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第8章第3节 向量的坐标表示
题型1 平面向量的基本定理 题型2 平面向量的基底
题型3 用平面向量的基底表示平面向量 题型4 平面向量的正交分解及坐标表示
题型5 平面向量的坐标运算 题型6 平面向量加减法的坐标运算
题型7 平面向量数乘和线性运算的坐标运算 题型8 平面向量数量积的坐标运算
题型9 平面向量共线（平行）的坐标表示 题型10 数量积表示两个平面向量的夹角
题型11 数量积判断两个平面向量的垂直关系
▉题型1 平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
1．如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知点C在线段AB上，且ACCB，则（　　）
A． B． C． D．
3．在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若，则x＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 平面向量的基底
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
4．若{，}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
▉题型3 用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
5．在△ABC中，D为BC边上一点，且BC＝3BD，设，，则（　　）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且，若，，则用，表示为（　　）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，，E是CD的中点．设，．则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．在△ABC中，点D满足，则（　　）
A． B．
C． D．
11．如图所示的四边形ABCD中，设，则用表示　 ．
（多选）12．如图，在△ABC中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，λ，μ∈（0，+∞），过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（m＞0，n＞0），则（　　）
A． B．
C． D．m+2n的最小值为2．
13．如图，在△OAB中，M为AB中点，点P、G、Q分别为OA、OM、OB上一点，且，，．
（1）用向量，表示；
（2）证明：P、G、Q三点共线．
14．如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为BC的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N．
（Ⅰ）用，表示；
（Ⅱ）若，，求的值；
（Ⅲ）求OM2+ON2的取值范围．
15．如图所示，在△ABC中，AD是边BC边上中线，E为AD中点，过点E点直线交边AB，AC于M，N两点，设，，，（M，N与点B，C不重合）．
（1）求x和y的值；
（2）证明：λ+μ为定值；
（3）求的最小值，并求此时的λ，μ的值．
16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝8，CD＝3，AD＝6，E在线段BC上．
（1）若CE＝2EB，用向量表示；
（2）若AE与BD交于点，求x的值．
17．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标．
（1）设，求；
（2）已知，，求；
（3）若，，与的夹角记为θ，求θ的余弦值．
18．在△ABC中，，点M是BC边上靠近B的三等分点，点N满足3，AM与CN交于点P，用表示．
19．在平行四边形ABCD中，点E和点B关于点D对称，3．
（1）用，表示，；
（2）若G为线段EF上一点，且，求5x+7y．
▉题型4 平面向量的正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1、平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2、平面向量的坐标表示：
若、为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量，有且仅有一对实数x，y，使得xy，使得xy，我们把（x，y）称为的坐标．表达式为xy（x，y）
20．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小都为6牛顿，则F3的大小为
牛顿．
▉题型5 平面向量的坐标运算
【知识点的认识】
平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d．若（m，n），则（x+m，y+n），则（x﹣m，y﹣n）； （xm，ny），λ（λx，λy）．
21．已知（5，5），A（2，3），则点B的坐标为（　　）
A．（8，7） B．（﹣2，﹣2） C．（7，8） D．（2，2）
▉题型6 平面向量加减法的坐标运算
【知识点的认识】
﹣向量加法：如果和，则．
﹣向量减法：如果和，则．
22．已知向量（﹣2，1），（1，1），则32（　　）
A．（﹣8，1） B．（﹣4，5） C．（﹣4，1） D．（﹣8，5）
23．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 ．
24．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，，求；
（3）已知点D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
