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【专题训练】2026年中考数学《二次函数压轴题》专项练习题
一．解答题（共10小题）
1．如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q（﹣4，0）作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；
（3）如图3，长度为的线段CD（点C在点D的左边）在射线AB上移动（点C在线段AB上），连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．
2．抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（﹣6，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．直线与抛物线交于B，D（n，﹣4）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BD下方抛物线上一点，连接PA交直线BD于点Q，点E是直线OD上一点，点F是y轴上一点，连接PE，EF，PF，当P取最大值时，求点P的坐标及PE+EF+PF的最小值．
（3）将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线OD方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点N是新抛物线y′上一点，当∠NAB+∠ODB＝45°时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
3．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为P，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若a＝﹣1．
①当b＝4，c＝﹣3时，求点P的坐标；
②点A（﹣2，0），C（0，2），点D在抛物线上，∠CAD＝90°，点G在AD上，当△BCG的周长最小时，求出点G的坐标；
（2）a＞0，点O为原点，OB＝OC，点E在线段BC上，BC＝4BE，点F在抛物线上，OE⊥OF，且OE＝OF，又点H是第四象限的一动点，满足∠OHB＝90°，连接HF，当HF的最小值为时，求a的值．
4．如图，点A是抛物线上的任意一点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点B作CD∥OA，交抛物线于点C，D（点C在点D的左侧）．
（1）若点A横坐标是1．
①求直线CD的解析式；
②求的值；
（2）设点A的横坐标为m，试说明与的值均等于同一个定值k，并求出该定值k；
（3）将给定的抛物线平移后，若所得抛物线与原线段CD恰好存在唯一交点，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx过点A（3，3），过点A作平行于x轴的直线交对称轴于点B，P为顶点．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）C为抛物线上一点，连接AC，BC，若S△ABC＝5，求直线CP的表达式；
（3）过B作直线DE，交抛物线于点D，E，连接PD，PE，直线PD，PE分别交x轴于点M，N，在抛物线的对称轴上是否存在定点F，使得∠MFN＝90°？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0），OA＝OC，抛物线对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，交x轴于点G，点E为抛物线对称轴上一动点，点F为y轴上一动点，连接PF，FE，EC，当2PH﹣BG有最大值时，求PF+FE+EC的最小值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+c沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点M为抛物线y′上一动点，若∠COM＝∠OCB﹣∠OBC．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+b（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，6），连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点M是直线AC上方抛物线上一动点，过点M作MD∥BC交AC于点D，过点M作ME∥AC交x轴于点E，N为y轴上一动点，连接MN，当取得最大值时，求点M的坐标及的最小值；
（3）将抛物线y＝ax2﹣2x+b（a≠0）沿AC方向平移个单位长度，得到新抛物线y1，新抛物线y1与原抛物线交于点P，连接PC，点Q是新抛物线y1上一点，当∠CPQ＝∠ACB时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（﹣6，0），B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝﹣4，点D，E，F都在抛物线上，且D，E，F三点的横坐标分别为m，m﹣2，﹣4﹣m．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）记抛物线上D，E两点间的部分（含D，E两点）为G，当﹣4≤m≤﹣2时，若图象G上到直线AC距离最大点及最小点的纵坐标之和为﹣3，求m的值；
