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第25&26章 一次函数与反比例函数综合 优等生讲义
(4大考点精讲+随堂检测+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 一次函数 与反比例函数 的图象特征及参数意义。
掌握 同一坐标系中两函数图象“共存”的判断方法，能根据图象比较函数值大小，解不等式。
熟练运用 待定系数法求函数解析式，利用交点坐标解决几何面积、线段长度等问题。
能够建模 分段函数（加热冷却、利润变化、沙尘暴等），并分析临界时间和数值范围。
体会数形结合 思想、分类讨论及解析法在综合题中的核心地位。
核心：图象共存条件 · 交点与不等式 · 面积模型 · 实际应用分段函数。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一次函数基础
一般式： （）。 决定方向（ 上升， 下降）； 决定与 y 轴交点 。
图象性质： 一条直线； 越大直线越陡；与坐标轴围成直角三角形面积与系数有关。
与反比例综合关键： 联立方程组求交点坐标，利用交点比较函数值大小。
☆ 反比例函数基础
一般式： （），图象为双曲线，关于原点对称。
性质： 时两支在一、三象限， 时在二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而减小（）或增大（）。
k 的几何意义： 双曲线上任意一点向 x 轴、y 轴作垂线，围成的矩形面积为 ，三角形面积为 。
☆ 四大综合题型核心要点
图象共存判断： 根据一次函数中 符号与反比例函数中 符号的一致性，排除矛盾选项。
交点与不等式： 求两函数交点坐标；观察图象，写出使 的 范围，注意分区间讨论及反比例函数定义域。
面积问题： 利用割补法，铅垂高×水平宽；或利用坐标表示三角形面积，结合 几何意义求解。
实际应用（分段函数）： 加热 冷却、利润变化、沙尘暴等模型，抓住转折点，用待定系数法求不同阶段解析式。
☆ 知识总结表
类别 核心内容 常用方法/公式
一次函数 () 决定升降， 决定 y 截距；与 x 轴交点
反比例函数 () 双曲线， 几何意义 → 围成矩形面积；对称性
图象共存 符号一致性、象限分布 假设 正负推理排除法
交点 & 不等式 联立方程求交点，图象法比大小 解集： 对应“上”方图象部分
三角形面积 函数与坐标轴、交点围成图形 或坐标公式
实际应用 分段函数，一次+反比结合 建模时注意自变量范围与临界值
核心考点 ·4类题型精讲
【考点1】一次函数与反比例函数图象综合判断 （对应资料第1-11题）
※ 方法总结
先根据反比例函数 的符号确定双曲线所在象限，再判断一次函数 的符号与图象是否匹配。
常见技巧：若一次函数为 ，分析 正负时直线过定点 或参数约束，采用赋值排除法。
注意反比例函数两支不同象限，直接决定一次函数可能的象限搭配。
1．（2026·贵州遵义·一模）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．反比例函数中k的符号与图象：若，反比例函数图象在第一、三象限，若，反比例函数图象在第二、四象限，．
【详解】解：若，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；
若，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限；
只有C选项符合．
2．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】根据两函数图象的上下位置关系以及交点坐标确定不等式的解集即可．
【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，所以不等式的解集是或．
3．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质和判定、正比例函数的性质、一次函数与反比例函数图象综合判断、反比例函数与几何综合
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
延长交轴于点，过点作轴于点，可得， 均为等腰直角三角形，设点的坐标为，可得点的坐标为，可得直线函数解析式，设点的横坐标为，则可得点的坐标，计算出，由即可求解出的值．
【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点，
∵为直线上一点，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
设点的坐标为，则，
∴点的坐标为，
设直线函数解析式为，
把、代入得，
，
解得，
∴直线函数解析式为，
设点的横坐标为，则，
∴，
∵，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：8．
4．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____．
【答案】4
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、等腰三角形的性质和判定、根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】作于，根据反比例函数系数的几何意义得到，利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，，即可得到，由得到，根据等腰三角形三线合一，得出，即可得出，从而求得．
【详解】作于，
过原点的直线交双曲线于、两点，
点与点关于原点对称，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________．
【答案】或．
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决本题的关键．结合图象，找到一次函数在反比例函数上方时对应自变量x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可以看出当或时，一次函数图象在反比例函数上方，所以当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
6．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________．
【答案】或
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用函数图象求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义．
关于x的不等式的意义为一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，由此对照图象写出不等式的解集．
【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
∴关于x的不等式的解集为：或．
故答案为：或．
7．（2025·安徽·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为_____．
【答案】或
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．求出反比例函数的表达式为．得到点．由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可得到答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
反比例函数的表达式为．
点的横坐标为6，
点．
由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即．
故答案为：或
8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图象交于点、点，与轴交于点．
(1)求的值以及反比例函数的表达式；
(2)连接，，求的面积；
(3)直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)的值为，反比例函数的表达式为
(2)的面积为
(3)或
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数图象综合判断、求反比例函数解析式
【分析】（1）将点、点代入，即可求出、的值，得出结果；
（2）过点作轴，过点作轴，延长、交于点，通过即可得出结果；
（3）根据函数图象可得出结果．
【详解】（1）解：∵点、点在函数的图象上，
∴，解得，
故的值为，反比例函数的表达式为．
（2）解：∵，
∴，，
∴、点，
过点作轴，过点作轴，延长、交于点,如下图所示：
∵点、点，
∴，，，，
且，
∴．
（3）解：观察图象，在的范围内，
若，
即反比例函数的图像应在一次函数图象上方，
故或．
9．（2026·四川南充·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】求反比例函数解析式、根据一次函数的定义求参数、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题．
（1）把，代入一次函数，得到，即，再把代入反比例函数即可求k；
（2）把代入一次函数，得到；一次函数的图象与y轴交于点C，求出，再根据求解即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象过，
解得．
．
把代入，得：，解得；
（2）解：一次函数的图象过，
，解得．
．
一次函数的图象与y轴交于点C，
．
．
．
（3）解：由图象得，当时，x的取值范围是或．
10．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)结合图象直接写出时的取值范围．
