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第7章第1节 正弦函数的图像与性质
题型1 三角函数的周期性 题型2 正弦函数的图象
题型3 正弦函数的定义域和值域 题型4 正弦函数的单调性
题型5 正弦函数的奇偶性和对称性
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　）
A．y＝tan2x B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于A，y＝tan2x的最小正周期为，故A错误；
对于B，为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
对于D，为偶函数，故D错误．
故选：C．
2．设函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期，及对称轴，对称中心．
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
（3）求函数时，x的取值范围？
【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为，对称中心为；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）的最小正周期T，
令，解得，故对称轴方程为，
令，解得，故对称中心为；
（2），则，
故，
因此，
故函数f（x）在区间上的值域为；
（3）由题意可得，
可得，
令，解得，
所以时，．
3．已知定义在R上的函数f（x）满足，且当时，f（x）＝sin4x﹣cos2x（cos2x﹣1），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意f（x）满足，
可得，
可得f（x）的周期为π，
又当时，
可得f（x）＝sin4x﹣cos2x（cos2x﹣1）＝sin4x﹣cos4x+cos2x＝（sin2x﹣cos2x）（sin2x+cos2x）+cos2x＝sin2x，
所以
．
故选：D．
4．函数的最小正周期为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】C
【解答】解：函数的最小正周期为π，
故选：C．
5．若函数的最小正周期为1，则函数y＝tanωx图象的对称中心为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：，故ω＝±2π，
当ω＝2π时，y＝tan2πx，
令，解得，
当ω＝﹣2π时，y＝tan（﹣2πx），
令，解得，
故函数y＝tanωx图象的对称中心为．
故选：B．
6．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
【答案】A
【解答】解：对于A：y＝|sinx|，将y＝sinx的图象x轴翻折到上方，可知周期T＝π，在区间（，π）上单调递减，所以A对；
对于B：y＝cosx的周期T＝2π，所以B不对．
对于C：y＝tanx的周期T＝π，在定义域内都是单调递增，所以C不对；
对于D：y＝cos的周期T，所以D不对．
故选：A．
▉题型2 正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最　值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
7．已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，若函数f（x）在上的图象与直线y＝2有且仅有一个交点，则ω的范围为（　　）
A．[2，5） B．[1，5） C．[1，2] D．
【答案】D
【解答】解：∵函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，
∴，所以，
又，得，
令f（x）＝2sinωx＝2，得，
∴f（x）在（0，+∞）上的图象与直线y＝2的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，
∴，解得1≤ω＜5，
综上，ω的取值范围为[1，]．
故选：D．
8．如图，直线y＝±m与函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）交点的横坐标分别为x1，x2，x3，若，，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：由题意可得相邻的最高点的横坐标为，与x轴交点的横坐标为，
可得，可得T＝π，解得ω＝2，
又2φ2kπ，可得φ2kπ，k∈Z，
因为0＜φ＜π，
可得φ，
所以f（x）＝sin（2x），
所以f（）＝sin（2）＝cos．
故选：A．
9．已知函数，若方程f（x）＝a（a＞0）在（0，π）的解为x1，x2（x1＜x2），且sin（x1﹣x2），则a＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为x∈（0，π），所以，
所以当时，解得即为f（x）在（0，π）的一条对称轴，
当时，解得或π，
即或为f（x）在（0，π）上的两个零点，
又因为x1，x2（x1＜x2）是方程f（x）＝a（a＞0）在（0，π）的解，
所以由图像的对称性可知，，
且，所以，
所以，
又因为，a＞0，
所以．
故选：D．
10．x∈[0，2π]时，函数y＝sinx与的图象交点个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：在同一直角坐标系中，分别作出y＝sinx与的图象，
根据图象可知两函数的图象在x∈[0，2π]有6个交点．
故选：D．
11．已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移hcm与时间ts之间的函数关系为，t∈[0，+∞），若小球1s内运动4次，则ω的值为（　　）
A．4 B．8 C．4π D．8π
【答案】D
【解答】解：∵小球1s内运动4次，即小球运动的频率为4，
∴，∴ω＝8π．
故选：D．
12．已知函数f（x）＝sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤7π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝14（m≥2，m∈N*），则m的最小值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：∵y＝sinx对任意xi，xj（i，j＝1，2，3，…，m），
都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，
