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【期末冲刺】解答题满分讲义
(23~26章 知识梳理+典例+压轴) 2026年沪教版数学八年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握平行四边形的性质与判定，灵活运用对角线互相平分及全等三角形进行推理。
理解矩形、菱形、正方形的判定与性质，结合勾股定理解决计算问题。
熟练运用三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质。
掌握平面直角坐标系中点的坐标、平移规律及两点间距离公式。
理解新定义题型（“关联点”“好点”“完美点”）的转化方法。
熟练运用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式。
掌握一次函数与方程、不等式的关系，一次函数与反比例函数的交点、面积问题。
理解反比例函数的图象性质（增减性、对称性）及图象变换（平移）。
能解决一次函数与反比例函数的实际应用问题（水费、行程、压强、恒温等）。
体会数形结合、分类讨论、方程思想在综合题中的灵活运用。
核心思想：几何图形的性质与判定、函数与方程、数形结合与分类讨论。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 四边形
多边形： 内角和 ，外角和360°，对角线总数 。截去一个角后，边数可能不变、增加1或减少1。
平行四边形： 对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。判定：边、角、对角线条件。面积=底×高。过对角线交点的直线分得的面积相等。常结合全等三角形证明线段相等或平行。
矩形： 四个角是直角，对角线相等且互相平分。判定：平行四边形+一个直角 或 对角线相等。
菱形： 四边相等，对角线垂直平分且平分内角。面积=对角线乘积的一半。常与等边三角形、垂直平分线结合。
正方形： 具有矩形和菱形的所有性质。常见于旋转、全等模型。
三角形中位线： 连接两边中点，平行于第三边且等于第三边的一半。常用于构造平行四边形、直角三角形斜边中线。
重心： 三条中线交点，分中线为2:1（重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍）。常与中位线结合证明线段倍分。
☆ 平面直角坐标系
点的坐标： 点P(x,y)，到x轴距离|y|，到y轴距离|x|。
对称： 关于x轴对称 (x,-y)，关于y轴对称 (-x,y)，关于原点对称 (-x,-y)。
平移： 左减右加，下减上加。平移过程中对应点坐标变化一致。
距离公式： 欧氏距离 ，曼哈顿距离 。
新定义问题： 理解定义并转化为代数方程或不等式，如“关联点”、“好点”、“完美点”等，常需分类讨论。
☆ 一次函数
正比例函数： ()，过原点。k>0在一、三象限，y随x增大而增大；k<0在二、四象限，y随x增大而减小。
一次函数： ，k决定方向，b决定与y轴交点。
图象平移： 左加右减（x），上加下减（整体）。
与方程、不等式的关系： 交点坐标是方程组的解；图象在上方对应不等式大于。常用于行程问题、分段计费问题。
☆ 反比例函数
定义： ()，也可写作 或 。
图象与性质： 双曲线，关于原点对称。k>0在一、三象限，每一象限内y随x增大而减小；k<0在二、四象限，每一象限内y随x增大而增大。
k的几何意义： 双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积=|k|，三角形面积=|k|/2。常用于面积计算。
平移： ，图象形状不变，中心平移。
实际应用： 压强、电流、密度、消毒时间等成反比例关系，常与一次函数结合成分段函数。
☆ 一次函数与反比例函数综合
交点： 联立方程求解，常用代入消元法得到一元二次方程。
面积问题： 利用坐标轴上的点构造三角形，用铅垂高法或分割法求面积，常利用平行线等面积转化。
不等式解集： 根据图象上下位置直接写出。
平移求最值： 平移后面积不变，利用等积变形求解析式。
☆ 知识总结表
模块 核心内容 常用公式/结论
四边形 平行四边形判定、矩形/菱形性质、中位线、重心 对角线互相平分、一组对边平行且相等；中位线=$
一次函数 图像与性质、平移、实际应用 ，决定增减，决定截距；左加右减，上加下减
反比例函数 定义、图像、k的几何意义、平移 ，一三象限，二四象限；为矩形面积
一次与反比例综合 交点、面积、不等式、平移求最值 联立方程；铅垂高×水平宽×铅垂高；图象法解不等式
创新压轴 重心、中位线、分段函数、新定义 转化思想，构造辅助线，数形结合
核心模块 ·6大典型模块精讲
【模块一】四边形（对应第1-5题）
※方法总结
平行四边形证明：常用对角线互相平分（连接对角线）、一组对边平行且相等、两组对边分别相等。
过平行四边形对角线的直线：构造全等三角形（△AOE≌△COF），可证OE=OF，进而证明边相等、面积相等。
正方形中垂直与相等：通过作平行线构造全等（△ABP≌△BCH），证明AP=MN；垂直平分线结合轴对称证EF=ME+FN。
三角形中位线与直角三角形：利用中点得中位线，结合直角得斜边中线，求线段差；构造中点证垂直。
平行四边形中矩形判定：对角线相等且互相平分（AC=MN），结合等边三角形、勾股定理求边长。
菱形判定：对角线垂直的平行四边形是菱形；等边三角形+等腰三角形性质。
重心与中位线：重心分中线2:1，结合中位线构造平行四边形证线段倍分。
1．（2026春 金山区期中）如图，已知：在平行四边形ABCD中，AF＝CE．求证：四边形BFDE是一个平行四边形．
2．（2026春 杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若平行四边形ABCD的周长是24，OE＝2，求四边形ABFE的周长．
3．（2026春 静安区校级月考）如图①，在正方形ABCD中，P为线段BC上的一个动点，线段MN⊥AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N．
（1）求证：AP＝MN；
（2）如图②，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AP，BD于点E，F．求证：EF＝ME+FN．
4．（2026春 东海县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E，F，G分别是AD，BD，DC的中点，连接EG，EF，FG．
（1）试判断△EFG的形状，并说明理由；
（2）已知AB＝10，BC＝24，求EG的长．
5．（2026春 海淀区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，且．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若CD＝10，，求DN的长．
【模块二】平面直角坐标系（对应第6-9题）
※方法总结
新定义“关联点”：根据公式求坐标，利用平移后坐标相等列方程，利用垂直距离最小求参数。
两点间距离公式：直接计算或构造方程求未知数；求最小值转化为两点间线段最短（将军饮马）。
新定义“好点”：满足|x|+|y|=5，分类讨论去绝对值解方程。
新定义“完美点”：满足，平方后分类讨论求参数，整体代入求代数式值。
6．（2026春 宝山区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），Q（m，n）给出如下定义：若m＝2x+1，n＝2y﹣3，则点Q（m，n）就是点P的“关联点”．
（1）直接写出点（2，1）的“关联点”坐标；
（2）将点P向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后到点P1，如果点P1的“关联点”与点P互相重合，求点P的坐标；
（3）设点E（h，﹣1）的“关联点”为点F，是否存在h，使线段EF最小，若存在，直接写出h的值，若不存在，请说明理由．
7．（2026春 杨浦区期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点M1（x1，y1），M2（x2，y2），我们把d叫做M1，M2两点间的距离，记作d（M1，M2）．如A（﹣2，3），B（2，5），则d（A，B）．
请根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）若A（3，0），B（0，4），直接写出d（A，B）的值；
（2）当A（a，1），B（﹣1，4）的距离d（A，B）＝5时，求出a的值；
（3）若在平面内有一点C（x，y），使式子有最小值，请求出这个最小值．
8．（2026春 虹口区期中）点P是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B．如果|PA|+|PB|＝5，那么点P称为“好点”．例如：点M（﹣1，4），因为|﹣1|+|4|＝5，所以点M是“好点”．
（1）在点A（2，﹣3）、、C（﹣2，7）中，“好点”是　 　 ；
（2）如果D（2a，﹣5a）是“好点”，求a的值．
9．（2026春 长沙期中）定义：若点（a，b）满足a﹣b（a≥b≥0），则称这个点（a，b）为“完美点”．例如，9﹣4，故点（9，4）是“完美点”．
（1）点A（0，0），B（4，1），C（16，4）中，不是“完美点”的是　 　 ；
（2）若点C（4，x2）是“完美点”，求x的值；
（3）若点M（2m，m）是“完美点”，求出m3﹣4m2﹣11m+2028的值．
【模块三】一次函数（对应第10-16题）
※方法总结
已知交点及线段长度求解析式：利用交点坐标和垂直条件，通过待定系数法求k,b。
一次函数与不等式：根据图象直接写解集；利用交点分界，结合函数值大小写范围。
面积问题：利用大三角形减去小三角形，或分割成两个三角形面积和。
分段计费应用题：理解表格和图象，求出每档单价，建立分段函数，代入求值或解方程。
纸杯叠放：每增加一个纸杯高度增加固定值，设y=kx+b，由已知两点求解析式，再解决加盖问题。
交通流量：利用待定系数法求一次函数，代入求值，建立不等式求时间。
10．（2026春 闵行区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于点A、C，与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点P，点P的横坐标为3，PB⊥x轴，B为垂足，AB＝2PB．
（1）求点P的坐标；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式．
11．（2026春 金凤区校级期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是　 　 ，关于x的不等式kx+b＜0的解集是　 　 ．
（2）若点C坐标为（1，3），关于x的不等式0≤k1x+b1＜kx+b的解集是　 　 ．
（3）在（2）的条件下，求四边形OBCD的面积．
12．（2026春 碑林区校级期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象（如图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点A（﹣1，0），B（2，0），C（1，3），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是　 　 ；
（2）求关于x的不等式k1x+b1＞kx+b的解集；
（3）求△ABC的面积．
13．（2026 徐汇区二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的90%核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3.小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如表，每户每年应缴自来水水费y（元）与用水量x（m3）关系如图所示．
分类 第1档 第2档 第3档
用水量x（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分
供水费单价（元/m3） 2.25 n 6.99
污水处理费（元/m3） 2.00
根据上述信息，解答下列问题：
（1）第1档的自来水水费1m3的单价为　 　 元；图中点A的纵坐标为　 　 ；
（2）小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出n的值为　 　 元；
（3）已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量．
14．（2026春 闵行区期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程S（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图象，回答下列问题：
（1）甲的速度是　 　 米/秒；
（2）先到达终点的是　 　 （填“甲”或“乙”）；
（3）写出乙的图象的函数解析式及定义域　 　 ．
15．（2026 闵行区二模）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点P1，P2，P3都落在了线段AB上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度．
（1）求叠放在一起的纸杯总高度y（厘米）关于纸杯数量x（个）的函数解析式（不写定义域）；
（2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量．
16．（2025 静安区二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
【模块四】反比例函数（对应第17-21题）
※方法总结
反比例函数性质：根据图象所在象限或增减性求参数范围；点是否在图象上通过代入验证。
反比例函数平移：左加右减（x），上加下减（整体），分析图象性质（对称性、增减性）。
实际应用（压强、电流）：设，代入已知点求k，再根据条件求值或范围（注意单位统一）。
分段函数（温度）：先正比例后反比例，求有效时长需解不等式组。
17．（2025秋 路南区期末）已知反比例函数y，（k为常数，k≠1）．
（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
18．（2025秋 信阳期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…
探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．
（1）绘制函数：
①列表：
x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 …
y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 …
②根据如表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象．
（2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①　 　 ，②　 　 ．
（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 　 　 平移 　 　 个单位．
（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 　 　 时，y3＞3．
19．（2025秋 闵行区期末）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 …
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108
（1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）；
（2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
20．（2026 金山区二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω．
可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A．
（1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值；
