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专题23.4 一次函数应用 优等生讲义
(7大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 一次函数在经济问题中的建模方法（利润、收费、打折、分段计费），能根据实际背景建立函数关系并求解最值。
熟练运用 一次函数解决方案选择与优化问题（租车、采购、投资分配），通过比较函数值或解不等式确定最佳方案。
理解 工程问题中的效率、时间与工作总量的一次函数关系，能结合图表信息列式求解。
会利用 一次函数图象分析行程问题（相遇、追及、相距距离、速度变化），能从图象中提取关键点坐标并求解析式。
掌握 一次函数与几何综合（面积、折叠、旋转、平移），能利用待定系数法、交点坐标、面积公式解决几何问题。
提升 创新题型中的信息提取与建模能力，能结合分段函数、图象分析实际生活情境（如漏刻、机器人分拣、充电费用等）。
核心聚焦：一次函数建模、图象信息提取、方案优化决策、几何综合应用。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、经济问题（利润、收费、打折）
基本模型：总收入 = 单价 × 数量；总成本 = 固定成本 + 可变成本；利润 = 收入 - 成本。
分段函数：购买数量或消费金额超过一定阈值后，单价或折扣变化，需分段建立函数（如题3、4）。
待定系数法：根据已知两组数据（如速度与时间、鞋码与脚长），设 ，代入求 。
方案比较：分别写出两种方案的函数表达式，再通过解不等式或代入具体值判断优劣（题5）。
☆ 二、方案问题（最优选择）
线性规划思想：在约束条件（如数量限制、资金限制）下，建立目标函数（如利润、费用），利用一次函数的增减性求最值（题6、7、9）。
自变量范围：根据实际意义（如人数、车辆数）确定整数解，再比较端点值。
图象法：画出两个方案的函数图象，交点处费用相等，通过图象上下位置判断优势范围。
☆ 三、工程问题
工作总量 = 工作效率 × 时间。常用一次函数表示剩余工作量或已完成工作量与时间的关系。
充电问题：充电量 = 充电功率 × 充电时间；电池剩余电量与行驶里程成线性关系（题10）。
工资问题：基本工资 + 计件奖励，通常为一次函数（题11）。
☆ 四、行程问题
s-t图象：纵轴表示离某地距离，斜率表示速度；交点表示相遇；折线表示变速或停留。
相遇与追及：利用两者路程相等列方程；相距问题考虑两种情形（相遇前、相遇后）。
分段函数：不同时间段速度不同，需分段写出解析式（题12、18、19）。
图象信息提取：从图象中读取起点、终点、拐点坐标，计算速度、时间、距离。
☆ 五、几何问题
直线与坐标轴围成的面积：（截距式）。
平移与旋转：平移后 不变， 改变；旋转90°需利用垂直（斜率乘积为-1）求新直线。
折叠问题：折叠前后对应点关于折痕对称，利用中点坐标和垂直关系求解。
三角形面积：已知三点坐标，用铅垂高法或行列式法。
☆ 六、创新题型
阅读理解：从文字、表格、图象中提取有效信息，转化为一次函数模型（题33、34、35、36）。
方案设计与评价：根据目标（如扭亏为盈）设计调整方案，并比较优劣（题33）。
数据拟合：利用两组数据近似确定一次函数关系（题35）。
多变量问题：综合多个条件建立函数，求最值或判断可行性（题36）。
☆ 知识模块速查表
题型 核心方法 关键步骤
经济问题 建立收入/成本/利润函数，分段函数，方案比较 设未知数→列表达式→解方程或不等式→结合实际取解
方案问题 目标函数（利润/费用）+约束条件，利用一次函数单调性求最值 写出函数式→确定自变量范围→计算端点值或最值点
工程问题 工作总量=效率×时间，剩余电量线性关系 根据表格或图象求解析式，代入求解
行程问题 s-t图象分析，相遇、追及、相距距离 读点坐标→求速度→列方程→分类讨论
几何问题 面积公式、平移旋转、对称折叠 求交点坐标→利用几何关系列方程→解出参数
创新题型 信息提取、数据拟合、方案设计 理解情境→转化为一次函数→验证合理性
核心考点 ·6类题型精讲
【考点1】经济问题：利润、收费、打折
方法总结
①根据题意设出变量，建立一次函数模型；②注意分段计费时不同区间的表达式；③利润最大问题通常转化为一次函数在自变量范围内的最值，若k>0则取最大值，k<0则取最小值；④方案比较时，令两函数相等求临界值，再结合图象判断。
1．（2024秋 管城区校级期末）从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度y（m/s）是运动时间t（s）的一次函数，经测量，该物体的初速度（t＝0时物体的速度）为30m/s，2s后物体的速度为10m/s，当物体达到最高点（此时物体的速度为0）时，运动时间t等（　　）s．
A．﹣10 B．3 C．10 D．30
2．（2025秋 永济市期末）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选到合脚的鞋子．已知中国鞋码y与脚长x（单位：cm）满足一次函数，y与x的部分对照数据如下表，则中国鞋码y与脚长x（单位：cm）的函数关系式为　 　 ．
脚长x/cm … 23 23.5 24 24.5 …
中国鞋码y … 36 37 38 39 …
3．（2025 浙江模拟）某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下：
方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元．
方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元．
如图所示是日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数图象．
（1）求x＞100时，方案二的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式；
（2）甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围；
（3）乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？
4．甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价六折售卖．x（kg）表示购买苹果的质量，y（元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款　 　 元，购买5kg苹果需付款　 　 元．
（2）求付款金额y关于购买苹果的质量x的函数表达式．
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的八折售卖．如果文文要购买10kg苹果，请问：她在哪个超市购买更划算？
5．（2025 韶关模拟）某校准备购买一批羽毛球拍和羽毛球对歌咏比赛获奖学生进行奖励，团委王老师经过调研发现购买2副羽毛球拍和3盒羽毛球需花费290元，购买3副羽毛球拍和2盒羽毛球需花费360元．
（1）求每副羽毛球拍和每盒羽毛球的价格；
（2）现有两家文体公司售卖羽毛球拍和羽毛球，两家公司售价与（1）中的价格相同，且两家公司均在做让利活动，方案如下：
甲公司：所有商品一律打八折．
乙公司：买一副羽毛球拍送一盒羽毛球．
①设羽毛球拍购买x副，羽毛球购买（50﹣x）盒，购买羽毛球的盒数不少于羽毛球拍的副数，学校若在甲公司购买需花费y1元，若在乙公司购买需花费y2元，求出y1，y2关于x的解析式；
②若只在一家公司购买，学校应选择哪家公司最合算？
【考点2】方案选择与优化（租车、采购、投资）
方法总结
①设出决策变量，根据限制条件列出不等式组；②写出目标函数（费用或利润）；③利用一次函数单调性（k的正负）求最值，注意自变量可能为整数；④方案设计时，要满足所有约束，通常选择离最优点最近的整数解。6．（2025 汉台区二模）剪纸艺术，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，常用纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮革等制作，是中国汉族最古老的民间艺术之一．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共500套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸少8元，购进3套甲种剪纸和5套乙种剪纸共需96元．
（1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元/套？
（2）若甲种剪纸的售价为10元/套，乙种剪纸的售价为20元/套，设购进甲种剪纸装饰x套（x≤80），销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并求销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值．
7．（2025 金华模拟）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
8．（2024秋 大丰区期末）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地出发沿这条公路匀速驶向目的地C，乙车从B地出发沿这条公路匀速驶向目的地A，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车的行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．
请你根据图象上的数据，解答下列问题：
（1）乙车出发1.5h时，两车相距多少km；
（2）乙车出发多长时间，两车相遇；
（3）甲车到达C地时，两车相距 　 　 km．
9．（2025春 江汉区期末）某学校计划租用客车送284名学生和16名老师去春游，为了安全，既要保证所有师生都有座位，又要保证每辆客车上至少有2名教师，现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 30 42
租金（元/辆） 300 400
（1）共需租　 　 辆客车；
（2）设租用x辆甲种客车，租车总费用为y元，求y关于x的函数解析式；
（3）若租车总费用不超过3100元，请你给出最节省费用的方案．
【考点3】工程与效率问题
方法总结
①工程问题：工作量 = 效率 × 时间，常用剩余工作量或已完成工作量与时间的线性关系；②充电问题：充电量 = 功率 × 时间，剩余电量 = 初始电量 - 消耗量；③工资问题：工资 = 基本工资 + 单价 × 件数；④根据表格或图象用待定系数法求解析式。
10．（2025秋 海州区期末）小王家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为60kWh，支持快速充电功能，快速充电功率为180kW．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示．
新能源汽车充电小常识： 1．新能源汽车充电有个简单的公式： 充电量（kWh）＝充电功率（kW）×充电时间（h） 2．电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色
表②：已知该新能源汽车在满电状态下行驶过程中仪表盘已行驶里程y（千米）与显示电量x（%）的部分数据如下表：（不考虑续航缩水问题）
汽车行驶过程
已行驶里程y（千米） 0 200 300 350
显示电量x（%） 100 60 40 30
（1）在直角坐标系中，通过描点连线判断y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式．
（2）请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？
（3）已知小王驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为10%，则该汽车在服务区充电的时长为　 　 分钟．
11．（2025春 锦江区校级期末）某工艺品销售公司今年5月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资＝销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年5月份的工资情况信息：
职工 甲 乙
月销售件数（x件） 200 300
月工资（y元） 2000 2500
（1）求月工资y元与月销售件数x件之间的函数关系式；
（2）若职工丙今年6月份的工资不低于3000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？
12．（2025 红桥区一模）已知学生宿舍、教室、餐厅、篮球场依次在同一条直线上，教室离宿舍1km，餐厅离宿舍1.6km，篮球场离宿舍2km．小明从教室出发，先匀速步行10min到达篮球场，在篮球场锻炼了45min，之后匀速步行5min到达餐厅，在餐厅停留20min后，匀速骑行10min返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
小明离开宿舍的时间/min 5 10 20 75
小明离宿舍的距离/km 2
（Ⅱ）填空：小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为 　 　 km/min；
（Ⅲ）当0≤x≤60时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅳ）当小明到达餐厅5min时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍，如果小华比小明晚5min到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
13．（2026春 同步）据国家统计局网站数据，从2016年至2022年某省全体居民人均可支配收入R（万元）的数据如表所示：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
对应的t值 0 1 2 3 4 5 6
R/万元 1.97 2.15 2.34 2.57 2.71 2.94 3.09
（1）用统计图直观表示R随着年份增加的变化趋势．
（2）请确定一个一次函数，近似表示R随着t的增大而增长的趋势．
（3）预测2024年该省全体居民人均可支配收入．
【考点4】行程问题：s-t图象分析与相遇追及
方法总结
①从图象中读取起点、终点、拐点坐标；②斜率绝对值表示速度，正负表示方向；③相遇时两者距某地距离相等；④相距问题要考虑相遇前、相遇后两种情形；⑤分段函数要注明各段定义域。
14．（2024 江岸区模拟）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的路程S（单位：km）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（　　）
A． B．15min C．20min D．
15．（2025秋 槐荫区期末）人工智能的发展使得智能机器人成为时尚．如图，送餐机器人小A和小I从厨房门口出发，前往450cm的客人处，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为x（s），小A和小I行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．小A比小I先出发15秒
B．小I提速后的速度为30cm/s
C．n＝40
D．从小A出发至送餐结束，小I和小A最远相距150cm
16．（2025 湖南模拟）我国古代数学的经典著作《九章算术》记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”意思是：不善行者先走10里路，善行者追他，当善行者走到100里路时，超过了不善行者20里路．问善行者走到多少里路时就赶上不善行者？如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：里）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是（　　）
A．20 B． C． D．30
17．（2025 白山模拟）一条公路旁依次有A、B、C三个村庄．甲、乙两人分别从A村、B村同时出发，骑自行车前往C村，甲、乙之间的路程s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）从图象看，A、B两村相距 　 　 km．两人在出发 　 　 h后相遇．
（2）结合图象分析，当t＝2时，对应的s值为 　 　 ．
（3）写出整个运动过程中s与t的函数关系式．
