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第6章第3节 解三角形
题型1 正弦定理 题型2 利用正弦定理解三角形
题型3 正弦定理与三角形解的存在性和个数 题型4 正弦定理与三角形的外接圆
题型5 余弦定理 题型6 三角形中的几何计算
题型7 解三角形 题型8 三角形的形状判断
▉题型1 正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据正弦定理得a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝2：3：4，
设a＝2k，b＝3k，c＝4k（k＞0），由余弦定理得．
故选：B．
▉题型2 利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
2．在△ABC中，AC＝2，，，则C＝（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AC＝2，，，
由正弦定理得，即，
所以sinC，又因为AB＞AC，
所以角C＞B，所以，
故或．
故选：C．
3．已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，
由正弦定理可得，
即可得．
故选：B．
4．△ABC中A，B，C的对边长分别为a，b，c．若，则a＝（　　）
A．10 B．5 C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：因为，，c＝7，所以sinB，
则，
由正弦定理得，所以a5．
故选：B．
5．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，b＝1，△ABC面积为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，b＝1，△ABC面积bcsinA，
所以c＝4，
所以由余弦定理可得a，
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理2R，
则2R．
故选：A．
6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若a＝8，，，则b＝ 　7　 ．
【答案】7．
【解答】解：a＝8，，，
由且A为三角形内角，则，
由正弦定理得，可得．
故答案为：7．
7．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b+c＝2，，则sinB+sinC＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，b+c＝2，，
由正弦定理可知，可得，
所以．
故答案为：．
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且B＝3A，则的取值范围是 　（1，3）　 ．
【答案】（1，3）．
【解答】解：△ABC中，B＝3A，C＝π﹣A﹣B＝π﹣4A，
可得，
解得0＜A，
由正弦定理可得：2cos2A+cos2A＝1+cos2A+cos2A＝1+2cos2A，
因为2A∈（0，），所以cos2A∈（0，1），
所以∈（1，3）．
故答案为：（1，3）．
（多选）9．在锐角△ABC中，三个内角分别是A，B，C，且A＞B，则下列说法正确的是（　　）
A．tanA＞tanB B．tanA＜tanB
C．tanA tanB＞1 D．0＜tanA tanB＜1
【答案】AC
【解答】解：在锐角三角形中，由题意可知，，
则，
因为函数y＝tanx在上单调递增，
所以tanA＞tanB，且，
所以tanA tanB＞1，
故AC正确，BD错误．
故选：AC．
（多选）10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）：（b+c）：（c+a）＝9：11：10，则下列结论正确的是（　　）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是锐角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若，则△ABC外接圆半径为4
【答案】ABC
【解答】解：因为在△ABC中，（a+b）：（b+c）：（c+a）＝9：11：10，
所以，解得，
由正弦定理可得，R为△ABC的外接圆半径，
所以，
所以sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故A正确；
因为c＞b＞a，所以角C为最大角，角A为最小角，
又由余弦定理可得，
又C∈（0，π），所以角C为锐角，故△ABC是锐角三角形，故B正确；
则，
所以，即cos2A＝cosC，
又2A∈（0，π），所以2A＝C，故C正确；
因为，A∈（0，π），
所以，
则由正弦定理得，解得R＝2，故D错误；
故选：ABC．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若A＝75°，b＝2，解这个三角形．
【答案】（1）B＝45°；
（2）．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理可得cosB，
又0＜B＜180°，因此B＝45°；
（2）A＝75°，b＝2，由（1）知，C＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
sinA＝sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°，
由正弦定理可得2，
所以a＝2sinA＝21，c＝2sinC＝2．
12．已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是．
（1）求C；
（2）若，求△ABC的周长．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）根据，结合正弦定理得，
因为△ABC中，sinB＞0，所以2sinC，即sinC，
在△ABC为锐角三角形，C为锐角，可知；
（2）由正弦定理得，所以a＝4sinA，b＝4sinB，
结合，可得ab＝16sinAsinB＝1610，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，即，化简得a2+b2＝22，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝22+20＝42，可得，△ABC的周长为．
