资源简介

12.3.1等腰三角形的性质（第1课时）
一、教材分析
这节课是华师大版八年级上册第12章第3节《等腰三角形》的第一课时，本节既是对前面所学的全等三角形的和性质的深化和应用：利用全等来研究第一个典型的轴对称图形——等腰三角形；它的两个底角相等的性质，可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化，也是论证两角相等的重要依据之一；辅助线AD的做法又是为下节课学习等腰三角形的判定提供启发；等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质是今后证明角相等、线段相等以及两直线互相垂直的依据；本节课的整个研究思路又为接下来等边三角形的性质提供指导.因此本节具有承上启下的重要作用，是本章的一个重点内容.
学情分析
本节课是在学生掌握了全等三角形和轴对称的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的，此时的学生对等腰三角形比较熟悉，也知道等腰三角形的两个底角相等，已经具备了一定的动手操作能力、观察猜想能力，但演绎推理、归纳、运用数学的意识还有待提高，思维的广阔性、紧密性还比较欠缺，所以本节课担负着培养学生的思维能力和推理能力进一步训练学生学会分析、学会证明的任务，所以在上课过程中要多给他们提供机会，让他们主动参与，动手动脑.
三、教学目标
1.从具体图形中抽象出等腰三角形，理解“等边对等角”“顶角平分线、底边中线、高线三线合一”的数学表达，并能用符号语言准确表述。
2.通过剪纸、折纸等操作活动，直观感知等腰三角形的对称性及其结构特征，并描述其基本属性，发展空间观念。
3.经历“观察→猜想→验证→证明”的完整探究过程，能运用全等三角形的知识逻辑论证等腰三角形的性质，提升演绎推理能力。
4.能将等腰三角形的性质迁移应用于解决实际问题或其他几何问题，体会数学知识之间的内在联系，增强模型意识与数学应用能力。
四、教学媒体
1.多媒体：展示上课内容；
2.黑板：板书本节课的重要知识点，例题和练习的讲解；
3.等腰三角形纸片：展示折叠过程，发现相等的线段，相等的角.
五、设计思想
现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变.所以本节课在教学方法的设计上，把重点放在了逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸来认识等腰三角形；再通过折纸、猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证，在教学设计中遵循由个别形象到一般抽象、由感性到理性的认知规律，使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，真正实现学生为主体的教学宗旨.在教学设计中还突出了三个注重：1.注重让学生参与知识的形成过程，体现应用数学知识解决问题的乐趣；2.注重师生间、学生间的互动协作，共同提高；3.注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活运用.
六、教学过程设计
（一）生活撷景，激疑引新
1.展示生活中的等腰三角形
师：这些图片的内容有什么共同点？
生：都是等腰三角形.
师写下课题：等腰三角形在生活中十分常见，在小学阶段我们也对它进行了初步的认识，今天我们将上升高度，继续研究等腰三角形的性质.
【设计意图】通过实际生活引入为学生创设情境，激发学生的求知欲和学习兴趣，让学生感受数学来源于生活.
（二）动手启智，研机探新
活动一：认识等腰三角形
师：请同学们拿出昨天的操作作业：动手做等腰三角形，并谈谈你的做法.
生1：先在纸上画一个等腰三角形，再把它剪下来.
师：你是怎么画的？
生1：画有两边相等的三角形.
师按学生做法在黑板上画出图形：谈谈你对等腰三角形的认识.
生：1.有两边相等的三角形叫等腰三角形.
2.如图1，在等腰△ABC中，已知：AB=AC
（1）AB、AC叫做腰 （2）BC叫做底边
（3）∠A叫做顶角 （4）∠B、∠C叫做底角
【设计意图】通过学生画的过程，体会等腰三角形的定义，培养学生动手操作能力.
活动二：探究等腰三角形的性质.
师：还有没有同学有不同的做法呢？请上来展示.
生2：将一张长方形纸片对折，然后画一条斜线，剪下来并展开.
教师带着同学按照学生2的说法折叠并剪出图形，如图2
师：请同学们思考这样做出来的图形是等腰三角形吗？理由？
生：是，通过折叠，有两边完全重合，说明这两边相等.
师：是否所有的等腰三角形都能这样折叠完全重合呢？两种做等腰三角形的方法哪种做法比较好？为什么？
生：第二种，更快更简单，做出的图形更漂亮.
师：第二种做法确实更好，它利用了等腰三角形的性质，现在我们一起来探究下等腰三角形的性质.请折叠你们手上的等腰三角形，并找出图中相等的线段和相等的角，你能发现等腰三角形的一些性质吗？小组讨论并展示结论.
教师个别指导学生操作并得出结论.
生：1.等腰三角形是轴对称图形
2.∠B =∠C
3.BD = CD ，AD 为底边上的中线
4.∠ADB = ∠ADC = 90°，AD为底边上的高
5.∠BAD = ∠CAD ，AD为顶角平分线
归纳：等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角相等.
2.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合.
【设计意图】活动二采用了实验法和探究法展开教学，通过学生的实践活动，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识和基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心.