（4）相遇后，乙又骑行了 　 　 min时两人相距2km．
18．（2025秋 诸暨市期末）某投资人以50万总资金进行投资，进行预估以后分别有两种投资方式，投入资金x（万元）与利润y（千元）的函数图象如图所示．
方式一：如图，线段OA，点A（50，30）；
方式二：如图，虚线OB，BC，CA，点B（20，10），点C（30，20），BC与OA交于点D．
（1）求直线OA解析式，点D坐标；
（2）若该投资人先将a（0＜a＜20）万元以方式二投资，再将其余资金以方式一投资，获得利润b千元，求b关于a的代数式；
（3）该投资人先进行了投资方案预建，方案①：先将m（0＜m＜40）万元以方式二投资，再将其余资金以方式一投资：方案②：先将（m+10）万元以方式二投资，再将其余资金以方式一投资；发现两个方案的利润相差1千元，直接写出m满足的条件．
19．（2024秋 江都区期末）一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以原速度返回甲地．已知快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系分别如图中折线O﹣B﹣C﹣D和线段OA所示．
（1）甲、乙两地相距 　 　 km，快车的行驶速度是 　 　 km/h，慢车的行驶速度是 　 　 km/h；
（2）求图中点E的坐标，并解释点E的实际意义；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距200km？（请直接写出答案）
【考点5】一次函数与几何综合（面积、平移、旋转、折叠）
方法总结
①求直线与坐标轴交点坐标；②面积公式：；③平移前后k不变，b变化；④旋转90°：两直线斜率乘积为-1；⑤折叠问题：利用对称点中点在折痕上，连线与折痕垂直。
20．（2026春 渝中区校级月考）已知一次函数y＝kx﹣8（k为常数且k＜0）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数y＝kx﹣8的结论错误的是（　　）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数图象经过第二、三、四象限
C．函数图象与x轴的交点坐标是（2，0）
D．函数图象可由函数y＝﹣4x的图象平移得到
21．（2026 宝鸡一模）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝2x+1向上平移3个单位长度后得到直线l2，直线l2、直线l3：y＝﹣x+4与x轴围成的三角形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
22．（2025秋 威海期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3，则直线l3的表达式为　 　 ．
23．（2025秋 江都区期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将AB沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线BC的函数表达式．
24．（2025秋 沂源县期末）如图，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，将直线AB沿y轴向下平移至点C（0，﹣1），与x轴交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求S△BEC．
25．（2025秋 姜堰区月考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣1，3）．
（1）求k，b的值；
（2）已知点A（﹣3，0），P（x，y）是该一次函数图象上一点，当△OPA的面积为6时，求点P的坐标．
26．（2024秋 河源期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点6】其它问题
方法总结
27．（2026 肇源县一模）如图①，部队、学校、仓库、基地在同一条直线上．学校开展国防教育活动，师生乘坐校车从学校出发前往基地，与此同时，教官们乘坐客车从部队出发，到仓库领取装备后再前往基地；到达基地后，他们需要10min整理装备．客车和校车离部队的距离y（km）与所用时间t（h）的函数图象如图②所示，其中，点C在线段AB上．
（1）部队和基地相距 　 　 km，客车到达仓库前的速度为 　 　 km/h．
（2）求校车离部队的距离y与t的函数表达式以及教官们领取装备所用的时间．
（3）为确保师生到达基地时装备已经整理完毕，则客车第二次出发时的速度至少是多少？
28．（2025春 同步）一种树苗的高度用h表示，树苗生长的年数用a表示，测得的有关数据如下表：（树苗原高100cm）
年数a 高度h/cm
1 100+5
2 100+10
3 100+15
… …
（1）试用年数a的代数式表示h．
（2）此树苗需多少年才能长到200cm高？
29．（2025 南开区校级模拟）2022年3月23日“天宫课堂”第二课开讲．传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明从学校骑自行车到科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，使继续前往科技馆．小明离科技馆的距离y（m）与离学校的时间x（min）的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（Ⅰ）填空：
（1）学校到科技馆的距离是 　 　 m；
（2）小明等待红绿灯所用的时间为 　 　 min；
（3）小明在整个途中，骑行的最快速度是 　 　 m/min；
（4）小明在整个途中，共行驶了 　 　 m．
（5）（Ⅰ）直接写出小明从等待红绿灯到找回钥匙（即6≤x≤15）期间，他离科技馆的距离y（m）与离开学校时间x（min）之间的函数关系：
（Ⅱ）当小明离开学校2min时，小强恰巧从科技馆出发速步行返回学校，若小强步行速度为每分钟60m，那么他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是多少？（直接写出答案）
30．（2025秋 沈阳期中）如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司的销售成本与销售量的关系，观察图象，回答下列问题．
（1）当销售量为6吨时，销售收入为 　 　 元，销售成本为 　 　 元；
（2）求l1，l2对应的函数表达式；
（3）求利润w（元）与销售量x（吨）之间的函数关系式（利润＝销售收入﹣销售成本）．
31．（2024秋 祁县期末）李先生购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为50千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算李先生发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系．
方案 安装费用 每千瓦时所需费用
方案一：私家安装充电桩 2500元 0.5元
方案二：公共充电桩充电 0 1.5元（含服务费）
（1）已知新能源车充电时一般损耗率为1.1，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为50×1.1×0.5＝27.5（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？
（2）当已行驶里程大于250千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程千米）的函数表达式．当电池剩余电量为15%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？
（3）李先生都是在电池剩余电量不低于25千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程大约为多少千米时，两种方案费用一样．（结果保留整数）
32．（2025秋 老河口市期中）综合与实践“水果店定价最优方案”
【项目背景】
某校九年级数学兴趣小组参与社会实践活动，帮助一家水果店分析阳光玫瑰葡萄的销售数据，以制定合理的定价策略，实现利润最大化．
已知水果店进货成本为6元/千克，销售单价不低于成本，且不高于20元/千克．小组在试销期间记录了不同售价对应的日销售量，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/千克） 12 14 16
日销售量y（千克） 100 90 80
【任务一】建立函数模型
（1）小组发现y与x之间近似成一次函数关系，直接写出y与x之间的函数关系式；
【任务二】实现目标利润
（2）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元？
【任务三】优化定价决策
（3）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？
【考点7】创新题型：实际情境建模
方法总结
①仔细阅读题目，提取关键数据；②将文字信息转化为数学表达式（一次函数、分段函数）；③利用表格或图象中的数据确定解析式；④结合实际问题验证答案的合理性；⑤多变量问题需综合多个条件建立方程或不等式。
33．（2025春 珠海期末）综合实践：
主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态．
问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图象如图①所示），写出图①中点A（0，﹣1）和点B（1.5，0）的实际意义，并求出y与x的函数关系．
（2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图②和图③两个图示中，反映乘客代表意见的是 　 　 ，反映客运公司行政代表意见的是 　 　 （填序号）．
问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内平均每天的乘客数量为1.2万人，经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.9万元； 方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元． 你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由．
34．（2024秋 柯城区期末）一辆货车和轿车同时从甲地出发驶向乙地．货车一直匀速行驶，轿车途中停车休息了0.5h，且休息前后行驶速度不变．若两车出发后距离甲地的路程y（km）与行驶时间x（h）的关系如图所示（部分被污染）．
（1）请画出被污染部分的函数图象．
（2）求轿车的速度及点A的纵坐标．
（3）求当x＞1.7时，两车相遇点距离甲地的路程．
35．（2025 雁塔区校级二模）如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实验操作】上午9：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后，每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间 9：00 9：10 9：20 9：30 9：40
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm 30 29 28.1 27 25.8
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，每隔10min水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】
（1）利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
（2）利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为10cm时是几点钟？
36．（2025秋 嵊州市期末）随着AI技术的快速发展，智能设备已经走入我们的生产生活．某公司使用甲，乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人中途停工维修，维修结束后又和乙机器人一起继续工作，从开始分拣到结束工作，乙机器人工作了8小时．甲，乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲机器人每小时分拣快递的件数．
（2）当甲，乙两机器人分拣快递件数相同时，求乙机器人工作的时间．
随堂检测 · 精选练习
1.（2025春 德化县期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3 10km的出行市场，图中反映某共享电动车平台收费y（单位：元）与骑行时间x（单位：min）之间的函数关系，根据图中的信息，某天小明从家到学校一共骑行35min，则需要向平台付费 　 　 元．
2.（2024春 新城区校级期中）小颖现有存款300元．为赞助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（个月）之间的函数关系式为 　 　 ．
3.（2024春 晋安区期末）兄弟两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向跑步400米，且过程中各自保持匀速．已知弟弟先出发5秒．在跑步过程中，兄弟两人之间的距离y（米）与哥哥出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则图中b表示的是 　 　 米．
4．甲、乙两车分别从A，B两地沿直路同向匀速行驶，两车间的距离y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）（0≤x≤60）的部分对应值如表，则y与x的函数关系式为　 　 ．
时间x/s 0 5 10 15 20
两车间的距离y/m 300 275 250 225 200
5.（2024春 兴庆区校级期中）在一定范围内，弹簧的长度y（cm）与它所挂物体的质量x（kg）之间的关系是yx+10，如果该弹簧最长可以拉伸到16cm，那么它所挂物体的最大质量是 　 　 ．
课后巩固 · 针对性练习
课后1 —— 漏壶液面高度与时间：根据表格数据求一次函数（y = 4x + 2）
课后2 —— 甲、乙跑步：读图判断说法正误（速度、追及时间、终点时间）
课后3 —— 李明行程：读折线图判断说法（路程、维修路段长度、时间、平均速度）
课后4 —— 爬楼台阶数：一次函数求20楼高度（已知每层台阶数等差）
课后5 —— 出租车分段计费：y = 2.7(x-2) + 10 (x>2)
课后6 —— 烤鸭烤制时间：根据表格数据求一次函数，代入求值
课后7 —— 甲、乙两车相向：读s-t图求m值（相遇前相距？）
课后8 —— 赛跑：乙比甲晚5秒，t=10秒乙追上甲，求l1表达式
课后9 —— 消费卡：求两种卡的费用函数，求交点，判断15次哪种划算
课后10 —— 汽车行驶：读折线图求速度、线段FG解析式、判断能否按时到达
课后11 —— 购票方案：方案一 y=50x+8000，方案二折线OAB，求函数，比较180张票
课后12 —— 游轮与货轮：读图求a、b值，填表，求函数解析式，货轮能否相遇
课后13 —— 产品分配方案：线下利润分段函数，线上利润二次型（实际为一次？），设计优秀方案
复习建议：强化一次函数在实际问题中的建模能力，重视图象信息的提取与分段函数的处理，加强方案优化问题的系统性训练，并注意几何变换与一次函数的结合。
1.（2025秋 汨罗市校级期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出y与x之间的函数表达式（　　）
时间：（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
A．y＝2+4x B．y＝6+4x C．y＝6﹣4x D．y＝2﹣4x
2.（2025秋 沈北新区期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．乙用6分钟追上甲
B．乙的速度为100米/分
C．乙追上甲后，再走2400米才到达终点
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟
