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第6章第2节 常用三角公式
题型1 两角和与差的三角函数 题型2 求两角和与差的三角函数值
题型3 两角和与差的三角函数的逆用 题型4 二倍角的三角函数
题型5 求二倍角的三角函数值 题型6 二倍角的三角函数的逆用
题型7 半角的三角函数 题型8 三角函数的和差化积公式
题型9 三角函数的恒等变换及化简求值 题型10 三角函数中的恒等变换应用
▉题型1 两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
1．已知α，β∈（0，π），sin（α﹣β），，则α+β＝（　　）
A．π B．π C．π D．π或π
【答案】B
【解答】解：∵α，β∈（0，π），，
∴0＜α，β＜π或0＜β，α＜π，
①当0＜α，β＜π时，则﹣π＜α﹣β＜0，sin（α﹣β）＜0，不符合题意，
②当0＜β，α＜π时，则0＜α﹣β＜π，sin（α﹣β）＞0，符合题意，
∵sin（α﹣β），，
∴sinαcosβ﹣cosαsinβ，，
∴sinαcosβ，cosαsinβ，
∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
∵0＜β，α＜π，∴α+β，
∴α+β，
故选：B．
2．已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若且，求cos2α的值．
【答案】（1）T＝π，单调递增区间为（k∈Z）；
（2）．
【解答】解：（1）因为f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2xsin（2x），
所以T＝π，
令（k∈Z），解得（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；
（2）由（1）可得，所以，
因为，所以，
所以cos（2），
所以
．
▉题型2 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
3．已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，则α∈（，），所以sin（α）＞0，
且sin（α），
而sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin．
故选：A．
4．α终边上一点坐标为（﹣3，4），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意可得x＝﹣3，y＝4，则r＝5，
所以，
则．
故选：D．
5．已知0＜α＜π，，且tanα＝2，cos（α+β），则tanβ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为0＜α＜π，，所以，
因为，所以．，
因为，所以，所以，，
所以tan（α+β﹣α），
则．
故选：A．
6．设函数，若f（x）的图象经过点（0，1），且f（x）在（0，π）上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意知f（x）sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ），
根据f（x）的图象经过点（0，1），可得，即，
由，即φ，可得，
所以，可得，
当x∈（0，π）时，结合ω＞0，可得，
由于f（x）在（0，π）上恰有2个零点，故，
解得，所以实数ω的取值范围是．
故选：C．
7．下列等式恒成立的是（　　）
A．sin（α+β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
B．sin（α﹣β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
C．cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
D．cos（α﹣β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
【答案】C
【解答】解：对于A选项，根据两角和的正弦公式得sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，故A选项错误；
对于B选项，根据两角差的正弦公式得sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，故B选项错误；
对于C选项，根据两角和的余弦公式得cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故C选项正确；
对于D选项，根据两角差的余弦公式得cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，故D选项错误．
故选：C．
8．已知α，β都是锐角，，，则β＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，且α，β都是锐角，
则0＜α+β＜π，又cosα，cos（α+β），则sinα＝sin（α+β），
所以cosβ，则β．
故答案为：．
9．cos52.5°cos7.5°﹣sin52.5°sin7.5°的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由cos52.5°cos7.5°﹣sin52.5°sin7.5°＝cos60°．
故答案为：．
10．已知，0＜β＜π，sinα，cosβ，则α﹣β＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，，所以，所以，
因为，0＜β＜π，所以，所以，
故α﹣β∈（﹣π，0），，
故．
故答案为：．
11．已知，且sinx+cosy＝1，，则sin（x+y）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由sinx+cosy＝1得，sin2x+cos2y+2sinxcosy＝1，
由得，cos2x+sin2y+2cosxsiny＝2，
两式相加可得2（sinxcosy+cosxsiny）＝1，即．
故答案为：．
