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第7章第2节 余弦函数的图像与性质
题型1 三角函数的周期性 题型2 余弦函数的图象
题型3 余弦函数的定义域和值域 题型4 余弦函数的单调性
题型5 余弦函数的对称性
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　）
A．y＝tan2x B．
C． D．
2．设函数f（x）cosxsinx，则下列结论错误的是（　　）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y＝f（x）的图象关于直线x对称
C．f（x+π）的一个零点为x
D．f（x）在（，π）上单调递减
3．已知定义在R上的函数f（x）满足，且当时，f（x）＝sin4x﹣cos2x（cos2x﹣1），则（　　）
A． B． C． D．
4．函数f（x）＝3sin（ωx）（ω＞0）在区间[0，π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为（　　）
A．（，] B．[，） C．（，] D．[，）
5．函数的最小正周期为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
6．若函数的最小正周期为1，则函数y＝tanωx图象的对称中心为（　　）
A． B．
C． D．
7．函数f（x）＝sinx﹣cosx的最小正周期和最大值分别为（　　）
A． B．π，2 C． D．
8．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
9．下列四个函数中，周期为π的是（　　）
A． B．y＝tan2x C．y＝|sin2x| D．y＝5+cos2x
10．关于函数y＝sinx（sinx+cosx）描述正确的是（　　）
A．最小正周期是2π
B．最大值是
C．一条对称轴是x
D．一个对称中心是（，）
11．已知函数的最小正周期为π，则下列结论正确的是（　　）
A．f（1）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（1）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（0） D．f（1）＜f（0）＜f（﹣2）
12．若函数的最小正周期为2πω，则 　 ．
13．设f（x）＝6sin（πx）﹣5，当实数a变化时，f（x）在区间中至少有m个零点，至多有n个零点，则m+n＝ 　 ．
14．已知函数，则下列说法正确的是 　 （填序号）．
①f（x）的周期是π；
②f（x）的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线是函数f（x）图象的一条对称轴；
④f（x）的单调递减区间是，k∈Z．
15．设函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期，及对称轴，对称中心．
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
（3）求函数时，x的取值范围？
16．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
17．已知函数．
（1）若tan（α+2025π）＝2，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
18．求下列函数的周期：
（1）y＝3sinx，x∈R；
（2）y＝cos2x，x∈R；
（3）y＝2sin，x∈R．
▉题型2 余弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z）
最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
19．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
20．已知函数在上单调递增，且当时，f（x）≥0恒成立，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
21．不等式在[﹣π，π]上的解集为（　　）
A． B．
C． D．
22．已知ω＞0，曲线y＝cosωx与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω＝（　　）
A． B． C． D．
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线与单位圆的交点个数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
（多选）24．函数y＝1+cosx，的图像与直线y＝t（t为常数）的交点可能有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（多选）25．下列说法正确的是（　　）
A．若，则或
B．是函数的一条对称轴
C．
D．若，则在方向上的投影向量的模为
26．已知函数f（x）＝cos（2ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过点，且对任意，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，则ω的取值范围是　　 ．
27．函数在区间上有两个零点x1，x2，（x1＜x2），则tan（x1﹣x2）＝　　 ．
28．已知函数y＝acos（2x）+3（a＞0），x∈[0，]的最大值为4，则实数a的值为　 ．
29．已知x∈（0，π），且2cosx﹣1＝0，则x＝ 　 ．
▉题型3 余弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
30．若函数y＝cosx的定义域为[a，b]，值域为，则b﹣a的取值范围是 　　 ．