（2）求I关于总电阻R的函数解析式；
（3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围．
21．（2024秋 松江区期末）某鲜花种植基地，某天恒温系统从开启到关闭，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．其中线段OB、BC表示恒温系统开启后的阶段，反比例函数图象的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y关于时间x（0≤x≤5）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）如果大棚内的温度低于10℃不利于某种鲜花的生长，那么这天内，相对有利于该种鲜花生长的时间共多少小时？
【模块五】一次函数与反比例函数综合（对应第22-27题）
※方法总结
求交点：联立方程，利用待定系数法求解析式后解方程组。
面积问题：常用铅垂高法，或分割成多个三角形面积和。
平行线等面积：平移后两直线平行，利用同底等高面积相等转化。
不等式解集：观察图象，找反比例函数在一次函数上方的x范围。
22．（2026 浦东新区二模）在平面直角坐标系xOy（如图），已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），过点B（4，0）作x轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点C．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）联结OC，点D是OC的中点，联结BD，求BD的长．
23．（2026 上海校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接PA，PB，且满足S△PAB＝15，求点P的坐标．
24．（2026春 浦东新区校级月考）如图，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣6，2），点B的坐标为（3，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．
25．（2025春 长宁区校级同步）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，1）和点B（2，n）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）过点B作BC⊥y轴于点C，连接OA，求四边形OABC的面积；
（3）根据图象直接写出使成立的x的取值范围．
26．（2025 宝山区校级二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（2，1）．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．
（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
（3）过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC．求△ABC的面积．
27．（2025春 闵行区期中）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E，OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出y1和y2的交点D的坐标，并根据图象法观察，直接写出当y1＞y2时，求x的取值范围．
【模块六】创新及压轴题（对应第28-33题）
※方法总结
重心与中位线：证明平行四边形后再证矩形、正方形，利用重心性质及等腰三角形三线合一。
矩形中动点与垂直：利用矩形性质（BC=AD），通过全等证PE=PF，结合垂直证正方形。
分段函数实际应用：根据图象写出解析式，比较不同时间点的函数值，解不等式求有效时长。
行程问题：利用图象求速度、时间，分段列式，方程思想求相遇时间。
新定义与几何综合：根据定义建立方程，结合函数图象求参数范围。
28．（2026春 普陀区期中）如图，已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，并交于点G，连接AG，点M是AG的中点，分别连接EM、DM．
（1）求证：四边形EGDM是平行四边形；
（2）若AB＝AC，∠GBC＝45°，求证：四边形EGDM是正方形．
29．（2026春 奉贤区校级期中）如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？
30．（2025春 静安区期末）从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（10～16时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟；高峰时段（7～10时和16～19时），相邻班次间隔时间t（分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可以近似看成是t关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图象如图所示）．
（1）请分别将每天7～19时三个时段，相邻班次的间隔时间t（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析式填入表内．
时段 峰段 t（分钟）关于x（时）的函数解析式
7～10时 高峰段
10～16时 非高峰段
16～19时 高峰段
（2）游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午7～12时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由．
31．（2025春 闵行区校级期中）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；
（2）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
32．（2026春 永春县月考）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的页数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费，两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）【基础设问】
①乙复印社要求客户每月支付的会员费是　 　 元，甲复印社每页收费是　 　 元．
②求出乙复印社的收费y乙（元）关于复印页数x的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义．
③如果每月复印200页，应选择哪家复印社？请说明理由．
（2）【能力设问】
①顾客如何选择复印社更划算？请通过计算说明．
②已知市场上有两种纸可供复印社选择，每包A型纸和每包B型纸的售价分别是15元和20元．现在商家对复印纸张价格进行调整，其中A型纸的售价上涨20%，B型纸按原价出售．甲复印社准备购进这两种型号的纸共50包（要求两种型号的纸均购买），并且A型纸的数量不超过B型纸数量的2倍，求购买这50包复印纸的最少费用．
33．（2025秋 平阴县期中）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式；
（2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？
（3）为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标﹣探究思考，归纳新知﹣辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由．
随堂检测 · 精选练习
练习1（菱形判定） — 通过平行+等腰→等角，ASA证全等得邻边相等，对角线垂直的平行四边形是菱形；再通过AAS证全等得AE=BC=CD。
练习2（坐标平移+等腰三角形） — 平移后求点坐标，利用等腰三角形等角对等边得AB=AC，列距离方程求C点坐标（注意排除重合点）。
练习3（行程问题） — 根据图象求距离、速度，联立函数解析式求追及时间；求返程函数解析式（待定系数法）。
练习4（反比例与一次函数综合） — 求正比例和反比例解析式，联立求交点，根据距离分段列不等式求t的范围。
复习重点：几何证明规范 · 函数建模 · 方程思想 · 分类讨论。
【练习1】（2026春 普陀区校级期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝CD，点E在AD上，连接EB，EC交BD于点O．
（1）如图1，若EC⊥BD，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC交BE于点F，若点F是BE的中点，求证：AE＝CD．
【练习2】（2026春 金山区期中）如图，在平面直角坐标系内，有一点A，将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B．
（1）写出点A，点B的坐标；
（2）如果点C在y轴上，且∠ABC＝∠ACB．求点C的坐标．
【练习3】（2026春 普陀区校级期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口．
（1）学校门口到学校操场的距离为　 　 米；
（2）当乙追上甲时，求x的值；
（3）直接写出乙返回时行驶路程y与x的函数关系式．
【练习4】（2024秋 浦东新区校级期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段OA与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离y（km）与小王的行驶时间t（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
（1）线段OA的函数表达式为 　 　 ；
（2）曲线CD的函数表达式为 　 　 ；
（3）点K的坐标为 　 　 ；
（4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当S≤2时，求t的取值范围．
课后巩固 · 针对性练习
作业1（平行四边形与中位线） — 利用中点得中位线，证CF∥AD，结合已知AF∥CD得平行四边形；由中位线求AD，再勾股定理求BC。
作业2（平行四边形与垂直平分线） — 利用垂直平分线得CF=EF，结合中点、60°角得等边三角形，求AE。
作业3（三角形重心与平行四边形） — 重心得中线中点，证△BNF≌△CMF得BN=CM，证平行四边形；重心性质得AM=2MF，MN=2MF→AM=MN。
作业4（坐标与平移） — 根据象限列不等式求整数解；平移后坐标相等列方程求点坐标。
作业5（利润问题） — 利用图象两点求一次函数解析式，解不等式求获利条件。
作业6（输液器流速） — 根据图象求y=-1.5x+250，得实际流速90mL/h，利用正比关系求设定值；设未知数列分式方程求流速。
作业7（一次函数与不等式） — 根据图象写解集，由两直线交点横坐标及点坐标求参数。
作业8（注意力指标） — 求反比例函数解析式；分段求注意力≥36的时长，比较与15分钟的大小。
作业9（水温分段函数） — 根据加热升温、降温反比例列解析式；求y≥50对应的x区间长度。
作业10（行程分段函数） — 根据图象求速度，分段写解析式；妹妹追及问题，列方程求时间及距离。
作业11（反比例与一次函数综合） — 求交点坐标、k值，利用对称性写不等式解集；利用平行线等面积转化求平移后直线解析式。
作业12（反比例与一次函数综合） — 待定系数法求解析式；利用平行线等面积，通过已知面积求平移后直线与x轴交点，进而得解析式。
复习建议 解答题重在逻辑推理与规范书写，几何题要善于构造辅助线（中位线、垂线、平行线），函数题要注重待定系数法和数形结合，实际应用题需准确理解题意，分段函数注意定义域。建议每道题完成后总结所运用的核心知识点和数学思想。
【作业1】（2026春 杨浦区校级期中）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长．
【作业2】（2026春 闵行区期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E是边AB上一点，连接CE，作FG垂直平分CE，分别交边AD、BC、CE于点G、F、H．
（1）如图1：若AB＝4，BC＝6，当点F恰好是边BC中点时，求AE的长；
（2）若AB＝BC＝6，当AF⊥BC时，求AE的长．
【作业3】（2026春 杨浦区期中）已知，如图，DE为△ABC的中位线，BD与CE交于点M，过点B作BN∥CE，交AM的延长线于点N，连接CN．
（1）求证：四边形BMCN是平行四边形；
（2）求证：AM＝MN．
【作业4】（2026春 宝山区校级月考）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3a﹣13，a﹣3）．
（1）若点P位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标；
（2）若将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点P的坐标．
【作业5】（2026春 徐汇区校级月考）如图，l1表示某电动车厂一天的销售收入y1与销售量x之间的关系；l2表示该电动车厂一天的销售成本y2与销售量x之间的关系．
（1）求出销售收入与销售量之间的函数关系式；
（2）求出销售成本与销售量之间的函数关系式；
（3）当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利（利润＝收入﹣成本）？
【作业6】（2026春 闵行区校级月考）医疗输液器中的流速调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式．小明发现，在相同挡位下，不同黏度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个挡位，同种液体的输液速度保持恒定）
（1）小明用旋钮式输液器设定了每小时120mL的挡位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250mL，得到输液袋剩余药液量y（mL）和时间x（min）之间的关系如图所示．
①求y关于x的函数表达式；（不写定义域）
②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120mL/h）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，那么想要达到每小时120mL的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少？
（2）小明用相同挡位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60mL，因此输250mL液体C所需时间是输200mL液体B所需时间的2倍，求用该挡位输液时液体B和液体C的实际流速．
【作业7】（2026春 闵行区校级月考）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．
（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是　 　 ；
（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．
①求点B的坐标；
②求a的值．
【作业8】（2026春 莱芜区期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．
（1）求反比例函数的解析式，并求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【作业9】（2026 开封一模）教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热．水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至20℃．接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示．