12．已知，，则tanα tanβ的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得cosαcosβ﹣sinαsinβ，cosαcosβ+sinαsinβ，
两式相加，可得2cosαcosβ＝1，即cosαcosβ，
两式相减，可得﹣2sinαsinβ，即sinαsinβ，
所以tanα tanβ．
故答案为：．
13．已知α为钝角，且tan（α+β）＝3，tanβ＝﹣2，则角α等于 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为tanβ＝﹣2，α为钝角，
则tan（α+β）3，
解得，tanα＝﹣1，
则．
故答案为：．
（多选）14．已知，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则tan（α+β）＝2
B．若α＝2β，则
C．tan（α﹣β）的最大值为
D．
【答案】ABD
【解答】解：已知，
对于A，若，则tanα＝1，tanβ，
∴，A正确；
对于B，若α＝2β，则，
由得，tanβ＞0，故，解得，
∴，，故，故B正确；
对于C，∵tanα＝3tanβ，α，β∈（0，），
∴，
当且仅当3tanβ，即时等号成立，故C错误；
对于D，由tanα＝3tanβ得，即sinαcosβ＝3sinβcosα．
∴，故D正确．
故选：ABD．
（多选）15．下列式子运算正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1
【答案】ACD
【解答】解：A：sin15°+cos15°（）sin60°，故A正确；
B：cos75°＝cos（45°+30°），故B错误；
C：由，得，
所以，故C正确；
D：∵，
∴tan22°+tan23°＝1﹣tan22°tan23°，即tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1，故D正确．
故选：ACD．
16．已知角α顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求；
（2）求的值；
（3）若角β是三角形内角，且，求sin（2α﹣β）的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或1．
【解答】解：（1）点P到原点的距离为r＝1，
所以，；
（2）tanα＝﹣2，
所以，
；
（3）因为β是三角形内角，且，
所以，
由（1）知：，
所以，
当时，sin（2α﹣β）＝sin2αcosβ﹣cos2αsinβ，
；
当时，sin（2α﹣β）＝sin2αcosβ﹣cos2αsinβ，
．
17．已知f（x）
（1）求f（x）的解析式．
（2）若，求tanx的值．
（3）若函数，如图A，B是直线y与曲线y＝g（x）的两个交点，若|AB|，求g（x）的单调递减区间．
【答案】（1）；
（2）tanx＝2；
（3），．
【解答】解：（1）依题意，，
由sinxcosx≠0得，k∈Z，
所以f（x）的解析式为．
（2）由（1）及，得，则，
两边平方得4sin2x+4sinxcosx+cos2x＝5﹣5sin2x+5cos2x，
整理得（sinx﹣2cosx）2＝0，因此sinx＝2cosx，所以tanx＝2．
（3）由，得，，k1，k∈Z，
由，得，因此，解得ω＝2，，
由，k∈Z，解得，k∈Z，
所以g（x）的单调递减区间为，．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、β（β＞α）的终边分别与单位圆交于A，B两点，点．
（1）若点，求cos（α﹣β）cos2β+sin（β﹣α）sin2β的值；
（2）若，求sinβ．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为α，β是锐角，且在单位圆上，
由三角函数的定义，可得，
所以cos（α﹣β）cos2β+sin（β﹣α）sin2β
＝cos（α﹣β）cos2β﹣sin（α﹣β）sin2β＝cos（α+β），
结合，
可知cos（α﹣β）cos2β+sin（β﹣α）sin2β；
（2）因为且，
所以，即，
可得，且，
所以sinβ＝sin[α+（β﹣α）]＝sinαcos（β﹣α）+cosαsin（β﹣α）
．
19．（1）化简：；
（2）已知，cos（α﹣β），sin（α+β），求sin2α的值．
【答案】（1）tanα；（2）．
【解答】解：（1）tanα．
（2）因为，
所以0＜α﹣β，π＜α+β，
又cos（α﹣β），sin（α+β），
所以sin（α﹣β），cos（α+β），
所以sin2α＝sin[（α﹣β）+（α+β）]＝sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）（）（）．
▉题型3 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
20．cos105°cos45°+cos15°sin45°＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：cos105°cos45°+cos15°sin45°
＝﹣sin15°cos45°+cos15°sin45°＝sin45°cos15°﹣cos45°sin15°
．
故选：C．
21．若锐角α满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由两边平方得1﹣2sinαcosα，
即2sinαcosα，即sin2α，
sin2α．
故选：A．
22．sin14°+sin46°﹣cos16°的值为 　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：sin14°+sin46°﹣cos16°＝sin（30°﹣16°）+sin（30°+16°）﹣cos16°
＝sin30°cos16°﹣sin16°cos30°+sin30°cos16°+sin16°cos30°﹣cos16°
＝2sin30°cos16°﹣cos16°＝0．
故答案为：0．
23．已知， 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以，
则．
故答案为：．
（多选）24．下列四个式子中，计算正确的是（　　）
A．
B．sin（π+2）＝﹣sin2