31．函数y的定义域是　 ．
32．已知，t是函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的两个零点，的最小值为，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在上的值域．
▉题型4 余弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
33．函数的单调递减区间是（　　）
A．
B．
C．
D．
34．函数在（0，π）上单调递减，则ω的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
35．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0）满足恒成立，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 　　 　 ．
（多选）36．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）在上单调递减
B．f（x）的图象关于点对称
C．若f（x1）＝3，f（x2）＝﹣1，则
D．若f（x1）＝f（x2）＝1，且x1≠x2，则
（多选）37．已知函数，则（　　）
A．f（x）的最大值是2
B．f（x）在上单调递增
C．直线是函数y＝f（x）的一条对称轴
D．函数y＝f（x）的对称中心坐标为
38．请写出满足下列条件的函数f（x）的一个解析式：①最小正周期为π；②在上单调递增；③在定义域内满足f（﹣x）＝f（x）．则f（x）＝　　 ．
39．已知函数．
（1）求函数f（x）图像的对称中心以及函数的单调递减区间；
（2）若β∈（0，π），，求角β的大小．
（多选）40．设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是R上的奇函数，若f（x）在区间[，]上单调递减，则ω的取值可能为（　　）
A．6 B．4 C． D．
41．已知函数．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）求在上的单调递增区间．
▉题型5 余弦函数的对称性
【知识点的认识】
余弦函数的对称性
余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．
42．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在（﹣2t，t）（t＞0）上没有最值，则实数t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
43．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是偶函数，且当，f（x）≥0恒成立，则ω的最大值为　　 ．
44．已知函数是奇函数，则tanφ的值为 　 ．
45．已知函数的最小正周期为，且f（0）＝1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）对称轴及对称中心．
46．函数f（x）＝2sin2ωx﹣cos2ωx的两条相邻的对称轴的距离为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在上单调递增
47．写出函数图象的一条对称轴的方程：x＝ 　 　 ．
48．函数的对称轴是 　 　　 ．
（多选）49．已知函数f（x）＝2cos（2x+φ）（|φ|）满足f（x）+f（x）＝0，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于直线x对称
C．f（x）在区间[，]上单调递增
D．f（x）在区间（0，π）上有两个零点第7章第2节 余弦函数的图像与性质
题型1 三角函数的周期性 题型2 余弦函数的图象
题型3 余弦函数的定义域和值域 题型4 余弦函数的单调性
题型5 余弦函数的对称性
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　）
A．y＝tan2x B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于A，y＝tan2x的最小正周期为，故A错误；
对于B，为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
对于D，为偶函数，故D错误．
故选：C．
2．设函数f（x）cosxsinx，则下列结论错误的是（　　）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y＝f（x）的图象关于直线x对称
C．f（x+π）的一个零点为x
D．f（x）在（，π）上单调递减
【答案】D
【解答】解：∵函数f（x）cosxsinx＝cos（x），
∴f（x）的周期为2π，故A正确；
令x，求得f（x）＝﹣1，为最小值，故y＝f（x）的图象关于直线x对称，故B正确；
∵f（x+π）＝cos（x+π）＝﹣cos（x），令x，求得f（x+π）＝0，故y＝f（x+π）的一个零点为x，故C 正确；
在（，π）上，x∈（，），故f（x）在（，π）上不单调，故D错误，
故选：D．
3．已知定义在R上的函数f（x）满足，且当时，f（x）＝sin4x﹣cos2x（cos2x﹣1），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意f（x）满足，
可得，
可得f（x）的周期为π，
又当时，
可得f（x）＝sin4x﹣cos2x（cos2x﹣1）＝sin4x﹣cos4x+cos2x＝（sin2x﹣cos2x）（sin2x+cos2x）+cos2x＝sin2x，
所以
．
故选：D．
4．函数f（x）＝3sin（ωx）（ω＞0）在区间[0，π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为（　　）
