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同步探究学案
课题 23.2 一次函数的图象和性质 （第1课时） 单元 第二十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．会用描点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，知道图象是过原点的直线． 2．掌握k>0、k<0时正比例函数图象的象限分布与增减性． 3．能用“两点法”即原点与(1,k)快速画正比例函数图象．
重点 掌握正比例函数y=kx(k≠0)的图象画法，理解k>0、k<0时图象的象限分布与增减性．
难点 理解k的正负对正比例函数图象倾斜方向、增减性的影响，建立解析式与图象的对应关系．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是一次函数？什么是正比例函数？ 2．什么是函数图象？ 3．如何画函数图象？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助画函数图象，研究正比例的图象和性质。 例1：分别画出下列正比例函数的图象： （1）y＝2x，y＝x；（2）y＝－1.5x，y＝－4x． 解：（1）函数y＝2x中的自变量x可为任意实数．下表是y与x的几组对应值． x…－2－1012…y……
如图所示，在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过______和第三、第一象限的直线．它就是函数y＝2x的图象． 用同样的方法，可以得到函数y＝x的图象．它也是一条经过原点和第____、第____象限的直线． （2）函数y＝－1.5x中的自变量x可为任意实数．下表是y与x的几组对应值．表 x…－2－1012…y……
如图所示，在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过____和第____、第____象限的直线．它就是函数y＝－1.5x的图象． 用同样的方法，可以得到函数y＝－4x的图象．它也是一条经过____和第____、第____象限的直线． 以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数y＝2x和y＝x的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数y＝－1.5x和y＝－4x的图象经过第二、第四象限，从左向右下降． 归纳：一般地，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过______的直线，我们称它为直线y＝____．当k＞0时，直线y＝kx经过第____、第____象限，从左向右______，即y随x的增大而______；当k＜0时，直线y＝kx经过第____、第____象限，从左向右______，即y随x的增大而____． 问题：由正比例函数的解析式，你能说明它的函数值y随自变量x的增大而增大（或减小）的道理吗？ 思考：由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗？ 归纳：因为两点确定一条直线，而正比例函数y＝kx（k≠0）的图象又是经过_______的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象．一般地，这一点可以取点________这个特殊点．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 2．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 选做题： 4．如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知正比例函数的图象上有两点，，当时，，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） 3．已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标是，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标是，则点的坐标是__________． 【综合拓展类作业】 5．已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标．
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第二十三章 一次函数
23.2 一次函数的图象和性质
（第1课时）
1．会用描点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，知道图象是过原点的直线．
2．掌握k>0、k<0时正比例函数图象的象限分布与增减性．
3．能用“两点法”即原点与(1,k)快速画正比例函数图象．
1．什么是一次函数？什么是正比例函数？
形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量．
形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数．
2．什么是函数图象？
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
3．如何画函数图象？
第一步，列表———表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点———在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线———按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
为了更好地借助函数认识运动变化现象，需要研究函数的性质，函数的性质能更好地刻画运动变化现象的变化规律．在函数性质的研究中，函数图象由于其直观性，经常扮演着重要的角色．
我们从特殊的一次函数———正比例函数开始，利用图象研究其性质．
例1：分别画出下列正比例函数的图象：
（1）y＝2x，y＝x；（2）y＝－1.5x，y＝－4x．
解：（1）函数y＝2x中的自变量x可为任意实数．下表是y与x的几组对应值．
x … －2 －1 0 1 2 …
y … －4 －2 0 2 4 …
y＝2x
如图所示，在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线．它就是函数y＝2x的图象．
y＝x
用同样的方法，可以得到函数y＝x的图象．
它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线．
例1：分别画出下列正比例函数的图象：
（1）y＝2x，y＝x；（2）y＝－1.5x，y＝－4x．
（2）函数y＝－1.5x中的自变量x可为任意实数．下表是y与x的几组对应值．
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 3 1.5 0 －1.5 －3 …
如图所示，在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线．它就是函数y＝－1.5x的图象．
用同样的方法，可以得到函数y＝－4x的图象．
它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线．
y =-4x
y=-1.5x
以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数y＝2x和y＝x的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数y＝－1.5x和y＝－4x的图象经过第二、第四象限，从左向右下降．
一般地，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小．
想一想：由正比例函数的解析式，你能说明它的函数值y随自变量x的增大而增大（或减小）的道理吗？
思考：由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗？
因为两点确定一条直线，而正比例函数y＝kx（k≠0）的图象又是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象．一般地，这一点可以取点（1，k）这个特殊点．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
正比例函数的图象和性质
正比例函数的性质
正比例函数的图象
所经过的象限
增减性
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
解：（1）是关于的正比例函数，
，由得，解得
又，即，, 代入得；