要使m取得最小值，尽可能多让xi（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，
考虑0≤x1＜x2＜...＜xm≤7π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+...+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝14，
则需x1＝0，，，…，x9＝7π，
满足0≤x1＜x2＜...＜xm≤7π，则m的最小值为9．
故选：D．
13．函数的周期T＝π，设x1＜0＜x2且f（x1）+f（x2）＝0，则|x1﹣x2|的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为f（x）周期T＝π，所以ω＝2，，
因为x1＜0＜x2且f（x1）+f（x2）＝0，又f（x）图象上（0，）与点（，）关于点（0，0）对称，则|x1﹣x2|＝x2﹣x1，即|x1﹣x2|的取值范围是．
故选：B．
▉题型3 正弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
14．已知函数，g（x）＝2sin2x+acosx+1（a∈R）．
（1）求y＝f（x）的零点；
（2）设函数g（x）的最大值为h（a），求h（a）的解析式；
（3）若任意x1∈R，存在x2∈R，使f（x1）+1≥g（x2），求实数a的取值范围．
【答案】（1）x，k∈Z；
（2）h（a）；
（3）（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
【解答】解：（1）令函数0，得2xkπ，k∈Z；
解得x，k∈Z；所以y＝f（x）的零点为x，k∈Z；
（2）因为函数g（x）＝2（1﹣cos2x）+acosx+1＝﹣2cos2x+acosx+3，
设cosx＝t，t∈[﹣1，1]，则g（x）＝s（t）＝﹣2t2+at+3＝﹣23，t∈[﹣1，1]；
当1，即a＜﹣4时，s（t）在[﹣1，1]上单调递减，最大值为h（a）＝s（﹣1）＝1﹣a；
当﹣11，即﹣4≤a≤4时，s（t）在[﹣1，1]上先增后减，最大值为h（a）＝s（）3；
当1，即a＞4时，s（t）在[﹣1，1]上单调递增，最大值为h（a）＝s（1）＝1+a；
综上，h（a）；
（3）若任意x1∈R，存在x2∈R，使f（x1）+1≥g（x2），则y＝f（x）+1的最小值不小于y＝g（x）的最小值，
因为﹣1≤sin（2x）≤1，所以y＝f（x）+1的最小值为0；
因为g（x）＝﹣2cos2x+acosx+3＝﹣23，
当0，即a＞0时，cosx＝﹣1，g（x）取得最小值为﹣2﹣a+3＝1﹣a，令1﹣a≤0，解得a≥1，所以a≥1；
当0，即a≤0时，cosx＝1，g（x）取得最小值为﹣2+a+3＝1+a，令1+a≤0，解得a≤﹣1，所以a≤﹣1；
综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
15．已知A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{y|y＝sinx}，则A∩B＝（　　）
A．[﹣1，1） B．[﹣1，1] C．（﹣1，1] D．（﹣1，+∞）
【答案】C
【解答】解：若函数y＝ln（x+1）有意义，则x+1＞0，解得x＞﹣1，所以A＝（﹣1，+∞），
根据正弦函数的性质，可知sinx∈[﹣1，1]，所以B＝ {y|y＝sinx}＝[﹣1，1]，可得A∩B＝（﹣1，1]．
故选：C．
16．函数的值域为 　　 ．
【答案】（1，]．
【解答】解：因为，所以，
由正弦函数图像知，
所以f（x）的值域为（1，]．
故答案为：．
（多选）17．已知函数f（x）＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值可能是（　　）
A． B．π C． D．
【答案】ABC
【解答】解：函数f（x）＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，
则，则观察y＝sinx函数图象可得，
b﹣a的最大值为，b﹣a的最小值为，
∴，故排除D选项，A、B、C选项符合题意．
故选：ABC．
18．已知定义域为R的函数h（x）满足：对于任意的x∈R，都有h（x+2π）＝h（x）+h（2π），则称函数h（x）具有性质P．
（1）判断函数f（x）＝2x，g（x）＝cosx是否具有性质P，并说明理由；
（2）已知函数，判断是否存在ω，φ，使函数f（x）具有性质P？若存在，请求出ω，φ的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）f（x）具有性质P，g（x）不具有性质P，理由见解析；
（2）存在，ω＝2，φ＝0．
【解答】解：（1）因为f（x）＝2x，则f（x+2π）＝2（x+2π）＝2x+4π，又f（2π）＝4π，
所以f（x+2π）＝f（x）+f（2π），故函数f（x）＝2x具有性质P，
因为g（x）＝cosx，则g（x+2π）＝cos（x+2π）＝cosx，又g（2π）＝cos2π＝1，
g（x）+g（2π）＝cosx+1≠g（x+2π），故g（x）＝cosx不具有性质P；
（2）若函数f（x）具有性质P，则f（0+2π）＝f（0）+f（2π），即f（0）＝sinφ＝0，
因为，所以φ＝0，所以f（x）＝sin（ωx），
若f（2π）≠0，不妨设f（2π）＞0，由f（x+2π）＝f（x）+f（2π），
得f（2kπ）＝f（0）+kf（2π）＝kf（2π）（k∈Z）（*），
只要k充分大时，kf（2π）将大于1，而f（x）的值域为[﹣1，1]，
故等式（*）不可能成立，所以必有f（2π）＝0成立，
即sin（2ωπ）＝0，因为，所以3π＜2ωπ＜5π，
所以2ωπ＝4π，则ω＝2，此时f（x）＝sin2x，
则f（x+2π）＝sin2（x+2π）＝sin2x，而f（x）+f（2π）＝sin2x+sin4π＝sin2x，即有f（x+2π）＝f（x）+f（2π）成立，
所以存在ω＝2，φ＝0使函数f（x）具有性质P．
19．已知函数．
（1）求的值；
（2）当时，求函数f（x）的最大值与最小值．
【答案】（1）﹣1；
（2）2，﹣1．
【解答】解：（1）．
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
即f（x）的最大值为2，最小值为﹣1．
20．已知函数在上的最小值为m，最大值为M，若，则实数a的取值范围为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得，
令，因为，所以，
在坐标系内画出函数y＝sinz的大致图象如下：
当时，，则，
结合可知，，∴，故，
即当，即时，y取得最大值，
