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第8章第2节 向量的数量积
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量数量积的性质及其运算
题型3 平面向量的投影向量 题型4 平面向量的数量投影
▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
1．已知向量的夹角为30°，且，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：由已知，解得．
故答案为：．
2．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意知，，即，
所以．
故答案为：．
▉题型2 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
（多选）3．若向量，满足，，则（　　）
A．
B．与的夹角为
C．
D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【解答】解：选项A，由，
可得，故A错误；
选项B，又，因为∈[0，π]，
所以，即与的夹角为，故B正确；
选项C，又，所以，故C正确；
选项D，在上的投影向量为，故D正确．
故选：BCD．
4．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝6，AD＝CD＝3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD．
（1）求的值；
（2）若N为线段AC上任意一点，求的取值范围．
【答案】（1）﹣6；（2）[，15]．
【解答】解：（1）以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），D（0，3），C（3，3），
因为AB∥CD，AB＝6，CD＝3，
所以△ABO∽△CDO，所以，
所以点O（2，2），
设M（m，0），则（m﹣2，﹣2），（﹣6，3），
因为OM⊥BD，所以 6（m﹣2）﹣6＝0，解得m＝1，
所以M（1，0），（1，0），
所以6．
（2）由（1）知，（3，3），
设λ（3λ，3λ），λ∈[0，1]，则（3λ﹣1，3λ），
所以3λ（3λ﹣1）+3λ 3λ＝3λ（6λ﹣1）＝18（λ）2，
因为λ∈[0，1]，
所以当λ＝1时，取得最大值，为15；
当λ时，取得最小值，为，
故的取值范围为[，15]．
5．在△ABC中，已知为线段AB上的一点，且，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解答】解：因为sinB＝cosAsinC，且A+B+C＝π，
所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），
则sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝cosAsinC，
所以sinAcosC＝0，在△ABC中，sinA＞0，
所以cosC＝0，即，
则，所以，
又，所以，
故，
又P为线段AB上的一点，所以，
则，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为4．
故选：C．
6．已知向量且（λ＞0），求（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题可得，，，
又，则，
即（1+λ）（λ﹣3）＝0，解得：λ＝3或λ＝﹣1，
因为λ＞0，所以λ＝3，即．
故选：C．
7．已知等边三角形ABC的边长为1，，，，那么 （　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【答案】B
【解答】解：．
故选：B．
8．已知向量，满足，且与的夹角为，则（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解答】解：∵，且与的夹角为，
∴，
∴，
故选：B．
9．已知且f（x），下列有关函数的相关命题，正确的个数是（　　）
①函数|f（x）|的周期为π
②函数f（x）的一个对称中心为
③函数f（x）的单调递减区间为
④若函数在区间上是单调函数，且g（﹣π）＝g（0）＝﹣g（），则ω的值为2或
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：因为，且f（x），
所以
，
所以f（x）的周期为，所以函数|f（x）|的周期为，故①错误；
，所以函数f（x）的一个对称中心为，故②正确；
令，解得，
所以函数f（x）的单调递减区间为，故③错误；
，
由g（x）在区间上是单调函数，所以，
又，所以为g（x）的一条对称轴，为g（x）的一个对称中心，
所以，
又，
所以k＝1或2，当k＝1时，，
当k＝2时，，所以ω的值为2或，故④正确．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，，P为CD上一点，且，若|AC|＝1，|AB|＝3，，则的值为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解答】解：因为，故，
故，
由于P在CD上，所以，故，
则，
又|AC|＝1，|AB|＝3，，
则
．
故选：B．
11．已知向量，，且，那么实数k＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【答案】C
【解答】解：根据题意，向量，，
若，则有1×k＝（﹣2）×（﹣2），解可得k＝4；
