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【期末冲刺】第25章 一次函数章节复习 优等生讲义
(新考题直达)2026年沪教版数学八年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 函数的概念，能判断两个变量之间是否存在函数关系，会求函数的定义域。
掌握 正比例函数的图象与性质（过原点、 的符号决定增减性和象限）。
熟练运用 一次函数的图象与性质（ 的几何意义），能根据图象解不等式、求交点坐标。
能够建立 一次函数模型解决实际问题（行程、费用、最值等）。
体会 数形结合、分类讨论思想在函数综合题中的应用。
核心：函数定义与自变量的取值范围 · 正比例与一次函数图象性质 · 待定系数法 · 实际应用建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 变量与函数
函数定义：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么 是 的函数， 是自变量。
函数关系的判断：一个 对应唯一的 ；常见非函数关系：人的身高与体重（一个体重可能对应多个身高）。
函数的表示法：解析式法、列表法、图象法。
自变量的取值范围（定义域）：
整式：全体实数。
分式：分母 。
二次根式：被开方数 。
实际问题：还需考虑实际意义。
函数图象的识读：横轴、纵轴的含义；图象的上升/下降代表函数值的增减。
☆ 正比例函数
定义：（ 是常数，），图象是过原点的直线。
性质：
：图象经过第一、三象限， 随 的增大而增大。
：图象经过第二、四象限， 随 的增大而减小。
越大，直线越陡。
待定系数法：已知一组 的值（图象上一个点）可求 。
☆ 一次函数及其性质
定义：（），图象是一条直线。
系数意义：
（斜率）：决定直线的倾斜方向和陡峭程度。
（截距）：直线与 轴交点的纵坐标，即 。
图象性质：
： 随 增大而增大；： 随 增大而减小。
：交 轴正半轴；：交 轴负半轴。
一次函数与方程、不等式：
方程 的解 直线与 轴交点的横坐标。
不等式 的解集 直线在 轴上方部分对应的 范围。
两个一次函数图象的交点坐标 对应二元一次方程组的解。
图象的平移： 向左/右平移 个单位：；向上/下平移 个单位：。
☆ 一次函数的应用
常见模型：行程问题（速度、时间、路程）、费用问题（阶梯水费、电费）、利润问题、最值问题。
解题步骤：
分析题意，确定自变量和因变量。
根据已知数据或图象求出函数解析式。
代入已知值求解，或根据自变量的范围求最值。
检验结果是否符合实际意义。
分段函数：不同自变量范围对应不同的解析式，需注意端点处理。
☆ 知识总结表
类别 核心内容 常用公式/结论
函数定义 唯一确定 判断：一个 对应一个
定义域 分母≠0，被开方数≥0 实际问题还要考虑整数、正数等
正比例函数 过原点； 增， 减
一次函数 是 截距； 决定增减性
图象交点 解方程组 交点坐标即方程组的解
不等式解集 图象法 看直线在 轴上方/下方部分
平移 左加右减，上加下减
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】变量与函数（对应第1-9题）
※ 方法总结
判断函数关系：每个自变量 对应唯一的 。注意“身高与体重”等反例。
求函数定义域：分式分母 ，二次根式被开方数 ，两者结合时要取交集。
实际问题中，还要根据具体情境确定范围（如时间、路程非负）。
识读函数图象：注意横纵坐标的含义；图象上升表示 随 增大而增大；平行于 轴的线段表示 不变（如休息、停留）。
分段函数：根据图象转折点分段求解析式。
1．（2026春 闵行区期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（　　）
A．圆的面积和半径的关系
B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系
D．某人的身高和体重的关系
【分析】根据函数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．圆的面积随着半径的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意；
B．x+2随着x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意；
C．匀速运动的火车，路程随着时间的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意；
D．某人的体重可能会对应两种身高，不是函数关系，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2026 静安区）函数的定义域是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x≠1 D．x≠2
【分析】根据分式的性质，分母不能为0，据此计算得到x的取值范围即可选出正确答案．
【解答】解：∵分式的分母不能为0，
∴x﹣2≠0，
解得 x≠2，
因此函数的定义域为 x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025春 徐汇区期末）台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径x（km）为横轴，风速y（m/s）为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图象，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为150km时，地面风速衰减至37.7m/s，此时150km为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（　　）
A．越靠近台风中心位置，风速越大
B．距台风中心150km处，风速达到最大值
C．10级风圈半径约为280km
D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减
【分析】根据题目建立的函数模型，结合所给的函数图象，可以分析出风速随台风半径的变化情况，进而解决问题．
【解答】解：A．根据图象可知，在图象的前段部分，风速随台风半径的增大而增大，则越靠近台风中心位置，风速越小，故A选项不符合题意；
B．根据图象可知，台风半径小于100km时，风速已达到最大值，故B选项不符合题意；
C．根据图象可知，10级风圈的台风半径为200km，风速为24.5m/s，故C选项不符合题意；
D．根据图象可知，风速先是随台风半径的增大而增大，风速达到最大之后，又随台风半径的增大而减小，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，利用数形结合的方法是解答本题的关键．
4．（2026春 闵行区校级月考）函数的自变量x的取值范围为x≠﹣1　 ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为零．据此列出不等式求解即可．
【解答】解：函数的自变量x的取值范围：
x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
【点评】本题考查函数的自变量的取值范围，正确进行计算是解题关键．
5．（2026春 浦东新区校级月考）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为　时间　 ．（填“冰的厚度”或“时间”）
【分析】根据自变量和因变量的意义，即可解答．
【解答】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是时间，
故答案为：时间．
【点评】本题考查了常量与变量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
6．（2025 虹口区三模）函数中自变量x的取值范围是x＞1　 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．（2026春 两江新区校级期中）小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如图所示．
（1）小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？
（2）小明骑自行车下坡用时多少分钟？
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”分别求出平路的速度和上坡的速度即可解答即可；
（2）先求出总时间，再乘下坡所占比例即可．
【解答】解：（1）平路的速度为：165（米/分），
上坡的速度为80（米/分），
165﹣80＝85（米），
答：平路每分钟比上坡每分钟多行85米；
（2）8÷40%×35%＝7（分钟），
答：小明骑自行车下坡用时7分钟．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
8．（2026春 思明区校级期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是x≠1　 ；
（2）下表是y与x的几组对应数值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 n 2 3 4 …
y … m 0 ﹣1 ﹣3 5 2 …
①表格中的m＝　　 ；n＝　　 ；
②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质．
【分析】（1）由分式的分母不为0可得出答案；
（2）①将x＝﹣1，y＝5代入解析式即可求值；
②连点成线，画出函数图象；
（3）观察图象可得．
【解答】解：（1）由分式的分母不为0得：x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1；
（2）①当x＝﹣1时，，
∴；
当y＝5时，，
解得：，
∴；
故答案为：，；
②图象如下：
（3）当x＞1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，函数图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9．（2026春 莱芜区期中）张丽上午8点骑自行车外出游玩，如图是她离家的距离s（km）与时间t（h）之间的图象．根据图象回答问题：
（1）张丽在途中休息了多久？休息时离家多远？
（2）她几点到达目的地？在目的地停留了多久？目的地离家多远？
（3）她几点开始返回？几点到家？返回的平均速度是多少？
【分析】（1）9：30﹣10：00休息了30分钟，即可求解；
（2）11：00到达目的地，逗留了1个小时，即可求解；
（3）12：00开始返回，14：00到家，路程除以时间即为平均速度，即可求解．
【解答】解：（1）由图象知：9：30﹣10：00张丽在休息，休息了30分钟，这时离家18千米；
（2）由图象知：11：00到达目的地，逗留1个小时，目的地离家36千米，
（3）由图象知：12：00开始返回，14：00到家，
速度为36÷（14﹣12）＝18千米/小时，
即返回的平均速度为每小时18千米．
【点评】本题考查了函数的定义，观察函数图象的能力，读懂图意，根据图象获取信息，利用速度等于路程除以时间进行求解是解题关键．
【考点2】正比例函数（对应第10-20题）
※ 方法总结
正比例函数 必须满足 ，且图象过原点。
根据 的符号判断象限和增减性： 一、三象限， 随 增大而增大； 二、四象限， 随 增大而减小。
比较 的大小：同一坐标系中，直线越陡， 越大。对于 ，越陡的 越大；对于 ，越陡的 越小（负得越多）。
待定系数法：已知一个点坐标（非原点）代入 即可求 。
正比例函数常用于表示成正比例关系的实际问题（如弹簧伸长、速度恒定时的路程）。
10．（2026春 闵行区期中）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝﹣3x B．y＝2﹣x C． D．y＝kx