13．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝3，D为BC边上一点，|AD|＝2，2DB＝DC，求△ABC的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由正弦定理得，
因为A+B+C＝π
故，
即，
即．
而sinC≠0，故，
又因为cosA≠0所以．
而0＜A＜π，故．
（2）在△ABC中，由余弦定理可得，
整理得b2+c2﹣bc＝9，①
在△ACD中，由余弦定理得，
在△ABD中，由余弦定理得，
而∠ADB+∠ADC＝π，所以cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
故，即2c2+b2＝18，②
由①②得2c2+b2＝2b2+2c2﹣2bc，
由于b≠0，得b＝2c，代入②得c2＝3，
所以△ABC的面积为．
14．在△ABC中，A＝60°，，b＝2，则AC边上的高为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，
把A＝60°，，b＝2，代入得，7＝4+c2﹣2c，
即c2﹣2c﹣3＝0，
所以c＝3或c＝﹣1（舍），
设AC边上的高为h，
则，
解得．
故答案为：．
15．在△ABC中，，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则BC＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝45°，
由正弦定理，即，解得，即．
故答案为：．
16．在△ABC中，D为BC边上一点．若AD＝CD，B＝60°，BA＝5，BC＝8，则sin∠BAD＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：设AD＝CD＝x，则BD＝8﹣x，
△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2+BD2﹣2AB BD cosB，
得x2＝52+（8﹣x）2﹣2 5 （8﹣x） cos60°，解得，
于是，，由正弦定理，B＝60°，
得．
故答案为：．
17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，且BDsin∠ABC＝asinC．
（1）证明：；
（2）若，求tan∠ABC的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理，可得．
结合BDsin∠ABC＝asinC，可得，化简得BD b＝ac．
因为b2＝ac，所以BD b＝b2，可得．
（2）根据，可得ADb，CDb，由（1）得BD＝b．
在△ABC中，①，在△BCD中，②．
由①②化简得，
结合b2＝ac整理得6a2﹣11ac+3c2＝0，解得或，
当时，（不符合题意，舍去）．
当时，，
结合，可知．
18．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）+1的最大值为A，设a＝sinA，b＝cosA，c＝log8A，则（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【答案】B
【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+φ）+1的最大值为3，所以A＝3，
因为，所以b＝cosA＝cos3＜0，
，
所以a＞b，
又，所以c＞a，
综上b＜a＜c．
故选：B．
19．已知△ABC的面积为，c＝2，，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：AB＝2＝c，
由，
解得a＝4，
由余弦定理有：，
∴，
由正弦定理知：，
故答案为：．
20．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则sin2A＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：△ABC中，，由正弦定理知，
即tanAtanBtanC，
设tanA＝2k，tanB＝3k，tanC＝6k，且k＞0，
由tan（A+B），
得tanA+tanB＝tan（A+B） （1﹣tanAtanB）；
在△ABC中，tan（A+B）＝﹣tanC，
∴tanA+tanB+tanC＝tanA tanB tanC，
可得k，则tanA，
又sin2A+cos2A＝1，
两边都除以cos2A，得tan2A+1，
又tanA＞0，A为锐角，解得cosA，∴sinA，
∴sin2A＝2sinAcosA；
故答案为：．
▉题型3 正弦定理与三角形解的存在性和个数
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
21．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，，A＝45°，则满足条件的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：，A＝45°，
则，∴bsinA＜a＜b．
∴满足条件的三角形有2个．
故选：B．
22．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若△ABC有两解，则a的取值范围为（　　）
A．（14，+∞） B．（14，21） C． D．
【答案】D
【解答】解：因为，△ABC有两解，
则bsinA＜a＜b，即14a＜14，
即．
所以a的范围为（21，14）．
故选：D．
23．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（　　）
A．a＝2，c＝3， B．，b＝6，
C．a＝2，，c＝5 D．a＝2，b＝3，
【答案】D
【解答】解：因为，a＝2，c＝3，A，
所以，三角形有两解，故A错误；
因为，所以，
且b＞a，所以B＞A，所以B＝60°或120°，故有两解，故B错误；
因为，所以无解，故C错误；
因为，
所以，
故B＜A，三角形只有一解，故D正确．
故选：D．
24．在△ABC中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（　　）