3.（2024春 仓山区校级月考）如图，李明从甲地去往乙地，开始以一定的速度行驶，之后由于道路维修，速度变为原来的四分之一，过了维修道路后又变为原来的速度到达乙地，设李明行驶的时间为x（分钟），行驶的路程为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列说法错误的是（　　）
A．甲乙两地的距离为10000米
B．从甲地到乙地有2千米道路需要维修
C．李明从甲地到乙地共用20分钟
D．李明从甲地到乙地的平均速度为每分钟400米
4．（2024 包河区二模）小明爬楼回家，他所爬楼梯台阶总数m个是楼层的层数n层（n≥2的整数）的一次函数，其部分对应值如表所示：
层数n/（层） 2 3 4 5 …
台阶数m/（个） 42 70 98 126 …
已知每个台阶的高为0.1m，小明家在20楼，他家距地面的高度是（　　）
A．56m B．57.4m C．54.6m D．59.2m
5.（2025秋 福田区校级期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞2）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为　 　 ．
6.（2025春 通州区期中）烤鸭的烤制时间与鸭子的质量可以近似看作一次函数关系．某烤鸭店在确定的烤制时间时，参照表中的数据：设鸭子的质量为x千克，烤制时间为t，当x＝3.8千克时，t的值为　 　 分钟．
鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180
7.（2025 中山区一模）甲、乙两车分别从M，N两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N，M两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为s（单位：km），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系如图所示，m的值为 　 　 ．
8.（2025 长宁区二模）甲、乙两人在同一起点出发，乙比甲晚5秒，图中l1、l2分别表示甲、乙两人在赛跑中的路程s（米）与时间t（秒）的关系（图象不完整），已知l2的表达式为s＝6t﹣30．如果在t＝10秒时乙追上甲，那么l1的表达式为　 　 .（不要求写定义域）
9．（2025秋 兰州月考）某度假酒店推出了甲、乙两种消费卡，设入店次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用y甲、y乙元关于入店次数x次的函数表达式；
（2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？
（3）若入住酒店15次，采用哪种方法比较划算？
10.（2024秋 扬州期末）如图1，一条直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，AB＝250km，BC＝60km，一辆汽车上午8：00从离A站10km的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站，设汽车出发x小时后离A站ykm，图2中折线DEFG表示接到通知前y与x之间的函数关系的图象．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 　 　 千米/小时；（直接写出结果）
（2）求线段FG所表示的y与x之间的函数表达式（自变量的取值范围不需要写）；
（3）接到通知后，若汽车仍按原来的速度行驶，能否按时到达？如果不能按时到达，速度至少提高到多少可按时到达，请说明理由．
11.（2024春 江门校级期中）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）；
方案一：提供8000元赞助后，每张的票价为50元；
方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定．
（1）分别求出方案一和方案二的函数关系式；
（2）若购买180张票，选择哪个方案更省钱？
12.（2025 河西区模拟）已知甲、乙、丙三个码头依次在一条直线上，甲、乙码头之间的距离为280km，乙、丙码头之间的距离为140km．一艘游轮从甲码头出发前往丙码头，途中经过乙码头停靠了两个小时，又继续航行到达丙码头，且游轮停靠前后的行驶速度不变．下面的图象反映了这个过程中游轮离甲码头的距离y（km）与时间x（h）之间的对应关系．
（Ⅰ）①根据题中所给信息，图中a的值为　 　 ，b的值为　 　 ；
②填表：
游轮离开甲码头的时间/h 1 10 15 20
游轮离开甲码头的距离/km 　 　 　 　 280 　 　
（Ⅱ）请直接写出在整个过程中，游轮离甲码头的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅲ）在游轮到达乙码头1小时的时候，有一货轮也从甲码头出发前往丙码头，已知货轮的速度是游轮的3倍，那么货轮在行驶途中能否遇到游轮？若能相遇，相遇地距离甲码头的路程是多少？（直接写出结果即可）
13.（2024 鄞州区模拟）请阅读信息，并解决问题：
优化产品分配方案
素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完．
素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．
素材3 优秀方案月总利润≥46000元良好方案44000元＜月总利润＜46000元合格方案40000元＜月总利润≤44000元
（销售利润＝销售收入﹣成本）
任务1 ①线下直营店的月销售量为m件．若0＜m≤400，则这m件产品的销售利润为 　 　 元．若400＜m≤800，则这m件产品的销售利润为 　 　 元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为 　 　 元．
任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．）专题23.4 一次函数应用 优等生讲义
(7大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 一次函数在经济问题中的建模方法（利润、收费、打折、分段计费），能根据实际背景建立函数关系并求解最值。
熟练运用 一次函数解决方案选择与优化问题（租车、采购、投资分配），通过比较函数值或解不等式确定最佳方案。
理解 工程问题中的效率、时间与工作总量的一次函数关系，能结合图表信息列式求解。
会利用 一次函数图象分析行程问题（相遇、追及、相距距离、速度变化），能从图象中提取关键点坐标并求解析式。
掌握 一次函数与几何综合（面积、折叠、旋转、平移），能利用待定系数法、交点坐标、面积公式解决几何问题。
提升 创新题型中的信息提取与建模能力，能结合分段函数、图象分析实际生活情境（如漏刻、机器人分拣、充电费用等）。
核心聚焦：一次函数建模、图象信息提取、方案优化决策、几何综合应用。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、经济问题（利润、收费、打折）
基本模型：总收入 = 单价 × 数量；总成本 = 固定成本 + 可变成本；利润 = 收入 - 成本。
分段函数：购买数量或消费金额超过一定阈值后，单价或折扣变化，需分段建立函数（如题3、4）。
待定系数法：根据已知两组数据（如速度与时间、鞋码与脚长），设 ，代入求 。
方案比较：分别写出两种方案的函数表达式，再通过解不等式或代入具体值判断优劣（题5）。
☆ 二、方案问题（最优选择）
线性规划思想：在约束条件（如数量限制、资金限制）下，建立目标函数（如利润、费用），利用一次函数的增减性求最值（题6、7、9）。
自变量范围：根据实际意义（如人数、车辆数）确定整数解，再比较端点值。
图象法：画出两个方案的函数图象，交点处费用相等，通过图象上下位置判断优势范围。
☆ 三、工程问题
工作总量 = 工作效率 × 时间。常用一次函数表示剩余工作量或已完成工作量与时间的关系。
充电问题：充电量 = 充电功率 × 充电时间；电池剩余电量与行驶里程成线性关系（题10）。
工资问题：基本工资 + 计件奖励，通常为一次函数（题11）。
☆ 四、行程问题
s-t图象：纵轴表示离某地距离，斜率表示速度；交点表示相遇；折线表示变速或停留。
相遇与追及：利用两者路程相等列方程；相距问题考虑两种情形（相遇前、相遇后）。
分段函数：不同时间段速度不同，需分段写出解析式（题12、18、19）。
图象信息提取：从图象中读取起点、终点、拐点坐标，计算速度、时间、距离。
☆ 五、几何问题
直线与坐标轴围成的面积：（截距式）。
平移与旋转：平移后 不变， 改变；旋转90°需利用垂直（斜率乘积为-1）求新直线。
折叠问题：折叠前后对应点关于折痕对称，利用中点坐标和垂直关系求解。
三角形面积：已知三点坐标，用铅垂高法或行列式法。
☆ 六、创新题型
阅读理解：从文字、表格、图象中提取有效信息，转化为一次函数模型（题33、34、35、36）。
方案设计与评价：根据目标（如扭亏为盈）设计调整方案，并比较优劣（题33）。
数据拟合：利用两组数据近似确定一次函数关系（题35）。
多变量问题：综合多个条件建立函数，求最值或判断可行性（题36）。
☆ 知识模块速查表
题型 核心方法 关键步骤
经济问题 建立收入/成本/利润函数，分段函数，方案比较 设未知数→列表达式→解方程或不等式→结合实际取解
方案问题 目标函数（利润/费用）+约束条件，利用一次函数单调性求最值 写出函数式→确定自变量范围→计算端点值或最值点
工程问题 工作总量=效率×时间，剩余电量线性关系 根据表格或图象求解析式，代入求解
行程问题 s-t图象分析，相遇、追及、相距距离 读点坐标→求速度→列方程→分类讨论
几何问题 面积公式、平移旋转、对称折叠 求交点坐标→利用几何关系列方程→解出参数
创新题型 信息提取、数据拟合、方案设计 理解情境→转化为一次函数→验证合理性
核心考点 ·6类题型精讲
【考点1】经济问题：利润、收费、打折
方法总结
①根据题意设出变量，建立一次函数模型；②注意分段计费时不同区间的表达式；③利润最大问题通常转化为一次函数在自变量范围内的最值，若k>0则取最大值，k<0则取最小值；④方案比较时，令两函数相等求临界值，再结合图象判断。
1．（2024秋 管城区校级期末）从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度y（m/s）是运动时间t（s）的一次函数，经测量，该物体的初速度（t＝0时物体的速度）为30m/s，2s后物体的速度为10m/s，当物体达到最高点（此时物体的速度为0）时，运动时间t等（　　）s．
A．﹣10 B．3 C．10 D．30
【分析】先根据待定系数法求出函数解析式，再令y＝0，解方程求出x的值．
【解答】解：设y与t的函数表达式为y＝kt+b，
将y＝30，t＝0和y＝10，t＝2代入解析式得：
，
解得，
∴y与t的函数表达式为y＝﹣10t+30，
当物体到达最高点时，速度为0，代入y＝﹣10t+30得，
﹣10t+30＝0，
解得t＝3，
∴经过3s，该物体到达最高点，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是根据题意列出y关于t的函数解析式．
2．（2025秋 永济市期末）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选到合脚的鞋子．已知中国鞋码y与脚长x（单位：cm）满足一次函数，y与x的部分对照数据如下表，则中国鞋码y与脚长x（单位：cm）的函数关系式为y＝2x﹣10　 ．
脚长x/cm … 23 23.5 24 24.5 …
中国鞋码y … 36 37 38 39 …
【分析】根据表格数据，中国鞋码y与脚长x满足一次函数关系，利用待定系数法求函数表达式即可．
【解答】解：根据表格数据，设中国鞋码y与脚长x（单位：cm）的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，
∴函数关系式为y＝2x﹣10，
验证：当x＝23.5时，y＝37满足关系式．
故答案为：y＝2x﹣10．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
3．（2025 浙江模拟）某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下：
方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元．
方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元．
如图所示是日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数图象．
（1）求x＞100时，方案二的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式；
（2）甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围；
（3）乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？
【分析】（1）利用方案二的日工资＝基本工资+4×（生产数量﹣100），即可找出当x＞100时方案二的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式；
（2）利用方案一的日工资＝基本工资+2×生产数量，可找出方案一的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式，由方案二中“当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元”，可得出当0＜x≤100时，方案二的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式，分0＜x≤100及x＞100两种情况考虑，根据甲员工选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，可列出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）分0＜x≤100及x＞100两种情况考虑，根据乙员工选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：当x＞100时，方案二的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式为y＝100+4（x﹣100），
即y＝4x﹣300，
∴当x＞100时，方案二的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式为y＝4x﹣300；
（2）根据题意得：方案一的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式为y＝20+2x；
当0＜x≤100时，方案二的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式为y＝100．
当0＜x≤100时，20+2x＞100，
解得：x＞40，
∴40＜x≤100；
当x＞100时，20+2x＞4x﹣300，
解得：x＜160，
∴100＜x＜160．
综上所述，甲员工生产的零件个数的范围为40＜x＜160；
（3）当0＜x≤100时，100﹣（20+2x）＝20，
解得：x＝30；
当x＞100时，4x﹣300﹣（20+2x）＝20，
解得：x＝170．
答：乙员工生产了30个或170个零件．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出当x＞100时方案二的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
4．甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价六折售卖．x（kg）表示购买苹果的质量，y（元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款　30　 元，购买5kg苹果需付款　46　 元．
（2）求付款金额y关于购买苹果的质量x的函数表达式．
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的八折售卖．如果文文要购买10kg苹果，请问：她在哪个超市购买更划算？
【分析】（1）根据题意直接写出购买3kg和5kg苹果所需付款；
（2）分0＜x≤4和x＞4两种情况写出函数解析式即可；
（3）通过两种付款比较那个超市便宜即可．
【解答】解：（1）由题意可知：文文购买3kg苹果，不优惠，
∴文文购买3kg苹果需付款：3×10＝30（元），
