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第6章第1节 正弦、余弦、正切、余切
题型1 任意角的概念 题型2 终边相同的角
题型3 终边相同的角（角度制） 题型4 终边相同的角（弧度制）
题型5 象限角、轴线角 题型6 弧度制
题型7 弧长公式 题型8 扇形面积公式
题型9 任意角的三角函数的定义 题型10 三角函数线
题型11 三角函数值的符号 题型12 运用诱导公式化简求值
题型13 同角三角函数间的基本关系 题型14 同角正弦、余弦的平方和为1
题型15 同角正弦、余弦的商为正切
▉题型1 任意角的概念
【知识点的认识】
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．
1．若将钟表调慢5min，则分针转动角为（　　）
A．60° B．﹣60° C．30° D．﹣30°
2．已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于（　　）
A．﹣60° B．﹣30° C．60° D．30°
3．下列说法正确的是（　　）
A．小于90°的角是锐角
B．钝角是第二象限的角
C．第二象限的角大于第一象限的角
D．若角α与角β的终边相同，那么α＝β
4．930°＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 终边相同的角
【知识点的认识】
终边相同的角：
k 360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k 360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k 360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+270°，k∈Z}
（多选）5．下列说法正确的是（　　）
A．﹣120°化成弧度是
B．化成角度是18°
C．1°化成弧度是180rad
D．﹣330°与750°的终边相同
▉题型3 终边相同的角（角度制）
【知识点的认识】
终边相同的角：
k 360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k 360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k 360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+270°，k∈Z}
6．与﹣465°角终边相同的角的集合是（　　）
A．{α|α＝465°+k 360°，k∈Z} B．{α|α＝105°+k 360°，k∈Z}
C．{α|α＝255°+k 360°，k∈Z} D．{α|α＝75°+k 360°，k∈Z}
7．﹣1650°的终边在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
▉题型4 终边相同的角（弧度制）
【知识点的认识】
终边相同的角：
2kπ+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是2π的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
8．下列各角中，与终边相同的角是（　　）
A． B． C． D．
9．若角α与角的终边相同，则α可能是（　　）
A． B． C． D．
▉题型5 象限角、轴线角
【知识点的认识】
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k 360°，k∈Z}．
10．“α是锐角”是“α是第一象限角”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
11．已知α是第一象限角，那么是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
12．3888°的终边落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）13．下列说法正确的是（　　）
A．若α是第四象限角，则是第二或第四象限角
B．经过30分钟，钟表的分针转过﹣π弧度
C．若角α终边上一点P的坐标为（4t，﹣3t）（其中t＞0），则
D．终边在直线y＝﹣x上的角的集合是
▉题型6 弧度制
【知识点的认识】
弧度制的有关概念与公式
1.1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
14．已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为（　　）
A．12 B．1.2 C．16 D．1.6
15．把化成度的结果为（　　）
A．85° B．105° C．165° D．215°
16．换算：180°＝　 rad．
（多选）17．下列转化结果正确的是（　　）
A．90°化成弧度是
B．化成角度是﹣60°
C．﹣120°化成弧度是
D．化成角度是18°
18．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC＝CD，设∠COB＝θ；
（1）当时，求四边形ABCD的面积．
（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
▉题型7 弧长公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slrr2α．
19．已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为（　　）
A． B． C．60 D．120
20．在单位圆中，长度为的弦所对的劣弧长是（　　）
A． B． C． D．
21．一个扇形的周长数值是半径数值的3倍，则这个扇形的圆心角为 ．
▉题型8 扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slr＝r2α．
22．某企业计划做一个企业发展史的铭牌，铭牌的截面是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成）．已知OA＝2OB＝4，该扇形环面的周长为22，则该扇形环面的面积是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
