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第7章第4节 正切函数的图像与性质
题型1 三角函数的周期性 题型2 正切函数的图象
题型3 正切函数的定义域和值域 题型4 正切函数的单调性和周期性
题型5 正切函数的奇偶性与对称性
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　）
A．y＝tan2x B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于A，y＝tan2x的最小正周期为，故A错误；
对于B，为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
对于D，为偶函数，故D错误．
故选：C．
2．已知定义在R上的函数f（x）满足，且当时，f（x）＝sin4x﹣cos2x（cos2x﹣1），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意f（x）满足，
可得，
可得f（x）的周期为π，
又当时，
可得f（x）＝sin4x﹣cos2x（cos2x﹣1）＝sin4x﹣cos4x+cos2x＝（sin2x﹣cos2x）（sin2x+cos2x）+cos2x＝sin2x，
所以
．
故选：D．
3．函数f（x）＝3sin（ωx）（ω＞0）在区间[0，π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为（　　）
A．（，] B．[，） C．（，] D．[，）
【答案】B
【解答】解：函数f（x）＝3sin（ωx）（ω＞0）在区间[0，π]上恰有2个零点，
所以，故，
整理得：．
故选：B．
4．函数的最小正周期为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】C
【解答】解：函数的最小正周期为π，
故选：C．
5．若函数的最小正周期为1，则函数y＝tanωx图象的对称中心为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：，故ω＝±2π，
当ω＝2π时，y＝tan2πx，
令，解得，
当ω＝﹣2π时，y＝tan（﹣2πx），
令，解得，
故函数y＝tanωx图象的对称中心为．
故选：B．
6．函数f（x）＝sinx﹣cosx的最小正周期和最大值分别为（　　）
A． B．π，2 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵，
∴f（x）的最小正周期T＝2π，f（x）的最大值为．
故选：C．
7．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
【答案】A
【解答】解：对于A：y＝|sinx|，将y＝sinx的图象x轴翻折到上方，可知周期T＝π，在区间（，π）上单调递减，所以A对；
对于B：y＝cosx的周期T＝2π，所以B不对．
对于C：y＝tanx的周期T＝π，在定义域内都是单调递增，所以C不对；
对于D：y＝cos的周期T，所以D不对．
故选：A．
8．下列四个函数中，周期为π的是（　　）
A． B．y＝tan2x C．y＝|sin2x| D．y＝5+cos2x
【答案】D
【解答】解：函数周期为4π；函数y＝tan2x周期为；函数y＝|sin2x|周期为；函数y＝5+cos2x周期为π．
故选：D．
9．关于函数y＝sinx（sinx+cosx）描述正确的是（　　）
A．最小正周期是2π
B．最大值是
C．一条对称轴是x
D．一个对称中心是（，）
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝sinx（sinx+cosx）＝sin2x+sinxcosx
sin（2x），
∴函数的最小正周期为π，故A错误；
由于它的最大值为，故B错误；
令x，求得y1，不是最值，故C错误；
令x，求得y＝0，故函数的一个对称中心是（，），故D正确，
故选：D．
10．已知函数的最小正周期为，则f（x）图象的对称轴方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意得f（x）的最小正周期T，解得ω＝4，，
根据余弦函数的对称轴方程，令，解得，
即函数f（x）图象的对称轴方程为．
故选：B．
11．已知函数的最小正周期为π，则下列结论正确的是（　　）
A．f（1）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（1）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（0） D．f（1）＜f（0）＜f（﹣2）
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，f（x）的最小正周期为π，
则，则且A＞0，
所以f（x）与g（x）＝cos2x的单调性相同，而4+2＜2π，且，
所以，则cos2＞cos（2π﹣4）＝cos4，即0＞g（1）＞g（2），
所以g（0）＝1＞g（1）＞g（2）＝g（﹣2），故f（﹣2）＜f（1）＜f（0）．
故选：C．
12．若函数的最小正周期为2πω，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为函数f（x）的最小正周期为2πω，
所以T，即ω2＝1，
结合ω＞0可得ω＝1，
则，
所以．
故答案为：．
13．设f（x）＝6sin（πx）﹣5，当实数a变化时，f（x）在区间中至少有m个零点，至多有n个零点，则m+n＝ 　66　 ．
【答案】66．
【解答】解：由已知f（x）最小正周期为T2，故对任意的x，f（x）在（x，x+2]中恰有2个零点．
根据（a，a）＝（a，a+2]∪（a+2，a+4]∪…∪（a+30，a+32]∪（a+32，a），