（1）请结合图象，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在50℃及以上的总时间．
【作业10】（2026 和平区一模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600m，公园离家1800m．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，用相同速度匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用相同速度匀速步行回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
小华离开家的时间/min 2 6 18 52
小华离家的距离/m 600
②填空：当小华离家的距离为800m时，他离开家的时间为　 　 min；
③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）小华的妹妹比哥哥迟2min到书店，在书店待了15min后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）．
【作业11】（2026 高新区一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y（k≠0）的图象与正比例函数yx的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，m）．
（1）求k的值；
（2）当x时，自变量x的取值范围为　 　 ；
（3）将直线AB向上平移后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若S△ABC＝12，求直线CD的函数表达式．
【作业12】（2025春 仓山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是（6，2），点B的纵坐标是﹣3．
（1）求反比例函数和直线l1的表达式；
（2）将直线l1：y＝k1x+b沿y轴向上平移后得直线l2，l1，l2与x轴分别交于E，F两点，l2与反比例函数在第一象限内交于点C，如果△ABC的面积为15，求平移后的直线l2的函数表达式．【期末冲刺】解答题满分讲义
(23~26章 知识梳理+典例+压轴) 2026年沪教版数学八年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握平行四边形的性质与判定，灵活运用对角线互相平分及全等三角形进行推理。
理解矩形、菱形、正方形的判定与性质，结合勾股定理解决计算问题。
熟练运用三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质。
掌握平面直角坐标系中点的坐标、平移规律及两点间距离公式。
理解新定义题型（“关联点”“好点”“完美点”）的转化方法。
熟练运用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式。
掌握一次函数与方程、不等式的关系，一次函数与反比例函数的交点、面积问题。
理解反比例函数的图象性质（增减性、对称性）及图象变换（平移）。
能解决一次函数与反比例函数的实际应用问题（水费、行程、压强、恒温等）。
体会数形结合、分类讨论、方程思想在综合题中的灵活运用。
核心思想：几何图形的性质与判定、函数与方程、数形结合与分类讨论。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 四边形
多边形： 内角和 ，外角和360°，对角线总数 。截去一个角后，边数可能不变、增加1或减少1。
平行四边形： 对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。判定：边、角、对角线条件。面积=底×高。过对角线交点的直线分得的面积相等。常结合全等三角形证明线段相等或平行。
矩形： 四个角是直角，对角线相等且互相平分。判定：平行四边形+一个直角 或 对角线相等。
菱形： 四边相等，对角线垂直平分且平分内角。面积=对角线乘积的一半。常与等边三角形、垂直平分线结合。
正方形： 具有矩形和菱形的所有性质。常见于旋转、全等模型。
三角形中位线： 连接两边中点，平行于第三边且等于第三边的一半。常用于构造平行四边形、直角三角形斜边中线。
重心： 三条中线交点，分中线为2:1（重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍）。常与中位线结合证明线段倍分。
☆ 平面直角坐标系
点的坐标： 点P(x,y)，到x轴距离|y|，到y轴距离|x|。
对称： 关于x轴对称 (x,-y)，关于y轴对称 (-x,y)，关于原点对称 (-x,-y)。
平移： 左减右加，下减上加。平移过程中对应点坐标变化一致。
距离公式： 欧氏距离 ，曼哈顿距离 。
新定义问题： 理解定义并转化为代数方程或不等式，如“关联点”、“好点”、“完美点”等，常需分类讨论。
☆ 一次函数
正比例函数： ()，过原点。k>0在一、三象限，y随x增大而增大；k<0在二、四象限，y随x增大而减小。
一次函数： ，k决定方向，b决定与y轴交点。
图象平移： 左加右减（x），上加下减（整体）。
与方程、不等式的关系： 交点坐标是方程组的解；图象在上方对应不等式大于。常用于行程问题、分段计费问题。
☆ 反比例函数
定义： ()，也可写作 或 。
图象与性质： 双曲线，关于原点对称。k>0在一、三象限，每一象限内y随x增大而减小；k<0在二、四象限，每一象限内y随x增大而增大。
k的几何意义： 双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积=|k|，三角形面积=|k|/2。常用于面积计算。
平移： ，图象形状不变，中心平移。
实际应用： 压强、电流、密度、消毒时间等成反比例关系，常与一次函数结合成分段函数。
☆ 一次函数与反比例函数综合
交点： 联立方程求解，常用代入消元法得到一元二次方程。
面积问题： 利用坐标轴上的点构造三角形，用铅垂高法或分割法求面积，常利用平行线等面积转化。
不等式解集： 根据图象上下位置直接写出。
平移求最值： 平移后面积不变，利用等积变形求解析式。
☆ 知识总结表
模块 核心内容 常用公式/结论
四边形 平行四边形判定、矩形/菱形性质、中位线、重心 对角线互相平分、一组对边平行且相等；中位线=$
一次函数 图像与性质、平移、实际应用 ，决定增减，决定截距；左加右减，上加下减
反比例函数 定义、图像、k的几何意义、平移 ，一三象限，二四象限；为矩形面积
一次与反比例综合 交点、面积、不等式、平移求最值 联立方程；铅垂高×水平宽×铅垂高；图象法解不等式
创新压轴 重心、中位线、分段函数、新定义 转化思想，构造辅助线，数形结合
核心模块 ·6大典型模块精讲
【模块一】四边形（对应第1-5题）
※方法总结
平行四边形证明：常用对角线互相平分（连接对角线）、一组对边平行且相等、两组对边分别相等。
过平行四边形对角线的直线：构造全等三角形（△AOE≌△COF），可证OE=OF，进而证明边相等、面积相等。
正方形中垂直与相等：通过作平行线构造全等（△ABP≌△BCH），证明AP=MN；垂直平分线结合轴对称证EF=ME+FN。
三角形中位线与直角三角形：利用中点得中位线，结合直角得斜边中线，求线段差；构造中点证垂直。
平行四边形中矩形判定：对角线相等且互相平分（AC=MN），结合等边三角形、勾股定理求边长。
菱形判定：对角线垂直的平行四边形是菱形；等边三角形+等腰三角形性质。
重心与中位线：重心分中线2:1，结合中位线构造平行四边形证线段倍分。
1．（2026春 金山区期中）如图，已知：在平行四边形ABCD中，AF＝CE．求证：四边形BFDE是一个平行四边形．
【分析】先利用平行四边形 ABCD 的性质，得到对角线互相平分，即 OA＝OC，OB＝OD；再结合已知 AF＝CE，推出 OE＝OF；最后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形 BFDE 是平行四边形．
【解答】证明：连接BD与AC交于点O．
∵OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）．
∵AF＝CE，
∴AF﹣OA＝CE﹣OC，
即 OE＝OF．
又∵OB＝OD，
∴四边形 BFDE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质的综合应用，解题的关键是利用平行四边形的性质结合已知条件，通过对角线互相平分来判定四边形为平行四边形．
2．（2026春 杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若平行四边形ABCD的周长是24，OE＝2，求四边形ABFE的周长．
【分析】（1）证明△AOE≌△COF（ASA），可得结论；
（2）证明AE+BF＝BC，OE＝OF＝2，AB+BC＝12，可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是24，
∴AB+BC＝12，
∵△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝2，AE＝CF，
∴四边形ABFE的周长＝AB+BF+EF+AE＝AB+BC+EF＝12+4＝16．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
3．（2026春 静安区校级月考）如图①，在正方形ABCD中，P为线段BC上的一个动点，线段MN⊥AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N．
（1）求证：AP＝MN；
（2）如图②，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AP，BD于点E，F．求证：EF＝ME+FN．
【分析】（1）过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，根据平行四边形和正方形的性质求证△ABP≌△BCH（ASA），然后根据三角形全等的性质即可证明；
（2）根据线段垂直平分线的性质和正方形的性质求得FP＝FC，然后根据等边对等角和等量代换求得∠AFP＝90°，根据直角三角形斜边中线的性质得到FEAP，结合（1）问结论即可求证．
【解答】证明：（1）如图①，过点B作BH∥MN交CD于点H，则AP⊥BH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，AB∥CD，∠ABP＝90°＝∠C，
∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，
∴∠BAP＝∠CBH，
在△ABP和△BCH中，
，
∴△ABP≌△BCH（ASA），
∴AP＝BH．
∵AB∥CD，即BM∥NH，
∴四边形MBHN为平行四边形，
∴MN＝BH，
∴AP＝MN；
（2）如图②，连接FA，FP，FC．
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上的一点，
∴FA＝FC，∠FAB＝∠FCB．
∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP．
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴．
由（1），知AP＝MN，
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN．
【点评】本题考查正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
4．（2026春 东海县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E，F，G分别是AD，BD，DC的中点，连接EG，EF，FG．
（1）试判断△EFG的形状，并说明理由；
（2）已知AB＝10，BC＝24，求EG的长．
【分析】（1）△EFG是直角三角形，先证明EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线，由平行线的性质结合∠ABC＝90°，即可得到∠EFG＝90°即可；
（2）由（1）知EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线，可得EF＝5，FG＝12，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）△EFG是直角三角形，理由如下：
∵点E，F，G分别是AD，BD，DC的中点，
∴EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EF∥AB，FG∥BC，
∴∠EFD＝∠ABD，∠GFD＝∠CBD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EFG＝∠EFD+∠GFD＝∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝90°，
∴△EFG是直角三角形；
（2）由（1）知EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线，AB＝10，BC＝24，
∴，
∴EF＝5，FG＝12，
∵△EFG是直角三角形，且∠EFG＝90°，
∴．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
5．（2026春 海淀区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，且．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若CD＝10，，求DN的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OCAC，OB＝OD，进而证明OM＝ON，再证明四边形AMCN是平行四边形，然后证明AC＝MN，即可得出结论；
（2）过C作CE⊥OD于点E，则∠CEN＝90°，证明△OCN是等边三角形，得OE＝NEON＝2，再由勾股定理求出CE＝6，然后由勾股定理求出DE的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴OA＝OCAC，OB＝OD，
又∵BM＝DN，
∴OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵OMAC，
∴AC＝MN，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（2）解：如图，过C作CE⊥OD于点E，则∠CEN＝90°，
由（1）可知，OC＝ON，
∵OC＝CN＝4，
∴OC＝ON＝CN＝4，
∴△OCN是等边三角形，
∴OE＝NEON＝2，
∴CE6，
∴DE8，
∴DB＝DE﹣NE＝8﹣2，
答：DN的长为8﹣2．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和勾股定理是解题的关键．
【模块二】平面直角坐标系（对应第6-9题）
※方法总结
新定义“关联点”：根据公式求坐标，利用平移后坐标相等列方程，利用垂直距离最小求参数。
两点间距离公式：直接计算或构造方程求未知数；求最小值转化为两点间线段最短（将军饮马）。
新定义“好点”：满足|x|+|y|=5，分类讨论去绝对值解方程。
新定义“完美点”：满足，平方后分类讨论求参数，整体代入求代数式值。
6．（2026春 宝山区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），Q（m，n）给出如下定义：若m＝2x+1，n＝2y﹣3，则点Q（m，n）就是点P的“关联点”．
（1）直接写出点（2，1）的“关联点”坐标；
（2）将点P向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后到点P1，如果点P1的“关联点”与点P互相重合，求点P的坐标；
（3）设点E（h，﹣1）的“关联点”为点F，是否存在h，使线段EF最小，若存在，直接写出h的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“关联点”的定义进行计算即可．