A．（，] B．[，） C．（，] D．[，）
【答案】B
【解答】解：函数f（x）＝3sin（ωx）（ω＞0）在区间[0，π]上恰有2个零点，
所以，故，
整理得：．
故选：B．
5．函数的最小正周期为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】C
【解答】解：函数的最小正周期为π，
故选：C．
6．若函数的最小正周期为1，则函数y＝tanωx图象的对称中心为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：，故ω＝±2π，
当ω＝2π时，y＝tan2πx，
令，解得，
当ω＝﹣2π时，y＝tan（﹣2πx），
令，解得，
故函数y＝tanωx图象的对称中心为．
故选：B．
7．函数f（x）＝sinx﹣cosx的最小正周期和最大值分别为（　　）
A． B．π，2 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵，
∴f（x）的最小正周期T＝2π，f（x）的最大值为．
故选：C．
8．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
【答案】A
【解答】解：对于A：y＝|sinx|，将y＝sinx的图象x轴翻折到上方，可知周期T＝π，在区间（，π）上单调递减，所以A对；
对于B：y＝cosx的周期T＝2π，所以B不对．
对于C：y＝tanx的周期T＝π，在定义域内都是单调递增，所以C不对；
对于D：y＝cos的周期T，所以D不对．
故选：A．
9．下列四个函数中，周期为π的是（　　）
A． B．y＝tan2x C．y＝|sin2x| D．y＝5+cos2x
【答案】D
【解答】解：函数周期为4π；函数y＝tan2x周期为；函数y＝|sin2x|周期为；函数y＝5+cos2x周期为π．
故选：D．
10．关于函数y＝sinx（sinx+cosx）描述正确的是（　　）
A．最小正周期是2π
B．最大值是
C．一条对称轴是x
D．一个对称中心是（，）
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝sinx（sinx+cosx）＝sin2x+sinxcosx
sin（2x），
∴函数的最小正周期为π，故A错误；
由于它的最大值为，故B错误；
令x，求得y1，不是最值，故C错误；
令x，求得y＝0，故函数的一个对称中心是（，），故D正确，
故选：D．
11．已知函数的最小正周期为π，则下列结论正确的是（　　）
A．f（1）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（1）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（0） D．f（1）＜f（0）＜f（﹣2）
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，f（x）的最小正周期为π，
则，则且A＞0，
所以f（x）与g（x）＝cos2x的单调性相同，而4+2＜2π，且，
所以，则cos2＞cos（2π﹣4）＝cos4，即0＞g（1）＞g（2），
所以g（0）＝1＞g（1）＞g（2）＝g（﹣2），故f（﹣2）＜f（1）＜f（0）．
故选：C．
12．若函数的最小正周期为2πω，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为函数f（x）的最小正周期为2πω，
所以T，即ω2＝1，
结合ω＞0可得ω＝1，
则，
所以．
故答案为：．
13．设f（x）＝6sin（πx）﹣5，当实数a变化时，f（x）在区间中至少有m个零点，至多有n个零点，则m+n＝ 　66　 ．
【答案】66．
【解答】解：由已知f（x）最小正周期为T2，故对任意的x，f（x）在（x，x+2]中恰有2个零点．
根据（a，a）＝（a，a+2]∪（a+2，a+4]∪…∪（a+30，a+32]∪（a+32，a），
可知f（x）在区间（a，a+2]∪（a+2，a+4]∪ ∪（a+30，a+32]上有2×16＝32个零点，
即在区间（a，a+32]上f（x）有32个零点，
下面分析区间（a+32，a）中的零点个数，
令f（x）＝0，得sin（πx），
当f（x）相邻两个零点间的距离较小时，这个距离小于（），
当f（x）相邻两个零点间的距离较大时，这个距离大于（），
因为（a+32，a）的区间长度为，
所以开区间（a+32，a）上f（x）至少0个零点，至多2个零点，可得m＝32，n＝34，m+n＝66．
故答案为：66．
14．已知函数，则下列说法正确的是 　④　 （填序号）．
①f（x）的周期是π；
②f（x）的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线是函数f（x）图象的一条对称轴；
④f（x）的单调递减区间是，k∈Z．
【答案】④．
【解答】解：①根据正切函数的性质，可知的周期T，
将图象上x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
且位于x轴上方的部分不变，可得的图象，
可知的周期与的周期相同，也是2π，所以①错误；
②因为函数的值域为（﹣∞，+∞），
所以函数的值域是[0，+∞），所以②错误；
③根据，可知f（x）的图象不能关于直线x对称，所以③错误；
④由正切函数的性质，可知f（x）的单调递减区间满足，k∈Z，
解得，
所以f（x）的单调递减区间是，k∈Z，④正确．
故答案为：④．
15．设函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期，及对称轴，对称中心．
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
（3）求函数时，x的取值范围？
【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为，对称中心为；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）的最小正周期T，