23．已知一个扇形的圆心角为30°，所对的弧长为，则该扇形的面积为 ．
24．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积；
（3）若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
25．截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为942cm2，则这个扇形钢板的半径约为（　　）（参考数据：π≈3.14）
A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm
▉题型9 任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
26．已知函数f（x）＝a2x﹣6+3（a＞0且a≠1）的图像经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（　　）
A． B．0 C．7 D．
27．已知点P（m，﹣1）在角α的终边上，若，则（　　）
A．m＝3 B．α为第二象限的角
C． D．
28．“tanx＝1”是“”成立的（　　）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
29．已知角α终边上一点M的坐标为，则sinα等于（　　）
A． B． C． D．
30．如图所示，两动点P，Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上从点A（1，0）处同时出发做匀速圆周运动．已知点P按逆时针方向每秒钟转α弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转β弧度（0＜α＜β＜π），且P，Q两点在第2秒时第一次相遇于点（，）处，则它们从出发后到第2次相遇时，点P走过的总路程为（　　）
A． B． C． D．
31．点P从（0，﹣1）出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为（　　）
A． B． C． D．
32．已知点在角θ的终边上，且，则θ的值为（　　）
A． B． C． D．
33．若cosα＜0且tanα＞0，则角α所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
34．如图，以Ox为始边作角α与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为，若OP⊥OQ，求P的坐标为 ．
35．已知，，则x等于 ．（用反三角函数表示）
36．如图，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P．且P的横坐标为，半径OP绕原点O逆时针旋转后与单位圆交于点Q，Q关于x轴的对称点为Q′，角β的终边在OQ′上，则sinβ＝ ．
37．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是 　
38．下列语句中，正确的有 ．
①P（tanα，cosα）在第三象限，则α是第二象限角；
②已知扇形OAB的面积为4，圆心角（正角）的弧度数为，则扇形的周长为10；
③若角α的终边经过点（a，2a）（a≠0），则；
④．
39．已知角α的终边经过点P（sin30°，1）．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）求的值．
▉题型10 三角函数线
【知识点的认识】
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
40．下列不等式中，正确的有（　　）
①sin3＞sin4；②cos（）；③cos2＜cos1；④sin1＞sin1.5
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
41．已知α，β均是第二象限角，且cosα＞cosβ，则（　　）
A．α＜β B．sinα＜sinβ C．tanα＜tanβ D．|tanα|＜sinα
42．若a＝sin147°，b＝cos（﹣55°），c＝tan227°，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a
43．把sin，sin，cos，tan由小到大排列为　 ．
44．下列不等关系不成立的是（　　）
A．tan1＞sin1＞cos1 B．sin2＞cos2＞tan2
C．tan3＞sin3＞cos3 D．tan4＞cos4＞sin4
45．设sinα＞0，cosα＜0，且，则的取值范围为 ．
▉题型11 三角函数值的符号
【知识点的认识】
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
46．“角θ为第二象限角”是“sinθcosθ＜0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
47．在下列三角函数值中，为负数的是（　　）
A．sin3 B． C．cos（﹣2） D．tan（﹣2）
48．如果θ是第一象限角，则（　　）
A．sin2θ＞0且tan2θ＞0 B．且tan2θ＞0
C．sin2θ＞0且 D．且
49．已知sinθ＜0，tanθ＜0，则θ为第 　 　 象限角．
▉题型12 运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
50．cos（　　）
A． B． C． D．
51．已知，求 　 ．
52．已知函数f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）α＜0，求sinα cosα，sinα﹣cosα的值．
53．已知．
（1）化简f（α）；
（2）若，，且0＜α＜π，0＜β＜π，求f（β）．
54．已知tanα＝﹣2，则（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
▉题型13 同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos _α ，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin _α ，cos（π+α）＝﹣cos _α ，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _α ，cos（﹣α）＝cos _α ．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos _α ．
