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第8章第1节 向量的概念与线性运算
题型1 平面向量的概念与平面向量的模 题型2 平面向量的模
题型3 平面向量中的零向量与单位向量 题型4 平面向量的相等向量
题型5 平面向量的平行向量 题型6 平面向量的加法
题型7 平面向量的减法 题型8 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
题型9 平面向量的加减混合运算 题型10 两个平面向量的和或差的模的最值
题型11 平面向量的数乘与线性运算
▉题型1 平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
1．下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则，是“存在非零实数x，y，使得”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．与向量平行的单位向量为（　　）
A．
B．
C．或
D．
▉题型2 平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
5．已知向量，满足||＝2，||＝5，则||的取值范围是（　　）
A．[2，5] B．[2，7] C．[3，5] D．[3，7]
6．在四边形ABCD中，已知，∠ABD＝60°，则四边形ABCD一定是（　　）
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
（多选）7．已知△ABC是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为△ABC所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知向量与的夹角为，且．
（1）；
（2）求向量与向量的夹角．
▉题型3 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
9．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
10．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．下列选项中，与向量（1，2）平行的单位向量为（　　）
A．（4，2） B．（﹣2，1）
C． D．
12．下列说法中，正确的是（　　）
①若，则或；
②向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量；
④任何两个单位向量都是相等向量．
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
▉题型4 平面向量的相等向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
（多选）13．下列命题中正确的是（　　）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 　 　 个．
▉题型5 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
15．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5
16．已知，，且，则x等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
17．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
18．已知，是两个不共线的向量，若4λ与μ是共线向量，则（　　）
A． B．λμ＝﹣4 C． D．λμ＝4
19．已知平面向量，不共线，，，，则（　　）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
（多选）20．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量有（　　）
A． B． C． D．
21．已知向量，，且，则cos2θ＝ ．
22．若非零向量，且设，则实数λ＝ ．
23．若，是两个不共线的向量，32，k，32，若A，B，D三点共线，则k＝
．
24．已知向量（2，1），（﹣2，3），（3，1）．
（1）设xy，求x，y的值；
（2）若（m）∥（2），求m的值．
▉题型6 平面向量的加法
【知识点的认识】
向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
25．在如图所示的方格纸中，（　　）
A． B． C． D．
26．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则（　　）
A． B． C． D．
27．已知AD为△ABC的中线，则（　　）
A． B． C． D．
28．在 ABCD中，等于 ．
（多选）29．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则（　　）
A． B．
C． D．
30．在平行四边形ABCD中，a，b．
（1）如图1，如果E、F分别是BC，DC的中点，试用a、b分别表示．
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示．
▉题型7 平面向量的减法
【知识点的认识】
向量的减法及其几何意义：
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
31．若向量与为非零向量，下列命题中正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若非零向量，则与的方向相同
D．若，则
32．已知在平行四边形ABCD中，若，，则（　　）
A． B． C． D．
▉题型8 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【知识点的认识】
三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
33．如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则（　　）
A． B．
C． D．
34．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记，，则（　　）
A．32 B．﹣23 C．32 D．23
35．P是△ABC所在平面上一点，满足||﹣||＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
▉题型9 平面向量的加减混合运算
【知识点的认识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是
与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
36．（　　）
A． B． C． D．
37．已知O为△ABC内切圆的圆心，且2，则 　 ．
38．若3（）+2（2）﹣4（），则 　 ．
39．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）已知（2，1），（2，﹣2），点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
40．计算：
（1）；
（2）．
▉题型10 两个平面向量的和或差的模的最值