25．已知向量．
（1）求；
（2）设的夹角为θ，求cosθ的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
▉题型7 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
【知识点的认识】
﹣数乘：对向量进行标量k的数乘，结果为．
﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．
26．已知向量，O为坐标原点，点P满足，则点P坐标为（　　）
A． B． C． D．
27．已知，则的坐标为 　 　 ．
28．设向量，，满足（2，1），||＝2，（1，0）．
（1）若向量，同向，求向量的坐标；
（2）若t∈[0，1]，求|t|的取值范围．
（多选）29．设向量，平面内任一向量都可唯一表示为，则实数m的可能取值是（　　）
A．2 B．3 C．1 D．0
30．已知，，求：
（1）；
（2）．
▉题型8 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
31．设x∈R，向量且，则（　　）
A． B． C． D．
32．已知向量，且，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
33．已知（2，﹣1），，则等于（　　）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
34．已知向量，若，则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ＝（　　）
A． B． C． D．﹣1
▉题型9 平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
35．已知向量（3，2），（λ，10﹣λ），若∥，则（　　）
A．（9，6） B．（6，4） C．（﹣3，﹣2） D．（6，9）
36．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
37．已知向量，若（2）∥，则实数x的值为（　　）
A．﹣12 B．﹣4 C．4 D．12
38．已知向量（1，2），，，若（）∥，则λ+μ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
39．已知平面向量，若，则tanθ＝（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．
40．已知向量，若，则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ＝（　　）
A． B． C． D．﹣1
41．已知向量，，则m＝1是向量与向量共线的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
42．已知向量（1，﹣2），（t，3），若与2平行，则t＝ 　 ．
43．已知向量，若，则tanθ＝　 　 ．
44．已知向量（λ+4，4），（λ，1）．若，则λ＝ 　 ；若，则λ＝ 　 ．
45．已知，，且，则　 ．
46．已知两个非零向量与不共线．
（1）若与平行，求实数k的值；
（2）若，，且，求x．
47．已知向量，则与共线且反向的单位向量为（　　）
A．
B．
C．或
D．（2，2）
48．设、是两个不共线的向量，已知2k，3，2，若A、B、D三点共线，求k的值为　 ．
49．已知平面向量，，若，则λ＝　 ．
50．已知，，且，则非零向量的坐标为 　 　 ．
51．已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且∥，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求实数λ的值．
52．已知，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
53．已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
▉题型10 数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
54．已知向量，满足，且，，则与的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
55．已知向量满足：，若，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
56．已知向量，，满足，||＝2，||＝2，||＝1，则cos，（　　）
A． B． C． D．
57．已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣4，2）
C． D．
▉题型11 数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
58．已知向量（﹣1，1），（1，3），若⊥（λ），则λ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
59．若向量（﹣3，x），（7，y），且⊥，则（　　）
A．7x+3y＝0 B．7x﹣3y＝0 C．xy＝21 D．xy＝﹣21
60．已知，，且，则（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．第8章第3节 向量的坐标表示
题型1 平面向量的基本定理 题型2 平面向量的基底
题型3 用平面向量的基底表示平面向量 题型4 平面向量的正交分解及坐标表示
题型5 平面向量的坐标运算 题型6 平面向量加减法的坐标运算
题型7 平面向量数乘和线性运算的坐标运算 题型8 平面向量数量积的坐标运算
题型9 平面向量共线（平行）的坐标表示 题型10 数量积表示两个平面向量的夹角
题型11 数量积判断两个平面向量的垂直关系