C．
D．
【答案】BCD
【解答】解：对于A：，故A错误；
对于B：sin（π+2）＝﹣sin2，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确．
故选：BCD．
（多选）25．若函数f（x）＝asinx+cosx在上为单调函数，则实数a的可能值是（　　）
A．tan2 B．sin3 C．cos1 D．ln3
【答案】AD
【解答】解：当a＝0时，f（x）＝cosx在上不单调，故a≠0，
当a≠0时，，
其中tanφ＝a，
由，得，
若函数f（x）＝asinx+cosx在上单调递减，
则，
解得或，
此时tanφ＝a∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
若函数f（x）＝asinx+cosx在上单调递增，
则，
解得或，
此时tanφ＝a∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
综上所述a∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
因为，所以tan2＜﹣1，故A符合，
因为0＜sin3＜1，0＜cos1＜1，故BC不符合，
因为ln3＞1，故D符合．
故选：AD．
▉题型4 二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
26．已知设tan110°＝a，求：tan50°的值（用a表示）．针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答．小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（　　）
A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对
C．两人都错 D．两人都对
【答案】D
【解答】解：由题意tan110°＝a，
则tan50°＝tan（110°﹣60°），
则小张同学正确；
由a，即，
则，
则小姚同学正确．
故选：D．
▉题型5 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
27．若tanθ＝4，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为tanθ＝4，所以．
故选：A．
28．已知，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴sin[（2α）]＝﹣cos（2α）
．
故答案为：．
29．已知角α的终边过点（4，﹣3），则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为角α的终边过点（4，﹣3），
则，
所以．
故选：D．
30．“sin2θ＞0”是“θ为第一象限角”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：若sin2θ＝2sinθcosθ＞0，则θ可能是第一、三象限角，
充分性不成立，
若θ是第一象限角，则sin2θ＝2sinθcosθ＞0；必要性成立，
所以“sin2θ＞0”是“θ为第一象限角”的必要而不充分条件．
故选：B．
31．已知角α终边上一点P（2，1），则 　　 ．
【答案】
【解答】解：依题意可得，
则．
故答案为：．
32．若角的终边经过点P（﹣3，4），则sin2α＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由任意角三角函数定义得，
，
故，
，
由二倍角公式得，故sin2α＝2sinαcosα．
故答案为：．
33．已知，则cosα＝ 　　 ，cos2α＝ 　　 ．
【答案】；．
【解答】解：因为，
由题意得，．
故答案为：；．
34．已知0＜αβ＜π，cosα，sinβ．
（1）求sin（α﹣β）的值；
（2）求sin2α﹣cos2α的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，
所以；
（2）sin2α﹣cos2α
＝2sinαcosα﹣（2cos2α﹣1）
．
▉题型6 二倍角的三角函数的逆用
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
（多选）35．下列各式中，值为的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解答】解：根据，可知A正确；
根据sinsin（2）＝2sinπcos，可知B正确；
根据，可知C错误；
根据，可知D正确．
故选：ABD．
36．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则f（x）的最小正周期等于（　　）
A． B．π C． D．2π
【答案】B
【解答】解：f（x）＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，
则Tπ．
故选：B．
37．若，﹣π＜α＜π，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由，得，
∵﹣π＜α＜π，且，∴或，
则或，可得．
故答案为：．
（多选）38．计算下列各式，结果为的是（　　）
A．
B．
C．2（cos215°﹣sin15°cos75°）
D．
【答案】BCD
【解答】解：根据，可知A错误；
根据，可知B正确；
根据，可知C正确；
根据，得，可知D正确．
故选：BCD．
39．cos215°﹣sin215°+sin15°cos15°的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：cos215°﹣sin215°+sin15°cos15°＝cos30°sin30°．
故选：C．
▉题型7 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan．
40．若，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：．
故选：C．
41．若α为第三象限角，且sinα，则tan　﹣3　 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：因为α为第三象限角，且sinα，
