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第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
1．理解一次函数、正比例函数的定义，掌握两者的包含关系．
2．会识别一次函数与正比例函数，能根据实际情境列出一次函数解析式．
3．初步感受“变量间均匀变化”的函数模型思想．
现实世界中的运动变化现象各种各样，有的简单，有的复杂．例如，在匀速直线运动中，任意相同时间的变化都会引起相同路程的变化，即路程随时间均匀变化．像这样，一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在．例如，
高铁列车在匀速行驶的过程中，行驶的路
程s随时间t的变化；一年期存款到期时在
计算本息和的过程中，本息和y随本金x的
变化；登山队员在攀登高峰的过程中，所
在位置的气温y随海拔x的变化；等等．
在本章中，我们将学习刻画一个变量随另一个变量均匀变化这类现象的函数———一次函数．通过具体问题体会一次函数的意义，结合其图象讨论它的性质，体会其在解决运动变化问题中的作用．在此基础上，还将从一次函数的角度再次认识一次方程和不等式，并用一次函数解决一些实际问题．
函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模型．运动变化各种各样，函数也有不同的类型．一次函数是一类刻画简单的运动变化的函数，也是一类最基本的函数．
问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃．用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温．
分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃．因此，y关于x的函数解析式为
y＝5－6x．
这个函数也可以写为
y＝－6x＋5．
当登山队员由大本营向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数y＝－6x＋5的值，即
y＝－6×2＋5＝－7（℃）．
问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃．用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温．
思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式．
（1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
解：（1）变量铁块质量与体积之间对应的关系是函数关系，函数解析式为：
m＝7.9V
思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式．
（2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化．
解：（2）变量练习本总厚度与个数之间对应的关系是函数关系，函数解析式为：
h＝0.5n
思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式．
（3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化．
解：（3）变量标准体重与身高之间对应的关系是函数关系，函数解析式为：
m＝h－105
思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式．
（4）把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y（单位：cm2）随x的变化而变化．
解：（4）变量矩形面积与长减少量之间对应的关系是函数关系，函数解析式为：
y＝－5x＋50
这些函数解析式有哪些共同特征？
（1）m＝7.9V； （2）h＝0.5n；
（3）m＝h－105； （4）y＝－5x＋50．
这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式．
一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量．特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx．形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数．
满足一次函数的条件：
①自变量的次数是 1 ；②一次项系数k≠0 ．
满足正比例函数的条件：
①自变量的次数是 1 ；②一次项系数k≠0 ；③常数项b＝0 ．
例：一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm．
（1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式；
（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂xkg的物体时，弹簧伸长2xcm．因此，y关于x的函数解析式为
y＝2x＋12．
（2）把x＝5代入y＝2x＋12，得y＝2×5＋12＝22．
因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
一次函数的概念
正比例函数的概念
一次函数的概念
y＝kx＋b
（k，b是常数，k≠0）
y＝kx
（k是常数，k≠0）
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
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同步探究学案
课题 23.1 一次函数的概念 单元 第二十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解一次函数、正比例函数的定义，掌握两者的包含关系． 2．会识别一次函数与正比例函数，能根据实际情境列出一次函数解析式． 3．初步感受“变量间均匀变化”的函数模型思想．
重点 理解一次函数与正比例函数的定义，掌握两者的包含关系，并能根据定义正确识别一次函数与正比例函数．
难点 从实际情境中抽象出一次函数解析式，理解“均匀变化”与一次函数形式的内在联系，准确把握定义中k0的限制条件．
探究过程