▉题型1 平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
1．如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可知，，
，设，
∴，
又点D，N，M三点共线，所以，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．已知点C在线段AB上，且ACCB，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为点C在线段AB上，且ACCB，
所以，
即．
故选：C．
3．在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若，则x＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵E为AD中点，D是BC上靠近点C的三等分点，
∴，
∴x．
故选：C．
▉题型2 平面向量的基底
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
4．若{，}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：对于A，，故二者线性相关，不符合基底的定义，故A错误；
对于B，2（），故二者线性相关，不符合基底的定义，故B错误；
对于C，，故二者线性相关，不符合基底的定义，故C错误；
对于D，不存在实数λ，使得，故D正确．
故选：D．
▉题型3 用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
5．在△ABC中，D为BC边上一点，且BC＝3BD，设，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由已知得
（）
．
故选：A．
6．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点），
因为D在边BC上（不包含端点），不妨设，其中0＜λ＜1，
即，
所以，，
又因为，则x＝2﹣2λ，y＝4λ，其中x、y均为正数，
且有2x+y＝4，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故则的最小值是2．
故选：A．
7．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且，若，，则用，表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，D是BC的中点，
所以，
根据，可得，
所以．
故选：D．
8．在△ABC中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可知，，
则，
而B，P，N三点共线，则，解得．
故选：C．
9．如图，在△ABC中，，E是CD的中点．设，．则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：对于A，由已知，，故A错误；
对于B，因为，所以3（），
整理得，故B错误；
对于C，因为E是CD的中点，所以
，故C错误；
对于D，因为，所以
，故D正确．
故选：D．
10．在△ABC中，点D满足，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：．
故选：A．
11．如图所示的四边形ABCD中，设，则用表示　　 ．
【答案】
【解答】解：；
故答案为：．
（多选）12．如图，在△ABC中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，λ，μ∈（0，+∞），过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（m＞0，n＞0），则（　　）
A． B．
C． D．m+2n的最小值为2．
【答案】ACD
【解答】解：对于A，B，
因为，依题意，将，代入，
得，
因为E，G，C三点共线，且B，G，D三点共线，
所以，得，所以A对，B错；
所以可得，
故，
又，所以，故C正确；
对于D，，，，
则，因为M、G、N三点共线，
则，即，
由，
当且仅当，即时取得等号，所以D正确．
故选：ACD．
13．如图，在△OAB中，M为AB中点，点P、G、Q分别为OA、OM、OB上一点，且，，．
（1）用向量，表示；
（2）证明：P、G、Q三点共线．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）在△OAB中，M为AB中点，点P、G、Q分别为OA、OM、OB上一点，且，
则
；
（2）证明：已知，，
又，
则
，
又，
则P、G、Q三点共线．
14．如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为BC的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N．
（Ⅰ）用，表示；
（Ⅱ）若，，求的值；
（Ⅲ）求OM2+ON2的取值范围．
【答案】（1）；（2）3；（3）．
【解答】解：（1）∵D为BC中点，∴，
又∵，∴，∴；
（2）若，，∴，，
∴，∵M，O，N三点共线，
∴，∴；
（3）由（2）得m+n＝3mn，
，
，
，
由 得，，
令3n﹣1＝t，得mn，
∵，且由题可知0＜m≤1，则有01，又0＜n≤1，
∴，则，∴，
，所以OM2+ON2的取值范围为．
15．如图所示，在△ABC中，AD是边BC边上中线，E为AD中点，过点E点直线交边AB，AC于M，N两点，设，，，（M，N与点B，C不重合）．
（1）求x和y的值；
（2）证明：λ+μ为定值；
（3）求的最小值，并求此时的λ，μ的值．
【答案】（1），；
（2）证明见解析；
（3）最小值为1，λ＝μ＝2．
【解答】解：（1）由已知可得，
所以，；
（2）由已知可得，