A．b＝10，A＝45°，C＝80° B．a＝6，c＝10，B＝60°
C．a＝18，b＝10，A＝120° D．a＝12，c＝16，A＝45°
【答案】D
【解答】解：对于A，根据A＝45°、C＝80°、B＝55°，可知△ABC的形状确定，
结合b＝10，可知△ABC有唯一解，故A项不符合题意；
对于B，根据a＝6、c＝10、B＝60°，由余弦定理求得边b，
因为△ABC的三边确定，所以△ABC有唯一解，故B项不符合题意；
对于C，由a＝18、b＝10、A＝120°，
根据正弦定理可得sinB，结合角B为锐角，可知角B唯一确定，
所以△ABC有唯一解，故C项不符合题意；
对于D，由a＝12、c＝16、A＝45°，根据正弦定理得，
结合c＞a，可得C＞A＝45°，满足条件的角C有互补的两个值，所以△ABC有两个解，D项符合题意．
故选：D．
（多选）25．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝10，C＝45°．若三角形有两解，则边c的取值可以是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BC
【解答】解：因为b＝10，C＝45°，
所以由余弦定理得：c2＝a2+102﹣2×a×10×cos45°，
即a2﹣10a+100﹣c2＝0，
因为三角形有两解，
所以方程a2﹣10a+100﹣c2＝0有两个正根a1，a2，
所以a1+a2＝100，a1a2＝100﹣c2＞0，Δ＝（10）2﹣4（100﹣c2）＞0，
解得5c＜10，结合选项可得B，C正确．
故选：BC．
（多选）26．由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（　　）
A．a＝20，b＝11，A＝30°，有两解
B．，有两解
C．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
D．b＝23，c＝34，A＝41°，有一解
【答案】BD
【解答】解：对A：a＞b可得A＞B，故B只能有一个值，所以三角形有一解，A错误；
对B：由，即csinB＜b＜c，所以三角形有两解，B正确；
对C：由a＝bsinA＝8，故三角形为直角三角形，有一解，C错误；
对D：b＝23，c＝34，A＝41°，
由余弦定理得，a唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确．
故选：BD．
▉题型4 正弦定理与三角形的外接圆
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
27．在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（　　）
A．9 B．9π C．36 D．36π
【答案】B
【解答】解：∵在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，
∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝36+9﹣18＝27，即a＝3，
由正弦定理得：2R，即R3，
∴三角形外接圆面积S＝πR2＝9π．
故选：B．
28．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC＝a2，若B+C＝2A，则△ABC外接圆半径为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由ccosB+bcosC＝a2及正弦定理得sinCcosB+sinBcosC＝asinA，
即sin（B+C）＝asinA，即sinA＝asinA，由A∈（0，π），则sinA＞0，所以a＝1，
因为B+C＝2A，所以π﹣A＝2A，所以，
所以由正弦定理得，△ABC的外接圆半径为．
故答案为：．
29．已知△ABC的内角A，B，C满足．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
根据，
可得，
∴a2＝b2+c2﹣bc，
∴cosA，
又0＜A＜π，
∴A；
（2）由正弦定理得2R，
∴a＝2RsinA＝2sin，
由余弦定理得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
∴△ABC的面积为SbcsinA3，
（当且仅当b＝c时等号成立），
∴△ABC面积S的最大值为．
30．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的外接圆的面积为（　　）
A．12π B．16π C．24π D．64π
【答案】B
【解答】解：因为，
所以，
所以，即，
又B∈（0，π），
所以，
所以，解得，
因为，
由余弦定理得，即，
又，
所以，
所以，
由正弦定理得，
所以，
设△ABC的外接圆的半径为R，
所以，解得R＝4，
所以△ABC的外接圆的面积为πR2＝16π．
故选：B．
31．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b2+c2＝a2+bc，则△ABC外接圆的直径是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为a＝2，b2+c2＝a2+bc，
由余弦定理得，cosA，
由A为三角形内角得，A，
因为a＝2，
由正弦定理得，2R（R为三角形外接圆半径），
所以R，
所以△ABC外接圆的直径为．
故选：D．
32．已知正△ABC外接圆的半径为，则正△ABC的周长为 　9　 ．
【答案】9
【解答】解：设正三角形ABC的边长为a，
则由正弦定理可得：，又A，
所以a＝23，
则正三角形的周长为3×3＝9．
故答案为：9．
（多选）33．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，外接圆半径为R，若，，则（　　）
A．R＝1
B．
C．bc的最大值为3
D．b+c的取值范围为
【答案】AC
【解答】解：对于A，由正弦定理可得：，所以R＝1，故A正确；
对于B，由正弦定理可得：，
所以b＝2sinB，因为△ABC为锐角三角形，
所以，
所以b＝2sinB∈（1，2），故B不正确；
对于C，，则bc≤3，
当且仅当时等号成立，所以bc的最大值为3，C正确；
对于D，由正弦定理得，则c＝2sinC，
所以，
由于，所以，则，
于是有，
故b+c的取值范围为，故D不正确．
故选：AC．
▉题型5 余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