最大值为，因此y的最小值m为﹣1，
要使y取得最小值，由图象可知必有，解得．
故实数a的取值范围为．
故答案为：．
▉题型4 正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
21．下列关于函数y＝4sinx，x∈[0，2π]的单调性的叙述，正确的是（　　）
A．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减
B．在上单调递增，在上单调递减
C．在及上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递增，在上单调递减
【答案】C
【解答】解：结合正弦函数的单调性可知，f（x）＝4sinx在[0，]，[，2π]上单调递增，在[]上单调递减，
结合选项可知，C正确．
故选：C．
22．已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：当，．
因为f（x）在上单调递增，
故，则0＜ω≤2．
当，，且，．
又因为函数在上有且仅有1个零点，
故讨论两种情况：①，或②．
解①可得ω，解②可得ω．
综上：ω的取值范围为．
故选：C．
23．若a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan48°，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan48°，
根据诱导公式，则b＝cos55°＝sin35°，
函数y＝sinx在上单调递增，
故sin33°＜sin35°＝cos55°＜1，
y＝tanx在上单调递增，则tan48°＞tan45°＝1，
故a＜b＜c．
故选：D．
24．最小正周期为2π，且在区间上单调递增的函数是（　　）
A．y＝sinx+cosx B．y＝sinx﹣cosx
C．y＝sinxcosx D．y
【答案】B
【解答】解：对于选项A，y＝sinx+cosx，最小正周期为，
x∈时，x∈（，），
由正弦函数的单调性知，y＝sinx+cosx在区间上不单调递增，则选项A错误；
对于选项B，y＝sinx﹣cosx，最小正周期为，
单调递增区间为，即，
该函数在上为单调递增，则选项B正确；
对于选项C，，最小正周期为，
x∈时，2x∈（0，π），由正弦函数的单调性知，该函数在上不单调递增，则选项C错误；
对于选项D，，最小正周期为T＝π，在为单调递增，则选项D错误．
故选：B．
25．已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是 　（0，1]　 ．
【答案】（0，1]．
【解答】解：由题意令，
则，
由题意取k＝0，则，
所以，解得，
结合ω＞0，知0＜ω≤1，即ω的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
26．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为f（x）＝sin（ωx+φ）是奇函数，
所以f（0）＝sinφ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0，
因为f（x）＝sinωx在上单调递增，
所以 ，
于是，解得．
故答案为：．
（多选）27．已知函数f（x）的图象是由函数y＝2sinxcosx的图象向右平移个单位得到，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在区间上单调递增
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象关于点对称
【答案】AD
【解答】解：y＝2sinxcosx＝sin2x，y＝sin2x向右平移个单位得到：，
∴，
∴f（x）的最小正周期为π，A正确；
时，，∴f（x）在上没有单调性，B错误；
解x时，，∴不是f（x）的对称轴，C错误；
解得，，∴是f（x）的对称中心，D正确．
故选：AD．
（多选）28．下列四个函数中，周期为π且在区间（，π）上单调递增的有（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cos2x C．y＝tanx D．
【答案】BC
【解答】解：对于A，函数y＝|sinx|的最小正周期为π，且在区间上单调递减，故A不符合题意；
对于B，函数y＝cos2x的最小正周期为且在区间上单调递增，故B符合题意；
对于C，函数y＝tanx的最小正周期为π，且在区间上单调递增，故C符合题意；
对于D，y＝cos的最小正周期为4π，故D不符合题意．
故选：BC．
29．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
【答案】（1）；
（2）[kπ，kπ]，k∈Z．
【解答】解：（1）因为函数（ω＞0）的最小正周期为π，
所以π，可得ω＝2，可得f（x）＝2sin（2x），
所以2sin（2）；
（2）由（1）可得f（x）＝2sin（2x），
令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．
30．已知．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若，，求满足不等式g（x）≥1的x的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）
＝cosx（sinxcosx）（sin2xcos2x）
，
令，解得，
故f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（2）∵f（x）＝sin（2x），
∴sinx﹣cosx+sin2x，
令，
则t2＝1﹣sin2x，所以sin2x＝1﹣t2，
∴不等式g（x）≥1可化为﹣t2+t+1≥1，解得0≤t≤1，即，
由，解得，
∴不等式g（x）≥1的x的取值范围为．
31．已知．
（1）求f（x）的最小正周期以及在上的单调递增区间；
（2）若，求的值．
【答案】（1）π，；
（2）．
【解答】解：（1），
则f（x）的最小正周期为π；
要求f（x）的单调递增区间，即求的单调递减区间，
由得，，
当k＝﹣1时，，当k＝0时，，
∵，
∴在上的单调递减区间为，
即f（x）在上的单调递增区间为．
（2）∵，∴．
∵，∴，
∵，∴，故，
∴
．
32．已知函数的最小正周期为π，且f（x）的图象关于直线对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求f（x）在上的值域．
【答案】（1）；
（2）；
（3）[﹣1，2]．
【解答】解：（1）由题意得．
因为f（x）的图象关于直线对称，所以，
得，
又，所以，故；
（2）令，
得，
所以f（x）的单调递减区间为；