(3)将直线向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点，且的面积为，求平移后直线的函数关系式．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数图象综合判断、求反比例函数解析式
【分析】（1）把点代入求得点坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）先联立两个函数解析式，解方程组求出交点、的坐标，再将不等式变形为，转化为“反比例函数值大于一次函数值”的问题，最后结合图象分和两个分支，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时对应的的取值范围即可；
（3）根据一次函数上下平移不变，设平移后直线为，过点作轴的平行线交原直线于点，得出铅垂高的长度恒等于（与点横坐标无关），计算、两点的水平距离作为三角形的水平底长，代入三角形面积公式列方程，解出的值，即可得到平移后直线的函数关系式．
【详解】（1）解：把代入，得
，解得，
∴，
把代入，得
，解得，
∴反比例函数的关系式；
（2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点和点，由（1）知，，
∴，
解得或，
∴，
∵即，由图可知：当或时，反比例函数图象在直线上方，
∴时的取值范围为或；
（3）解：设平移后直线的解析式为（向上平移了个单位），如图，过点作轴，交直线于点，
设点的横坐标为，则，，
∴，
∵，，
∴、两点的水平距离为，
∵的面积为，
∴，解得，
∴平移后直线的函数关系式为．
11．（2026·河南周口·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将一次函数的图象沿轴向下平移，使直线经过点，交轴于点．连接，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】（1）将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入求出的反比例函数解析式，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出，即可求出的面积；
（3）数形结合求出答案即可.
【详解】（1）解：将代入双曲线，
∴,
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴,
∴,
将代入,
，
解得，
∴直线解析式为；
（2）∵直线向下平移至,

∴,
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
过点作交于,
设直线与轴的交点为，与轴的交点为,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
，
∵，
，
，
∴的面积
（3）由图可知或时,
【考点2】一次函数与反比例函数的交点问题 （对应资料第12-22题）
※ 方法总结
正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称，可直接利用对称性写出另一点坐标。
联立一次函数与反比例方程，消元得到一元二次方程，利用根与系数关系求未知参数。
利用图象解不等式：找出交点横坐标，根据图象上下位置确定 的解集，注意反比例函数定义域分段。
面积问题常结合交点：三角形面积可用 或坐标公式。
12．（2026·河北保定·二模）已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方
C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方
【答案】C
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点中心对称，根据题意画出对应图象，结合图象判断选项即可．
【详解】解：根据题意，画出大致图象如图，由图可得C选项正确．
13．（2026·广东梅州·二模）如图，直线：与双曲线交于，两点．已知，点的纵坐标为，则不等式 的解集为( )
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【详解】解：∵点的纵坐标为，代入，
得，
解得：，
∴，
∵，
∴不等式 即为，
解集为：或．
14．（2026·河北保定·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，可设点D的坐标为，点B的坐标为，当D为的中点时，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值，结合函数图象可得到b的取值范围．
【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中，
得，，解得，，
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为．
∵轴，，
∴点D的纵坐标为4，易得点D的坐标为，点B的坐标为，
当D为的中点时，点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，解得，
结合函数图象可得，当时，b的取值范围为．
15．（2026·安徽宿州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，点在第一象限，与轴交于点，已知的面积为，则的面积为___________．
【答案】/
【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数与反比例函数的交点问题、求点到坐标轴的距离、求反比例函数解析式
【分析】设点的坐标为，利用一次函数的解析式求出点，利用的面积求出点，进而求出反比例函数的解析式为，联立方程求出点，最后求出的面积即可．
【详解】解：如图，设点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
联立一次函数与反比例函数，得，
，
解得或，
∴点的坐标为，
∴．
16．（2026·陕西·模拟预测）已知反比例函数与正比例函数（为常数，且）的图象交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为__________．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】先将点A的坐标代入反比例函数解析式求出，得到点A的坐标，再利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称的性质，即可求出点B的坐标．
【详解】解：把代入，
得，
解得，
因此点的坐标为，
因为正比例函数图象和反比例函数图象都关于原点中心对称，
所以两图象的交点，关于原点中心对称，
根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，可得点的坐标为．
17．（2026·陕西汉中·二模）若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为________．
【答案】
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】根据正比例函数和反比例函数的对称性，可知两交点、关于原点对称，即，结合反比例函数性质得将坐标关系代入式子化简计算．
【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴两交点关于原点对称，即．
又∵点A、B在反比例函数的图象上，
∴．
∴
．
18．（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知菱形，顶点C在x轴上，反比例函数的图像经过顶点，OB与反比例函数的图像交于点D．点D的坐标是______．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了一次函数图像与反比例函数图像的交点问题，菱形的性质，勾股定理，求函数解析式等知识点．
先利用待定系数法求出反比例函数解析式，由得，又因为四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解．
【详解】解：把代入，得，
∴反比例函数解析式为，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
直线的解析式为，
点是反比例函数与正比例函数的交点，
联立解析式，
解得或，
，
，
故答案为：．
19．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______．
【答案】
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，对称的性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
先求出一次函数解析式为，作于，于，由反比例函数，一次函数都是关于直线对称，则，，，记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，又由对称性可知：，，，，通过性质求出点坐标，然后代入，最后解方程即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，即点的坐标为，
令一次函数中，则，
∴，即，
∴一次函数解析式为，
作于，于，如下图所示，
∵反比例函数，一次函数都是关于直线对称，
∴，，，
记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，
∴，
由对称性可知：，，，，
