系．
随堂检测 · 精选练习
1．（2026 碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（6，4），C（7，0）．点P在线段OC上，且∠APB＝45°，则点P的坐标为　 　 ．
2．（2026春 越秀区校级期中）点P（m，n）在第二象限，且|m|＝3，n2＝16，则点P的坐标为　 　 ．
3．（2025秋 海淀区校级期末）A（4，5），B（0，b）是平面直角坐标系中的两点，连接AB，当线段AB长度最小时，b的值为 　 　 ，线段AB长为 　 　 ．
4．（2026春 重庆期中）将点A（2，0）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标为　 　 ．
5．（2026春 滨海新区期中）如果将点P（a﹣1，b﹣2）向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，恰好落在原点处，那么a+b＝　 　 ．
6．（2026春 乌鲁木齐期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，﹣5），将线段AB向右平移3个单位得到线段CD，交y轴于点E，若图中阴影部分面积是10，则点E的坐标为　 　 ．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：点到 x 轴的距离（纵坐标绝对值）。
作业2：根据两个已知坐标确定网格坐标系，求第三点坐标。
作业3：平移变换中对应点坐标关系（整体平移，坐标差为常数）。
作业4：AB ∥ y 轴 横坐标相等，求线段长度。
作业5：PQ ∥ x 轴 纵坐标相等，且 P、Q 在 y 轴两侧，分类求坐标。
作业6：中转站到 A、B 距离相等即线段 AB 的中点（中点坐标公式）。
作业7：点 P(m,1)，OP 最小值（垂线段最短），三角形 ABP 面积与 m 无关（底边固定，高为定值）。
作业8：角相等条件转化为几何关系（角平分线或等腰三角形），结合坐标求点 E。
作业9：线段 CD 在 x 轴上滑动，求 AC+BD 的最小值（平移构造将军饮马）。
作业10：点到 y 轴距离 = |x|，平行于 x 轴 纵坐标相等。
作业11：新定义“关联”（线性方程），通过解方程组求坐标。
作业12：新定义“n 阶拟合点”（曼哈顿距离范围），解不等式组。
作业13：新定义“完美点”满足 ，根据定义求解参数。
作业14：新定义“a 级跟随点” ，根据坐标变换列方程求 a 或点坐标。
复习建议 平面直角坐标系是数形结合的重要载体，复习中要强化坐标与几何量的转化，熟练掌握距离公式、中点公式、平移对称规律；对于新定义问题，要耐心阅读、严格套用定义。课后巩固中的最短路径、等腰三角形存在性、新定义题型是高频考点，需独立演算。
【作业1】（2026春 南关区期中）点P（﹣1，﹣3）到x轴的距离为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【作业2】（2026春 通州区期中）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，使“少”的坐标为（﹣1，﹣2），“年”的坐标为（1，﹣1），则“强”的坐标为（　　）
A．（1，1） B．（2，1） C．（3，2） D．（4，3）
【作业3】（2026春 通州区期中）在平面直角坐标系中，已知A（a，b），B（b，c），将线段AB平移得到线段CD，其中点A的对应点为点C．若C（a﹣1，n），D（m，c+3），则m﹣n的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【作业4】（2026春 南通期中）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，6），B（m﹣2，m+1），若线段AB平行于y轴，则线段AB的长度等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【作业5】（2026春 朝阳区校级期中）在平面直角坐标系中，P（﹣3，2）、Q两点分别在y轴两侧，且PQ∥x轴，若PQ＝6，则点Q的坐标为　 　 ．
【作业6】（2025 肇庆一模）DeepSeek公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：A（2，3）表示起点，B（8，7）表示终点．如果DeepSeek软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，要使中转站距离最短，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为　 　 ．
【作业7】（2025春 大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，1），其中m为实数，给出下列三个结论：
①线段OP长度的最小值是1；
②若线段，则m＝1；
③若A（3，5），B（﹣2，5），则三角形ABP的面积是定值．
上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ．
【作业8】（2026 郸城县模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠DEC，则点E的坐标为 　 　 ．
【作业9】（2026 乌鲁木齐一模）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　 　 ．
【作业10】（2026春 普陀区校级同步）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）．
（1）当点P到y轴的距离为4时，求出点P的坐标；
（2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣5），求出点P的坐标．
【作业11】（2025春 嘉定区校级期末）现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”．
例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）．
（1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有　 　 ；
①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）．
（2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q；
（3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）．
【作业12】（2026春 黔江区期中）在平面直角坐标系中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），若满足n≤|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＜n+1（n为自然数），我们称A为B的n阶拟合点．特别地，若|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝0，我们称A为B的完美拟合点．请回答下列问题：
（1）请判断点（3，7）是否为点（4，2）的5阶拟合点，并说明理由；
（2）点（3a+4，5a﹣2）为点（4b﹣3，2b﹣9）的完美拟合点，请求出a+b的值；
（3）点（2x，x+4）为点（2，2﹣x）的6阶拟合点，请求出x的取值范围．
【作业13】（2026春 长沙期中）定义：若点（a，b）满足a﹣b（a≥b≥0），则称这个点（a，b）为“完美点”．例如，9﹣4，故点（9，4）是“完美点”．
（1）点A（0，0），B（4，1），C（16，4）中，不是“完美点”的是　 　 ；
（2）若点C（4，x2）是“完美点”，求x的值；
（3）若点M（2m，m）是“完美点”，求出m3﹣4m2﹣11m+2028的值．
【作业14】（2026春 五华区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（x+ay，ax+y），则称点Q是点P的“a级跟随点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，3）的“2级跟随点”为点Q（1+2×3，2×1+3），即点Q的坐标为（7，5）．
（1）若点P的坐标为（﹣3，5），则它的“3级跟随点”的坐标为　 　 ；
（2）若点P的“﹣2级跟随点”的坐标为（﹣3，0），求P点的坐标；
（3）若点P在y轴正半轴上，点P的“a级跟随点”为P1点，且线段PP1的长度为线段OP长度的2倍，求a的值．【期末冲刺】第24章 平面直角坐标系复习 优等生讲义
(新考题直达)2026年沪教版数学八年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握平面直角坐标系的基本概念，能根据坐标确定点的位置及所在象限。
熟练运用点到坐标轴的距离公式、两点间距离公式，解决与长度、形状相关的问题。
理解并掌握点的平移变换规律（左减右加，下减上加）及关于x轴、y轴对称的坐标变化。