（3）由，得，
所以，，
故f（x）在上的值域为[﹣1，2]．
33．已知的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求y＝f（x），的单调递减区间；
（3）若时，函数y＝f（x）+m有两个零点x1，x2，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由图可得，，解得，
又因为，所以ω＝3，
因为f（x）的图象经过，所以，
所以，即，
又因为，所以，
故f（x）的解析式为：；
（2）当时，，
因为y＝sinx在单调递减，由，
所以的单调递减区间是；
（3）当时，，
因为y＝sinx在和上单调递增，在上单调递减，
由，得，
由，得，
由，得，
所以函数f（x）在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数f（x）在上的图象如图所示，
因为函数 g（x）＝f（x）+m在上有两个零点，
所以与y＝﹣m在上有两个交点，
所以，
所以实数m的取值范围为．
34．已知函数．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）若是偶函数，求g（x）的减区间；
（3）求f（x）在区间上的值域．
【答案】（1）π；（2）g（x）的减区间是；（3）（﹣1，2]．
【解答】解：（1）函数，故函数f（x）的最小正周期为T＝π；
（2）因，则，
因g（x）是偶函数，则，
由于，故；
所以，
由2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，
整理得：；
所以g（x）的减区间是．
（3）当，则，
所以：．
所以f（x）在区间上的值域为（﹣1，2]．
35．已知函数．
（1）求f（x）图象的对称中心和f（x）在上的单调区间；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）对称中心为，递增区间是，递减区间是；
（2）．
【解答】解：（1）由题意得
sin2x（1+cos2x）1sin2xcos2x+1sin（2x）+1，
令，解得，
所以f（x）图象的对称中心为；
由，得，
结合正弦函数的单调性，可得：
当，即时，f（x）单调递增，
当，即时，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）由（1）及，解得，
结合α∈（0，π），可得，
而，因此，，
所以，
，
可得
．
36．已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；
（2）写出f（x）的单调递增区间．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】解：（1）由题意得的周期为，
在区间[，]上，列表如下：
x
0 π 2π
f（x） 0 2 0 ﹣2 0
将（，0），（，2），（，0），（，﹣2），（，0）连成平滑的曲线，
可得f（x）在一个周期上的图象，如下图所示．
（2）由，解得．
所以f（x）的单调递增区间为．
37．已知函数f（x）＝2sin（2x），x∈R．
（1）在用“五点法”作函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象时，列表如下：
x 0 π
f（x）
将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象：
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间上的最值以及对应的x的值．
【答案】（1）表格见解析，图像如图所示．
（2）时，f（x）取最大值；时，f（x）取最小值﹣2．
【解答】解：（1）根据题意，可得f（x）的周期Tπ，
在用“五点法”作函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象时，列表如下：
0 π
x 0 π
f（x） 0 2 0 ﹣2
描点、连线，可得图象如下：
（2）当时，可得，
所以当时，f（x）取得最大值2sin，
当时，f（x）取最小值2sin（）＝﹣2．
38．已知常数ω＞0，函数f（x）＝sinωx在区间上单调，则ω不可能等于（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解答】解：因为x∈时，ωx∈[，]，
所以当f（x）在区间上单调时，在[，]内不含形如的值．
对于A，当时，区间[，]即，故A符合条件；
对于B，当ω＝2时，区间[，]即，故B符合条件；
对于C，当时，区间[，]即，由，可知C项不符合条件；
对于D，当ω时，区间[，]即，故D符合条件．
故选：C．
39．设f（x）asin2x+acos2x，其中a∈R，a≠0，则：
①f（x）相邻两条对称轴之间的距离为；
②f（x）≤2a；
③f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是；
⑤f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称．
以上结论正确的是 　①③⑤　 ．（写出所有正确结论的编号）
【答案】①③⑤．
【解答】解：由题意得f（x）＝2a（sin2xcoscos2xsin）＝2asin（2x），
根据f（x）的周期Tπ，可知f（x）相邻两条对称轴之间的距离为，故①正确；
由正弦函数的性质可知f（x）≤2|a|，不一定有f（x）≤2a，故②不正确；
根据正弦函数的性质，可知不论a不何值，f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，故③正确；
当a＜0时，令2x∈[2kπ，kπ]，k∈Z，解得x∈，
此时f（x）的单调递增区间是，
若a＞0，则是f（x）的单调递减区间，故④不正确；
将f（x）的图象向左平移个单位长度，
可得y＝2asin（2x）＝2asin（2x）＝2acos2x的图象，
由余弦函数为偶函数，可知y＝2acos2x是偶函数，图象关于y轴对称，故⑤正确．
综上所述，其中结论正确的是①③⑤．
故答案为：①③⑤．
40．已知函数，对 x∈R都有，且在上单调，则ω的取值集合为 　{1，4}　 ．
【答案】{1，4}．
【解答】解：由于，所以，故，
故，（k∈Z），
故ω＝3k+1，（k∈Z）；
当k＝0时，ω＝1，故，由于，故，满足单调的条件，
同理k＝1时，ω＝4，故，也满足单调的条件，
当k＝2时，ω＝7，故，由于，∈不满足单调的条件．
故答案为：{1，4}．
41．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若函数y＝f（x）+1在[0，b]（b＞0）上至少有2个零点，求b的最小值．
【答案】（1）；