【知识点的认识】
向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减．就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量．当两个向量相加时，有||≤||+||，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有||≥|||﹣|||，当且仅当与方向相反时取得到等号．
另外还有||≤||+||，当且仅当与方向相反时取得到等号．；||≥|||﹣|||，当且仅当与方向相同时取得到等号．
41．已知向量，满足，，则的最小值为 ，当且仅当与的方向 　 　 时取得最小值．
42．已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ．
（多选）43．已知，则（　　）
A．若，则
B．若，则t＝0
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞）
44．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
45．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时λ＝　 ．
▉题型11 平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥ λ
（2）向量数乘运算的法则
①1；（﹣1）；
②（λμ）λ（μ）μ（λ）；
③（λ+μ）λμ；
④λ（）＝λλ．
一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示．
46．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
47．已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则xy＝（　　）
A． B． C． D．
48．已知D为△ABC所在平面内的一点，，E为CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
49．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，G为△OAB的重心，若，则x﹣y＝（　　）
A． B． C． D．
50．设P，Q两点把线段AB三等分（P靠近A），则下列向量表达式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
51．已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，，则（　　）
A． B．
C． D．
52．如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为 ．
53．已知点O是正方形ABCD内一定点，记．试用表示 ．
54．如图，在△ABC中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若P为△ABC内部一点，且．求证：M，P，N三点共线．
55．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O．
（Ⅰ）若，求实数x，y的值；
（Ⅱ）若，求实数t的值；
（Ⅲ）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（λ＞0，μ＞0），求λ+μ的最小值．
56．点C在线段AB上，且，则　 ， ．
57．如图，在梯形ABCD中，，，，G为对角线AC，BD的交点，E，F分别是腰AD，BC的中点，求向量和．
58．已知点O是△ABC内部一点，并且满足的面积为S1，△AOC的面积为S2，则 ．
59．已知点P1（1，3），P2（4，﹣6），P是直线P1P2上的一点，且2，那么点P的坐标为　 ．
（多选）60．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（　　）
A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ＝1的点P有两个
C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个
D．的点P有两个第8章第1节 向量的概念与线性运算
题型1 平面向量的概念与平面向量的模 题型2 平面向量的模
题型3 平面向量中的零向量与单位向量 题型4 平面向量的相等向量
题型5 平面向量的平行向量 题型6 平面向量的加法
题型7 平面向量的减法 题型8 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
题型9 平面向量的加减混合运算 题型10 两个平面向量的和或差的模的最值
题型11 平面向量的数乘与线性运算
▉题型1 平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
1．下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】B
【解答】解：对于选项A，若，则与的模相等，但方向无法确定，即选项A错误；
对于选项B，零向量的长度是0，即选项B正确；
对于选项C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，即选项C错误；
对于选项D，共线向量是方向相同的向量，规定零向量与任意向量共线，即选项D错误，
故选：B．
2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，向量，则，
所以与向量同向的单位向量为．
故选：B．
3．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则，是“存在非零实数x，y，使得”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：，故，
整理得，即cos，1，故，共线且方向相同，
存在非零实数x，y，使得，故，共线，但方向不一定相同，
即“ 是“存在非零实数x，y，使得的充分不必要条件．
故选：A．
4．与向量平行的单位向量为（　　）
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【解答】解：向量，则13．
∴与向量平行的单位向量为或．
故选：C．
▉题型2 平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
5．已知向量，满足||＝2，||＝5，则||的取值范围是（　　）
A．[2，5] B．[2，7] C．[3，5] D．[3，7]
【答案】D
【解答】解：根据三角不等式，，
整理得，即||的取值范围是[3，7]．
故选：D．
6．在四边形ABCD中，已知，∠ABD＝60°，则四边形ABCD一定是（　　）
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【解答】解：因为，∠ABD＝60°，
所以△ABD是等边三角形，
因为，即，所以四边形ABCD是平行四边形．
则，所以四边形ABCD是菱形．
故选：D．
（多选）7．已知△ABC是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为△ABC所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解答】解：如图，