因为，，，
所以，
即，
又因为M，E，N三点共线，
所以，所以μ+λ＝4，
即λ+μ为定值；
（3）由（2）知μ+λ＝4，
所以，
当且仅当，μ+λ＝4，即λ＝μ＝2时，等号成立，
所以的最小值为1，此时λ＝μ＝2．
16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝8，CD＝3，AD＝6，E在线段BC上．
（1）若CE＝2EB，用向量表示；
（2）若AE与BD交于点，求x的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解答】解：（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，
则，
（2）因为，||＝2，
所以，
根据向量数量积的性质可得，．
因为，AB＝8，AD＝6，
根据向量数量积的定义可得，||||cos∠DAB，即，
所以，即68x2﹣36x+1＝0，解得或．
连接AC交BD于G．因为AB∥CD，所以△ABG∽△CDG，所以，
则．因为E在线段BC上，所以，
故．
17．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标．
（1）设，求；
（2）已知，，求；
（3）若，，与的夹角记为θ，求θ的余弦值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由题意知，，，
因为32，所以912 49+6+4＝19，
所以||；
（2），，
则，，
所以，
；
（3），，
根据（2）的结果可知，；
因为416 164+8+16＝28，所以||＝2；
因为3636 936﹣18+9＝27，所以||＝3，
所以．
18．在△ABC中，，点M是BC边上靠近B的三等分点，点N满足3，AM与CN交于点P，用表示．
【答案】．
【解答】解：因为 ，设，
则，
又N，P，C三点共线，令m+n＝1，
设，
所以，解得，
所以．
19．在平行四边形ABCD中，点E和点B关于点D对称，3．
（1）用，表示，；
（2）若G为线段EF上一点，且，求5x+7y．
【答案】（1）2，；
（2）9．
【解答】解：（1）∵点E和点B关于点D对称，∴2，
∴22（）2，
∵3，
∴（）；
（2）设λ，λ∈[0，1]，
则λλ（）＝（1﹣λ）λ
＝（1﹣λ）（2）+λ（）
＝（λ﹣1）（2λ），
∵，
∴，
∴5x+7y＝9．
▉题型4 平面向量的正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1、平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2、平面向量的坐标表示：
若、为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量，有且仅有一对实数x，y，使得xy，使得xy，我们把（x，y）称为的坐标．表达式为xy（x，y）
20．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小都为6牛顿，则F3的大小为　6　 牛顿．
【答案】6
【解答】解：质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态，
∴，
∴（），
∵||
＝6，
故||＝||＝6．
即F3的大小为6牛顿．
故答案为：6．
▉题型5 平面向量的坐标运算
【知识点的认识】
平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d．若（m，n），则（x+m，y+n），则（x﹣m，y﹣n）； （xm，ny），λ（λx，λy）．
21．已知（5，5），A（2，3），则点B的坐标为（　　）
A．（8，7） B．（﹣2，﹣2） C．（7，8） D．（2，2）
【答案】C
【解答】解：∵，
∴，
∴B（7，8）．
故选：C．
▉题型6 平面向量加减法的坐标运算
【知识点的认识】
﹣向量加法：如果和，则．
﹣向量减法：如果和，则．
22．已知向量（﹣2，1），（1，1），则32（　　）
A．（﹣8，1） B．（﹣4，5） C．（﹣4，1） D．（﹣8，5）
【答案】A
【解答】解：因为向量（﹣2，1），（1，1），
所以323（﹣2，1）﹣2（1，1）＝（﹣8，1）．
故选：A．
23．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 　（﹣2，15）　 ．
【答案】（﹣2，15）．
【解答】解：设O（0，0），则，即，
解得323（2，3）﹣2（4，﹣3）＝（﹣2，15），则P的坐标为（﹣2，15）．
故答案为：（﹣2，15）．
24．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，，求；
（3）已知点D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）A（10，7）．
【解答】解：（1）（λ+1），
当A，E，C三点共线时，存在实数μ，使得μ，
即（λ+1）μ（﹣2）＝﹣2μμ，
即，解得．
（2）由（1）知，
所以，
所以．
（3）（6，0），（﹣7，﹣2），
所以（6，0）+（﹣7，﹣2）＝（﹣1，﹣2），
设A（a，b），则C（a﹣1，b﹣2），
所以（a﹣4，b﹣7），
在平行四边形ABCD中，，即，解得，
所以A（10，7）．
25．已知向量．
（1）求；
（2）设的夹角为θ，求cosθ的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
【答案】（1）（﹣8，5）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）因为，
所以；
（2）的夹角为θ，
则；
（3）向量与互相垂直，
则，
又，，
则5﹣10k2＝0，
解得k＝±．
▉题型7 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
