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第一章　集合、常用逻辑用语与不等式
1.1　集合
考试要求 三年考情
1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系,理解集合之间包含与相等的含义. 2.能求两个集合的并集、交集与补集. 3.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T1 新课标Ⅰ卷T1 全国一卷T2
新课标Ⅱ卷T2 全国二卷T3
必备知识回顾
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或 表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N+) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A).
(2)真子集:如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A).
(3)相等:若A B,且B A,则A=B.
　1.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
2.任何集合都是自身的子集.
3.集合的基本运算
运算 表示
集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A, 或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A, 且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U, 且x A} UA
知识拓展
1.若集合A中有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-1)个非空子集,(2n-2)个非空真子集.
2.若A B,B C,则A C.
3.A∩B=A A B,A∪B=A B A.
4. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
5.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
基础检测
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1}. (　×　)
(2){x|y=}={y|y=}={(x,y)|y=}. (　×　)
(3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1.(　×　)
(4)对任意集合A,B,都有(A∩B) (A∪B).(　√　)
2.(人教A版必修第一册P14习题1.3T6改编)已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩( UB)={1,3,5,7},则集合B={0,2,4,6,8,9,10}.
解析:因为U=A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A∩( UB)={1,3,5,7},所以 UB A,所以 UB={1,3,5,7},故B= U( UB)={0,2,4,6,8,9,10}.
3.(人教A版必修第一册P35复习参考题1T9改编)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若A∪B=A,则实数a=2.
解析:因为A∪B=A,所以B A,所以a+2∈A.当a+2=3,即a=1时,A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,不符合题意;当a+2=a2时,a=-1(舍去)或a=2,此时A={1,3,4},B={1,4},符合题意.综上,实数a=2.
4.(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(2)改编)已知集合A={x|0解析:因为B A,所以利用数轴分析法(如图),可知a≥2.
关键能力提升
考点1 集合的含义与表示
【例1】　(1)(人教B版必修第一册P9练习BT4改编)已知集合A={2,|a+1|,a+3},且1∈A,则实数a的值为0.
【解析】　由集合A={2,|a+1|,a+3},且1∈A,得|a+1|=1或a+3=1,解得a=0或a=-2.当a=0时,A={2,1,3},符合题意;当a=-2时,|a+1|=1且a+3=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意.故实数a的值为0.
(2)已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 027+b2 027的值为-1.
【解析】　由集合相等可知0∈,且a≠0,则=0,故b=0,a2=1,解得a=1或a=-1.根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,故a=-1,此时a2 027+b2 027=(-1)2 027+02 027=-1.
规律总结
解决与集合的基本概念有关问题的关键
(1)确定构成集合的元素是点、数,还是其他类型.
(2)确定元素的特征属性.
(3)根据元素的特征(满足的限制条件)构造关系式解决相应问题.
注意:集合中元素的互异性容易被忽略,求解问题时要特别注意.
【对点训练1】　(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)∣x≤y,x∈A,y∈A}中元素的个数是 (　C　)
A.1　　　 B.3
C.6　　　 D.9
解析:由题可得B={(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2)},则集合B含有6个元素.故选C.
(2)(多选)(人教A版必修第一册P9习题1.2T1改编)下列结论错误的是(　BCD　)
A.{y|y=x2+1,x∈R}={x|x=t2+1,t∈R}
B.{y|y=x2+1,x∈R}={(x,y)|y=x2+1,x∈R}
C. ={0}
D.集合{a,b}的真子集为{a},{b}
解析:对于A,B,{y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞),{x|x=t2+1,t∈R}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1,x∈R}表示函数y=x2+1的图象上的点的集合,故A正确,B错误;对于C, {0},故C错误;对于D,集合{a,b}的真子集为 ,{a},{b}(易错:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集),故D错误.故选BCD.
考点2 集合的基本关系
【例2】　(1)已知集合A=,B={x|-1≤x≤1},则(　B　)
A.A=B B.A B
C.B A D.A=
【解析】　因为A=={x|-1(2)已知集合A={x|1A.(2,+∞) B.(1,2]
C.(-∞,2] D.[2,+∞)
【解析】　当B= 时,m≤1;当B≠ 时,有解得1规律总结
　　1.判断集合间关系的常用方法
2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析问题及对参数进行讨论.求得参数后,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.