∴，
∴，
∴点坐标，代入直线得，
整理得，
∴或，
∵，
∴，
故答案为：．
20．（2026·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系（如图），已知正比例函数的图像与反比例函数（）的图像相交于点，过点作轴的垂线，与反比例函数的图像相交于点．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)联结，点是的中点，联结，求的长．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）先求出m，再待定系数法求解析式；
（2）先求出点C的坐标，再利用直角三角形斜边中线求的长．
【详解】（1）解：把代入，得．
∴，把代入，得．
∴反比例函数解析式为．
（2）把代入，得．
∴．∵，∴．
又∵轴，∴．
在中，∵点是的中点，
∴，
∵，∴．
21．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像交于点C，过点B作x轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)如果，求k的值．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）分别令和即可得到答案；
（2）过点作，垂足为，证明，设点，则，得到，求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，
；
（2）解：过点作，垂足为，
，
，
，
设点，则，
，
整理得，，
解得（舍去）或，
，
．
22．（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点．
(1)求m与n之间的关系式；
(2)求一次函数与反比例函数的表达式；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)，
(3)或．
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键．
（1）将点，分别代入，得，，即可得出答案；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：将点，分别代入，得：
∴，，
∴；
（2）解：∵点在上，
∴．
将点，分别代入
∴，
∵．
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（3）解：由图象可知不等式的解集为或．
【考点3】一次函数与反比例函数的实际应用 （对应资料第23-30题）
※ 方法总结
识别变化过程：匀速加热（一次函数）→ 自然冷却（反比例函数）或利润变化（前面反比下降，后面线性增加）。
利用关键点坐标（最高温度、室温、时间转折点）求解析式，注意自变量取值范围。
解决“不低于某温度的时间”需分别求两阶段满足条件的时间区间，然后求和。
注意实际意义检验：是否超过定义域、单位统一等。
23．（25-26九年级上·山东德州·月考）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．
首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【详解】解：设直线的解析式为，
直线过，
，
，
直线的解析式为，
当时，，即，
设双曲线的解析式为，
将点代入得：，
；
当时，，
从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班．
故选B．
24．（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ）
A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是
B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为
C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为
D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为
【答案】C
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D．
【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、，
∴，
解得：，
∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，
∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意；
设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点，
∴，
解得：，
∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为，
当时，，
∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为，
∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意；
当时，，解得：；
当时，；
又∵，
∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为，
∴选项C的说法错误，故此选项符合题意；
当时，，
∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为，
∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意．
25．（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为_____
【答案】
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题，
先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案．
【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是．
∵点在一次函数的图像上，
∴，
解得，
∴点．
将点代入反比例函数关系式，得，
解得，
∴反比例函数解析式为．
故答案为：．
26．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．

【答案】12
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案．
【详解】解：设一次函数关系式为：，
将，代入，得，
解得，
，
设反比例函数关系式为：，
将代入，得，
，
中，
令，解得；
反比例函数中，令，解得：，
（min），
水温不低于的时间为min．
故答案为：．
27．（25-26九年级上·云南昆明·月考）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．
(1)求当时，与之间的函数表达式；
(2)加热一次，水温不低于的时间有多长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、一次函数与反比例函数的实际应用、实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得；
（2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为，
将点代入得：，
则与之间的函数表达式为，
当时，，
即与之间的函数表达式为．
（2）解：设当时，与之间的函数表达式为，
将点代入得：，解得，
则，
当时，，解得，
对于，
当时，，
因为，
所以加热一次，水温不低于的时间为．
28．（25-26九年级上·全国·期末）【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为．
根据I与R之间的关系得出一组数据如下：
… 1 2 3 q 6 …
… 4 p 2.4 2 1.5 …
(1)填空： ____________，____________；
(2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质；
(3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？
【答案】(1)3，4；
(2)作图见详解，电流随可变电阻R的增大而减小；
(3)电子体重秤可称的最大质量为101千克．
【知识点】实际问题与反比例函数、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数图象的综合运用，掌握自变量，函数值的计算方法，待定系数法求解析是解题的关键．
（1）根据题意，分别把，代入，即可求解；
（2）根据表中数据在图中描出实数对的对应点，用平滑曲线连接即可；
（3）根据题意可求出可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，根据电流表量程，电流与电压，电阻的函数关系可求出子体重秤可称的最大质量．
【详解】（1）解：已知电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为，
当时，，即，
当时，，，即，
故答案为：3，4；
（2）根据题意：
… 1 2 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 1.5 …
根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下：
由图可知：电流随可变电阻R的增大而减小；