导入新课 【引入思考】 现实世界中的运动变化现象各种各样，有的简单，有的复杂．例如，在匀速直线运动中，任意相同时间的变化都会引起相同路程的变化，即路程随时间均匀变化．像这样，一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在．例如，高铁列车在匀速行驶的过程中，行驶的路程s随时间t的变化；一年期存款到期时在计算本息和的过程中，本息和y随本金x的变化；登山队员在攀登高峰的过程中，所在位置的气温y随海拔x的变化；等等． 在本章中，我们将学习刻画一个变量随另一个变量均匀变化这类现象的函数———一次函数．通过具体问题体会一次函数的意义，结合其图象讨论它的性质，体会其在解决运动变化问题中的作用．在此基础上，还将从一次函数的角度再次认识一次方程和不等式，并用一次函数解决一些实际问题． 函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模型．运动变化各种各样，函数也有不同的类型．一次函数是一类刻画简单的运动变化的函数，也是一类最基本的函数．
新知探究 本节课来研究： 本节我们以生活中“均匀变化”的实例为载体，研究一次函数。 问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃．用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温． 分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xkm时，气温从5℃减少______℃．因此，y关于x的函数解析式为 y＝__________． 这个函数也可以写为 y＝－6x＋5． 当登山队员由大本营向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数y＝－6x＋5的值，即 y＝_____＋5＝______（℃）． 思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式．这些函数解析式有哪些共同特征？ （1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化． （2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化． （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化． （4）把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y（单位：cm2）随x的变化而变化． 归纳：一般地，形如y＝_______（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是_________．特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝______．形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作_________函数，其中k叫作比例系数． 满足一次函数的条件： ①自变量的次数是____；②一次项系数k≠____． 满足正比例函数的条件： ①自变量的次数是____；②一次项系数k≠____；③常数项b＝____． 例：一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm． （1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式； （2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数是正比例函数，则k的值为______． 3．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 选做题： 4．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．已知函数是关于x的一次函数．求当时y的值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知长方形的周长为30cm，它的长为xcm，宽为ycm，则y与x之间的函数关系式为________________，该关系式________（填“是”或“不是”）一次函数． 3．已知函数，为常数．若该函数是正比例函数， (1)求的值； (2)指出这个正比例函数的比例系数． 选做题： 4．下列说法错误的是（ ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【综合拓展类作业】 5．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？
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分课时教学设计
第一课时《23.1 一次函数的概念》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是一次函数单元的开篇课，是学生从“变量关系”走向“函数模型”的关键节点，承接七年级变量、常量与函数概念的基础，开启整个单元图象、性质与应用的学习．教材以登山气温变化、弹簧伸长等现实情境为载体，通过实例抽象出一次函数与正比例函数的定义，既体现了数学建模思想，也为后续研究函数图象、性质奠定了概念基础．同时，本课是学生首次系统接触形如y=kx+b的函数形式，其“均匀变化”的特征，为理解函数的增减性、解决实际问题提供了核心依据，在整个单元中起到了“奠基与定向”的关键作用．
学习者分析 学生已掌握变量、常量、函数的基本概念，具备初步的列代数式、求函数值的能力，对生活中均匀变化的现象（如匀速变化、固定速率增长）有直观感知．但学生对“函数解析式的形式特征”缺乏抽象概括能力，易混淆一次函数与正比例函数的关系，也容易忽略定义中k0的限制条件．同时，学生对“从实际情境中抽象出函数模型”的过程仍不熟练，需要通过具体实例引导，逐步建立“变量关系→解析式→函数模型”的思维路径．
教学目标 1．理解一次函数、正比例函数的定义，掌握两者的包含关系． 2．会识别一次函数与正比例函数，能根据实际情境列出一次函数解析式． 3．初步感受“变量间均匀变化”的函数模型思想．
教学重点 理解一次函数与正比例函数的定义，掌握两者的包含关系，并能根据定义正确识别一次函数与正比例函数．
教学难点 从实际情境中抽象出一次函数解析式，理解“均匀变化”与一次函数形式的内在联系，准确把握定义中k0的限制条件．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解一次函数、正比例函数的定义，掌握两者的包含关系． 2．会识别一次函数与正比例函数，能根据实际情境列出一次函数解析式． 3．初步感受“变量间均匀变化”的函数模型思想．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 讲解：现实世界中的运动变化现象各种各样，有的简单，有的复杂．例如，在匀速直线运动中，任意相同时间的变化都会引起相同路程的变化，即路程随时间均匀变化．像这样，一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在．例如，高铁列车在匀速行驶的过程中，行驶的路程s随时间t的变化；一年期存款到期时在计算本息和的过程中，本息和y随本金x的变化；登山队员在攀登高峰的过程中，所在位置的气温y随海拔x的变化；等等． 