（3）若点D在x轴下方的抛物线上，连接DE交线段AC于点M（不与点A重合），连接DF交线段AC于点N，连接EF，MF，若△MEF的面积是△MNF面积的2倍，求MN的长．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作直线BC，点D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接OD与直线BC交于点E，求的最大值及此时点D的坐标；
（3）将抛物线y＝﹣x2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y′，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c上一个动点，作以点P为中点的线段MN，且MN∥x轴，MN＝2．设点P的横坐标为m，若线段MN与抛物线y′有交点，求m的取值范围．
10．如图①已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，连接BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．
（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为　 　 ，点A的坐标为　 　 ，点B的坐标为　 　 ；
（2）若点E到y轴的距离与它到直线BC的距离相等，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x轴的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【专题训练】2026年中考数学《二次函数压轴题》专项练习题（原卷版+解析版）
一．解答题（共10小题）
1．如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q（﹣4，0）作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；
（3）如图3，长度为的线段CD（点C在点D的左边）在射线AB上移动（点C在线段AB上），连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．
【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）代入y＝ax2+bx，
∴，
解得，
∴yx2x；
（2）4QM+QN的值为定值，
设P（t，t2t），﹣5＜t＜0，
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴ytxt，
设直线PO的解析式为y＝k'x，
∴t2t＝tk'，
∴k't，
∴y＝（t）x，
∵点Q（﹣4，0），
∴M（﹣4，t），
∴N（﹣4，﹣2t﹣10），
∴QMt，QN＝2t+10，
∴4QM+QN＝﹣2t+2t+10＝10，
∴4QM+QN的值不变；
（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx，
设D（m，m），
∵CD，点C在点D的左边，
∴C（m﹣2，m），
设直线OD的解析式为y＝k'x，
∴mk'm，
∴k'，
∴y＝（）x，
∵CE∥OD，
∴直线CE的解析式为y＝（）xx（x+1），
当x+1＝0时，x＝﹣2，此时y＝1，
∴直线CE经过定点F（﹣2，1），
过点F作FK⊥x轴交直线AB于点K，过点E作EG∥FK交AB于点G，
∴，
∵点F（﹣2，1），
∴K（﹣2，），
∴FK，
∴当GE最大时，的值最小，
设E（n，n2n），则G（n，n），
∴GE（n+3）2+2，
∴当n＝﹣3时，GE有最大值2，
∴的最小值为．
2．抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（﹣6，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．直线与抛物线交于B，D（n，﹣4）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BD下方抛物线上一点，连接PA交直线BD于点Q，点E是直线OD上一点，点F是y轴上一点，连接PE，EF，PF，当P取最大值时，求点P的坐标及PE+EF+PF的最小值．
（3）将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线OD方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点N是新抛物线y′上一点，当∠NAB+∠ODB＝45°时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（﹣6，0），B（2，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）如图1，过点P作PG∥x轴交直线BD于点G，
令，则G的横坐标为，
∵△PQG∽△AQB，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，当m＝﹣1，取得最大值，
∴，
∴P（﹣1，﹣5），
联立得：，
解得：或，
∴D（﹣4，﹣4），
设直线OD解析式为y＝k1x，将点D的坐标代入得：