注意:若B A,则应分B= 和B≠ 两种情况讨论.
【对点训练2】　(1)(人教B版必修第一册P14练习BT2改编)集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}间的关系是 (　C　)
A.M P S B.S=P M
C.S P=M D.P=M S
解析:任取a∈M,则a=5k1-2=5(k1-1)+3,k1∈Z,则a∈P,故M P.任取b∈P,则b=5n1+3=5(n1+1)-2,n1∈Z,则b∈M,故P M,则M=P.任取c∈S,则c=10m1+3=5·(2m1)+3,m1∈Z,则c∈P,故S P,又8∈P,8 S,所以S P.所以S P=M.故选C.
(2)已知集合A={1,2},B={x|mx-1=0},若A∩B=B,则符合条件的实数m的值组成的集合为(　C　)
A.
C.
解析:当m=0时,B= ,A∩B=B;当m≠0时,B=,由A∩B=B,得B A,则=2,解得m=1或m=,所以实数m的值组成的集合为.故选C.
考点3 集合的运算
命题角度1　集合的基本运算
【例3】　(1)(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则 U(A∪B)= (　D　)
A.{1,2,4,5} B.{1,3,4}
C.{1,2,3,5} D.{4}
【解析】　由A={1,3},B={2,3,5},得A∪B={1,2,3,5}.集合U={1,2,3,4,5},故 U(A∪B)={4}.故选D.
(2)(2025·河南许昌三模)已知集合A={x|x2-10x≤0},B=,则A∩B= (　D　)
A.[-1,10] B.(0,1]
C.(-∞,0) D.[1,10]
【解析】　由A={x|x2-10x≤0},得A={x|0≤x≤10}.由≤1,得≤1,即≤0,解得x≥1或x<0,所以B={x|x≥1或x<0},故A∩B={x|1≤x≤10}.故选D.
规律总结
　　1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
2.对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,那么可用Venn图表示;如果集合是数集且其中的元素是连续的,那么可用数轴表示,此时要注意端点值的取舍情况.
命题角度2　根据集合的运算求参数
【例4】　已知集合M={x|y=ln(m-x)},N={x|x2-3x+2≤0},若M∩N= ,则m的最大值为(　C　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
【解析】　M={x|y=ln(m-x)}={x|x因为M∩N= ,所以m≤1,则m的最大值为1.故选C.
规律总结
利用集合的运算求参数的方法
(1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍.
(2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.
注意:在求出参数后,注意对结果的验证(需满足集合中元素的互异性).
【对点训练3】　(1)(2025·全国一卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则 UA中元素的个数为 (　C　)
A.0 B.3
C.5 D.8
解析:因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},所以 UA={2,4,6,7,8}, UA中元素的个数为5.故选C.
(2)已知集合A={x|x2+mx=0},B={1}.若A∪B={0,1},则m的值为(　D　)
A.0 B.1
C.-1 D.0或-1
解析:由x2+mx=0可得x=0或x=-m,则当m≠0时,A={0,-m};当m=0时,A={0}.因为B={1},且A∪B={0,1},所以m=0或m=-1.故选D.
(3)(2025·浙江绍兴三模)设集合M={x|x2-x<0},N={x|-2A.M∩N= B.M∩N=M
C.M∪N=M D.M∪N=R
解析:由x2-x<0,得x(x-1)<0,解得0考点4 集合的新定义问题
【例5】　(多选)给定n∈N*,若集合P {1,2,3,…,n},且存在a,b,c,d∈P,满足aA.{1,2,3}是“广义等差集合”
B.{1,3,4,6}是“广义等差集合”
C.若P不是“广义等差集合”,则当n=8时,|P|的最大值为4
D.若P不是“广义等差集合”,且|P|的最大值为4,则n可以是13
【解析】　对于A,取a=1,b=c=2,d=3,b-a=d-c=1,符合“广义等差集合”的定义,故A正确;对于B,取a=1,b=3,c=4,d=6,b-a=d-c=2,符合“广义等差集合”的定义,故B正确;对于C,当n=8时,P {1,2,3,…,8},若|P|=5,设P={a1,a2,a3,a4,a5},1≤a17矛盾,|P|>5时同理,故|P|<5,当|P|=4时,取P={1,2,4,8},满足P不是“广义等差集合”,故|P|的最大值为4,故C正确;对于D,当n=13时,取P={1,2,4,8,13},这与|P|max=4矛盾,故D错误.故选ABC.