能够结合几何条件（等腰、直角、最值等）建立方程，解决坐标系中的综合问题。
体会数形结合、转化思想在坐标系问题中的应用。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 平面直角坐标系的概念
象限与坐标轴： 第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）。x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。
点到坐标轴的距离： 点 P(x, y) 到 x 轴的距离为 |y|，到 y 轴的距离为 |x|。
平行于坐标轴的直线： 平行于 x 轴的直线上所有点纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上所有点横坐标相等。
对称性： 关于 x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数。
☆ 两点间距离公式
公式：。
特例：当两点在同一水平线（）上时，；当两点在同一竖直线（）上时，。
中点坐标公式：。
☆ 平移与轴对称
平移： 点 向右平移 个单位 → ；向左平移 个单位 → ；向上平移 个单位 → ；向下平移 个单位 → 。
轴对称： 关于 x 轴对称 → ；关于 y 轴对称 → ；关于直线 对称 → ；关于直线 对称 → 。
平移变换中图形整体移动，对应点坐标变化相同。
□ 知识总结表
类别 核心内容 常用公式/结论
坐标与象限 ， 为横坐标， 为纵坐标 第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限
点到轴的距离 到 x 轴距离 ，到 y 轴距离 绝对值
两点间距离 当 或 时可简化
中点坐标 重心坐标（平均）
平移变换 左减右加，下减上加 坐标变化量 = 平移量
轴对称 关于 x 轴：；关于 y 轴： 对称轴对应坐标取反
核心考点 ·3大考点精讲
【考点1】平面直角坐标系的概念（对应第1-14题）
※ 方法总结
根据横、纵坐标的符号判断点所在象限；注意 恒正。
点到 x 轴距离 = ，到 y 轴距离 = ，与坐标符号无关。
点在坐标轴上的条件：在 y 轴上 ；在 x 轴上 。
平行于坐标轴的直线： 轴 ； 轴 。
利用坐标确定位置时，可根据已知两点坐标建立坐标系，再求其它点坐标。
“好点”定义：，是曼哈顿距离为常数的点，分布在菱形边界上。
与密码结合的问题：需将字母视为数字（A=0,…,Z=25），进行模 26 的加解密运算。
1．（2026春 金山区期中）北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小明将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为（﹣4，2），表示“开阳”的点的坐标为（0，3），则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（6，﹣1） C．（5，﹣1） D．（7，0）
【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后写出表示天权的点的坐标即可．
【解答】解：平面直角坐标系如下所示，
由上可得，表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为（5，﹣1），
故选：C．
【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．
2．（2026春 金山区期中）在平面直角坐标系中，点P（a2+1，2）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】依据a2+1＞0，即可得出点P（a2+1，2）在第一象限．
【解答】解：∵a2+1＞0，
∴点P（a2+1，2）在第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（2026春 闵行区期中）在直角坐标平面内，点P的坐标是（2，﹣3），则点P到x轴的距离是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【分析】根据点到坐标轴距离的定义解答即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（2，﹣3），
∴点P到x轴的距离为|﹣3|＝3．
故选：B．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知点的坐标轴距离的定义是解题的关键．
4．（2026春 闵行区期中）如果点P（m﹣3，m+1）在y轴上，则P的坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（0，﹣3） C．（0，4） D．（1，0）
【分析】根据y轴上的点横坐标为0可得m﹣3＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵点P（m﹣3，m+1）在y轴上，
∴m﹣3＝0，
∴m＝3，
∴点P的坐标是（0，4），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
5．（2026春 上海期中）已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为　（2，﹣2）或（2，8）　 ．
【分析】根据A点坐标及直线AB∥y轴可设B（2，b），再由AB＝5求出b的值即可．
【解答】解：设B（2，b），
∵AB＝5，
∴|b﹣3|＝5，
∴b＝﹣2或b＝8，
∴B（2，﹣2）或（2，8）．
故答案为：（2，﹣2）或（2，8）．
【点评】本题考查了平行于y轴的直线的横纵坐标的特点，熟练掌握平行于y轴的直线的点的横坐标相同是解题的关键．
6．（2026春 闵行区期中）已知点A（0，﹣3），点B在y轴上且线段AB的长度是4，那么点B的坐标为　（0，1）或（0，﹣7）　 ．
【分析】根据坐标特点可知点B与点A都在y轴上，再结合线段AB的长度是4，分两种情况：当点B在点A上方时，当点B在点A下方时，分析求解，即可解题．
【解答】解：由题意可得：
当点B在点A上方时，点B的坐标为（0，1），
当点B在点A下方时，点B的坐标为（0，﹣7），
∴点B的坐标为（0，1）或（0，﹣7）．
故答案为：（0，1）或（0，﹣7）．
【点评】本题考查坐标与图形，正确进行计算是解题关键．
7．（2026春 浦东新区期中）已知点A坐标为（2a，﹣3a﹣4），点B的坐标为（5，﹣3），若AB∥x轴，则a＝　　 ．
【分析】根据AB∥x轴，得出点A和点B的纵坐标相等，据此列方程求解a的值，同时验证横坐标不相等以保证两点不重合．
【解答】解：∵点A坐标为（2a，﹣3a﹣4），点B的坐标为（5，﹣3），AB∥x轴，
∴点A与点B的纵坐标相等，
∴﹣3a﹣4＝﹣3，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是牢记平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等这一性质．
8．（2026春 宝山区校级期中）已知△ABC三个顶点的坐标为A（1，2），B（4，3），C（3，﹣4），则三角形的形状为　直角三角形　 ．
【分析】先计算出三角形三边的平方，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可．
【解答】解：由题知，
因为A（1，2），B（4，3），C（3，﹣4），
所以BC2＝（4﹣3）2+（3+4）2＝1+49＝50，
AB2＝（1﹣4）2+（2﹣3）2＝9+1＝10，
AC2＝（1﹣3）2+（2+4）2＝4+36＝40．
因为10+40＝50，
所以AB2+AC2＝BC2，
所以△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平面直角坐标系中两点之间的距离公式是解题的关键．
9．（2026春 杨浦区校级月考）平面内四个点A（3，5）、B（0，y）、C（x，0）、D（5，1）将他们顺次联结，则折线AB+BC+CD的最小值为　10　 ．
【分析】作点A（3，5）关于y轴的对称点E（﹣3，5），作点D（5，1）关于x轴的对称点F（5，﹣1），根据轴对称的性质可得EB＝AB，CF＝CD，则AB+BC+CD＝EB+BC+CF，再根据两点之间线段最短可得当点E，B，C，F共线时，EB+BC+CF的值最小，最小值为EF的长，由此即可得﹒
【解答】解：平面内四个点A（3，5）、B（0，y）、C（x，0）、D（5，1）将他们顺次联结，
如图，作点A（3，5）关于y轴的对称点E（﹣3，5），作点D（5，1）关于x轴的对称点F（5，﹣1），
∴EB＝AB，CF＝CD，
∴AB+BC+CD＝EB+BC+CF，
由两点之间线段最短可知，当点E，B，C，F共线时，EB+BC+CF的值最小，最小值为，
∴折线AB+BC+CD的最小值为10﹒
故答案为：10﹒
【点评】本题考查了两点之间的距离公式、点坐标与轴对称变换、两点之间线段最短，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键﹒