﹣4＝﹣4k1，
解得：k1＝1，
∴直线OD解析式为y＝x，
同理得：直线PA解析式为y＝﹣x﹣6，
联立得：，
解得：，
∴R（﹣3，﹣3），
如图2，作P点关于直线OD的对称点H，P关于y轴的对称点K（1，﹣5），分别过P、R、H作x轴垂线，垂足分别为S、T、U，连接EH，FK，
∴∠ASP＝∠RTO＝∠RTA＝∠AUH＝∠HUT＝90°，OS＝1，PS＝5，OT＝RT＝3，HE＝PE，PF＝KF，
∴∠AOR＝∠TRO＝45°，AT＝OT＝3，
∴AT＝OT＝TR＝3，
∴∠TAR＝∠ART＝45°，
∴∠ARO＝90°，
∴AP⊥OD，
∴A、H、R、P四点共线，
∵R（﹣3，﹣3），P（﹣1，﹣5），
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴OU＝5，
∴H（﹣5，﹣1），
∵PE+EF+PF＝HE+EF+KF，
∴当点H、E、F、K四点共线时，PE+EF+PF最小，为HK的长，如图3，
∴PE+EF+PF的最小值为；
（3）符合条件的点或．理由如下：
∵抛物线沿射线OD方向平移个单位长度得到新抛物线y′，
∴抛物线向下平移2个单位，再向左平移2个单位，
由，
∴平移后新抛物线，
①如图4，过点A作AN1∥BD交新抛物线于点N1，交y轴于点V，
∵∠N1AB+∠ODB＝45°，∠ODB+∠ABD＝∠AOD＝45°，
∴∠N1AB＝∠ABD，
设直线AN1解析式为，将点A的坐标代入得：
，
解得：b1＝4，
∴直线AN1解析式为，
联立得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴，
②连接AC交新抛物线于点N2，如图4，
由①知直线AN1解析式为，
当x＝0时，得：y＝4，
∴V（0，4），
∴OV＝4，
∵，
当x＝0时，得：y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝OV＝4，
∵OA＝OA，∠AOV＝∠AOC＝90°，
∴△AOV≌△AOC（SAS），
∴∠N2AB＝∠N1AB，
∵∠N1AB+∠ODB＝45°，
∴∠N2AB+∠ODB＝45°，
同理可得：直线AC解析式为，
联立得：，
解得：，（不合题意，舍去），
综上所述，符合条件的点或．
3．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为P，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若a＝﹣1．
①当b＝4，c＝﹣3时，求点P的坐标；
②点A（﹣2，0），C（0，2），点D在抛物线上，∠CAD＝90°，点G在AD上，当△BCG的周长最小时，求出点G的坐标；
（2）a＞0，点O为原点，OB＝OC，点E在线段BC上，BC＝4BE，点F在抛物线上，OE⊥OF，且OE＝OF，又点H是第四象限的一动点，满足∠OHB＝90°，连接HF，当HF的最小值为时，求a的值．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），a＝﹣1，b＝4，c＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该抛物线顶点P的坐标为（2，1）；
②∵a＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+c，
抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A（﹣2，0），C（0，2），将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
当y＝0时，得：﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x＝﹣2或1，
∴A（﹣2，0），B（1，0），
设直线AC解析式为y＝kx+d，将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+2，
如图1，点A（﹣2，0），C（0，2），设直线AD与y轴交于点M，
∴OA＝OC＝2，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠MAO＝90°﹣∠CAO＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AMO＝90°﹣∠MAO＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAO＝∠AMO，
∴OM＝OA＝2，
∴M（0，﹣2），
设直线AD的解析式为y＝k1x+d1，将点A，点M的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣2，
作点C关于直线AD的对称点C′，连接BC′，即C′（﹣4，﹣2），
∴AD⊥CC′、AC＝AC′，
∴AD垂直平分CC′，
∴CG＝C′G，
当C′、G、B在同一直线上时，CG+BG+BC＝C′G+BG+BC＝BC′+BC最小，
设直线BC′解析式为y＝k2x+d2，将点、点C′的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC′的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴点G坐标为；
（2）当x＝0时，得：y＝c，
∴C（0，c），
∵OB＝OC，