购买5kg苹果，4kg不优惠，1kg优惠，
∴购买5kg苹果需付款：4×10+1×10×0.6＝46（元），
故答案为：30，46；
（2）由题意得：
当0＜x≤4时，y＝10x，
当x＞4时，y＝4×10+（x﹣4）×10×0.6＝6x+16，
∴付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y；
（3）文文在甲超市购买10kg苹果需付费：6×10+16＝76（元），
文文在乙超市购买10kg苹果需付费：10×10×0.8＝80（元），
∴文文应该在甲超市购买更划算．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，关键是写出分段函数的解析式．
5．（2025 韶关模拟）某校准备购买一批羽毛球拍和羽毛球对歌咏比赛获奖学生进行奖励，团委王老师经过调研发现购买2副羽毛球拍和3盒羽毛球需花费290元，购买3副羽毛球拍和2盒羽毛球需花费360元．
（1）求每副羽毛球拍和每盒羽毛球的价格；
（2）现有两家文体公司售卖羽毛球拍和羽毛球，两家公司售价与（1）中的价格相同，且两家公司均在做让利活动，方案如下：
甲公司：所有商品一律打八折．
乙公司：买一副羽毛球拍送一盒羽毛球．
①设羽毛球拍购买x副，羽毛球购买（50﹣x）盒，购买羽毛球的盒数不少于羽毛球拍的副数，学校若在甲公司购买需花费y1元，若在乙公司购买需花费y2元，求出y1，y2关于x的解析式；
②若只在一家公司购买，学校应选择哪家公司最合算？
【分析】（1）依据题意，设每副羽毛球拍的价格为a元，每盒羽毛球的价格为b元，从而，进而计算可以判断得解；
（2）①依据题意，从甲公司购买的费用：y1＝[100x+30（50﹣x）]×80%＝56x+1200；从乙公司购买的费用：y2＝100x+30（50﹣x﹣x）＝40x+1500，进而可以判断得解；
②依据题意，分y1＜y2和y1＞y2，分析计算，再结合0≤x≤25，进而可以判断得解．
【解答】：（1）设每副羽毛球拍的价格为a元，每盒羽毛球的价格为b元．
根据题意，得，
∴．
答：每副羽毛球拍的价格为100元，每盒羽毛球的价格为30元．
（2）①从甲公司购买的费用：y1＝[100x+30（50﹣x）]×80%＝56x+1200；从乙公司购买的费用：y2＝100x+30（50﹣x﹣x）＝40x+1500，
∴从甲公司购买时y1关于x的函数关系式为y1＝56x+1200；从乙公司购买时y2关于x的函数关系式为y＝40x+1500；
②当y1＜y2时，即56x+1200＜40x+1500，解得x＜18.75，
∴当0＜x≤18时，到甲公司购买更划算；
当y1＝y2时，即 56x+1200＝40x+1500，解得x＝18.75．
∵x为整数，
∴甲、乙公司的花费不会相同；
当y1＞y2时，即56x+1200＞40x+1500，解得x＞18.75，
又由题意，x≤50﹣x，
∴19≤x≤25时，到乙公司购买更合算．
综上，当0＜x≤18时，到甲公司购买更划算；19≤x≤25时，到乙公司购买更合算．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
【考点2】方案选择与优化（租车、采购、投资）
方法总结
①设出决策变量，根据限制条件列出不等式组；②写出目标函数（费用或利润）；③利用一次函数单调性（k的正负）求最值，注意自变量可能为整数；④方案设计时，要满足所有约束，通常选择离最优点最近的整数解。
6．（2025 汉台区二模）剪纸艺术，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，常用纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮革等制作，是中国汉族最古老的民间艺术之一．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共500套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸少8元，购进3套甲种剪纸和5套乙种剪纸共需96元．
（1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元/套？
（2）若甲种剪纸的售价为10元/套，乙种剪纸的售价为20元/套，设购进甲种剪纸装饰x套（x≤80），销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并求销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值．
【分析】（1）分别设这两种剪纸购进时的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据“销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润＝（甲种剪纸的售价﹣甲种剪纸的进价）×购进甲种剪纸的套数+（乙种剪纸的售价﹣乙种剪纸的进价）×购进乙种剪纸的套数”写出y与x之间的函数关系式，并由一次函数的增减性和x的取值范围求出y的最小值即可．
【解答】解：（1）设甲种剪纸购进时的单价为a元/套，乙种剪纸购进时的单价价为b元/套．
根据题意，得，
解得．
答：甲种剪纸的单价为7元/套，乙种剪纸的单价为15元/套．
（2）y＝（10﹣7）x+（20﹣15）（500﹣x）＝﹣2x+2500，
∵﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x≤80，
∴当x＝80时，y值最小，y最小＝﹣2×80+2500＝2340．
答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+2500，销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值为2340元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
7．（2025 金华模拟）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时100﹣m的值即可．
【解答】解：（1）设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件．
根据题意，得，
解得．
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）根据题意，得m≤1.5（100﹣m），
解得m≤60，
W＝（100﹣60）m+（70﹣40）（100﹣m）＝10m+3000，
∵10＞0，
∴W随m的增大而增大，
∵m≤60，
∴当m＝60时W值最大，W最大＝10×60+3000＝3600，
100﹣60＝40（件）．
答：第二次购进甲种布料60件、乙种布料40件，全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
8．（2024秋 大丰区期末）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地出发沿这条公路匀速驶向目的地C，乙车从B地出发沿这条公路匀速驶向目的地A，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车的行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．
请你根据图象上的数据，解答下列问题：
（1）乙车出发1.5h时，两车相距多少km；
（2）乙车出发多长时间，两车相遇；
（3）甲车到达C地时，两车相距 　40　 km．
【分析】（1）由速度＝路程÷时间分别求出两车的速度，根据“A、B两地之间的距离﹣甲车行驶的距离﹣乙车行驶的距离”列式计算即可；
（2）设乙车出发mh后两车相遇，两车相遇时两车行驶的距离之和为A、B两地之间的距离，据此列关于m的一元一次方程并求解即可；
（3）当甲车到达C地时，计算乙车行驶的路程，从而求出乙车与C地之间的距离即可．
【解答】解：（1）甲车的速度为240÷4＝60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），
240+200﹣60×（1+1.5）﹣80×1.5＝170（km）．
答：乙车出发1.5h时，两车相距170km．
（2）设乙车出发mh后两车相遇．
60（m+1）+80m＝240+200，
解得m．
答：乙车出发h后两车相遇．
（3）甲车到达C地时，乙车行驶的路程为80×（4﹣1）＝240（km），此时乙车距C地的距离为240﹣200＝40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km．
故答案为：40．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
9．（2025春 江汉区期末）某学校计划租用客车送284名学生和16名老师去春游，为了安全，既要保证所有师生都有座位，又要保证每辆客车上至少有2名教师，现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 30 42
租金（元/辆） 300 400
（1）共需租　8　 辆客车；
（2）设租用x辆甲种客车，租车总费用为y元，求y关于x的函数解析式；
（3）若租车总费用不超过3100元，请你给出最节省费用的方案．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出y关于x的函数解析式；
（3）根据题意和（2）中的结果可以得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集，再根据一次函数的性质，即可求得最节省费用的方案．
【解答】解：（1）共需租a辆客车，
由题意可得：，
解得7a≤8，
∵a为整数，
∴a＝8，
即共需租8辆车，
故答案为：8；
（2）由题意可得，
y＝300x+400（8﹣x）＝﹣100x+3200，
即y关于x的函数解析式为y＝﹣100x+3200；
（3）由题意可得，
，
解得1≤x≤3，
由（2）知：y＝﹣100x+3200，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y取得最小值，此时y＝2900，8﹣x＝5，
答：最节省费用的方案为租用3辆甲种客车，租用5辆乙种客车．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
【考点3】工程与效率问题
方法总结
①工程问题：工作量 = 效率 × 时间，常用剩余工作量或已完成工作量与时间的线性关系；②充电问题：充电量 = 功率 × 时间，剩余电量 = 初始电量 - 消耗量；③工资问题：工资 = 基本工资 + 单价 × 件数；④根据表格或图象用待定系数法求解析式。
10．（2025秋 海州区期末）小王家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为60kWh，支持快速充电功能，快速充电功率为180kW．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示．
新能源汽车充电小常识： 1．新能源汽车充电有个简单的公式： 充电量（kWh）＝充电功率（kW）×充电时间（h） 2．电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色
表②：已知该新能源汽车在满电状态下行驶过程中仪表盘已行驶里程y（千米）与显示电量x（%）的部分数据如下表：（不考虑续航缩水问题）
汽车行驶过程
已行驶里程y（千米） 0 200 300 350
显示电量x（%） 100 60 40 30
（1）在直角坐标系中，通过描点连线判断y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式．
（2）请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？
（3）已知小王驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为10%，则该汽车在服务区充电的时长为　6　 分钟．
【分析】（1）根据表格数据，描点画出函数图象并利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）依据题意，将x＝20代入（1）中解析式求出y值即可；
（3）在满电状态下里程表显示：360＝﹣5x+500，解得x＝28，据此行驶360km耗电量为100﹣28＝72，设增加的电量为w，10＝52+w﹣72，解得w＝30．据此计算出充电时间即可．
【解答】解：（1）在坐标系中描点作图如下：判断该函数为一次函数，设函数解析式为y＝kx+b，
将点（40，300），（60，200）代入解析式得：，
∴．
一次函数解析式为：y＝﹣5x+500．
（2）由题意，结合（1）可得，当x＝20时，y＝﹣5×20+500＝400，
答：该汽车在满电状态行驶400公里时，电量灯开始变成黄色．
（3）由题意可得在满电状态下行驶240km，
行驶240km里程表显示：240＝﹣5x+500，解得x＝52，
行驶240km耗电量为100﹣52＝48，
剩余路程（600﹣240）＝360km，
按同样的耗电速度，行驶完剩余的360 将耗电360÷240×48%＝72%．
设增加的电量为w，
10＝52+w﹣72，解得w＝30．
根据题意，电池容量为60kwh，支持快速充电功能，快速充电功率为180kw，即小时充电100%，
30%的电量需要充电时间为：30÷100＝0.1（小时），即充电时间为6分钟．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，搞清耗电量和仪表盘显示电量是解答本题的关键．
11．（2025春 锦江区校级期末）某工艺品销售公司今年5月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资＝销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年5月份的工资情况信息：
职工 甲 乙
月销售件数（x件） 200 300
月工资（y元） 2000 2500
（1）求月工资y元与月销售件数x件之间的函数关系式；
（2）若职工丙今年6月份的工资不低于3000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？
【分析】（1）判断y与x之间的函数类型并利用待定系数法求其函数关系式即可；
（2）根据y≥3000列关于x的一元一次不等式并求其解集，从而得到x的最小值即可．
【解答】解：（1）∵月工资＝基本保障工资+销售每件的奖励金额×销售的件数，
∴月工资y（元）是月销售件数x（件）的一次函数，
设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将x＝200，y＝2000和x＝300，y＝2500分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝5x+1000．
（2）当5x+1000≥3000时，解得x≥400．
答：丙该月至少应销售400件产品．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和一元一次不等式的解法是解题的关键．
12．（2025 红桥区一模）已知学生宿舍、教室、餐厅、篮球场依次在同一条直线上，教室离宿舍1km，餐厅离宿舍1.6km，篮球场离宿舍2km．小明从教室出发，先匀速步行10min到达篮球场，在篮球场锻炼了45min，之后匀速步行5min到达餐厅，在餐厅停留20min后，匀速骑行10min返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
小明离开宿舍的时间/min 5 10 20 75
小明离宿舍的距离/km 2
（Ⅱ）填空：小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为 　0.16　 km/min；
（Ⅲ）当0≤x≤60时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅳ）当小明到达餐厅5min时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍，如果小华比小明晚5min到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【分析】（Ⅰ）根据图象及速度＝路程÷时间、路程＝速度×时间计算即可；
（Ⅱ）根据速度＝路程÷时间计算即可；
（Ⅲ）根据速度＝路程÷时间、路程＝速度×时间计算，并最终写为分段函数的形式即可；