10．（2026春 杨浦区校级月考）如图，直线l∥x轴，直线l与y轴交于点P，点Q（2，1）在直线l上，则点P的坐标为　（0，1）　 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为直线l∥x轴，直线l与y轴交于点P，点Q（2，1）在直线l上，
所以点P的坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
11．（2026春 奉贤区期中）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1）、B（2，3）、C（0，﹣1），试判断这个三角形的形状．
【分析】根据题意，分别求出AB2，AC2及BC2，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1）、B（2，3）、C（0，﹣1），
所以AB2＝（﹣2﹣2）2+（1﹣3）2＝20，AC2＝（﹣2﹣0）2+[1﹣（﹣1）]2＝8，BC2＝（0﹣2）2+（﹣1﹣3）2＝20，
则AB＝BC，AB2+AC2≠BC2，
所以这个三角形是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意分别求出三边的平方是解题的关键．
12．（2026春 普陀区期中）近年来，依托红色革命、古代传统文化、绿色生态和蓝色水域等资源，某地发展成为红色旅游风景区．其中6个展馆最有特色，分别是：①抗日战斗纪念馆；②支前纪念馆；③治水陈列馆；④村史档案馆；⑤民俗馆；⑥进士府，各展馆的大致位置如图所示，请建立合适的平面直角坐标系，使①号展馆位于点（﹣3，1），⑤号展馆位于点（1，﹣1）．
（1）在图中画出建立的平面直角坐标系；
（2）在建立的平面直角坐标系中，
②号展馆的坐标是　（﹣1，1）　 ；③号展馆的坐标是　（1，1）　 ；
④号展馆的坐标是　（﹣1，﹣1）　 ；⑥号展馆的坐标是　（0，﹣3）　 ．
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系即可；
（2）根据所建的平面直角坐标系写出各点的坐标即可．
【解答】解：（1）所作平面直角坐标系如图所示；
；
（2）②号展馆的坐标是（﹣1，1）；③号展馆的坐标是（1，1）；④号展馆的坐标是（﹣1，﹣1）；⑥号展馆的坐标是（0，﹣3）．
故答案为：（﹣1，1）；（1，1）；（﹣1，﹣1）；（0，﹣3）．
【点评】此题主要考查了直角坐标系的建立以及点的坐标确定，此类题型是个重点也是难点，需要掌握确定原点的方法是解决问题的关键．
13．（2026春 虹口区期中）点P是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B．如果|PA|+|PB|＝5，那么点P称为“好点”．例如：点M（﹣1，4），因为|﹣1|+|4|＝5，所以点M是“好点”．
（1）在点A（2，﹣3）、、C（﹣2，7）中，“好点”是A和B ；
（2）如果D（2a，﹣5a）是“好点”，求a的值．
【分析】（1）根据“好点”的定义进行判断即可；
（2）根据“好点”的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知，
因为|2|+|﹣3|＝5，
所以点A是“好点”；
因为||+||＝5，
所以点B是“好点”；
因为|﹣2|+|7|＝9≠5，
所以点C不是“好点”．
故答案为：A和B；
（2）因为D（2a，﹣5a）是“好点”，
所以|2a|+|﹣5a|＝5，
当a≥0时，
2a+5a＝5，
解得a；
当a＜0时，
﹣2a+（﹣5a）＝5，
解得a，
综上所述，a的值为．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，理解所给“好点”的定义是解题的关键．
14．（2026春 金山区期中）综合与实践：恺撒密码
恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文．例如，向前移动3位（密钥k＝3）的恺撒密码，如图1所示；为方便使用恺撒密码进行加密和解密，可以使用密码盘如图2所示．
（1）“解密”：已知密钥k＝3，密文uhdgb所对应的明文是ready ．
（2）“加密”：已知密钥k＝8，明文enjoy所对应的密文是mvrwg ．
（3）“猜猜我是谁”：
信息一：“我的身份经过了双重加密，密文为“rdykqravw”，左起奇数位密钥为a，偶数位密钥为b．
信息二：密钥隐于坐标：已知点P（a，b）位于第一象限，到x轴距离为3，到y轴的距离为5．
根据以上信息，点P的坐标为　（5，3）　 ，我的身份对应的明文是mathlover ．
【分析】（1）因为“解密”，已知密钥k＝3，所以密文中每个字母对应的明文应是它向前移动3位对应的字母，把对应字母连起来写，可得：密文uhdgb对应的明文是ready；
（2）“加密”，已知密钥k＝8，则明文中每个字母对应的密文是它向后移动8位对应的字母，把对应字母连起来写，可得：明文enjoy所对应的密文是mvrwg；
（3）根据到x轴的距离是纵坐标，到y轴的距离是横坐标，可得点P的坐标，根据左起奇数位密钥为a，偶数位密钥为b，可知，奇数位上的字母对应的明文是它向前移动5位对应的字母，偶数位上的字母是它向前移动3位对应的字母，找出每个密文字母相对应的明文字母即可得到明文．
【解答】解：（1）“解密”，已知密钥k＝3，
则密文中每个字母对应的明文是它向前移动3位对应的字母，
如下：
D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
A B C D E F J H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
密文uhdgb中，u对应r，h对应e，d对应a，g对应d，b对应y，
∴密文uhdgb对应的明文是ready，
故答案为：ready；
（2）“加密”，已知密钥k＝8，
则明文中每个字母对应的密文是它向后移动8位对应的字母，
如下，
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H
∴明文enjoy中，e对应m，n对应v，j对应r，o对应w，y对应g，
∴明文enjoy所对应的密文是mvrwg，
故答案为：mvrwg；
（3）∵点P（a，b）位于第一象限，到x轴距离为3，到y轴的距离为5，
∴a＝5，b＝3，
∴点P的坐标为（5，3）；
∴左起奇数位密钥为a，偶数位密钥为b，
∴左起奇数位上的字母对应的明文字母是它向前移动5位对应的字母，左起偶数位上的字母对应的明文字母是它前移动3位对应的字母，
∴密文“rdykqrahw”中，r对应m，d对应a，y对应t，k对应h，q对应l，r对应o，a对应v，h对应e，w对应r，
∴密文“rdykqrahw”对应的明文是mathlover，
故答案为：（5，3），mathlover．
【点评】本题考查坐标确定位置，掌握坐标系的位置关系是解题的关键．
【考点2】两点间距离公式（对应第15-25题）
※ 方法总结
直接代入公式求距离，注意化简根式。
坐标系中三角形形状判断：计算三边长度，根据勾股定理判定是否为直角三角形，或根据边长相等等腰。
已知距离反求参数：列方程 ，平方后解得参数。
等腰三角形（以 AB 为底）：顶点 P 在 AB 的中垂线上，利用中点坐标和垂直关系列方程。
最短路径问题： 的最小值可转化为动点 到两个定点 和 的距离和，最小值即为两定点间的距离（当 P 在线段上时）。
新定义距离 （曼哈顿距离），需结合几何意义分析。
15．（2026春 香坊区校级月考）在平面直角坐标系中，点P（1，2）到原点的距离是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】根据两点间距离公式计算即可．
【解答】解：根据两点间距离公式可得：
点P（1，2）到原点（0，0）的距离是．
故选：C．
【点评】本题考查了两点间距离公式，熟练掌握该知识点是关键．
16．（2026春 无锡期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），记dAB为线段AB的长度，DAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．下列结论：
①若点A与点B关于x轴对称，则dAB＝DAB；
②若dAB＝DAB，则点A与点B关于x轴对称；
③若动点P满足DOP＝1，则点P的运动路径所围成的图形面积为2；
④若dOA＝2dOB，则DOA＝2DOB．
其中正确的为（　　）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据两点间距离公式dAB和新定义DAB，逐个验证四个结论，即可得到答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），
由定义得，DAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
①∵点A与点B关于x轴对称，
∴x1＝x2，y2＝﹣y1，
∴，DAB＝|0|+|y1﹣（﹣y1）|＝2|y1|，
∴dAB＝DAB，①正确；
②取A（0，0），B（0，1），此时dAB＝1，DAB＝0+1＝1，满足dAB＝DAB，但A，B不关于x轴对称． ②错误；