（2）根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题．
（3）先表示出点F的坐标，再根据EF最小求出h的值即可．
【解答】解：（1）因为2×2+1＝5，2×1﹣3＝﹣1，
所以点（2，1）的“关联点”的坐标为（5，﹣1）．
（2）由题知，
点P平移后所得点P1的坐标为（x+4，y﹣3），
则点P1的“关联点”坐标可表示为（2（x+4）+1，2（y﹣3）﹣3），即P1（2x+9，2y﹣9）．
因为点P1的“关联点”与点P互相重合，
所以2x+9＝x，2y﹣9＝y，
解得x＝﹣9，y＝9，
所以点P的坐标为（﹣9，9）．
（3）存在，理由如下：
因为点E坐标为（h，﹣1），
则其“关联点”F的坐标可表示为（2h+1，﹣5），
所以点E在直线y＝﹣1上，点F在直线y＝﹣5上，
则当EF∥y轴，即h＝2h+1时，EF最小，
解得h＝﹣1，
所以h的值为﹣1．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，理解“关联点”的定义是解题的关键．
7．（2026春 杨浦区期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点M1（x1，y1），M2（x2，y2），我们把d叫做M1，M2两点间的距离，记作d（M1，M2）．如A（﹣2，3），B（2，5），则d（A，B）．
请根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）若A（3，0），B（0，4），直接写出d（A，B）的值；
（2）当A（a，1），B（﹣1，4）的距离d（A，B）＝5时，求出a的值；
（3）若在平面内有一点C（x，y），使式子有最小值，请求出这个最小值．
【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）根据两点间的距离公式得到5，然后解方程即可；
（3）根据两点间的距离公式，表示点C（x，y）到点（﹣1，4）的距离；表示点C（x，y）到点（3，﹣1）的距离，根据两点之间线段最短，当点C在点（﹣1，4）和点（3，﹣1）所连的线段上时，点C到点（﹣1，4）和点（3，﹣1）的距离之和最小，然后利用两点间的距离公式即可．
【解答】解：（1）∵A（3，0），B（0，4），
d（A，B）5；
（2）∵A（a，1），B（﹣1，4）的距离d（A，B）＝5，
∴5，
解得a＝3或a＝﹣5，
即a的值为﹣5或3；
（3）表示点C（x，y）到点（﹣1，4）的距离；表示点C（x，y）到点（3，﹣1）的距离，
当点C在点（﹣1，4）和点（3，﹣1）所连的线段上时，点C到点（﹣1，4）和点（3，﹣1）的距离之和最小，最小值为，
即式子的最小值为．
【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
8．（2026春 虹口区期中）点P是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B．如果|PA|+|PB|＝5，那么点P称为“好点”．例如：点M（﹣1，4），因为|﹣1|+|4|＝5，所以点M是“好点”．
（1）在点A（2，﹣3）、、C（﹣2，7）中，“好点”是A和B ；
（2）如果D（2a，﹣5a）是“好点”，求a的值．
【分析】（1）根据“好点”的定义进行判断即可；
（2）根据“好点”的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知，
因为|2|+|﹣3|＝5，
所以点A是“好点”；
因为||+||＝5，
所以点B是“好点”；
因为|﹣2|+|7|＝9≠5，
所以点C不是“好点”．
故答案为：A和B；
（2）因为D（2a，﹣5a）是“好点”，
所以|2a|+|﹣5a|＝5，
当a≥0时，
2a+5a＝5，
解得a；
当a＜0时，
﹣2a+（﹣5a）＝5，
解得a，
综上所述，a的值为．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，理解所给“好点”的定义是解题的关键．
9．（2026春 长沙期中）定义：若点（a，b）满足a﹣b（a≥b≥0），则称这个点（a，b）为“完美点”．例如，9﹣4，故点（9，4）是“完美点”．
（1）点A（0，0），B（4，1），C（16，4）中，不是“完美点”的是C（16，4）　 ；
（2）若点C（4，x2）是“完美点”，求x的值；
（3）若点M（2m，m）是“完美点”，求出m3﹣4m2﹣11m+2028的值．
【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可；
（2）根据点C（4，x2）是“完美点”，得出2+|x|＝4﹣x2，即2+|x|＝（2+x）（2﹣x），当x≥0时，当x＜0时，分别求解即可；
（3）根据点M（2m，m）是“完美点”，得出，即，分当m＝0时，当m＞0时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵，故点A（0，0）是“完美点”；
∵，故点B（4，1）是“完美点”；
∵，故点C（16，4）不是“完美点”；
故答案为：C（16，4）；
（2）由条件可知2+|x|＝4﹣x2，
∴2+|x|＝（2+x）（2﹣x），
当x≥0时，则2+x＝（2+x）（2﹣x），解得x＝1或x＝﹣2（舍去），
当x＜0时，则2﹣x＝（2+x）（2﹣x），解得x＝﹣1或x＝2（舍去），
∴x＝±1．
（3）由条件可知，即，
∴，
当m＝0时，恒成立，则m3﹣4m2﹣11m+2028＝2028；
当m＞0时，，则，
∴，
∴原式＝2m2﹣12m+2028
＝2（m2﹣6m）+2028
＝﹣2+2028
＝2026．
综上，原式的值为2026或2028．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握该知识点是关键．
【模块三】一次函数（对应第10-16题）
※方法总结
已知交点及线段长度求解析式：利用交点坐标和垂直条件，通过待定系数法求k,b。
一次函数与不等式：根据图象直接写解集；利用交点分界，结合函数值大小写范围。
面积问题：利用大三角形减去小三角形，或分割成两个三角形面积和。
分段计费应用题：理解表格和图象，求出每档单价，建立分段函数，代入求值或解方程。
纸杯叠放：每增加一个纸杯高度增加固定值，设y=kx+b，由已知两点求解析式，再解决加盖问题。
交通流量：利用待定系数法求一次函数，代入求值，建立不等式求时间。
10．（2026春 闵行区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于点A、C，与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点P，点P的横坐标为3，PB⊥x轴，B为垂足，AB＝2PB．
（1）求点P的坐标；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式．
【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案；
（2）结合点P的坐标可得PB＝4，OB＝3，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可．
【解答】解：（1）∵点P的横坐标为3，
∴y＝﹣3+7＝4，
∴点P（3，4）；
（2）由条件可知PB＝4，OB＝3．
∵AB＝2PB，
∴AB＝8，
∴AO＝AB﹣OB＝5，
∴点A（﹣5，0）．
∵一次函数y＝kx+b经过点P（3，4），A（﹣5，0），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．
11．（2026春 金凤区校级期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1　 ，关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＞2　 ．
（2）若点C坐标为（1，3），关于x的不等式0≤k1x+b1＜kx+b的解集是　﹣1≤x＜1　 ．
（3）在（2）的条件下，求四边形OBCD的面积．
【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y＝0时，对应x的值，进而得出答案；
（2）利用图象即可求解；
（3）利用待定系数法求得直线AC的解析式，进而求得D的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），
∴关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1，关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2，
故答案为：x＝﹣1，x＞2；
（2）由图象可知，关于x的不等式0≤k1x+b1＜kx+b的解集是﹣1≤x＜1．
故答案为：﹣1≤x＜1；
（3）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（1，3），
∴OA＝1，AB＝3，
把A（﹣1，0），C（1，3）代入y＝k1x+b1，得，
解得，
∴直线AC为yx，
当x＝0时，y，
∴D（0，），
∴四边形OBCD的面积＝S△ABC﹣S△AOD．
【点评】此题主要考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键．
12．（2026春 碑林区校级期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象（如图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点A（﹣1，0），B（2，0），C（1，3），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1　 ；
（2）求关于x的不等式k1x+b1＞kx+b的解集；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y＝0时，对应x的值，进而得出答案；
（2）根据图象找到y＝k1x+b1图象在y＝kx+b图象上方所对应的x的范围；
（3）利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）已知点A（﹣1，0），B（2，0），C（1，3），
∵一次函数y＝k1x+b1的图象，与x轴交于点A（﹣1，0），
∴关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1；
（2）∵点C的坐标为（1，3），
∴由图象可知，不等式k1x+b1＞kx+b的解集是x＞1．
（3）∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，
∴．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，正确就进行计算是解题关键．
13．（2026 徐汇区二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的90%核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3.小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如表，每户每年应缴自来水水费y（元）与用水量x（m3）关系如图所示．
分类 第1档 第2档 第3档
用水量x（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分
供水费单价（元/m3） 2.25 n 6.99
污水处理费（元/m3） 2.00
根据上述信息，解答下列问题：
（1）第1档的自来水水费1m3的单价为　4.05　 元；图中点A的纵坐标为　891　 ；
（2）小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出n的值为　4　 元；
（3）已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量．
【分析】（1）依据题意，由第1档水费单价＝供水费单价+污水处理费单价×0.9，从而2.25+2.00×0.9＝4.05（元/m3），总水费为：220×4.05＝891（元），进而可以得解；
（2）依据题意得，220×2.25+30n+250×0.9×2＝1065，进而计算可以得解；
（3）依据题意，设小明家去年的年用水量为xm3，则220×2.25+80×4+（x﹣300）×6.99+2x 0.9＝2234，从而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵第1档水费单价＝供水费单价+污水处理费单价×0.9，
∴2.25+2.00×0.9＝4.05（元/m3），
又∵点A对应用水量x＝220m3，
∴总水费为：220×4.05＝891（元），
故答案为：4.05；891；
（2）由题意得，220×2.25+30n+250×0.9×2＝1065，
∴n＝4．
故答案为：4；
（3）由题意，设小明家去年的年用水量为xm3，
∴220×2.25+80×4+（x﹣300）×6.99+2 0.9x＝2234．
∴x＝400．
答：小明家去年的年用水量为400m3．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
14．（2026春 闵行区期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程S（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图象，回答下列问题：
（1）甲的速度是　　 米/秒；
（2）先到达终点的是　甲　 （填“甲”或“乙”）；
（3）写出乙的图象的函数解析式及定义域S＝8t（0≤t≤12.5）　 ．
【分析】（1）由甲的速度＝甲的路程÷甲的时间，即可求得甲的速度；
（2）观察图象，甲用的时间少于乙，则甲先到达终点；
（3）由乙的速度＝乙的路程÷乙的时间，求得乙的速度，列出函数关系式即可．
【解答】解：（1）由甲的速度＝甲的路程÷甲的时间可得：
（米/秒）．
故答案为：；
（2）由图象可知：甲先到达终点．
故答案为：甲；
（3）乙的速度为：100÷12.5＝8（米/秒），
乙的图象的函数解析式为S＝8t（0≤t≤12.5）．
故答案为：S＝8t（0≤t≤12.5）．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数性质是关键．
15．（2026 闵行区二模）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点P1，P2，P3都落在了线段AB上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度．
（1）求叠放在一起的纸杯总高度y（厘米）关于纸杯数量x（个）的函数解析式（不写定义域）；
（2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量．
【分析】（1）根据6个纸杯叠放增加的高度是6cm，所以每增加1个纸杯，高度增加6÷（6﹣1）＝1.2cm即可求得．
【解答】解：（1）我们可以先分析图②：6个纸杯叠放增加的高度是6cm，所以每增加1个纸杯，高度增加6÷（6﹣1）＝1.2cm，
由图①知，当x＝0时，y＝8.8，
∴函数解析式为y＝1.2x+8.8；
（2）在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，
由题意得46.8﹣2＝1.2x+8.8，
解得x＝30，
答：纸杯的数量为30个．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
16．（2025 静安区二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，当y＝0时求出对应x的值，即x的最大值，从而写出x的取值范围即可；
（2）①当y＝20代入y关于x的函数解析式，求出对应x的值即可；②求出y＝20时对应的x的值，再根据①和②求出的x的差值计算即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（10，60）和（20，40）分别代入y关于x的函数解析式，
得，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+80，