可知f（x）在区间（a，a+2]∪（a+2，a+4]∪ ∪（a+30，a+32]上有2×16＝32个零点，
即在区间（a，a+32]上f（x）有32个零点，
下面分析区间（a+32，a）中的零点个数，
令f（x）＝0，得sin（πx），
当f（x）相邻两个零点间的距离较小时，这个距离小于（），
当f（x）相邻两个零点间的距离较大时，这个距离大于（），
因为（a+32，a）的区间长度为，
所以开区间（a+32，a）上f（x）至少0个零点，至多2个零点，可得m＝32，n＝34，m+n＝66．
故答案为：66．
14．已知函数，则下列说法正确的是 　④　 （填序号）．
①f（x）的周期是π；
②f（x）的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线是函数f（x）图象的一条对称轴；
④f（x）的单调递减区间是，k∈Z．
【答案】④．
【解答】解：①根据正切函数的性质，可知的周期T，
将图象上x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
且位于x轴上方的部分不变，可得的图象，
可知的周期与的周期相同，也是2π，所以①错误；
②因为函数的值域为（﹣∞，+∞），
所以函数的值域是[0，+∞），所以②错误；
③根据，可知f（x）的图象不能关于直线x对称，所以③错误；
④由正切函数的性质，可知f（x）的单调递减区间满足，k∈Z，
解得，
所以f（x）的单调递减区间是，k∈Z，④正确．
故答案为：④．
15．设函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期，及对称轴，对称中心．
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
（3）求函数时，x的取值范围？
【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为，对称中心为；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）的最小正周期T，
令，解得，故对称轴方程为，
令，解得，故对称中心为；
（2），则，
故，
因此，
故函数f（x）在区间上的值域为；
（3）由题意可得，
可得，
令，解得，
所以时，．
▉题型2 正切函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： [2kπ，2kπ]（k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ] （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z）
最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
16．设函数y＝m与函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像在内交点的横坐标依次是x1、x2、x3，且，则实数m＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可得sinx1＝cosx2＝tanx3＝m∈（0，1），
∴，又，
∴，则，
∴cos2x3﹣sin2x3
，
∵0＜m＜1，解得．
故选：C．
17．函数在某一周期内的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：函数，所以函数f（x）的最小正周期，排除B，D；
因为，所以排除A．
故选：C．
18．已知α，β∈R，则“α＝β”是“tanα＝tanβ”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解答】解：α，β∈R，则“α＝β”如果α＝β＝90°，不存在tanα，tanβ所以不可能得到“tanα＝tanβ”；
“tanα＝tanβ”可得角α，β的终边可能相同，也可能不相同，推不出“α＝β”，
所以α，β∈R，则“α＝β”是“tanα＝tanβ”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
19．已知，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】A
【解答】解：由题意得，
因为1＜3＜4，y＝log4x是（0，+∞）上的增函数，
所以log41＝0＜log43＜log44＝1，即0＜b＜1，
又因为，所以a＞b＞c．
故选：A．
20．若函数y＝tan（x﹣φ）（φ≥0）的图象与直线x＝π没有交点，则φ的最小值为（　　）
A．0 B． C． D．π
【答案】C
【解答】解：函数y＝tanx的图象与直线 没有交点．
若函数y＝tan（x﹣φ）（φ≥0）的图象与直线x＝π没有交点，
则π﹣φ＝kπ（k∈Z），整理得φ＝﹣kπ（k∈Z），又φ≥0，
则φ的最小值为．
故选：C．
21．已知0≤x≤π，且|tanx|≥1，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：将|tanx|≥1转化为tanx≥1或tanx≤﹣1，
如图所示：
由正切函数图象知．
故选：B．
22．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则（　　）
A．0＜ω＜1 B．﹣1≤ω＜0 C．ω≥1 D．ω≤﹣1
【答案】B
【解答】解：因为函数 y＝tanωx在内是单调函数，
所以最小正周期T≥π，即，所以0＜|ω|≤1．
又函数y＝tanωx在内是减函数，则根据复合函数单调性判定知ω＜0．
综上，﹣1≤ω＜0．
故选：B．
23．函数的单调增区间为（　　）
A． B．（kπ，kπ+π），k∈Z
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵函数，
今，
得即，
的单调增区间为，k∈Z．
故选：C．