【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx（其中k为常数，且k≠0）的函数是x的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案．
【解答】解：A、y＝﹣3x是正比例函数，符合题意；
B、y＝2﹣x是一次函数，不是正比例函数，不符合题意；
C、是反比例函数，不符合题意；
D、y＝kx中未说明k≠0，当k＝0时不是正比例函数，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解题的关键．
11．（2026 灞桥区校级模拟）若正比例函数y＝（﹣1﹣a）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1
【分析】由“当x1＞x2时，y1＜y2”（即y随x的增大而减小），利用正比例函数的性质，可得出﹣1﹣a＜0，解之即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵正比例函数y＝（﹣1﹣a）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，
即y随x的增大而减小，
∴﹣1﹣a＜0，
解得：a＞﹣1，
∴a的取值范围是a＞﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0 时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
12．（2026春 昌平区校级期中）下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　）
A．圆的周长C随着半径r的变化而变化
B．正方形的面积S随着边长a的变化而变化
C．面积为10的三角形的一边a，随着这边上的高h的变化而变化
D．书的总页数一定，未读的页数随着已读的页数的变化而变化
【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．C＝4r，是正比例函数，故本选项符合题意；
B．S＝a2，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．a，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．未读的页数＝书的总页数﹣已读的页数，不是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
13．（2026 松山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C、D都在第一象限内，A、B都在x轴上，直线OD的解析式为y＝2x，直线OC的解析式为yx．若S矩形ABCD＝12，设点A的横坐标为a，则a＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
【分析】设点A的横坐标为a，则纵坐标为2a，点B的纵坐标为2a，点B的横坐标为4a，根据矩形ABCD的面积为12，可得3a 2a＝12，即可求出答案．
【解答】解：设点A的横坐标为a，则纵坐标为2a，
∴点B的纵坐标为2a，
∴点B的横坐标为4a，
∵AB＝4a﹣a＝3a，BC＝2a，
∴3a 2a＝12，
∵a＞0，
∴a．
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质和矩形的性质，关键是表示出点A和点B的横坐标与纵坐标．
14．（2025秋 闻喜县期末）四个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k1＞k2＞k4＞k3
C．k2＞k1＞k3＞k4 D．k2＞k1＞k4＞k3
【分析】先看象限：y＝k2x、y＝k1x过一、三象限，故k2＞0、k1＞0，y＝k3x、y＝k4x过二、四象限，故k3＜0、k4＜0，再看陡峭程度，y＝k2x比y＝k1x陡，所以k2＞k1，y＝k4x比y＝k3x平缓，所以k4＞k3，综上，即可判断．
【解答】解：根据正比例函数的图象性质：
由图象经过的象限，得k2＞0，k1＞0，k3＜0，k4＜0，
由直线的陡峭程度，得k2＞k1，k4＞k3，
∴综合得k2＞k1＞k4＞k3，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数 y＝kx的图象与系数 k 的关系．熟练掌握“k 的正负决定图象所在象限，|k|的大小决定图象的陡峭程度”是解题的关键．
15．（2026 金山区二模）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，那么y的值随着x的值增大而　增大　 （填“增大”或“减小”）．
【分析】根据正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，可知k＞0，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．
16．（2026春 闵行区期中）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，则y的值随x的值的增大而　增大　 ．（“增大”或“减小”）
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，那么y的值随x的值增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k＞0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．
17．（2026春 西城区校级期中）我们把弹簧所受的拉力F与伸长量ΔL的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是　甲　 ．
【分析】将图中甲、乙、丙、丁四个点与原点连接，根据题意，设F＝kΔL，则拉力F是关于伸长量ΔL的正比例函数，根据正比例函数的性质求解即可．
【解答】解：如图，作出辅助线，
根据题意设F＝kΔL，
则拉力F是关于伸长量ΔL的正比例函数，
由图象可知在第一象限内，图象越陡，k越大，最大的是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
18．（2026春 闵行区期中）已知y与x成正比例，且当x＝﹣1时，．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求当时x的值．
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx，将当x＝﹣1时，，代入解析式求解，即可解题；
（2）将代入（1）中解析式求解，即可解题．
【解答】解：（1）∵y与x成正比例，
∴设y关于x的函数解析式为y＝kx，
∵当x＝﹣1时，，
∴，
解得，
∴y关于x的函数解析式为；
（2）∵，
∴，
解得．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解题的关键．
19．（2026春 台江区校级期中）函数y1＝|x|与函数在同一平面直角坐标系中．
（1）请画出的图象；
（2）根据图象回答问题：当y1＞y2时，x的取值范围．
【分析】（1）根据列表、描点画出函数图象即可；
（2）根据函数的图象判断即可．
【解答】解：（1）
X1 ﹣2 ﹣1 0 1 2
Y1 2 1 0 1 2
X2 ﹣2 ﹣1 0 1 2
Y2 2 1 0
如图；
（2）令y1＞y2，即|x|x+1，
解得x＝﹣2或x，
结合图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣2或x．
【点评】本题考查一次函数的图象，解题的关键是根据相关知识点画图．
20．（2025秋 嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l是函数y＝2x的图象，点A（﹣1，m）在第二象限．
（1）若点A关于y轴的对称点B恰好在直线l上，求m的值．
（2）在（1）的条件下，若点A向下平移n（n＞0）个单位后落在直线l上，求n的值．
【分析】（1）先求出A（﹣1，m）关于y轴的对称点B的坐标，代入解析式即可求出m的值；
（2）点A（﹣1，2）向下平移n个单位得到A1（﹣1，2﹣n），代入解析式，即可求出n的值．
【解答】解：（1）由条件可知点B的坐标为（1，m），
∵点B在直线y＝2x上，
∴m＝2，
（2）点A（﹣1，2）向下平移n个单位得到A1（﹣1，2﹣n），
∴2﹣n＝﹣2，
∴n＝4．
故n的值为4．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及点的轴对称和平移，熟练掌握点坐标的轴对称特性，坐标平移特性是解题的关键．
【考点3】一次函数及其性质（对应第21-34题）
※ 方法总结
一次函数 的图象是一条直线。 决定方向， 决定与 轴交点。
图象交点：联立两个函数解析式解方程组，交点坐标即为方程组的解。
解不等式 （或 ）：观察直线在 轴上方（或下方）部分的 范围。
解不等式 ：看直线 在 上方部分的 范围。
的几何意义： 越大，直线越陡。当两直线平行时 相等。
与方程（组）的关系： 的解 图象与 轴交点的横坐标；方程组 的解 两图象交点坐标。
21．（2026春 杨浦区校级月考）当k变化时，两条直线l1：y＝kx﹣k和l2：y＝kx+1的最大距离为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】当两个不同的一次函数的解析式的k相同的时候，这两条直线在坐标系中的图象是平行的，解题要运用数形结合的思想，通过画图来求解．先观察两个一次函数的解析式发现，这两个图象分别经过一个定点，直线l1：y＝kx﹣k经过定点（1，0），l2：y＝kx+1经过定点（0，1），然后可将大致图象在坐标系中画出，来观察两直线的最大距离即平行线间的距离，即可得出结果．
【解答】解：如图所示，图象大致如下：
这两条直线图象可分别绕着A点、B点旋转，可知当k＝0时，两直线之间的距离最短为OB的长度为1，此时l1与x轴重合，l2与x轴平行．
故最大距离为：．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
22．（2026春 杨浦区校级月考）一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x﹣b分别与y轴交于点A、B，交点为（2，﹣1），在同一坐标系中图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．b＜0 B．点A、B关于x轴对称
C．k1＜0＜k2 D．当x＞2时，y1＞y2
【分析】根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可．
【解答】解：一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x﹣b分别与y轴交于点A、B，交点为（2，﹣1），在同一坐标系中图象如图所示，则：
A．由一次函数y1＝k1x+b与y轴的交点在y轴的负半轴，即b＜0，故A选项正确，不符合题意；
B．由题意可得A（0，b），B（0，﹣b），即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意；
C．由一次函数y1＝k1x+b，y随x增大而增大，即k1＞0；由一次函数y2＝k2x﹣b，y随x增大而减小，即k2＜0；则k2＜0＜k1，故C选项错误，符合题意；
D．由函数图象可得：当x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在y2＝k2x﹣b上方，即y1＞y2，故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