当﹣2x+80＝0时，解得x＝40，
∴x的取值范围为0≤x≤40．
（2）①当y＝30时，得﹣2x+80＝30，
解得x＝25，
答：该时刻高架路上每百米车的数量为25辆．
②当y＝20时，得﹣2x+80＝20，
解得x＝30，
（30﹣25）÷1×4＝20（分钟）．
答：最晚20分钟需启动限流措施．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
【模块四】反比例函数（对应第17-21题）
※方法总结
反比例函数性质：根据图象所在象限或增减性求参数范围；点是否在图象上通过代入验证。
反比例函数平移：左加右减（x），上加下减（整体），分析图象性质（对称性、增减性）。
实际应用（压强、电流）：设，代入已知点求k，再根据条件求值或范围（注意单位统一）。
分段函数（温度）：先正比例后反比例，求有效时长需解不等式组。
17．（2025秋 路南区期末）已知反比例函数y，（k为常数，k≠1）．
（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据反比例函数图象的性质得到：k﹣1＜0，由此求得k的取值范围；
（3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证．
【解答】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上，
∴k﹣1＝1×2，
解得k＝3；
（2）∵在函数y图象的每一支上，y随x的增大而增大，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1；
（3）点C不在这个函数的图象上，理由如下：
∵k＝13，有k﹣1＝12，
∴反比例函数的解析式为y．
将点B的坐标代入y，可知点B的坐标满足函数关系式，
∴点B在函数y的图象上，
将点C的坐标代入y，由5，可知点C的坐标不满足函数关系式，
∴点C不在函数y的图象上．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
18．（2025秋 信阳期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…
探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．
（1）绘制函数：
①列表：
x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 …
y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 …
②根据如表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象．
（2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①　图象是中心对称图形　 ，②　当x＞﹣1时，y随着x的增大减小　 ．
（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 　左　 平移 　1　 个单位．
（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 　﹣1＜x＜3　 时，y3＞3．
【分析】（1）描点、连线画出函数的图象即可；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性解答两条不同的性质；
（3）理解运用：结合图象即可得出结论
（4）灵活应用：结合图象可准确填空．
【解答】解：（1）如图：
；
（2）观察图象，
①图象是中心对称图形；
②当x＞﹣1时，y随着x的增大减小．
故答案为：图象是中心对称图形；当x＞﹣1时，y随着x的增大减小；
（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位．
故答案为：左；1．
（4）灵活应用：函数的图象在理解运用的基础上向上平移2个单位，当x满足﹣1＜x＜3时，y3＞3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键．
19．（2025秋 闵行区期末）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 …
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108
（1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）；
（2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p，将一对数据代入即可求出F的值．
（2）将p＝2.5×108Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积．
【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．
设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p．
将（4×104，1.2×10﹣2）代入p，得F＝4×104×1.2×10﹣2＝4.8×102，
∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p．
（2）把p＝2.5×108代入p得，S＝1.92×10﹣6，
答：该机器人与地面的接触面积至少为1.92×10﹣6平方米．
【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细．
20．（2026 金山区二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω．
可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A．
（1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值；
（2）求I关于总电阻R的函数解析式；
（3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围．
【分析】（1）依据题意，设R1＝kV+b（k≠0），结合图象（0，240），（60，0），从而，可得R1＝﹣4V+240，进而当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω），故R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω），即可得解；
（2）依据题意，由电流I与总电阻R成反比例，则I，又当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A，故结合（1）R＝120Ω，进而可得k＝120×0.1＝12，从而可以得解；
（3）依据题意，由5≤V≤55，则20≤﹣4V+240＝R1≤220，从而40≤R0+R1＝R≤240，进而0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3，故可得解．
【解答】解：（1）由题意，设R1＝kV+b（k≠0），
结合图象（0，240），（60，0），
∴．
∴k＝﹣4，b＝240．
∴R1＝﹣4V+240．
∴当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω）．
∴R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω）．
答：当油箱内油量体积为35L时，总电阻R的值为120Ω；
（2）由题意，∵电流I与总电阻R成反比例，
∴I，
又∵当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A，
∴结合（1）R＝120Ω，
∴k＝120×0.1＝12．
∴I关于总电阻R的函数解析式为I；
（3）由题意，∵5≤V≤55，
∴20≤﹣4V+240＝R1≤220．
∴40≤R0+R1＝R≤240．
∴0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
21．（2024秋 松江区期末）某鲜花种植基地，某天恒温系统从开启到关闭，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．其中线段OB、BC表示恒温系统开启后的阶段，反比例函数图象的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y关于时间x（0≤x≤5）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）如果大棚内的温度低于10℃不利于某种鲜花的生长，那么这天内，相对有利于该种鲜花生长的时间共多少小时？
【分析】（1）根据图象设正比例函数解析式为y＝kx，根据图象可知函数解析式；
（2）把x＝5代入解析式y＝4x（0≤x≤5），即可求出恒定温度；
（3）根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出y＝10时x的值，用24小时减去这些时间即可．
【解答】解：（1）设直线OB的函数解析式为：y＝kx（k≠0），根据题意，
∴可得方程8＝2k，
∴k＝4，
∴正比例函数解析式为y＝4x（0≤x≤5）；
根据图象可知：y＝20（5≤x≤10）；
（2）∵y＝4x（0≤x≤5）；
当x＝5时，y＝20，
∴恒定温度为：20℃．
（3）设10≤x≤24小时内函数解析式为y，
根据题意，可得方程20，
∴k＝200，
∴函数解析式为y（10≤x≤24），
∴24小时函数解析式为：y，
∵当0≤x≤5时，10＝4x，
∴x＝2.5，
∵当10≤x≤24时，10，
∴x＝20，
∴在20时～24时4小时之间是气温是低于10℃的，
∴气温低于10℃的总时间为：2.5+4＝6.5（h），
∴气温高于10℃的适宜温度是：24﹣6.5＝17.5（h）．
答：相对有利于水果生长的时间共17.5小时．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，解答本题的关键是找出临界点．
【模块五】一次函数与反比例函数综合（对应第22-27题）
※方法总结
求交点：联立方程，利用待定系数法求解析式后解方程组。
面积问题：常用铅垂高法，或分割成多个三角形面积和。
平行线等面积：平移后两直线平行，利用同底等高面积相等转化。
不等式解集：观察图象，找反比例函数在一次函数上方的x范围。
22．（2026 浦东新区二模）在平面直角坐标系xOy（如图），已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），过点B（4，0）作x轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点C．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）联结OC，点D是OC的中点，联结BD，求BD的长．
【分析】（1）由正比例函数的解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）把x＝4代入反比例函数的解析式求得C（4，2），进而求得D（2，1），然后利用勾股定理即可求得BD．
【解答】解：（1）正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），
∴m＝2×2＝4，
∴k＝2m＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵过点B（4，0）作x轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点C，
∴把x＝4代入y，得y＝2，
∴C（4，2），
∵点D是OC的中点，
∴D（2，1），
∴BD．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离，求得点的坐标是解题的关键．
23．（2026 上海校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接PA，PB，且满足S△PAB＝15，求点P的坐标．
【分析】（1）把A（1，4）代入求出m＝4，即可求出反比例函数的表达式，把B（﹣4，n）代入求出B（﹣4，﹣1），把A（1，4），B（﹣4，﹣1）代入y＝kx+b即可求出一次函数的表达式；
（2）过点P作PH∥y轴，交AB于点H，设，则H（t，t+3），根据三角形面积公式列方程计算即可．
【解答】解：（1）由条件可得：，
解得：m＝4，
∴反比例函数的表达式为，
把B（﹣4，n）代入得：，
∴B（﹣4，﹣1），
把A（1，4），B（﹣4，﹣1）代入y＝kx+b，得，解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x+3；
（2）如图，过点P作PH∥y轴，交AB于点H，
设，则H（t，t+3），
∴，
∴，即，
解得：t1＝﹣1，t2＝4（舍去），
∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
24．（2026春 浦东新区校级月考）如图，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣6，2），点B的坐标为（3，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数的解析式；
（2）根据一次函数的解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，根据S△AOB＝S△AOC+S△COD求出△AOB的面积．
【解答】解：（1）由条件可得：m＝﹣6×2＝﹣12，
∴反比例函数解析式为，
将B（3，n）代入反比例函数解析式，
可得：n＝﹣4，
∴点B的坐标为（3，﹣4），
将A、B两点的坐标代入y＝kx+b，
可得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）如图：直线与x、y轴交于点D、C，
，
当x＝0时，，
∴点C的坐标是（0，﹣2），
∴OC＝2，
当y＝0，，
解得：x＝﹣3，
∴点D的坐标是（﹣3，0），
∴OD＝3，
∴S△AOB＝S△AOD+S△COB
＝9．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数与几何的综合．熟练掌握相关知识点是关键．
25．（2025春 长宁区校级同步）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，1）和点B（2，n）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）过点B作BC⊥y轴于点C，连接OA，求四边形OABC的面积；
（3）根据图象直接写出使成立的x的取值范围．
【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式．先将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出m值，再将点B代入反比例函数解析式求出nn值，然后将A、B点坐标代入一次函数解析数即可．
（2）四边形OABC的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次函数与坐标轴的交点即可求出面积．
（3）结合图象确定x的取值范围即可．
【解答】解：（1）将点A（4，1）代入中，
得，解得m＝4，
故；
将点B（2，n）代入，可得，
将A（4，1），B（2，2）代入y1＝kx+b，
得，解得，
故；
（2）如图所示，
对于一次函数，
令x＝0，则y1＝3，即E（0，3）
令y1＝0，则x＝6，即D（6，0），
∴OD＝6，OE＝3，
∵B（2，2），BC⊥y轴，
∴BC＝2，CE＝3﹣2＝1，
设△AOD的高为h，由A（4，1）可知h＝1，
S四边形OABC＝S△DOE﹣S△BOE﹣S△AOD
＝5；
（3）结合图象可知，当时，
x的取值范围为0＜x＜2或x＞4．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求得正确的点的坐标，将四边形OABC放在大三角形中求解面积．