24．下列图形分别是①y＝|tanx|；②y＝tanx；③y＝tan（﹣x）；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是（　　）
A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③
【答案】D
【解答】解：根据函数在x∈内的大致图象，
由于①y＝|tanx|是偶函数，图象关于y轴对称且满足y≥0，故它的图象对应a；
根据正切函数的图象特征，②y＝tanx为奇函数，在每一个区间（ kπ，k），k∈Z内单调递增，
故它的图象对应b；
③y＝tan（﹣x）＝﹣tanx在每一个区间（ kπ，k），k∈Z内单调递减，故它的图象对应d；
④y＝tan|x|是偶函数，且函数y可正可负，故它的图象对应c，
故选：D．
25．已知函数f（x）＝tan（ωx）（ω＞0）的图像与直线y＝1的相邻两个交点的距离为，则f（x）的图像的一个对称中心是（　　）
A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）
【答案】C
【解答】解：∵函数f（x）＝tan（ωx）（ω＞0）的图像与直线y＝1的相邻两个交点的距离为T，
∴ω＝2，f（x）＝tan（2x）．
令2x，k∈Z，求得x＝kπ，k∈Z，
故函数的图像的对称中心是（kπ，0），k∈Z．
故选：C．
（多选）26．如图是因不慎丢失部分图象后，函数f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的局部图象，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为
B．（，0）是f（x）图象的一个对称中心
C．|f（x）|图象的对称轴方程为
D．f（x）的图象是由函数y＝2tanx图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的
【答案】AC
【解答】解：对于A，由函数f（x）的部分图象知，f（x）的最小正周期为T[（）]，选项A正确；
对于B，由，得ω＝2，所以f（x）＝2tan（2x+φ），由（，0）是函数f（x）图象的对称中心，即2×（）+φ，k∈Z；
解得φ，k∈Z；由|φ|，得φ，所以f（x）＝2tan（2x），所以2，k∈Z；
所以（，0）不是f（x）图象的对称中心，选项B错误；
对于C，令2x，k∈Z，解得x，k∈Z；所以|f（x）|图象的对称轴方程为x，k∈Z；选项C正确；
对于D，函数y＝2tanx图象上各点的横坐标缩短到原来的，得y＝2tan2x，
再将得到的函数图象向右平移个单位长度，得y＝2tan2（x）＝2tan（2x），选项D错误．
故选：AC．
27．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得f（x）＝tan（ωx）的最小正周期，
因为阴影部分的面积S3＝6π，解得ω，
所以，可得．
故答案为：．
28．设函数y＝3sinx与y＝tanx在区间（0，π）上的图象交于点P，过点P作x轴的垂线l，垂足为H，直线l与函数y＝cosx的图象交于点Q，则线段QH的长为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，设P的横坐标为m，
则有3sinm＝tanm，即3sinm，变形可得cosm，
则点Q的纵坐标为，
故QH的长为．
故答案为：．
29．已知函数f（x）＝tan（ωx）（ω＞0）在（，）上是增函数，则ω的取值范围是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，，解得ω≤1，又ω＞0，则ω∈（0，1]；
当，，
由题可得，，解得，
综上所述，ω的取值范围是．
故答案为：．
30．函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的图像的相邻两支截直线y＝π所得线段长为，则的值是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题知，f（x）的最小正周期为，所以ω＝2，所以f（x）＝tan2x，解得．
故答案为：．
31．函数y＝tan（x）的部分图象如图所示，则（） 　6　 ．
【答案】6
【解答】解：由图象得，令0，即，k＝0时解得x＝2，
令1，即，解得x＝3，
∴A（2，0），B（3，1），
∴（2，0），（3，1），（1，1），
∴（5，1） （1，1）＝5+1＝6．
故答案为：6．
32．关于x的函数f（x）＝tan（x+φ）有以下几种说法：
①对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数；
②f（x）的图象关于（φ，0）对称；
③f（x）的图象关于（π﹣φ，0）对称；
④f（x）是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是　①　 ．
【答案】①
【解答】解：①当φ＝kπ时，f（x）＝tan（x+φ）＝tanx，为奇函数，则对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数，错误；
②由x+φ得xφ，即f（x）的对称中心为（φ，0），则当k＝1时，对称中心为（φ，0），则f（x）的图象关于（φ，0）对称，正确；
③由x+φ得xφ，即f（x）的对称中心为（φ，0），则当k＝2时，对称中心为（π﹣φ，0），则f（x）的图象关于（π﹣φ，0）对称，正确；
④f（x）是以π为最小正周期的周期函数，正确．
故不正确的是①，
故答案为：①．
33．已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：函数的相邻两个零点之间的距离是，∴ω＝3，
f（x）＝tan（3x），
则tantan1，
故答案为：1．