设△ABC的三边中点分别为D，E，F，
对于A，因为D为BC中点，所以由图可知，，
则，故A选项错误；
对于B，由向量的加法法则知，成立，故B选项正确；
对于C，因为点G为三角形重心，所以，故，故C选项正确；
对于D，由A选项知，2，
因为，
所以，故D选项正确．
故选：BCD．
8．已知向量与的夹角为，且．
（1）；
（2）求向量与向量的夹角．
【答案】（1）1；（2）．
【解答】解：（1）由向量与的夹角为，且．，得；
所以，
即；
（2）记向量与向量的夹角为θ，
结合（1）可得，
又θ∈[0，π]，因此可得．
即向量与向量的夹角为．
▉题型3 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
9．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
【答案】A
【解答】解：分别表示与同向的单位向量，
若使得，则根据向量等的条件可知，与必须方向相同，
故使其成立的充要条件是与同向．
故选：A．
10．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，①③④为假命题，共有3个．
故选：B．
11．下列选项中，与向量（1，2）平行的单位向量为（　　）
A．（4，2） B．（﹣2，1）
C． D．
【答案】C
【解答】解：设，
则与平行的单位向量为：，
即为或．
故选：C．
12．下列说法中，正确的是（　　）
①若，则或；
②向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量；
④任何两个单位向量都是相等向量．
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
【答案】B
【解答】解：对于①，由仅说明与模相等，但不能说明它们方向的关系，故①错误；
对于②，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上，故②错误；
对于③，向量和是长度相等，方向相反的两个向量，是平行向量，故③正确；
对于④，单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同，故④错误．
故选：B．
▉题型4 平面向量的相等向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
（多选）13．下列命题中正确的是（　　）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】AD
【解答】解：根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；
根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；
向量不能够比较大小，故C错误；
根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确．
故选：AD．
14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 　3　 个．
【答案】3．
【解答】解：根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个．
故答案为：3．
▉题型5 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
15．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：与是两个不共线的向量，，，，
则（3﹣k）（2+k），
由A，B，D三点共线，
可得存在实数λ，使得λ，
即，解得k＝﹣12．
故选：B．
16．已知，，且，则x等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】C
【解答】解：因为，，，
所以（﹣2） （﹣2）﹣4x＝0，解得x＝1．
故选：C．
17．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】A
【解答】解：因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确，
对于两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，
当时，与可能不共线，故C错误
若两个单位向量平行，
当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误．
故选：A．
18．已知，是两个不共线的向量，若4λ与μ是共线向量，则（　　）
A． B．λμ＝﹣4 C． D．λμ＝4
【答案】D
【解答】解：由题意，设，t∈R，
又是两个不共线的向量，
故，解得λμ＝4．
故选：D．
19．已知平面向量，不共线，，，，则（　　）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】B
【解答】解：对于选项A：因为，，
则不存在唯一λ，使得，故选项A错误；
对于选项B：，，
则．
则，
则，两个向量由公共点B，
故A，B，D三点共线．故选项B正确；
对于选项C：因为，，
则不存在唯一λ，使得，故选项C错误；
对于选项D：，，
则，
则不存在唯一λ，使得，故选项D错误．
故选：B．
（多选）20．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量有（　　）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解答】解：与向量共线的向量有、、．
故选：ABD．
21．已知向量，，且，则cos2θ＝　　 ．
【答案】
【解答】解：因为，，，
所以2cosθ﹣sinθ＝0，所以tanθ＝2，
所以．
故答案为：．
22．若非零向量，且设，则实数λ＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以．
故答案为：
23．若，是两个不共线的向量，32，k，32，若A，B，D三点共线，则k＝
　　 ．
【答案】k．
【解答】解：32，k，32，
所以（3﹣k）3；
又A，B，D三点共线，
所以向量与共线，
即λ（32）＝（3﹣k）3，
所以，
解得λ，k．
故答案为：．
24．已知向量（2，1），（﹣2，3），（3，1）．
（1）设xy，求x，y的值；
（2）若（m）∥（2），求m的值．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）由xy，可得（2，1）＝x（﹣2，3）+y（3，1），
即，解得；
（2），，
由（m）∥（2），
可得5（3m﹣2）＝2（m+3），解得．
▉题型6 平面向量的加法
【知识点的认识】
向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
25．在如图所示的方格纸中，（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，．
故选：B．
26．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴M是AC，BD的中点，
∴，，
∴（）（）．
故选：A．
27．已知AD为△ABC的中线，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴由平行四边形法则得：
（）．
故选：D．