34．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A＝（　　）
A．120° B．45° C．60° D．30°
【答案】A
【解答】解：由，所以a2﹣（b+c）2＝﹣bc，
即a2﹣b2﹣c2﹣2bc＝﹣bc，整理得b2+c2﹣a2＝﹣bc，
结合余弦定理，可得cosA．
因为0°＜A＜180°，所以A＝120°，
故选：A．
35．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵sinA：sinB：sinC＝2：3：4，
∴根据正弦定理，得a：b：c＝2：3：4，
设a＝2x，b＝3x，c＝4x，由余弦定理得：cosC
∵C是三角形内角，得C∈（0，π），
∴由cosC0，得C为钝角
因此，△ABC是钝角三角形．
故选：C．
36．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：6：7，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解答】解：由a：b：c＝4：6：7，设a＝4k，b＝6k，c＝7k（k＞0），
所以C是△ABC的最大内角，
所以cosC，
又0＜C＜π，所以C是锐角，则△ABC是锐角三角形．
故选：A．
37．如图，已知点E，F是等腰直角△ABC直角边BC上的三等分点，则tan∠EAF＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为点E，F是等腰直角△ABC直角边BC上的三等分点，
所以不妨设AC＝BC＝3，则BE＝1，BF＝2，
由图可知∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE，
因为，，
所以
．
故选：B．
38．已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝k，b＝k+2，c＝k+4，则k的取值范围是（　　）
A．[1，5] B．（2，5） C．（2，6） D．（1，6）
【答案】C
【解答】解：由题意得c是最大边，即C是钝角，
∴由余弦定理得（k+4）2＝（k+2）2+k2﹣2k（k+2） cosC＞（k+2）2+k2，即（k+2）2+k2＜（k+4）2，
解之得﹣2＜k＜6，
∵a+b＞c，
∴k+（k+2）＞k+4，解之得k＞2，
综上所述，得k的取值范围是（2，6）．
故选：C．
39．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，且B＝2A，则c＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为B＝2A，所以由正弦定理，得，
所以，解得，
由余弦定理得，解得c＝2或．
又因为△ABC为锐角三角形，所以，
且，即，所以．
故答案为：．
40．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求cosA的值；
（2）若点D在边BC上，且BD＝3CD，求AD．
【答案】（1）．
（2）5．
【解答】解：（1）因为，
所以cosA．
（2）因为点D在边BC上，且BD＝3CD，
所以BD＝3，CD，
又因为cosB，
所以在△ABD中，由余弦定理AD2＝c2+BD2﹣2 c BD cosB＝72+（3）2﹣2×7×（3）25，可得AD＝5．
41．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且a＝7，c＝3，且．
（Ⅰ）求边b的长；
（Ⅱ）求角A大小及△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：，变形得：，
因为，所以．
又c＝3，可得b＝5；（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：
．
因为A为三角形的内角，所以A＝120°，
则．（12分）
42．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC外接圆的半径是1，求当函数f（B）＝cos2B﹣4cosAsinB取最大值时△ABC的周长．
【答案】（1）；（2）；．
【解答】解：（1）向量，向量，
由已知，得2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
再根据正弦定理有，2a2＝（2b+c）b+（2c+b）c，
即a2＝b2+c2+bc．
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，，
因为A∈（0，π），
所以．
（2）由（1）知．
因为，
所以．
因此当时，f（B）有最大值．
此时，
b＝c＝2RsinB＝1．
故△ABC的周长是．
43．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．
（1）当点P为线段BC中点时，将绕原点O沿逆时针方向旋转75°到的位置，求点P1的坐标；
（2）求∠OCM的余弦值；
（3）是否存在实数λ，使？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）．
（2）．
（3）存在，．
【解答】解：（1）由题意已知四边形OABC是等腰梯形，，
所以B（5，），
，
又因为点P为线段BC中点，
所以P（3，），M（3，0），
所以，将绕原点O沿逆时针方向旋转75°到的位置，
如图所示：
过点P1作P1D⊥y轴于点D，所以∠P1DO＝90°，∠POP1＝75°．
又因为，∠POP1＝75°，
所以∠DOP1＝15°，
所以，
所以，
所以，
所以，
因此点P1的坐标为（DP1，OD），即P．
（2）因为在△OCM中，，
所以，
所以求得∠OCM的余弦值为．
（3）存在，设，且t的取值范围为[1，5]，
因为，
又因为，
所以，
所以，
即（2t﹣3）λ＝12，
所以分两种情况：
①当，那么；
②当，那么λ不存在．
又因为，
所以综上所述，λ．
44．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积，，则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵△ABC的面积，
∴，
，
则，
由余弦定理可知，a2+c2﹣b2＝2ac cosB，即，