（3）解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，且该直线过，
，解得：，
可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：，
可变电阻R随人的质量m增大而减小，
当时，，
；
当时，，
，
，
m不能超过；
当时，，解得：，
，解得：，
电子体重秤可称的最大质量为101千克．
29．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
(3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
【答案】(1)，
(2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室
(3)有效，理由见解析
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键．
（1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式；
（2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答；
（3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，
将点代入中得：
解得：
∴反比例函数的表达式为
把代入中得：，
解得：
∴
反比例函数的表达式为，
将点代入得：，
解得：
∴正比例函数的表达式为
（2）解：将代入中得：，
解得：，
∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室．
（3）解：有效，
理由：把将代入中得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴此次消毒有效．
30．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求自变量的值或函数值、求一次函数解析式、实际问题与反比例函数、一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题考查待定系数法求正比例函数和反比例函数解析式，已知函数值求自变量值，有理数加减法等．
（1）设直线的函数解析式为：，代入这个坐标，即可得到，再代入继而得到本题答案；
（2）设关闭阶段的函数解析式为：，把代入得到即可得答案；
（3）先求出当时，，再求出当时，，继而求出气温低于的总时间为：，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，根据题意，
可得方程，
，
直线，
当时，，
∴恒定温度为：；
（2）解：由（1）可知：
设关闭阶段的函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
，
函数解析式为：；
（3）解：当时，，
，
当时，，
，
在20时～24时4小时之间是气温是低于的，
气温低于的总时间为：，
气温高于的适宜温度是：．
【考点4】一次函数与反比例函数的其他综合应用 （对应资料第31-38题及课后巩固综合）
※ 方法总结
规律探究与周期迭代： 按给定规则（作垂线→找交点）得到点列，建立横坐标递推关系，计算前几项发现周期性，利用周期求第 项坐标。
函数与几何动态问题： 利用相似、勾股表达线段长，建立函数模型，描绘图象并分析增减性、最值，注意自变量范围。
存在性问题（面积倍分）： 先假设存在，用未知数表示点坐标，代入面积方程求解，并检验是否在函数图象上且符合范围。
函数与方程综合： 结合根的判别式、韦达定理，判断交点个数或求参数值。
31．（25-26九年级上·山东·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】C
【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、点坐标规律探索
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察到每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可．
【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为，
的纵坐标和的纵坐标相同为，
的横坐标和的横坐标相同为，
的纵坐标和的纵坐标相同为，
的横坐标和的横坐标相同为，
的纵坐标和的纵坐标相同为，
的横坐标和的横坐标相同为，
由上可知，，3个为一组依次循环，
，
，
故选：C．
32．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（ ）
A．，或 B．，或
C．，或 D．，或
【答案】D
【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查根据函数图象的交点确定不等式的解集．由求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解．
【详解】解：求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围．
∵，
由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，
∴关于x的不等式的解集是或．
故选D．
33．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．给出下列结论：
①两函数图象的交点的坐标为；
②当时，；
③；
④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小．
其中，正确的是（ ）．
A．①② B．② C．①④ D．①③④
【答案】D
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的其他综合应用、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据题意可以求得两函数图象的交点A的坐标，从而可以判断①；根据点A的坐标可以判断②；根据点B的横坐标可以分别求出点B、C的坐标，从而可以得到的值，从而可以判断③；根据函数图象可以判断④．
【详解】解：由题意可得，，
解得，，
将代入，得，
∴两函数图象的交点A的坐标为，故①正确；
由图象可知，当时，，故②错误；
将代入得，，
将代入得，，
∴，故③正确；
由图象可知，当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小，故④正确；
故选：D．
34．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、求一次函数解析式
【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据图像结合，，即可作答；
（3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：将，代入中得，
，，，
则点，坐标为，，将其代入得,
，
解得，
则一次函数解析式为；
（2）解：观察函数图像可知，当时，或；
（3）解：对于，当时，，当时，，
则，，
设，
则，，
，
，
，
则点的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键．
35．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长；
(3)若两函数图象的另一交点为点，在轴上找一点使得的面积为6，求点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）分别求解，，再进一步求解即可；
（3）根据中心对称的性质可得，再进一步即可求解．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴代入得：，
∴点A的坐标为，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴．
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：∵点是反比例函数图象上的点，
∴，
解得：，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：如图，
∵，
∴，
设，的面积为6，
∴，
解得：，
∴或．
36．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点．
(1)求双曲线的表达式和a，b的值；
(2)请直接写出使得的x的取值范围；
(3)若的面积为12，求此时C点的坐标．
(4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
(4)或
【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合
【分析】（1）根据表达式，交点的意义，确定点，点，求解即可；
（2）根据函数的交点分别为点，点，结合已知求解即可；
（3）根据函数的交点分别为点，点，设点，根据题意，得，列式计算即可．
（4）根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，
故，，
解得，
故点，点，
故，
解得，
故反比例函数的表达式为．
（2）解：根据题意，得，的交点为点，点，
，
故x的取值范围为或；
（3）解：根据函数的交点分别为点，点，设点，
根据题意，得，
由的面积为12，
，
解得，
故点．
（4）解：点也在反比例函数的图像上，
当时，；
当时，；
根据反比例函数的性质，得y随x的增大而减小，
故函数值y的取值范围为或．