规律总结
解决以集合为背景的新定义问题的关键
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解集合新定义问题难点的关键所在.
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
【对点训练4】　(多选)已知集合S={(x,y)|x>0,y>0,x+y=6,且xy-3k≥0,k>0},则称集合S为k-分集.下列说法正确的是 (　AD　)
A.当k=3时,{(3,3)}是唯一的k-分集
B.对任意k>3,总存在至少一个k-分集
C.若S是2-分集,则|x-y|≥2
D.若S是1-分集,则(x-2)2+(y-4)2<24
解析:由x>0,y>0,x+y=6得xy≤=9,当且仅当x=y=3时等号成立,即(xy)max=9.对于A,当k=3时,S={(x,y)|x>0,y>0,x+y=6,且xy≥9},又xy≤9,所以S={(x,y)|x=y=3}={(3,3)},故A正确;对于B,当k>3时,xy≥3k>9,不符合(xy)max=9,故B错误;对于C,当k=2时,xy≥6,则|x-y|=,故C错误;对于D,当k=1时,xy≥3,又x>0,y>0,x+y=6,所以x(6-x)≥3,解得3-,(x-2)2+(y-4)2=(x-2)2+(6-x-4)2=2(x-2)2≤2×(1+)2=14+4<24,故D正确.故选AD.
教材深研（容斥原理）
1.链接教材:(人教A版必修第一册P35复习参考题1T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A版必修第一册P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下:
(1)二元容斥原理:
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);
(2)三元容斥原理:
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
【典例】　求精中学为丰富学生们的课余生活,开展了多种多样的学生社团活动,其中心理社、动漫社和地理社最受欢迎.高一某班有35名学生参加了这三个社团,其中有19人参加了心理社,有16人参加了地理社,有15人参加了动漫社,有6人参加了心理社和地理社,有5人参加了地理社和动漫社,已知每人至少参加一个社团,没有人同时参加三个社团,则只参加了一个社团的学生有(　C　)
A.16人 B.18人
C.20人 D.24人
【解析】　设心理社为A,地理社为B,动漫社为C,则card(A∪B∪C)=35,card(A∩B∩C)=0,card(A)=19,card(B)=16,card(C)=15,card(A∩B)=6,card(B∩C)=5,得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),即35=19+16+15-6-5-card(A∩C),得card(A∩C)=4,则只参加一个社团的人数为19-(4+6)+16-(6+5)+15-(4+5)=20.故选C.
考教衔接
高考真题 教材典题
1.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B= (　D　) A.{0,1,2}　　　　　　　 　　B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} 解析:B={x|x3=x}={0,-1,1},故A∩B={0,1}.故选D. 1.(人教B版必修第一册P16例1)求下列每对集合的交集: (1)A={1,-3},B={-1,-3}; (2)C={1,3,5,7},D={2,4,6,8}; (3)E=(1,3],F=[-2,2).
2.(2023·全国乙卷理)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1-1},故B错误;对于C,M∩N={x|-1课时作业1
(总分:90分)
基础巩固
1.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=8,x,y∈N*},则(　D　)
A.(2,3)∈A B.(1,)∈A
C.(2,-2)∈A D.(2,2)∈A
解析:对于A,22+32≠8,故A错误;对于B,C, N*,-2 N*,故B,C错误;对于D,2∈N*,且22+22=8,故D正确.故选D.
2.(5分)(2026·天津静海区一模)给出下列命题:①π∈R;②{1,2 024}={x|x2-2 025x+2 024=0};③ {0};④{(1,-2)} {(x,y)|y=x2-x-2}.其中真命题的个数为(　D　)
A.1　 　　 B.2
C.3　 　　 D.4
解析:显然π∈R, {0}(提示:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集),故①③正确;{x|x2-2 025x+2 024=0}={x|(x-1)·(x-2 024)=0}={1,2 024},故②正确;在y=x2-x-2中,当x=1时,y=-2,即有(1,-2)∈{(x,y)|y=x2-x-2},因此{(1,-2)} {(x,y)|y=x2-x-2},故④正确.综上,真命题的个数为4.故选D.
