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【人教版】小学六年级上数学奥数：第 3 讲 比和比例
一、核心知识（必背）
两种相关联的量 、，定值 ：
商一定 → 成正比例
积一定 → 成反比例
只有和差关系 → 不成比例
解题关键：抓不变量、统一比、按比分配、正反比例列等式。
二、基础例题
例 1 判断比例关系
判断是否成比例，成什么比例：
① 效率一定，工作总量与时间
② 工作总量一定，效率与时间
③ 路程一定，已行与剩下路程
④ 总时间一定，零件总数与每个零件用时
⑤ 总产量一定，单产量与数量
⑥ 被除数一定，除数与商
⑦ 同一时间、地点，物高与影长
⑧ 半径一定，圆柱高与体积
⑨ 咬合齿轮，齿数与转速
⑩ 圆半径与面积
长方体体积一定，底面积与高
正方形边长与面积
站数与票价
教室面积一定，砖面积与块数
每千米耗油量一定，路程与耗油总量
答案
正比例：①、⑦、⑧、
反比例：②、④、⑤、⑥、⑨、 、
不成比例：③、⑩、 、
例 2 路程分段比
一条路全长 90 千米，上坡：平路：下坡＝1:3:5，时间比 2:5:8，上坡速度 3 千米 / 时，求全程时间。
解答：上坡 10 千米，用时 小时，总时间 25 小时。
例 3 合金配比
铜：锡＝3:4，加 8 克锡后新合金 48 克，求新比。
解答：原合金：48 8=40 克
铜： 克
原锡： 克
新锡： 克
新比：
例 4 工效比→工作量比
师徒共做 240 个，师傅 1 个 4 分钟，徒弟 1 个 6 分钟，各做多少？
解答：工效比 3:2，师傅 144 个，徒弟 96 个。
例 5 效率提高（反比例）
15 天产 900 个，3 天后效率提 20%，还需几天？
解答：还需 10 天。
例 6 长方形长宽比与面积
长：宽＝6:1，长减 8、宽加 8，面积增 128cm ，求原面积。
解答：设宽为，长为
，
40x 64=128，
解得，长 28.8
原面积： cm
例 7 路程比（速度比）
甲乙时间比 4:5，相遇甲多走 200 米，求全长。
解答：速度比 5:4，全长 1800 米。
例 8 按比分配（不变量）
甲乙比 5:3，甲给乙 12 千克后相等，原来各多少？
解答：甲 60kg，乙 36kg。
三、进阶例题（小升初高频）
进阶例 1 单量不变统一比
甲乙两班人数比 4:5，从甲班调 2 人到乙班，甲乙比变为 3:4，原来两班各多少人？
解答：总人数不变，统一比，原来甲 56 人，乙 70 人。
进阶例 2 差不变统一比
甲乙钱数比 5:4，各花掉 20 元后，比变为 3:2，原来各多少钱？
解答：差不变，甲 50 元，乙 40 元。
进阶例 3 溶液配比（浓度比）
甲乙两杯盐水浓度比 3:4，重量比 5:6，混合后浓度 68/110，求甲浓度。
解答：设甲浓度 ，乙 ，混合后
解得 ，
甲浓度 。
进阶例 4 正反比例综合
甲乙两车速度比 3:4，走同一段路时间比多少？若同时出发相向而行，相遇路程比？
解答：时间比 4:3，相遇路程比 3:4。
进阶例 5 工程问题比例
甲乙工效比 3:2，合作 6 天完成，甲单独几天完成？
解答：甲单独 10 天。
进阶例 6 年龄比（差不变）
今年甲乙年龄比 5:3，4 年后比为 7:5，今年各几岁？
解答：甲 10 岁，乙 6 岁。
进阶例 7 比例尺与面积
比例尺 1:2000，长方形图上长 5cm、宽 3cm，实际面积多少平方米？
解答：实际长 = 5×2000=10000cm=100m
实际宽 = 3×2000=6000cm=60m
实际面积： m 。
进阶例 8 分数与比互化
甲的 等于乙的 ，求甲乙比。
解答：甲：乙＝6:5。
进阶例 9 行程比例（变速）
甲乙速度比 2:3，甲先行 1 小时，乙再出发，追上时甲乙路程比？
解答：1:1。
进阶例 10 按比分配（复合比）
ABC 三队工作量比 3:4:5，三队效率比 2:3:5，完工时间比？
解答：时间比 9:8:6。
四、巩固习题
长宽比 3:2，长比宽多 24 米，求面积。
长宽比 3:2，周长 120 米，求面积。
橘苹共 96 筐，比 5:3，各多少筐。
5 天完成 25%，剩下还需几天。
上衣 7 元，小强 (衣 + 2 裤): 小明 (衣 + 1 裤)=4:3，求裤子价。
第一天读，第二天多读 6 页，已读：剩 = 3:7，还剩几页。
甲乙速度比 2:3，甲全程时，相遇时间。
顺 21 逆 4 = 顺 12 逆 7，求顺速：逆速。
五、进阶练习题（拔高专用）
甲乙图书比 5:6，甲给乙 10 本后比变为 4:5，甲原有多少本？
甲乙钱数比 7:5，各用去 20 元后比为 3:2，乙原有多少钱？
甲乙速度比 4:5，行同一段路时间比是多少？
甲的等于乙的，求甲乙最简整数比。
甲乙工效比 2:3，合作 5 天完成，乙单独要几天？
比例尺 1:5000，图上长方形长 4cm、宽 2cm，实际面积多少平方米？
今年父子年龄比 7:2，5 年后比为 5:2，今年父亲几岁（取整）？
两杯水重量比 3:4，浓度比 2:5，其中第一杯的浓度为20%，求混合后浓度。
甲乙路程比 5:3，速度比 4:3，求时间比。
甲乙丙效率比 1:2:3，完成同一项工程时间比是多少？
进阶练习题答案（精简）
450 本
100 元
5:4
10:9
天
20000 m
26.25 岁，取整27岁
（约 37.14%）
5:4
6:3:2

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