37．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式．
(2)结合图形，请直接写出不等式的解集．
(3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点和点，已知，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，求反比例函数的解析式，掌握待定系数法求解析式，图象法求不等式的解集是关键．
（1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解；
（2）观察图象得到一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围，即可求解；
（3）由题意可知，点N坐标为点M的坐标为，再由且，可得，即可求解．
【详解】（1）解：（1）∵反比例函数的图象过点,
∴,
∴反比例函数关系式为：．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
∴点B坐标为．
∵一次函数的图象过点和，
∴，
∴，
∴一次函数关系式为．
（2）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和，
∴不等式的解集为或．
（3）解：设点N坐标为点M的坐标为，
∵且，
∴，
解得（不合题意），．
经检验，为方程的解，
∴．
38．（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且一次函数与x轴，y轴分别交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)若点P为x轴上一点，的面积为10，求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)P的坐标是或
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）首先将点代入反比例函数，利用待定系数法确定反比例函数的表达式，再确定点A的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（2）结合图像即可获得答案；
（3）首先确定点C的坐标，设设，则，结合可得关于的绝对值方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数，
可得，解得，
反比例函数的表达式为，
将点代入反比例函数，得，
点A的坐标为．
将点A和点B的坐标分别代入，
得，解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）由图像可知，不等式的解集为或；
（3）把代入，得，
解得，
∴点C的坐标是，
∵点P为x轴上一点，可设，则，
∵，
∴，
，
，
∴，解得或，
即P的坐标是或．
随堂检测 · 精选练习
随堂1（反比例与直线交点求坐标及线段长） — 已知反比例函数与直线交点坐标及垂直/平行关系，利用解析式联立或几何性质求点的坐标。掌握待定系数法与距离公式。
随堂2（图象比较自变量的取值范围） — 给出两函数交点横坐标，根据图象上下位置直接写出一次函数值小于反比例函数值时 的范围，注意反比例函数在 正负半轴的分支。
随堂3（平行线与三角形面积计算） — 过定点作 轴平行线分别交两函数图象，求三角形面积。方法：求出交点坐标，利用水平宽与铅垂高公式。。
随堂4（利润实际问题分段函数） — 新技术改造前后变化模型：前段反比例（），后段线性递增。求利润表达式、比较函数值、求资金紧张期（利润 万元）。考查读图、待定系数及解不等式。
复习重点：由图象写解析式 → 解不等式 → 面积转化 → 实际建模。
1．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______．
【答案】
【知识点】一次函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、因式分解法解一元二次方程
【分析】由点为反比例函数与直线的交点，可求出、的值，令点的坐标为，则点的坐标为，代入，即可解出的值，得出结果．
【详解】解：∵点为反比例函数与直线的交点，
∴，解得，
令点的坐标为，
∵，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
可得，
化简得，
解得或（舍去），
∴点B的坐标为．
2．（2026·四川成都·二模）如图，反比例函数与一次函数交于点，点，若，，当时，的取值范围是______．
【答案】或
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】由图像可知，反比例函数 与一次函数 交于 、 两点； 即一次函数图像在反比例函数图像下方，结合图像直接读出 的取值范围．
【详解】解：由图像，反比例函数 （，）与一次函数 交于点 ，
观察图像，当 时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即 ；
当 时，一次函数图像在反比例函数图像上方，即 ；
当 时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即 ；
当 时，的取值范围是 或 ．
3．（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________．
【答案】6
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合
【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：把代入中得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入中得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵轴，，
∴点和点的纵坐标都为 2 ，
在中，当时，，即，
在中，当时，,即,
，
∵，
．
4．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）．
(1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式；
(2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）；
(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？
【答案】(1)当时，，当时，
(2)
(3)5
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式；
（2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可；
（3）利用分别得出x的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：当时，将代入得：，
∴在新技术改造阶段的函数关系式为：，
当时，将代入得：，则，
即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：．
（2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上，
∴，
当时，该厂的利润在反比例函数上，
∴，
当时，该厂的利润在一次函数上，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）解：对于，当时，，
对于，当时，，
∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月，
∴该厂资金紧张期共有5个月．
课后巩固 · 针对性练习
课固1（图象共存判断） — 利用一次函数与反比例函数中参数 符号一致性，结合象限分布选出正确选项。
课固2（根据图象写不等式解集） — 直接观察两函数图象交点，写出反比例函数小于一次函数时自变量取值。
课固3（利用对称性求交点） — 正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，由已知交点坐标直接得另一交点坐标。
课固4（待定系数法求解析式） — 已知交点横坐标代入一次函数求纵坐标，再代入反比例函数确定表达式。
课固5（结合图象解不等式） — 已知 两点坐标，直接由图象得一次函数 反比例函数时 的取值范围。
课固6（面积求点坐标） — 已知函数解析式及三角形面积，利用 轴上点坐标表示面积建立方程，注意多解情况。
课固7（沙尘暴实际应用） — 分段函数模型：加速、匀速、反比例下降。求最高风速及持续时间，求“安全时刻”时长（风速 km/h）。需分段计算。
课固8（几何动态函数关系） — 直角三角形中构造垂直，面积与线段函数关系，描绘图象并比较自变量范围。综合相似或三角函数导出解析式。
课固9（综合存在性问题） — 一次函数与反比例函数交于两点，在第三象限反比例图象上找点使得面积倍数关系。利用坐标设参数，解方程并验证。
复习建议 课后巩固侧重数形结合与模型应用，务必独立完成识图、求解析式、不等式解集的规范书写，并熟练掌握面积问题的“铅垂高法”与坐标运算法则。
1.（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意；
B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意；
C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象交y轴的负半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意；
D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意．