故选：C．
12．已知两个非零向量和，若⊥（2），||＝|3|，则cos，（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解答】解：由⊥（2），可得，
即，又||＝|3|，
所以，
解得．
故选：D．
13．已知向量，，下列说法错误的是（　　）
A．
B．
C．与向量平行的单位向量是
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】C
【解答】解：对于A，向量，，
可得，则，故A正确；
对于B，由，则，故B正确；
对于C，易知与向量平行的单位向量为，则为或，故C错误；
对于D，因为 4×7+3×1＝﹣25，||
易知向量在向量的投影向量为 ，故D正确．
故选：C．
14．设向量与的夹角为θ，定义 ．已知向量为单位向量，，，则 （　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：向量为单位向量，，，
则，即，解得cosθ＝0，即，
．
故选：B．
15．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，
不妨设，，
又非零向量与的夹角为，
则y＝x，
设，
又向量满足，
则m2+n2﹣6m+8＝0
即（m﹣3）2+n2＝1，
又（3，0）到直线y＝x的距离为，
则的最小值是．
故选：A．
16．已知向量，，则∠ABC＝（　　）
A．120° B．45° C．30° D．60°
【答案】C
【解答】解：根据题意，，∠ABC，
向量，则||＝1，，则||＝1，
，
则cos∠ABC，
又由∠ABC∈[0°，180°]，
则∠ABC＝30°；
故选：C．
17．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足，E为AC的中点，则的取值范围为（　　）
A． B．[﹣4，4） C． D．[﹣2，4]
【答案】A
【解答】解：由题意，△ABC是边长为4的等边三角形，
故以直线BC为x轴，线段BC的中垂线为y轴，
建立平面直角坐标系xOy，如图所示，
因为，则点D在线段BC（不含端点）上，
设D（x，0），则﹣2＜x＜2，
又，
则，
所以，
由二次函数的性质可知：
当时，取得最小值，
当x＝2时，，
故的取值范围为．
故选：A．
18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，D为线段AC的中点，DM⊥BC，E为线段DM的中点，F为线段AB上的动点，则的最大值与最小值的差为（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【解答】解，因为在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，
则以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
又在△ABC中，D为线段AC的中点，所以，
则，所以，
设F（m，0）（0≤m≤2），，则，
所以，故，
又DM⊥BC，则，
则，所以，，
所以，
又0≤m≤2，故6≤2m+6≤10，
即的最大值与最小值的差为10﹣6＝4．
故选：D．
19．若，，与的夹角为120°，则（　　）
A．12 B． C． D．﹣12
【答案】D
【解答】解：，故D正确．
故选：D．
20．已知，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足8＝0，则||的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设共起点，由，可得，
所以与垂直，如图，
由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，
由题意可知的终点在图中所示的射线上，
所以是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
故的最小值为．
故选：A．
21．设、是非零向量，其夹角为θ，“θ为锐角”是“”成立的（　　）条件．
A．既不充分也不必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．充要
【答案】B
【解答】解：由可知：
当θ为锐角时，cosθ＞0，故成立，
即“θ为锐角”是“”的充分条件；
但若，θ可能为锐角或0（向量同向），
而0不属于锐角，因此“θ为锐角”不是必要条件；
综上，“θ为锐角”是“”的充分不必要条件．
故选：B．
22．ΔABC中，，则ΔABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】C
【解答】解：ΔABC中，，
根据平面向量数量积公式可得，
即cos（π﹣B）＝﹣cosB＞0，
所以cosB＜0，角B为钝角，
则ΔABC一定是钝角三角形．
故选：C．
23．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，若，则的值是（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解答】解：∵在△ABC中，D是BC的中点，∴（），
又∵E在边AB上，BE＝2EA，，
由于，
所以 3（） （）（ ） ，
∴3；
∴；
故选：A．
24．在圆的内接四边形ABCD中，已知对角线BD为圆的直径，，AD＝1，则的值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：在圆的内接四边形ABCD中，已知对角线BD为圆的直径，，AD＝1，
在Rt△ABD中，，根据勾股定理可得BD2＝AB2+AD2＝8+1＝9，