28．在 ABCD中，等于 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在 ABCD中，，所以，．
故答案为：．
（多选）29．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解答】解：O是正六边形ABCDEF的中心，
方向相反，，故A错误；
；
因为，C错误；
正六边形ABCDEF的六条边相等，
则，故D正确．
故选：BD．
30．在平行四边形ABCD中，a，b．
（1）如图1，如果E、F分别是BC，DC的中点，试用a、b分别表示．
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当E、F分别是BC，DC的中点时，
，
；
（2）∵O是AC与BD的交点，G是DO的中点，
∴（），
∴
（）
．
▉题型7 平面向量的减法
【知识点的认识】
向量的减法及其几何意义：
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
31．若向量与为非零向量，下列命题中正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若非零向量，则与的方向相同
D．若，则
【答案】C
【解答】解：对于A选项，由于向量不能比大小，所以A选项错误；
对于B选项，，B错误；
对于C选项，因为，所以，
所以，
所以，
又向量与是非零向量，
所以，又，
所以，故与的方向相同；C正确；
若，方向不一定相同，则不一定相等，D错误．
故选：C．
32．已知在平行四边形ABCD中，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，，
∴
故选：A．
▉题型8 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【知识点的认识】
三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
33．如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：B．
34．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记，，则（　　）
A．32 B．﹣23 C．32 D．23
【答案】B
【解答】解：如图，
，
∴，即．
故选：B．
35．P是△ABC所在平面上一点，满足||﹣||＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解答】解：P是△ABC所在平面上一点，且||﹣||＝0，
∴||﹣|（）+（）|＝0，
即||＝||，
∴||＝||，
两边平方并化简得 0，
∴⊥，
∴∠A＝90°，
则△ABC是直角三角形．
故选：B．
▉题型9 平面向量的加减混合运算
【知识点的认识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是
与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
36．（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：原式．
故选：C．
37．已知O为△ABC内切圆的圆心，且2，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设BC的中点D，圆O与AB，AC分别相切于点F，E，
由D为BC的中点，知．即2，
又，所以，即，
因为O为△ABC的内切圆的圆心，所以AB＝AC，OD⊥BC．
不妨设OD＝1，则OA＝3，OE＝OF＝1．
在Rt△OAE中，．
由△OEA∽△CDA，知，即，解得，且CE＝CD，
又，所以．
故答案为：．
38．若3（）+2（2）﹣4（），则 　　 ．
【答案】
【解答】解：3（）+2（2）﹣4（），
则，
所以，所以．
故答案为：．
39．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）已知（2，1），（2，﹣2），点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（2）+（λ）（1+λ）．
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得k，
即（1+λ）k（﹣2），
得（1+2k）（k﹣1﹣λ）．
∵，是平面内两个不共线的非零向量，
∴，解得k，λ．
（2）3
＝（﹣6，﹣3）+（﹣1，1）＝（﹣7，﹣2）．
∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
∴．
设A（x，y），则（3﹣x，5﹣y），
∵（﹣7，﹣2），
∴，解得，即点A的坐标为（10，7）．
40．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式．
▉题型10 两个平面向量的和或差的模的最值
【知识点的认识】
向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减．就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量．当两个向量相加时，有||≤||+||，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有||≥|||﹣|||，当且仅当与方向相反时取得到等号．
另外还有||≤||+||，当且仅当与方向相反时取得到等号．；||≥|||﹣|||，当且仅当与方向相同时取得到等号．
41．已知向量，满足，，则的最小值为 　6　 ，当且仅当与的方向 　相反　 时取得最小值．
【答案】6；相反．
【解答】解：向量，满足，，
则：，当且仅当与的方向相反时等号成立，
取得最小值．
故答案为：6，相反．
42．已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵，又，
∴，
∴，
由向量模长的三角不等式：，
可得，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
（多选）43．已知，则（　　）
A．若，则
B．若，则t＝0
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞）
【答案】ABC
【解答】解：对于A，若，则t2﹣8＝0，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得t＝0，故B正确；
对于C，，
则，
当t＝﹣3时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不共线，
由，得t＞0，
由得，
所以t的取值范围为，故D错误．
故选：ABC．
44．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：连接AB，如下图所示：
因为AC⊥BC，则AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，
所以，，
所以，
＝4×2+2×1＝10，
当且仅当M、O、C共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为10．
故选：C．
45．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时λ＝　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：∵，而 ||||cos，2，