26．（2025 宝山区校级二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（2，1）．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．
（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
（3）过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC．求△ABC的面积．
【分析】（1）利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，根据对称性可求出点B的坐标；
（2）根据图象即可求解；
（3）根据题意可求出点C的坐标，进而求出OC的值，最后根据，即可求解．
【解答】解：（1）把A（2，1）代入，
得：k＝2×1＝2，
∴反比例函数的表达式为，
∵A、B关于原点对称，
∴B（﹣2，﹣1）；
（2）根据图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞2；
（3）根据题意得：C（0，1），
∴OC＝1，
∴．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，解题的关键是数形结合．
27．（2025春 闵行区期中）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E，OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出y1和y2的交点D的坐标，并根据图象法观察，直接写出当y1＞y2时，求x的取值范围．
【分析】（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，再用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，
∴点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，2），
将点A、B的坐标代入直线的表达式，
得，
解得，
故直线AB的表达式为y2，
当x＝2时，y2＝3，
∴点C（2，3），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：3，解得m＝6，
∴反比例函数的解析式y2；
（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式得：，
整理得：x2+4x﹣12＝0，
解得x＝2或﹣6，
∴点D（﹣6，﹣1），
观察函数图象知，y1＞y2的x取值范围是x＞2或﹣6＜x＜0．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
【模块六】创新及压轴题（对应第28-33题）
※方法总结
重心与中位线：证明平行四边形后再证矩形、正方形，利用重心性质及等腰三角形三线合一。
矩形中动点与垂直：利用矩形性质（BC=AD），通过全等证PE=PF，结合垂直证正方形。
分段函数实际应用：根据图象写出解析式，比较不同时间点的函数值，解不等式求有效时长。
行程问题：利用图象求速度、时间，分段列式，方程思想求相遇时间。
新定义与几何综合：根据定义建立方程，结合函数图象求参数范围。
28．（2026春 普陀区期中）如图，已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，并交于点G，连接AG，点M是AG的中点，分别连接EM、DM．
（1）求证：四边形EGDM是平行四边形；
（2）若AB＝AC，∠GBC＝45°，求证：四边形EGDM是正方形．
【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到点G是△ABC的重心，求得，，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，求得EG＝DG，根据菱形的判定定理得到四边形EGDM是一个菱形，根据正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AE＝BE，AM＝MG，
∴EM是三角形的中位线，
∴EM∥BG，
同理，DM∥/CG，
∴四边形EGDM是一个平行四边形；
（2）∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线，并交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴，，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB＝AC，AE＝BE，AD＝CD，
∴BE＝CD，
∵BC＝CB，
∴△BEC≌△CDB（SAS），
∴BD＝CE，
∴EG＝DG，
∵四边形EGDM是一个平行四边形，
∴四边形EGDM是一个菱形，
∵BD＝CE，EG＝DG，
∴BG＝GC，
∴∠GBC﹣∠GCB，
∵∠GBC＝45°，
∴∠GCB＝45°，
∵∠GBC+∠GCB+∠BGC＝180°，
∴∠BGC＝90°，
∴∠EGD＝∠BGC﹣90°，
∴四边形EGDM是一个矩形，
∴四边形EGDM是一个正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
29．（2026春 奉贤区校级期中）如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？
【分析】（1）根据矩形的性质推出∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，AM＝DM，求出∠ABM＝∠AMB＝45°，∠DCM＝∠DMC＝45°，求出∠BMC，即可求出矩形PEMF．
（2）根据AAS证△BFP≌△CEP，推出PE＝PF即可．
【解答】（1）解：当AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵AD＝2AB＝2CD，AM＝DMAD，
∴AB＝AM＝DM＝CD，
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，∠DCM＝∠DMC＝45°，
∴∠BMC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP＝∠FPE＝90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形．
（2）解：当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．
理由是：∵四边形PEMF为矩形，
∴∠PFM＝∠PFB＝∠PEC＝90°，
在△BFP和△CEP中
，
∴△BFP≌△CEP（AAS），
∴PE＝PF，
∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．
【点评】本题主要考查对矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
30．（2025春 静安区期末）从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（10～16时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟；高峰时段（7～10时和16～19时），相邻班次间隔时间t（分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可以近似看成是t关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图象如图所示）．
（1）请分别将每天7～19时三个时段，相邻班次的间隔时间t（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析式填入表内．
时段 峰段 t（分钟）关于x（时）的函数解析式
7～10时 高峰段
10～16时 非高峰段
16～19时 高峰段
（2）游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午7～12时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由．
【分析】（1）易得10～16时，t＝6，当7～10时，16～19时分别设出一次函数解析式，把图象中的两组数据代入可得相关的函数解析式；
（2）分游客在上午7～10时和10～12时之间到达火车站，把乘地铁到达商场需要时间和乘出租车到达商场需要时间进行比较，得到相应的出行方案．
【解答】解：（1）7～10时，设t＝kx+b，
，
解得：，
∴t＝x﹣4；
10～16时，t＝6；
16～19时设t＝mx+n，
，
解得：，
∴t＝﹣x+22，
故答案为：t＝x﹣4，t＝6，t＝﹣x+22；
（2）①游客在上午7～10时之间到达火车站．
乘地铁到商场需要时间为：7+10，
Ⅰ.7+10＞19，
t＞4，
当t＞4时，x＞8，
∴8＜x＜10时，选择出租车能尽快抵达商场；
Ⅱ.7+10＝19，
t＝4，
当t＝4时，x＝8，
∴x＝8时，选择地铁和出租车抵达商场用时相同；
Ⅲ.7+10＜19，
t＜4，
当t＜4时，x＜8，
∴7＜x＜8时，选择地铁能尽快抵达商场；
②游客在上午10～12时之间到达火车站．
乘地铁到商场需要时间为：7+10＝3+7+10＝20（分），
乘出租车直接到达商场用时14分，
∵20＞14，
∴选择出租车能尽快抵达商场．
综上：7＜x＜8时，选择地铁能尽快抵达商场；
x＝8时，选择地铁和出租车抵达商场用时相同；
8＜x＜12时，选择出租车能尽快抵达商场．
【点评】本题考查一次函数的应用．用待定系数法求得相应的函数解析式是解决本题的关键；易错点是分时间段比较乘坐两种交通工具到达商场所需时间．
31．（2025春 闵行区校级期中）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；
（2）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
【分析】（1）首先根据图像和题意求出M（2，120），N（5，270），然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求出乙车行完全程用时为3.6小时，然后将x＝3.6代入y＝50x+20（2≤x≤5）求解即可．
【解答】解：（1）甲、乙两车各自距A地的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．
根据题意得，两人相遇的时间为120÷60＝2，
∴M（2，120），
∵甲车先以60千米/时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地，
∴2+3＝5，
∴N（5，270）
设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
则有：，
解得，．
∴y＝50x+20（2≤x≤5）；
（2）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为270﹣120＝150千米，
∴乙车的速度为：150÷2＝75（千米/时），
∴乙车行完全程用时为：270÷75＝3.6（时），
∵3.6＞2，
∴当x＝3.6时，y＝50×3.6+20＝200千米，
∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为200千米．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象，求出函数解析式是解答本题的关键．
32．（2026春 永春县月考）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的页数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费，两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）【基础设问】
①乙复印社要求客户每月支付的会员费是　18　 元，甲复印社每页收费是　0.2　 元．
②求出乙复印社的收费y乙（元）关于复印页数x的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义．
③如果每月复印200页，应选择哪家复印社？请说明理由．
（2）【能力设问】
①顾客如何选择复印社更划算？请通过计算说明．
②已知市场上有两种纸可供复印社选择，每包A型纸和每包B型纸的售价分别是15元和20元．现在商家对复印纸张价格进行调整，其中A型纸的售价上涨20%，B型纸按原价出售．甲复印社准备购进这两种型号的纸共50包（要求两种型号的纸均购买），并且A型纸的数量不超过B型纸数量的2倍，求购买这50包复印纸的最少费用．
【分析】（1）①根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的会员费是多少元和甲复印社每页收费；
②先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得；
③先求得甲复印社对应的函数关系式，然后将x＝200代入两函数解析式计算，最后比较它们的大小，即可解答本题；
（2）①分三种情况讨论即可；
②设购买A型纸m包，购买50包复印纸的总费用为w元，求出w的函数解析式和m的取值范围，根据一次函数的性质作答即可．
【解答】解：（1）①由图可知，乙复印社要求客户每月支付的会员费是18元；
甲复印社每页收费是10÷50＝0.2（元），
故答案为：18，0.2；
②设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝kx+b，由题意可得：
，
解得：，
∴乙复印社收费情况为y＝0.08x+18；
一次项系数的实际意义为在每月支付会员费18元的基础上，每页收费0.08元
③应选择乙复印社．理由如下：
由①知，y甲＝0.2x（x≥0）．
当x＝200时，甲复印社的费用为：0.2×200＝40（元），乙复印社的费用为：0.08×200+18＝34（元），
∵40＞34，
∴每月复印200页，应选择乙复印社；
（2）①当y甲＞y乙时，0.2x＞0.08x+18，解得x＞150；
当y甲＝y乙时，0.2x＝0.08x+18，解得x＝150；
当y甲＜y乙时，0.2x＜0.08x+18，得0≤x＜150．
综上所述，当复印的页数大于150时，选择乙复印社更划算；
当复印的页数小于150时，选择甲复印社更划算；
当复印的页数等于150时，选择两家复印社都一样；
②设购买A型纸m包，购买50包复印纸的总费用为w元，
由题意，得w＝15×（1+20%）m+20（50﹣m）＝﹣2m+1000．
∵m≤2（50﹣m），0＜m＜50，
∴，且m为正整数．
∵﹣2＜0，
∴w的值随m的值的增大而减小，
∴当m＝33时，w的值最小，是934，
∴购买这50包复印纸的最少费用是934元．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
33．（2025秋 平阴县期中）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式；
（2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？
（3）为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标﹣探究思考，归纳新知﹣辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）从图象上看，AB表示的函数为一次函数，BC是平行于x轴的线段，CD为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答；
（2）把自变量的值5和35代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值，比较即可得出结论；
（3）要求学习时的注意力指标数不低于40，取y＝40，求出相对应的自变量的值，进而求出注意力指标数不低于40的时间，与30相比较，得出答案．
【解答】解：（1）由图象知，A（0，20），B（10，50），C（30，50），
设线段AB所在的直线的解析式为：y：＝k1x+20（k1≠0），
把B（10，50）代入得：10k1+20＝50，
解得：k1＝3，