（2）由题意得，为坐标原点，，，设点的坐标为，，，代入得，解得，即或，当时，代入得，解得，此时；当时，代入得，解得，此时．综上，点的坐标为或．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第二课时《23.2 一次函数的图象和性质（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是一次函数单元的第2课时，承接上一课时一次函数的概念，聚焦正比例函数的图象与性质，是学生首次系统探究函数图象的关键课．教材通过画四个正比例函数的图象，引导学生感知正比例函数的图象和性质，为后续学习一般一次函数的图象、性质奠定方法基础．本课通过“描点—观察—归纳”的探究过程，渗透数形结合思想，帮助学生建立解析式与图象的对应关系，理解k对函数增减性、倾斜方向的影响，既是对函数概念的深化，也为后续学习一次函数与方程、不等式的联系及实际应用提供核心工具，在整个单元中起到承上启下的关键作用．
学习者分析 学生已掌握函数、一次函数与正比例函数的概念，了解函数图象的定义与基本画法，具备初步的描点作图能力．但学生对“解析式中参数k的几何意义”缺乏理解，难以将k的正负与图象的增减性、象限分布建立直接关联，对“两点法”画正比例函数图象的便捷性认识不足．同时，学生的数形结合思维仍处于形成阶段，需要通过具体的画图、对比、归纳活动，逐步建立解析式与图象的对应关系，理解正比例函数的性质．
教学目标 1．会用描点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，知道图象是过原点的直线． 2．掌握k>0、k<0时正比例函数图象的象限分布与增减性． 3．能用“两点法”即原点与(1,k)快速画正比例函数图象．
教学重点 掌握正比例函数y=kx(k≠0)的图象画法，理解k>0、k<0时图象的象限分布与增减性．
教学难点 理解k的正负对正比例函数图象倾斜方向、增减性的影响，建立解析式与图象的对应关系．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．会用描点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，知道图象是过原点的直线． 2．掌握k>0、k<0时正比例函数图象的象限分布与增减性． 3．能用“两点法”即原点与(1,k)快速画正比例函数图象．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是一次函数？什么是正比例函数？ 答案：形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量． 形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数． 2．什么是函数图象？ 答案：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 3．如何画函数图象？ 答案：第一步，列表———表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点———在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线———按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 导言：为了更好地借助函数认识运动变化现象，需要研究函数的性质，函数的性质能更好地刻画运动变化现象的变化规律．在函数性质的研究中，函数图象由于其直观性，经常扮演着重要的角色． 我们从特殊的一次函数———正比例函数开始，利用图象研究其性质．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过题回顾一次函数、正比例函数定义与函数图象画法，为新课做好知识铺垫；导言点明图象研究函数性质的价值，自然引出正比例函数图象与性质的探究，激发学生用数形结合方法学习的兴趣环节三：新知讲解教师活动3： 例1：分别画出下列正比例函数的图象： （1）y＝2x，y＝x；（2）y＝－1.5x，y＝－4x． 解：（1）函数y＝2x中的自变量x可为任意实数．下表是y与x的几组对应值． x…－2－1012…y…－4－2024…
如图所示，在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线．它就是函数y＝2x的图象． 用同样的方法，可以得到函数y＝x的图象．它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线． （2）函数y＝－1.5x中的自变量x可为任意实数．下表是y与x的几组对应值．表 x…－2－1012…y…31.50－1.5－3…
如图所示，在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线．它就是函数y＝－1.5x的图象． 用同样的方法，可以得到函数y＝－4x的图象．它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线． 引导观察：以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数y＝2x和y＝x的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数y＝－1.5x和y＝－4x的图象经过第二、第四象限，从左向右下降． 归纳：一般地，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小． 追问：由正比例函数的解析式，你能说明它的函数值y随自变量x的增大而增大（或减小）的道理吗？ 思考：由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗？ 归纳：因为两点确定一条直线，而正比例函数y＝kx（k≠0）的图象又是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象．一般地，这一点可以取点（1，k）这个特殊点．学生活动3： 学生小组合作探究并班内汇报交流并认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过对比正比例函数图象，引导学生归纳k>0和k<0时的增减性与倾斜度规律，体会数形结合思想；通过描点、比较练习，巩固两点法画图方法，深化对k的几何意义的理解，落实图象性质的教学目标环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题： 23.2 一次函数的图象和性质（第1课时）一、正比例函数的图象 二、正比例函数的性质教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 答案：D 2．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 答案： 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 解：（1）∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式， ∵， ∴y的值随x值的增大而减小； （2）当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）∵正比例函数的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上． 选做题： 4．如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（ ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类练习】 5．已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 解：（1）函数图象经过第一、三象限， ， 解得：； （2）正比例函数中随的增大而减小， ， 解得：； （3）点在该函数的图象上， ， 解得：．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知正比例函数的图象上有两点，，当时，，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） 答案： 3．已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 解：（1） ，且是关于的正比例函数， ，， ， ， 函数的图像如下图： ． （2） 中，随的增大而减小，且， 当时，函数有最小值，最小值为． 答：函数的最小值． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标是，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标是，则点的坐标是__________． 答案： 【综合拓展类作业】 5．已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 解：（1）是关于的正比例函数， ， 由得， 解得 又，即， 代入得； （2）由题意得，为坐标原点，， ， 设点的坐标为， ， ，代入得， 解得，即或， 当时，代入得， 解得，此时； 当时，代入得， 解得，此时． 综上，点的坐标为或．
教学反思 本课通过对比画图、探究归纳，学生对正比例函数的图象与性质掌握较好，能运用两点法快速作图．但部分学生对k的正负与增减性的对应关系仍易混淆，对“倾斜程度与∣k∣的关系”理解不深．后续需增加对比辨析练习，强化数形结合的直观感知；同时，可结合生活实例，让学生体会正比例函数增减性的实际意义，深化对性质的理解．
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