所以cosα，
则tan3．
故答案为：﹣3．
▉题型8 三角函数的和差化积公式
【知识点的认识】
三角函数的和差化积公式：
（1）sinα+sinβ＝2sincos
sinα﹣sinβ＝2cossin
（2）cosα+cosβ＝2coscos
cosα﹣cosβ＝﹣2sinsin
（3）cosα+sinαsin（α）cos（）
cosα﹣sinαcos（α）sin（α）
42．在三角恒等变换中，积化和差实际上就是把sin（α+β）与sin（α﹣β），cos（α+β）与cos（α﹣β）相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：．
如果角θ与γ满足，，则cos（θ+γ）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由cosθ﹣cosγ＝﹣2sinsin，
所以，
由，
所以，
所以，而．
故答案为：．
▉题型9 三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
43．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在上的最值．
【答案】（1）π，
（2）f（x）max＝2，f（x）min＝﹣1．
【解答】解：（1）因为sin2x+cos2x＝2sin（2x），
所以函数f（x）的最小正周期，
由，得：，
所以f（x）的单调递减区间为．
（2） ，
当，即时，f（x）取得最大值，f（x）max＝2，
当，即时，f（x）取得最小值，f（x）min＝﹣1．
44．（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】A
【解答】解：原式
．
故选：A．
45．已知，则（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解答】解：由题，
即，
化简得（2tanθ+1）（tanθ+2）＝0 tanθ＝﹣2或，
因为，所以，
．
故选：A．
46．的值为（　　）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：
故选：D．
47．设，则有（　　）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【答案】C
【解答】解：，
，
，
因为函数y＝sinx在上为增函数，且0°＜24°＜26°＜32°＜90°，
故sin24°＜sin26°＜sin32°，即a＜c＜b．
故选：C．
48．在边长为2的正方形ABCD中作出Rt△EFG，直角顶点G为AB的中点，其他两顶点E，F分别在边AD，BC上运动，则△EFG的周长的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：在边长为2的正方形ABCD中作出Rt△EFG，直角顶点G为AB的中点，
设∠AGE＝α，由题意可得，
所以，
则，
可得△EFG的周长，
注意，且，
令，
则，
所以，
又，
解得，
即△EFG周长的取值范围为．
故选：A．
49．如果“，k∈Z”是“”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：当，k∈Z时，是成立的，即充分性成立；
当时，x＝2kπ或2kπ，k∈Z，即必要性不成立，
故选：A．
（多选）50．下列计算中正确的是（　　）
A．tan15°+tan30°+tan15°tan30°＝1
B．
C．
D．
【答案】AB
【解答】解：因为tan（15°+30°）1，
所以tan15°+tan30°+tan15°tan30°＝1，A正确；
sin105°cos75°＝cos15°sin15°sin30°，B正确；
1﹣2cos222.5°＝﹣cos45°，C错误；
4，D错误．
故选：AB．
（多选）51．下列关于三角恒等变换正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解答】解：对于A：，故A正确；
对于B：sin220°+cos250°+sin20°cos50°1，故B正确；
对于C：2；故C错误；
对于D：，故D正确．
故选：ABD．
52．已知：．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第二象限角，且，求．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）；
（2）因为α是第二象限角，
所以，
又因为，
所以，
故
．
53．已知函数．
（1）求f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若，求cos2x0的值．
【答案】（1）f（x）＝sin（2x），T＝π；（2）cos2x0．
【解答】解：（1）因为，
所以f（x）的最小正周期．
（2）由（1）知f（x0），
由，得，
因为，
所以，
则，
所以cos2x0＝cos[（2x0）]＝cos（2x0）cossin（2x0）sin
．
54．完成求值和函数的值域．
（1）求的值．
（2）已知，求函数y＝sinθ﹣cosθ+2sinθcosθ的值域．
【答案】（1）﹣2；
（2）．
【解答】解：（1）；
（2）因为（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2sinθcosθ，
所以y＝sinθ﹣cosθ+2sinθcosθ＝sinθ﹣cosθ+1﹣（sinθ﹣cosθ）2
令sinθ﹣cosθ＝t，则，
因为，所以，则，
即y＝﹣t2+t+1，t∈[﹣1，1]，且对称轴为，
则，，
所以函数y的值域为．
▉题型10 三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
55．已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若，求cosα的值．
【答案】（1）[kπ，kπ]（k∈Z）；
（2）．
【解答】解：（1）根据题意，可得f（x）
2（sin2xcoscos2xsin）+1．
由2kπ2x2kπ（k∈Z），解得kπx≤kπ（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递减区间是[kπ，kπ]（k∈Z）．