∴OB＝OC＝|c|＝﹣c，
∴B（﹣c，0），
设直线BC解析式为y＝k3x+d3，将点B、点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+c，
∴，
∵点E在线段BC上，BC＝4BE，
∴，
∴，
如图2，过点E作EP⊥x轴于点P，过点F作FQ⊥y轴于点Q，
∴∠EPO＝∠FQO＝90°，
∴∠EOP+∠PEO＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠FOQ+∠EOP＝90°，
∴∠FOQ＝∠PEO，
在△FOQ和△OEP中，
，
∴△FOQ≌△OEP（AAS），
∴、，
∴，
取OB中点N，连接HN、NF，
∵∠OHB＝90°，，
∴点H在以点为圆心，为半径的⊙N上，
当B，H，F三点共线时，HF最小，
∴，
∴，
解得：c＝﹣4，
∴C（0，﹣4）、B（4，0）、F（﹣1，﹣3），
将点B，点C，点F的坐标分别代入抛物线y＝ax2+bx+c得：
，
解得：．
4．如图，点A是抛物线上的任意一点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点B作CD∥OA，交抛物线于点C，D（点C在点D的左侧）．
（1）若点A横坐标是1．
①求直线CD的解析式；
②求的值；
（2）设点A的横坐标为m，试说明与的值均等于同一个定值k，并求出该定值k；
（3）将给定的抛物线平移后，若所得抛物线与原线段CD恰好存在唯一交点，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
【解答】解：（1）①∵点A是抛物线上一点，且点A横坐标是1，
∴当x＝1时，得：，
∴，
∵过点A作AB⊥y轴于点B，
∴，
设直线OA的解析式为y＝tx（t≠0），将点A的坐标代入得：，
∴直线OA的解析式为，
∵CD∥OA，
∴设直线CD的解析式为，将点B的坐标代入得：，
∴直线CD的解析式为；
②联立得：，
解得：，，
∴点D的横坐标为，
如图1：作DE⊥y轴于点E，则，
∵AB⊥y，
∴∠DEB＝∠ABO＝90°，
∵CD∥OA，
∴∠AOB＝∠DBE，
∴△AOB∽△DBE，
∴，
由①可得：AB＝1，
∴；
（2）∵点A是抛物线上的任意一点，且点A的横坐标为m，
当x＝m时，得：，
∴，
∵过点A作AB⊥y轴于点B，
∴，
设直线OA的解析式为y＝tx（t≠0），将点A的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线OA的解析式为，
∵CD∥OA，
∴设直线CD的解析式为，将点B的坐标代入得：，
∴直线CD的解析式为；
联立得：，
整理得：，
若m＞0，解得：，，
如图2，作DE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，
则∠CFB＝∠BED＝90°，
同（1）②可得：△AOB∽△DBE，
∴，
∵CD∥OA，
∴∠CBF＝∠AOB，
∵∠CFB＝∠ABO＝90°，
∴△CBF∽△AOB，
∴，
∴此时；
若m＜0，解得：，，
如图3：作DE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，
则∠CFB＝∠BED＝90°，
同（1）②可得：△AOB∽△DBE，
∴，
∵CD∥OA，
∴∠CBF＝∠AOB，
∵∠CFB＝∠ABO＝90°，
∴△CBF∽△AOB，
∴，
∴此时；
综上所述，与的值均等于同一个定值k，或；
（3）t的取值范围为，且t≠0．理由如下：
令点A横坐标是1，则由（1）可得：，，
∴点C关于y轴对称的点的横坐标为，点D关于y轴对称的点的横坐标为，
当平移后所得抛物线恰经过点C时，此时，
当平移后所得抛物线恰经过点D时，此时，
∵将给定的抛物线平移后，所得抛物线与原线段CD恰好存在唯一交点，
∴t的取值范围为，且t≠0．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx过点A（3，3），过点A作平行于x轴的直线交对称轴于点B，P为顶点．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）C为抛物线上一点，连接AC，BC，若S△ABC＝5，求直线CP的表达式；
（3）过B作直线DE，交抛物线于点D，E，连接PD，PE，直线PD，PE分别交x轴于点M，N，在抛物线的对称轴上是否存在定点F，使得∠MFN＝90°？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2+bx过点A（3，3），将点A的坐标代入得：
9+3b＝3，
解得：b＝﹣2，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵AB∥x轴，
∴点B的坐标为（1，3）；
（2）如图1，点A（3，3），点B（1，3），点C在抛物线y＝x2﹣2x上，
∴AB＝2，
∴设点，
∵S△ABC＝5，
∴，
∴，
∴，即，
解得：xc＝4或xc＝﹣2；
或，即，得该方程无解，
∴C1（4，8）或C2（﹣2，8），
由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点P（1，﹣1），
设直线CP的表达式为y＝mx+n（m≠0），将点C1，点P的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线C1P的表达式为y＝3x﹣4；