公式五：sin（α）＝cosα ，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cos α ，cos（α）＝﹣sin α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cos αcosβ +sin αsinβ ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cos αcosβ ﹣sin αsinβ ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sin αcosβ +cos αsinβ ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sin αcosβ ﹣cos αsinβ ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin _α cos _α ；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α ＝2cos2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ；
（3）T2α：tan 2α．
55．已知，则sinα cosα＝ ．
（多选）56．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
▉题型14 同角正弦、余弦的平方和为1
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
同角正弦和余弦的平方和为1．
57．已知，，则实数m的值构成的集合为　 ．
58．已知sinαcosα，α∈（0，π），则sinα﹣cosα＝（　　）
A． B． C． D．
59．已知sinθ，cosθ是方程3x2﹣2x+m＝0的两个实数解．
（1）求m的值；
（2）若θ为第二象限角，求cosθ﹣sinθ的值．
▉题型15 同角正弦、余弦的商为正切
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（2）商数关系：tanα．
同角正弦和余弦的商为正切．
60．已知．求：
（1）；
（2）sin2α﹣3sinαcosα+1的值．第6章第1节 正弦、余弦、正切、余切
题型1 任意角的概念 题型2 终边相同的角
题型3 终边相同的角（角度制） 题型4 终边相同的角（弧度制）
题型5 象限角、轴线角 题型6 弧度制
题型7 弧长公式 题型8 扇形面积公式
题型9 任意角的三角函数的定义 题型10 三角函数线
题型11 三角函数值的符号 题型12 运用诱导公式化简求值
题型13 同角三角函数间的基本关系 题型14 同角正弦、余弦的平方和为1
题型15 同角正弦、余弦的商为正切
▉题型1 任意角的概念
【知识点的认识】
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．
1．若将钟表调慢5min，则分针转动角为（　　）
A．60° B．﹣60° C．30° D．﹣30°
【答案】C
【解答】解：分针拨慢5分钟，转过的角为．
故选：C．
2．已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于（　　）
A．﹣60° B．﹣30° C．60° D．30°
【答案】A
【解答】解：∵点P在圆O上按顺时针方向旋转，
则OP转过的角为负角，又每秒转30°，
∴2秒钟后，OP转过的角等于2×（﹣30°）＝﹣60°．
故选：A．
3．下列说法正确的是（　　）
A．小于90°的角是锐角
B．钝角是第二象限的角
C．第二象限的角大于第一象限的角
D．若角α与角β的终边相同，那么α＝β
【答案】B
【解答】解：小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，A不正确．
钝角是第二象限的角，正确；
第二象限的角大于第一象限的角，例如：150°是第二象限角，390°是第一象限角，显然判断是不正确的．C是不正确的．
若角α与角β的终边相同，那么α＝β+2kπ，k∈Z，所以D不正确．
故选：B．
4．930°＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：930°＝720°+210°．
故选：D．
▉题型2 终边相同的角
【知识点的认识】
终边相同的角：
k 360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k 360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k 360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+270°，k∈Z}
（多选）5．下列说法正确的是（　　）
A．﹣120°化成弧度是
B．化成角度是18°
C．1°化成弧度是180rad
D．﹣330°与750°的终边相同
【答案】ABD
【解答】解：A：1°对应的弧度为rad，所以﹣120°对应的弧度为，故A正确；
B：1rad对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确；
C：1°对应的弧度为rad，故C错误；
D：﹣330°＝﹣360°+30°，750°＝2×360°+30°，所以这两个角的终边相同，故D正确．
故选：ABD．
▉题型3 终边相同的角（角度制）
【知识点的认识】
终边相同的角：
k 360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k 360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k 360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k 360°+270°，k∈Z}
6．与﹣465°角终边相同的角的集合是（　　）
A．{α|α＝465°+k 360°，k∈Z} B．{α|α＝105°+k 360°，k∈Z}
C．{α|α＝255°+k 360°，k∈Z} D．{α|α＝75°+k 360°，k∈Z}
【答案】C
【解答】解：因为﹣465°＝﹣2×360°+255°，