令，解得，故对称轴方程为，
令，解得，故对称中心为；
（2），则，
故，
因此，
故函数f（x）在区间上的值域为；
（3）由题意可得，
可得，
令，解得，
所以时，．
16．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵函数
sin2xcos2x＝sin（2x），
∴函数f（x）的最小正周期为π．
令2kπ2x2kπ，k∈Z，求得kπx≤kπ，k∈Z，
可得函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
（2）在区间上，2x∈[，]，sin（2x）∈[﹣1，]，
即函数f（x）在区间上的值域为[﹣1，]．
17．已知函数．
（1）若tan（α+2025π）＝2，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（1）；
（2）T＝π，单调递增区间为，k∈Z．
【解答】解：（1）由已知，tan（α+2025π）＝2，得tanα＝2，
所以
；
（2）因为
，
所以f（x）的最小正周期为，
令，k∈Z，得，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
18．求下列函数的周期：
（1）y＝3sinx，x∈R；
（2）y＝cos2x，x∈R；
（3）y＝2sin，x∈R．
【答案】（1）T＝2π；
（2）T＝π；
（3）T＝4π．
【解答】解：（1）∵y＝3sinx，x∈R，
∴其周期T＝2π；
（2）∵y＝cos2x，x∈R，
∴其周期Tπ；
（3）∵y＝2sin，x∈R，
∴其周期T4π．
▉题型2 余弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z）
最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
19．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，，解得，
故“”不是“”的充分条件，
若，则，故“”是“”的必要条件，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
20．已知函数在上单调递增，且当时，f（x）≥0恒成立，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，
所以，解得：①，
又因为函数在上f（x）≥0恒成立，
所以，解得：，
由于，
所以，解得：②，
又因为ω＞0，当k1＝k2＝0时，由①②可知：，解得；
当k1＝k2＝1时，由①②可知：，解得．
所以ω的取值范围为．
故选：B．
21．不等式在[﹣π，π]上的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵，则，
作出y＝cosx在x∈[﹣π，π]的图象如下，
解得．
故选：D．
22．已知ω＞0，曲线y＝cosωx与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设曲线y＝cosωx与相邻的三个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
由cosωx＝cos（ωx）cosωxsinωx，可得sinωxcosωx＝0，
即sin（ωx）＝0，解得（k∈Z），
不妨取k＝0、1、2，解得，，，所以，，．
可得AB2＝BC2，，
根据△ABC为直角三角形，可得AB2+BC2＝AC2，即，解得．
故选：A．
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线与单位圆的交点个数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：由已知，g（x）的最小正周期为T1，g（0），g（）＝0，g（）＝﹣1，g（）＝0，g（1），
在同一直角坐标系中作出单位圆和曲线的图象如图，
故曲线与单位圆的交点个数为8．
故选：B．
（多选）24．函数y＝1+cosx，的图像与直线y＝t（t为常数）的交点可能有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】ABC
【解答】解：画出y＝1+cosx在的图像如下：
则可得当t＜0或t≥2时，y＝1+cosx与y＝t的交点个数为0；
当t＝0或时，y＝1+cosx与y＝t的交点个数为1；
当时，y＝1+cosx与y＝t的交点个数为2．
故选：ABC．
（多选）25．下列说法正确的是（　　）
A．若，则或
B．是函数的一条对称轴
C．
D．若，则在方向上的投影向量的模为
【答案】CD
【解答】解：对于选项A，因为，所以或，或者，故A错误；
对于选项B，因为函数y＝cosx的对称轴方程为x＝kπ（k∈Z），
且，所以不是函数的对称轴，故B错误；
对于选项C，因为函数y＝sinx在单调递增，且，所以，故C正确；
对于选项D，设的夹角为θ，因为，
所以cosθ＝±1，所以在方向上的投影向量，
它的模为，故D正确．
故选：CD．
26．已知函数f（x）＝cos（2ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过点，且对任意，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，则ω的取值范围是　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意可知，，0＜φ＜π，则，则，
由都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，又ω＞0，
所以f（x）在上单调递增，此时，
所以，可得，
当k＝﹣1有，当k＝0有，
当k＝1有，当k≥2有，
又ω＞0，所以ω∈．
故答案为：．