同理，由点C2（﹣2，8），P（1，﹣1）得直线C2P的表达式为y＝﹣3x+2，
综上所述，直线CP的表达式为y＝3x﹣4或y＝﹣3x+2；
（3）在抛物线的对称轴上存在定点F，使得∠MFN＝90°；理由如下：
如图2，设点，点），假设点D在点E右侧，
∵点B（1，3）在直线DE上，
∴设直线DE的表达式为y＝k（x﹣1）+3＝kx﹣k+3，
∵D，E为直线与抛物线的交点，
∴联立直线DE与抛物线，得：x2﹣2x＝kx﹣k+3，
整理得：x2﹣（k+2）x+k﹣3＝0，
∴xD xE＝k﹣3，xD+xE＝k+2，
设直线PD的表达式为y＝k1x+b1（k1≠0），将点代入，得：
，
解得：，
∴直线PD的表达式为y＝（xD﹣1）x﹣xD，
∴点；
同理，得直线PE的表达式为y＝（xE﹣1）x﹣xE，
∴点，
设点F（1，t），
∵∠MFN＝90°，
∴FM⊥FN，
∴，
由勾股定理得：，，
FM2+FN2＝MN2，
即，
∴，
∴，
代入韦达定理结果，得：﹣2（k+2）+2+2t2[k﹣3﹣（k+2）+1]2＝﹣2×（k﹣3），
﹣2k﹣4+2+（﹣4）2×2t2＝﹣2k+6，
∴，
解得：t或，
∴点F的坐标为或．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0），OA＝OC，抛物线对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，交x轴于点G，点E为抛物线对称轴上一动点，点F为y轴上一动点，连接PF，FE，EC，当2PH﹣BG有最大值时，求PF+FE+EC的最小值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+c沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点M为抛物线y′上一动点，若∠COM＝∠OCB﹣∠OBC．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为直线x＝2，
∴，即b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+c，
∵点A（﹣4，0），OA＝OC，
∴C（0，﹣4），
抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣4，0），B两点，对称轴为直线x＝2，
∴B（8，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+d（k≠0），将点B、点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的表达式为，
设（0＜t＜8），则，G（t，0），
∴，BG＝8﹣t，
∴，
∵，0＜t＜8，
∴当t＝6时，2PH﹣BG有最大值，此时，
∴，
如图1，过点P作PP1∥EF，过点E作PF的平行线交PP1于点P1，则四边形EP1PF是平行四边形；作点E关于y轴的对称点E1，连接E1F，将E1F沿y轴向下平移至点F与点C重合，得到CE2，
∴PF＝P1E，EF＝E1F＝E2C，
∴PF+FE+EC＝P1E+EC+CE2，
∴当P1、E、C、E2四点共线时，PF+FE+EC取得最小值，此时E1、F、P三点共线，如图2，
∵C（0，﹣4），，
∴设直线CE的表达式为y＝mx﹣4，直线PF的表达式为y＝mx+n，
∵点E在抛物线的对称轴直线x＝2上，
∴E（2，2m﹣4），
∵点E1和点E关于y轴对称，
∴E1（﹣2，2m﹣4），
将点P的坐标代入直线PF的表达式为y＝mx+n，得：
，
解得：，
∴直线PF的表达式为，
把点E1的坐标代入，得：
，
解得：，
∴，，
∴，，
∴，
即当2PH﹣BG有最大值时，PF+FE+EC的最小值为；
（3）点M的横坐标为或；理由如下：
∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝4，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，相当于将该抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴，
①当点M在第四象限时，如图3，取BC的中点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，作QN⊥OM交OM的延长线于点N，过点N作NT⊥y轴于点T，延长TN交HQ的延长线于点S，
则∠STO＝∠TOH＝∠OHS＝90°，
∴四边形OTSH是矩形，
∴∠TSH＝90°，OT＝HS，OH＝TS，
∵B（8，0），C（0，﹣4），点Q是BC的中点，∠BOC＝90°，
∴OQ＝BQ＝CQ，OB＝8，OC＝4，Q（4，﹣2），
∴∠OCB＝QOC，∠OBC＝∠QOB，
∵∠COM＝∠OCB﹣∠OBC，即∠COM+∠OBC＝∠OCB，
∴∠COM+∠QOB＝∠OCB＝∠QOC＝∠COM+∠QON，
∴∠QOB＝∠QON＝∠OBC，
∴，
∵QN⊥OM，
∴，∠TNO+∠QNS＝∠TNO+∠TON＝90°，
∴∠QNS＝∠NOT，
∵∠OTN＝∠NSQ＝90°，
∴△OTN∽△NSQ，
∴，
设QS＝z，则NT＝2z，
∵Q（4，﹣2），QH⊥x轴，
∴OH＝TS＝4，HQ＝2，
∴OT＝HS＝QH+QS＝2+z，NS＝TS﹣NT＝4﹣2z，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
