资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 1.4.2二次函数的应用
课型： 新授课 设计时间： 2026 年 5 月 8 日
学习核心内容 以课本例 2（两船距离最近问题）和例 3（饮料销售利润最大问题）为载体，掌握二次函数在几何最值与销售利润最值两类实际问题中的建模方法，强化 “先定自变量范围，再求最值” 的解题逻辑，渗透数学建模与转化思想。
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1. 能从几何运动问题中抽象出二次函数模型，用含t的代数式表示相关量，将距离最值问题转化为二次函数的最值问题。 2. 能理解销售问题中 “售价变化→销量变化” 的数量关系，用含x的代数式表示单件利润与销售量，建立利润函数并确定自变量取值范围。 3. 会用配方法或公式法求二次函数的最值，能判断顶点是否在自变量取值范围内，并据此确定实际问题的最值。 1.能正确用勾股定理建立距离表达式，化简为二次函数形式，步骤规范。 2.能准确列出利润函数解析式，正确写出x的取值范围，错误率低于 15%。 3.能规范计算最值，说出 “顶点有效性” 的判断依据，答案符合实际意义。
学习过程设计
复习导入（3 分钟） 回顾：第 1 课时用二次函数解决了面积最值问题，核心步骤为：审→设→列→定范围→求最值→答。 提问：除了面积，生活中还有哪些问题可以用二次函数解决？（距离、利润等） 揭示课题：本节课我们将学习用二次函数解决几何距离最值与销售利润最值问题。 新知探究（22 分钟） 课本例 2：两船距离最近问题题目：B 船位于 A 船正东 26 km 处。现在 A、B 两船同时出发，A 船以 12 km/h 的速度朝正北方向行驶，B 船以 5 km/h 的速度朝正西方向行驶。何时两船相距最近？最近距离是多少？ 解题过程： 设元与分析：设经过t（h）后，A、B 两船分别到达A'、B'处。 A 船行驶距离：AA' = 12t（km） B 船行驶距离：BB' = 5t（km） 剩余东西方向距离：AB' = 26 - 5t（km） 建立距离表达式：根据勾股定理，两船距离A'B' =， 即：A'B' = 化简为二次函数形式： A'B' = = 问题转化为求被开方数169t2 - 260t + 676的最小值。 配方法求最值： 169t2 - 260t + 676= (13t)2 - 2×13t×10 + 102 = (13t - 10)2 + 576 因为(13t - 10)2 ≥0， 所以当13t - 10 = 0，即t = 时，被开方数取得最小值 576。 求最近距离： A'B'最小 = =24(km) 作答：经过小时，两船之间的距离最近，最近距离为 24 km。 课本例 3：饮料销售利润最大问题题目：某超市销售一种饮料，每瓶进价为 9 元。当售价在 10 元到 14 元之间（含 10 元，14 元）浮动时，每瓶售价每增加 0.5 元，日均销售量减少 40 瓶；当售价为每瓶 12 元时，日均销售量为 400 瓶。问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润 = 每瓶售价 - 每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？ 解题过程： 设元与表示相关量：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元。 当售价为x元时，相比 12 元，售价增加了(x - 12)元。 每增加 0.5 元，销量减少 40 瓶，因此销量减少量为40× = 80(x - 12)瓶。 日均销售量：(400 - 80(x - 12) = 1360 - 80x（瓶） 建立利润函数：日均毛利润 =（售价 - 进价）× 销售量， 即： y = (x - 9)(1360 - 80x) 展开得： y = -80x^2 + 2080x - 12240 确定自变量取值范围：由题意，10 ≤x≤14。 求最值： 因为a = -80 < 0，抛物线开口向下，函数有最大值。 顶点横坐标： x = - = 13 验证：x = 13在10 ≤x≤14范围内，顶点有效。 代入x = 13， 得： y最大值 = -80×13^2 + 2080×13 - 12240 = 1280 元, 作答：售价定为每瓶 13 元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为 1280 元。 方法归纳： 几何距离最值：利用勾股定理建立距离表达式，转化为二次函数的最值问题，注意被开方数的非负性。 销售利润最值：总利润 =（售价 - 进价）× 销售量，关键是用含x的代数式正确表示销售量，并确定x的取值范围。 通用步骤：审→设→列→定范围→求最值（验证顶点有效性）→答。 巩固练习（10 分钟） 1.课内练习：某大棚内种植西红柿，每平方米种植 4 株时，平均单株产量为 2 kg；每平方米种植的株数每增加 1 株，单株产量减少 kg。问：每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少？ 2.学生板演，教师点评，重点强调自变量范围的确定与顶点有效性判断。 课堂小结（3 分钟） 本节课学习了二次函数在几何距离最值和销售利润最值中的应用。 解题核心：建立二次函数模型，先确定自变量取值范围，再求最值。 易错点：忽略自变量的实际限制条件，导致最值判断错误。 课堂检测（2 分钟） 二次函数y = -2x^2 + 12x - 16在2 ≤x≤5范围内的最大值是______，此时x =___。 2. 某商品进价 10 元，售价 15 元时，销量为 100 件，每涨价 1 元，销量减少 5 件，设涨价x元，利润y =，自变量x的取值范围是______。
作业内容： 必做题：课本作业题 A 组第 1 题（斜抛物体问题）。 必做题：整理课本例 2、例 3 的解题过程，标注每一步的关键要点。 3. 选做题：结合生活实际，设计一个可用二次函数解决的销售利润问题，并写出解题过程。
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计： 二次函数的应用（几何与利润最值） 几何距离：勾股定理→转化为二次函数最值 销售利润：（售价 - 进价）× 销量→建立利润函数 3. 关键：先定自变量范围，再判断顶点是否有效
教学反思：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