③设P（x，y），由DOP＝1 得|x|+|y|＝1，
该图形是以（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1）为顶点的菱形，两条对角线长分别为2和2，
∴图形面积 ，③正确；
④取A（2，0），，
则，，满足dOA＝2dOB，
DOA＝|2|+|0|＝2，，，④错误．
故选：A．
【点评】本题考查两点间的距离公式，正确进行计算是解题关键．
17．（2026春 中山市校级期中）已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），点B是x轴上的一个动点，当A、B两点间的距离最短时，点B的坐标为（　　）
A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0）
【分析】根据当AB⊥x轴于点B时，A、B两点间的距离最短，即可得到答案．
【解答】解：由条件可知：当AB⊥x轴于点B时，A、B两点间的距离最短，
此时点B与点A的横坐标相同，
∴点B的坐标是（﹣3，0），
故选：D．
【点评】此题考查了点的坐标、垂线段最短，熟练掌握点的坐标规律是解题的关键．
18．（2026春 闵行区校级月考）点和点之间的距离是　　 ．
【分析】先表示出两点之间的横向的距离和纵向的距离，再根据勾股定理得出答案．
【解答】解：根据勾股定理，点和点之间的距离得：，
所以点A和B之间的距离是．
故答案为：．
【点评】本题考查两点间的距离，正确进行计算是解题关键．
19．（2026春 上海校级月考）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2）与点B（5，4）之间的距离是 　2　 ．
【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：∵A（3，﹣2），B（5，4），
∴AB2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
20．（2026春 松江区期中）DeepSeek公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：A（1，6）表示起点，B（5，8）表示终点．如果软件需要在线段AB之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 　（3，7）　 ．
【分析】设中转站的坐标为（x，y），根据中点坐标公式进行求解即可．
【解答】解：设中转站的坐标为（x，y），
由条件可知中转站为AB的中点，
∴，
∴中转站的坐标为（3，7）．
故答案为：（3，7）．
【点评】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
21．（2026春 徐汇区校级期中）已知直角坐标平面上点P（3，﹣2）和Q（﹣1，6），则PQ＝　　 ．
【分析】根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可．
【解答】解：∵P（3，﹣2）和Q（﹣1，6），
∴PQ4．
故答案为4．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式：若两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则这两点的距离．
22．（2026春 余干县校级期中）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a+2，3a﹣1）．
（1）若点A在y轴上，求出点A的坐标；
（2）点B的坐标为（3，5），若AB∥x轴，求A、B两点之间的距离．
【分析】（1）利用y轴上点的坐标特征得到a+2＝0，然后求出a的值得到点A的坐标；
（2）根据与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相同得到3a﹣1＝5，求出a得到点A的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AB的长度即可．
【解答】解：（1）∵点A（a+2，3a﹣1）在y轴上，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2，
∴点A的坐标为（0，﹣7）；
（2）∵点B的坐标为（3，5），AB∥x轴，
∴3a﹣1＝5，
解得a＝2，
∴A（4，5），
∴AB1，
即A、B两点之间的距离为1．
【点评】本题考查两点间的距离公式：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．也考查了坐标轴上点的坐标特征．
23．（2026春 杨浦区期中）平面直角坐标系内有点A（5，1）、B（﹣1，3），点P在y轴上，且△PAB是以AB为底边的等腰三角形，求点P的坐标．
【分析】设P（0，p），根据两点之间距离公式得出PA2＝52+（p﹣1）2，PB2＝（﹣1）2+（p﹣3）2，根据等腰三角形的性质，列出方程求解即可．
【解答】解：由条件可知点P的横坐标为0，
设P（0，p），PA＝PB，
∵PA2＝52+（p﹣1）2，PB2＝（﹣1）2+（p﹣3）2，
∴52+（p﹣1）2＝（﹣1）2+（p﹣3）2，
解得：p＝﹣4，
∴P（0，﹣4）．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，等腰三角形的定义．熟练掌握以上知识点是关键．
24．（2026春 杨浦区期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点M1（x1，y1），M2（x2，y2），我们把d叫做M1，M2两点间的距离，记作d（M1，M2）．如A（﹣2，3），B（2，5），则d（A，B）．
请根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）若A（3，0），B（0，4），直接写出d（A，B）的值；
（2）当A（a，1），B（﹣1，4）的距离d（A，B）＝5时，求出a的值；
（3）若在平面内有一点C（x，y），使式子有最小值，请求出这个最小值．
【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）根据两点间的距离公式得到5，然后解方程即可；
（3）根据两点间的距离公式，表示点C（x，y）到点（﹣1，4）的距离；表示点C（x，y）到点（3，﹣1）的距离，根据两点之间线段最短，当点C在点（﹣1，4）和点（3，﹣1）所连的线段上时，点C到点（﹣1，4）和点（3，﹣1）的距离之和最小，然后利用两点间的距离公式即可．
【解答】解：（1）∵A（3，0），B（0，4），
d（A，B）5；
（2）∵A（a，1），B（﹣1，4）的距离d（A，B）＝5，
∴5，
解得a＝3或a＝﹣5，
即a的值为﹣5或3；
（3）表示点C（x，y）到点（﹣1，4）的距离；表示点C（x，y）到点（3，﹣1）的距离，
当点C在点（﹣1，4）和点（3，﹣1）所连的线段上时，点C到点（﹣1，4）和点（3，﹣1）的距离之和最小，最小值为，
即式子的最小值为．
【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
25．（2026春 西青区校级月考）先阅读一段文字，再回答下列问题：
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，距离公式可简化成|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．已知点P（3，5），Q（﹣2，﹣1）．
（1）试求P，Q两点的距离；
（2）已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为﹣1，试求M，N两点的距离；
（3）已知一个三角形各顶点的坐标为A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
【分析】（1）根据平面内两点间的距离公式求解；
（2）点M，N在平行于y轴的直线上，距离公式为|y2﹣y1|；
（3）根据两点间的距离公式求出三条边的长度，即可判断此三角形的形状．
【解答】解：（1）由条件可知：；
（2）由题意知，MN＝|﹣1﹣5|＝6；
（3）△ABC为等腰三角形，理由如下：
∴，
，
BC＝|﹣3﹣3|＝6，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是关键．
【考点3】平移与轴对称（对应第26-38题）
※ 方法总结
点的平移：左减右加（x），下减上加（y）。注意方向与坐标变化相反。
已知平移前后对应点坐标，可求平移向量，进而求其他对应点坐标。
关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数。
多次对称可还原：点关于 x 轴对称后再关于 y 轴对称等价于关于原点对称。
线段平移扫过的图形面积：通常为平行四边形，可用割补法或底乘高计算。
动点问题中注意分类讨论（如点 C 在 y 轴上满足 ∠ABC = ∠ACB，则 C 可能在 AB 的中垂线上或在 y 轴上形成等腰三角形）。
