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第二十三章 一次函数
23.4 实际问题与一次函数
（第1课时）
1．能从阶梯价格、分段行程等情境中抽象分段一次函数模型．
2．会写分段函数解析式，确定自变量取值范围．
3．能利用分段函数求对应函数值．
在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画．
在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题．
例1：某玉米种子的价格为40元/kg．若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折．
（1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
（2）一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
分析：付款金额与种子价格有关．而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关．因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x＞2讨论．
例1：某玉米种子的价格为40元/kg．若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折．
（1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
解：（1）设购买量为xkg，付款金额为y元．
当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y＝40x；
当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，其余的（x－2）kg（即超过2kg部分）按24元/kg（即六折）计价，函数解析式为y＝40×2＋24（x－2）＝24x＋32．
例1：某玉米种子的价格为40元/kg．若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折．
（1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
函数图象如图所示．
函数解析式也可以合起来表示为
例1：某玉米种子的价格为40元/kg．若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折．
（2）一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
（2）因为4＞2，所以y＝24×4＋32＝128．
因此，一次购买4kg种子，需付款128元．
实际问题
建立数学模型
一次函数
y=kx+b(k≠0)
解析式
图象
性质
一次函数
问题的解
计算求解
实际问题
的答案
利用一次函数解决实际问题建模步骤
（1）抽象实际问题：分析情境中的变量关系，明确自变量、因变量及限制条件，剥离无关信息，转化为数学问题；
（2）求一次函数解析式：根据情境分段或整体列写函数关系，用待定系数法或直接列式，确定解析式及自变量取值范围；
（3）结合图象、性质解题：利用函数的增减性、分段区间特征，或借助图象直观分析，求解函数值、自变量范围或实际问题结论．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
实际问题与一次函数
分段函数模型
建模步骤
抽象实际问题
结合图象、性质解题
求一次函数解析式
情境特点：阶梯价格、分段变化
解析式书写：各区间对应表达式
分段点划分：自变量范围
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
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同步探究学案
课题 23.4 实际问题与一次函数 （第1课时） 单元 第二十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．能从阶梯价格、分段行程等情境中抽象分段一次函数模型． 2．会写分段函数解析式，确定自变量取值范围． 3．能利用分段函数求对应函数值．
重点 能从实际情境中抽象分段一次函数模型，写出分段函数解析式并确定自变量的取值范围．
难点 根据实际情境的变化，准确划分分段函数的自变量取值区间，并写出各区间对应的函数解析式．
探究过程
导入新课 【引入思考】 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画．在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助一次函数，解决实际问题。 例1：某玉米种子的价格为40元/kg．若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折． （1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； （2）一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？ 分析：付款金额与种子价格有关．而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关．因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x＞2讨论． 归纳： 利用一次函数解决实际问题建模步骤 （1）抽象实际问题：分析情境中的变量关系，明确自变量、因变量及限制条件，剥离无关信息，转化为数学问题； （2）求一次函数解析式：根据情境分段或整体列写函数关系，用待定系数法或直接列式，确定解析式及自变量取值范围； （3）结合图象、性质解题：利用函数的增减性、分段区间特征，或借助图象直观分析，求解函数值、自变量范围或实际问题结论． 例2：按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．出租车收费标准：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里加收1.5元，设行驶路程公里，总费用y元，函数关系式为（ ） A． B． C． D． 2．某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克）不超过千克千克以上但不超过千克 千克以上每千克价格元元元
若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 3．今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 选做题： 4．以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（ ） 用水类别现行水价拟调整水价第一阶梯：月用水量每户第二阶梯：月用水量每户超过部分
A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过吨时，水价为每吨元，超过吨时，超过的部分按每吨元收费．该市某户居民月份用水吨，应交水费元． (1)求与的函数关系式； (2)如果该户居民月交水费元，那么该户居民 月用了多少吨水？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 3．为了增强市民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，按3.2元收费；每户每月用水量超过时，超过的部分按3.8元收费．设每户每月用水量为，应缴费y元． (1)写出每月用水量不超过和超过时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数． (2)已知某户5月份的用水量为，求该户5月份的水费． 选做题： 4．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档户年用气量单价/（元）第一档（不超过300的部分）2.73第二档（超过300，不超过600的部分）3.28第三档（超过600的部分）3.82
(1)写出用气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1311元，求该户去年一年的用气量．
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分课时教学设计