化简整理可得，，
∵B∈（0，π），
∴，sinB，
∴ac＝4
∴2．
故选：D．
▉题型6 三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
45．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（　　）
A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时
【答案】B
【解答】解：由题意，在△ABD中，，
由图知∠DAB＝90°﹣45°＝45°，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，
所以∠ADB＝105°，
|AB|＝3，
由正弦定理可得，即，
而sin105°＝sin（60°+45°）（），
可得|BD|2，
又在△BCD中，∠DBC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，，
由余弦定理可得，|CD|2＝|BC|2+|BD|2﹣2|BC| |BD|cos60°＝48+12﹣2×4236，
所以|CD|＝6，
因此救援船到达D点需要的时间为小时．
故选：B．
46．在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且acosB+（2c﹣b）cosA＝c，则三角形ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解答】解：由acosB+（2c﹣b）cosA＝c及正弦定理，
得sinAcosB+（2sinC﹣sinB）cosA＝sinC，
所以sinAcosB+2sinCcosA﹣sinBcosA＝sin（A+B），
即2sinCcosA﹣sinBcosA＝cosAsinB，
即（sinC﹣sinB）cosA＝0，
解得sinC＝sinB或cosA＝0，
当sinC＝sinB时，又0＜B＜π，0＜C＜π，
所以C＝B或C+B＝π（舍），所以△ABC为等腰三角形；
当cosA＝0时，又0＜A＜π，所以，
所以△ABC为直角三角形；
综上所述，△ABC为等腰或直角三角形．
故选：D．
47．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（　　）
A．海里/小时 B．海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
【答案】A
【解答】解：根据题意作出示意图如下，
由题意可知∠BAC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝30海里，
sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°，
在△ABC中，由正弦定理可知，
即，
解得BC＝30（1）海里
甲船的行驶时间为30÷15＝2小时，
所以乙船的速度为海里/小时．
故选：A．
48．在△ABC中，已知，D是BC上的点，AD平分∠BAC，S△ABD＝2S△ACD，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图所示：
因为AD平分∠BAC，由角平分线的性质可知：
点D到边AB、AC的距离相等，
因为，设AB＝2t（t＞0），则AC＝t，
由S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝3S△ACD，
可得，
可得，
在△ABD中，由余弦定理，
可得
，
故，
由正弦定理可得，
所以，
易知B为锐角，则，
所以．
故选：A．
49．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA＝4sinC，则△ABC的外接圆的半径为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：若acosB+bcosA＝4sinC，
则acosB+bcosA＝2R（sinAcosB+sinBcosA）＝2Rsin（A+B）＝2RsinC＝4sinC，
解得R＝2．
故选：A．
50．如图，A是△BCD所在平面外一点M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝6，则MN的长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解答】解：已知A是△BCD所在平面外一点M，N分别是△ABC和△ACD的重心，
取BC、DC的中点分别为E、F，
连接EF，
则MN∥EF、EF∥BD且，，
即，
又|BD|＝6，
则MN的长为2．
故选：A．
51．如图，在△ABC中，与CE的交点为M，则S△MAC：S△ABC＝（　　）
A．1：3 B．2：5 C．3：7 D．4：9
【答案】B
【解答】解：因为AD与CE的交点为M，
即E、M、C三点共线，，
设，
又因为，可得，
所以（），
设，即，
即，解得t，
所以，所以，
所以S△MAC：S△DAC＝3：5，
又，所以S△DAC：S△ABC＝2：3，
所以S△MAC：S△ABC＝2：5．
故选：B．
52．在△ABC中，已知B＝30°，，c＝2，且a＞b，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为在△ABC中，B＝30°，b，c＝2，
由正弦定理可得：，
即，
解得sinC，
因为0°＜C＜180°，
所以C＝45°或135°，
可得A＝180°﹣30°﹣45°＝105°，或A＝180°﹣30°﹣135°＝15°，
又因为a＞b，所以A＞B，
所以A＝105°，
而cosA＝cos105°＝cos（45°+60°）＝cos45°cos60°﹣sin45°sin60°，
由余弦定理可得a1．
故选：B．
▉题型7 解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
（多选）53．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝3，，△ABC的面积为，则（　　）
A．c＝2 B．
C．△ABC是钝角三角形 D．tanBtanC＞1
【答案】ABD
【解答】解：A选项，b＝3，，△ABC的面积为，即，
即，解得c＝2，所以A正确；
B选项，由余弦定理得，解得，所以B正确；
C选项，由于b＞a＞c，故△ABC中最大角为B，
由余弦定理可得，故B为锐角，故△ABC为锐角三角形，所以C错误；
