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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 1.4.1二次函数的应用
课型： 新授课 设计时间： 2026 年 5 月 8 日
学习核心内容 1.利用二次函数解决实际问题中的最大（小）值，重点为面积最值类问题。 2.以课本例 1 “窗户边框透光面积” 为载体，经历实际情境→建立模型→确定范围→求最值→解释应用的完整过程，渗透数学建模、数形结合思想。
学习目标 评价设计（指向学习目标）
能从实际问题中找出变量关系，正确设元，列出二次函数解析式，并准确确定自变量取值范围。能独立完成审题、设未知数，正确写出函数表达式；能根据实际意义写出 x 的取值范围，正确率≥85%。 会用配方法、公式法求二次函数的最值，能判断顶点是否在自变量取值范围内，并据此确定实际最值。能规范计算最值；能说出 “顶点是否有效” 的判断依据，步骤完整、表达清晰。 3.能用二次函数模型解决面积最大等典型实际问题，理解二次函数在生活中的应用价值。 1能独立完成审题、设未知数，正确写出函数表达式；能根据实际意义写出 x 的取值范围，正确率≥85%。 2.能规范计算最值；能说出 “顶点是否有效” 的判断依据，步骤完整、表达清晰。 3.能完整解答课本例题与变式题，书写规范，答案符合实际意义
学习过程设计
一、情境导入（5 分钟） 1. 生活问题：窗户边框如何设计，才能让透光面积最大？ 2. 引出课题：本节课我们将用二次函数解决这类实际最值问题。 复习回顾（3 分钟） 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的顶点坐标、最值公式。 开口方向与最值关系：a>0 有最小值；a<0 有最大值。 新知探究（20 分钟） 课本例 1：窗户边框透光面积问题题目：窗户边框的上部分是由 4 个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料的总长度为 6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？（结果精确到 0.01m） 解题过程：1. 设元：设半圆的半径为 x（m），窗框矩形部分的另一边长为 y（m）。2. 列等式（材料总长度）： 根据题意，边框材料总长度为：5x + πx + 2x + 2y = 6 化简得：y = 3 - . 确定自变量取值范围：因为矩形边长 y > 0 所以： 3 - > 0 解得 0＜x＜ 建立面积函数：透光面积 S 由半圆面积和矩形面积组成： S = 将 y = 3 - 代入上式： S = =(-)+6x 即S = (-)+6x ( 0＜x＜) 求最值：因为 a = -< 0，抛物线开口向下，函数有最大值。 顶点横坐标：x = - = 验证：在0＜x＜ 范围内，顶点有效。 此时：x=≈0.35 S最大值=≈1.05 对应的y值： Y=3 - ×0.35≈1.23 作答：当窗户半圆的半径约为 0.35m，窗框矩形部分的另一边长约为 1.23m 时，窗户的透光面积最大，最大值约为 1.05m 。 方法归纳（解题六步法）：①审（找等量关系）→②设（合理设元）→③列（函数表达式）→④定（自变量范围）→⑤求（最值并验证）→⑥答（结合实际意义作答） 巩固训练（10 分钟）1. 基础练习：课本课内练习第 2 题（直角三角形斜边最小值问题）。 变式练习：把一根长 1m 的铅丝折成一个矩形，使矩形的面积最大，应怎样折？最大面积是多少？ 学生板演，教师点评，重点强调自变量取值范围与顶点有效性判断。### 五、课堂小结（2 分钟） 二次函数应用核心：建模、定范围、求最值。 易错点：忽略实际意义对自变量的限制，导致最值判断错误。 课堂检测（2 分钟）1. 函数 y = -3x2 + 6x + 1 的最大值是______，此时 x =_____。 2. 课本例 1 中，若材料总长度改为 8m，求半圆半径为多少时透光面积最大？
作业内容： 必做题：课本作业题 A 组第 1、2、3 题。 必做题：整理课本例 1 的解题过程到作业本上，标注每一步的关键要点。 3. 选做题：课本作业题 B 组第 4 题（隧道横截面面积最值问题）。
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计： 1.4.1 二次函数的应用（第 1 课时） 一、课本例 1： 窗户透光面积 1.设元：半径x，矩形边长y 2. 列关系：y = 3 - 3. 定范围：0＜x＜ 4. 建函数S = (-)+6x 5. 求最值：x=≈0.35S最大值=≈1.05 二、解题六步法：审→设→列→定→求→答
教学反思：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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