23．（2025春 上海校级期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C． D．
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围可得：
∵当x＜2时，y＜0，即ax+b＜0，
∴由图象可知，关于x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确记忆从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝ax+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合是解题关键．
24．（2025春 上海校级月考）如果方程组无解，那么直线y＝（﹣2k+1）x﹣2不经过（　　）
A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．第二象限
【分析】将方程组看成两条直线的解析式，即可得到k的值，代入k值求出直线解析式即可得到直线所经过的象限和不过的象限．
【解答】解：∵方程组无解，
∴直线y＝3x+2与直线y＝（k+1）x﹣5平行，
∴k+1＝3，
解得k＝2．
当k＝2时，直线y＝（﹣2k+1）x﹣2为y＝﹣3x﹣2，
∴直线y＝﹣3x﹣2经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故A正确．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程、一次函数性质，熟练掌握两直线平行时k值相等是关键．
25．（2026春 闵行区校级月考）如图所示，直线y＝ax+b与直线y＝cx+d交点的横坐标是4，那么不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4　 ．
【分析】先将不等式整理为ax+b≥cx+d，再根据直线y＝ax+b在直线y＝cx+d上方部分确定自变量取值范围即可．
【解答】解：∵ax﹣d≥cx﹣b，
∴ax+b≥cx+d．
当x＝4时，ax+b＝cx+d，
∴当x≥4时，ax+b≥cx+d，
所以不等式的解集是x≥4，
即不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4．
故答案为：x≥4．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键．
26．（2026 西湖区一模）已知一次函数y＝﹣3x+2与y＝kx+6（k是常数，k≠0）的图象的交点横坐标是﹣1，则关于x，y的二元一次方程组的解是　　 ．
【分析】根据题意，把x＝﹣1代入得到交点坐标，由此即可求解．
【解答】解：由题意，当x＝﹣1时，y＝﹣3x+2＝﹣3×（﹣1）+2＝5，
∴交点坐标为（﹣1，5），
∴关于x、y的二元一次方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数交点解二元一次方程组，掌握交点的含义是解题的关键．
27．（2026春 永春县期中）如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是　　 ．
【分析】先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题．
【解答】解：将y＝4代入y＝x+2得，x＝2，
所以点P的坐标为（2，4）．
又因为直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P，
所以关于x，y的二元一次方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组），熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．
28．（2026春 罗湖区校级期中）如图，直线和直线相交于点（2，2），当时，x的取值范围x＞2　 ．
【分析】结合图象，写出y1不在直线y2下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察图象，当时，x的取值范围为x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法．
29．（2026春 昌平区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1x+b1，y＝k2x+b2，y＝k3x+b3，y＝k4x+b4的图象分别为l1，l2，l3，l4，请将k1，k2，k3，k4从小到大排列，并用“＜”连接：k4＜k2＜k1＜k3 ．
【分析】根据函数图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：在同一平面直角坐标系中，如图所示，一次函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3 x，y＝k4x的图象分别为l1，l2，l3，l4，
当直线从左到右下降时，k＜0（负斜率），图中l2，l4属于此类，当直线从左到右上升时，k＞0（正斜率），图中l1，l3属于此类，
因此，k2，k4为负数，必然小于正数k1，k3；
对于负数：直线越陡，|k|越大，对应的k值越小，
图中l4比l2更陡，
所以|k4|＞|k2|，
因此k4＜k2，
对于正数：直线越陡，k值越大，
图中l3比l1更陡，
所以k3＞k1，
则k1，k2，k3，k4的大小关系是k4＜k2＜k1＜k3．
故答案为：k4＜k2＜k1＜k3．
【点评】本题考查了一次比例函数的性质及图象，熟练掌握图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
30．（2026春 闵行区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于点A、C，与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点P，点P的横坐标为3，PB⊥x轴，B为垂足，AB＝2PB．
（1）求点P的坐标；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式．
【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案；
（2）结合点P的坐标可得PB＝4，OB＝3，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可．
【解答】解：（1）∵点P的横坐标为3，
∴y＝﹣3+7＝4，
∴点P（3，4）；
（2）由条件可知PB＝4，OB＝3．
∵AB＝2PB，
∴AB＝8，
∴AO＝AB﹣OB＝5，
∴点A（﹣5，0）．
∵一次函数y＝kx+b经过点P（3，4），A（﹣5，0），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．
31．（2026春 金凤区校级期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1　 ，关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＞2　 ．
（2）若点C坐标为（1，3），关于x的不等式0≤k1x+b1＜kx+b的解集是　﹣1≤x＜1　 ．
（3）在（2）的条件下，求四边形OBCD的面积．
【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y＝0时，对应x的值，进而得出答案；
（2）利用图象即可求解；
（3）利用待定系数法求得直线AC的解析式，进而求得D的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），
∴关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1，关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2，
故答案为：x＝﹣1，x＞2；
（2）由图象可知，关于x的不等式0≤k1x+b1＜kx+b的解集是﹣1≤x＜1．
故答案为：﹣1≤x＜1；
（3）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（1，3），
∴OA＝1，AB＝3，
把A（﹣1，0），C（1，3）代入y＝k1x+b1，得，
解得，
∴直线AC为yx，
当x＝0时，y，
∴D（0，），
∴四边形OBCD的面积＝S△ABC﹣S△AOD．
【点评】此题主要考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键．
32．（2026春 临淄区期中）一次函数y1＝kx+b和的图象如图所示，且A（﹣3，0），B（4，0）．
（1）关于x的方程kx+b＝0的解为x＝　4　 ；关于x的不等式的解集为x＞﹣3　 ；
（2）若不等式的解集是x＜﹣1，求点C的坐标．
【分析】（1）根据观察函数图象，即可求解；
（2）先求出，再由不等式的解集是x＜﹣1，可得点C的横坐标为﹣1，即可求解．
【解答】解：（1）∵B（4，0）在一次函数y1＝kx+b图象上，
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝4；
∵A（﹣3，0），
∴当x＞﹣3时，，
∴不等式的解集为x＞﹣3；
故答案为：4；x＞﹣3；
（2）把点A（﹣3，0）代入，得：
，解得，
∴，
∵不等式的解集是x＜﹣1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∴当x＝﹣1时，，
∴点C的坐标为（﹣1，5）．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
33．（2026春 东城区校级期中）在函数学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程：
（1）列表：
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 8 …
y … 5 2 ﹣1 ﹣4 ﹣1 n 5 …
直接写出m，n的值，m＝　4　 ，n＝　2　 ．
（2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象．
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为x≤﹣2或x≥4　 ．
【分析】（1）把x＝0，y＝﹣1时代入已知函数解析式中可得m的值，将（6，n）代入解析式中可得n的值；
（2）描点补全图象即可；
（3）数形结合，可得答案．
【解答】解：（1）把x＝0，y＝﹣1代入中得：﹣1＝3﹣m，
∴m＝4，
当x＝6时，n＝|6﹣3|﹣4＝2，
故答案为：4，2；
（2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象，如图所示：
（3）由图象可得，不等式的解集为x≤﹣2或x≥4．
故答案为：x≤﹣2或x≥4．
【点评】本题考查函数图象及性质，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
34．（2026春 银川校级期中）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过函数y＝2x﹣5的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式2x﹣5＞0的解集是函数y＝2x﹣5图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：kx+b＞0（或kx+b＜0）的解集，是函数y＝kx+b（k≠0）图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P（3，2），则不等式kx+b＜2的解集是x＞3　 ．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为　（2，3）　 ，关于x的方程mx+1＝2x+n（m≠0）的解是x＝2　 ，关于x的不等式mx+1＞2x+n（m≠0）的解集是x＜2　 ．