26．（2026春 奉贤区期中）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（x，y）重合，则点B的坐标是（　　）
A．（4，5） B．（﹣6，5） C．（4，﹣1） D．（﹣6，﹣1）
【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．
【解答】解：由题知，
将点A（﹣1，2）向左平移5个单位长度后，所得点的坐标为（﹣6，2），
再向下平移3个单位长度后，所得点B的坐标为（﹣6，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
27．（2026春 宝山区校级期中）已知点P（m﹣1，n+1），若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P′（2，﹣1），则m，n的值分别为（　　）
A．6，2 B．0，2 C．6，﹣6 D．0，﹣6
【分析】根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点P（m﹣1，n+1）和平移后的点P′（2，﹣1），列方程求解．
【解答】解：∵点P（m﹣1，n+1），
∴将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P′（m﹣1+3，n+1﹣4），
∵P′（2，﹣1），
∴m﹣1+3＝2，n+1﹣4＝﹣1，
解得m＝0，n＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，熟知点的平移规律是解题的关键．
28．（2026春 松江区期中）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣1）与点B（3，b）关于x轴对称，则（　　）
A．a＝3，b＝﹣1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝﹣3，b＝﹣1 D．a＝3，b＝1
【分析】根据“关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数”作答即可．
【解答】解：∵点A（a，﹣1）与点B（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝﹣（﹣1）＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
29．（2026春 闵行区校级月考）将点M（﹣3，2）先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点N，那么点N的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（﹣6，﹣2）
【分析】根据将点向左平移3个单位，即横坐标减去3，再根据将点向下平移4个单位，即纵坐标减去4，可得答案．
【解答】解：将点M（﹣3，2）先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点N，那么点N的坐标为（﹣3﹣3，2﹣4），即（﹣6，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，熟知横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键．
30．（2026春 闵行区校级月考）将点P（﹣2，8）向右平移7个单位后，向下平移6个单位得到点Q，则点Q的坐标为（　　）
A．（﹣9，14） B．（5，2） C．（5，14） D．（﹣9，2）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可．
【解答】解：点P（﹣2，8）向右平移7个单位后，向下平移6个单位得到点Q，则点Q的坐标为（﹣2+7，8﹣6）．即（5，2）
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
31．（2026春 金山区期中）在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣1，5）和点Q（2，b﹣1）为关于x轴对称，则（a+b）2025＝　﹣1　 ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵点P（a﹣1，5）和点Q（2，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
解得a＝3，b＝﹣4，
∴（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
32．（2026春 普陀区期中）在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（﹣4，0），将线段AB平移得到线段A'B'，点A和点B的对应点分别是点A′和点B′，如果点A′的坐标是（2，1），那么点B′的坐标是　（﹣3，﹣1）　 ．
【分析】根据点平移的性质进行求解．
【解答】解：∵A（1，2），B（﹣4，0），将线段AB平移得到线段A'B'，点A和点B的对应点分别是点A′和点B′，点A′的坐标是（2，1），
∴可以看作点A先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∴点B′的坐标为（﹣4+1，0﹣1），即（﹣3，﹣1）．
故答案为：（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，熟知横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键．
33．（2026春 杨浦区期中）如图，点A、B的坐标分别是（﹣4，1），（﹣1，﹣3），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，5）和（4，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为　32　 ．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积＝四边形ABB1A1的面积求解即可．
【解答】解：∵平移后A1与B1坐标分别是（m，5）和（4，n），
∴可知将线段AB向右平移5个单位，向上平移4个单位，
∴m＝﹣4+5＝1，n＝﹣3+4＝1，
∴A1与B1坐标分别是（1，5）和（4，1），
如图：
∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．熟练掌握该知识点是关键．
34．（2026春 虹口区期中）已知点Q关于y轴的对称点为（2，y），关于x轴的对称点为（x，﹣7），那么点Q的坐标为　（﹣2，7）　 ．
【分析】根据关于x轴、y轴对称的点的坐标即可得出答案．
【解答】解：∵点Q关于y轴的对称点为（2，y），关于x轴的对称点为（x，﹣7），
∴Q（﹣2，7）．
故答案为：（﹣2，7）．
【点评】本题主要考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握其运算方法是解题的关键．
35．（2026春 静安区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（2，﹣2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为（2，5），则点B的对应点D的坐标为　（1，3）　 ．
【分析】先根据点A与其对应点C的坐标确定平移规律，再将该平移规律应用到点B，即可求出点B的对应点D的坐标．
【解答】解：点A（3，0）平移得到点C（2，5），
∵2﹣3＝﹣1，5﹣0＝5，．
∴点B（2，﹣2）的对应点D的横坐标为2﹣1＝1，纵坐标为﹣2+5＝3，
∴点D的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．
36．（2026春 金山区期中）如图，在平面直角坐标系内，有一点A，将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B．
（1）写出点A，点B的坐标；
（2）如果点C在y轴上，且∠ABC＝∠ACB．求点C的坐标．
【分析】（1）先从坐标系中读出点A的坐标，再根据平移规律“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”求出点B的坐标；
（2）根据∠ABC＝∠ACB，得AB＝AC，设点C的坐标为（0，y），利用两点间距离公式列方程求解．
【解答】解：（1）由图可知，点A的坐标为（3，2），
根据平移规律，点A向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，
则点B的横坐标为：3﹣3＝0，
纵坐标为：2﹣4＝﹣2，
故点B的坐标为（0，﹣2）．
（2）设点C的坐标为（0，y），
由条件可知AB＝AC，
由两点间距离公式，
，
，
∴，
∴9+（2﹣y）2＝25，
∴2﹣y＝±4，
当2﹣y＝4时，y＝﹣2（与点B重合，舍去）；
当2﹣y＝﹣4时，y＝6．