故与﹣465°角终边相同的角的集合可表示为{α|α＝255°+k 360°，k∈Z}，C项正确．
故选：C．
7．﹣1650°的终边在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：因为﹣1650°＝﹣5×360°+150°，
又因为150°为第二象限角，即﹣1650°的终边在第二象限．
故选：B．
▉题型4 终边相同的角（弧度制）
【知识点的认识】
终边相同的角：
2kπ+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是2π的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
8．下列各角中，与终边相同的角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：与终边相同的角为α，k∈Z．
当k＝3时，α．
故选：B．
9．若角α与角的终边相同，则α可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵，
与角相差2π的﹣2倍，
∴α可能是．
故选：D．
▉题型5 象限角、轴线角
【知识点的认识】
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k 360°，k∈Z}．
10．“α是锐角”是“α是第一象限角”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为α是锐角，故0°＜α＜90°，则α一定是第一象限角，
若α是第一象限角，不妨取﹣330°，则α不是锐角，
所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．
故选：A．
11．已知α是第一象限角，那么是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
【答案】D
【解答】解：∵α的取值范围（2kπ，2kπ），（k∈Z）
∴的取值范围是（kπ，kπ），（k∈Z）
分类讨论
①当k＝2i+1 （其中i∈Z）时
的取值范围是（π+2iπ，2iπ），即属于第三象限角．
②当k＝2i（其中i∈Z）时
的取值范围是（2iπ，2iπ），即属于第一象限角．
故选：D．
12．3888°的终边落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：因为3888°＝288°+10×360°，又因为288°的终边落在第四象限，
所以3888°的终边落在第四象限．
故选：D．
（多选）13．下列说法正确的是（　　）
A．若α是第四象限角，则是第二或第四象限角
B．经过30分钟，钟表的分针转过﹣π弧度
C．若角α终边上一点P的坐标为（4t，﹣3t）（其中t＞0），则
D．终边在直线y＝﹣x上的角的集合是
【答案】ABC
【解答】解：A选项，α是第四象限角，故，
解得，
当k为奇数时，为第二象限角，
当k为偶数时，为第四象限角，
则是第二或第四象限角，A正确；
B选项，钟表的分针顺时针转动，
经过30分钟，钟表的分针转过半圈，即﹣π弧度，B正确；
C选项，若角α终边上一点P的坐标为（4t，﹣3t）（其中t＞0），
则，C正确；
D选项，终边为y＝﹣x位于第四象限的部分时，角的集合是，
终边为y＝﹣x位于第二象限的部分时，角的集合是，
故终边在直线y＝﹣x上的角的集合是或，D错误．
故选：ABC．
▉题型6 弧度制
【知识点的认识】
弧度制的有关概念与公式
1.1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
14．已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为（　　）
A．12 B．1.2 C．16 D．1.6
【答案】B
【解答】解：设该弧所对的圆心角的弧度数为α，
则120α＝144，解得α＝1.2．
故选：B．
15．把化成度的结果为（　　）
A．85° B．105° C．165° D．215°
【答案】C
【解答】解：，
所以化成度的结果为165°．
故选：C．
16．换算：180°＝　π　 rad．
【答案】π
【解答】解：因为180°所对应的弧长为πr，
弧长为πr对应圆心角为，
所以S＝4πR2＝12πrad．
故答案为：π．
（多选）17．下列转化结果正确的是（　　）
A．90°化成弧度是
B．化成角度是﹣60°
C．﹣120°化成弧度是
D．化成角度是18°
【答案】AD
【解答】解：因为，所以选项A正确；
因为120°，所以选项B不正确；
因为，所以选项C不正确；
因为，所以选项D正确．
故选：AD．
18．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC＝CD，设∠COB＝θ；
（1）当时，求四边形ABCD的面积．
（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OD，则∠COD，∠AODπ，∴四边形ABCD的面积为21×1×sin1×1×sinπ；
（2）由题意，BC＝CD2sin，DA2cosθ，
∴l＝2+4sin2cosθ（0＜θ），
令t＝sin，则（0＜t），l＝﹣4（t）2+5，
∴t时，即θ，l的最大值为5．
▉题型7 弧长公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slrr2α．
19．已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为（　　）
A． B． C．60 D．120
【答案】B
【解答】解：由题意，扇形的半径为6，圆心角为20°，即圆心角为，
所以该扇形的弧长为．
故选：B．
20．在单位圆中，长度为的弦所对的劣弧长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：单位圆O中，弦AB长度为为AB中点，
则有，
由，得，
弦AB所对的劣弧，所对的圆心角为∠AOB，则，
由圆的半径为1，所以弦AB所对的劣弧长等于．
故选：A．
21．一个扇形的周长数值是半径数值的3倍，则这个扇形的圆心角为 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角为α（弧度制），弧长为l，
扇形的周长数值是半径数值的3倍，
则C＝3r，
形的周长C＝l+2r，即C＝αr+2r＝r（α+2），