【拓展延伸】
（3）如图3，一次函数y3＝ax+1（a≠0）和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B（1，0）和点C（4，0）．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是x＞4　 ．
（4）求图3中△ABC的面积（写出计算过程）．
【分析】（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）求交点A的坐标，然后通过观察图象求解即可；
（4）利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝kx+b（k＜0），
∴y随x值的增大而减小，
∵当x＝3时，y＝2，
∴当x＞3时，y＜2，
∴不等式kx+b＜2的解集是x＞3，
故答案为：x＞3；
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为（2，3），
∵2x﹣1＝x+1的解为两直线交点的横坐标，
∴方程的解为x＝2，
由图象可得，当x＞2时，2x﹣1＞x+1，
∴不等式2x﹣1＞x+1的解是x＜2，
故答案为：（2，3），x＝2，x＜2；
（3）∵一次函数y3＝ax+1（a≠0）和的图象分别与x轴相交于点B（1，0）和点C（4，0），
∴a+1＝0，b＝0，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
∴y3＝﹣x+1，y42，
联立方程组，
解得，
∴A（2，﹣1），
由y2x﹣2的图象可知，当x＞4时，y＞0，
当x＞2时，x﹣2＞﹣x+1，
∴关于x的不等式组的解集为x＞4，
故答案为：x＞4；
（4）∵点B（1，0）和点C（4，0），
∴BC＝3，
∵A（2，﹣1），
∴△ABC的面积为：．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键．
【考点4】一次函数的应用（对应第35-46题）
※ 方法总结
行程问题：利用 ，根据图象求速度、相遇时间、追及问题等。
费用问题：分段计费（如阶梯水费、电费），需写出分段函数，注意自变量的范围。
最值问题：在自变量范围内，根据函数的增减性求最大值或最小值。
构建函数模型：根据题意找出等量关系，设未知数，列一次函数解析式。
图象信息提取：从函数图象上读取关键点坐标（起点、终点、交点、转折点），利用待定系数法求解析式。
方案选择：比较两个不同函数的函数值大小，结合实际需要作出选择。
35．（2026春 徐汇区校级月考）某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（　　）
A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，
∴y1＝6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
联立，解得，
∴此刻的时间为9：20．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
36．（2026春 徐汇区校级月考）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　）
A．y＝0.12x，x＞0 B．y＝60﹣0.12x，x＞0
C．y＝0.12x，0≤x≤500 D．y＝60﹣0.12x，0≤x≤500
【分析】根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案．
【解答】解：因为油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，
可得：L/km，60÷0.12＝500（km），
所以y与x之间的函数解析式和自变量取值范围是：y＝60﹣0.12x，（0≤x≤500），
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
37．（2025春 闵行区校级月考）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（　　）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜90；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①根据速度＝路程÷时间计算即可；
②求出甲的速度，从而求出相遇时间，再根据乙离开起点的路程＝乙的速度×相遇时间计算即可；
③分别计算乙到达终点前、后，两人相距32米时对应的时间，从而得到甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围即可；
④根据开始计时甲离终点的距离﹣甲的速度×乙到达终点的时间列式计算即可．
【解答】解：乙的速度为400÷80＝5（米/秒），
∴①正确；
甲的速度为12÷3＝4（米/秒），
则乙出发后12÷（5﹣4）＝12（秒）相遇，此时乙离开起点的路程为5×12＝60（米），
∴②不正确；
当乙到达终点前，两人相距32米时，得（5﹣4）（x﹣12）＝32，
解得x＝44，
当乙到达终点后，两人相距32米时，得400﹣12﹣4x＝32，
解得x＝89，
∴甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89，
∴③不正确；
乙到达终点时，甲距离终点还有400﹣12﹣4×80＝68（米），
∴④正确．
综上，正确的个数是2．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
38．（2026春 普陀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1（m），y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，y2＝﹣4x+150，点A的横坐标为25，则在第　15　 秒时，1号和2号无人机在同一高度．
【分析】当x＝0时，y2＝150，求出点B的坐标，进而求出y1＝kx的解析式，联立y2＝﹣4x+150与y1＝kx，求出点P的坐标即可得到答案．
【解答】解：当x＝0时，y2＝150，
∴点B的坐标为（0，150），
由题意知点A的坐标为（25，150），
设y1＝kx（k≠0），
将（25，150）代入y1＝kx得150＝25k，
∴k＝6，
∴y1＝6x，
∴线段OA对应的函数表达式为：y1＝6x，
由题意可知，
则6x＝﹣4x+150，
解得：x＝15，
∴6x＝90，
∴点P的坐标为（15，90），
∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度为90m，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
39．（2026 松江区模拟）一个水池的容积是90m3，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是15m3，5小时后水池的水量是35m3，那么8小时后水池的水量是　50　 m3．
【分析】设水池内原有的水量为x，则1小时注入水量为（15﹣x），根据题意列方程求出x＝10，再计算8小时后水池的水量即可．
【解答】解：设水池内原有的水量为x，根据题意可得：
5（15﹣x）+x＝35，
解得x＝10，
8小时后水池的水量是8×（15﹣10）+10＝50（m3）．
故答案为：50．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数性质是关键．
40．（2026春 普陀区校级期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 　4.5　 分钟．
【分析】根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解．
【解答】解：由图可得，甲的速度为240÷3＝80米/分，
设乙的速度为x米/分，
由图可得，（15﹣3）x＝240+80×（15﹣3），
解得x＝100，
∴乙的速度为100米/分，
∴甲到达终点的时间为3000÷80＝37.5分钟，
乙达到终点的时间为3000÷100＝30分钟，
∵甲先出发3分钟，
∴乙先到终点原地休息了37.5﹣3﹣30＝4.5分钟，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂函数的图象是解题的关键．
41．（2026春 徐汇区校级月考）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为 y＝80x﹣10　 ．
【分析】根据当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，可得当x＝0.5时，y＝30，设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，用待定系数法可得答案．
【解答】解：∵当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，
∴当x＝0.5时，y＝30，
设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
把（0.5，30），（2，150）代入得：
，
解得，
故答案为：y＝80x﹣10．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
42．（2026春 徐汇区校级月考）如图所示，是某电信公司甲、乙两种业务：每月通话费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系．某企业的周经理想从两种业务中选择一种，如果周经理每个月的通话时间都在100分钟以上，那么选择　甲　 种业务合算．
【分析】根据函数图象可以分别求得甲、乙两种业务对应的函数解析式，从而可以求得两种花费相同情况时的时刻，然后再根据函数图象即可解答本题．
【解答】解：设乙种业务对应的函数解析式为y＝kx，
则50k＝10，得k＝0.2，
即乙种业务对应的函数解析式为y＝0.2x，
设甲种业务对应的函数解析式为：y＝ax+b，
，解得，，
即甲种业务对应的函数解析式为y＝0.1x+10，
∴令0.2x＝0.1x+10，得x＝100，
即当通话时间为100分钟时两种业务花费一样多，
由图象可知，当通话时间在100分钟以上，甲种业务比较合算，
故答案为：甲．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用函数的性质和数形结合的思想解答．
43．（2026春 闵行区期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程S（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图象，回答下列问题：
（1）甲的速度是　　 米/秒；
（2）先到达终点的是　甲　 （填“甲”或“乙”）；
（3）写出乙的图象的函数解析式及定义域S＝8t（0≤t≤12.5）　 ．
【分析】（1）由甲的速度＝甲的路程÷甲的时间，即可求得甲的速度；
（2）观察图象，甲用的时间少于乙，则甲先到达终点；
（3）由乙的速度＝乙的路程÷乙的时间，求得乙的速度，列出函数关系式即可．
【解答】解：（1）由甲的速度＝甲的路程÷甲的时间可得：
（米/秒）．
故答案为：；
（2）由图象可知：甲先到达终点．
故答案为：甲；
（3）乙的速度为：100÷12.5＝8（米/秒），