所以BD＝3，所以，，
在△ABC中，由余弦定理可知AB2＝AC2+BC2﹣2AC BC cos∠ACB，
即，解得，
在Rt△BCD中，，
根据平面向量的加法法则和数量积公式可得：
．
故答案为：．
25．已知同一平面内的单位向量，，，则（） 的最小值是 　﹣2　 ；若与不共线，||＝1，x，y，z∈R，xyz，x+y+z＝2025，则 　2　 ．
【答案】﹣2；2．
【解答】解：（1）根据题意得||＝||＝||＝1，设与的夹角为θ，0≤θ≤π，
则（） || ||cosθ＝||cosθ，
由||≤||+||＝2，可知当、的方向相反时，||取得最大值2．
因为当θ＝π时，cosθ＝﹣1达到最小值，
所以当、的方向相反，且与的方向相反时，（） 取得最小值﹣2．
（2）设，可得，且||＝||＝1，
由与不共线，可知与不共线，
根据、、、都是单位向量，且它们的和为零向量，
可知、、、首尾顺次相接构成的四边形为菱形，即，．
由xyz，可得yxz（z﹣x），
因为、不共线，所以y＝z﹣x＝0，即x＝z且y＝0，可得2．
故答案为：﹣2；2．
26．若AB＝3，，平面内一点P，满足，sin∠PAB的最大值是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，由向量的数量积定义和可得，
，
所以∠APC＝∠BPC，由角平分线定理可得：，
设PB＝x，则PA＝2x，由PA+PB＞AB，PA﹣PB＜AB，可得1＜x＜3，
由余弦定理：，当且仅当，即时等号成立，
因为0＜∠PAB＜π，则，所以，
所以sin∠PAB的最大值是．
故答案为：．
27．折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形OCD为一把折扇展开后的平面图，其中，OC＝OD＝1，点M在弧CD上（包括端点）运动，其中E，F分别是OC，OD的中点，则的范围为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：以O为原点，直线OC为x轴，建系如图：
则，设，M（cosθ，sinθ），
所以，
所以
化简可得，
又，所以，，
所以的范围为．
故答案为：．
28．在△ABC中，，且，若，则λ＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在△ABC中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
因为，即，
则，即，故G为△ABC的重心，
因为，则A，B，C均不为直角，
因为，
整理可得tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，
所以，，
可得
，
延长CG交AB于点D，则D为AB的中点，且，可得，
如下图所示：
又因为，即，
所以，，
即，
整理可得a2+b2＝5c2，故，
因此，．
故答案为：．
29．已知向量，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
【答案】（1）（﹣4，13）；
（2）﹣8；
（3）．
【解答】解：（1）因为，，
所以；
（2）因为，，
所以，
所以；
（3）因为，，
所以．
30．如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
（1）若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值．
（2）若，AD＝2，P是线段AD上任意一点，求最大值．
【答案】（1）（ⅰ）；
（ⅱ）3；
（2）2．
【解答】解：（1）（ⅰ）如图，在△ABD中，
因为，
所以
，
（ⅱ）因为，，
所以，，
又，
所以，
又D，E，F三点共线，且A在线外，
所以，即；．
（2）因为，
所以，
则，
当且仅当时取等号，故最大值为2．
31．已知向量，，函数．
（1）求函数f（x）的解析式和图象的对称中心；
（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，且关于x的方程g（x）＝1﹣λ（2sinx+1）在上有3个不同的解，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）；；
（2）[0，1）．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
令，
所以函数f（x）图象的对称中心为；
（2）由题可得：，
因为2cos2x＝1﹣λ（2sinx+1），所以由二倍角公式得：λ（2sinx+1）＝（2sinx+1）（2sinx﹣1），
则λ（2sinx+1）＝（2sinx+1）（2sinx﹣1）在上有3个不同的解，
因为时，2sinx+1＝0，所以是方程λ（2sinx+1）＝（2sinx+1）（2sinx﹣1）的一个解，
所以λ（2sinx+1）＝（2sinx+1）（2sinx﹣1）在上有2个不同的解，
此时sinx+1≠0，所以λ＝2sinx﹣1，即λ+1＝2sinx在上有2个不同的解，
作出y＝2sinx图像，如图所示：
所以由三角函数图像可知1≤λ+1＜2，即0≤λ＜1．
故方程g（x）＝1﹣λ（2sinx+1）在上有3个不同的解，则实数λ的取值范围为[0，1）．
（多选）32．如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，M为线段AB的中点，点C坐标为，记f（α，β）＝||+cos（β﹣α），则（　　）
A．
B．若，则
C．点M的坐标为
D．若f（α，β）＝0，则
【答案】BC
【解答】解：因为角α，β终边与单位圆的交点分别为A，B，