27．函数在区间上有两个零点x1，x2，（x1＜x2），则tan（x1﹣x2）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：令，则函数在区间上有两个零点x1，x2，（x1＜x2）等价于：
函数在区间上有两个零点t1，t2，（t1＜t2），
所以，
所以由余弦函数图象情况可知，且，，
所以sin（x1﹣x2）＝sin（π﹣t2），
所以，
故答案为：．
28．已知函数y＝acos（2x）+3（a＞0），x∈[0，]的最大值为4，则实数a的值为　1　 ．
【答案】1
【解答】解：∵x∈[0，]，
∴2x∈[，]，
∴cos（2x）≤1，
当a＞0时，a≤acos（2x）≤a，
∵ymax＝4，
∴a+3＝4，
∴a＝1．
故答案为：1．
29．已知x∈（0，π），且2cosx﹣1＝0，则x＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据2cosx﹣1＝0，可得2cosx＝1，即cosx，
结合x∈（0，π），可得x．
故答案为：．
▉题型3 余弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
30．若函数y＝cosx的定义域为[a，b]，值域为，则b﹣a的取值范围是 　[]　 ．
【答案】[]
【解答】解：因为函数y＝cosx的值域为，
所以，k∈Z，
因为函数的定义域为[a，b]，
所以b﹣a的最大值为，
因为y＝cosx为偶函数，图象关于y轴对称，
则函数在一个单调区间内满足值域为[，1]时，b﹣a最小，且最小值为，
则b﹣a的取值范围[]．
故答案为：[]．
31．函数y的定义域是　[2kπ，2kπ]（k∈Z）　 ．
【答案】[2kπ，2kπ]（k∈Z）
【解答】解：由2cosx+1≥0得，
∴，k∈Z．
故答案为：[2kπ，2kπ]（k∈Z）．
32．已知，t是函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的两个零点，的最小值为，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在上的值域．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，
因为，t是函数f（x）的两个零点，的最小值为，
所以，ω＝2．
由得，
因为，所以，，
由，可得，
解得A＝2，
所以．
（2）当时，，
因为y＝cosx在上单调递减，在上单调递增，
且，cos（﹣π）＝﹣1，，
所以，
即f（x）在上的值域为．
▉题型4 余弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
33．函数的单调递减区间是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：因为cos（）＝cos（3x），
所以，
由，解得，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间是．
故选：D．
34．函数在（0，π）上单调递减，则ω的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：对于f（x）＝cos（ωx），令，
解得f（x）的单调递减区间为（，），k∈Z，
因为f（x）在（0，π）上为减函数，所以（0，π） （，），k∈Z，
存在k∈Z，使得，
结合ω＞0，取k＝0，得，解得，所以ω的最大值为．
故选：B．
35．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0）满足恒成立，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：根据f（x）在区间上单调，
可得f（x）的周期T满足，即，由，解得0＜ω≤6，
因为，所以，
结合余弦函数的图象与性质，可知，
可得，即，所以ω＝2k+1，k∈N，
因此，ω＝2k+1≤6，解得，结合k∈N，可得ωmax＝2×2+1＝5．
故答案为：5．
（多选）36．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）在上单调递减
B．f（x）的图象关于点对称
C．若f（x1）＝3，f（x2）＝﹣1，则
D．若f（x1）＝f（x2）＝1，且x1≠x2，则
【答案】BD
【解答】解：因为，
当时，，
又y＝cosx在上单调递增，
所以f（x）在上单调递增，故A错误；
因为，
所以f（x）的图象关于点对称，故B正确；
又函数的最小正周期，
因为，
所以，即函数的最大值为3，最小值为﹣1，
若f（x1）＝3，f（x2）＝﹣1，则，故C错误；
由，解得，
所以函数的对称中心为，
又f（x1）＝f（x2）＝1，且x1≠x2，则，故D正确．
故选：BD．
（多选）37．已知函数，则（　　）
A．f（x）的最大值是2
B．f（x）在上单调递增
C．直线是函数y＝f（x）的一条对称轴
D．函数y＝f（x）的对称中心坐标为
【答案】ABD
【解答】解：对于A，因为，所以f（x）的最大值是2，A正确；
对于B，当时，，
由函数y＝cost在上单调递增可得f（x）在上单调递增，B正确；
对于C，当时，2xkπ，k∈Z，所以选项C错误；
D．令，得，
故函数y＝f（x）的对称中心坐标为，D正确．
故选：ABD．
38．请写出满足下列条件的函数f（x）的一个解析式：①最小正周期为π；②在上单调递增；③在定义域内满足f（﹣x）＝f（x）．则f（x）＝　﹣cos2x ．
【答案】﹣cos2x．
【解答】解：∵在定义域内满足f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，
∴可设f（x）＝Acosωx，又最小正周期为π，
∴，∴ω＝2，
∴f（x）＝Acos2x，
又在上单调递增，∴A＜0，∴A可取﹣1．
故答案为：﹣cos2x．
39．已知函数．
（1）求函数f（x）图像的对称中心以及函数的单调递减区间；
（2）若β∈（0，π），，求角β的大小．