乙的图象的函数解析式为S＝8t（0≤t≤12.5）．
故答案为：S＝8t（0≤t≤12.5）．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数性质是关键．
44．（2026春 普陀区校级期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口．
（1）学校门口到学校操场的距离为　500　 米；
（2）当乙追上甲时，求x的值；
（3）直接写出乙返回时行驶路程y与x的函数关系式．
【分析】（1）由图像初始路程差得两地距离；（2）求出甲乙速度与函数，联立解析式求相遇x；（3）确定乙返程起止点，代入求一次函数式．
【解答】解：（1）根据题意，知学校门口到学校操场的距离等于两者距离图书馆的路程之差，
由图知，2000﹣1500＝500（米），
故答案为：500；
（2）设甲行驶路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x，
由图象可知，甲的图象经过点（30，1500），
∴30k1＝1500，
解得k1＝50，
∴甲的函数解析式为y＝50x，
设乙行驶路程y与时间x的函数关系式为y＝k2x+b，
由图象可知，乙的图象经过点（5，0）和（25，2000），
∴，
解得，
∴乙的函数解析式为y＝100x﹣500，当乙追上甲时，y值相等，
即50x＝100x﹣500，
50x＝500，
x＝10，
答：当乙追上甲时，x的值为10；
（3）乙在图书馆停留5分钟，到达时间是x＝25，所以停留结束开始返回的时间是x＝25+5＝30，
此时乙的位置在图书馆，距离学校门口2000米，
即起点坐标为（30，2000），
乙返回学校门口，即终点纵坐标为0，
计算返回的速度和时间：
乙速度为k2＝100米/分钟，
返回的路程是2000米，
所需时间为2000÷100＝20（分钟），
所以返回结束的时间为30+20＝50（分钟），
即终点坐标为（50，0），
设乙返回时的函数解析式为y＝kx+m，
图象经过点（30，2000）和（50，0），
代入得：，
解得：，
所以函数解析式为y＝﹣100x+5000，自变量x的取值范围是30≤x≤50．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中的追及问题，解题的关键是通过函数图象获取关键点的坐标，理解路程、速度、时间三者之间的关系，以及分段函数的解析式求解，解题核心是利用待定系数法求出函数解析式，利用方程思想解决追及问题．
45．（2026 徐汇区二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的90%核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3.小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如表，每户每年应缴自来水水费y（元）与用水量x（m3）关系如图所示．
分类 第1档 第2档 第3档
用水量x（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分
供水费单价（元/m3） 2.25 n 6.99
污水处理费（元/m3） 2.00
根据上述信息，解答下列问题：
（1）第1档的自来水水费1m3的单价为　4.05　 元；图中点A的纵坐标为　891　 ；
（2）小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出n的值为　4　 元；
（3）已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量．
【分析】（1）依据题意，由第1档水费单价＝供水费单价+污水处理费单价×0.9，从而2.25+2.00×0.9＝4.05（元/m3），总水费为：220×4.05＝891（元），进而可以得解；
（2）依据题意得，220×2.25+30n+250×0.9×2＝1065，进而计算可以得解；
（3）依据题意，设小明家去年的年用水量为xm3，则220×2.25+80×4+（x﹣300）×6.99+2x 0.9＝2234，从而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵第1档水费单价＝供水费单价+污水处理费单价×0.9，
∴2.25+2.00×0.9＝4.05（元/m3），
又∵点A对应用水量x＝220m3，
∴总水费为：220×4.05＝891（元），
故答案为：4.05；891；
（2）由题意得，220×2.25+30n+250×0.9×2＝1065，
∴n＝4．
故答案为：4；
（3）由题意，设小明家去年的年用水量为xm3，
∴220×2.25+80×4+（x﹣300）×6.99+2 0.9x＝2234．
∴x＝400．
答：小明家去年的年用水量为400m3．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
46．（2026 闵行区二模）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点P1，P2，P3都落在了线段AB上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度．
（1）求叠放在一起的纸杯总高度y（厘米）关于纸杯数量x（个）的函数解析式（不写定义域）；
（2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量．
【分析】（1）根据6个纸杯叠放增加的高度是6cm，所以每增加1个纸杯，高度增加6÷（6﹣1）＝1.2cm即可求得．
【解答】解：（1）我们可以先分析图②：6个纸杯叠放增加的高度是6cm，所以每增加1个纸杯，高度增加6÷（6﹣1）＝1.2cm，
由图①知，当x＝0时，y＝8.8，
∴函数解析式为y＝1.2x+8.8；
（2）在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，
由题意得46.8﹣2＝1.2x+8.8，
解得x＝30，
答：纸杯的数量为30个．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：根据点坐标确定函数图象的大致形状（轴对称性、增减性）。
作业2：识别一次函数（图象为直线）与二次函数（抛物线）的区别。
作业3：求分式型函数的定义域（分母≠0）。
作业4：一次函数与正比例函数图象共存问题（符号一致）。
作业5：一次函数 与 图象共存判断（根据 的符号）。
作业6：一次函数交点坐标与二元一次方程组解的关系。
作业7：根据图象解不等式 。
作业8：根据一次函数图象写 的解集。
作业9：两直线平行时 相等，利用恒成立条件求参数。
作业10：函数定义域（二次根式+分式）的综合。
作业11：实际问题中的一次函数模型（就餐卡余额）。
作业12：一次函数与交通流量问题（平均速度与车辆数关系）。
作业13：反比例函数（与一次函数结合的药物浓度问题）。
作业14：分段函数实际应用（电动车充电，快充与慢充的图象分析）。
复习建议 一次函数是中考基础，务必熟练掌握待定系数法、图象与系数的关系、与方程不等式的转化。实际应用题型要多读题、画图、建立模型，注意自变量的实际范围。建议完成课后巩固中的所有类型题，提升建模能力。
【作业1】（2025秋 徐汇区期末）已知点A（﹣2，m）、B（2，m）、C（4，m+1）在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由点A（﹣2，m）、B（2，m）、C（4，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，m）、B（2，m），
∴A与B关于y轴对称，故A，C不符合题意；
∵B（2，m）、C（4，m+1），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故B符合题意，D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
【作业2】（2026 闵行区二模）下列函数，图象不是一条直线的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝1 D．y＝x
【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可．
【解答】解：根据一次函数图象特征作出判断如下：
A：y＝x2是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意；
B：y＝x+1是一次函数，图象是一条直线，不符合题意；
C：y＝1是一条平行于x轴的直线，不符合题意；
D：y＝x是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，正确进行计算是解题关键．
【作业3】（2026春 闵行区校级月考）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≠3 C．x≠2 D．x≤3
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：6﹣2x≠0，
解得：x≠3，
故选：B．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
【作业4】（2026春 闵行区校级月考）一次函数y＝kx+k与正比例函数y＝﹣kx的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
【解答】解：A、正比例函数y＝﹣kx与一次函数y＝kx+k的自变量系数互为相反数，则两直线不可能相互平行．故选项A不符合题意；
B、正比例函数y＝﹣kx与一次函数y＝kx+k的自变量系数互为相反数，则两直线不可能相互平行．故选项B不符合题意；
C、正比例函数图象经过第一、三象限，则k＜0，则一次函数y＝kx+k的图象应该经过第二、三、四象限．故选项C不符合题意；
D、正比例函数图象经过第二、四象限，则k＞0，则一次函数y＝kx+k的图象应该经过第一、二、三象限．故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．
【作业5】（2026春 闵行区校级月考）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x﹣a和直线y＝ax的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数图象的位置确定a的取值范围，再利用a的取值范围确定一次函数的位置，则可对A、B、C选项进行判断；根据一次函数的位置可对D进行判断．
【解答】解：A、由正比例函数图象得a＞0，则直线y＝x﹣a与y轴的交点在x轴下方，所以A选项错误；
B、由正比例函数图象得a＜0，则直线y＝x﹣a与y轴的交点在x轴上方，所以B选项正确；
C、由正比例函数图象得a＜0，则直线y＝x﹣a与y轴的交点在x轴上方，所以C选项错误；
D、由一次函数经过第一、三象限，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）作直线y＝kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．
【作业6】（2026春 普陀区期中）已知一次函数y＝4x﹣3与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，5），则方程组的解是　　 ．
【分析】根据一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系，一次函数图象的交点坐标就是两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此可得到方程组的解．
【解答】解：方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键．