所以点A的坐标为（cosα，sinα），点B的坐标为（cosβ，sinβ），又点O的坐标为（0，0），
所以，
因为点C坐标为，所以，
所以，
因为
，
，
所以，
因为，所以，
故，
所以，
所以，
所以与不相等，A错误；
因为，
所以，
又，
所以，故，
所以，又，
所以，所以，B正确；
因为，
所以，
因为点A的坐标为（cosα，sinα），点B的坐标为（cosβ，sinβ），点M为线段AB的中点，
所以点M的坐标为，
所以点M的坐标为，C正确；
因为，
又，所以，
因为，
所以，又，
所以，
若，又，
所以，所以，
所以，故，
则，
则，
所以或（舍去），
又，所以，
所以矛盾，D错误．
故选：BC．
33．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝9，，N为AC的中点，设，，BN与CM相交于点P．
（1）用，表示、；
（2）若，求λ的值；
（3）求cos∠MPN．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝9，，N为AC的中点，
又，，BN与CM相交于点P，
则，
故；
（2）由（1）可得：，
因为P，B，N三点共线，
设，
即，
，
故，，
所以，
解得；
（3）由（1）知，，，
又∠C＝90°，AC＝6，BC＝9，故，
，
，
同理：，
则．
34．如图，在梯形ABCD中，，，．
（1）用，表示，；
（2）若AB＝4，AD＝3，，求；
（3）若AE与BF交于点G，，求xy．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由图，
，
；
（2）
；
（3）设，则
，
设，则，
则解得
所以，
故．
35．已知向量，，．
（1）求向量与的夹角θ的大小；
（2）若向量，（λ∈R），当取得最小值时，求．
【答案】（1）；
（2）5．
【解答】解：（1）因为，，，
所以，即5，
所以，又θ∈[0，π]，
所以；
（2）因为向量，（λ∈R），，，，
则，
所以（1﹣λ）2
＝10（1﹣λ）2+5（2+λ）2+10（1﹣λ）（2+λ）
＝5λ2﹣10λ+50＝5（λ﹣1）2+45≥45，
所以当λ＝1时，取得最小值，
此时，
所以2＝||225，
所以5．
▉题型3 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
36．已知向量，，，则向量在上的投影向量为（　　）
A． B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．
【答案】D
【解答】解：由，
得，
由，得，
则，
故所求投影向量为：．
故选：D．
37．已知向量，满足||＝||，且在上的投影向量为单位向量，则||＝（　　）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：如图，
设，，则，
设点M为线段AB中点，因为||＝||，且在上的投影向量为单位向量，
所以MB＝1，AB＝2MB＝2，即||＝2．
故选：D．
38．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，
∴，解得，
且，
向量与的夹角是．
故选：C．
39．已知向量在上投影数量为，，则（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【解答】解：由题意可知，，
所以，
所以．
故选：C．
40．已知向量，则在上的投影向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
则，，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
41．向量与在单位向量上的投影向量均为3，且||＝5，当与的夹角最大时， （　　）
A．8 B．5 C． D．
【答案】D
【解答】解：设为x轴正半轴上的单位向量，
令（3，0），，，（m∈R），
如图所示，
设与的夹角为θ，若θ∈（0，π），
在△AOC中，由余弦定理有，
而，
所以cosθ＞0，所以，
因为AB⊥OC，所以，
根据正弦定理有：，
即，整理有，
所以，
当与的夹角最大时，tanθ最大，取最小值，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以当与的夹角最大时，．
故选：D．
42．如图，在△ABC中，，AD⊥BC于D，AD＝2，BC＝6，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，|AD|＝|CD|＝2，则|AC|2，|BD|＝4，
所以|AB|2，
所以cos∠CAB，
所以在上的投影向量为．
故选：A．
43．向量在向量上的投影向量的模为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：向量在向量上的投影向量为（）；
故投影向量的模为．
故选：A．
44．已知||＝5，||＝3，且向量在向量上的投影的数量为﹣2，则||＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意得向量在向量上的投影的数量为，
得，
所以．
故选：A．
45．已知向量，，，则向量在上的投影向量为　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，所以，
又因为，，
所以，
所以，
所以向量在上的投影向量为．
故答案为：．
46．已知是平面内的两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的投影向量的模为　　 ．
【答案】．
【解答】解：是平面内的两个单位向量，且其夹角为，