【答案】（1）（）（k∈Z）；[]（k∈Z）（2）．
【解答】解：（1）函数，
令，整理得，
所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．
令（k∈Z），
整理得：（k∈Z），
故函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．
（2）由于，
且满β∈（0，π），故，
所以，
整理得．
（多选）40．设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是R上的奇函数，若f（x）在区间[，]上单调递减，则ω的取值可能为（　　）
A．6 B．4 C． D．
【答案】ACD
【解答】解：∵函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是R上的奇函数，
∴φ，函数f（x）＝cos（ωx+φ）＝﹣sinωx．
若f（x）在区间[，]上单调递减，则y＝sinωx在区间[，]上单调递增，
则ω2kπ，且ω2kπ，k∈Z，∴令k＝0，可得ω；
令k＝1，可得6≤ω，
故选：ACD．
41．已知函数．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）求在上的单调递增区间．
【答案】（1）定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}．值域为[﹣2，2）．
（2）．
【解答】解：（1）对于函数，可得cosx≠1，
故函数的定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}．
再根据 ，
由cosx∈[﹣1，1），可得f（x）＝2cosx的值域为[﹣2，2）．
（2），
令，可得，k∈Z．
又因为，所以，
故的单调递增区间为．
▉题型5 余弦函数的对称性
【知识点的认识】
余弦函数的对称性
余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．
42．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在（﹣2t，t）（t＞0）上没有最值，则实数t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度后，
可得到函数f（x）＝2cos[2（x）]＝2cos（2x）的图象，
所以g（x）＝2cos（2x），
当t＞0，x∈（﹣2t，t）时，2x∈（﹣4t，2t），
因为g（x）在（﹣2t，t）上没有最值，
所以（﹣4t，2t） [﹣π，0]，可得，解得0＜t．
故选：A．
43．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是偶函数，且当，f（x）≥0恒成立，则ω的最大值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）是偶函数，得，而0≤φ≤π，则，
函数，
由，得，
依题意，，则，
而ω＞0，解得，所以ω的最大值为．
故答案为：．
44．已知函数是奇函数，则tanφ的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为函数是奇函数，
所以f（0）cos（φ）＝0，
所以φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ，k∈Z，
则tanφ＝tan．
故答案为：．
45．已知函数的最小正周期为，且f（0）＝1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）对称轴及对称中心．
【答案】（1）；
（2）对称轴为直线，对称中心为．
【解答】解：（1）∵函数的最小正周期为，且f（0）＝1，
∴，解得ω＝4，
∴，解得，
∴；
（2）由，k∈Z，得，k∈Z，
由，k∈Z，解得，k∈Z，
∴f（x）的对称轴为直线，对称中心为．
46．函数f（x）＝2sin2ωx﹣cos2ωx的两条相邻的对称轴的距离为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在上单调递增
【答案】C
【解答】解：由题知，，
由两条相邻的对称轴的距离为，得函数的最小正周期为，解得ω＝±1，
所以，故A错误；
因为，所以，
所以f（x）的图像不关于点对称，故B错误；
当时，cos2x＝cosπ＝﹣1，f（x）的图象关于直线对称，故C正确；
令2kπ≤2x≤π+2kπ，（k∈Z），得f（x）的单调递增区间为，
所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以f（x）在上不具有单调性，故D错误．
故选：C．
47．写出函数图象的一条对称轴的方程：x＝ 　（答案不唯一）　 ．
【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：由题意，函数，
令，解得，
令k＝0，
则函数的一条对称轴方程为．
故答案为：（答案不唯一）．
48．函数的对称轴是 　（k∈Z）　 ．
【答案】（k∈Z）
【解答】解：令，可得（k∈Z）
故答案为：（k∈Z）．
（多选）49．已知函数f（x）＝2cos（2x+φ）（|φ|）满足f（x）+f（x）＝0，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于直线x对称
C．f（x）在区间[，]上单调递增
D．f（x）在区间（0，π）上有两个零点
【答案】BCD
【解答】解：∵，
∴函数关于对称，
∴，
∵，
∴，，，故A错误；
，即x为函数的一条对称轴，故B正确
若，则2x∈[，]，
又y＝cosx在[，]上单调递增，即f（x）在[，]上单调递增，C正确；
x∈[0，π]，，，故D正确．
故选：BCD．

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