【知识点的认识】
﹣数乘：对向量进行标量k的数乘，结果为．
﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．
26．已知向量，O为坐标原点，点P满足，则点P坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：O为坐标原点，则A（1，3），B（﹣3，5），
设P（x，y），则，
因为，所以，所以．
故选：A．
27．已知，则的坐标为 　（7，﹣3）．　 ．
【答案】（7，﹣3）．
【解答】解：由题意，（2，1）﹣（﹣5，4）＝（7，﹣3）．
故答案为：（7，﹣3）．
28．设向量，，满足（2，1），||＝2，（1，0）．
（1）若向量，同向，求向量的坐标；
（2）若t∈[0，1]，求|t|的取值范围．
【答案】（1）（4，2）；（2）[，]．
【解答】解：（1）若向量，同向，则可设λ（λ＞0），
所以λ（2，1）＝（2λ，λ），
因为||＝2，所以2，解得λ＝±2（舍负），
所以（4，2）．
（2）tt（2，1）﹣（1，0）＝（2t﹣1，t），
所以|t|，
因为t∈[0，1]，
所以当t时，|t|取得最小值；
当t＝1时，|t|取得最大值，
故|t|的取值范围为[，]．
（多选）29．设向量，平面内任一向量都可唯一表示为，则实数m的可能取值是（　　）
A．2 B．3 C．1 D．0
【答案】ACD
【解答】解：由题意可知，与不共线，
∴1×（3m﹣3）﹣2m≠0，
解得m≠3，
观察四个选项，m的可能取值是2或1或0．
故选：ACD．
30．已知，，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）（﹣7，﹣1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为，，
所以．
（2）因为，，
所以．
▉题型8 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
31．设x∈R，向量且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为，又，所以3﹣x＝0，解得x＝3，
所以，
所以，
所以．
故选：B．
32．已知向量，且，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：向量，
则，可得m＝3．
故选：A．
33．已知（2，﹣1），，则等于（　　）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵，
∴．
故选：B．
34．已知向量，若，则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ＝（　　）
A． B． C． D．﹣1
【答案】C
【解答】解：因为⊥，所以1×cosθ+（﹣2）×sinθ＝0，
解得tanθ，
则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ．
故选：C．
▉题型9 平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
35．已知向量（3，2），（λ，10﹣λ），若∥，则（　　）
A．（9，6） B．（6，4） C．（﹣3，﹣2） D．（6，9）
【答案】A
【解答】解：（3，2），（λ，10﹣λ），∥，
则3（10﹣λ）＝2λ，解得λ＝6，
故，
（9，6）．
故选：A．
36．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
【答案】A
【解答】解：点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，设点P的坐标为（x，y），
则（x﹣3，y+2）（﹣8，1）＝（﹣4，），
∴x﹣3＝﹣4，y+2，求得x＝﹣1，y，故点C的坐标为（﹣1，），
故选：A．
37．已知向量，若（2）∥，则实数x的值为（　　）
A．﹣12 B．﹣4 C．4 D．12
【答案】B
【解答】解：因为向量，
所以22（2，﹣1）﹣（x，2）＝（4﹣x，﹣4），
故（2）∥，可得2×（﹣4）﹣（﹣1）×（4﹣x）＝0，解得x＝﹣4．
故选：B．
38．已知向量（1，2），，，若（）∥，则λ+μ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【解答】解：因为，，
所以，
因为，且（）∥，
所以﹣（1+λ）﹣u＝0，解得λ+u＝﹣1．
故选：B．
39．已知平面向量，若，则tanθ＝（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．
【答案】A
【解答】解：∵，∴﹣2sinθ＝cosθ，显然cosθ≠0，
∴．
故选：A．
40．已知向量，若，则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ＝（　　）
A． B． C． D．﹣1
【答案】D
【解答】解：因为，，且，
可得cosθ+2sinθ＝0，
则tan，cosθ≠0，
则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ
．
故选：D．
41．已知向量，，则m＝1是向量与向量共线的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：当m＝1时，，，则向量与向量共线，充分性成立，
当向量与向量共线时，1×2﹣m×2m＝0，即m2＝1，解得m＝1或m＝﹣1，必要性不成立，
所以m＝1是向量与向量共线的充分不必要条件．
故选：A．
42．已知向量（1，﹣2），（t，3），若与2平行，则t＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：向量（1，﹣2），（t，3），
则，，
若与2平行，