故α+2＝3，解得α＝1．
故答案为：1．
▉题型8 扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slr＝r2α．
22．某企业计划做一个企业发展史的铭牌，铭牌的截面是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成）．已知OA＝2OB＝4，该扇形环面的周长为22，则该扇形环面的面积是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】D
【解答】解：设扇形环面的圆心角为θ，
已知OA＝4，OB＝2，
扇形环面的周长由两段弧长与两段线段长组成：
外弧AD长：OA θ＝4θ，
内弧BC长：OB θ＝2θ，
线段AB与CD长：OA﹣OB＝4﹣2＝2，两段共2×2＝4，
周长满足：4θ+2θ+4＝22，
化简得6θ＝18，解得θ＝3，
大扇形面积：，
小扇形面积：，
故扇形环面面积：24﹣6＝18．
故选：D．
23．已知一个扇形的圆心角为30°，所对的弧长为，则该扇形的面积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角为30°，
则由已知可得，所以r＝2，
则扇形面积为．
故答案为：．
24．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积；
（3）若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】（1）；
（2）；
（3）α＝2．
【解答】解：（1）由题意扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l，
可得；
（2）设弓形面积为S弓，由题知，
可得；
（3）因为形的周长是20cm，
可得l+2R＝20，
所以．
所以当R＝5时，S取得最大值25cm2，
此时l＝10，α＝2．
25．截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为942cm2，则这个扇形钢板的半径约为（　　）（参考数据：π≈3.14）
A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm
【答案】C
【解答】解：由已知可得扇形的圆心角为，设扇形的半径为r，
因为扇形的面积为S，且π＝3.14，
解得r＝30cm．
故选：C．
▉题型9 任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
26．已知函数f（x）＝a2x﹣6+3（a＞0且a≠1）的图像经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（　　）
A． B．0 C．7 D．
【答案】D
【解答】解：因为f（x）＝a2x﹣6+3（a＞0且a≠1）的图像经过定点A，可得A（3，4），
又点A在角θ的终边上，可得tanθ，
所以．
故选：D．
27．已知点P（m，﹣1）在角α的终边上，若，则（　　）
A．m＝3 B．α为第二象限的角
C． D．
【答案】D
【解答】解：点P（m，﹣1）在角α的终边上，，
由题设，可得m＝﹣3，故A错误；
∴P（﹣3，﹣1），则α为第三象限的角，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：D．
28．“tanx＝1”是“”成立的（　　）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解答】解：tanx＝1推不出，例如x还可以取，
由可以推出tanx＝1，
所以“tanx＝1”是“”成立的必要条件．
故选：B．
29．已知角α终边上一点M的坐标为，则sinα等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由三角函数的定义知，sinα．
故选：D．
30．如图所示，两动点P，Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上从点A（1，0）处同时出发做匀速圆周运动．已知点P按逆时针方向每秒钟转α弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转β弧度（0＜α＜β＜π），且P，Q两点在第2秒时第一次相遇于点（，）处，则它们从出发后到第2次相遇时，点P走过的总路程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设经过t秒，第二次相遇，
点（，）对应的圆心角为，
则有，则α，βπ，
则有tπ×t＝4π，解可得t＝4，
则P走过的总路程为41．
故选：C．
31．点P从（0，﹣1）出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：点P从（0，﹣1）出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点Q，
则点Q的坐标为，
即点Q的坐标为．
故选：D．
32．已知点在角θ的终边上，且，则θ的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为点在第一象限，
根据三角函数的定义可知，，且，可得．
故选：B．
33．若cosα＜0且tanα＞0，则角α所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：cosα＜0且tanα＞0，则角α所在的象限是第三象限．
故选：C．
34．如图，以Ox为始边作角α与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为，若OP⊥OQ，求P的坐标为 　　 ．
【答案】
【解答】解：因为点Q在单位圆上且，所以，得．
由三角函数定义知，，
由OP⊥OQ，得，
故．
故答案为：．
35．已知，，则x等于 　　 ．（用反三角函数表示）
【答案】．
【解答】解：由，，
得x＝π+arcsin．
故答案为：．
36．如图，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P．且P的横坐标为，半径OP绕原点O逆时针旋转后与单位圆交于点Q，Q关于x轴的对称点为Q′，角β的终边在OQ′上，则sinβ＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为角α的终边与单位圆在第一象限交于点P，P的横坐标为，