第六课时《23.4 实际问题与一次函数（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课将一次函数知识应用于实际问题的关键课，也是单元知识体系的收尾与升华．教材通过阶梯价格等分段情境，引导学生构建分段一次函数模型，实现了从单一函数到分段函数、从纯数学问题到实际应用的跨越．本课既巩固了待定系数法、一次函数图象与性质等核心知识，又渗透了分类讨论、建模思想，为后续学习更复杂的函数应用、解决实际问题奠定了方法基础，同时也提升了学生用数学语言描述现实世界、解决实际问题的能力，是单元知识与生活实际的重要连接点．
学习者分析 学生已掌握一次函数的解析式、图象与性质，能熟练运用待定系数法求函数解析式，具备初步的建模意识．但学生对“分段函数”的认知较为陌生，容易忽略自变量的取值范围，难以根据实际情境的变化划分函数的不同阶段，对分段函数解析式的书写、图象的绘制存在困难．同时，学生将实际问题转化为数学模型的能力仍需强化，需要通过典型案例引导，逐步掌握“情境分析—分段建模—求解应用”的完整过程，提升分类讨论与建模能力．
教学目标 1．能从阶梯价格、分段行程等情境中抽象分段一次函数模型． 2．会写分段函数解析式，确定自变量取值范围． 3．能利用分段函数求对应函数值．
教学重点 能从实际情境中抽象分段一次函数模型，写出分段函数解析式并确定自变量的取值范围．
教学难点 根据实际情境的变化，准确划分分段函数的自变量取值区间，并写出各区间对应的函数解析式．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．能从阶梯价格、分段行程等情境中抽象分段一次函数模型． 2．会写分段函数解析式，确定自变量取值范围． 3．能利用分段函数求对应函数值．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 导言：在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画．在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题．学生活动2： 学生认真听老师讲解活动意图说明： 从生活实际切入，点明一次函数的应用价值，明确 “抽象建模 — 求解析式 — 用图象性质解决问题” 的通用步骤，为分段函数应用的探究搭建方法框架，引导学生带着清晰的解题思路进入新课学习，渗透数学建模思想，激发用函数解决实际问题的兴趣环节三：新知讲解教师活动3： 例1：某玉米种子的价格为40元/kg．若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折． （1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； （2）一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？ 分析：付款金额与种子价格有关．而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关．因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x＞2讨论． 解：（1）设购买量为xkg，付款金额为y元． 当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y＝40x； 当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，其余的（x－2）kg（即超过2kg部分）按24元/kg（即六折）计价，函数解析式为y＝40×2＋24（x－2）＝24x＋32． 函数图象如图所示． 函数解析式也可以合起来表示为 （2）因为4＞2，所以y＝24×4＋32＝128． 因此，一次购买4kg种子，需付款128元． 归纳： 利用一次函数解决实际问题建模步骤 （1）抽象实际问题：分析情境中的变量关系，明确自变量、因变量及限制条件，剥离无关信息，转化为数学问题； （2）求一次函数解析式：根据情境分段或整体列写函数关系，用待定系数法或直接列式，确定解析式及自变量取值范围； （3）结合图象、性质解题：利用函数的增减性、分段区间特征，或借助图象直观分析，求解函数值、自变量范围或实际问题结论． 例2：按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 解：（1）设当时，， 把代入，得 解得 ∴； 设当时，， 把，分别代入， 得 解得 ∴； （2）依题意，由（1）得时 依题意，当时，(元)学生活动3： 学生先独立思考，然后小组合作探究、班内汇报后认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过阶梯价格实例，引导学生掌握分段一次函数的建模步骤，明确自变量取值范围的划分依据；借助“抽象—列式—应用”的完整流程，强化分类讨论与建模思想，提升学生用一次函数解决实际问题的能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：23.4实际问题与一次函数（第1课时）一、建模步骤 二、分段函数模型 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．出租车收费标准：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里加收1.5元，设行驶路程公里，总费用y元，函数关系式为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克）不超过千克千克以上但不超过千克 千克以上每千克价格元元元
若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 答案： 3．今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 解：（1）根据题意，得当时，设该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． 将点和点的坐标代入 得， 解得 当时，该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． （2）当时，得． 解得． 答：该用户5月用了14.5吨水． 选做题： 4．以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（ ） 用水类别现行水价拟调整水价第一阶梯：月用水量每户第二阶梯：月用水量每户超过部分
A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过吨时，水价为每吨元，超过吨时，超过的部分按每吨元收费．该市某户居民月份用水吨，应交水费元． (1)求与的函数关系式； (2)如果该户居民月交水费元，那么该户居民 月用了多少吨水？ 解：（1）当时，， 当时，， 综上所述，； （2）∵， ∴该户居民12月的用水量超过6吨， 在中，当时，，解得， 答：该户居民 月用了11吨水．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 答案：C 2．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 答案： 3．为了增强市民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，按3.2元收费；每户每月用水量超过时，超过的部分按3.8元收费．设每户每月用水量为，应缴费y元． (1)写出每月用水量不超过和超过时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数． (2)已知某户5月份的用水量为，求该户5月份的水费． 解：（1）当时，，是一次函数； 当时，，即，是一次函数． （2）把代入中， 得（元）． 故该户月份的水费是元． 选做题： 4．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档户年用气量单价/（元）第一档（不超过300的部分）2.73第二档（超过300，不超过600的部分）3.28第三档（超过600的部分）3.82
(1)写出用气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 解：（1）由表格可知， 当时，； 当时，； 当时，． 所以y与x的函数关系式为； （2）当时，， 即该户这一年的用气费为1147元； （3）第一档的最高费用为（元）， 第二档的最高费用为（元）， 因为， 所以该户的年用气量属于第二档， 所以， 解得：． 答：该户去年一年的用气量为．
教学反思 本课通过阶梯价格案例，学生基本掌握了分段函数的建模方法，能写出简单分段函数的解析式并求函数值．但部分学生对自变量取值范围的划分仍易出错，对分段函数图象的绘制不够规范．后续需增加生活情境类练习，强化“情境分析—分段建模”的训练；同时，引导学生关注分段点的意义，深化对自变量取值范围的理解，提升建模的严谨性与规范性．
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