（2）由，解得．
因为，即，所以．
所以cosα＝[]．
56．已知函数f（x）＝2cos2ωx+2sinωx cosωx（ω＞0）在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：f（x）＝2cos2ωx+2sinωxcosωx＝1+cos2ωx+sin2ωxsin（2ωx）+1，
令f（x）＝0，得sin（2ωx），
因为x∈[0，2π]，所以2ωx∈[，4πω]，
由sin（2ωx）有且仅有3个零点得：
3π4πω4π，解得，
所以ω的取值范围是[，）．
故选：D．
57．已知函数在[0，π]上恰好有7个零点，则ω的取值范围是 　[，）　 ．
【答案】[，）．
【解答】解：，令，
因为0≤x≤π，所以，
由题意f（x）在[0，π]上恰有7个零点，即在上恰有7个不相等的实根，
即，或，k∈Z，
当k＝0时，，…，
当k＝3，．
由y＝cost的性质可得，
解得，所以ω的取值范围是[，）．
故答案为：．
58．在ΔABC中，cosA：cosB：cosC＝2：2：7，则cosC＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：△ABC中，记a，b，c分别为角A，B，C的对边，
根据题意知，A＝B，，
所以cosAcosCcos（π﹣2A）cos2A（2cos2A﹣1），
整理得4cos2A+7cosA﹣2＝0，解得cosA或cosA＝﹣2（舍去），
所以cosCcosA．
故选：A．
59．设函数，若f（x）是奇函数，则φ＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由于，
又f（x）是奇函数，
可得，k∈Z，
又0＜φ＜π，
可得k＝0，．
故答案为：．
60．当时，若存在实数k，使得成立，则实数k的最小值为　16　 ．
【答案】16．
【解答】解：因为k，且sin2θ+cos2θ＝1，
所以k＝（）（sin2θ+cos2θ）10．
因为θ∈（0，），所以sinθ＞0，cosθ＞0，，．
根据基本不等式，．
当且仅当时等号成立．所以16．
即实数k的最小值为16．
故答案为：16．第6章第2节 常用三角公式
题型1 两角和与差的三角函数 题型2 求两角和与差的三角函数值
题型3 两角和与差的三角函数的逆用 题型4 二倍角的三角函数
题型5 求二倍角的三角函数值 题型6 二倍角的三角函数的逆用
题型7 半角的三角函数 题型8 三角函数的和差化积公式
题型9 三角函数的恒等变换及化简求值 题型10 三角函数中的恒等变换应用
▉题型1 两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
1．已知α，β∈（0，π），sin（α﹣β），，则α+β＝（　　）
A．π B．π C．π D．π或π
2．已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若且，求cos2α的值．
▉题型2 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
3．已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．α终边上一点坐标为（﹣3，4），则（　　）
A． B． C． D．
5．已知0＜α＜π，，且tanα＝2，cos（α+β），则tanβ＝（　　）
A． B． C． D．
6．设函数，若f（x）的图象经过点（0，1），且f（x）在（0，π）上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．下列等式恒成立的是（　　）
A．sin（α+β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
B．sin（α﹣β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
C．cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
D．cos（α﹣β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
8．已知α，β都是锐角，，，则β＝　 ．
9．cos52.5°cos7.5°﹣sin52.5°sin7.5°的值为 　　 ．
10．已知，0＜β＜π，sinα，cosβ，则α﹣β＝ ．
11．已知，且sinx+cosy＝1，，则sin（x+y）＝ ．
12．已知，，则tanα tanβ的值为 　 ．
13．已知α为钝角，且tan（α+β）＝3，tanβ＝﹣2，则角α等于 ．
（多选）14．已知，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则tan（α+β）＝2
B．若α＝2β，则
C．tan（α﹣β）的最大值为
D．
（多选）15．下列式子运算正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1
16．已知角α顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求；
（2）求的值；
（3）若角β是三角形内角，且，求sin（2α﹣β）的值．
17．已知f（x）
（1）求f（x）的解析式．
（2）若，求tanx的值．
（3）若函数，如图A，B是直线y与曲线y＝g（x）的两个交点，若|AB|，求g（x）的单调递减区间．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、β（β＞α）的终边分别与单位圆交于A，B两点，点．
（1）若点，求cos（α﹣β）cos2β+sin（β﹣α）sin2β的值；
（2）若，求sinβ．
19．（1）化简：；
（2）已知，cos（α﹣β），sin（α+β），求sin2α的值．
▉题型3 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
20．cos105°cos45°+cos15°sin45°＝（　　）
A． B． C． D．
21．若锐角α满足，则（　　）
A． B． C． D．
22．sin14°+sin46°﹣cos16°的值为 　 ．
23．已知， ．
（多选）24．下列四个式子中，计算正确的是（　　）