设直线OM的表达式为y＝qx，将点N的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线OM的表达式为，
联立得：，
解得，（不合题意，舍去），
∴点M的横坐标为；
②当点M在第三象限时，如图3，取点M关于y轴的对称点M′，
则∠COM′＝∠COM＝∠OCB﹣∠OBC，此时点M′的横坐标为，
又∵的对称轴为y轴，
∴点M′在抛物线上，
∴点M′符合条件；
综上，符合条件的点M的横坐标为或．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+b（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，6），连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点M是直线AC上方抛物线上一动点，过点M作MD∥BC交AC于点D，过点M作ME∥AC交x轴于点E，N为y轴上一动点，连接MN，当取得最大值时，求点M的坐标及的最小值；
（3）将抛物线y＝ax2﹣2x+b（a≠0）沿AC方向平移个单位长度，得到新抛物线y1，新抛物线y1与原抛物线交于点P，连接PC，点Q是新抛物线y1上一点，当∠CPQ＝∠ACB时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2x+b（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，6），将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点D作DF∥x轴，交ME于F，过点M作MH⊥x轴于H，交DF于G，则MH⊥DF，
∵抛物线与x轴交于点A，B（2，0）两点，
当y＝0时，得：，
解得：x＝﹣6或2（与点B重合，舍去），
∴A（﹣6，0），
∴OA＝6，
∵B（2，0），C（0，6），
∴OB＝2，OC＝OA＝6，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵ME∥AC，MD∥BC，
∴∠EMD＝∠MDC＝∠ACB，∠MEO＝∠OAC＝∠EMH＝45°，
∴∠EMD﹣∠EMH＝∠ACB﹣∠OCA，即∠DMG＝∠OCB，MH＝EH，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得：，
∴，，
∴，，
∵∠MEH＝45°，
∴∠EMG＝45°，
∴△MFG是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵DF∥x轴，ME∥AC，
∴四边形EADF是平行四边形，
∴AE＝DF，
∴，
∴当取得最大值时，AE取最大值，
设，
∴OH＝﹣m，，
∴，
∴当m＝﹣3时，AE取最大值，
当m＝﹣3时，代入得：，
∴，
在第一象限作∠COQ＝30°，过点M作MQ⊥OQ于Q，交y轴于N，过点M作MT⊥y轴于T，
∴，
∴当M、N、Q在一条直线上时，取最小值，
∵∠MNT＝∠ONQ，∠MTN＝∠OQN＝90°，
∴∠NMT＝∠COQ＝30°，
∵，
∴MT＝3，，
∴，，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）点Q的坐标为或（﹣4，2）．理由如下：
∵将抛物线y＝ax2﹣2x+b（a≠0）沿AC方向平移个单位长度，∠OAC＝45°，
∴抛物线向右平移的距离与向上平移的距离相等，
设平移的距离为t，则，
解得：t＝2（负值已舍去），
∵，
∴原抛物线的顶点坐标为（﹣2，8），平移后的抛物线解析式为，
联立得：，
解得：，
∴P（﹣2，8），此时新抛物线经过原抛物线的顶点，如图2，
①当点Q1在点P下方时，如图2，过点C作CR∥x轴，交PQ1于R，过点P作PK⊥CR于K，
∵C（0，6），P（﹣2，8），
∴CK＝2，PK＝2，
∴∠CPK＝∠PCK＝45°，
∵∠CPQ1＝∠ACB，
∴∠RPK＝∠OCB，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线PR的解析式为y＝k1x+b1，将点P，点R的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线PR的解析式为y＝3x+14，
联立得：，
解得：，（与点P重合，不合题意，舍去），
∴Q1（﹣4，2）；
②当点Q2在点P上方时，过点P作PS⊥y于S，设PQ2交y轴于L，
同理可得，∠LPS＝∠OCB，PS＝CS＝2，
∴，
∴，
∴，
设直线PL的解析式为y＝k2x+b2，将点P，点L的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线PL的解析式为，
联立得：，
解得：，（与点P重合，不合题意，舍去），
∴．
综上所述，点Q的坐标为或（﹣4，2）．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（﹣6，0），B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝﹣4，点D，E，F都在抛物线上，且D，E，F三点的横坐标分别为m，m﹣2，﹣4﹣m．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）记抛物线上D，E两点间的部分（含D，E两点）为G，当﹣4≤m≤﹣2时，若图象G上到直线AC距离最大点及最小点的纵坐标之和为﹣3，求m的值；