34．设函数，已知函数y＝f（x）的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求不等式的解集．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的最小正周期为T，即，
因为ω＞0，所以ω＝2，从而f（x）＝tan（2x+φ），
因为函数y＝f（x）的图象关于点M对称，
所以2φ，k∈Z，解得φ，k∈Z．
因为0＜φ，所以φ，所以f（x）＝tan．
令kπ＜2xkπ，k∈Z，解得，
即，
所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
（2）由（1）知，f（x）＝tan，由﹣1≤tan，
得Z，即Z，
所以不等式﹣1≤f（x）的解集为．
35．求函数的单调增区间．
【答案】．
【解答】解：由题意得，
解得，
所以函数的单调增区间是．
▉题型3 正切函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
正切函数的值域
正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R．
36．y＝ln（tanx﹣1）的定义域为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：因为函数y＝ln（tanx﹣1）有意义，
所以．
由正切函数的图象与性质得tanx＞1，解得kπ＜x＜+kπ，k∈Z；
所以函数y＝ln（tanx﹣1）的定义域为{x|kπ＜xkπ，k∈Z}．
故选：A．
（多选）37．已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的定义域为
C．若f（θ）＝1，则θ＝kπ（k∈Z）
D．f（x）在其定义域上是增函数
【答案】ABC
【解答】解：，函数f（x）的最小正周期为，故A正确；
，得，
所以函数f（x）的定义域为，故B正确；
，得，解得θ＝kπ，k∈Z，故C正确；
，解得
所以函数f（x）在上单调递增，故D错误．
故选：ABC．
38．函数的定义域为 　{x|x，k∈Z}　 ．
【答案】{x|x，k∈Z}．
【解答】解：对于函数，令2xkπ，k∈Z，
求得x，k∈Z，可得函数的定义域为{x|x，k∈Z}．
故答案为：{x|x，k∈Z}．
39．设函数．
（1）求函数f（x）的定义域及对称中心；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）定义域为{x|x，k∈Z}，对称中心为（，0），k∈Z；
（2）{x|x，k∈Z}．
【解答】解：（1）对于f（x）＝tan（2x），
由2xkπ，k∈Z，解得x，k∈Z，
所以f（x）的定义域为{x|x，k∈Z}，
由2x，k∈Z，解得x，k∈Z，
所以f（x）图象的对称中心为（，0），k∈Z；
（2）若f（x），即tan（2x）≤tan，
结合正切函数的性质，可得kπ＜2xkπ，k∈Z，
解得x，k∈Z，
所以不等式f（x）的解集为{x|x，k∈Z}．
40．已知函数．
（1）求f（x）的定义域和最小正周期．
（2）求f（x）的对称中心和单调区间．
【答案】（1）定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，最小正周期为T2π；
（2）对称中心为（kπ，0），k∈Z，单调增区间为（2kπ，2kπ），k∈Z，无单调减区间．
【解答】解：（1）令，得x≠2kπ，k∈Z，
故定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，最小正周期为T2π；
（2），k∈Z，得x＝kπ，k∈Z，
令，k∈Z，解得2kπx＜2kπ，k∈Z，
所以f（x）对称中心为（kπ，0），k∈Z，
单调增区间为（2kπ，2kπ），k∈Z，无单调减区间．
41．已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可）
（1）求函数f（x）的定义域与值域；
（2）求函数f（x）的周期及对称轴方程；
（3）求函数的f（x）单调区间．
【答案】（1）定义域为；值域为[0，+∞）；
（2）2π；对称轴方程为；
（3）单调减区间为；单调增区间为．
【解答】解：（1）由，得到，
所以的值域为[0，+∞），
则函数f（x）的定义域为，值域为[0，+∞）．
（2）因为的周期为T＝2π，
且的图象可由的图象将x轴下方图象关于x轴翻折上去，上方图象不变得到，
又将y＝tanx图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，
纵坐标不变，再将图象上所点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变得到，
则的图象如图所示，
由图知的周期为2π，
又由，得到，所以函数f（x）的对称轴方程为．
（3）因为y＝tanx在区间上单调递增，
由，得到，
由，得到，
所以的减区间为，增区间为．
▉题型4 正切函数的单调性和周期性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
正切函数的周期性
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
42．已知函数，则下列选项正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．点是函数f（x）图象的一个对称中心
C．函数f（x）的定义域为
D．函数f（x）在区间单调递增
【答案】B
【解答】解：对于A，根据正切函数的周期公式T，得函数f（x）的最小正周期为2π，选项A错误；
对于B，根据正切函数的对称中心为（，0），令x，解得x＝kπ，k∈Z，
所以当k＝1时得到f（x）图象的一个对称中心为，选项B正确；
对于C：令xkπ，k∈Z，解得x2kπ，k∈Z，
得到f（x）的定义域为，选项C错误；
对于D，令时，，函数没有意义，选项D错误．
故选：B．