∴cos，，，∈[[0，π]，∴，
∴||2，
||2，2||＝4，
∵向量满足|22|＝||，∴|22|，
如图所示，
若，，2（），，
则，，
∴||＝|2（）|＝2，∴C在以E为圆心，2为半径的圆上，
若，则，
由图象可得当且仅当E，C，D三点共线且ED⊥OD时，||最小，即（λ∈R）取最小值，
此时，，
又，，∴λ＝3．
故答案为：3．
▉题型11 平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥ λ
（2）向量数乘运算的法则
①1；（﹣1）；
②（λμ）λ（μ）μ（λ）；
③（λ+μ）λμ；
④λ（）＝λλ．
一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示．
46．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
【答案】C
【解答】解：点O是BC的中点，，，m＞0，n＞0，
由题意，，又M，O，N共线，则m+n＝2，
且m＞0，n＞0，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9．
故选：C．
47．已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则xy＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得：
，
又因为，即，
所以．
故选：B．
48．已知D为△ABC所在平面内的一点，，E为CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：D为△ABC所在平面内的一点，，E为CD的中点，
由题意得
．
故选：C．
49．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，G为△OAB的重心，若，则x﹣y＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，延长AG与BO相交于点E，可得E为OB的中点，可得DE＝3EB，
由，有，有，
又由，
有，可得．
故选：A．
50．设P，Q两点把线段AB三等分（P靠近A），则下列向量表达式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由已知结合图形可得：因为，方向相同，，所以，故A正确；
因为，方向相同，，所以，故B正确；
因为，方向相反，，所以，故C正确；
因为，方向相反，，所以，故D错误．
故选：D．
51．已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，，
则，故A、B不正确；
，故C不正确，D正确．
故选：D．
52．如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，
设，由得，
故
，
由得，
故，
由于B，P，E三点共线，故，则，
又，故，
所以．
故答案为：．
53．已知点O是正方形ABCD内一定点，记．试用表示　　 ．
【答案】．
【解答】解：．
故答案为：．
54．如图，在△ABC中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若P为△ABC内部一点，且．求证：M，P，N三点共线．
【答案】（1），；
（2）证明见解答．
【解答】解：（1）由题可知，
，
；
（2）证明：由．
可得，
因为，且有公共点M，
所以M，P，N三点共线．
55．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O．
（Ⅰ）若，求实数x，y的值；
（Ⅱ）若，求实数t的值；
（Ⅲ）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（λ＞0，μ＞0），求λ+μ的最小值．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，
所以，
所以；
（Ⅱ）由题意可知：，
，
又因为G，O，C三点共线，所以存在实数k使得，
即，
所以，解得，
所以；
（Ⅲ）易知，
由（Ⅱ）知，
又因为E，O，F三点共线，
所以，又λ＞0，μ＞0，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以λ+μ的最小值为．
56．点C在线段AB上，且，则　　 ，　　 ．
【答案】；
【解答】解：∵，∴ACAB；BCAB，
又与同向，与反向，
故则，．
故答案为：，．
57．如图，在梯形ABCD中，，，，G为对角线AC，BD的交点，E，F分别是腰AD，BC的中点，求向量和．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为E，F分别是腰AD，BC的中点，∴，；
∵；①
；②
①+② （）；
∵，，，
∴；
∵，，，；
∴DC∥AB，DCAB △DCG∽△BAG DGDB；
∵（）（）．
58．已知点O是△ABC内部一点，并且满足的面积为S1，△AOC的面积为S2，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以，
所以
取AC的中点D，则．
∴，即O为中线BD的中点，如图所示，
则△AOB的面积为S1，△AOC的面积为S2，
S△AOC＝2S△AOD，
∵S△AOD＝S△BOA，
∴S△AOC＝2S△BOA．
所以．
故答案为：．
59．已知点P1（1，3），P2（4，﹣6），P是直线P1P2上的一点，且2，那么点P的坐标为　（3，﹣3）　 ．
【答案】（3，﹣3）
【解答】解：设点P（x，y），
且P1（1，3），P2（4，﹣6），
（x﹣1，y﹣3），
（4﹣x，﹣6﹣y），
又2，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣3）．
（多选）60．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（　　）
A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ＝1的点P有两个
C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个
D．的点P有两个
【答案】BCD
【解答】解：建立直角坐标系，如图所示：
设正方形的边长为1，设动点P（x，y），
则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（﹣1，1），
所以（1，0），（﹣1，1），
所以μ，整理得，
所以λ+μ＝x+2y，
下面对点P的位置逐一进行讨论，
①当点P在AB上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，1]，
②当动点P在BC上时，，故λ+μ＝x+2y∈[1，3]，
③当动点P在CD上时，，故λ+μ＝x+2y∈[2，3]，
④当动点P在DA上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，2]，
由此可得：λ+μ＝2，得到动点P为BC的中点或点D的位置，故A错误，
当λ+μ＝1时，得到动点P为点B的位置或AD的中点，故B正确，
当λ+μ时，点P为BC的中点或P（1，），故D正确，
当λ+μ＝3时，点P为C（1，1）的位置，故C正确．
故选：BCD．

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