（2）（k∈Z）；
（3）．
【解答】解：（1）由图象可知，解得，
又，得T＝π，
所以，所以f（x）＝2sin（2x+φ）﹣1，
由，得，
又，所以，所以．
（2）由（1）知，，
令，k∈Z，
得，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．
（3）函数y＝f（x）+1在[0，b]（b＞0）上至少有2个零点，
即函数在[0，b]上至少有两个零点，
由x∈[0，b]，得，
所以，解得，
所以b的最小值为．
▉题型5 正弦函数的奇偶性和对称性
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ，k∈z．
【解题方法点拨】
例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝　　 ．
解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x，
而函数y＝sint的对称轴为
则，解得（k∈Z）
则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为
故答案为．
这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．
42．已知函数的最小正周期为π，则f（x）图象的一个对称中心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由，得ω＝1，所以．
令，则，
当k＝﹣1时，，
所以f（x）图象的一个对称中心的坐标为．
故选：D．
43．已知函数，下列四个结论中，正确的有（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）在上单调递增
【答案】D
【解答】解：函数，最小正周期，A选项错误；
由，
则函数f（x）的图象不关于直线对称，B选项错误；
由，
则函数f（x）的图象不关于点对称，C选项错误；
因为函数y＝sinx在上单调递增，
时，，
所以函数f（x）在上单调递增，D选项正确．
故选：D．
44．已知，在上单调递减，为f（x）的一个对称轴，为奇函数，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：因为函数f（x）在内单调递减，
所以，得|ω|≤2，
因为是函数f（x）的一条对称轴，
所以①，
因为函数是奇函数，
所以②，
由①﹣②可得，ω＝4（k﹣m）+2，
而|ω|≤2，所以|ω|＝2，
当ω＝2时，，得，m∈Z，
因为，所以，
即，
当时，，显然此时函数单调递减，符合题意，
所以，
当ω＝﹣2时，，得，m∈Z，
因为，所以，
即，
当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
所以．
故选：A．
45．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象关于点对称，当时，f（x）＞0．若g（x）＝f（x）+2|f（x）|，g（x）在上的值域为　[0，1]　 ．
【答案】[0，1]．
【解答】解：由题意知，kπ，又﹣π＜φ＜π，可得φ，
所以f（x）＝sin（3x）＝cos3x，
当x，3x∈，cos3x∈[﹣1，0]，
所以g（x）＝cos3x﹣2cos3x＝﹣cos3x，
g（x）值域为[0，1]，
故答案为：[0，1]．
46．已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线且f（x）在区间上有且仅有两个零点，则ω＝ 　18　 ．
【答案】18．
【解答】解：函数图象的一个对称中心是，
依题意，，
解得，
ω＝4（k2﹣k1）+2＝4n+2，k1，k2∈Z，k2﹣k1＝n∈N，而，
则，
，由，得，
由f（x）在区间上有且仅有两个零点，得，解得14＜ω≤22，
于是3＜n≤5，ω＝18或ω＝22，当ω＝22时，，
，不符合要求，
当ω＝18时，，，符合题意，
所以ω＝18．
故答案为：18．
47．已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为奇函数．g（x）＝f（x）﹣2，记函数g（x）在上的零点从小到大依次为x1，x2， ，xn，则x1+2x2+2x3+ +2xn﹣1+xn的值为 　4π　 ．
【答案】4π．
【解答】解：由题意知，f（x）＝3sin（ωx+φ）的最小正周期为T＝π，所以ω2，
所以f（x）＝3sin（2x+φ），又y＝f（x）＝3sin（2xφ）为奇函数，
令φ＝kπ，k∈Z，解得φkπ，k∈Z，又|φ|，所以φ，
所以f（x）＝3sin（2x），g（x）＝3sin（2x）﹣2，
由g（x）＝3sin（2x）﹣2＝0，得到sin（2x），
因为x∈[，]，
令u＝2x，u∈[0，3π]，则sinu，
设ui＝2xi，（1≤i≤n，i∈Z），如图所示：
由图可知，直线y与函数y＝sinx在[0，3π]上的图象有四个交点，
点关于直线u对称，
点关于直线u对称，
所以u1+2（u2+u3）+u4＝9π，而ui＝2xi，（1≤i≤n，i∈Z），
代入得：x1+2x2+2x3+x4＝4π．
故答案为：4π．
（多选）48．已知函数，则（　　）
A．f（x）是偶函数
B．π是f（x）的一个周期
C．f（x）的图象关于直线x＝π对称
D．f（x）在区间上单调递减
【答案】AC
【解答】解：因为的定义域为R，
且，所以f（x）是偶函数，A正确；
因为f（x），
所以π不是f（x）的周期，B错误；
因为f（2π﹣x）f（x），
所以f（x）的图象关于直线x＝π对称，C正确；
因为
，
当时，则，所以，sinx＞0，cos2x＞0，则f′（x）＞0，
故f（x）在区间上单调递增，D错误，
故选：AC．
（多选）49．函数y＝sinx，的反函数称为反正弦函数，记为y＝arcsinx，x∈[﹣1，1]；函数y＝cosx，x∈[0，π]的反函数称为反余弦函数，记为y＝arccosx，x∈[﹣1，1]．则下列等式正确的有（　　）
A．arccos（﹣x）＝arccosx
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解答】解：设arccosx＝θ，即cosθ＝x，设arccos（﹣x）＝α，即cosα＝﹣x，
所以cosα＝﹣x＝﹣cosθ，又α，θ∈[0，π]，所以α＝π﹣θ，
所以arccos（﹣x）+arccosx＝π，故A错误；
由，故B正确；
设arcsinx＝β sinβ＝x，，arccosx＝θ cosθ＝x，θ∈[0，π]，
所以，故C正确；
由arccosx＝θ，θ∈[0，π]，即cosθ＝x，所以，故D正确．
故选：BCD．
（多选）50．已知函数f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的周期为