43．下列函数中既是R上的奇函数又在（0，）上单调递增的是（　　）
A．y＝|cosx| B．y＝cosx C．y＝sinx D．y＝tanx
【答案】C
【解答】解：根据函数y＝|cosx|满足f（﹣x）＝f（x），可知y＝|cosx|是偶函数，故A项错误；
根据y＝cosx满足f（﹣x）＝f（x），可知y＝cosx是偶函数，故B项错误；
根据y＝sinx是R上的奇函数，且在上单调递增，可知C项正确；
根据y＝tanx的定义域不是R，可知D项错误．
故选：C．
44．已知函数的最小正周期为2π，则不等式的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：因为函数f（x）＝3tan（ωx）的最小正周期为T＝2π，所以ω．
所以f（x）＝3tan（x），
由3tan（x），得tan（x），
所以kπxkπ，k∈Z，
解得2kπx＜2kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为（2kπ，2kπ），k∈Z．
故选：A．
45．已知函数的最小正周期为，且函数f（x）过点，现有如下说法：
①；
②函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；
③．
其中正确说法的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
则ω＝2，
可得f（x）＝tan（2x+φ），
由于，
可得，即，
由于|φ|，
可得取k＝1，，故①错误；
由于，
令，得，
故函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z），故②正确；
因为，
可得是函数f（x）的图象的一个对称中心，故③正确．
综上可得，正确说法有②③，共2个．
故选：C．
46．直线y＝a与函数f（x）＝tan（）（ω＞0）的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f（x）在（﹣m，m）（m＞0）上是增函数，则m的取值范围是（　　）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
【答案】B
【解答】解：直线y＝a与函数f（x）＝tan（）图象的相邻两个交点的距离为一个周期，则T＝2π，
所以ω，
所以f（x）＝tan（x），
由kπxkπ，
解得2kπx＜2kπ，（k∈Z）；
所以函数f（x）在（，）上是单调增函数；
又f（x）在（﹣m，m）上是单调增函数，
即（﹣m，m） （，），
解得0＜m；
所以m的取值范围是（0，]．
故选：B．
47．若f（x）＝tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为1，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵f（x）＝tan（ωx）（ω＞0）的周期为1，∴ω＝π，即f（x）＝tanπx，
则tan，
故选：D．
（多选）48．下列函数中，最小正周期为π，且在上单调递增的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝tanx C．y＝sin2x D．y＝|tanx|
【答案】ABD
【解答】解：由于y＝|sinx|是周期函数，最小正周期为π，且在上单调递增，故A正确；
由于y＝tanx最小正周期为π，且在上单调递增，故B满足条件；
由于＝sin2x在上没有单调性，故排除C；
由于y＝|tanx|最小正周期为π，且在上单调递增，故D满足条件，
故选：ABD．
49．若，则不等式tanx≥﹣1的解集为 　[0，）∪[，π）　 ．
【答案】[0，）∪[，π）．
【解答】解：当时，tanx≥0＞﹣1；
当时，因为tan1且y＝tanx在上单调递增，所以；
综上，tanx≥﹣1的解集为[0，）∪[，π）．
故答案为：．
50．已知函数在区间上有定义．
（1）求ω的最大值；
（2）若曲线y＝f（x）在区间（0，π）上至少有两个对称中心，求ω的取值范围．
【答案】（1）1；
（2）{ω|}．
【解答】解：（1）函数在区间上有定义，
令，
依题意可得，k∈Z，
所以，
解得，
又因为ω＞0，所以当且仅当k＝0时符合题意，此时，所以0＜ω≤1．
故ω的最大值为1．
（2）令，
由y＝tanβ在区间上的对称中心依次为：，（π，0）， ，
所以依题意只需，
此时可得，即，
故ω的取值范围为：{ω|}．
▉题型5 正切函数的奇偶性与对称性
【知识点的认识】
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
51．“函数f（x）＝tanωx的最小正周期为4π”是“ω”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：由函数f（x）＝tanωx的最小正周期为4π，得，得，
所以“函数f（x）＝tanωx的最小正周期为4π”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
52．函数f（x）＝tanx的图象与性质的描述正确的是（　　）
A．定义域是
B．是定义域上的增函数
C．图象的对称轴是
D．是奇函数
【答案】D
【解答】解：对于A，函数f（x）＝tanx的定义域为（kπ，kπ），k∈Z，选项A错误；
对于B，函数f（x）＝tanx在定义域内的每一个区间（kπ，kπ），k∈Z上单调递减，在整个定义域上不是单调函数，选项B错误；
对于C，函数f（x）＝tanx的图象不是轴对称图形，没有对称轴，选项C错误；
对于D，函数f（x）＝tanx的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝tan（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），是奇函数，选项D正确．
故选：D．
