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第二十三章 一次函数
23.3 一次函数与方程（组）、不等式
1．理解一次函数图象与x轴交点横坐标即对应一元一次方程的解．
2．能利用一次函数图象解一元一次不等式．
3．理解二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标．
方程（组）、不等式与函数之间有着密切的联系，从函数的角度认识方程（组）和不等式，能更好地建立它们之间的联系，从而更好地解决相关问题．
先来研究一次函数与一元一次方程的关系．
思考：如图所示，一次函数y＝2x－1的图象与x轴交点的横坐标是0.5．当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x－1＝0的解吗？
解：一次函数y＝2x－1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0．这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0．由此可以得出一元一次方程2x－1＝0的解是x＝0.5．
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0（a≠0）的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，求它与x轴的交点的横坐标．
再来研究一次函数与一元一次不等式的关系．
思考：如图所示，利用一次函数y＝2x－1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x－1＞0与2x－1＜0的解集吗？
解：如图所示，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x＞0.5；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x＜0.5．由此得出不等式2x－1＞0的解集是x＞0.5，2x－1＜0的解集是x＜0.5．
对于可化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围．
最后研究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系．
先来看一个具体例子．我们知道，方程2x－y＝1可以转化为y＝2x－1，它们有相同的解．y＝2x－1对应一次函数y＝2x－1，它的图象是一条直线．这条直线上每个点的坐标（x，y）都是方程2x－y＝1的解，以方程2x－y＝1的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上．
由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上．
思考：对于二元一次方程组，你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
解：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y＝2x－1与y＝－x＋，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标．因此，可以用画图象的方法得到
这个二元一次方程组的解．
如图所示，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝2x－1与y＝－x＋的图象．这两条直线的交点坐标为（1，1），由此得出方程组的解是．
一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标．
例：同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升．两个气球都上升了1min．
（1）分别写出表示两个气球所在位置的高度y（单位：m）关于上升时间x（单位：s）的函数解析式；
解：（1）气球上升时间x满足0≤x≤60．
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x＋5．
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x＋15．
例：同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升．两个气球都上升了1min．
（2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
（2）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值（0≤x≤60），函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15有相同的值y．由此可以列二元一次方程组
，解这个方程组，得．
这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m．
也可以画一次函数的图象解答此问题．
如图所示，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝x＋5与y＝0.5x＋15的图象．这两条直线的交点坐标为（20，25），这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m．
例：同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升．两个气球都上升了1min．
（2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
一次函数与方程 （组）、不等式
一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数与一元一次不等式的关系
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同步探究学案
课题 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 单元 第二十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解一次函数图象与x轴交点横坐标即对应一元一次方程的解． 2．能利用一次函数图象解一元一次不等式． 3．理解二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标．
重点 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，能利用一次函数图象解决方程、不等式、方程组的相关问题．
难点 建立方程、不等式、方程组与一次函数图象的对应关系，理解数形结合思想在解决跨知识问题中的应用．
探究过程
导入新课 【引入思考】 方程（组）、不等式与函数之间有着密切的联系，从函数的角度认识方程（组）和不等式，能更好地建立它们之间的联系，从而更好地解决相关问题
新知探究 本节课来研究： 本节我们研究一次函数与方程（组）、不等式之间的关系。 先来研究一次函数与一元一次方程的关系． 思考：如图所示，一次函数y＝2x－1的图象与x轴交点的横坐标是0.5．当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x－1＝0的解吗？ 归纳：因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0（a≠0）的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，求它与x轴的交点的横坐标． 再来研究一次函数与一元一次不等式的关系． 思考：如图所示，利用一次函数y＝2x－1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x－1＞0与2x－1＜0的解集吗？ 归纳：对于可化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围． 最后研究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系． 阅读：先来看一个具体例子．我们知道，方程2x－y＝1可以转化为y＝2x－1，它们有相同的解．y＝2x－1对应一次函数y＝2x－1，它的图象是一条直线．这条直线上每个点的坐标（x，y）都是方程2x－y＝1的解，以方程2x－y＝1的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上． 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上． 思考：对于二元一次方程组，你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 归纳：一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标． 例：同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升．两个气球都上升了1min． （1）分别写出表示两个气球所在位置的高度y（单位：m）关于上升时间x（单位：s）的函数解析式； （2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 也可以画一次函数的图象解答此问题． 如图所示，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝x＋5与y＝0.5x＋15的图象．这两条直线的交点坐标为（20，25），这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中直线与交于点A，则关于x，y的方程组的解是______． 3．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 选做题： 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）． A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【综合拓展类练习】 5．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．已知一次函数与（是常数，）的图象的交点横坐标是，则关于的二元一次方程组的解是______． 3．已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标． (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 选做题： 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【综合拓展类作业】 5．如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
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分课时教学设计