所以P的坐标为，，
由因为半径OP绕原点O逆时针旋转后与单位圆交于点Q，
所以以OQ为终边的角大小为，
Q关于x轴的对称点为Q′，角β的终边在OQ′上，
所以角β的终边构成的角为，
，
．
故答案为：．
37．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是 　　
【答案】．
【解答】解：直线yx的倾斜角是，
所以终边落在直线yx上的角的取值集合为．
故答案为：．
38．下列语句中，正确的有　①②　 ．
①P（tanα，cosα）在第三象限，则α是第二象限角；
②已知扇形OAB的面积为4，圆心角（正角）的弧度数为，则扇形的周长为10；
③若角α的终边经过点（a，2a）（a≠0），则；
④．
【答案】①②．
【解答】解：命题①P（tanα，cosα）在第三象限，则，则α为第二象限角，正确；
命题②：设扇形半径为r，则有，可得r＝4，则扇形的周长为，正确；
命题③：若角α的终边经过点（a，2a）（a≠0），根据任意角三角函数定义有：
（符号取决于参数a的符号），错误；
命题④：，错误．
故答案为：①②．
39．已知角α的终边经过点P（sin30°，1）．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解答】解：（1）由，故角α的终边经过点，
所以，
；
（2）．
▉题型10 三角函数线
【知识点的认识】
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
40．下列不等式中，正确的有（　　）
①sin3＞sin4；②cos（）；③cos2＜cos1；④sin1＞sin1.5
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【解答】解：由于，且函数y＝sinx在区间内单调递减，则sin3＞sin4，①正确；
由于，，且函数y＝cosx在区间[0，π]内单调递减，则，②错误；
由于0＜1＜2＜π，则cos2＜cos1，③正确；
由于，且函数y＝sinx在区间内单调递增，则sin1＜sin1.5，④错误，
所以正确的有①③．
故答案为：B．
41．已知α，β均是第二象限角，且cosα＞cosβ，则（　　）
A．α＜β B．sinα＜sinβ C．tanα＜tanβ D．|tanα|＜sinα
【答案】C
【解答】解：当α＝120°，β＝150°时，，，
故sinα＞sinβ，|tanα|＞sinα，BD错误；
当α＝480°，β＝150°时，，此时α＞β，故A错误；
因为α，β均为第二象限角，且cosα＞cosβ，则0＞cosα＞cosβ，cos2α＜cos2β，
所以1﹣sin2α 1﹣sin2β，sin2α sin2β，sinα＞sinβ＞0，又，
故，故C正确．
故选：C．
42．若a＝sin147°，b＝cos（﹣55°），c＝tan227°，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【解答】解：由题意可得a＝sin147°＝sin（90°+57°）＝cos57°，
b＝cos（﹣55°）＝cos55°＞cos57°＝a，所以b＞a，
又，
由于0＜cos47°＜1，故，即b＜c，
故a＜b＜c．
故选：C．
43．把sin，sin，cos，tan由小到大排列为　　 ．
【答案】
【解答】解：作出单位圆，如图：
∠M1OP1，∠M2OP2，∠AOP3，
∴sinM1P1，sinM2P2，cosOM3，tanAT，
结合单位圆得到．
故答案为：．
44．下列不等关系不成立的是（　　）
A．tan1＞sin1＞cos1 B．sin2＞cos2＞tan2
C．tan3＞sin3＞cos3 D．tan4＞cos4＞sin4
【答案】C
【解答】解：根据单位圆中三角函数线的定义可知：
tan1＞1＞sin1＞cos1，
sin2＞cos2＞tan2，
sin3＞tan3＞cos3，
tan4＞cos4＞sin4，
∴ABD选项正确，C选项错误．
故选：C．
45．设sinα＞0，cosα＜0，且，则的取值范围为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：一方面：首先sinα＞0，cosα＜0，则，
从而，
同时另一方面：注意到，从而我们有，
在这里把两个集合取交集就有．
故答案为：．
▉题型11 三角函数值的符号
【知识点的认识】
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
46．“角θ为第二象限角”是“sinθcosθ＜0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：sinθcosθ＜0，知θ为第二或第四象限角，判断必要性不成立，
θ为第二象限角，则sinθ＞0，cosθ＜0，sinθcosθ＜0，判断充分性成立；
∴角θ为第二象限角是sinθcosθ＜0的充分不必要条件．
故选：A．
47．在下列三角函数值中，为负数的是（　　）
A．sin3 B． C．cos（﹣2） D．tan（﹣2）
【答案】C
【解答】解：，则sin3＞0，故A错误；
，则tan0，故B错误；
，则cos（﹣2）＝cos2＜0，故C正确；
，
则tan（﹣2）＝﹣tan2＞0，故D错误．
故选：C．
48．如果θ是第一象限角，则（　　）
A．sin2θ＞0且tan2θ＞0 B．且tan2θ＞0
C．sin2θ＞0且 D．且
【答案】C
【解答】解：因为θ是第一象限角，则，k∈Z，
所以，k∈Z，
所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D；
又4kπ＜2θ＜π+4kπ，k∈Z，
所以2θ的终边在第一、第二象限或在y轴正半轴，则sin2θ＞0，
当2θ的终边在y轴正半轴时tan2θ无意义，故排除A．
故选：C．
49．已知sinθ＜0，tanθ＜0，则θ为第 　四　 象限角．
【答案】四．
【解答】解：由正弦小于0，得到θ为第三，第四象限角或终边在y轴负半轴上，
由正切小于0，得到θ为第二，第四象限角，
故θ为第四象限角．
故答案为：四．
▉题型12 运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
50．cos（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：coscos（π）＝﹣cos
故选：C．
51．已知，求 　　 ．
【答案】．
【解答】解：cosα，
cos（）．