C．（π，0）是f（x）的一个对称中心
D．f（x）在区间上单调递减
【答案】ABD
【解答】解：函数f（x），画出函数图象，如图所示：
根据图象，过最值点和零点的垂线都是对称轴，，
所以f（x）的图象关于直线对称，故A正确；
函数周期，故B正确；
，则x＝π是f（x）的一个对称轴，f（x）无对称中心，故C错误；
当时，，此时sin2x≥0，且sin2x单调递减，故D正确．
故选：ABD．
（多选）51．已知函数的图象的一条对称轴是，则（　　）
A． B．
C．是偶函数 D．f（x）值域为[﹣2，2]
【答案】BCD
【解答】解：因为函数的图象的一条对称轴是，
所以2，k∈Z，
则，k∈Z，
因为|φ|，
所以，A错误，B正确；
因为f（x）＝2sin（2x）＝2cos2x，为偶函数，C正确；
根正弦函数的性质可知，f（x）的值域为[﹣2，2]，D正确．
故选：BCD．
52．已知函数．
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若时，f（x）的最小值为3，求实数a的值．
【答案】（1）（，a），k∈Z；
（2）[kπ，kπ]，k∈Z；
（3）5．
【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（2x）+a＝﹣2sin（2x）+a，
令2xkπ，解得xkπ，
所以函数f（x）的对称中心为（，a），k∈Z；
（2）令2kπ≤2x2kπ，解得kπ≤xkπ，
所以函数f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
（3）x∈[0，]时，2x∈[，]，所以sin（2x）∈[，1]，
所以f（x）＝﹣2sin（2x）+a的最小值为﹣2+a＝3，解得a＝5．
53．若函数满足，则ω+m的值为（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：因为函数满足，
可得函数f（x）关于点对称，
所以m＝1，且，
所以，
则ω＝3k﹣1（k∈Z），
又0＜ω＜5，
当k＝1时，ω＝2，所以ω+m＝3．
故选：B．
54．函数f（x）＝sin2x是（　　）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】A
【解答】解：函数f（x）＝sin2x的定义域为R，且f（﹣x）＝sin2（﹣x）＝﹣sin2x＝﹣f（x），
所以函数是奇函数，不是偶函数．
故选：A．
（多选）55．已知y＝2sin（4x+φ）+B为偶函数，则φ和B的可能取值分别为（　　）
A． B． C． D．π，﹣2
【答案】ABC
【解答】解：因为y＝2sin（4x+φ）+B为偶函数，
所以φkπ（k∈Z），B∈R，
结合选项可知A，B，C符合题意．
故选：ABC．
56．已知函数．
（1）求f（x）图象的对称中心的坐标；
（2）解关于x的不等式f（x）≥1；
（3）设函数，，，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为，
令，解得，
故f（x）图象的对称中心为．
（2）由，得，
则，
解得，
故不等式f（x）≥1的解集为．
（3）由题意可得．
因为，，所以，，
则
．
（多选）57．已知函数若为奇函数，为偶函数，且在至多有2个实根，则ω的可能的值有（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】BD
【解答】解：由题意，为奇函数，为偶函数，
可得是对称中心，是对称轴，
可得，得，
由于，可得ω＝4k+2（k∈Z），
可得ω不是4的倍数，所以排除A、C；
对于B，若ω＝10，且为奇函数，为偶函数，可得，
由于，解得，
又因为，
所以或，
解得或，
则在内的根为0和，符合题意，故B正确；
D项：若ω＝6，且为奇函数，为偶函数，，
因为，解得，则由，
得或，解得或，
则在内的根为和，符合题意，故D正确．
故选：BD．
58．已知函数．
（1）若函数y＝f（x+m）是奇函数，求|m|的最小值；
（2）若，求cos2α的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
函数是奇函数，
所以，
所以k＝0时，．
（2）因为，
所以，
因为，
若，与矛盾，
所以，
所以，
所以
．
59．已知f（x）＝asinx+bx+2，若f（﹣2018）＝2019，则f（2018）＝　﹣2015　 ．
【答案】﹣2015．
【解答】解：∵f（x）＝asinx+bx+2，若f（﹣2018）＝asin（﹣2018）+b（﹣2018）+2＝﹣asin2018﹣2018b+2＝2019，
∴asin2018+2018b＝﹣2017，
则f（2018）＝asin2018+2018b+2＝﹣2017+2＝﹣2015，
故答案为：﹣2015．
60．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），若f（x）的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）记方程在上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+ +2xn﹣1+xn的值．
【答案】（1）[﹣2，]．
（2）n＝5，．
【解答】解：（1）∵f（x）的图象的相邻两对称轴间的距离为，
∴，即T，得ω＝4，
则f（x）＝2sin（4x+φ），
∵f（x）过点．
∴4+φ2kπ，k∈Z，
得φ2kπ，k∈Z，
∵﹣π＜φ＜π，
∴当k＝0时，φ，
则f（x）＝2sin（4x），
当时，4x，
则﹣1≤sin（4x），﹣2≤2sin（4x），
即f（x）的值域为[﹣2，]．
（2）作出函数f（x）在上图象如图：
则y与f（x）的图象在上共有5个不同的交点，交点横坐标由小到大依次为x1，x2，…，x5，故n＝5，
由4x2kπ，k∈Z，
得x，k∈Z，
则f（x）在上的对称轴分别为x，x，x，x，x，
则x1+x2＝2，x2+x3＝2，x3+x4＝2，x4+x5＝2，
则x1+2x2+2x3+ +2x4+x5＝（x1+x2）+（x2+x3）+（x3+x4）+（x4+x5）．第7章第1节 正弦函数的图像与性质
题型1 三角函数的周期性 题型2 正弦函数的图象
题型3 正弦函数的定义域和值域 题型4 正弦函数的单调性
题型5 正弦函数的奇偶性和对称性
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　）
A．y＝tan2x B．
C． D．
2．设函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期，及对称轴，对称中心．
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