在本章中，我们将学习刻画一个变量随另一个变量均匀变化这类现象的函数———一次函数．通过具体问题体会一次函数的意义，结合其图象讨论它的性质，体会其在解决运动变化问题中的作用．在此基础上，还将从一次函数的角度再次认识一次方程和不等式，并用一次函数解决一些实际问题． 函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模型．运动变化各种各样，函数也有不同的类型．一次函数是一类刻画简单的运动变化的函数，也是一类最基本的函数．学生活动2： 学生认真听老师讲解活动意图说明： 以生活中“均匀变化”的实例为载体，点明一次函数的本质特征，让学生感受其现实背景，激发学习兴趣；同时概述本章学习脉络，明确学习目标与价值，为后续概念、图象及应用的学习做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃．用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温． 分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃．因此，y关于x的函数解析式为 y＝5－6x． 这个函数也可以写为 y＝－6x＋5． 当登山队员由大本营向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数y＝－6x＋5的值，即 y＝－6×2＋5＝－7（℃）． 思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式． （1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化． 解：（1）变量铁块质量与体积之间对应的关系是函数关系，函数解析式为： m＝7.9V （2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化． 解：（2）变量练习本总厚度与个数之间对应的关系是函数关系，函数解析式为： h＝0.5n （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化． 解：（3）变量标准体重与身高之间对应的关系是函数关系，函数解析式为： m＝h－105 （4）把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y（单位：cm2）随x的变化而变化． 解：（4）变量矩形面积与长减少量之间对应的关系是函数关系，函数解析式为： y＝－5x＋50 追问：这些函数解析式有哪些共同特征？ 预设：这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式． 归纳：一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量．特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx．形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数． 满足一次函数的条件： ①自变量的次数是1；②一次项系数k≠0． 满足正比例函数的条件： ①自变量的次数是1；②一次项系数k≠0；③常数项b＝0． 例：一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm． （1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式； （2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？ 解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂xkg的物体时，弹簧伸长2xcm．因此，y关于x的函数解析式为 y＝2x＋12． （2）把x＝5代入y＝2x＋12，得y＝2×5＋12＝22． 因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm．学生活动3： 学生小组合作探究，班内交流，并认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 以登山气温、弹簧伸长等实例引入，引导学生抽象一次函数定义，体会建模思想；例题通过弹簧问题巩固概念，帮助学生理解解析式中 k、b 的实际意义，落实教学目标环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：23.1一次函数的概念一、一次函数的概念 二、正比例函数的概念教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．已知函数是正比例函数，则k的值为______． 答案：1 3．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 解：（1）由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 选做题： 4．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．已知函数是关于x的一次函数．求当时y的值． 解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴， ∴函数解析式为， ∴当时，．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 2．已知长方形的周长为30cm，它的长为xcm，宽为ycm，则y与x之间的函数关系式为________________，该关系式________（填“是”或“不是”）一次函数． 答案： 是 3．已知函数，为常数．若该函数是正比例函数， (1)求的值； (2)指出这个正比例函数的比例系数． 解：（1）函数，为常数，是正比例函数， ，且， 解得； （2）由（1）知，， ， 即正比例函数的比例系数为． 选做题： 4．下列说法错误的是（ ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 答案：B 【综合拓展类作业】 5．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 解：（1）由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数．
教学反思 本课通过生活实例引入，学生对一次函数的形式特征掌握较好，但部分学生在区分一次函数与正比例函数时仍有混淆，对k0的限制条件重视不足．后续需增加辨析练习，强化定义细节；同时，在实际问题建模环节，部分学生对变量关系的分析不够清晰，需加强情境分析的引导，让学生真正理解解析式中k与b的实际意义，深化对一次函数概念的理解．
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