∴线段AB解析式为：y＝3x+20（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为：y（k2≠0），
把C（30，50）代入得：50，
解得：k2＝1500，
∴曲线CD的解析式为：y（30≤x≤45）；
（2）把x＝5代入y＝3x+20，得：y＝35，
把x＝35代入y，得：y，
∵35，
∴第35分钟时学生的注意力更集中；
（3）这样的要求能实现．理由如下：
把y＝40代入y＝3x+20得：3x+20＝40，解得：x；
把y＝40代入y，得：40，解得：y2，
∴学习时的注意力指标数不低于40的时间为：，
∵30，
∴这样的要求能实现．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式；易错点是根据函数图象判断出注意力指标数不低于40的时间．
随堂检测 · 精选练习
练习1（菱形判定） — 通过平行+等腰→等角，ASA证全等得邻边相等，对角线垂直的平行四边形是菱形；再通过AAS证全等得AE=BC=CD。
练习2（坐标平移+等腰三角形） — 平移后求点坐标，利用等腰三角形等角对等边得AB=AC，列距离方程求C点坐标（注意排除重合点）。
练习3（行程问题） — 根据图象求距离、速度，联立函数解析式求追及时间；求返程函数解析式（待定系数法）。
练习4（反比例与一次函数综合） — 求正比例和反比例解析式，联立求交点，根据距离分段列不等式求t的范围。
复习重点：几何证明规范 · 函数建模 · 方程思想 · 分类讨论。
【练习1】（2026春 普陀区校级期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝CD，点E在AD上，连接EB，EC交BD于点O．
（1）如图1，若EC⊥BD，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC交BE于点F，若点F是BE的中点，求证：AE＝CD．
【分析】（1）先根据平行线的性质和等边对等角得出∠CDO＝∠EDO，再根据“角边角”证明△EOD≌△COD，可得DE＝DC＝BC，然后证明四边形BCDE是平行四边形，最后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案；
（2）先根据“角角边”证明△AEF≌△CBF，可得AE＝BC，再结合已知条件BC＝CD，可得答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠CBO，
∵BC＝CD，
∴∠CDO＝∠CBO，
∴∠CDO＝∠EDO，
∵EC⊥BD，
∴∠EOD＝∠COD＝90°，
∵DO＝DO，
∴△EOD≌△COD（ASA），
∴DE＝DC＝BC，
∴BC∥DE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵EC⊥BD，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，
∵点F是BE的中点，
∴EF＝BF，
∴△AEF≌△CBF（AAS），
∴AE＝BC，
∵BC＝CD，
∴AE＝CD．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【练习2】（2026春 金山区期中）如图，在平面直角坐标系内，有一点A，将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B．
（1）写出点A，点B的坐标；
（2）如果点C在y轴上，且∠ABC＝∠ACB．求点C的坐标．
【分析】（1）先从坐标系中读出点A的坐标，再根据平移规律“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”求出点B的坐标；
（2）根据∠ABC＝∠ACB，得AB＝AC，设点C的坐标为（0，y），利用两点间距离公式列方程求解．
【解答】解：（1）由图可知，点A的坐标为（3，2），
根据平移规律，点A向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，
则点B的横坐标为：3﹣3＝0，
纵坐标为：2﹣4＝﹣2，
故点B的坐标为（0，﹣2）．
（2）设点C的坐标为（0，y），
由条件可知AB＝AC，
由两点间距离公式，
，
，
∴，
∴9+（2﹣y）2＝25，
∴2﹣y＝±4，
当2﹣y＝4时，y＝﹣2（与点B重合，舍去）；
当2﹣y＝﹣4时，y＝6．
∴点C的坐标为（0，6）．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的平移与等腰三角形的性质，解题的关键是利用点的平移规律求出点B的坐标，再结合等腰三角形“等角对等边”的性质列方程求解点C的坐标．
【练习3】（2026春 普陀区校级期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口．
（1）学校门口到学校操场的距离为　500　 米；
（2）当乙追上甲时，求x的值；
（3）直接写出乙返回时行驶路程y与x的函数关系式．
【分析】（1）由图像初始路程差得两地距离；（2）求出甲乙速度与函数，联立解析式求相遇x；（3）确定乙返程起止点，代入求一次函数式．
【解答】解：（1）根据题意，知学校门口到学校操场的距离等于两者距离图书馆的路程之差，
由图知，2000﹣1500＝500（米），
故答案为：500；
（2）设甲行驶路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x，
由图象可知，甲的图象经过点（30，1500），
∴30k1＝1500，
解得k1＝50，
∴甲的函数解析式为y＝50x，
设乙行驶路程y与时间x的函数关系式为y＝k2x+b，
由图象可知，乙的图象经过点（5，0）和（25，2000），
∴，
解得，
∴乙的函数解析式为y＝100x﹣500，当乙追上甲时，y值相等，
即50x＝100x﹣500，
50x＝500，
x＝10，
答：当乙追上甲时，x的值为10；
（3）乙在图书馆停留5分钟，到达时间是x＝25，所以停留结束开始返回的时间是x＝25+5＝30，
此时乙的位置在图书馆，距离学校门口2000米，
即起点坐标为（30，2000），
乙返回学校门口，即终点纵坐标为0，
计算返回的速度和时间：
乙速度为k2＝100米/分钟，
返回的路程是2000米，
所需时间为2000÷100＝20（分钟），
所以返回结束的时间为30+20＝50（分钟），
即终点坐标为（50，0），
设乙返回时的函数解析式为y＝kx+m，
图象经过点（30，2000）和（50，0），
代入得：，
解得：，
所以函数解析式为y＝﹣100x+5000，自变量x的取值范围是30≤x≤50．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中的追及问题，解题的关键是通过函数图象获取关键点的坐标，理解路程、速度、时间三者之间的关系，以及分段函数的解析式求解，解题核心是利用待定系数法求出函数解析式，利用方程思想解决追及问题．
【练习4】（2024秋 浦东新区校级期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段OA与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离y（km）与小王的行驶时间t（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
（1）线段OA的函数表达式为 y＝10x ；
（2）曲线CD的函数表达式为 y　 ；
（3）点K的坐标为 　（，﹣2）　 ；
（4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当S≤2时，求t的取值范围．
【分析】（1）设线段OA的函数表达式为y＝kt，把（0.8，8）代入y＝kt解方程得到线段OA的函数表达式为y＝10t；
（2）设曲线CD的函数表达式为y，把（0.1，8）代入y得解方程得到曲线CD的函数表达式为y；
（3）解方程组得即可得到点K的坐标为（，﹣2）；
（4）依据题意，根据题意分3种情况讨论即可．
【解答】解：（1）设线段OA的函数表达式为y＝kt，
把（0.8，8）代入y＝kt得8＝0.8k，
解得k＝10，
∴线段OA的函数表达式为y＝10t，
故答案为：y＝10t；
（2）设曲线CD的函数表达式为y，
把（0.1，8）代入y得，m＝0.1×8＝0.8，
∴曲线CD的函数表达式为y；
故答案为：y；
（3）解方程组得或，
∴点K的坐标为（，﹣2）；
故答案为：（，﹣2）；
（4）当10t＝2时，解得t＝0.2（负根已经舍去），
当10t2时，解得t＝0.4（负根已经舍去），
∴t的取值范围为0.2≤t≤0.4．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，利用函数解析式进行解答．
课后巩固 · 针对性练习
作业1（平行四边形与中位线） — 利用中点得中位线，证CF∥AD，结合已知AF∥CD得平行四边形；由中位线求AD，再勾股定理求BC。
作业2（平行四边形与垂直平分线） — 利用垂直平分线得CF=EF，结合中点、60°角得等边三角形，求AE。
作业3（三角形重心与平行四边形） — 重心得中线中点，证△BNF≌△CMF得BN=CM，证平行四边形；重心性质得AM=2MF，MN=2MF→AM=MN。
作业4（坐标与平移） — 根据象限列不等式求整数解；平移后坐标相等列方程求点坐标。
作业5（利润问题） — 利用图象两点求一次函数解析式，解不等式求获利条件。
作业6（输液器流速） — 根据图象求y=-1.5x+250，得实际流速90mL/h，利用正比关系求设定值；设未知数列分式方程求流速。
作业7（一次函数与不等式） — 根据图象写解集，由两直线交点横坐标及点坐标求参数。
作业8（注意力指标） — 求反比例函数解析式；分段求注意力≥36的时长，比较与15分钟的大小。
作业9（水温分段函数） — 根据加热升温、降温反比例列解析式；求y≥50对应的x区间长度。
作业10（行程分段函数） — 根据图象求速度，分段写解析式；妹妹追及问题，列方程求时间及距离。
作业11（反比例与一次函数综合） — 求交点坐标、k值，利用对称性写不等式解集；利用平行线等面积转化求平移后直线解析式。
作业12（反比例与一次函数综合） — 待定系数法求解析式；利用平行线等面积，通过已知面积求平移后直线与x轴交点，进而得解析式。
复习建议 解答题重在逻辑推理与规范书写，几何题要善于构造辅助线（中位线、垂线、平行线），函数题要注重待定系数法和数形结合，实际应用题需准确理解题意，分段函数注意定义域。建议每道题完成后总结所运用的核心知识点和数学思想。
【作业1】（2026春 杨浦区校级期中）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长．
【分析】（1）因为DF＝FB，所以F是DB的中点，而E是AB的中点，根据三角形中位线定理得EF∥AD，即CF∥AD，因为AF∥CD，所以四边形AFCD是平行四边形；
（2）由F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1，根据三角形中位线定理AD＝2EF＝2，由平行四边形的性质昨CF＝AD＝2，而∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3，根据勾股定理得BC．
【解答】（1）证明：∵DB，CE交于点F，DF＝FB，
∴F是DB的中点，
∵E是AB的中点，
∴EF∥AD，
∴CF∥AD，
∵AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）解：∵F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1，
∴AD＝2EF＝2，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴CF＝AD＝2，
∵∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3，
∴BC，
∴BC的长是．
【点评】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，推导出CF∥AD，进而证明四边形AFCD是平行四边形是解题的关键．
【作业2】（2026春 闵行区期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E是边AB上一点，连接CE，作FG垂直平分CE，分别交边AD、BC、CE于点G、F、H．
（1）如图1：若AB＝4，BC＝6，当点F恰好是边BC中点时，求AE的长；
（2）若AB＝BC＝6，当AF⊥BC时，求AE的长．
【分析】（1）连接EF，根据垂直平分线的性质，证明△BEF是等边三角形，即可得解；
（2）连接EF，根据30度所对的直角边等于斜边一半，得到BF＝3，进而推出△BEF是等边三角形，即可得解．
【解答】解：（1）连接EF，
∵点F恰好是边BC中点，AB＝4，BC＝6，
∴，
∵FG垂直平分CE，
∴CF＝EF＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝1；
（2）连接EF，
∵∠ABC＝60°，AF⊥BC，
∴∠BAF＝30°，
∴，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵FG垂直平分CE，
∴CF＝EF＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝3．
【点评】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【作业3】（2026春 杨浦区期中）已知，如图，DE为△ABC的中位线，BD与CE交于点M，过点B作BN∥CE，交AM的延长线于点N，连接CN．
（1）求证：四边形BMCN是平行四边形；
（2）求证：AM＝MN．
【分析】（1）由M是△ABC的重心，得到BF＝CF，判定△BNF≌△CMF（AAS），推出BN＝CM，而BN∥CM，即可证明四边形BMCN是平行四边形；
（2）由全等三角形的性质推出NF＝MF，得到MN＝2MF，由三角形的重心性质得到AM＝2MF，推出AM＝MN．
【解答】证明：（1）∵DE为△ABC的中位线，
∴线段CE和BD是△ABC的中线，
∴M是△ABC的重心，
∴AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，
∵BN∥CE，
∴∠NBF＝∠MCF，∠BNF＝∠CMF，
∴△BNF≌△CMF（AAS），
∴BN＝CM，
∵BN∥CM，
∴四边形BMCN是平行四边形；
（2）证明：∵△BNF≌△CMF（AAS），
∴NF＝MF，
∴MN＝2MF，
∵M是△ABC的重心，
∴AM＝2MF，
∴AM＝MN．
【点评】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的重心，关键是掌握平行四边形的判定方法，重心的性质．
【作业4】（2026春 宝山区校级月考）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3a﹣13，a﹣3）．
（1）若点P位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标；
（2）若将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点P的坐标．
【分析】（1）根据第二象限坐标的特征列不等式组，即可得出答案；
（2）根据平移法则得新的坐标为（3a﹣13+3，a﹣3+5），根据横纵坐标相等即可得到答案．
【解答】解：（1）∵点P位于第二象限，
∴3a﹣13＜0，a﹣3＞0，
，
∵横、纵坐标都是整数，
∴a＝4，
∴P的坐标为（﹣1，1）；
（2）将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到新的坐标为 （3a﹣13+3，a﹣3+5），
∵（3a﹣13+3，a﹣3+5）横纵坐标相等，
∴3a﹣13+3＝a﹣3+5，
∴a＝6，
∴点P的坐标为（5，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平面直角坐标系中点的坐标，掌握坐标平移的平移法则是本题的解题关键．
【作业5】（2026春 徐汇区校级月考）如图，l1表示某电动车厂一天的销售收入y1与销售量x之间的关系；l2表示该电动车厂一天的销售成本y2与销售量x之间的关系．