（Ⅳ）根据速度＝路程÷时间、路程＝速度×时间分别求出小明和小华离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，二者联立建立关于x和y的方程组并求解，其中y的值即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）小明从教室到篮球场过程中的速度为（2﹣1）÷10＝0.1（km/min），
则当x＝5时，y＝1+0.1×5＝1.5；
当x＝20时，y＝2；
当x＝75时，y＝1.6．
（Ⅱ）小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为1.6÷（90﹣80）＝0.16（km/min）．
故答案为：0.16．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当0≤x≤10时，小明的速度为0.1km/min，
∴当0≤x≤10时，y＝0.1x+1，
当10＜x≤55时，y＝2，
∵当55＜x≤60时，小明的速度为（2﹣1.6）÷（60﹣55）＝0.08（km/min），
∴当55＜x≤60时，y＝2﹣0.08（x﹣55）＝﹣0.08x+6.4，
综上，当0≤x≤60时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y．
（Ⅳ）由（Ⅱ）可知，当80≤x≤90时，小明的速度为0.16km/min，
∴当80≤x≤90时，小明离宿舍的距离y与时间x之间的关系式为y＝1.6﹣0.16（x﹣80）＝﹣0.16x+14.4，
当x＝60+5＝65时小华离开餐厅，当x＝90+5＝95时到达宿舍，
则当65≤x≤95时，小华的速度为1.6÷（95﹣65）（km/min），
∴当65≤x≤95时，小华离宿舍的距离y与时间x之间的关系式为y＝1.6（x﹣65）x，
当二人在回宿舍的途中相遇时，得，
解得．
答：小华在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是0.4km．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
13．（2026春 同步）据国家统计局网站数据，从2016年至2022年某省全体居民人均可支配收入R（万元）的数据如表所示：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
对应的t值 0 1 2 3 4 5 6
R/万元 1.97 2.15 2.34 2.57 2.71 2.94 3.09
（1）用统计图直观表示R随着年份增加的变化趋势．
（2）请确定一个一次函数，近似表示R随着t的增大而增长的趋势．
（3）预测2024年该省全体居民人均可支配收入．
【分析】（1）数据的可视化表示（折线统计图的绘制与解读）、变量的变化趋势分析．将表格中的 （t，R） 数据点 （0，1.97）、（1，2.15）、（2，2.34）、（3，2.57）、（4，2.71）、（5，2.94）、（6，3.09）在坐标系中标出，再用线段依次连接，即可清晰看出R随t 增长的趋势．掌握统计图的绘制方法，能通过图形直观观察变量随年份的变化规律；
（2）利用给定的数据，通过待定系数法设出一次函数R ＝kt+b，代入数据求解参数k和b，从而确定函数表达式；
（3）将2024年对应的t值代入第（2）问求出的一次函数表达式，计算对应的R值，完成预测．
【解答】解：（1）要直观表示R 随着年份增加的变化趋势，适合使用折线统计图．横轴表示 t 值（年份对应的编号），纵轴表示人均可支配收入 R （万元）．将表格中的 （t，R） 数据点 （0，1.97）、（1，2.15）、（2，2.34）、（3，2.57）、（4，2.71）、（5，2.94）、（6，3.09）在坐标系中标出，再用线段依次连接，即可清晰看出R随t 增长的趋势． （2）设一次函数为 R ＝ kt+b，
这里选取首尾两点 （0，1.97）和 （6，3.09），代入t＝0，得b ＝ 1.97，代入t＝6，得3.09 ＝ 6k+1.97，
解得：k ＝ 0.1896≈0.19．因此，近似的一次函数为：R ＝ 0.19t+1.97．
（3）预测2024年的收入：2024年对应的 t 值：2016年对应 t＝0，则2024年对应 t ＝ 2024﹣2016 ＝ 8．将 t＝8 代入一次函数：R ＝ 0.19×8+1.97 ＝ 1.52+1.97 ＝ 3.49 （万元）．
即：2024年该省全体居民人均可支配收入为：3.49 万元．
【点评】题目考查了一次函数的建模与应用、数据的可视化分析，同时结合了数据可视化和函数预测的知识点，解题关键是掌握一次函数的求解方法和数据与函数的对应关系．
【考点4】行程问题：s-t图象分析与相遇追及
方法总结
①从图象中读取起点、终点、拐点坐标；②斜率绝对值表示速度，正负表示方向；③相遇时两者距某地距离相等；④相距问题要考虑相遇前、相遇后两种情形；⑤分段函数要注明各段定义域。
14．（2024 江岸区模拟）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的路程S（单位：km）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（　　）
A． B．15min C．20min D．
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别写出甲和乙的速度，再设甲乙两地的路程，根据路程＝速度×时间，即可求得两次相遇的时间，再作差即可．
【解答】解：设甲乙两地的路程为akm，
由图象可得，
甲的速度为km/min，乙的速度为km/min，
设甲和乙第一次相遇的时间为t1，他们第二次相遇的时间为t2，
由题意可得：，
解得，
则t2﹣t1（min），
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（2025秋 槐荫区期末）人工智能的发展使得智能机器人成为时尚．如图，送餐机器人小A和小I从厨房门口出发，前往450cm的客人处，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为x（s），小A和小I行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．小A比小I先出发15秒
B．小I提速后的速度为30cm/s
C．n＝40
D．从小A出发至送餐结束，小I和小A最远相距150cm
【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得y1，y2各段的函数解析式，结合函数图象即可判断D选项．
【解答】解：结合图象可知，，
小A比小I早出发15秒，故选项A正确，不符合题意；
∵当x＝15秒时，y2＝0；当x＝17秒时，y2＝30厘米，
∴小I提速前的速度是（厘米/秒），
∵小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．
∴小I提速后速度为30厘米/秒，
故选项B正确，不符合题意；
∴提速后小I行走所用时间为：，
∴m＝17+14＝31（秒），
∴A（31，310），
∴小A的速度为（厘米/秒），
∴n45（秒），
故选项C错误，符合题意；
小数和小文相遇前，当x＝15时小文和小数相距最远，为10×15＝150（cm），
小数和小文相遇后，当x＝m＝31时小文和小数相距最远，为450﹣10×31＝140（cm），
∵150＞140，
∴从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm，
故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键．
16．（2025 湖南模拟）我国古代数学的经典著作《九章算术》记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”意思是：不善行者先走10里路，善行者追他，当善行者走到100里路时，超过了不善行者20里路．问善行者走到多少里路时就赶上不善行者？如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：里）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是（　　）
A．20 B． C． D．30
【分析】由善行者走100里路的时间与不善行者走100﹣10﹣20＝70（里）路的时间相同，知善行者与不善行者的速度比为100：70＝10：7，设善行者行走s里路时就赶上不善行者，善行者速度为10v里/时，可得，即可解得答案．
【解答】解：根据题意，善行者走100里路的时间与不善行者走100﹣10﹣20＝70（里）路的时间相同，
∴善行者与不善行者的速度比为100：70＝10：7，
设善行者行走s里路时就赶上不善行者，善行者速度为10v里/时，则不善行者速度为7v里/时，
可得，
解得s，
∴善行者行走里路时就赶上不善行者；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出善行者与不善行者的速度比为10：7．
17．（2025 白山模拟）一条公路旁依次有A、B、C三个村庄．甲、乙两人分别从A村、B村同时出发，骑自行车前往C村，甲、乙之间的路程s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）从图象看，A、B两村相距 　10　 km．两人在出发 　1.25　 h后相遇．
（2）结合图象分析，当t＝2时，对应的s值为 　6　 ．
（3）写出整个运动过程中s与t的函数关系式．
（4）相遇后，乙又骑行了 　15或65　 min时两人相距2km．
【分析】（1）观察图象即可；
（2）设甲、乙二人的骑行速度分别为v甲和v乙，当t＝1.25时二人相遇，据此求出v甲﹣v乙，从而求出当t＝2时，对应的s值；
（3）分别根据v甲﹣v乙写出0≤t≤1.25、1.25＜t≤2时s与t的函数关系式，根据速度＝路程÷时间求出乙骑行的速度，再由路程＝速度×时间求出2＜t≤2.5时s与t的函数关系式，最后写成分段函数的形式即可；
（4）将s＝2分别代入1.25＜t≤2、2＜t≤2.5时s与t的函数关系式，得到关于t的一元一次方程并求解即可．
【解答】解：（1）从图象看，A、B两村相距10km，两人在出发1.25h后相遇．
故答案为：10，1.25．
（2）设甲、乙二人的骑行速度分别为v甲和v乙，
根据题意，得1.25（v甲﹣v乙）＝10，
解得v甲﹣v乙＝8，
则当t＝2时，s＝（2﹣1.25）（v甲﹣v乙）8＝6（km）．
故答案为：6．
（3）当0≤t≤1.25时，s＝10﹣（v甲﹣v乙）t＝﹣8t+10，
当1.25＜t≤2时，s＝（v甲﹣v乙）（t﹣1.25）＝8t﹣10，
乙骑行的速度为6÷（2.5﹣2）＝12（km/h），
则当2＜t≤2.5时，s＝6﹣12（t﹣2）＝﹣12t+30，
∴整个运动过程中s与t的函数关系式为s．
（4）当8t﹣10＝2时，解得t＝1.5，
（1.5﹣1.25）×60＝15（min），
当﹣12t+30＝2时，解得t，
（1.25）×60＝65（min），
∴相遇后，乙又骑行了15或65min时两人相距2km．
故答案为：15或65．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
18．（2025秋 诸暨市期末）某投资人以50万总资金进行投资，进行预估以后分别有两种投资方式，投入资金x（万元）与利润y（千元）的函数图象如图所示．
方式一：如图，线段OA，点A（50，30）；
方式二：如图，虚线OB，BC，CA，点B（20，10），点C（30，20），BC与OA交于点D．
（1）求直线OA解析式，点D坐标；
（2）若该投资人先将a（0＜a＜20）万元以方式二投资，再将其余资金以方式一投资，获得利润b千元，求b关于a的代数式；
（3）该投资人先进行了投资方案预建，方案①：先将m（0＜m＜40）万元以方式二投资，再将其余资金以方式一投资：方案②：先将（m+10）万元以方式二投资，再将其余资金以方式一投资；发现两个方案的利润相差1千元，直接写出m满足的条件．
【分析】（1）用待定系数法求直线OA，直线BC的解析式，再联立方程求解即可；
（2）先求出直线OB解析式，再根据自变量范围列代数式化简即可；
（3）结合图象分0＜m＜10，10≤m＜20，20≤m＜30，30≤m＜40四种情况，分别计算两种方案即可．
【解答】解：（1）设直线OA解析式为y＝kx+b（k≠0），由题意可知直线OA经过A（50，30），O（0，0），
∴，
解得，
∴直线OA解析式为；
设直线BC解析式为y＝mx+n（m≠0），
∵点B（20，10），点C（30，20），
∴，
解得，
∴直线BC解析式为 y＝x﹣10，
∵BC与OA交于点D，
∴，
解得x＝25，
将x＝25代入得y＝15，
∴D（25，15）；
（2）∵O（0，0），B（20，10），
∴直线OB解析式为，
若该投资人先将a（0＜a＜20）万元以方式二投资，
则方式一投资资金为（50﹣a）万元，
∴，
整理得；
（3）∵B（20，10），C（30，20），
∴当0＜m＜10时，
方案①：，
方案②：，
两个方案的利润相差1千元；
当10≤m＜20时，方案①：，
方案②：，
两个方案的利润相差，
解得m＝10或m＝14；
当20≤m＜30时，
∵A（50，30），C（30，20），
设直线AC解析式为y＝px+q（p≠0），
∴，
解得，
∴直线AC解析式为，
方案①：，
方案②：两个方案的利润相差即，
解得m＝30（舍去）或 m＝26；
当30≤m＜40时，
方案①：，
方案②：，
两个方案的利润相差1千元，
∴0＜m≤10或30≤m＜40或m＝14或m＝26．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，整式的加减，解绝对值方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19．（2024秋 江都区期末）一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以原速度返回甲地．已知快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系分别如图中折线O﹣B﹣C﹣D和线段OA所示．
（1）甲、乙两地相距 　600　 km，快车的行驶速度是 　100　 km/h，慢车的行驶速度是 　50　 km/h；
（2）求图中点E的坐标，并解释点E的实际意义；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距200km？（请直接写出答案）
【分析】（1）根据图象及速度＝路程÷时间计算即可；
（2）根据路程＝速度×时间分别求出线段OA、CD所在直线的函数关系式，二者联立建立关于x和y的二元一次方程组，求解即得点E的坐标并描述其实际意义即可；
（3）按照x的取值范围，当两车相距200km时分别列方程并求解即可．
【解答】解：（1）甲、乙两地相距600km，快车的行驶速度是600÷6＝100（km/h），慢车的行驶速度是600÷12＝50（km/h）．
故答案为：600，100，50．
（2）线段OA所在直线的函数关系式为y＝50x（0≤x≤12）．
6+2+6＝14（h），
∴D（14，0），
y＝600﹣100（x﹣8）＝﹣100x+1400，
∴线段CD所在直线的函数关系式为y＝﹣100x+1400（8＜x≤14）．
根据题意，得，
解得，
∴点E的坐标是（，），其实际意义表示两车于出发后h在距甲地km的地方相遇．
（3）线段OB所在直线的函数关系式为y＝100x（0≤x≤6），
∴快车到甲地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系为．
当0≤x≤6，两车相距200km时，得100x﹣50x＝200，
解得x＝4；
当6＜x≤8，两车相距200km时，得600﹣50x＝200，
解得x＝8；
当8＜x≤12，两车相距200km时，得|﹣100x+1400﹣50x|＝200，
解得x＝8（舍去）或；
当12＜x≤14，两车相距200km时，得600﹣（﹣100x+1400）＝200，
解得x＝10（舍去）．
综上，x＝4或8或．
答：慢车出发4h或8h或h后，两车相距200km
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及二元一次方程组的解法是解题的关键．
【考点5】一次函数与几何综合（面积、平移、旋转、折叠）
方法总结
①求直线与坐标轴交点坐标；②面积公式：；③平移前后k不变，b变化；④旋转90°：两直线斜率乘积为-1；⑤折叠问题：利用对称点中点在折痕上，连线与折痕垂直。