则向量在向量上的投影向量的模为：．
故答案为：．
47．向量，，则在上的投影向量坐标为 　（﹣1，﹣1）　 ．
【答案】（﹣1，﹣1）．
【解答】解：因为，，
则在上的投影向量坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
48．已知，，向量在方向上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则　12　 ．
【答案】12．
【解答】解：由题意知，在方向上的投影向量为，
所以．
故答案为：12．
（多选）49．下列说法正确的是（　　）
A．任意向量和，若||＞||且与同向，则
B．如果，且与互相垂直，那么
C．若，则与的夹角一定是锐角
D．已知||＝6，为单位向量，且，，则在上的投影向量为
【答案】BD
【解答】解：向量不能比较大小，A错误；
与互相垂直，且，则，
所以，，B正确；
时，与的夹角为锐角或0角，C错误；
，则，
所以在上的投影向量为：，D正确．
故选：BD．
50．已知向量与的夹角，且．
（1）求；
（2）在上的投影向量．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）由向量与的夹角，且，，故，
所以．
（2）在上的投影向量为．
51．已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是　（答案不唯一）　 ．（写一个即可）
【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：设，
，
则，满足方程的点均可．
故答案为：（答案不唯一）．
52．我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量，设是直线l的一个方向向量，那么就是直线l的一个法向量（图1），借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离，类推计算点到面、线到线、线到面、面到面的距离．已知P是直线l外一点，是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量上的投影向量为，该投影向量的长度（模）就是点P到直线l的距离d，即（图2），已知点A（﹣4，0），B（2，﹣1），C（﹣1，3），则点C到直线AB的距离为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：是直线l的一个方向向量，
那么就是直线l的一个法向量
是直线AB的一个方向向量，
则是直线AB的一个法向量，
因为，
所以点C到直线AB的距离．
故答案为：．
（多选）53．已知向量，若在上的投影向量为，则（　　）
A．λ＝3 B．
C． D．与的夹角为45°
【答案】ACD
【解答】解：向量，若在上的投影向量为，
所以 ，即﹣1+2λ＝1+4，解得λ＝3，选项A正确；
由（﹣1，2），（1，3），得与不平行，选项B错误；
由（2，1），所以 （）＝﹣2+2＝0，即⊥（），选项C正确；
设与的夹角为θ，则cosθ，且0°≤θ≤180°，
所以θ＝45°，即、的夹角为45°，选项D正确．
故选：ACD．
54．已知向量与的夹角，且．
（1）求；
（2）在上的投影向量；
（3）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1），，
所以；
（2）在上的投影向量为：；
（3），
则，
即向量与夹角的余弦值为．
55．已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：向量在向量上的投影为，
同理可得，向量在向量上的投影为，
∵不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，
∴0，即，
∴，
∴．
故选：C．
56．在边长为4的正方形ABCD中，，以F为圆心，1为半径作半圆与CD交于M，N两点，如图所示．点P为弧MN上任意一点，向量在向量上的投影向量是，则m的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：过P作PQ⊥EC交EC于点Q，根据投影向量的概念可得，
当PQ与半圆相切时，m取得最大值．过F作FK⊥EC交EC于点K，
连接FP，当m取得最大值时，FP∥KQ且KQ＝FP＝1．
因为cos∠KCF＝sin，所以KC＝FC B ，
则，所以，得，
所以m的最大值为．
故答案为：．
57．已知平面向量，且．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设，
∵，
∴x＝﹣2y，
又，
∴x2+y2＝625，
∴y2＝125，
∴，
∴或，
∴或；
（2），
∴，
∴在上的投影向量为．
▉题型4 平面向量的数量投影
【知识点的认识】
1、两个向量的数量积及其性质：
（1） ＝||||cos，；
（2）⊥ 0（，为非零向量）；
（3）||22，||．
2、向量的投影：||cosθ∈R，称为向量在方向上的投影．
58．已知向量，，则在方向上投影为（　　）
A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：，，
则，，
故在方向上的投影向量为：2．
故选：B．
59．已知向量，则向量在向量上的投影的数量为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解答】解：向量（，1），（2，﹣1），
所以 21×（﹣1）＝3，
所以向量在向量上的投影的数量为1．
故选：D．
60．设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（　　）