（3）求函数时，x的取值范围？
3．已知定义在R上的函数f（x）满足，且当时，f（x）＝sin4x﹣cos2x（cos2x﹣1），则（　　）
A． B． C． D．
4．函数的最小正周期为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
5．若函数的最小正周期为1，则函数y＝tanωx图象的对称中心为（　　）
A． B．
C． D．
6．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
▉题型2 正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最　值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
7．已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，若函数f（x）在上的图象与直线y＝2有且仅有一个交点，则ω的范围为（　　）
A．[2，5） B．[1，5） C．[1，2] D．
8．如图，直线y＝±m与函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）交点的横坐标分别为x1，x2，x3，若，，则（　　）
A． B． C． D．1
9．已知函数，若方程f（x）＝a（a＞0）在（0，π）的解为x1，x2（x1＜x2），且sin（x1﹣x2），则a＝（　　）
A． B． C． D．
10．x∈[0，2π]时，函数y＝sinx与的图象交点个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移hcm与时间ts之间的函数关系为，t∈[0，+∞），若小球1s内运动4次，则ω的值为（　　）
A．4 B．8 C．4π D．8π
12．已知函数f（x）＝sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤7π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝14（m≥2，m∈N*），则m的最小值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．函数的周期T＝π，设x1＜0＜x2且f（x1）+f（x2）＝0，则|x1﹣x2|的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
▉题型3 正弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
14．已知函数，g（x）＝2sin2x+acosx+1（a∈R）．
（1）求y＝f（x）的零点；
（2）设函数g（x）的最大值为h（a），求h（a）的解析式；
（3）若任意x1∈R，存在x2∈R，使f（x1）+1≥g（x2），求实数a的取值范围．
15．已知A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{y|y＝sinx}，则A∩B＝（　　）
A．[﹣1，1） B．[﹣1，1] C．（﹣1，1] D．（﹣1，+∞）
16．函数的值域为 　 ．
（多选）17．已知函数f（x）＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值可能是（　　）
A． B．π C． D．
18．已知定义域为R的函数h（x）满足：对于任意的x∈R，都有h（x+2π）＝h（x）+h（2π），则称函数h（x）具有性质P．
（1）判断函数f（x）＝2x，g（x）＝cosx是否具有性质P，并说明理由；
（2）已知函数，判断是否存在ω，φ，使函数f（x）具有性质P？若存在，请求出ω，φ的值；若不存在，请说明理由．
19．已知函数．
（1）求的值；
（2）当时，求函数f（x）的最大值与最小值．
20．已知函数在上的最小值为m，最大值为M，若，则实数a的取值范围为 　　 ．
▉题型4 正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
21．下列关于函数y＝4sinx，x∈[0，2π]的单调性的叙述，正确的是（　　）
A．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减
B．在上单调递增，在上单调递减
C．在及上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递增，在上单调递减
22．已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
23．若a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan48°，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c
24．最小正周期为2π，且在区间上单调递增的函数是（　　）
A．y＝sinx+cosx B．y＝sinx﹣cosx
C．y＝sinxcosx D．y
25．已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是 　 ．
26．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是 　　 ．
（多选）27．已知函数f（x）的图象是由函数y＝2sinxcosx的图象向右平移个单位得到，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在区间上单调递增
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象关于点对称
（多选）28．下列四个函数中，周期为π且在区间（，π）上单调递增的有（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cos2x C．y＝tanx D．
29．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
30．已知．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若，，求满足不等式g（x）≥1的x的取值范围．
31．已知．
（1）求f（x）的最小正周期以及在上的单调递增区间；
（2）若，求的值．
32．已知函数的最小正周期为π，且f（x）的图象关于直线对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求f（x）在上的值域．
33．已知的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求y＝f（x），的单调递减区间；