A．
B．sin（π+2）＝﹣sin2
C．
D．
（多选）25．若函数f（x）＝asinx+cosx在上为单调函数，则实数a的可能值是（　　）
A．tan2 B．sin3 C．cos1 D．ln3
▉题型4 二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
26．已知设tan110°＝a，求：tan50°的值（用a表示）．针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答．小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（　　）
A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对
C．两人都错 D．两人都对
▉题型5 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
27．若tanθ＝4，则（　　）
A． B． C． D．
28．已知，则 ．
29．已知角α的终边过点（4，﹣3），则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
30．“sin2θ＞0”是“θ为第一象限角”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
31．已知角α终边上一点P（2，1），则 ．
32．若角的终边经过点P（﹣3，4），则sin2α＝ ．
33．已知，则cosα＝ ，cos2α＝ 　 ．
34．已知0＜αβ＜π，cosα，sinβ．
（1）求sin（α﹣β）的值；
（2）求sin2α﹣cos2α的值．
▉题型6 二倍角的三角函数的逆用
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
（多选）35．下列各式中，值为的是（　　）
A． B．
C． D．
36．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则f（x）的最小正周期等于（　　）
A． B．π C． D．2π
37．若，﹣π＜α＜π，则 ．
（多选）38．计算下列各式，结果为的是（　　）
A．
B．
C．2（cos215°﹣sin15°cos75°）
D．
39．cos215°﹣sin215°+sin15°cos15°的值等于（　　）
A． B． C． D．
▉题型7 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan．
40．若，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
41．若α为第三象限角，且sinα，则tan　 ．
▉题型8 三角函数的和差化积公式
【知识点的认识】
三角函数的和差化积公式：
（1）sinα+sinβ＝2sincos
sinα﹣sinβ＝2cossin
（2）cosα+cosβ＝2coscos
cosα﹣cosβ＝﹣2sinsin
（3）cosα+sinαsin（α）cos（）
cosα﹣sinαcos（α）sin（α）
42．在三角恒等变换中，积化和差实际上就是把sin（α+β）与sin（α﹣β），cos（α+β）与cos（α﹣β）相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：．
如果角θ与γ满足，，则cos（θ+γ）＝ ．
▉题型9 三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
43．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在上的最值．
44．（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
45．已知，则（　　）
A． B． C．1 D．
46．的值为（　　）
A． B． C．2 D．1
47．设，则有（　　）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
48．在边长为2的正方形ABCD中作出Rt△EFG，直角顶点G为AB的中点，其他两顶点E，F分别在边AD，BC上运动，则△EFG的周长的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
49．如果“，k∈Z”是“”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
（多选）50．下列计算中正确的是（　　）
A．tan15°+tan30°+tan15°tan30°＝1
B．
C．
D．
（多选）51．下列关于三角恒等变换正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．
52．已知：．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第二象限角，且，求．
53．已知函数．
（1）求f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若，求cos2x0的值．
54．完成求值和函数的值域．
（1）求的值．
（2）已知，求函数y＝sinθ﹣cosθ+2sinθcosθ的值域．
▉题型10 三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
55．已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若，求cosα的值．
56．已知函数f（x）＝2cos2ωx+2sinωx cosωx（ω＞0）在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
57．已知函数在[0，π]上恰好有7个零点，则ω的取值范围是 　[，）　 ．
58．在ΔABC中，cosA：cosB：cosC＝2：2：7，则cosC＝（　　）
A． B． C． D．
59．设函数，若f（x）是奇函数，则φ＝ 　 ．
60．当时，若存在实数k，使得成立，则实数k的最小值为　 ．

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