20．（2026春 渝中区校级月考）已知一次函数y＝kx﹣8（k为常数且k＜0）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数y＝kx﹣8的结论错误的是（　　）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数图象经过第二、三、四象限
C．函数图象与x轴的交点坐标是（2，0）
D．函数图象可由函数y＝﹣4x的图象平移得到
【分析】求出一次函数与坐标轴的交点坐标，结合围成的面积求出k的值，再根据一次函数的性质逐一判断选项正误．
【解答】解：由条件可知一次函数y＝kx﹣8（k为常数且k＜0）的图象与x轴、y轴分别交于点，
∵一次函数y＝kx﹣8（k为常数且k＜0）的图象与坐标轴围成的面积为8，
∴，
∴k＝﹣4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣4x﹣8，，
∴函数值随自变量的增大而减小，函数图象经过第二、三、四象限，函数图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0），函数图象可由函数y＝﹣4x的图象平移得到，
∴四个选项中只有C选项中的结论错误，符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，一次函数的增减性和一次函数图象经过的象限，熟练掌握以上知识点是关键．
21．（2026 宝鸡一模）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝2x+1向上平移3个单位长度后得到直线l2，直线l2、直线l3：y＝﹣x+4与x轴围成的三角形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
【分析】先根据平移性质得到l2的解析式．再求出两条直线与x轴的交点，以及l2和l3的交点，最后用三角形面积公式计算即可．
【解答】解：将直线l1：y＝2x+1向上平移3个单位长度，得到l2的解析式为y＝2x+4，
令y＝0，分别求两条直线与x轴的交点坐标：
对l2，0＝2x+4，解得x＝﹣2，
即与x轴的交点为（﹣2，0）；
对l3，0＝﹣x+4，解得x＝4，
即与x轴的交点为（4，0）；
∴三角形在x轴上的底边长为4﹣（﹣2）＝6．
则，
解得，
∴三角形面积．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键．
22．（2025秋 威海期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3，则直线l3的表达式为y＝﹣2x+7　 ．
【分析】先求出直线l1，l2与坐标轴的交点坐标，连接AD，AC绕点A逆时针旋转90°得到AC1，AD绕点A逆时针旋转90°得到AD1，连接C1D1，所在直线即为l3，过点D1作D1E⊥y轴，判定出△D1AE≌△DAO（AAS），从而得出AE＝AD＝4，D1E＝AO＝1，进而得出C1，D1的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可
【解答】解：由条件可知A（0，1），C（0，﹣2），D（4，0），
∴AC＝3，
∵直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3，
∴如图，连接AD，AC绕点A逆时针旋转90°得到AC1，AD绕点A逆时针旋转90°得到AD1，连接C1D1，所在直线即为l3，过点D1作D1E⊥y轴，
则∠DAD1＝90°，AC1⊥y轴，
∴∠D1AE+∠D1AC1＝90°，∠D1AC1+∠C1AD＝90°
∴∠D1AE＝∠C1AD，
∵AC1∥x，
∴∠C1AD＝∠ADO，
∴∠D1AE＝ADO
在△D1AE与△DAO中，
，
∴△D1AE≌△DAO（AAS），
∴AE＝OD＝4，D1E＝AO＝1，
∴OE＝AE+AO＝4+1＝5，
∴D1（1，5），
∵AC1＝AC＝3，C1A⊥y轴，
∴C1（3，1），
设直线l3的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
则直线l3的表达式为y＝﹣2x+7，
故答案为：y＝﹣2x+7．
【点评】本题考查了根据旋转的性质求解，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线，构造全等三角形为解题关键
23．（2025秋 江都区期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将AB沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线BC的函数表达式．
【分析】（1）由直线解析式即可得出A、B点坐标，根据题意翻折后能求出D点坐标，
（2）设出C点坐标，在Rt△DCO中可通过解直角三角形得出C点坐标，设直线BC的解析式为y＝kx+b，然后代入B、C的坐标，利用待定系数法即可求得．
【解答】解：（1）∵次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（﹣8，0）、B（0，6），
∴AB10，
由翻折得：BD＝BA＝10，CD＝CA，∠ABC＝∠DBC，
∴D（0，﹣4）；
（2）设点C（m，0），则CD＝8+m，
在Rt△COD中，（8+m）2＝m2+42，
解得m＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（0，6），C（﹣3，0）代入得，
解得
∴直线BC的表达式为y＝2x+6．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，求得点的坐标是解题的关键．
24．（2025秋 沂源县期末）如图，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，将直线AB沿y轴向下平移至点C（0，﹣1），与x轴交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求S△BEC．
【分析】（1）设直线CD的解析式为y＝x+b，把C（0，﹣1）代入此解析式即可求出b的值，进而求出直线CD的解析式；
（2）先由直线y＝x+2与y轴交于点B，得出B（0，2）．根据互相垂直的两条直线斜率之积为﹣1，可设直线BE的解析式为y＝﹣x+m，将B（0，2）代入，求出直线BE的解析式为y＝﹣x+2．再解方程组求出E（，），作EF⊥BC于F，进而根据S△BECBC EF即可求解．
【解答】解：（1）直线CD的解析式为y＝x+b，把C（0，﹣1）代入得，b＝﹣1，
故此直线的解析式为：y＝x﹣1；
（2）∵直线y＝x+2与y轴交于点B，
∴B（0，2）．
∵BE⊥CD，直线CD的解析式为y＝x﹣1，
∴可设直线BE的解析式为y＝﹣x+m，
将B（0，2）代入，得m＝2，
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2．
由，解得，
∴E（，）．
作EF⊥BC于F，
则S△BECBC EF3．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．同时考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积．
25．（2025秋 姜堰区月考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣1，3）．
（1）求k，b的值；
（2）已知点A（﹣3，0），P（x，y）是该一次函数图象上一点，当△OPA的面积为6时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数平移的性质得出一次函数解析式为y＝2x+b，把（﹣1，3）代入求出b的值，即可得出一次函数解析式；
（2）根据题意得出P（x，2x+5），结合S△OPA＝6，A（﹣3，0），得出，求出或，即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，
∴k＝2，
∵一次函数y＝2x+b经过点（﹣1，3），
∴﹣2+b＝3，
∴b＝5；
（2）由（1）知一次函数解析式为y＝2x+5，
如图，
∵P（x，y）是该一次函数图象上一点，
∴P（x，2x+5），
∴，
解得：或，
当时，y＝4，
当时，y＝﹣4，
∴点P的坐标为或．
【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移规律等知识点，根据一次函数图象的平移规律得出k的值是解题关键．
26．（2024秋 河源期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，
（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）．
（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB5．
（2）∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C（8，0）．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴D（0，﹣6）．
（3）存在，理由如下：
∵S△PABS△OCD，
∴S△PAB6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB＝12，
∴BP OA＝12，即3BP＝12，解得：BP＝8，
∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
【考点6】其它问题
方法总结
27．（2026 肇源县一模）如图①，部队、学校、仓库、基地在同一条直线上．学校开展国防教育活动，师生乘坐校车从学校出发前往基地，与此同时，教官们乘坐客车从部队出发，到仓库领取装备后再前往基地；到达基地后，他们需要10min整理装备．客车和校车离部队的距离y（km）与所用时间t（h）的函数图象如图②所示，其中，点C在线段AB上．
（1）部队和基地相距 　100　 km，客车到达仓库前的速度为 　80　 km/h．
（2）求校车离部队的距离y与t的函数表达式以及教官们领取装备所用的时间．
（3）为确保师生到达基地时装备已经整理完毕，则客车第二次出发时的速度至少是多少？
【分析】（1）由图象直接得出部队和基地的距离；根据客车0.5小时行驶的距离为40km，求出客车到达仓库前的速度；
（2）用待定系数法求函数解析式；再把y＝80代入解析式求出x，然后求出客车在仓库停留的时间；
（3）求出校车到达基地的时间，就可得出客车到达基地最大时间，然后求出客车速度的最小值．
【解答】解：（1）由图象可知，部队和基地相距100km，
客车到达仓库前的速度为：80（km/h），
故答案为：100，80；
（2）校车离部队的距离y与t的函数表达式为y＝kt+b，
把（0，20），（0.5，40）代入解析式得：，
解得，
∴校车离部队的距离y与t的函数表达式为y＝40t+20；
把y＝80代入y＝40t+20得，80＝40t+20，
解得t＝1.5，
∵客车的速度为80km/h，
∴客车到达仓库的时间为1（h），
∵1.5﹣1＝0.5（h），
∴教官们领取装备所用的时间0.5h；
（3）把y＝100代入y＝40t+20得，100＝40t+20，
解得t＝2，
∴校车2小时到达营地，
为确保师生到达基地时装备已经整理完毕，
客车到达基地的时间t≤2，
∴客车第二次出发时的速度v60（km/h）．
∴客车第二次出发时的速度至少是60km/h．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
28．（2025春 同步）一种树苗的高度用h表示，树苗生长的年数用a表示，测得的有关数据如下表：（树苗原高100cm）
年数a 高度h/cm
1 100+5
2 100+10
3 100+15
… …
（1）试用年数a的代数式表示h．
（2）此树苗需多少年才能长到200cm高？
【分析】（1）观察表格数据可得h＝100+5a；
（2）结合（1）令h＝200求出a的值即可．
【解答】解：（1）观察表格数据可知，树苗每年高度增加5cm，
∴h＝100+5a；
（2）当h＝200时，200＝100+5a，
解得a＝20，
∴此树苗需20年才能长到200cm高．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是观察表格得到规律，从而求出h与a的关系式．
29．（2025 南开区校级模拟）2022年3月23日“天宫课堂”第二课开讲．传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明从学校骑自行车到科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，使继续前往科技馆．小明离科技馆的距离y（m）与离学校的时间x（min）的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（Ⅰ）填空：
（1）学校到科技馆的距离是 　3000　 m；
（2）小明等待红绿灯所用的时间为 　2　 min；
（3）小明在整个途中，骑行的最快速度是 　320　 m/min；
（4）小明在整个途中，共行驶了 　4920　 m．
（5）（Ⅰ）直接写出小明从等待红绿灯到找回钥匙（即6≤x≤15）期间，他离科技馆的距离y（m）与离开学校时间x（min）之间的函数关系：
（Ⅱ）当小明离开学校2min时，小强恰巧从科技馆出发速步行返回学校，若小强步行速度为每分钟60m，那么他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是多少？（直接写出答案）
【分析】（Ⅰ）（1）根据图象求解；
（2）根据图象求解；
（3）先求出各段的速度，再比较大小；
（4）根据路程和求解；
（5）根据待定系数法求解；
（Ⅱ）先求出小强的函数解析式，再根据图象求解．
【解答】解：（Ⅰ）（1）学校到科技馆的距离是 3000（m），
故答案为3000；
（2）小明等待红绿灯所用的时间为：8﹣6＝2（min），
故答案为：2；
（3）（3000﹣1560）÷6＝240，（1560﹣600）÷（12﹣8）＝240，（1560﹣600）÷（15﹣12）＝320，1560÷（21﹣15）＝260，
∴小明在整个途中，骑行的最快速度是 320m/min，
故答案为：320；
（4）3000+2×（1560﹣600）＝4920（m）
∴小明在整个途中，共行驶了 4920m，
故答案为：4920；
（5）当6≤x≤8时，y＝1560，
当8＜x≤12时，设y＝kx+b，
则，解得：，
∴当8＜x≤12时，y＝﹣240x+3480；
当12＜x≤15时，设y＝ax+c，
则解得：，
∴当12＜x≤15时，y＝320x﹣3240；
（Ⅱ）小强离科技馆的距离y与小明离学校的时间x之间的函数解析式为：y＝60（x﹣2）＝60x﹣120，
图象如下虚线所示：
由图象得：当x＝12时，y＝600，
当15＜x≤21时第二次相遇，
设DE：y＝ex+f，则，解得：，
∴DE：y＝﹣260x+5460，
解得：，
即当x＝9时，第二次相遇，此时距科技馆926.25m，
∴他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是600m或926.25m．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．
30．（2025秋 沈阳期中）如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司的销售成本与销售量的关系，观察图象，回答下列问题．
（1）当销售量为6吨时，销售收入为 　6000　 元，销售成本为 　5000　 元；
（2）求l1，l2对应的函数表达式；
（3）求利润w（元）与销售量x（吨）之间的函数关系式（利润＝销售收入﹣销售成本）．
【分析】（1）根据函数图象，可以写出当销售量为6吨时，销售收入和销售成本；
（2）根据函数图象中的数据，可以分别求出l1，l2对应的函数表达式；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以写出利润w（元）与销售量x（吨）之间的函数关系式．
【解答】解：（1）由图象可得，
当销售量为6吨时，销售收入为6000元，销售成本为5000元，
故答案为：6000，5000；
（2）设l1对应的函数表达式为y＝kx，
∵点（4，4000）在该函数图象上，
∴4000＝4k，得k＝1000，
∴l1对应的函数表达式为y＝1000x；
设l2对应的函数表达式为y＝ax+b，
∵（0，2000），（4，4000）在该函数图象上，
∴，
解得，
即l2对应的函数表达式为y＝500x+2000；