故答案为：．
52．已知函数f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）α＜0，求sinα cosα，sinα﹣cosα的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）f（α）sinα+cosαsin（α）．
（2）由，平方可得，
即，∴sinα cosα，∵（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα，
又，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα．
53．已知．
（1）化简f（α）；
（2）若，，且0＜α＜π，0＜β＜π，求f（β）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）cosα；
（2）若，，
可得cosα，cos（α﹣β），
因为0＜α＜π，所以sinα，
由cosα0可知，0，
又因为0＜β＜π，
所以﹣π＜α﹣β，
又因为cos（α﹣β）0，所以﹣π＜α﹣β，
所以sin（α﹣β），
所以f（β）＝cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）（）．
54．已知tanα＝﹣2，则（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【答案】C
【解答】解：因为tanα＝﹣2，
则原式．
故选：C．
▉题型13 同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos _α ，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin _α ，cos（π+α）＝﹣cos _α ，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _α ，cos（﹣α）＝cos _α ．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos _α ．
公式五：sin（α）＝cosα ，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cos α ，cos（α）＝﹣sin α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cos αcosβ +sin αsinβ ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cos αcosβ ﹣sin αsinβ ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sin αcosβ +cos αsinβ ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sin αcosβ ﹣cos αsinβ ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin _α cos _α ；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α ＝2cos2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ；
（3）T2α：tan 2α．
55．已知，则sinα cosα＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为tan，
所以
．
故答案为：．
（多选）56．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解答】解：因为①，
所以，则，
因为θ∈（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，
所以，所以，
所以②，故A错误；
①②联立可得，，故B正确；
所以，故C错误；，故D正确．
故选：BD．
▉题型14 同角正弦、余弦的平方和为1
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
同角正弦和余弦的平方和为1．
57．已知，，则实数m的值构成的集合为　{﹣1，2}　 ．
【答案】{﹣1，2}．
【解答】解：由sin2α+cos2α＝1可得：
，
方程两边同时乘以（2m+1）2去分母得：
（m+2）2+（﹣m﹣1）2＝（2m+1）2，整理得：m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1，
当m＝2时，，，满足三角函数的取值范围，
当m＝﹣1时，，，也满足三角函数的取值范围，
故实数m的值构成的集合为{﹣1，2}．
故答案为：{﹣1，2}．
58．已知sinαcosα，α∈（0，π），则sinα﹣cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：sinαcosα，α∈（0，π），
所以sinα＞0，cosα＜0，
所以sinα﹣cosα＞0，
则（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1，
所以sinα﹣cosα．
故选：A．
59．已知sinθ，cosθ是方程3x2﹣2x+m＝0的两个实数解．
（1）求m的值；
（2）若θ为第二象限角，求cosθ﹣sinθ的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵sinθ，cosθ是方程3x2﹣2x+m＝0的两个实数解，
∴，由①两边平方得：sinθcosθ，
代入②，则，即m，满足③，
则m；
（2）∵θ为第二象限角，
∴cosθ﹣sinθ．
▉题型15 同角正弦、余弦的商为正切
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（2）商数关系：tanα．
同角正弦和余弦的商为正切．
60．已知．求：
（1）；
（2）sin2α﹣3sinαcosα+1的值．
【答案】（1）；
（2）2．
【解答】解：（1）；
（2）sin2α﹣3sinαcosα+1＝sin2α﹣3sinαcosα+（sin2α+cos2α）
．

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