（3）若点D在x轴下方的抛物线上，连接DE交线段AC于点M（不与点A重合），连接DF交线段AC于点N，连接EF，MF，若△MEF的面积是△MNF面积的2倍，求MN的长．
【解答】解：（1）由题知，
，
解得，
所以抛物线的函数解析式为y；
（2）作直线l平行于直线AC，与抛物线相切于点P，
因为点A坐标为（﹣6，0），点C坐标为（0，6），
所以直线AC的函数解析式为y＝x+6．
设直线l的解析式为y＝x+t，
由x+t得，
x2+6x﹣2t+12＝0，
则Δ＝62﹣4（﹣2t+12）＝0，
解得t，
由x2+6x+9＝0得，
x1＝x2＝﹣3，
所以点P坐标为（﹣3，），
则点P关于直线x＝﹣4对称的点Q坐标为（﹣5，）．
此时，
所以点Q是图象G上到AC距离最近的点，
则E与Q重合，
所以m﹣2＝﹣5，
解得m＝﹣3；
（3）如图所示，
因为D（m，），E（m﹣2，），F（﹣4﹣m，），
所以1．
又因为kAC＝1，
所以kEF＝kAC，
则EF∥AC．
因为△MEF的面积是△MNF面积的2倍，
所以EF＝2MN，
所以M是DE中点，
所以点M坐标为（m﹣1，）．
将点M坐标代入y＝x+6得，
m﹣1+6，
解得m＝﹣2﹣2（舍正），
则E（），F（），
所以EF，
所以MN．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作直线BC，点D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接OD与直线BC交于点E，求的最大值及此时点D的坐标；
（3）将抛物线y＝﹣x2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y′，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c上一个动点，作以点P为中点的线段MN，且MN∥x轴，MN＝2．设点P的横坐标为m，若线段MN与抛物线y′有交点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．将点A
，点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，过D作DH∥OC交BC于H，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设D（m，﹣m2+2m+3），
∴H（m，﹣m+3），
∴DH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵DH∥OC，
∴△DHE∽△OCE，
∴，
当时，最大，最大值为，
∴，
∴；
（3）将抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y′，
∴y′＝﹣（x﹣3）2+2，
∴顶点坐标为：（3，2），
如图2，
设P（m，﹣m2+2m+3），
当顶点（3，2）在线段MN上时，
∴﹣m2+2m+3＝2，
解得：，（不合题意，舍去），
如图3，当M（m﹣1，﹣m2+2m+3）在y′＝﹣（x﹣3）2+2上时，
∴﹣（m﹣1﹣3）2+2＝﹣m2+2m+3，
解得：，
综上所述，线段MN与抛物线y′有交点，m的取值范围为．
10．如图①已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，连接BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．
（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为　（，0）　 ，点A的坐标为　（﹣1，0）　 ，点B的坐标为　（4，0）　 ；
（2）若点E到y轴的距离与它到直线BC的距离相等，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x轴的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线，
∴点E的坐标为（，0），
已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
当y＝0时，得：ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
故答案为：（，0）；（﹣1，0）；B（4，0）；
（2）如图①中，作ED⊥BC于点D，
在直角三角形BDE中，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）存在点Q，使得M′恰好落在y轴上；理由如下：
由题意得：∠MCN＝∠M′CN，
∵MN∥OM′，
∴∠M′CN＝∠CNM，
∴∠MCN＝∠CNM，
∴MN＝CM，
已知抛物线与y轴的正半轴交于点C，
当x＝0时，得：y＝3，
∴C（0，3），
∵B（4，0），
∴直线BC的解析式为，
∵M在直线BC上，N在抛物线上，PQ∥y轴，Q（m，0），
∴，
作MF⊥OC于F，
∵，
∴，
∴，
当N在BC上方时，
，
解得：或0（舍）；
当N在BC下方时，
，
解得：或0（舍），
综上所述，存在点Q，使得M′恰好落在y轴上；或．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/12 10:11:03；用户：13840326273；邮箱：13840326273；学号：22644865

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