2.（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，反比例函数（）的图像和一次函数（）的图像相交于，两点，则当时，的取值范围是______．
【答案】或．
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查了用函数图象求不等式的解集，本题中根据一次函数与反比例函数的图象的位置关系找到不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可知：在第二象限时，在点的左侧，
即，
在第四象限时 ，在点的左侧，
即，
综上所述，当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
3.（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______．
【答案】
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、正比例函数的图象、由反比例函数图象的对称性求点的坐标
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可．
【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称，
∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称．
已知一个交点坐标为，
因此另一个交点坐标为．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，反比例函数图象与一次函数图象的一个交点为P，且点P的横坐标为1．则该反比例函数的表达式为________．
【答案】
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】将点P的横坐标代入一次函数解析式，求出点P的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的系数，即可得到反比例函数表达式．
【详解】解：把代入得，
点的坐标为，
把代入得，
该反比例函数的表达式为．
5．（25-26九年级下·内蒙古通辽·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．根据图象，直接写出关于x的不等式的解集________．
【答案】或
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】根据函数图象找出反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，x的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图象在一次函数的图象上方，
∴根据图象，关于的不等式的解集为：或．
6．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标．
(3)结合图形，直接写出时x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据的面积为6，求得，根据的坐标即可求得的坐标；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：（1）把代入得：，
即反比例函数的表达式为，
把代入得：，
即的坐标为，
把、的坐标代入得：
，解得，
即一次函数的表达式为；
（2）一次函数与轴交于点，
，
，点在轴上，且的面积为6，
，
或；
（3）观察函数图象知，时的取值范围为．
7．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．
(2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
【答案】(1)32，10
(2)y=
(3)59.5
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键．
（1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时；
（2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解；
（3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解．
【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时；
时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时；
时，风速不变；最高风速维持时间为小时；
故答案为：32，10；
（2）解：设当时函数解析式为，将，代入，
，解得：
当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为；
（3）解：∵当，时，，解得，
∴时风速为10千米/时，
当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y=
将代入，得
解得
所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为；
当，时，，解得
“危险时刻”的时间为：（小时）．
∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时．
8．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图1，在中，．点为线段上一点（点与端点、不重合），，过点作于点，点在射线上，连接．的面积始终为3，线段的长为，线段的长为．
(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或．
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、相似三角形——动点问题
【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定等知识，掌握运用数形结合的思想解决是本题的关键．
（1）根据三角形的面积可得的解析式，证明，列比例式可得的解析式；
（2）分别画函数，的图象，并根据增减性可得性质；
（3）根据交点写函数在下方时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，的面积始终为3，线段的长为，
∴，即，
∴ ；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴
（2）函数， 的图象如图所示，
函数的性质：随x的增大而减小（答案不唯一）；
函数的性质：随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）由图象得，当时x的取值范围是或．
解方程并检验得，
故当时x的取值范围是或．
9．（2026·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用、求一次函数解析式
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合；
（1）把点代入即可求出，把代入反比例函数解析式求出点的坐标，再将把和点的坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）设点的坐标为，分类讨论：①当点在第四象限时，；②当点在第二象限时，；分别建立方程即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：把点代入得，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，
点的坐标为，
把和点代入得，解得
一次函数的解析式为．
综上所述：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，
，
当点在第四象限时，如图所示：
∵
∴，
解得：（不合题意舍去），
当点在第二象限时，如图所示：
∵
∴，
解得：（不合题意舍去），
综上所述，点的坐标为或．
10．（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)已知点P在x轴上，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
(3)或
【知识点】求反比例函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数与反比例函数的其他综合应用、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了求一次函数解析式，由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，求直线围成的图形面积，已知比例系数求特殊图形的面积，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）先根据A点的坐标求出反比例函数的比例系数，从而可得反比例函数的解析式，再求出B点的横坐标，从而可根据反比例函数与一次函数交于A、B两点，转化为关于k，b的方程组求解；
（2）根据反比例函数与一次函数交于A、B两点，求不等式的解集；
（3）先求得面积，再根据点P在x轴上，且的面积是面积的2倍，列出关于p的方程求解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∵、是一次函数和反比例函数图象的两个交点，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为；