53．下列函数中，既是奇函数且最小正周期为π的是（　　）
A．f（x）＝sin2x B．
C．f（x）＝cos2x D．f（x）＝cosx
【答案】A
【解答】解：函数f（x）＝sin2x的最小正周期为Tπ，且为奇函数，选项A满足题意；
函数f（x）＝tan的最小正周期为T2π，且为奇函数，选项B不满足题意；
函数f（x）＝cos2x的最小正周期为Tπ，且为偶函数，选项C不满足题意；
函数f（x）＝cosx的最小正周期T＝2π，且为偶函数，选项D不满足题意．
故选：A．
54．已知函数f（x）的部分图像如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）
A．f（x）＝sin（tanx） B．f（x）＝tan（sinx）
C．f（x）＝cos（tanx） D．f（x）＝tan（cosx）
【答案】D
【解答】解：x＝0时，f（0）≠0，
而f（0）＝sin（tan0）＝0，所以A不正确；
f（0）＝tan（sin0）＝0，所以B不正确；
f（0）＝cos（tan0）＝1，f（﹣x）＝cos（tan（﹣x））＝cos（tanx）＝f（x），函数是偶函数，定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，所以C不正确；
f（0）＝tan（cos0）＝tan1，而且f（﹣x）＝tan（cos（﹣x））＝tan（cosx）＝f（x），函数是偶函数，定义域为R，所以D正确．
55．函数的一个对称中心是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：令，解得，
所以函数图象的对称中心是，
令k＝﹣2，得函数图像的一个对称中心是．
故选：C．
（多选）56．函数是（　　）
A．最小正周期为4π B．最小正周期为2π
C．偶函数 D．奇函数
【答案】BD
【解答】解：设，满足kπ（k∈Z），解得x≠π+2kπ（k∈Z），
所以f（x）的定义域为{x|x≠π+2kπ，k∈Z}，
函数f（x）的最小正周期为，
根据tan（）＝﹣tan，可知f（﹣x）＝﹣f（x）成立，所以f（x）为奇函数．
故选：BD．
57．已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则ω＝　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意可得，即，则．
故答案为：2．
58．已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且f（1），则函数y＝f（x）的图像与函数y（﹣2019＜x＜2023且x≠2）的图象所有交点横坐标之和为 　2696　 ．
【答案】2696．
【解答】解：函数的相邻两个对称中心的距离为，且f（1），
因为函数f（x）的相邻两个对称中心的距离为，
则函数f（x）＝tan（ωx+φ）的最小正周期为3，即，得，
则，
又，即，
所以，
因为，所以，
故，
又因为，所以y＝f（x）关于（2，0）中心对称，
而也关于（2，0）中心对称，
作出两个函数在原点附近的部分图象，
在﹣2019＜x＜2023且x≠2内，函数f（x）的最小正周期为3，
又（﹣2019，0）和（2023，0）也关于（2，0）对称，，
因为在（2，0）的右边从第一个周期起两个函数的图象交点都在前半个周期内，
则函数y＝f（x）的图像与函数的图象的交点有674对，
设两图象的交点的横坐标由小到大为：x1，x2， ，x1348，
若（x1，y1）是交点，则（4﹣x1，﹣y1）也是交点，则x1+x1348＝4，x2+x1347＝4， ，
所以，所有交点横坐标之和为674×4＝2696．
故答案为：2696．
59．已知f（x）＝2023sinx+2024tanx﹣2，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝ 　﹣10　 ．
【答案】﹣10．
【解答】解：由题意可得：
f（﹣2）＝2023sin（﹣2）+2024tan（﹣2）﹣2＝﹣2023sin2﹣2024tan2﹣2，
f（﹣1）＝2023sin（﹣1）+2024tan（﹣1）﹣2＝﹣2023sin1﹣2024tan1﹣2，
f（0）＝2023sin（0）+2024tan（0）﹣2＝﹣2，
f（1）＝2023sin1+2024tan1﹣2，f（2）＝2023sin2+2024tan2﹣2
可得f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝﹣10．
故答案为：﹣10．
60．函数y的对称中心为　（，0）（k∈Z）　 ．
【答案】（，0）（k∈Z）
【解答】解：由2x（k∈Z）得：x（k∈Z），
∴函数y＝tan（2x）的对称中心为（，0）（k∈Z）．
故答案为：（，0）（k∈Z）．第7章第4节 正切函数的图像与性质
题型1 三角函数的周期性 题型2 正切函数的图象
题型3 正切函数的定义域和值域 题型4 正切函数的单调性和周期性
题型5 正切函数的奇偶性与对称性
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　）
A．y＝tan2x B．
C． D．
2．已知定义在R上的函数f（x）满足，且当时，f（x）＝sin4x﹣cos2x（cos2x﹣1），则（　　）
A． B． C． D．
3．函数f（x）＝3sin（ωx）（ω＞0）在区间[0，π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为（　　）
A．（，] B．[，） C．（，] D．[，）
4．函数的最小正周期为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
5．若函数的最小正周期为1，则函数y＝tanωx图象的对称中心为（　　）
A． B．
C． D．
6．函数f（x）＝sinx﹣cosx的最小正周期和最大值分别为（　　）
A． B．π，2 C． D．