3.(5分)设集合A={x∈N|-1A.8　 　　B.7 C.4　　 　D.3
解析:A={x∈N|-14.(5分)已知集合A={m|m=2n-1,n∈N*,m<20},则集合A中所有元素的和为(　A　)
A.100 B.99
C.120 D.119
解析:A={m|m=2n-1,n∈N*,m<20}={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19},则集合A中所有元素的和为=100.故选A.
5.(5分)(2026·T8联考)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B=,则A∪B= (　B　)
A.[3,+∞)
B.(-∞,-1]∪[,+∞)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.[-1,]
解析:∵A={x|x≤-1或x≥3},B={x|x≥},∴A∪B={x|x≤-1或x≥}.故选B.
6.(5分)(2025·北京昌平区二模)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|1A.(1,2] B.(1,2)
C.[2,3) D.(2,3)
解析:由A={x|x≥2},U=R,得 UA={x|x<2}.又B={x|17.(5分)(2025·浙江金华二模)设集合P={0,1,2},Q={x|x2-4>0},则 (　D　)
A.P Q B.Q P
C. RP Q D.Q R P
解析:因为Q={x|x2-4>0}=(-∞,-2)∪(2,+∞), RP=(-∞,0)∪(0,1)∪(1,2)∪(2,+∞),所以Q R P.故选D.
8.(5分)(2026·江苏南京一模)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|x+a≤0}.若A B,则实数a的取值范围是 (　D　)
A.(-∞,2) B.(-∞,2]
C.(-∞,-2) D.(-∞,-2]
解析:由x2-4≤0可得A=[-2,2],由x+a≤0可得B=(-∞,-a].又A B,所以2≤-a,即a≤-2.故选D.
9.(8分,多选)(2025·河南开封二模)已知集合A={x|-3<2x-1<3}, RB A,则 (　BC　)
A.-1 B B.2∈B
C.-1∈A∪B D.2∈A∩B
解析:A={x|-3<2x-1<3}={x|-110.(8分,多选)已知全集U={x||x|<4,x∈Z},集合M={-1,2,a2},N={-1,1,2,a},P={-3,-1,2,3},若M N,则 (　BCD　)
A.a的取值有3个
B.M∩P={-1,2}
C.P∪N={-3,-1,0,1,2,3}
D.( UM)∩( UP)所有子集的个数为4
解析:对于A,因为M={-1,2,a2},N={-1,1,2,a},且M N,所以a2=1或a2=a,且a≠±1,a≠2,解得a=0,故a的取值只有1个,故A错误;对于B,M={-1,2,0},P={-3,-1,2,3},则M∩P={-1,2},故B正确;对于C,N={-1,1,2,0},P∪N={-3,-1,0,1,2,3},故C正确;对于D,U={x||x|<4,x∈Z}={x|-4 UP={-2,0,1},则( UM)∩( UP)={-2,1},则( UM)∩( UP)的子集的个数为22=4,故D正确.故选BCD.
11.(8分,多选)(2026·海南海口模拟)已知集合A={x|1A.若A∪B=B,则a≥4
B.若A∪B=A,则1≤a≤4
C.若B A,则1D.若A∩B= ,则a<1
解析:B={x|x2-(a+1)x+a<0}={x|(x-a)(x-1)<0}(一元二次不等式首先考虑分解因式变形).对于A,由A∪B=B,得A B(含参数的集合所在位置决定它是否可为空集).因为A={x|11),所以由图1可得(集合A,B中不等式都不含端点,所以这里可以取等号,实际求解时可代入验证),解得a≥4,故A正确.
对于B,由A∪B=A,得B A(提示:B是A的子集,应考虑空集情况).若B= ,则a=1,满足题意;若B≠ ,则由集合A可知B={x|1对于C,由B A,且A≠ ,结合B的分析及图2可得a=1(B= 时)或(B≠ 且A≠B,即两集合右端点不能相等),解得1≤a<4,故C错误.对于D,A∩B= ,当B= ,即a=1时,满足题意;当B≠ 时,如图3,B={x|a12.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知集合A={-1,2},B={x|mx+1=0},若A∪B=A,则m的可能取值组成的集合为.