（2）不等式，可化为，
∵一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
∴不等式为，
这个不等式表示一次函数的值比反比例函数的值大，
结合图象可知点A的左边符合，原点O到点B之间也符合，
∵、，
∴这个不等式的解集为或．
（3）一次函数的解析式为，
当时，，
当时，，
解得：，
∴一次函数交x轴于，交y轴于，
∵、，
∴的面积为，
∵点P在x轴上，
∴设，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴P点的坐标为或．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第25&26章 一次函数与反比例函数综合 优等生讲义
(4大考点精讲+随堂检测+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 一次函数 与反比例函数 的图象特征及参数意义。
掌握 同一坐标系中两函数图象“共存”的判断方法，能根据图象比较函数值大小，解不等式。
熟练运用 待定系数法求函数解析式，利用交点坐标解决几何面积、线段长度等问题。
能够建模 分段函数（加热冷却、利润变化、沙尘暴等），并分析临界时间和数值范围。
体会数形结合 思想、分类讨论及解析法在综合题中的核心地位。
核心：图象共存条件 · 交点与不等式 · 面积模型 · 实际应用分段函数。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一次函数基础
一般式： （）。 决定方向（ 上升， 下降）； 决定与 y 轴交点 。
图象性质： 一条直线； 越大直线越陡；与坐标轴围成直角三角形面积与系数有关。
与反比例综合关键： 联立方程组求交点坐标，利用交点比较函数值大小。
☆ 反比例函数基础
一般式： （），图象为双曲线，关于原点对称。
性质： 时两支在一、三象限， 时在二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而减小（）或增大（）。
k 的几何意义： 双曲线上任意一点向 x 轴、y 轴作垂线，围成的矩形面积为 ，三角形面积为 。
☆ 四大综合题型核心要点
图象共存判断： 根据一次函数中 符号与反比例函数中 符号的一致性，排除矛盾选项。
交点与不等式： 求两函数交点坐标；观察图象，写出使 的 范围，注意分区间讨论及反比例函数定义域。
面积问题： 利用割补法，铅垂高×水平宽；或利用坐标表示三角形面积，结合 几何意义求解。
实际应用（分段函数）： 加热 冷却、利润变化、沙尘暴等模型，抓住转折点，用待定系数法求不同阶段解析式。
☆ 知识总结表
类别 核心内容 常用方法/公式
一次函数 () 决定升降， 决定 y 截距；与 x 轴交点
反比例函数 () 双曲线， 几何意义 → 围成矩形面积；对称性
图象共存 符号一致性、象限分布 假设 正负推理排除法
交点 & 不等式 联立方程求交点，图象法比大小 解集： 对应“上”方图象部分
三角形面积 函数与坐标轴、交点围成图形 或坐标公式
实际应用 分段函数，一次+反比结合 建模时注意自变量范围与临界值
核心考点 ·4类题型精讲
【考点1】一次函数与反比例函数图象综合判断 （对应资料第1-11题）
※ 方法总结
先根据反比例函数 的符号确定双曲线所在象限，再判断一次函数 的符号与图象是否匹配。
常见技巧：若一次函数为 ，分析 正负时直线过定点 或参数约束，采用赋值排除法。
注意反比例函数两支不同象限，直接决定一次函数可能的象限搭配。
1．（2026·贵州遵义·一模）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．或
3．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______．
4．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____．
5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________．
6．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________．
7．（2025·安徽·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为_____．
8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图象交于点、点，与轴交于点．
(1)求的值以及反比例函数的表达式；
(2)连接，，求的面积；
(3)直接写出关于的不等式的解集．
9．（2026·四川南充·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出时x的取值范围．
10．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)结合图象直接写出时的取值范围．
(3)将直线向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点，且的面积为，求平移后直线的函数关系式．
11．（2026·河南周口·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将一次函数的图象沿轴向下平移，使直线经过点，交轴于点．连接，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【考点2】一次函数与反比例函数的交点问题 （对应资料第12-22题）
※ 方法总结
正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称，可直接利用对称性写出另一点坐标。
联立一次函数与反比例方程，消元得到一元二次方程，利用根与系数关系求未知参数。
利用图象解不等式：找出交点横坐标，根据图象上下位置确定 的解集，注意反比例函数定义域分段。
面积问题常结合交点：三角形面积可用 或坐标公式。
12．（2026·河北保定·二模）已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方
C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方
13．（2026·广东梅州·二模）如图，直线：与双曲线交于，两点．已知，点的纵坐标为，则不等式 的解集为( )
A． B． C．或 D．或
14．（2026·河北保定·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（2026·安徽宿州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，点在第一象限，与轴交于点，已知的面积为，则的面积为___________．
16．（2026·陕西·模拟预测）已知反比例函数与正比例函数（为常数，且）的图象交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为__________．
17．（2026·陕西汉中·二模）若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为________．
18．（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知菱形，顶点C在x轴上，反比例函数的图像经过顶点，OB与反比例函数的图像交于点D．点D的坐标是______．
19．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______．
20．（2026·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系（如图），已知正比例函数的图像与反比例函数（）的图像相交于点，过点作轴的垂线，与反比例函数的图像相交于点．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)联结，点是的中点，联结，求的长．
21．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像交于点C，过点B作x轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)如果，求k的值．
22．（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点．
(1)求m与n之间的关系式；
(2)求一次函数与反比例函数的表达式；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【考点3】一次函数与反比例函数的实际应用 （对应资料第23-30题）
※ 方法总结
识别变化过程：匀速加热（一次函数）→ 自然冷却（反比例函数）或利润变化（前面反比下降，后面线性增加）。
利用关键点坐标（最高温度、室温、时间转折点）求解析式，注意自变量取值范围。
解决“不低于某温度的时间”需分别求两阶段满足条件的时间区间，然后求和。
注意实际意义检验：是否超过定义域、单位统一等。
23．（25-26九年级上·山东德州·月考）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（ ）
A． B． C． D．
24．（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ）
A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是
B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为