A． B． C．3 D．6
【答案】A
【解答】解：因为，，
所以||3，又，
所以在上投影向量的模为|||cos，|＝||．
故选：A．第8章第2节 向量的数量积
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量数量积的性质及其运算
题型3 平面向量的投影向量 题型4 平面向量的数量投影
▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
1．已知向量的夹角为30°，且，则　 ．
2．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则 ．
▉题型2 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
（多选）3．若向量，满足，，则（　　）
A．
B．与的夹角为
C．
D．在上的投影向量为
4．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝6，AD＝CD＝3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD．
（1）求的值；
（2）若N为线段AC上任意一点，求的取值范围．
5．在△ABC中，已知为线段AB上的一点，且，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
6．已知向量且（λ＞0），求（　　）
A． B． C． D．
7．已知等边三角形ABC的边长为1，，，，那么 （　　）
A．3 B． C． D．﹣3
8．已知向量，满足，且与的夹角为，则（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
9．已知且f（x），下列有关函数的相关命题，正确的个数是（　　）
①函数|f（x）|的周期为π
②函数f（x）的一个对称中心为
③函数f（x）的单调递减区间为
④若函数在区间上是单调函数，且g（﹣π）＝g（0）＝﹣g（），则ω的值为2或
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在△ABC中，，P为CD上一点，且，若|AC|＝1，|AB|＝3，，则的值为（　　）
A． B． C． D．4
11．已知向量，，且，那么实数k＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
12．已知两个非零向量和，若⊥（2），||＝|3|，则cos，（　　）
A． B．0 C． D．
13．已知向量，，下列说法错误的是（　　）
A．
B．
C．与向量平行的单位向量是
D．向量在向量上的投影向量为
14．设向量与的夹角为θ，定义 ．已知向量为单位向量，，，则 （　　）
A． B．1 C． D．
15．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
16．已知向量，，则∠ABC＝（　　）
A．120° B．45° C．30° D．60°
17．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足，E为AC的中点，则的取值范围为（　　）
A． B．[﹣4，4） C． D．[﹣2，4]
18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，D为线段AC的中点，DM⊥BC，E为线段DM的中点，F为线段AB上的动点，则的最大值与最小值的差为（　　）
A． B． C．3 D．4
19．若，，与的夹角为120°，则（　　）
A．12 B． C． D．﹣12
20．已知，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足8＝0，则||的最小值是（　　）
A． B． C． D．
21．设、是非零向量，其夹角为θ，“θ为锐角”是“”成立的（　　）条件．
A．既不充分也不必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．充要
22．ΔABC中，，则ΔABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
23．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，若，则的值是（　　）
A． B．2 C． D．3
24．在圆的内接四边形ABCD中，已知对角线BD为圆的直径，，AD＝1，则的值为　　 ．
25．已知同一平面内的单位向量，，，则（） 的最小值是 ；若与不共线，||＝1，x，y，z∈R，xyz，x+y+z＝2025，则 ．
26．若AB＝3，，平面内一点P，满足，sin∠PAB的最大值是 ．
27．折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形OCD为一把折扇展开后的平面图，其中，OC＝OD＝1，点M在弧CD上（包括端点）运动，其中E，F分别是OC，OD的中点，则的范围为 　 ．
28．在△ABC中，，且，若，则λ＝ 　 ．
29．已知向量，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
30．如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
（1）若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值．
（2）若，AD＝2，P是线段AD上任意一点，求最大值．
31．已知向量，，函数．
（1）求函数f（x）的解析式和图象的对称中心；