（1）求出销售收入与销售量之间的函数关系式；
（2）求出销售成本与销售量之间的函数关系式；
（3）当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利（利润＝收入﹣成本）？
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可．
（3）由题意可知，当y1＞y2时工厂获利，然后解不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）设y1＝mx，则2＝2m，
解得m＝1，
∴y1＝x．
∴销售收入与销售量之间的函数关系式为y1＝x．
（2）设y2＝kx+b，由条件可得：
，
解得，
∴销售成本与销售量之间的函数关系式．
（3）由题意可知，当y1＞y2时工厂获利，
即，
解得x＞4，
∴当一天的销售量超过4辆时，工厂才能获利．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是关键．
【作业6】（2026春 闵行区校级月考）医疗输液器中的流速调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式．小明发现，在相同挡位下，不同黏度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个挡位，同种液体的输液速度保持恒定）
（1）小明用旋钮式输液器设定了每小时120mL的挡位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250mL，得到输液袋剩余药液量y（mL）和时间x（min）之间的关系如图所示．
①求y关于x的函数表达式；（不写定义域）
②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120mL/h）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，那么想要达到每小时120mL的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少？
（2）小明用相同挡位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60mL，因此输250mL液体C所需时间是输200mL液体B所需时间的2倍，求用该挡位输液时液体B和液体C的实际流速．
【分析】（1）①根据函数图象，用待定系数法求出函数解析式；
②由①求出实际流速与120mL/h比较即可判断液体A的实际流速与设定流速（120mL/h）不一致；再设应该把旋钮式输液器的流速设定为amL/h，根据液体A的实际流速与设定流速成正比得出比例式，求出a；
（2）设液体C的实际流速为xmL/h，则液体B的实际流速为（x+60）mL/h，根据输250mL液体C所需时间是输200mL液体B所需时间的2倍列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）①设y关于x的函数表达式为y＝kx+b，
把（0，250），（20，220）代入解析式得：
，
解得，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣1.5x+250；
②液体A的实际流速与设定流速（120mL/h）不一致，理由：
由①知，实际流速为每分钟1.5mL，
换算为每小时：1.5×60＝90（mL/h），
∵90≠120，
∴液体A的实际流速与设定流速（120mL/h）不一致；
设应该把旋钮式输液器的流速设定为amL/h，
∵液体A的实际流速与设定流速成正比，
∴，
解得a＝160，
∴应该把旋钮式输液器的流速设定为160mL/h；
（2）设液体C的实际流速为xmL/h，则液体B的实际流速为（x+60）mL/h，
根据题意得：2，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的根，
∴液体C的实际流速为100mL/h，则液体B的实际流速为160mL/h．
【点评】本题考查一次函数和分式方程的应用，关键是求出函数解析式和列出分式方程．
【作业7】（2026春 闵行区校级月考）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．
（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2　 ；
（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．
①求点B的坐标；
②求a的值．
【分析】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式kx+b＞0的解集；
（2）①由题意可以求得k、b的值，然后将x＝1代入y1＝kx+b即可求得点B的坐标；
②根据点B也在函数y2＝﹣4x+a的图象上，从而可以求得a的值．
【解答】解：（1）∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2；
（2）①∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，
∴，得，
∴一次函数y1＝2x+4，
∵不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1，
∴点B的横坐标是x＝1，
当x＝1时，y1＝2×1+4＝6，
∴点B的坐标为（1，6）；
②∵点B（1，6），
∴6＝﹣4×1+a，得a＝10，
即a的值是10．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【作业8】（2026春 莱芜区期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．
（1）求反比例函数的解析式，并求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【分析】（1）设出反比例函数的解析式，根据图中数据用待定系数法求解析式即可；
（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x，由反比例函数y可得y≥36时，x≤25，根据2515，即可得到答案．
【解答】解：（1）设反比例函数的关系式为y（20≤x≤45），
由图知，反比例函数过点C（20，45），
代入解析式得45
解得k＝900，
∴反比例函数的关系式为y，
当x＝45时，y20，
故A点对应的指标值为20；
（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：
，
解得，
∴AB的解析式为yx+20，
当y≥36时，x+20≥36，解得x，
由（1）得反比例函数的解析式为y，
当y≥36时，36，解得x≤25，
∴x≤25时，注意力指标都不低于36，
而2515，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
【作业9】（2026 开封一模）教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热．水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至20℃．接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示．
（1）请结合图象，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在50℃及以上的总时间．
【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数解析式；
（2）将y＝50代入两段函数解析式即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可知加热到100℃所用时间为：（100﹣20）÷10＝8（分钟），
当0≤x≤8时，设y＝kx+b，将x＝0，y＝20和x＝8，y＝100代入得，
解得：，
则y＝10x+20（0≤x≤8），
当x＞8时，
设，将x＝8，y＝100代入得m＝800，
∴，
当y＝20时，x＝40，
则；
（2）将y＝50代入y＝10x+20，
解得：x＝3，
将y＝50代入，
解得：x＝16，
则16﹣3＝13（分钟），
所以饮水机有13分钟时间能使水温保持在50℃及以上．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，列出函数解析式是关键．
【作业10】（2026 和平区一模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600m，公园离家1800m．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，用相同速度匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用相同速度匀速步行回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
小华离开家的时间/min 2 6 18 52
小华离家的距离/m 600
②填空：当小华离家的距离为800m时，他离开家的时间为　20或65　 min；
③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）小华的妹妹比哥哥迟2min到书店，在书店待了15min后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）①先计算小华的步行速度：从家到书店：600÷6＝100m/min，全程速度不变，即可得到结论；
②当小华离家的距离为800m 时，求离开家的时间分两种情况：去程（从书店到公园，18＜x≤30）：返程（从公园回家，55＜x≤73）：根据题意即可得到结论；
③当0≤x≤6（从家到书店），速度为100 m/min，当6＜x≤18（书店停留），距离不变，y＝600，当18＜x≤30（从书店到公园），速度为100 m/min，根据题意列出函数解析式即可；
（Ⅱ）根据哥哥的速度为100m/min，妹妹的速度为200m/min，求出哥哥到达公园的时间为30min，妹妹到书店的时间为6+2＝8min，设妹妹出发t分钟后追上哥哥（t≥0，对应总时间 23+t），根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）①填表先计算小华的步行速度：从家到书店：600÷6＝100 m/min，全程速度不变．表格小华离开家的时间，
小华离家的距离/m 2×100＝200 600 600（书店停留） 1800
②当小华离家的距离为800m 时，求离开家的时间分两种情况：
去程（从书店到公园，18＜x≤30）：
该段函数y＝600+100（x﹣18）＝100x﹣1200，
令y＝800，则100x﹣1200＝800，
解得x＝20；
返程（从公园回家，55＜x≤73）：
该段函数y＝1800﹣100（x﹣55）＝7300﹣100x，
令y＝800，则7300﹣100x＝800，
解得x＝65，
综上所述，他离开家的时间为20min或65min，
故答案为：20或65；
（③当0≤x≤30时，y关于 x的函数解析式分三段讨论：
当0≤x≤6（从家到书店），速度为100 m/min，
∴y＝100x，
当6＜x≤18（书店停留），距离不变，y＝600，
当18＜x≤30（从书店到公园），速度为100 m/min，
∴y＝600+100（x﹣18）＝100x﹣1200，
综上：y；
（Ⅱ）妹妹能在哥哥到达公园前追上哥哥，
理由：哥哥的速度为100m/min，妹妹的速度为200m/min，
哥哥到达公园的时间为30min，妹妹到书店的时间为6+2＝8min，
在书店停留到8+15＝23min后出发去公园，
设妹妹出发t分钟后追上哥哥（t≥0，对应总时间 23+t），
哥哥在（23+t）分钟时的位置为：y哥＝100（23+t）﹣1200＝1100+100t，
妹妹在t分钟时的位置为：y妹＝600+200t，
追上时y哥＝y妹，
即1100+100t＝600+200t，
解得t＝5，
追上时的总时间为23+5＝28＜30（哥哥到达公园前），
此时离公园的距离为1800﹣（600+200×5）＝200（m）．
故能追上，追上时离公园还有200米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．
【作业11】（2026 高新区一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y（k≠0）的图象与正比例函数yx的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，m）．
（1）求k的值；
（2）当x时，自变量x的取值范围为　﹣3＜x＜0或x＞3　 ；
（3）将直线AB向上平移后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若S△ABC＝12，求直线CD的函数表达式．
【分析】（1）把A（﹣3，m）代入yx求得m的值，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）利用反比例函数的对称性求得B点的坐标，然后根据图象即可求解；
（3）利用反比例函数的对称性以及平行线的距离相等，得出S△OBES△ABC6，即可求得OE＝4，从而求得直线CD为yx+4．
【解答】解：（1）把A（﹣3，m）代入yx得，m（﹣3）＝2，
∴A（﹣3，2），
∵点A在反比例函数y（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6；
（2）∵反比例函数y（k≠0）的图象与正比例函数yx的图象交于A，B两点，A（﹣3，2），
∴B（3，﹣2），
观察图象，当x时，自变量x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞3；
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞3；
（3）∵A（﹣3，2），B（3，﹣2），
∴OA＝OB，
∵CD∥AB，
∴S△OBES△ABC6，
∴OE xB＝6，
∴OE＝4，
∴E（0，4），
∴直线CD为yx+4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，平行线的性质，三角形面积，求得A、B、E的坐标是解题的关键．
【作业12】（2025春 仓山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是（6，2），点B的纵坐标是﹣3．
（1）求反比例函数和直线l1的表达式；
（2）将直线l1：y＝k1x+b沿y轴向上平移后得直线l2，l1，l2与x轴分别交于E，F两点，l2与反比例函数在第一象限内交于点C，如果△ABC的面积为15，求平移后的直线l2的函数表达式．
【分析】（1）将点（6，2）代入，求出反比例函数的表达式；可求出B点坐标，再将A，B两点的坐标代入l1：y＝k1x+b，利用待定系数法求出直线l1的表达式；
（2）连接AF，BF，则E（2，0），根据平移的性质可得CF∥AB，即可得出△ABC的面积与△ABF的面积相等，可求得F（﹣4，0），即可得出平移后的直线l2的函数表达式．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是（6，2），点B的纵坐标是﹣3．
∴，即k2＝12，
∴反比例函数的表达式为，
在中，当时，x＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣3）．
∴，
解得：，
∴直线l1的表达式为；
（2）如图，连接AF，BF，
在中，当，x＝2，
∴E（2，0），
由平移的性质可得CF∥AB，
∴△ABC的面积与△ABF的面积相等，
∵△ABC的面积为15，
∴S△ABF＝S△AFE+S△BFE＝15，
∴，
∴，
∴EF＝6，
∵E（2，0），
∴F（﹣4，0），
设平移后的直线l2的函数表达式为，
把F（﹣4，0）代入，得，
解得：n＝2，
∴平移后的直线l2的函数表达式为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键．
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