D选项，由C选项知，故，故，
又，故，
故，故，D正确．
故选：ABD．
54．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　）
A．a＝72，b＝50，A＝135° B．a＝20，b＝40，A＝31°
C．a＝30，，A＝120° D．a＝8，b＝14，A＝30°
【答案】D
【解答】解：选项A：a＝72，b＝50，A＝135°，
A为钝角且a＞b，则角B只有唯一值，
即三角形只有一解，故A错误；
选项B：a＝20，b＝40，A＝31°，
A为锐角，又bsinA＝40×sin31°＞20，
故三角形无解，故B错误；
选项C：a＝30，，A＝120°，
A为钝角且a＜b，故三角形无解，故C错误；
选项D：a＝8，b＝14，A＝30°，
A为锐角，且bsinA＝14×sin30°＝7，
因7＜8＜14，故三角形有两解，故D正确．
故选：D．
55．如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（　　）
A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米
【答案】B
【解答】解：由题意知，在△ABC中，AB＝10，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°﹣30°＝45°，
由正弦定理得，
解得BC5．
∴B处与地面目标C的距离为5千米．
故选：B．
56．已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，asinC＝1，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由，得，
令函数，
函数在上都递增，
则函数f（x）在上递增，
即f（B）＝f（C），
由△ABC为锐角三角形，得，
因此B＝C，b＝c，
由asinC＝1及正弦定理得csinA＝asinC＝1，
则，，
又A＝π﹣2C，，则，
可得sin2C+2sin22C2（1﹣cos22C），
＝﹣2cos22Ccos22C
＝﹣2（cos2C）2，
由，得﹣1＜cos2C＜0，
则，当cos2C时取等号，
所以的取值范围为．
故选：B．
▉题型8 三角形的形状判断
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
57．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，若，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解答】解：由题意，向量，且，
所以acosA＝bcosB，即，
整理得（a2﹣b2）c2﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0，
可得（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以a2＝b2或c2＝a2+b2，
即a＝b或c2＝a2+b2，可知△ABC的形状为等腰或直角三角形．
故选：D．
58．在△ABC中，||＝||＝||，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解答】解：因为，
所以，||＝||＝||＝||，
所以△ABC是等边三角形．
故选：B．
（多选）59．对于△ABC，有如下判断，其中错误的是（　　）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形
C．若B＝30°，c＝4，b＝3，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是锐角三角形
【答案】BD
【解答】解：选项A，在△ABC中由大边对大角可知若A＞B，则a＞b，
又由正弦定理可得sinA＞sinB，故A说法正确；
选项B，若acosA＝bcosB，则由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，在三角形中，可得2A＝2B或2A＝π﹣2B，
即A＝B或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，B说法错误；
选项C，因为B＝30°，c＝4，b＝3，所以由正弦定理可得，
所以角C有两个值，此时符合条件的△ABC有两个，C说法正确；
选项D，若sin2A+sin2B＜sin2C，则由正弦定理角化边可得a2+b2＜c2，
所以，即角C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，D说法错误．
故选：BD．
60．在△ABC中，，若，则下列结论正确的为（　　）
A．△ABC一定为钝角三角形
B．△ABC一定不为直角三角形
C．△ABC一定为锐角三角形
D．△ABC可为任意三角形
【答案】D
【解答】解因为，
所以，
所以cos∠BAC＞0，
所以∠BAC为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，
所以不能确定△ABC的形状，
故△ABC可为任意三角形．
故选：D．第6章第3节 解三角形
题型1 正弦定理 题型2 利用正弦定理解三角形
题型3 正弦定理与三角形解的存在性和个数 题型4 正弦定理与三角形的外接圆
题型5 余弦定理 题型6 三角形中的几何计算
题型7 解三角形 题型8 三角形的形状判断
▉题型1 正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
2．在△ABC中，AC＝2，，，则C＝（　　）
A． B． C．或 D．
3．已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
4．△ABC中A，B，C的对边长分别为a，b，c．若，则a＝（　　）
A．10 B．5 C．2 D．4
5．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，b＝1，△ABC面积为，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若a＝8，，，则b＝ 　 ．
7．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b+c＝2，，则sinB+sinC＝ 　 　 ．