（3）当0＜x≤4时，w＝（500x+2000）﹣1000x＝﹣500x+2000，
当x＞4时，w＝1000x﹣（500x+2000）＝500x﹣2000，
由上可得，w．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
31．（2024秋 祁县期末）李先生购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为50千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算李先生发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系．
方案 安装费用 每千瓦时所需费用
方案一：私家安装充电桩 2500元 0.5元
方案二：公共充电桩充电 0 1.5元（含服务费）
（1）已知新能源车充电时一般损耗率为1.1，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为50×1.1×0.5＝27.5（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？
（2）当已行驶里程大于250千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程千米）的函数表达式．当电池剩余电量为15%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？
（3）李先生都是在电池剩余电量不低于25千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程大约为多少千米时，两种方案费用一样．（结果保留整数）
【分析】（1）根据题意列算式计算即可；
（2）设函数解析式为y＝kx+b，将（250，25）和（350，5）代入计算即可；
（3）设行驶里程为m千米，根据题意列方程求解即可得到答案．
【解答】解：（1）50×1.1×1.5＝82.5（元），
∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用82.5元．
答：电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用82.5元．
（2）当x＞250时，设y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），
将坐标（250，25）和（350，5）代入y＝kx+b，
得，
解得
∴，
当y＝0时，得，
解得x＝375，
当y＝50×15%＝7.5时，得，
解得x＝345，
375﹣345＝30（千米），
∴此时理论上还能继续行驶30千米．
（3）当0≤x≤250时，
新能源车每千米消耗的电量为（50﹣25）÷250＝0.1（千瓦时），
设累计行驶里程为m千米，两种方案费用一样，
根据题意得，2500+0.1m×1.1×0.5＝0.1m×1.1×1.5，
解得，m≈22727，
∴累计行驶里程大约22727千米时，两种方案费用一样．
答：累计行驶里程大约22727千米时，两种方案费用一样．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，一次函数的应用，解一元一次方程，根据待定系数法求一次函数是解题的关键解析式．
32．（2025秋 老河口市期中）综合与实践“水果店定价最优方案”
【项目背景】
某校九年级数学兴趣小组参与社会实践活动，帮助一家水果店分析阳光玫瑰葡萄的销售数据，以制定合理的定价策略，实现利润最大化．
已知水果店进货成本为6元/千克，销售单价不低于成本，且不高于20元/千克．小组在试销期间记录了不同售价对应的日销售量，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/千克） 12 14 16
日销售量y（千克） 100 90 80
【任务一】建立函数模型
（1）小组发现y与x之间近似成一次函数关系，直接写出y与x之间的函数关系式；
【任务二】实现目标利润
（2）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元？
【任务三】优化定价决策
（3）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表可得当x＝12时，y＝100；当x＝14时，y＝90，将它们分别代入y＝kx+b即可求解；
（2）根据题意得（x﹣6）（﹣5x+160）＝800，然后解方程并检验即可；
（3）由题意得W＝（x﹣6）（﹣5x+160）＝﹣5（x﹣19）2+845，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
当x＝14时，y＝90，
当x＝12时，y＝100；
∴，
解得，
∴y＝﹣5x+160，
∵销售单价不低于成本，且不高于2元/千克，
∴6≤x≤20，
∴y＝﹣5x+160（6≤x≤20）．
（2）（x﹣6）（﹣5x+160）＝800，
解得x1＝16，x2＝22，
∵6≤x≤20，
∴x＝16，
答：当销售单价定为16元时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元．
（3）设每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为W元．
则W＝（x﹣6）（﹣5x+160）＝﹣5（x﹣19）2+845，
∵﹣5＜0，
∴当x＝19时，W取最大值，最大值为845．
答：销售单价定为19元时，获得的日销售利润最大，最大利润是845元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
【考点7】创新题型：实际情境建模
方法总结
①仔细阅读题目，提取关键数据；②将文字信息转化为数学表达式（一次函数、分段函数）；③利用表格或图象中的数据确定解析式；④结合实际问题验证答案的合理性；⑤多变量问题需综合多个条件建立方程或不等式。
33．（2025春 珠海期末）综合实践：
主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态．
问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图象如图①所示），写出图①中点A（0，﹣1）和点B（1.5，0）的实际意义，并求出y与x的函数关系．
（2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图②和图③两个图示中，反映乘客代表意见的是 　③　 ，反映客运公司行政代表意见的是 　②　 （填序号）．
问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内平均每天的乘客数量为1.2万人，经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.9万元； 方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元． 你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由．
【分析】（1）依据题意，由图象可得A，B的实际意义，利用待定系数法可得解析式；
（2）依据题意，由乘客代表意见和客运公司行政代表意见，结合图象可得答案；
（3）依据题意，分别求出各方案的利润，再比较即可．
【解答】解：（1）由题意可得，点A的实际意义是：客运公司的运营成本为1万元；点B的实际意义是：当乘客数量为1.5万人时，客运公司的收支差额为0元．
又设y与x的函数关系式为y＝kx+b（x≥0），
∵图象过（0，﹣1），（1.5，0），
∴．
∴，
∴y与x的函数关系式为．
（2）观察图象可知，反映乘客代表意见的是图③，反映客运公司行政代表意见的是图②．
故答案为：③，②．
（3）方案1，理由如下：
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元，此时y与x的函数关系式为
，
令x＝1.2，则，
∴客运公司平均每天的收支差额为0.1万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.9万元，
此时y＝0.9x﹣1（x≥0），
令x＝1.2，则y＝0.9×1.2﹣1＝0.08，
∴客运公司平均每天的收支差额为0.08万元；
方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，
此时y＝0.75x﹣0.85（x≥0），
令x＝1.2，则y＝0.75×1.2﹣0.85＝0.05，
∴客运公司每天平均的收支差额为0.05万元；
∵0.05＜0.08＜0.1，
∴方案1更有利于汽车客运公司扭转亏损．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出相关的函数关系式．
34．（2024秋 柯城区期末）一辆货车和轿车同时从甲地出发驶向乙地．货车一直匀速行驶，轿车途中停车休息了0.5h，且休息前后行驶速度不变．若两车出发后距离甲地的路程y（km）与行驶时间x（h）的关系如图所示（部分被污染）．
（1）请画出被污染部分的函数图象．
（2）求轿车的速度及点A的纵坐标．
（3）求当x＞1.7时，两车相遇点距离甲地的路程．
【分析】（1）直接补充图象即可；
（2）根据速度＝路程÷时间计算轿车的速度，根据路程＝速度×时间求出轿车在最初的（1.7﹣0.5）h内行驶的路程，即点A的纵坐标；
（3）根据速度＝路程÷时间求出货车的速度，再由路程＝速度×时间求出货车距离甲地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；利用待定系数法求出线段AB对应的函数关系式，二者联立建立方程组并求解，y值即为当x＞1.7时，两车相遇点距离甲地的路程．
【解答】解：（1）画出被污染部分的函数图象如图所示：
（2）轿车的速度为300÷（3.5﹣0.5）＝100（km/h），
100×（1.7﹣0.5）＝120（km），
∴点A的纵坐标为120．
（3）货车的速度为300÷4＝75（km/h），
∴货车距离甲地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y＝75x（0≤x≤4）；
设线段AB对应的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标A（1.7，120）和B（3.5，300）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴线段AB对应的函数关系式为y＝100x﹣50（1.7≤x≤3.5）．
当x＞1.7，两车相遇时，得，
解得．
答：当x＞1.7时，两车相遇点距离甲地的路程为150km．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
35．（2025 雁塔区校级二模）如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实验操作】上午9：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后，每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间 9：00 9：10 9：20 9：30 9：40
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm 30 29 28.1 27 25.8
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，每隔10min水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】
（1）利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
（2）利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为10cm时是几点钟？
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将h＝10代入h与t的函数解析式，求出对应t的值，再根据开始计时的时刻计算即可．
【解答】解：（1）设h与t的函数解析式为h＝kt+b（k、b为常数，且k≠0）．
将t＝0，h＝30和t＝10，h＝29分别代入h＝kt+b，得
，
解得，
∴h与t的函数解析式为ht+30．
（2）当h＝10时，得t+30＝10，
解得t＝200，
200min＝3h20min．
答：当甲容器中的水面高度为10cm时是12：20．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
36．（2025秋 嵊州市期末）随着AI技术的快速发展，智能设备已经走入我们的生产生活．某公司使用甲，乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人中途停工维修，维修结束后又和乙机器人一起继续工作，从开始分拣到结束工作，乙机器人工作了8小时．甲，乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲机器人每小时分拣快递的件数．
（2）当甲，乙两机器人分拣快递件数相同时，求乙机器人工作的时间．
【分析】（1）设甲、乙的分拣速度为未知数，根据“0﹣2小时甲乙共同分拣的总量”“2﹣3.5小时乙单独分拣后的总量”列二元一次方程组，求解得到甲的速度．
（2）分别写出甲、乙分拣总数关于乙工作时间x的函数关系式，分“甲工作、甲维修、甲重新工作”三个阶段，令两函数值相等，解方程得到对应时间．
【解答】解：（1）设甲机器人每小时分拣x件，乙机器人每小时分拣y件，
根据图象题意列方程组：，
解得，
答：甲机器人每小时分拣快递500件；
（2）根据（1）乙机器人每小时分拣快递400件，
∴乙单独分拣快递总数y乙＝400x．
当0＜x≤2时，甲机器人每小时分拣快递500件，它们同时开始工作，不存在分拣快递件数相同的情况；
当3.5＜x≤8时，y甲＝1000+500（x﹣3.5）＝500x﹣750．
当y甲＝y乙时，500x﹣750＝400x，
解得x＝7.5，
当2＜x≤3.5时，y甲＝500×2＝1000，
当y甲＝y乙时，400x＝1000，
解得x＝2.5；
答：当甲、乙分拣快递件数相同时，乙机器人工作的时间为2.5小时或7.5小时．
【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用及一次函数的应用与求解，关键是通过不同工作阶段的总量关系列方程组求速度，再构建甲、乙分拣总数的函数关系式，分阶段求解函数值相等时的自变量．
随堂检测 · 精选练习
1.（2025春 德化县期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3 10km的出行市场，图中反映某共享电动车平台收费y（单位：元）与骑行时间x（单位：min）之间的函数关系，根据图中的信息，某天小明从家到学校一共骑行35min，则需要向平台付费 　11　 元．
【分析】利用待定系数法求出x＞10时y与x之间的函数关系式，再把x＝35代入计算即可．
【解答】解：设x＞10时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
故y＝0.2x+4（x＞10），
当x＝35时，y＝0.2×35+4＝111，
即需要向平台付费11元．
故答案为：11．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求出相关函数关系式是解答本题的关键．
2.（2024春 新城区校级期中）小颖现有存款300元．为赞助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（个月）之间的函数关系式为 y＝300+20x ．
【分析】根据存款总金额＝现已存款300元+每月20元×月数列出函数关系式即可．
【解答】解：根据题意，得y＝300+20x，
故答案为：y＝300+20x．
【点评】本题考查了函数关系式，熟练掌握该知识点是关键．
3.（2024春 晋安区期末）兄弟两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向跑步400米，且过程中各自保持匀速．已知弟弟先出发5秒．在跑步过程中，兄弟两人之间的距离y（米）与哥哥出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则图中b表示的是 　60　 米．