【作业7】（2026春 普陀区校级期中）一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，如果0＜kx+b＜mx+n，根据图象可得x的取值范围为　3＜x＜5　 ．
【分析】0＜kx+b＜mx+n表示在x轴的上方，且y＝mx+n的图象在y＝kx+b的图象的上边部分自变量的取值范围，根据图象即可直接求解．
【解答】解：根据图象可得，x的取值范围是：3＜x＜5．
故答案为：3＜x＜5．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和一次函数的性质，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解题的关键．
【作业8】（2026春 浦东新区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是x＜﹣3　 ．
【分析】结合函数图象求解即可．
【解答】解：根据函数图象可知不等式kx+b＞0的解集为x＜﹣3．
故答案为：x＜﹣3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键．
【作业9】（2026春 闵行区校级月考）已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．若无论x取何值，总有y1＞y2，则k的值是 　﹣1　 ．
【分析】解析式变形为y1＝k（x﹣2），即可得到无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过点（2，0）；由题意可知，y1的图象始终在y2上方，得到两函数不相交，平行，即可得出k＝﹣1．
【解答】解：∵y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴当x＝2时，y1＝0，
∴无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过点（2，0），
∵无论x取何值，y1＞y2，
∴y1的图象始终在y2上方，
∴两个函数的图象即两条直线平行，
∴k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，难度适中．
【作业10】（2026春 上海校级月考）函数y中，自变量x的取值范围是x≥2且x≠3　 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥2且x≠3．
故答案为：x≥2且x≠3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
【作业11】（2026 静安区）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．
张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从四月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（2）如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？
（3）如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？
【分析】（1）先算出4月总就餐60顿，每顿九折后0.9x元，总消费54x元，用卡面金额减消费额得y，再由余额非负求x范围；
（2）已知月底余额108元，将y＝108代入函数解析式，解方程求出每餐标价x的值；
（3）先由九折消费1080元算出原价总额，再用原价总额减实际支付的1000元，得到总优惠金额．
【解答】解：（1）4月共30天，每天2餐，总就餐次数为：30×2＝60顿，每顿九折后扣款：0.9x元，
总扣款：60×0.9x＝54x元，
卡内余额：y＝1080﹣54x，
由y≥0，得1080﹣54x≥0，
x≤20又x＞0，
故定义域为0＜x≤20，
综上，函数解析式为y＝1080﹣54x（0＜x≤20）；
（2）依题意，y＝108，
代入解析式：1080﹣54x＝108，
解得x＝18，
答：他该月每餐标价是18元；
（3）卡内1080元全部用完，即九折后消费1080元，原价总额为：1080÷0.9＝1200元，
张爷爷实际支付1000元，
总优惠：1200﹣1000＝200元，
答：他实际共获得200元优惠．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意．
【作业12】（2026春 普陀区期中）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，当y＝0时求出对应x的值，即x的最大值，从而写出x的取值范围即可；
（2）①当y＝20代入y关于x的函数解析式，求出对应x的值即可；②求出y＝20时对应的x的值，再根据①和②求出的x的差值计算即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（10，60）和（20，40）分别代入y关于x的函数解析式，
得，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+80，
当﹣2x+80＝0时，解得x＝40，
∴x的取值范围为0≤x≤40．
（2）①当y＝30时，得﹣2x+80＝30，
解得x＝25，
答：该时刻高架路上每百米车的数量为25辆．
②当y＝20时，得﹣2x+80＝20，
解得x＝30，
（30﹣25）÷1×4＝20（分钟）．
答：最晚20分钟需启动限流措施．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
【作业13】（2026 黄浦区二模）如图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数y（1≤k＜10，k为常数）．
（1）求k的值；
（2）如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．
（参考数据：2.236，3.163）
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）将y＝40代入函数，求出x，换算为小时即可．
【解答】解：（1）由题意可知，当x＝200时，y＝100，
将点（200，100）代入函数y中，得：
100，
解得k＝4，
答：k的值为4；
（2）由（1）得函数解析式为y，
当y＝40时，
40，
解得：x＝100，
因为3.163，所以：
x≈100×3.163＝316.3（分钟），
将分钟换算成小时：316.3÷60≈5.27（小时），
因为结果精确到1小时，所以x≈5，
答：这种抗过敏药物隔5小时需服用一次．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意．
【作业14】（2026 崇明区二模）
背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位．
素材1 工程师对某品牌的A款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为20%的两台A款电动车同时充电，充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段BC和BD．
素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时．
问题解决 任务一 根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出y关于x的函数解析式，并分别指出自变量x的取值范围．
任务二 当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至100%？请说明理由．
【分析】（1）依据题意，由待定系数法计算可以得解；
（2）依据题意得，慢充时间＝40÷60（小时），可得快充时间＝1.5（小时），从而电量＝20%10%80%1，故可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设快充为y＝kx+b（0≤x≤1），
∵图象过（0，20%），（1，100%），
∴，
∴k＝80%，b＝20%．
∴快充的函数解析式为y＝80%x+20%（0≤x≤1）；
设慢充为y＝mx+n（0≤x≤8），
∵图象过（0，20%），（8，100%），
∴，
∴m＝10%，b＝20%．
∴慢充的函数解析式为y＝10%x+20%（0≤x≤8）；
（2）车辆的电量不能充至100%．理由如下：
由题意得，慢充时间＝40÷60（小时），
∴快充时间＝1.5（小时）；
∴电量＝20%10%80%1．
∴当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至100%．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法是关键．
第1页（共1页）【期末冲刺】第25章 一次函数章节复习 优等生讲义
(新考题直达)2026年沪教版数学八年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 函数的概念，能判断两个变量之间是否存在函数关系，会求函数的定义域。
掌握 正比例函数的图象与性质（过原点、 的符号决定增减性和象限）。
熟练运用 一次函数的图象与性质（ 的几何意义），能根据图象解不等式、求交点坐标。
能够建立 一次函数模型解决实际问题（行程、费用、最值等）。
体会 数形结合、分类讨论思想在函数综合题中的应用。
核心：函数定义与自变量的取值范围 · 正比例与一次函数图象性质 · 待定系数法 · 实际应用建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 变量与函数
函数定义：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么 是 的函数， 是自变量。
函数关系的判断：一个 对应唯一的 ；常见非函数关系：人的身高与体重（一个体重可能对应多个身高）。
函数的表示法：解析式法、列表法、图象法。
自变量的取值范围（定义域）：
整式：全体实数。
分式：分母 。
二次根式：被开方数 。
实际问题：还需考虑实际意义。
函数图象的识读：横轴、纵轴的含义；图象的上升/下降代表函数值的增减。
☆ 正比例函数
定义：（ 是常数，），图象是过原点的直线。
性质：
：图象经过第一、三象限， 随 的增大而增大。
：图象经过第二、四象限， 随 的增大而减小。
越大，直线越陡。
待定系数法：已知一组 的值（图象上一个点）可求 。
☆ 一次函数及其性质
定义：（），图象是一条直线。
系数意义：
（斜率）：决定直线的倾斜方向和陡峭程度。
（截距）：直线与 轴交点的纵坐标，即 。
图象性质：
： 随 增大而增大；： 随 增大而减小。
：交 轴正半轴；：交 轴负半轴。
一次函数与方程、不等式：
方程 的解 直线与 轴交点的横坐标。
不等式 的解集 直线在 轴上方部分对应的 范围。
两个一次函数图象的交点坐标 对应二元一次方程组的解。
图象的平移： 向左/右平移 个单位：；向上/下平移 个单位：。
☆ 一次函数的应用
常见模型：行程问题（速度、时间、路程）、费用问题（阶梯水费、电费）、利润问题、最值问题。
解题步骤：
分析题意，确定自变量和因变量。
根据已知数据或图象求出函数解析式。
代入已知值求解，或根据自变量的范围求最值。
检验结果是否符合实际意义。
分段函数：不同自变量范围对应不同的解析式，需注意端点处理。
☆ 知识总结表
类别 核心内容 常用公式/结论
函数定义 唯一确定 判断：一个 对应一个
定义域 分母≠0，被开方数≥0 实际问题还要考虑整数、正数等
正比例函数 过原点； 增， 减
一次函数 是 截距； 决定增减性
图象交点 解方程组 交点坐标即方程组的解
不等式解集 图象法 看直线在 轴上方/下方部分
平移 左加右减，上加下减