解析:∵A∪B=A,∴B A.当B= 时,m=0.当-1∈B时,m=1;当2∈B时,m=-.
13.(5分)(2025·广东揭阳三模)已知集合A={x||x-1|>1},则( RA)∩N*={1,2}.
解析:因为A={x||x-1|>1}={x|x<0或x>2},所以 RA={x|0≤x≤2},故( RA)∩N*={1,2}.
14.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤4},A∩( UB)={1,2,3},则集合B={0,4}.
解析:∵全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤4}={0,1,2,3,4},∴ UB A.又A∩( UB)={1,2,3},
∴ UB={1,2,3},∴集合B={0,4}.
素养提升
15.(5分)含有有限个元素的数集,定义其“交替和”如下:把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替地减加各数,例如{4,6,9}的“交替和”是9-6+4=7,而{5}的“交替和”是5,则集合M={x∈Z|-5≤x≤4}的所有非空子集的“交替和”的总和为(　A　)
A.2 048 B.2 024
C.1 024 D.512
解析:由题知M={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},将集合M的子集两两配对(A,B),使4∈A,4 B,且B∪{4}=A,则符合条件的集合对有29个.又由题设定义有集合A与集合B的“交替和”之和为4,所以“交替和”的总和为4×29=211=2 048.故选A.
16.(6分)(2025·广东深圳二模)已知集合A={2,3,4,5,6,7}的子集中含有3个元素的子集记为A1,A2,A3,…,Ai,i∈N*.记mi为集合Ai(i=1,2,3,…,n)中的最小元素,若mi=m1+m2+m3+…+mn,则mi= (　A　)
A.55 B.70
C.89 D.630
解析:最小元素是2的有{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,3,7},{2,4,5},{2,4,6},{2,4,7}, {2,5,6},{2,5,7},{2,6,7},共10个;最小元素是3的有{3,4,5},{3,4,6},{3,4,7},{3,5,6},{3,5,7},{3,6,7},共6个;最小元素是4的有{4,5,6},{4,5,7},{4,6,7},共3个;最小元素是5的有{5,6,7},共1个.故mi=2×10+3×6+4×3+5×1=55.故选A.
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第一章　集合、常用逻辑用语与不等式（原卷版）
1.1　集合
考试要求 三年考情
1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系,理解集合之间包含与相等的含义. 2.能求两个集合的并集、交集与补集. 3.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T1 新课标Ⅰ卷T1 全国一卷T2
新课标Ⅱ卷T2 全国二卷T3
必备知识回顾
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性: 、 、 .
(2)元素与集合的关系是 或 ,用符号 或 表示.
(3)集合的表示法: 、 、 .
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
2.集合的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作 (或 ).
(2)真子集:如果集合A B,但存在元素x∈B,且 ,就称集合A是集合B的真子集,记作 (或 ).
(3)相等:若A B,且 ,则A=B.
　1.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
2.任何集合都是自身的子集.
3.集合的基本运算
运算 表示
集合语言 图形语言 记法
并集
交集
补集
知识拓展
1.若集合A中有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-1)个非空子集,(2n-2)个非空真子集.
2.若A B,B C,则A C.
3.A∩B=A A B,A∪B=A B A.
4. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
5.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
基础检测
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1}. ( 　)
(2){x|y=}={y|y=}={(x,y)|y=}. (　 　)
(3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1.(　 )
(4)对任意集合A,B,都有(A∩B) (A∪B).(　 　)
2.(人教A版必修第一册P14习题1.3T6改编)已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩( UB)={1,3,5,7},则集合B= .
3.(人教A版必修第一册P35复习参考题1T9改编)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若A∪B=A,则实数a=
4.(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(2)改编)已知集合A={x|0关键能力提升
考点1 集合的含义与表示
【例1】　(1)(人教B版必修第一册P9练习BT4改编)已知集合A={2,|a+1|,a+3},且1∈A,则实数a的值为
(2)已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 027+b2 027的值为 .