C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为
D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为
25．（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为_____
26．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．

27．（25-26九年级上·云南昆明·月考）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．
(1)求当时，与之间的函数表达式；
(2)加热一次，水温不低于的时间有多长．
28．（25-26九年级上·全国·期末）【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为．
根据I与R之间的关系得出一组数据如下：
… 1 2 3 q 6 …
… 4 p 2.4 2 1.5 …
(1)填空： ____________，____________；
(2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质；
(3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？
29．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
(3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
30．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
【考点4】一次函数与反比例函数的其他综合应用 （对应资料第31-38题及课后巩固综合）
※ 方法总结
规律探究与周期迭代： 按给定规则（作垂线→找交点）得到点列，建立横坐标递推关系，计算前几项发现周期性，利用周期求第 项坐标。
函数与几何动态问题： 利用相似、勾股表达线段长，建立函数模型，描绘图象并分析增减性、最值，注意自变量范围。
存在性问题（面积倍分）： 先假设存在，用未知数表示点坐标，代入面积方程求解，并检验是否在函数图象上且符合范围。
函数与方程综合： 结合根的判别式、韦达定理，判断交点个数或求参数值。
31．（25-26九年级上·山东·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．-2
32．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（ ）
A．，或 B．，或
C．，或 D．，或
33．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．给出下列结论：
①两函数图象的交点的坐标为；
②当时，；
③；
④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小．
其中，正确的是（ ）．
A．①② B．② C．①④ D．①③④
34．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
35．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长；
(3)若两函数图象的另一交点为点，在轴上找一点使得的面积为6，求点坐标．
36．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点．
(1)求双曲线的表达式和a，b的值；
(2)请直接写出使得的x的取值范围；
(3)若的面积为12，求此时C点的坐标．
(4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围．
37．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式．
(2)结合图形，请直接写出不等式的解集．
(3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点和点，已知，求的值．
38．（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且一次函数与x轴，y轴分别交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)若点P为x轴上一点，的面积为10，求出点P的坐标．
随堂检测 · 精选练习
随堂1（反比例与直线交点求坐标及线段长） — 已知反比例函数与直线交点坐标及垂直/平行关系，利用解析式联立或几何性质求点的坐标。掌握待定系数法与距离公式。
随堂2（图象比较自变量的取值范围） — 给出两函数交点横坐标，根据图象上下位置直接写出一次函数值小于反比例函数值时 的范围，注意反比例函数在 正负半轴的分支。
随堂3（平行线与三角形面积计算） — 过定点作 轴平行线分别交两函数图象，求三角形面积。方法：求出交点坐标，利用水平宽与铅垂高公式。。
随堂4（利润实际问题分段函数） — 新技术改造前后变化模型：前段反比例（），后段线性递增。求利润表达式、比较函数值、求资金紧张期（利润 万元）。考查读图、待定系数及解不等式。
复习重点：由图象写解析式 → 解不等式 → 面积转化 → 实际建模。
1．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______．
2．（2026·四川成都·二模）如图，反比例函数与一次函数交于点，点，若，，当时，的取值范围是______．
3．（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________．
4．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）．
(1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式；
(2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）；
(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？
课后巩固 · 针对性练习
课固1（图象共存判断） — 利用一次函数与反比例函数中参数 符号一致性，结合象限分布选出正确选项。
课固2（根据图象写不等式解集） — 直接观察两函数图象交点，写出反比例函数小于一次函数时自变量取值。
课固3（利用对称性求交点） — 正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，由已知交点坐标直接得另一交点坐标。
课固4（待定系数法求解析式） — 已知交点横坐标代入一次函数求纵坐标，再代入反比例函数确定表达式。
课固5（结合图象解不等式） — 已知 两点坐标，直接由图象得一次函数 反比例函数时 的取值范围。
课固6（面积求点坐标） — 已知函数解析式及三角形面积，利用 轴上点坐标表示面积建立方程，注意多解情况。
课固7（沙尘暴实际应用） — 分段函数模型：加速、匀速、反比例下降。求最高风速及持续时间，求“安全时刻”时长（风速 km/h）。需分段计算。
课固8（几何动态函数关系） — 直角三角形中构造垂直，面积与线段函数关系，描绘图象并比较自变量范围。综合相似或三角函数导出解析式。
课固9（综合存在性问题） — 一次函数与反比例函数交于两点，在第三象限反比例图象上找点使得面积倍数关系。利用坐标设参数，解方程并验证。
复习建议 课后巩固侧重数形结合与模型应用，务必独立完成识图、求解析式、不等式解集的规范书写，并熟练掌握面积问题的“铅垂高法”与坐标运算法则。
1．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，反比例函数（）的图像和一次函数（）的图像相交于，两点，则当时，的取值范围是______．
3．（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，反比例函数图象与一次函数图象的一个交点为P，且点P的横坐标为1．则该反比例函数的表达式为________．
5．（25-26九年级下·内蒙古通辽·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．根据图象，直接写出关于x的不等式的解集________．
6．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标．
(3)结合图形，直接写出时x的取值范围．
7．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．
(2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
8．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图1，在中，．点为线段上一点（点与端点、不重合），，过点作于点，点在射线上，连接．的面积始终为3，线段的长为，线段的长为．
(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）
9．（2026·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标．
10．（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)已知点P在x轴上，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标．
试卷第1页，共3页
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