所以﹣（1﹣t）+5（t+2）＝0，解得．
故答案为：．
43．已知向量，若，则tanθ＝　﹣2　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：因为，且，
所以﹣2cosθ＝sinθ，所以tanθ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
44．已知向量（λ+4，4），（λ，1）．若，则λ＝ 　　 ；若，则λ＝ 　﹣2　 ．
【答案】；﹣2．
【解答】解：由于，则时，λ+4＝4λ，解得；
则时，λ（λ+4）+4＝0，解得λ＝﹣2．
故答案为：；﹣2．
45．已知，，且，则　2　 ．
【答案】2
【解答】解：因为，则，
即（3，x）＝λ（﹣1，2），
得λ＝﹣3，x＝﹣6，
即，
，
||，
故答案为：2．
46．已知两个非零向量与不共线．
（1）若与平行，求实数k的值；
（2）若，，且，求x．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为与平行，且与不共线，
所以，
所以，解得k＝±1；
（2）因为，
所以，解得x＝2或﹣3，
经检验，均满足与不共线，故x＝2或﹣3．
47．已知向量，则与共线且反向的单位向量为（　　）
A．
B．
C．或
D．（2，2）
【答案】B
【解答】解：因为，
所以可设与共线且反向的单位向量为，
又因为，所以，
解得，或（舍去），
故．
故选：B．
48．设、是两个不共线的向量，已知2k，3，2，若A、B、D三点共线，求k的值为　　 ．
【答案】
【解答】解：，
∵A、B、D三点共线，
∴存在实数m使得m，
∴2km（），∴2＝3m，k＝2m，
解得k．
故答案为：．
49．已知平面向量，，若，则λ＝　﹣3　 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：因为，且，，
所以2×6﹣（﹣4）λ＝0，
解得λ＝﹣3．
故答案为：﹣3．
50．已知，，且，则非零向量的坐标为 　（﹣2，﹣4）　 ．
【答案】（﹣2，﹣4）．
【解答】解：∵非零向量满足，且，
可设（λ≠0），则，
由，得，
得5λ2+10λ+5＝5，即λ＝0（舍去），或λ＝﹣2．
则（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
51．已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且∥，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求实数λ的值．
【答案】（1）（2，4）或（﹣2，﹣4）；
（2）λ．
【解答】解：（1），且∥，
设（x，2x），
若，则x2+（2x）2＝20，解得x＝2或x＝﹣2，
故（2，4）或（﹣2，﹣4）；
（2）若，则（1，2）+（λ，λ）＝（1+λ，2+λ），
因为与垂直，
所以1+λ+2（2+λ）＝0，
λ．
52．已知，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵，，，
∴sinα（3sinα﹣2）＝1﹣4cos2α＝1﹣4（1﹣2sin2α），
解得或sinα＝﹣1，又，
则，，
∴．
故选：B．
53．已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由，得4sinθ﹣2cosθ＝0，
因为，所以，所以．
（2）由，得，
整理得4sin2θ＝cos2θ，又，所以（负值舍去）．
则，．
，
，故．
▉题型10 数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
54．已知向量，满足，且，，则与的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【解答】解：由，
可得，
又，
所以，解得，
所以，
又，
所以与的夹角为120°．
故选：C．
55．已知向量满足：，若，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，
由向量加法的三角形法则可得，
的最小值为图中点A到射线OB的距离，
故．
故选：B．
56．已知向量，，满足，||＝2，||＝2，||＝1，则cos，（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意可知，，
两边平方可得，即，
因，，，则得，解得．
故，解得．
故选：D．
57．已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣4，2）
C． D．
【答案】C
【解答】解：由题可得：.且，且与不共线，
则解得﹣2＜x＜4，且．
故选：C．
▉题型11 数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
58．已知向量（﹣1，1），（1，3），若⊥（λ），则λ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】B
【解答】解：若⊥（λ），
则，
向量（﹣1，1），（1，3），
则2+2λ＝0，解得λ＝﹣1．
故选：B．
59．若向量（﹣3，x），（7，y），且⊥，则（　　）
A．7x+3y＝0 B．7x﹣3y＝0 C．xy＝21 D．xy＝﹣21
【答案】C
【解答】解：因为向量，，且，
所以（﹣3）×7+xy＝0，即xy＝21，C正确，D错误，
取x＝1，y＝21可得，，此时，
但7x+3y＝70≠0，7x﹣3y＝﹣56≠0，A，B错误，
故选：C．
60．已知，，且，则（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
【答案】B
【解答】解：由已知，可得，
，，
则﹣sinx+2cosx＝0，
所以．
故选：B．

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