7．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
8．下列四个函数中，周期为π的是（　　）
A． B．y＝tan2x C．y＝|sin2x| D．y＝5+cos2x
9．关于函数y＝sinx（sinx+cosx）描述正确的是（　　）
A．最小正周期是2π
B．最大值是
C．一条对称轴是x
D．一个对称中心是（，）
10．已知函数的最小正周期为，则f（x）图象的对称轴方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．已知函数的最小正周期为π，则下列结论正确的是（　　）
A．f（1）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（1）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（0） D．f（1）＜f（0）＜f（﹣2）
12．若函数的最小正周期为2πω，则 　 ．
13．设f（x）＝6sin（πx）﹣5，当实数a变化时，f（x）在区间中至少有m个零点，至多有n个零点，则m+n＝ 　 　 ．
14．已知函数，则下列说法正确的是 　 　 （填序号）．
①f（x）的周期是π；
②f（x）的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线是函数f（x）图象的一条对称轴；
④f（x）的单调递减区间是，k∈Z．
15．设函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期，及对称轴，对称中心．
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
（3）求函数时，x的取值范围？
▉题型2 正切函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： [2kπ，2kπ]（k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ] （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z）
最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
16．设函数y＝m与函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像在内交点的横坐标依次是x1、x2、x3，且，则实数m＝（　　）
A． B． C． D．
17．函数在某一周期内的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
18．已知α，β∈R，则“α＝β”是“tanα＝tanβ”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
19．已知，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
20．若函数y＝tan（x﹣φ）（φ≥0）的图象与直线x＝π没有交点，则φ的最小值为（　　）
A．0 B． C． D．π
21．已知0≤x≤π，且|tanx|≥1，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
22．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则（　　）
A．0＜ω＜1 B．﹣1≤ω＜0 C．ω≥1 D．ω≤﹣1
23．函数的单调增区间为（　　）
A． B．（kπ，kπ+π），k∈Z
C． D．
24．下列图形分别是①y＝|tanx|；②y＝tanx；③y＝tan（﹣x）；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是（　　）
A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③
25．已知函数f（x）＝tan（ωx）（ω＞0）的图像与直线y＝1的相邻两个交点的距离为，则f（x）的图像的一个对称中心是（　　）
A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）
（多选）26．如图是因不慎丢失部分图象后，函数f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的局部图象，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为
B．（，0）是f（x）图象的一个对称中心
C．|f（x）|图象的对称轴方程为
D．f（x）的图象是由函数y＝2tanx图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的
27．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则 　 ．
28．设函数y＝3sinx与y＝tanx在区间（0，π）上的图象交于点P，过点P作x轴的垂线l，垂足为H，直线l与函数y＝cosx的图象交于点Q，则线段QH的长为 ．
29．已知函数f（x）＝tan（ωx）（ω＞0）在（，）上是增函数，则ω的取值范围是 　 ．
30．函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的图像的相邻两支截直线y＝π所得线段长为，则的值是 ．
31．函数y＝tan（x）的部分图象如图所示，则（） ．
32．关于x的函数f（x）＝tan（x+φ）有以下几种说法：
①对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数；
②f（x）的图象关于（φ，0）对称；
③f（x）的图象关于（π﹣φ，0）对称；