第五课时《23.3 一次函数与方程（组）、不等式》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是学生从“单一函数研究”走向“跨知识综合应用”的关键节点，也是构建函数、方程、不等式知识体系的核心课．教材通过一次函数与一元一次方程、不等式、二元一次方程组的关联探究，揭示了“数”与“形”的内在统一，帮助学生理解方程的解、不等式的解集、方程组的解在函数图象上的几何意义，为后续学习二次函数与方程、不等式的联系奠定思想方法基础．本课既是对前几课时函数图象与性质的深化应用，也是初中阶段数形结合思想的集中体现，对提升学生的综合思维与知识迁移能力具有重要作用．
学习者分析 学生已掌握一次函数的图象、性质，以及一元一次方程、不等式、二元一次方程组的解法，具备初步的数形结合意识．但学生对不同知识模块间的内在联系缺乏系统认知，难以将“方程的解”“不等式的解集”与函数图象上的点、区间建立直接关联，容易将各类问题割裂看待．同时，学生对二元一次方程组的解与两条直线交点的对应关系理解不深，需要通过具体案例引导，逐步建立“以形助数、以数解形”的思维模式，提升知识整合与综合应用能力．
教学目标 1．理解一次函数图象与x轴交点横坐标即对应一元一次方程的解． 2．能利用一次函数图象解一元一次不等式． 3．理解二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标．
教学重点 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，能利用一次函数图象解决方程、不等式、方程组的相关问题．
教学难点 建立方程、不等式、方程组与一次函数图象的对应关系，理解数形结合思想在解决跨知识问题中的应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解一次函数图象与x轴交点横坐标即对应一元一次方程的解． 2．能利用一次函数图象解一元一次不等式． 3．理解二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 导言：方程（组）、不等式与函数之间有着密切的联系，从函数的角度认识方程（组）和不等式，能更好地建立它们之间的联系，从而更好地解决相关问题． 先来研究一次函数与一元一次方程的关系．学生活动2： 学生认真听老师讲解活动意图说明： 以“方程（组）、不等式与函数的内在联系”为切入点，点明本课核心思想，引导学生从函数视角重构旧知；再通过 “先研究一次函数与一元一次方程的关系”，明确探究顺序，为后续关联不等式、方程组的学习搭建认知桥梁，渗透数形结合思想，激发学生探究知识间关联的兴趣环节三：新知讲解教师活动3： 思考：如图所示，一次函数y＝2x－1的图象与x轴交点的横坐标是0.5．当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x－1＝0的解吗？ 解：一次函数y＝2x－1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0．这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0．由此可以得出一元一次方程2x－1＝0的解是x＝0.5． 归纳：因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0（a≠0）的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，求它与x轴的交点的横坐标． 指出：再来研究一次函数与一元一次不等式的关系． 思考：如图所示，利用一次函数y＝2x－1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x－1＞0与2x－1＜0的解集吗？ 解：如图所示，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x＞0.5；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x＜0.5．由此得出不等式2x－1＞0的解集是x＞0.5，2x－1＜0的解集是x＜0.5． 归纳：对于可化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围． 指出：最后研究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系． 讲解：先来看一个具体例子．我们知道，方程2x－y＝1可以转化为y＝2x－1，它们有相同的解．y＝2x－1对应一次函数y＝2x－1，它的图象是一条直线．这条直线上每个点的坐标（x，y）都是方程2x－y＝1的解，以方程2x－y＝1的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上． 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上． 思考：对于二元一次方程组，你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 解：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y＝2x－1与y＝－x＋，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标．因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解．如图所示，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝2x－1与y＝－x＋的图象．这两条直线的交点坐标为（1，1），由此得出方程组的解是． 归纳：一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标． 例：同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升．两个气球都上升了1min． （1）分别写出表示两个气球所在位置的高度y（单位：m）关于上升时间x（单位：s）的函数解析式； （2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 解：（1）气球上升时间x满足0≤x≤60． 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x＋5． 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x＋15． （2）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值（0≤x≤60），函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15有相同的值y．由此可以列二元一次方程组 ， 解这个方程组，得 ． 这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m． 也可以画一次函数的图象解答此问题．如图所示，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝x＋5与y＝0.5x＋15的图象．这两条直线的交点坐标为（20，25），这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m． 学生活动3： 小组合作探究、班内汇报，然后认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过探究一次函数与一元一次方程、不等式、方程组的内在联系，引导学生理解 “数” 与 “形” 的对应关系；例题借助实际情境，让学生运用函数图象解决问题，强化数形结合思想，提升知识迁移与综合应用能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：23.3一次函数与方程（组）、不等式一、一次函数与一元一次方程的关系 二、一次函数与一元一次不等式的关系 三、一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图，在平面直角坐标系中直线与交于点A，则关于x，y的方程组的解是______． 答案：． 3．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 解：（1）∵函数与的图象交于点， ∴，解得； （2）∵， ∴两个一次函数的解析式分别为，， ∵要使得当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴即当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得，当时，的图象永远在的上方，那么只要当时，在的上方即可， 结合图象，可知当直线与直线平行时符合题意，此时或者时也符合题意， ∴m的取值范围为． 选做题： 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）． A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 解：（1）∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．已知一次函数与（是常数，）的图象的交点横坐标是，则关于的二元一次方程组的解是______． 答案： 3．已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标． (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 解：（1）由题意可得： ，解得， 所以点A坐标为． （2）当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）根据图象可知，时，x的取值范围是． 选做题： 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 【综合拓展类作业】 5．如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）在中，当时，， ， 将，代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）∵直线与直线的图象交于点，且时直线的图象在直线图象的上方， ∴当时，的取值范围是； （3）在中，当时，，解得：， ， 在中，当时，，解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或．
教学反思 本课通过案例探究，学生基本理解了一次函数与方程、不等式、方程组的联系，能借助图象解决简单问题．但部分学生对不等式解集的图象表示、方程组解与交点的对应关系仍易混淆，数形结合的应用不够主动．后续需增加对比辨析练习，强化“数”与“形”的双向转化训练；同时，结合生活实例，引导学生用函数视角解决实际问题，深化知识间的关联理解．
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