规律总结
解决与集合的基本概念有关问题的关键
(1)确定构成集合的元素是点、数,还是其他类型.
(2)确定元素的特征属性.
(3)根据元素的特征(满足的限制条件)构造关系式解决相应问题.
注意:集合中元素的互异性容易被忽略,求解问题时要特别注意.
【对点训练1】　(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)∣x≤y,x∈A,y∈A}中元素的个数是 ( )
A.1　　　 B.3
C.6　　　 D.9
(2)(多选)(人教A版必修第一册P9习题1.2T1改编)下列结论错误的是(　 )
A.{y|y=x2+1,x∈R}={x|x=t2+1,t∈R}
B.{y|y=x2+1,x∈R}={(x,y)|y=x2+1,x∈R}
C. ={0}
D.集合{a,b}的真子集为{a},{b}
考点2 集合的基本关系
【例2】　(1)已知集合A=,B={x|-1≤x≤1},则(　 　)
A.A=B B.A B
C.B A D.A=
(2)已知集合A={x|1A.(2,+∞) B.(1,2]
C.(-∞,2] D.[2,+∞)
规律总结
　　1.判断集合间关系的常用方法
2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析问题及对参数进行讨论.求得参数后,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.
注意:若B A,则应分B= 和B≠ 两种情况讨论.
【对点训练2】　(1)(人教B版必修第一册P14练习BT2改编)集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}间的关系是 (　　)
A.M P S B.S=P M
C.S P=M D.P=M S
(2)已知集合A={1,2},B={x|mx-1=0},若A∩B=B,则符合条件的实数m的值组成的集合为(　
　)
A.
C.
考点3 集合的运算
命题角度1　集合的基本运算
【例3】　(1)(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则 U(A∪B)= (　)
A.{1,2,4,5} B.{1,3,4}
C.{1,2,3,5} D.{4}
(2)(2025·河南许昌三模)已知集合A={x|x2-10x≤0},B=,则A∩B= (　　)
A.[-1,10] B.(0,1]
C.(-∞,0) D.[1,10]
规律总结
　　1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
2.对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,那么可用Venn图表示;如果集合是数集且其中的元素是连续的,那么可用数轴表示,此时要注意端点值的取舍情况.
命题角度2　根据集合的运算求参数
【例4】　已知集合M={x|y=ln(m-x)},N={x|x2-3x+2≤0},若M∩N= ,则m的最大值为(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
规律总结
利用集合的运算求参数的方法
(1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍.
(2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.
注意:在求出参数后,注意对结果的验证(需满足集合中元素的互异性).
【对点训练3】　(1)(2025·全国一卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则 UA中元素的个数为 (　)
A.0 B.3
C.5 D.8
(2)已知集合A={x|x2+mx=0},B={1}.若A∪B={0,1},则m的值为(　　)
A.0 B.1
C.-1 D.0或-1
(3)(2025·浙江绍兴三模)设集合M={x|x2-x<0},N={x|-2A.M∩N= B.M∩N=M
C.M∪N=M D.M∪N=R
考点4 集合的新定义问题
【例5】　(多选)给定n∈N*,若集合P {1,2,3,…,n},且存在a,b,c,d∈P,满足aA.{1,2,3}是“广义等差集合”
B.{1,3,4,6}是“广义等差集合”
C.若P不是“广义等差集合”,则当n=8时,|P|的最大值为4
D.若P不是“广义等差集合”,且|P|的最大值为4,则n可以是13
规律总结
解决以集合为背景的新定义问题的关键
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解集合新定义问题难点的关键所在.