④f（x）是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是　 　 ．
33．已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则 ．
34．设函数，已知函数y＝f（x）的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求不等式的解集．
35．求函数的单调增区间．
▉题型3 正切函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
正切函数的值域
正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R．
36．y＝ln（tanx﹣1）的定义域为（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）37．已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的定义域为
C．若f（θ）＝1，则θ＝kπ（k∈Z）
D．f（x）在其定义域上是增函数
38．函数的定义域为 ．
39．设函数．
（1）求函数f（x）的定义域及对称中心；
（2）求不等式的解集．
40．已知函数．
（1）求f（x）的定义域和最小正周期．
（2）求f（x）的对称中心和单调区间．
41．已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可）
（1）求函数f（x）的定义域与值域；
（2）求函数f（x）的周期及对称轴方程；
（3）求函数的f（x）单调区间．
▉题型4 正切函数的单调性和周期性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
正切函数的周期性
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
42．已知函数，则下列选项正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．点是函数f（x）图象的一个对称中心
C．函数f（x）的定义域为
D．函数f（x）在区间单调递增
43．下列函数中既是R上的奇函数又在（0，）上单调递增的是（　　）
A．y＝|cosx| B．y＝cosx C．y＝sinx D．y＝tanx
44．已知函数的最小正周期为2π，则不等式的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
45．已知函数的最小正周期为，且函数f（x）过点，现有如下说法：
①；
②函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；
③．
其中正确说法的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
46．直线y＝a与函数f（x）＝tan（）（ω＞0）的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f（x）在（﹣m，m）（m＞0）上是增函数，则m的取值范围是（　　）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
47．若f（x）＝tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为1，则的值为（　　）
A． B． C． D．
（多选）48．下列函数中，最小正周期为π，且在上单调递增的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝tanx C．y＝sin2x D．y＝|tanx|
49．若，则不等式tanx≥﹣1的解集为 　 　 ．
50．已知函数在区间上有定义．
（1）求ω的最大值；
（2）若曲线y＝f（x）在区间（0，π）上至少有两个对称中心，求ω的取值范围．
▉题型5 正切函数的奇偶性与对称性
【知识点的认识】
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
51．“函数f（x）＝tanωx的最小正周期为4π”是“ω”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
52．函数f（x）＝tanx的图象与性质的描述正确的是（　　）
A．定义域是
B．是定义域上的增函数
C．图象的对称轴是
D．是奇函数
53．下列函数中，既是奇函数且最小正周期为π的是（　　）
A．f（x）＝sin2x B．
C．f（x）＝cos2x D．f（x）＝cosx
54．已知函数f（x）的部分图像如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）
A．f（x）＝sin（tanx） B．f（x）＝tan（sinx）
C．f（x）＝cos（tanx） D．f（x）＝tan（cosx）
55．函数的一个对称中心是（　　）
A． B． C． D．
（多选）56．函数是（　　）
A．最小正周期为4π B．最小正周期为2π
C．偶函数 D．奇函数
57．已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则ω＝　2　 ．
58．已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且f（1），则函数y＝f（x）的图像与函数y（﹣2019＜x＜2023且x≠2）的图象所有交点横坐标之和为 ．
59．已知f（x）＝2023sinx+2024tanx﹣2，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝ 　 ．
60．函数y的对称中心为 　 ．

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