∴点C的坐标为（0，6）．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的平移与等腰三角形的性质，解题的关键是利用点的平移规律求出点B的坐标，再结合等腰三角形“等角对等边”的性质列方程求解点C的坐标．
37．（2026春 宝山区校级月考）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3a﹣13，a﹣3）．
（1）若点P位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标；
（2）若将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点P的坐标．
【分析】（1）根据第二象限坐标的特征列不等式组，即可得出答案；
（2）根据平移法则得新的坐标为（3a﹣13+3，a﹣3+5），根据横纵坐标相等即可得到答案．
【解答】解：（1）∵点P位于第二象限，
∴3a﹣13＜0，a﹣3＞0，
，
∵横、纵坐标都是整数，
∴a＝4，
∴P的坐标为（﹣1，1）；
（2）将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到新的坐标为 （3a﹣13+3，a﹣3+5），
∵（3a﹣13+3，a﹣3+5）横纵坐标相等，
∴3a﹣13+3＝a﹣3+5，
∴a＝6，
∴点P的坐标为（5，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平面直角坐标系中点的坐标，掌握坐标平移的平移法则是本题的解题关键．
38．（2026春 洛阳期中）如图①，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（5，0），将AO向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段BC．连接AB，AC，OC．
（1）点B的坐标为　（2，4）　 ，点C的坐标为　（﹣3，4）　 ；
（2）在x轴上是否存在一点D，使得三角形ABD的面积等于三角形AOC面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若P是直线AB上的一个动点，连接OP，PC，当点P在直线AB上运动时，请直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间的数量关系．
【分析】（1）直接根据平移规律即可解答；
（2）先求出S△AOC＝5、，再根据三角形ABD的面积等于三角形AOC面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可；
（3）点P在线段AB上、AB的延长线、BA的延长线上三种情况，分别作辅助线、构造平行线并运用平行线的性质即可解答．
【解答】解：（1）根据题意可得，点B的横坐标为5﹣3＝2，纵坐标为0+4＝4，即点B的坐标为（2，4）；点C的横坐标为0﹣3＝﹣3，纵坐标为0+4＝4，即点C的坐标为（﹣3，4）．
故答案为：（2，4），（﹣3，4）．
（2）存在．理由如下：
∴．
由条件可知，
∴，
∴．
∴点D的横坐标为或，
∴点D的坐标为或．
（3）①如图①，当点P在线段AB上时，过点P作PQ∥x轴，则PQ∥AO∥BC，
∴∠CPQ＝∠BCP，∠OPQ＝∠AOP．
由条件可知∠CPO＝∠BCP+∠AOP．
②如图②，当点P在AB的延长线上时，过点P作PQ∥x轴，则PQ∥AO∥BC，
∴∠CPQ＝∠BCP，∠OPQ＝∠AOP．
由条件可知∠CPO＝∠AOP﹣∠BCP；
③如图③，当点P在BA的延长线上时，过点P作PQ∥x轴，则PQ∥AO∥BC，
∴∠CPQ＝∠BCP，∠OPQ＝∠AOP．
由条件可知∠CPO＝∠BCP﹣∠AOP．
综上，当点P在线段AB上时，∠CPO＝∠BCP+∠AOP；当点P在AB的延长线上时，∠CPO＝∠AOP﹣∠BCP；当点P在BA的延长线上时，∠CPO＝∠BCP﹣∠AOP．
【点评】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
随堂检测 · 精选练习
1．（2026 碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（6，4），C（7，0）．点P在线段OC上，且∠APB＝45°，则点P的坐标为　　 ．
【分析】将AP绕点P顺时针旋转90°到PF，利用“一线三垂直”模型构造全等三角形求出F（x+3，x﹣1），再由全等判定与性质得到AB＝BF，利用两点之间距离求法列方程求解即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：
，
设点P（x，0），将AP绕点P顺时针旋转90°到PF，连接PB、BF，过点A、F分别向x轴作垂线，垂足为点E、D，如图所示：
则∠PEA＝90°＝∠PDF，PA＝PF，
∵∠FPD+∠APE＝90°＝∠FPD+∠PFD，
∴∠APE＝∠PFD，
在△APE和△PFD中，
，
∴△APE≌△PFD（AAS），
∴DF＝PE＝1﹣x，PD＝AE＝3，
则F（x+3，x﹣1），
∵∠APF＝90°，∠APB＝45°，
∴∠BPF＝45°，
在△APB和△FPB中，
，
∴△APB≌△FPB（SAS），
∴AB＝BF，
则，
∴x2﹣8x+4＝0，
解得或，
∵点P（x，0）在线段OC上，
∴0≤x≤7，
则，即点P的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形性质，正确进行计算是解题关键．
2．（2026春 越秀区校级期中）点P（m，n）在第二象限，且|m|＝3，n2＝16，则点P的坐标为　（﹣3，4）　 ．
【分析】点P（m，n）是第二象限内的点，那么点P的横纵坐标的符号为（﹣，+）；由|m|＝3，n2＝16可得m，n的具体值，找到符合第二象限的点的具体值即可．
【解答】解：∵|m|＝3，n2＝16，
∴m＝±3，n＝±4，
∵点P（m，n）是第二象限内的点，
∴m＜0，n＞0，
∴m＝﹣3，n＝4，
∴点P的坐标是（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】本题考查了点的坐标，理解点的坐标的意义是解题的关键．
3．（2025秋 海淀区校级期末）A（4，5），B（0，b）是平面直角坐标系中的两点，连接AB，当线段AB长度最小时，b的值为 　5　 ，线段AB长为 　4　 ．
【分析】先利用两点的距离公式得到AB，再根据非负数的性质得到（b﹣5）2≥0，从而确定b＝5时，线段AB长度最小，然后求出AB长度的最小值．
【解答】解：∵A（4，5），B（0，b），
∴AB，
∵（b﹣5）2≥0，
∴当b＝5时，线段AB长度最小，最小值为4．
故答案为：5，4．
【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
4．（2026春 重庆期中）将点A（2，0）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标为　（﹣1，4）　 ．
【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．
【解答】解：由题知，
将点A（2，0）向左平移3个单位长度后，所得点的坐标为（﹣1，0），
再向上平移4个单位长度得到点B的坐标为（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
5．（2026春 滨海新区期中）如果将点P（a﹣1，b﹣2）向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，恰好落在原点处，那么a+b＝　1　 ．
【分析】利用平移变换的规律得到点P平移后的坐标，根据平移后恰好落在原点上，求出a和b，再代入a+b计算．
【解答】解：根据平移变换的规律得到点P平移后的坐标为：
点P（a﹣1，b﹣2）向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到（a﹣1﹣2，b﹣2+4），即（a﹣3，b+2），
又∵平移后恰好落在原点上，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3+（﹣2）＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换—平移，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2026春 乌鲁木齐期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，﹣5），将线段AB向右平移3个单位得到线段CD，交y轴于点E，若图中阴影部分面积是10，则点E的坐标为　　 ．
【分析】过点D作DF⊥x轴，根据平移可得S△AOB＝S△CDF，进而得到梯形OFDE的面积等于阴影部分的面积，利用面积公式求出EO的长，即可得出结果．
【解答】解：过点D作DF⊥x轴，
∵线段AB向右平移3个单位得到线段CD，B（0，﹣5），
∴AC＝3，AB＝CD，D（3，﹣5），
∴OB＝DF＝5，
∵S△AOB＝S△CDF，AO＝CF，
∴OA﹣OC＝CF﹣OC，S△AOB﹣S△COE＝S△CDF﹣S△COE，