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】变量与函数（对应第1-9题）
※ 方法总结
判断函数关系：每个自变量 对应唯一的 。注意“身高与体重”等反例。
求函数定义域：分式分母 ，二次根式被开方数 ，两者结合时要取交集。
实际问题中，还要根据具体情境确定范围（如时间、路程非负）。
识读函数图象：注意横纵坐标的含义；图象上升表示 随 增大而增大；平行于 轴的线段表示 不变（如休息、停留）。
分段函数：根据图象转折点分段求解析式。
一．变量与函数（共9小题）
1．（2026春 闵行区期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（　　）
A．圆的面积和半径的关系
B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系
D．某人的身高和体重的关系
2．（2026 静安区）函数的定义域是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x≠1 D．x≠2
3．（2025春 徐汇区期末）台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径x（km）为横轴，风速y（m/s）为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图象，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为150km时，地面风速衰减至37.7m/s，此时150km为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（　　）
A．越靠近台风中心位置，风速越大
B．距台风中心150km处，风速达到最大值
C．10级风圈半径约为280km
D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减
4．（2026春 闵行区校级月考）函数的自变量x的取值范围为　 　 ．
5．（2026春 浦东新区校级月考）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为　 　 ．（填“冰的厚度”或“时间”）
6．（2025 虹口区三模）函数中自变量x的取值范围是　 　 ．
7．（2026春 两江新区校级期中）小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如图所示．
（1）小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？
（2）小明骑自行车下坡用时多少分钟？
8．（2026春 思明区校级期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是　 　 ；
（2）下表是y与x的几组对应数值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 n 2 3 4 …
y … m 0 ﹣1 ﹣3 5 2 …
①表格中的m＝　 　 ；n＝　 　 ；
②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质．
9．（2026春 莱芜区期中）张丽上午8点骑自行车外出游玩，如图是她离家的距离s（km）与时间t（h）之间的图象．根据图象回答问题：
（1）张丽在途中休息了多久？休息时离家多远？
（2）她几点到达目的地？在目的地停留了多久？目的地离家多远？
（3）她几点开始返回？几点到家？返回的平均速度是多少？
【考点2】正比例函数（对应第10-20题）
※ 方法总结
正比例函数 必须满足 ，且图象过原点。
根据 的符号判断象限和增减性： 一、三象限， 随 增大而增大； 二、四象限， 随 增大而减小。
比较 的大小：同一坐标系中，直线越陡， 越大。对于 ，越陡的 越大；对于 ，越陡的 越小（负得越多）。
待定系数法：已知一个点坐标（非原点）代入 即可求 。
正比例函数常用于表示成正比例关系的实际问题（如弹簧伸长、速度恒定时的路程）。
10．（2026春 闵行区期中）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝﹣3x B．y＝2﹣x C． D．y＝kx
11．（2026 灞桥区校级模拟）若正比例函数y＝（﹣1﹣a）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1
12．（2026春 昌平区校级期中）下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　）
A．圆的周长C随着半径r的变化而变化
B．正方形的面积S随着边长a的变化而变化
C．面积为10的三角形的一边a，随着这边上的高h的变化而变化
D．书的总页数一定，未读的页数随着已读的页数的变化而变化
13．（2026 松山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C、D都在第一象限内，A、B都在x轴上，直线OD的解析式为y＝2x，直线OC的解析式为yx．若S矩形ABCD＝12，设点A的横坐标为a，则a＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
14．（2025秋 闻喜县期末）四个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k1＞k2＞k4＞k3
C．k2＞k1＞k3＞k4 D．k2＞k1＞k4＞k3
15．（2026 金山区二模）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，那么y的值随着x的值增大而　 　 （填“增大”或“减小”）．
16．（2026春 闵行区期中）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，则y的值随x的值的增大而　 　 ．（“增大”或“减小”）
17．（2026春 西城区校级期中）我们把弹簧所受的拉力F与伸长量ΔL的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是　 　 ．
18．（2026春 闵行区期中）已知y与x成正比例，且当x＝﹣1时，．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求当时x的值．
19．（2026春 台江区校级期中）函数y1＝|x|与函数在同一平面直角坐标系中．
（1）请画出的图象；
（2）根据图象回答问题：当y1＞y2时，x的取值范围．
20．（2025秋 嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l是函数y＝2x的图象，点A（﹣1，m）在第二象限．
（1）若点A关于y轴的对称点B恰好在直线l上，求m的值．
（2）在（1）的条件下，若点A向下平移n（n＞0）个单位后落在直线l上，求n的值．
【考点3】一次函数及其性质（对应第21-34题）
※ 方法总结
一次函数 的图象是一条直线。 决定方向， 决定与 轴交点。
图象交点：联立两个函数解析式解方程组，交点坐标即为方程组的解。
解不等式 （或 ）：观察直线在 轴上方（或下方）部分的 范围。
解不等式 ：看直线 在 上方部分的 范围。
的几何意义： 越大，直线越陡。当两直线平行时 相等。
与方程（组）的关系： 的解 图象与 轴交点的横坐标；方程组 的解 两图象交点坐标。
21．（2026春 杨浦区校级月考）当k变化时，两条直线l1：y＝kx﹣k和l2：y＝kx+1的最大距离为（　　）
A．1 B． C．2 D．
22．（2026春 杨浦区校级月考）一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x﹣b分别与y轴交于点A、B，交点为（2，﹣1），在同一坐标系中图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．b＜0 B．点A、B关于x轴对称
C．k1＜0＜k2 D．当x＞2时，y1＞y2
23．（2025春 上海校级期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C． D．
24．（2025春 上海校级月考）如果方程组无解，那么直线y＝（﹣2k+1）x﹣2不经过（　　）
A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．第二象限
25．（2026春 闵行区校级月考）如图所示，直线y＝ax+b与直线y＝cx+d交点的横坐标是4，那么不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是　 　 ．
26．（2026 西湖区一模）已知一次函数y＝﹣3x+2与y＝kx+6（k是常数，k≠0）的图象的交点横坐标是﹣1，则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　 ．
27．（2026春 永春县期中）如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　 ．
28．（2026春 罗湖区校级期中）如图，直线和直线相交于点（2，2），当时，x的取值范围　 　 ．
29．（2026春 昌平区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1x+b1，y＝k2x+b2，y＝k3x+b3，y＝k4x+b4的图象分别为l1，l2，l3，l4，请将k1，k2，k3，k4从小到大排列，并用“＜”连接：　 　 ．
30．（2026春 闵行区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于点A、C，与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点P，点P的横坐标为3，PB⊥x轴，B为垂足，AB＝2PB．
（1）求点P的坐标；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式．
31．（2026春 金凤区校级期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是　 　 ，关于x的不等式kx+b＜0的解集是　 　 ．
（2）若点C坐标为（1，3），关于x的不等式0≤k1x+b1＜kx+b的解集是　 　 ．
（3）在（2）的条件下，求四边形OBCD的面积．
32．（2026春 临淄区期中）一次函数y1＝kx+b和的图象如图所示，且A（﹣3，0），B（4，0）．
（1）关于x的方程kx+b＝0的解为x＝　 　 ；关于x的不等式的解集为　 　 ；
（2）若不等式的解集是x＜﹣1，求点C的坐标．
33．（2026春 东城区校级期中）在函数学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程：
（1）列表：
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 8 …
y … 5 2 ﹣1 ﹣4 ﹣1 n 5 …
直接写出m，n的值，m＝　 　 ，n＝　 　 ．
（2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象．
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为　 　 ．