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且B＝3A，则的取值范围是 　　 　 ．
（多选）9．在锐角△ABC中，三个内角分别是A，B，C，且A＞B，则下列说法正确的是（　　）
A．tanA＞tanB B．tanA＜tanB
C．tanA tanB＞1 D．0＜tanA tanB＜1
（多选）10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）：（b+c）：（c+a）＝9：11：10，则下列结论正确的是（　　）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是锐角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若，则△ABC外接圆半径为4
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若A＝75°，b＝2，解这个三角形．
12．已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是．
（1）求C；
（2）若，求△ABC的周长．
13．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝3，D为BC边上一点，|AD|＝2，2DB＝DC，求△ABC的面积．
14．在△ABC中，A＝60°，，b＝2，则AC边上的高为 　　 ．
15．在△ABC中，，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则BC＝ 　 ．
16．在△ABC中，D为BC边上一点．若AD＝CD，B＝60°，BA＝5，BC＝8，则sin∠BAD＝　　 ．
17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，且BDsin∠ABC＝asinC．
（1）证明：；
（2）若，求tan∠ABC的值．
18．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）+1的最大值为A，设a＝sinA，b＝cosA，c＝log8A，则（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c
19．已知△ABC的面积为，c＝2，，则　　 ．
20．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则sin2A＝　　 ．
▉题型3 正弦定理与三角形解的存在性和个数
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
21．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，，A＝45°，则满足条件的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定
22．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若△ABC有两解，则a的取值范围为（　　）
A．（14，+∞） B．（14，21） C． D．
23．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（　　）
A．a＝2，c＝3， B．，b＝6，
C．a＝2，，c＝5 D．a＝2，b＝3，
24．在△ABC中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（　　）
A．b＝10，A＝45°，C＝80° B．a＝6，c＝10，B＝60°
C．a＝18，b＝10，A＝120° D．a＝12，c＝16，A＝45°
（多选）25．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝10，C＝45°．若三角形有两解，则边c的取值可以是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
（多选）26．由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（　　）
A．a＝20，b＝11，A＝30°，有两解
B．，有两解
C．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
D．b＝23，c＝34，A＝41°，有一解
▉题型4 正弦定理与三角形的外接圆
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
27．在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（　　）
A．9 B．9π C．36 D．36π
28．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC＝a2，若B+C＝2A，则△ABC外接圆半径为 　　 ．
29．已知△ABC的内角A，B，C满足．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．
30．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的外接圆的面积为（　　）
A．12π B．16π C．24π D．64π
31．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b2+c2＝a2+bc，则△ABC外接圆的直径是（　　）
A． B． C． D．
32．已知正△ABC外接圆的半径为，则正△ABC的周长为 　 　 ．
（多选）33．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，外接圆半径为R，若，，则（　　）
A．R＝1
B．
C．bc的最大值为3
D．b+c的取值范围为
▉题型5 余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
34．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A＝（　　）
A．120° B．45° C．60° D．30°
35．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