（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，且关于x的方程g（x）＝1﹣λ（2sinx+1）在上有3个不同的解，求实数λ的取值范围．
（多选）32．如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，M为线段AB的中点，点C坐标为，记f（α，β）＝||+cos（β﹣α），则（　　）
A．
B．若，则
C．点M的坐标为
D．若f（α，β）＝0，则
33．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝9，，N为AC的中点，设，，BN与CM相交于点P．
（1）用，表示、；
（2）若，求λ的值；
（3）求cos∠MPN．
34．如图，在梯形ABCD中，，，．
（1）用，表示，；
（2）若AB＝4，AD＝3，，求；
（3）若AE与BF交于点G，，求xy．
35．已知向量，，．
（1）求向量与的夹角θ的大小；
（2）若向量，（λ∈R），当取得最小值时，求．
▉题型3 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
36．已知向量，，，则向量在上的投影向量为（　　）
A． B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．
37．已知向量，满足||＝||，且在上的投影向量为单位向量，则||＝（　　）
A．1 B． C．3 D．2
38．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
39．已知向量在上投影数量为，，则（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
40．已知向量，则在上的投影向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
41．向量与在单位向量上的投影向量均为3，且||＝5，当与的夹角最大时， （　　）
A．8 B．5 C． D．
42．如图，在△ABC中，，AD⊥BC于D，AD＝2，BC＝6，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
43．向量在向量上的投影向量的模为（　　）
A．2 B． C． D．
44．已知||＝5，||＝3，且向量在向量上的投影的数量为﹣2，则||＝（　　）
A． B． C． D．
45．已知向量，，，则向量在上的投影向量为　　 ．
46．已知是平面内的两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的投影向量的模为　　 ．
47．向量，，则在上的投影向量坐标为 　 ．
48．已知，，向量在方向上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则 ．
（多选）49．下列说法正确的是（　　）
A．任意向量和，若||＞||且与同向，则
B．如果，且与互相垂直，那么
C．若，则与的夹角一定是锐角
D．已知||＝6，为单位向量，且，，则在上的投影向量为
50．已知向量与的夹角，且．
（1）求；
（2）在上的投影向量．
51．已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是　 ．（写一个即可）
52．我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量，设是直线l的一个方向向量，那么就是直线l的一个法向量（图1），借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离，类推计算点到面、线到线、线到面、面到面的距离．已知P是直线l外一点，是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量上的投影向量为，该投影向量的长度（模）就是点P到直线l的距离d，即（图2），已知点A（﹣4，0），B（2，﹣1），C（﹣1，3），则点C到直线AB的距离为 　 ．
（多选）53．已知向量，若在上的投影向量为，则（　　）
A．λ＝3 B．
C． D．与的夹角为45°
54．已知向量与的夹角，且．
（1）求；
（2）在上的投影向量；
（3）求向量与夹角的余弦值．
55．已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（　　）
A． B． C． D．
56．在边长为4的正方形ABCD中，，以F为圆心，1为半径作半圆与CD交于M，N两点，如图所示．点P为弧MN上任意一点，向量在向量上的投影向量是，则m的最大值为 ．
57．已知平面向量，且．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）．
▉题型4 平面向量的数量投影
【知识点的认识】
1、两个向量的数量积及其性质：
（1） ＝||||cos，；
（2）⊥ 0（，为非零向量）；
（3）||22，||．
2、向量的投影：||cosθ∈R，称为向量在方向上的投影．
58．已知向量，，则在方向上投影为（　　）
A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4
59．已知向量，则向量在向量上的投影的数量为（　　）
A． B． C． D．1
60．设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（　　）
A． B． C．3 D．6

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