【分析】由图象可知，哥哥出发时，弟弟先跑5秒的路程为20米，故弟弟速度为20÷5＝4（米/秒），而哥哥80秒跑完400米，即得b＝400﹣80×4﹣20＝60．
【解答】解：由图象可知，哥哥出发时，弟弟先跑5秒的路程为20米，
∴弟弟速度为20÷5＝4（米/秒），
∵哥哥80秒跑完400米，
∴b＝400﹣80×4﹣20＝60，
故答案为：60．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
4．甲、乙两车分别从A，B两地沿直路同向匀速行驶，两车间的距离y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）（0≤x≤60）的部分对应值如表，则y与x的函数关系式为y＝﹣5x+300（0≤x≤60）　 ．
时间x/s 0 5 10 15 20
两车间的距离y/m 300 275 250 225 200
【分析】根据表格中的数据可以得到每经过5s，距离就减少25m，然后即可写出y与x的函数解析式．
【解答】解：由表格可知，
每经过5s，距离就减少25m，
∴每秒减少25÷5＝5（m），
∴y与x之间的函数解析式为y＝300﹣5x＝﹣5x+300，
故答案为：y＝﹣5x+300（0≤x≤60）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
5.（2024春 兴庆区校级期中）在一定范围内，弹簧的长度y（cm）与它所挂物体的质量x（kg）之间的关系是yx+10，如果该弹簧最长可以拉伸到16cm，那么它所挂物体的最大质量是 　15kg ．
【分析】将y＝16代入yx+10求出x的值即可．
【解答】解：当y＝16时，得x+10＝16，
解得x＝15，
∴它所挂物体的最大质量是15kg．
故答案为：15kg．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握已知函数值求自变量的方法是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
课后1 —— 漏壶液面高度与时间：根据表格数据求一次函数（y = 4x + 2）
课后2 —— 甲、乙跑步：读图判断说法正误（速度、追及时间、终点时间）
课后3 —— 李明行程：读折线图判断说法（路程、维修路段长度、时间、平均速度）
课后4 —— 爬楼台阶数：一次函数求20楼高度（已知每层台阶数等差）
课后5 —— 出租车分段计费：y = 2.7(x-2) + 10 (x>2)
课后6 —— 烤鸭烤制时间：根据表格数据求一次函数，代入求值
课后7 —— 甲、乙两车相向：读s-t图求m值（相遇前相距？）
课后8 —— 赛跑：乙比甲晚5秒，t=10秒乙追上甲，求l1表达式
课后9 —— 消费卡：求两种卡的费用函数，求交点，判断15次哪种划算
课后10 —— 汽车行驶：读折线图求速度、线段FG解析式、判断能否按时到达
课后11 —— 购票方案：方案一 y=50x+8000，方案二折线OAB，求函数，比较180张票
课后12 —— 游轮与货轮：读图求a、b值，填表，求函数解析式，货轮能否相遇
课后13 —— 产品分配方案：线下利润分段函数，线上利润二次型（实际为一次？），设计优秀方案
复习建议：强化一次函数在实际问题中的建模能力，重视图象信息的提取与分段函数的处理，加强方案优化问题的系统性训练，并注意几何变换与一次函数的结合。
1.（2025秋 汨罗市校级期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出y与x之间的函数表达式（　　）
时间：（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
A．y＝2+4x B．y＝6+4x C．y＝6﹣4x D．y＝2﹣4x
【分析】由表格数据可知，每增加1个小时，圆柱体容器液面高度y增加4厘米，据此解答即可求解．
【解答】解：由表格数据可知，每增加1小时，圆柱体容器液面高度y增加4厘米，
∴y＝6+4（x﹣1）＝2+4x，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂表中数据的变化情况是解题的关键．
2.（2025秋 沈北新区期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．乙用6分钟追上甲
B．乙的速度为100米/分
C．乙追上甲后，再走2400米才到达终点
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟
【分析】根据图象信息，结合速度、时间和路程的关系对各项逐一分析即可．
【解答】解：由图知，10﹣4＝6（分），
∴乙用6分钟追上甲，
∴A正确，不符合题意；
乙的速度为60×10÷（10﹣4）＝100（米/分），故B正确，不合题意；
乙到达终点所用的时间为3000÷100＝30（分），
当乙到达终点时甲走的路程为60×（30+4）＝2040（米），
当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为3000﹣2040＝960（米），
∴C正确，不符合题意；
∵当乙到达终点时甲走的路程为2040米，
∴甲还需要（3000﹣2040）÷60＝16（分）到达终点，
∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了16分钟，
∴D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键．
3.（2024春 仓山区校级月考）如图，李明从甲地去往乙地，开始以一定的速度行驶，之后由于道路维修，速度变为原来的四分之一，过了维修道路后又变为原来的速度到达乙地，设李明行驶的时间为x（分钟），行驶的路程为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列说法错误的是（　　）
A．甲乙两地的距离为10000米
B．从甲地到乙地有2千米道路需要维修
C．李明从甲地到乙地共用20分钟
D．李明从甲地到乙地的平均速度为每分钟400米
【分析】先求出开始时的速度，再根据道路维修段速度变为开始时速度的四分之一，求出经过维修道路段所用时间，再算出过了维修道路后所用时间，进一步求解即可．
【解答】解：A、从函数图象得甲乙两地的距离为10千米＝10000米，故选项A正确，不符合题意；
B、从甲地到乙地道路需要维修有6﹣4＝2千米，故选项B正确，不符合题意；
C、开始时的速度为（千米/分钟），
经过维修道路段所用时间为（分钟），
过了维修道路后所用时间为（分钟），
李明从甲地到达乙地所用时间为5+10+5＝20（分钟），
故选项C正确，不符合题意；
D、李明从甲地到乙地的平均速度为（米/分钟），故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查从函数图象获取信息的能力，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（2024 包河区二模）小明爬楼回家，他所爬楼梯台阶总数m个是楼层的层数n层（n≥2的整数）的一次函数，其部分对应值如表所示：
层数n/（层） 2 3 4 5 …
台阶数m/（个） 42 70 98 126 …
已知每个台阶的高为0.1m，小明家在20楼，他家距地面的高度是（　　）
A．56m B．57.4m C．54.6m D．59.2m
【分析】利用待定系数法求出m与n之间的函数关系式，将n＝20代入，求出对应m的值，再根据“距地面的高度＝每个台阶的高度×台阶数”计算即可．
【解答】解：设m与n之间的函数关系式为m＝kn+b（m、n为常数，且m≠0）．
将n＝2，m＝42和n＝3，m＝70代入m＝kn+b，
得，
解得，
∴m与n之间的函数关系式为m＝28n﹣14，
当n＝20时，m＝28×20﹣14＝546，
0.1×546＝54.6（m），
∴他家距地面的高度是54.6m．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
5.（2025秋 福田区校级期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞2）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为y＝2.7x+4.6　 ．
【分析】根据乘车费用＝起步价+超过2千米的付费得出．
【解答】解：依题意有：y＝10+2.7（x﹣2）＝2.7x+4.6．
故答案为：y＝2.7x+4.6．
【点评】此题考查根据实际问题列一次函数关系，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用＝起步价+超过2千米的付费．
6.（2025春 通州区期中）烤鸭的烤制时间与鸭子的质量可以近似看作一次函数关系．某烤鸭店在确定的烤制时间时，参照表中的数据：设鸭子的质量为x千克，烤制时间为t，当x＝3.8千克时，t的值为　172　 分钟．
鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180
【分析】用待定系数法，求出一次函数解析式，再令x＝3.8求出t的值即可．
【解答】解：设t＝kx+b，
把（1，60），（2，100）代入得：，
解得，
∴t＝40x+20，
令x＝3.8得t＝40×3.8+20＝172，
∴当x＝3.8千克时，t的值为172；
故答案为：172．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，求出一次函数解析式．
7.（2025 中山区一模）甲、乙两车分别从M，N两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N，M两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为s（单位：km），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系如图所示，m的值为 　5　 ．
【分析】根据速度＝路程÷时间求出乙车的速度，再由两车相遇时行驶的路程之和为M，N两地之间的距离求出甲车的速度，根据时间＝路程÷速度求出乙车到达M地的时间，由路程＝速度×时间求出此时甲车行驶的路程，从而判断P点表示乙车到达M地，进而得到m的值．
【解答】解：乙车的速度为（300﹣210）60（km/h），
甲车的速度为[210﹣60×（3）]÷（3）＝80（km/h），
则乙车到达M地的时间为300÷60＝5（小时），此时甲车行驶的路程为（5）×80＝280（km），
∵280＜300，
∴P点表示乙车到达M地，
∴m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查一函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
8.（2025 长宁区二模）甲、乙两人在同一起点出发，乙比甲晚5秒，图中l1、l2分别表示甲、乙两人在赛跑中的路程s（米）与时间t（秒）的关系（图象不完整），已知l2的表达式为s＝6t﹣30．如果在t＝10秒时乙追上甲，那么l1的表达式为s＝3t .（不要求写定义域）
【分析】先根据l2的解析式求出交点的坐标，再根据待定系数法求解．
【解答】解：当t＝10时，s＝30，
设l1：s＝kt，
则10k＝30，
解得：k＝3，
∴s＝3t，
故答案为：s＝3t．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
9．（2025秋 兰州月考）某度假酒店推出了甲、乙两种消费卡，设入店次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用y甲、y乙元关于入店次数x次的函数表达式；
（2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？
（3）若入住酒店15次，采用哪种方法比较划算？
【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入店次数的函数表达式；
（2）通过联立两个函数表达式的方程，求解费用相同时的入园次数；
（3）将入住酒店次数代入两个函数表达式，比较费用大小确定划算的方式．
【解答】解：（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入店次数的函数表达式为：
甲卡：设y甲＝k1x，
由图象过点（5，100），
得100＝5k1，
解得k1＝20，
所以y甲＝20x；
乙卡：设y乙＝k2x+100，
由图象过点（20，300），
得300＝20k2+100，
解得k2＝10，
所以y乙＝10x+100．
（2）联立y甲＝20x和y乙＝10x+100，
得20x＝10x+100，
解得x＝10，
即消费10次时，两种卡费用相同．
（3）当x＝15时，
y甲＝20×15＝300，
y乙＝10×15+100＝250，
因为300＞250，所以采用乙卡比较划算．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式，联立一次函数方程求交点，以及通过代入求值比较函数值大小是解题的关键．
10.（2024秋 扬州期末）如图1，一条直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，AB＝250km，BC＝60km，一辆汽车上午8：00从离A站10km的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站，设汽车出发x小时后离A站ykm，图2中折线DEFG表示接到通知前y与x之间的函数关系的图象．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 　80　 千米/小时；（直接写出结果）
（2）求线段FG所表示的y与x之间的函数表达式（自变量的取值范围不需要写）；
（3）接到通知后，若汽车仍按原来的速度行驶，能否按时到达？如果不能按时到达，速度至少提高到多少可按时到达，请说明理由．
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间计算即可；
（2）根据时间＝路程÷速度求出点G的坐标，利用待定系数法求出线段FG所表示的y与x之间的函数表达式即可；
（3）根据离开A站的时间，求出到达B站的时刻；若汽车仍按原来的速度行驶，根据时间＝路程÷速度求出到达C站还需要多长时间，从而计算出到达C站的时刻，与上午12：00比较即可；若不能按时到达，根据速度＝路程÷时间计算正好上午12：00到达C站时的速度即可．
【解答】解：（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为（90﹣10）÷1＝80（千米/小时）．
故答案为：80．
（2）（250﹣90）÷80＝2（小时），
1.5+2＝3.5（小时），
∴G（3.5，250）．
设线段FG所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标F（1.5，90）和G（3.5，250）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴线段FG所表示的y与x之间的函数表达式为y＝80x﹣30．
（3）不能按时到达．理由如下：
根据题意，汽车到达B站时为上午11：30，
若汽车仍按原来的速度行驶，还需要60÷80×60＝45（分钟）才能到达C站，即下午12：15才能到达C站，
∴不能按时到达．
若要按时到达C站，则速度至少要提高到60÷0.5＝120（千米/小时）．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
11.（2024春 江门校级期中）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）；
方案一：提供8000元赞助后，每张的票价为50元；
方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定．
（1）分别求出方案一和方案二的函数关系式；
（2）若购买180张票，选择哪个方案更省钱？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以分别求出方案一和方案二的函数关系式；
（2）将x＝180代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的费用，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
方案一：y与x的函数关系式为y＝50x+8000；
方案二：当0≤x≤100

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