∴梯形OFDE的面积等于阴影部分的面积，OF＝AC＝3，
∴，
∴；
∴点E的坐标为，
故答案为：，
【点评】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：点到 x 轴的距离（纵坐标绝对值）。
作业2：根据两个已知坐标确定网格坐标系，求第三点坐标。
作业3：平移变换中对应点坐标关系（整体平移，坐标差为常数）。
作业4：AB ∥ y 轴 横坐标相等，求线段长度。
作业5：PQ ∥ x 轴 纵坐标相等，且 P、Q 在 y 轴两侧，分类求坐标。
作业6：中转站到 A、B 距离相等即线段 AB 的中点（中点坐标公式）。
作业7：点 P(m,1)，OP 最小值（垂线段最短），三角形 ABP 面积与 m 无关（底边固定，高为定值）。
作业8：角相等条件转化为几何关系（角平分线或等腰三角形），结合坐标求点 E。
作业9：线段 CD 在 x 轴上滑动，求 AC+BD 的最小值（平移构造将军饮马）。
作业10：点到 y 轴距离 = |x|，平行于 x 轴 纵坐标相等。
作业11：新定义“关联”（线性方程），通过解方程组求坐标。
作业12：新定义“n 阶拟合点”（曼哈顿距离范围），解不等式组。
作业13：新定义“完美点”满足 ，根据定义求解参数。
作业14：新定义“a 级跟随点” ，根据坐标变换列方程求 a 或点坐标。
复习建议 平面直角坐标系是数形结合的重要载体，复习中要强化坐标与几何量的转化，熟练掌握距离公式、中点公式、平移对称规律；对于新定义问题，要耐心阅读、严格套用定义。课后巩固中的最短路径、等腰三角形存在性、新定义题型是高频考点，需独立演算。
【作业1】（2026春 南关区期中）点P（﹣1，﹣3）到x轴的距离为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣1，﹣3），
∴点P（﹣1，﹣3）到x轴的距离是|﹣3|，
∵|﹣3|＝3，
即点P（﹣1，﹣3）到x轴的距离是3．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
【作业2】（2026春 通州区期中）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，使“少”的坐标为（﹣1，﹣2），“年”的坐标为（1，﹣1），则“强”的坐标为（　　）
A．（1，1） B．（2，1） C．（3，2） D．（4，3）
【分析】根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可．
【解答】解：根据已知点的坐标建立直角坐标系如下：
∴“强”的坐标为（2，1），
故选：B．
【点评】本题考查平面直角坐标系，熟练掌握该知识点是关键．
【作业3】（2026春 通州区期中）在平面直角坐标系中，已知A（a，b），B（b，c），将线段AB平移得到线段CD，其中点A的对应点为点C．若C（a﹣1，n），D（m，c+3），则m﹣n的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为A（a，b），B（b，c）且平移后对应点的坐标分别为C（a﹣1，n），D（m，c+3），
则a﹣1﹣a＝m﹣b，n﹣b＝c+3﹣c，
所以m＝b﹣1，n＝b+3，
则m﹣n＝b﹣1﹣（b+3）＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
【作业4】（2026春 南通期中）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，6），B（m﹣2，m+1），若线段AB平行于y轴，则线段AB的长度等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据平行于y轴的直线上点的坐标特征进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为点A（﹣1，6），B（m﹣2，m+1）且线段AB平行于y轴，
所以m﹣2＝﹣1，
解得m＝1，
则m+1＝2，
所以点B坐标为（﹣1，2），
则AB＝6﹣2＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
【作业5】（2026春 朝阳区校级期中）在平面直角坐标系中，P（﹣3，2）、Q两点分别在y轴两侧，且PQ∥x轴，若PQ＝6，则点Q的坐标为　（3，2）　 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为点P坐标为（﹣3，2）且PQ∥x轴，
所以点Q的纵坐标为2．
因为PQ＝6，
则﹣3﹣6＝﹣9，﹣3+6＝3．
又因为P，Q两点在y轴两侧，
所以点Q的横坐标为3，
所以点Q的坐标为（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
【作业6】（2025 肇庆一模）DeepSeek公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：A（2，3）表示起点，B（8，7）表示终点．如果DeepSeek软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，要使中转站距离最短，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为　（5，5）　 ．
【分析】设中转站的坐标为（x，y），根据中点坐标公式进行求解即可．
【解答】解：A（2，3）表示起点，B（8，7）表示终点．设中转站的坐标为（x，y），
∵中转站距离最短，中转站到点A和点B的距离相等，
∴中转站为AB的中点，
∴，
∴中转站的坐标为（5，5），
故答案为：（5，5）．
【点评】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
【作业7】（2025春 大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，1），其中m为实数，给出下列三个结论：
①线段OP长度的最小值是1；
②若线段，则m＝1；
③若A（3，5），B（﹣2，5），则三角形ABP的面积是定值．
上述结论中，所有正确结论的序号是 　①③　 ．
【分析】利用两点间的距离公式表示出OP，则根据非负数的性质得到当m＝0时，OP有最小值1，从而可对①进行判断；由解得m＝1或m＝﹣1，则可对②进行判断；根据点A、B的坐标得到AB平行x轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，而P点为直线y＝1上任意一点，则根据三角形面积公式计算出三角形ABP的面积＝10，于是可对③进行判断．
【解答】解：∵OP，
∴当m＝0时，OP的值最小，最小值为1，所以①正确；
当OP时，，
解得m＝1或m＝﹣1，所以②错误；
∵A（3，5），B（﹣2，5），
∴AB平行x轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，
∵P（m，1），
∴P点为直线y＝1上任意一点，
∴三角形ABP的面积5×（5﹣1）＝10，所以③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
【作业8】（2026 郸城县模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠DEC，则点E的坐标为 　（1，0）或（4，0）　 ．
【分析】①过D作DT⊥AC 于T，得到正方形，利用正方形的性质可得结论，
②过D作DH⊥EC 于H，利用角平分线的性质与勾股定理可得答案．
【解答】解：①如图，过D作DT⊥AC于T，
∵A （4，0），B （﹣2，0），C （4，4），D （﹣2，6），
∴∠DBA＝∠BAT＝∠ATD＝90°，
BD＝BA＝6，
∴四边形ABDT是正方形，
连接AD，则∠BAD＝∠TAD＝45°，
∴E，A重合时，有∠BED＝∠DEC，
∴E点的坐标为 （4，0）．
②如图，过D作DH⊥EC 于H，
∵∠BED＝∠DEC，DB⊥BE，
∴DB＝DH＝6，
∵C （4，4），D （﹣2，6），
∴CD，
CH，
由三角形内角和定理可得：∠BDE＝∠HDE，
∵DB⊥BE，DH⊥EH，
∴BE＝HE
设BE＝x，
则HE＝x，CE＝x+2，AE＝6﹣x，
∵CA⊥EA，CA＝4，
∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，
解得，x＝3，
∴BE＝3，
∴E点的坐标为（1，0）；
综上，E点的坐标为（1，0）或（4，0）．
故答案为：（1，0）或（4，0）．
【点评】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特点，勾股定理得到计算，掌握相关知识点是解题的关键．
【作业9】（2026 乌鲁木齐一模）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　2　 ．
【分析】将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，﹣2），进而得出AC+BD的最小值为A'E，即可求解答案．