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
【对点训练4】　(多选)已知集合S={(x,y)|x>0,y>0,x+y=6,且xy-3k≥0,k>0},则称集合S为k-分集.下列说法正确的是 (　　)
A.当k=3时,{(3,3)}是唯一的k-分集
B.对任意k>3,总存在至少一个k-分集
C.若S是2-分集,则|x-y|≥2
D.若S是1-分集,则(x-2)2+(y-4)2<24
教材深研（容斥原理）
1.链接教材:(人教A版必修第一册P35复习参考题1T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A版必修第一册P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下:
(1)二元容斥原理:
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);
(2)三元容斥原理:
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
【典例】　求精中学为丰富学生们的课余生活,开展了多种多样的学生社团活动,其中心理社、动漫社和地理社最受欢迎.高一某班有35名学生参加了这三个社团,其中有19人参加了心理社,有16人参加了地理社,有15人参加了动漫社,有6人参加了心理社和地理社,有5人参加了地理社和动漫社,已知每人至少参加一个社团,没有人同时参加三个社团,则只参加了一个社团的学生有(　　)
A.16人 B.18人
C.20人 D.24人
考教衔接
高考真题 教材典题
1.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B= (　) A.{0,1,2}　　　　　　　 　　B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} 1.(人教B版必修第一册P16例1)求下列每对集合的交集: (1)A={1,-3},B={-1,-3}; (2)C={1,3,5,7},D={2,4,6,8}; (3)E=(1,3],F=[-2,2).
2.(2023·全国乙卷理)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1课时作业1
(总分:90分)
基础巩固
1.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=8,x,y∈N*},则(　　)
A.(2,3)∈A B.(1,)∈A
C.(2,-2)∈A D.(2,2)∈A
2.(5分)(2026·天津静海区一模)给出下列命题:①π∈R;②{1,2 024}={x|x2-2 025x+2 024=0};③ {0};④{(1,-2)} {(x,y)|y=x2-x-2}.其中真命题的个数为(　　)
A.1　 　　 B.2
C.3　 　　 D.4
3.(5分)设集合A={x∈N|-1A.8　 　　B.7 C.4　　 　D.3
4.(5分)已知集合A={m|m=2n-1,n∈N*,m<20},则集合A中所有元素的和为(　　)
A.100 B.99
C.120 D.119
5.(5分)(2026·T8联考)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B=,则A∪B= (　　)
A.[3,+∞)
B.(-∞,-1]∪[,+∞)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.[-1,]
6.(5分)(2025·北京昌平区二模)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|1A.(1,2] B.(1,2)
C.[2,3) D.(2,3)
7.(5分)(2025·浙江金华二模)设集合P={0,1,2},Q={x|x2-4>0},则 (　　)
A.P Q B.Q P
C. RP Q D.Q R P
8.(5分)(2026·江苏南京一模)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|x+a≤0}.若A B,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,2) B.(-∞,2]
C.(-∞,-2) D.(-∞,-2]
9.(8分,多选)(2025·河南开封二模)已知集合A={x|-3<2x-1<3}, RB A,则 (　　)
A.-1 B B.2∈B
C.-1∈A∪B D.2∈A∩B
10.(8分,多选)已知全集U={x||x|<4,x∈Z},集合M={-1,2,a2},N={-1,1,2,a},P={-3,-1,2,3},若M N,则 (　　)
A.a的取值有3个
B.M∩P={-1,2}
C.P∪N={-3,-1,0,1,2,3}
D.( UM)∩( UP)所有子集的个数为4
11.(8分,多选)(2026·海南海口模拟)已知集合A={x|1A.若A∪B=B,则a≥4
B.若A∪B=A,则1≤a≤4
C.若B A,则1D.若A∩B= ,则a<1
12.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知集合A={-1,2},B={x|mx+1=0},若A∪B=A,则m的可能取值组成的集合为.
13.(5分)(2025·广东揭阳三模)已知集合A={x||x-1|>1},则( RA)∩N*= .
14.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤4},A∩( UB)={1,2,3},则集合B= .
素养提升
15.(5分)含有有限个元素的数集,定义其“交替和”如下:把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替地减加各数,例如{4,6,9}的“交替和”是9-6+4=7,而{5}的“交替和”是5,则集合M={x∈Z|-5≤x≤4}的所有非空子集的“交替和”的总和为(　　)
A.2 048 B.2 024
C.1 024 D.512
16.(6分)(2025·广东深圳二模)已知集合A={2,3,4,5,6,7}的子集中含有3个元素的子集记为A1,A2,A3,…,Ai,i∈N*.记mi为集合Ai(i=1,2,3,…,n)中的最小元素,若mi=m1+m2+m3+…+mn,则mi= (　)
A.55 B.70
C.89 D.630
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