36．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：6：7，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
37．如图，已知点E，F是等腰直角△ABC直角边BC上的三等分点，则tan∠EAF＝（　　）
A． B． C． D．
38．已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝k，b＝k+2，c＝k+4，则k的取值范围是（　　）
A．[1，5] B．（2，5） C．（2，6） D．（1，6）
39．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，且B＝2A，则c＝ 　 ．
40．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求cosA的值；
（2）若点D在边BC上，且BD＝3CD，求AD．
42．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC外接圆的半径是1，求当函数f（B）＝cos2B﹣4cosAsinB取最大值时△ABC的周长．
43．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．
（1）当点P为线段BC中点时，将绕原点O沿逆时针方向旋转75°到的位置，求点P1的坐标；
（2）求∠OCM的余弦值；
（3）是否存在实数λ，使？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
44．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积，，则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
▉题型6 三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
45．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（　　）
A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时
46．在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且acosB+（2c﹣b）cosA＝c，则三角形ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
47．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（　　）
A．海里/小时 B．海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
48．在△ABC中，已知，D是BC上的点，AD平分∠BAC，S△ABD＝2S△ACD，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
49．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA＝4sinC，则△ABC的外接圆的半径为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
50．如图，A是△BCD所在平面外一点M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝6，则MN的长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
51．如图，在△ABC中，与CE的交点为M，则S△MAC：S△ABC＝（　　）
A．1：3 B．2：5 C．3：7 D．4：9
52．在△ABC中，已知B＝30°，，c＝2，且a＞b，则a＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型7 解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
（多选）53．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝3，，△ABC的面积为，则（　　）
A．c＝2 B．
C．△ABC是钝角三角形 D．tanBtanC＞1
54．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　）
A．a＝72，b＝50，A＝135° B．a＝20，b＝40，A＝31°
C．a＝30，，A＝120° D．a＝8，b＝14，A＝30°
55．如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（　　）
A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米
56．已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，asinC＝1，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
▉题型8 三角形的形状判断
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
57．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，若，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
58．在△ABC中，||＝||＝||，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
（多选）59．对于△ABC，有如下判断，其中错误的是（　　）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形
C．若B＝30°，c＝4，b＝3，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是锐角三角形
60．在△ABC中，，若，则下列结论正确的为（　　）
A．△ABC一定为钝角三角形
B．△ABC一定不为直角三角形
C．△ABC一定为锐角三角形
D．△ABC可为任意三角形

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