【解答】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．
则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，
EA′2，
∴AC+BD的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'E是解本题的关键．
【作业10】（2026春 普陀区校级同步）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）．
（1）当点P到y轴的距离为4时，求出点P的坐标；
（2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣5），求出点P的坐标．
【分析】（1）根据点P到y轴的距离为4，得到|2m﹣4|＝4，解方程求出m的值即可；
（2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可．
【解答】解：（1）由题意得|2m﹣4|＝4，
解得：m1＝0，m2＝4，
∴3m+1＝1，3m+1＝13，
∴点P的坐标为（﹣4，1）或（4，13）；
（2）由条件可知3m+1＝﹣5，
∴m＝﹣2，
则2m﹣4＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，
∴点P的坐标为（﹣8，﹣5）．
【点评】本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
【作业11】（2025春 嘉定区校级期末）现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”．
例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）．
（1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有　①④　 ；
①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）．
（2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q；
（3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）．
【分析】（1）根据“关联”定义逐项进行判断即可；
（2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可；
（3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出a，b，c的关系，进而可求出m，n的值．
【解答】解：（1）①2×1+1×1＝3，
∴（1，1）被（2，1，3）“关联”；
②2×（﹣4）+1×6＝﹣2≠3
∴（﹣4，6）未被（2，1，3）“关联”；
③2×（﹣1）+1×3＝1≠3
∴（﹣1，3）未被（2，1，3）“关联”；
④2×5+1×（﹣7）＝3
∴（5，﹣7）被（2，1，3）“关联”；
故答案为：①④；
（2）由条件可得：
，
解得；
（3）由条件可得：
，
②﹣①得a+b＝0，即b＝﹣a，
将b＝﹣a代入①得c＝﹣a，
将b＝﹣a和c＝﹣a代入③得，
m﹣n＝﹣1，
由条件可知2027m﹣2026n＝﹣1，
2027（m﹣n）+n＝﹣1，
∴m﹣2026＝﹣1，
解得m＝2025，
∴数对（m，n）为（2025，2026）．
【点评】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式．
【作业12】（2026春 黔江区期中）在平面直角坐标系中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），若满足n≤|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＜n+1（n为自然数），我们称A为B的n阶拟合点．特别地，若|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝0，我们称A为B的完美拟合点．请回答下列问题：
（1）请判断点（3，7）是否为点（4，2）的5阶拟合点，并说明理由；
（2）点（3a+4，5a﹣2）为点（4b﹣3，2b﹣9）的完美拟合点，请求出a+b的值；
（3）点（2x，x+4）为点（2，2﹣x）的6阶拟合点，请求出x的取值范围．
【分析】（1）根据新定义进行判断，即可求解；
（2）根据新定义得出|3 a﹣4 b+7|+|5 a﹣2 b+7|＝0，根据非负数的性质列出方程组，进而求得a+b的值；
（3）根据新定义可得，进而解不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）点（3，7）不是点（4，2）的5阶拟合点，理由如下：
∵|3﹣4|+|7﹣2|＝6且6≤6＜7，
∴点（3，7）不是点（4，2）的5阶拟合点．
（2）由条件可知|（3a+4）﹣（4b﹣3）|+|（5a﹣2）﹣（2b﹣9）|＝0，
整理得|3 a﹣4 b+7|+|5 a﹣2 b+7|＝0，
∵|3a﹣4b+7|≥0，|5a﹣2b+7|≥0，
∴，
∴②﹣①得2a+2b＝0，
∴a+b＝0；
（3）由条件可知6≤|2x﹣2|+|（x+4）﹣（2﹣x）|＜7，
即，
当x≤﹣1时，，解得：；
当﹣1＜x＜1时，，无解；
当x≥1时，，解得：；
综上所述，或．
【点评】本题考查了新定义、点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键．
【作业13】（2026春 长沙期中）定义：若点（a，b）满足a﹣b（a≥b≥0），则称这个点（a，b）为“完美点”．例如，9﹣4，故点（9，4）是“完美点”．
（1）点A（0，0），B（4，1），C（16，4）中，不是“完美点”的是C（16，4）　 ；
（2）若点C（4，x2）是“完美点”，求x的值；
（3）若点M（2m，m）是“完美点”，求出m3﹣4m2﹣11m+2028的值．
【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可；
（2）根据点C（4，x2）是“完美点”，得出2+|x|＝4﹣x2，即2+|x|＝（2+x）（2﹣x），当x≥0时，当x＜0时，分别求解即可；
（3）根据点M（2m，m）是“完美点”，得出，即，分当m＝0时，当m＞0时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵，故点A（0，0）是“完美点”；
∵，故点B（4，1）是“完美点”；
∵，故点C（16，4）不是“完美点”；
故答案为：C（16，4）；
（2）由条件可知2+|x|＝4﹣x2，
∴2+|x|＝（2+x）（2﹣x），
当x≥0时，则2+x＝（2+x）（2﹣x），解得x＝1或x＝﹣2（舍去），
当x＜0时，则2﹣x＝（2+x）（2﹣x），解得x＝﹣1或x＝2（舍去），
∴x＝±1．
（3）由条件可知，即，
∴，
当m＝0时，恒成立，则m3﹣4m2﹣11m+2028＝2028；
当m＞0时，，则，
∴，
∴原式＝2m2﹣12m+2028
＝2（m2﹣6m）+2028
＝﹣2+2028
＝2026．
综上，原式的值为2026或2028．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握该知识点是关键．
【作业14】（2026春 五华区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（x+ay，ax+y），则称点Q是点P的“a级跟随点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，3）的“2级跟随点”为点Q（1+2×3，2×1+3），即点Q的坐标为（7，5）．
（1）若点P的坐标为（﹣3，5），则它的“3级跟随点”的坐标为　（1，2）　 ；
（2）若点P的“﹣2级跟随点”的坐标为（﹣3，0），求P点的坐标；
（3）若点P在y轴正半轴上，点P的“a级跟随点”为P1点，且线段PP1的长度为线段OP长度的2倍，求a的值．
【分析】（1）根据新定义进行求解即可；
（2）设点P的坐标为（x，y），根据新定义，列出方程组进行求解即可；
（3）设点P的坐标为（0，m），根据新定义求出P1的坐标，再根据线段PP1的长度为线段OP长度的2倍，列出方程进行求解．
【解答】解：（1）由题意，点P的“3级跟随点”的坐标为（﹣3+3×5，3×（﹣3）+5），即（12，﹣4）；
（2）设点P的坐标为（x，y），则由题意，得
，
解得，
∴P（1，2），
故答案为：（1，2）；
（3）设点P的坐标为（0，m），则OP＝|m|，
由题意，P1（0+ma，a 0+m），即P1（ma，m）
∴PP1＝|ma|，
由题意，|ma|＝2|m|，
∴若点P在y轴正半轴上，点P的“a级跟随点”为P1点，且线段PP1的长度为线段OP长度的2倍，则a＝±2．
【点评】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
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