活动三：证明等腰三角形的性质
师：以上结论是通过实验操作所得，数学是一门严谨的学科，我们的结论还需要理论的支持，你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗
师：性质1：等腰三角形两底角相等的条件和结论分别是什么？画出图形，写出已知、求证并证明.
生：如图4，在等腰△ABC中，已知：AB=AC，求证：∠B =∠C
学生动手证明，教师个别指导对没有思路的同学提问：
问题1：刚才折叠探究性质的过程对你有何启示
问题2：如何证明两个角相等？没有全等三角形如何构造呢？
问题3：如何描绘AD这条线段呢？
对于已经完成证明的同学再次提问：你还有没有不同的做法？
投影展示学生的不同证明方法并归纳如图：
辅助线做法
师：通过上述证明，除了得到∠B =∠C，还能得到其他结论吗？你有何发现？
生：BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD⊥BC
等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线互相重合（“三线合一”）
师：几何语言：在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C （等边对等角）
在△ABC中，∵AB=AC， BD=CD∴∠ADB=∠ADC=90°，AD⊥BC（“三线合一”）
师：在证明过程中辅助线AD有何作用？你是怎么想到的？
生：AD将等腰△ABC分割成两个全等的三角形.
【设计意图】通过设疑思考和逐步渗透等教学方法，充分发挥学生的主观能动性，注重学生探究能力的培养，加强对学生的启发、引导和鼓励，培养学生大胆猜想、小心求证的科学研究思想，为学生创设情境，激发学生的求知欲和学习兴趣，促使他们不断克服学习中的被动心理，让学生在轻松愉快的学习中掌握知识、发展智力、受到教育.
变式拓域，活用出新
等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为　 　.
问题：题目仅告诉我们两边，那谁为腰，谁为底呢？
变式.等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则此三角形的周长为　 　.
问题：8和4都可以充当腰吗？为什么？
2.如图6，在△ABC中，AB=AC，若∠B=40°，∠BAC= °
变式.在等腰△ABC中，若∠B=40°，∠BAC= °
问题：题目没有图那么∠B一定为底角吗？
【设计意图】第1，2题及其变式主要考察等腰三角形的定义和性质：等边对等角.其中第2题给出图形，让学生通过读图解答，考察学生的识图能力.其他没有图形，学生得根据题意画出图形考察学生动手操纵能力，让学生体会到几何题中图形的重要性.第1题及第2题变式包含两种情况，考察学生分类讨论思想，而第1题变式理论上有两种可能，实际只有一种，让学生承接旧知：三角形的三边关系和三角形的内角和定理，让学生感受知识的系统性.
3.如图7，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，若BD=5，
求CD长.
变式1.如图7，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，若BD=5，AD=12，则△ABC的面积为　 　.
问题：若等腰三角形中，出现“三线”中的“一线”，你还会想到什么？
变式2.如图8，在变式1的基础上，点E、F是AD上两点，则图中阴影部分的面积为　 　.
问题1：分别求三个三角形的面积可以实现吗？
问题2：既然放在等腰三角形中，我们可否利用等腰三角形的性质解决问题？
问题3：等腰三角形除了“等边对等角”“三线合一”还有其他性质吗？
【设计意图】第3题及其变式主要考察等腰三角形的性质：三线合一.其中第3题给角平分推中线，变式1给中线推高，而变式2在变式1的基础上增加了等腰三角形的轴对称性.意在让学生不要忽略图形的整体性质.其中第3题要求几何书写，考察学生的推理能力.
即时诊效，反思跃新
1.在等腰△ABC中，若∠B=140°，∠BAC= °
2.等腰三角形的周长为30 cm，一边长是12 cm，求另外两边的长.
3.如图9，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=30°.
（1）求∠ADC的大小
（2）求∠1的大小
【设计意图】成效反馈是对本节课的知识巩固，同时也是对应用新知的一个补充，第1题补充等腰三角形的底角不可能为锐角，而第2题是对应用新知中的第1题和第2题的变式，原来给边长求周长变为给周长求边长，第3题是对第3题及变式的补充考察推导角平分线的内容.
（五）总结回顾
知识框图：
研究方法：观察→猜想→验证→证明
【设计意图】利用程序框图，改变枯燥的问答总结方式，学生更加直观，增加趣味性，同时也加深学生的印象.
（六）作业布置
必做题：1.课本Ｐ93页，练习１―４题
2.搜集生活中的等腰三角形，等边三角形的图片；
选做题：3.用我们今天探究等腰三角形的方法小组内探究等边三角形的性质，下节课展示.
【设计意图】让学生体会等腰三角形的性质在现实生活中的应用价值，学会用数学知识解决实际问题，进一步巩固所学知识，及时反馈，查漏补缺，分层次布置作业，满足不同学生的发展需求，体现层次性和开放性.
板书设计
等腰三角形定义性质 学生展示区 应用新知 成效反馈
A
C
B
图1
图2
图3
A
C
B
图4
D
A
B
C
图5
作顶角∠BAC的角平分线AD
AD
作底边BC的中线AD
作底边BC上的高线AD
A
C
B
图6
图7
图8
A
D
C
B
1
2
图9
有两条边相等的三角形叫等腰三角形
等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形
的性质
等腰三角形的
两腰相等
等边对等角
等腰三角形
“三线合一”
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