（3）若时，函数y＝f（x）+m有两个零点x1，x2，求实数m的取值范围．
34．已知函数．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）若是偶函数，求g（x）的减区间；
（3）求f（x）在区间上的值域．
35．已知函数．
（1）求f（x）图象的对称中心和f（x）在上的单调区间；
（2）已知，求的值．
36．已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；
（2）写出f（x）的单调递增区间．
37．已知函数f（x）＝2sin（2x），x∈R．
（1）在用“五点法”作函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象时，列表如下：
x 0 π
f（x）
将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象：
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间上的最值以及对应的x的值．
38．已知常数ω＞0，函数f（x）＝sinωx在区间上单调，则ω不可能等于（　　）
A． B．2 C． D．
39．设f（x）asin2x+acos2x，其中a∈R，a≠0，则：
①f（x）相邻两条对称轴之间的距离为；
②f（x）≤2a；
③f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是；
⑤f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称．
以上结论正确的是 　 　 ．（写出所有正确结论的编号）
40．已知函数，对 x∈R都有，且在上单调，则ω的取值集合为 　　 　 ．
41．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若函数y＝f（x）+1在[0，b]（b＞0）上至少有2个零点，求b的最小值．
▉题型5 正弦函数的奇偶性和对称性
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ，k∈z．
【解题方法点拨】
例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝　　 ．
解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x，
而函数y＝sint的对称轴为
则，解得（k∈Z）
则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为
故答案为．
这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．
42．已知函数的最小正周期为π，则f（x）图象的一个对称中心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
43．已知函数，下列四个结论中，正确的有（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）在上单调递增
44．已知，在上单调递减，为f（x）的一个对称轴，为奇函数，则（　　）
A． B． C． D．1
45．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象关于点对称，当时，f（x）＞0．若g（x）＝f（x）+2|f（x）|，g（x）在上的值域为　　 　 ．
46．已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线且f（x）在区间上有且仅有两个零点，则ω＝ 　 ．
47．已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为奇函数．g（x）＝f（x）﹣2，记函数g（x）在上的零点从小到大依次为x1，x2， ，xn，则x1+2x2+2x3+ +2xn﹣1+xn的值为 　　 ．
（多选）48．已知函数，则（　　）
A．f（x）是偶函数
B．π是f（x）的一个周期
C．f（x）的图象关于直线x＝π对称
D．f（x）在区间上单调递减
（多选）49．函数y＝sinx，的反函数称为反正弦函数，记为y＝arcsinx，x∈[﹣1，1]；函数y＝cosx，x∈[0，π]的反函数称为反余弦函数，记为y＝arccosx，x∈[﹣1，1]．则下列等式正确的有（　　）
A．arccos（﹣x）＝arccosx
B．
C．
D．
（多选）50．已知函数f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的周期为
C．（π，0）是f（x）的一个对称中心
D．f（x）在区间上单调递减
（多选）51．已知函数的图象的一条对称轴是，则（　　）
A． B．
C．是偶函数 D．f（x）值域为[﹣2，2]
52．已知函数．
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若时，f（x）的最小值为3，求实数a的值．
53．若函数满足，则ω+m的值为（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
54．函数f（x）＝sin2x是（　　）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
（多选）55．已知y＝2sin（4x+φ）+B为偶函数，则φ和B的可能取值分别为（　　）
A． B． C． D．π，﹣2
56．已知函数．
（1）求f（x）图象的对称中心的坐标；
（2）解关于x的不等式f（x）≥1；
（3）设函数，，，求的值．
（多选）57．已知函数若为奇函数，为偶函数，且在至多有2个实根，则ω的可能的值有（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
58．已知函数．
（1）若函数y＝f（x+m）是奇函数，求|m|的最小值；
（2）若，求cos2α的值．
59．已知f（x）＝asinx+bx+2，若f（﹣2018）＝2019，则f（2018）＝　　 ．
60．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），若f（x）的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）记方程在上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+ +2xn﹣1+xn的值．

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