34．（2026春 银川校级期中）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过函数y＝2x﹣5的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式2x﹣5＞0的解集是函数y＝2x﹣5图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：kx+b＞0（或kx+b＜0）的解集，是函数y＝kx+b（k≠0）图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P（3，2），则不等式kx+b＜2的解集是　 　 ．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为　 　 ，关于x的方程mx+1＝2x+n（m≠0）的解是　 　 ，关于x的不等式mx+1＞2x+n（m≠0）的解集是　 　 ．
【拓展延伸】
（3）如图3，一次函数y3＝ax+1（a≠0）和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B（1，0）和点C（4，0）．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是　 　 ．
（4）求图3中△ABC的面积（写出计算过程）．
【考点4】一次函数的应用（对应第35-46题）
※ 方法总结
行程问题：利用 ，根据图象求速度、相遇时间、追及问题等。
费用问题：分段计费（如阶梯水费、电费），需写出分段函数，注意自变量的范围。
最值问题：在自变量范围内，根据函数的增减性求最大值或最小值。
构建函数模型：根据题意找出等量关系，设未知数，列一次函数解析式。
图象信息提取：从函数图象上读取关键点坐标（起点、终点、交点、转折点），利用待定系数法求解析式。
方案选择：比较两个不同函数的函数值大小，结合实际需要作出选择。
35．（2026春 徐汇区校级月考）某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（　　）
A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30
36．（2026春 徐汇区校级月考）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　）
A．y＝0.12x，x＞0 B．y＝60﹣0.12x，x＞0
C．y＝0.12x，0≤x≤500 D．y＝60﹣0.12x，0≤x≤500
37．（2025春 闵行区校级月考）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（　　）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜90；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．
A．4 B．3 C．2 D．1
38．（2026春 普陀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1（m），y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，y2＝﹣4x+150，点A的横坐标为25，则在第　 　 秒时，1号和2号无人机在同一高度．
39．（2026 松江区模拟）一个水池的容积是90m3，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是15m3，5小时后水池的水量是35m3，那么8小时后水池的水量是　 　 m3．
40．（2026春 普陀区校级期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 　 　 分钟．
41．（2026春 徐汇区校级月考）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为 　 　 ．
42．（2026春 徐汇区校级月考）如图所示，是某电信公司甲、乙两种业务：每月通话费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系．某企业的周经理想从两种业务中选择一种，如果周经理每个月的通话时间都在100分钟以上，那么选择　 　 种业务合算．
43．（2026春 闵行区期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程S（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图象，回答下列问题：
（1）甲的速度是　 　 米/秒；
（2）先到达终点的是　 　 （填“甲”或“乙”）；
（3）写出乙的图象的函数解析式及定义域　 　 ．
44．（2026春 普陀区校级期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口．
（1）学校门口到学校操场的距离为　 　 米；
（2）当乙追上甲时，求x的值；
（3）直接写出乙返回时行驶路程y与x的函数关系式．
45．（2026 徐汇区二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的90%核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3.小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如表，每户每年应缴自来水水费y（元）与用水量x（m3）关系如图所示．
分类 第1档 第2档 第3档
用水量x（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分
供水费单价（元/m3） 2.25 n 6.99
污水处理费（元/m3） 2.00
根据上述信息，解答下列问题：
（1）第1档的自来水水费1m3的单价为　 　 元；图中点A的纵坐标为　 　 ；
（2）小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出n的值为　 　 元；
（3）已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量．
46．（2026 闵行区二模）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点P1，P2，P3都落在了线段AB上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度．
（1）求叠放在一起的纸杯总高度y（厘米）关于纸杯数量x（个）的函数解析式（不写定义域）；
（2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：根据点坐标确定函数图象的大致形状（轴对称性、增减性）。
作业2：识别一次函数（图象为直线）与二次函数（抛物线）的区别。
作业3：求分式型函数的定义域（分母≠0）。
作业4：一次函数与正比例函数图象共存问题（符号一致）。
作业5：一次函数 与 图象共存判断（根据 的符号）。
作业6：一次函数交点坐标与二元一次方程组解的关系。
作业7：根据图象解不等式 。
作业8：根据一次函数图象写 的解集。
作业9：两直线平行时 相等，利用恒成立条件求参数。
作业10：函数定义域（二次根式+分式）的综合。
作业11：实际问题中的一次函数模型（就餐卡余额）。
作业12：一次函数与交通流量问题（平均速度与车辆数关系）。
作业13：反比例函数（与一次函数结合的药物浓度问题）。
作业14：分段函数实际应用（电动车充电，快充与慢充的图象分析）。
复习建议 一次函数是中考基础，务必熟练掌握待定系数法、图象与系数的关系、与方程不等式的转化。实际应用题型要多读题、画图、建立模型，注意自变量的实际范围。建议完成课后巩固中的所有类型题，提升建模能力。
【作业1】（2025秋 徐汇区期末）已知点A（﹣2，m）、B（2，m）、C（4，m+1）在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【作业2】（2026 闵行区二模）下列函数，图象不是一条直线的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝1 D．y＝x
【作业3】（2026春 闵行区校级月考）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≠3 C．x≠2 D．x≤3
【作业4】（2026春 闵行区校级月考）一次函数y＝kx+k与正比例函数y＝﹣kx的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【作业5】（2026春 闵行区校级月考）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x﹣a和直线y＝ax的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【作业6】（2026春 普陀区期中）已知一次函数y＝4x﹣3与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，5），则方程组的解是　 　 ．
【作业7】（2026春 普陀区校级期中）一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，如果0＜kx+b＜mx+n，根据图象可得x的取值范围为　 　 ．
【作业8】（2026春 浦东新区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是　 　 ．
【作业9】（2026春 闵行区校级月考）已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．若无论x取何值，总有y1＞y2，则k的值是 　 　 ．
【作业10】（2026春 上海校级月考）函数y中，自变量x的取值范围是　 　 ．
【作业11】（2026 静安区）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．
张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从四月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（2）如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？
（3）如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？
【作业12】（2026春 普陀区期中）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
【作业13】（2026 黄浦区二模）如图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数y（1≤k＜10，k为常数）．
（1）求k的值；
（2）如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．
（参考数据：2.236，3.163）
【作业14】（2026 崇明区二模）
背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位．
素材1 工程师对某品牌的A款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为20%的两台A款电动车同时充电，充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段BC和BD．
素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时．
问题解决 任务一 根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出y关于x的函数解析式，并分别指出自变量x的取值范围．
任务二 当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至100%？请说明理由．

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