资源简介

第8章第4节 向量的应用
题型1 平面向量在物理中的应用 题型2 平面向量的综合题
▉题型1 平面向量在物理中的应用
【知识点的认识】
向量在物理中的应用
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决．因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题．
应用1：向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
应用2：向量与速度、加速度与位移
速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
应用3：向量与功、动量
物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
（1）力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即，功是一个实数，它可正，也可负．
（2）在解决问题时要注意数形结合．
1．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为α，下列结论中正确的是（　　）
A．当时，|F1|＝|G|
B．当时，
C．当时，|F1|有最小值
D．α越小越费力，α越大越省力
【答案】A
【解答】解：设，，，
由题意可得：四边形ACBE为菱形且，
因为F1与F2的夹角为α，（），
则，
即，
对于A，当时，|CA|＝|CE|，
则|F1|＝|G|，
即A正确；
对于B，当时，，
则|F1||G|，
即B错误；
对于C，当取最大值时，|F1|有最小值，
又，
即当时，|F1|取不到最小值，
即C错误；
对于D，α越小，越大，越小，α越大，越小，越大，
即D错误．
故选：A．
2．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ．给出以下结论：
①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0，π]；③当时，；④当时，．
其中正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解答】解：对于①，由||＝||为定值，
可得2||×||×cosθ＝2（1+cosθ），
解得 ，
由题意知 θ∈（0．π）时，y＝cosθ 单调递减，所以 单调递增，
即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．
对于②，由①中关系式可知，当θ＝π时，||＝0，与事实不符，故θ≠π，所以②错误．
对于③，当 时，，所以 ，③错误．
对于④，当 时，，所以||＝||，④正确．
综上知，正确结论的序号是①④．
故选：B．
3．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为370N，则该学生的体重（单位：kg）约为（　　）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，1.732）
A．64 B．70 C．76 D．60
【答案】A
【解答】解：由题意知，370N，夹角θ＝60°，
所以，
即（）；
所以3702+2×370×370×cos60°+3702＝3×3702；
||＝370（N），
则该学生的体重（单位：kg）约为3737×1.732≈64（kg）．
故选：A．
4．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】D
【解答】解：为使物体平衡，
即合外力为零，
即4个向量相加等于零向量，
∴（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））＝（1，2）．
故选：D．
5．已知力作用于一物体，使物体从点A（﹣1，3）处移动到点B（2，6）处，则力对物体所做的功为 　21　 焦耳．
【答案】21．
【解答】解：力，位移（3，3），
所以力对物体所做的功为W 5×3+2×3＝21（焦耳）．
故答案为：21．
6．物体在力的作用下，由点A（10，5）移动到点B（4，0），已知，力对该物体所做功的大小为 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：由题意得，所以F对物体做的功．
故答案为：1．
▉题型2 平面向量的综合题
【知识点的认识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
7．在△ABC中，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解答】解：因为，
所以，
取AB中点M，
可得，
所以，
所以点P在AB的中垂线上，
故点P的轨迹一定通过△ABC的外心．
故选：A．
8．将函数f（x）＝4cos（x）和直线g（x）＝x﹣1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，An，若P点坐标为（0，），则||＝（　　）
A．0 B．2 C．6 D．10
【答案】D
【解答】解：由题意作出图象如图，
由图象可知，共有5个交点，
根据余弦函数的中心对称性可知，A1和A5，A2和A4关于A3对称，
∴2，
∴||＝5||，
又∵P（0，），A3（1，0），
∴（1，），∴2，
∴||＝5||＝10．
故选：D．
9．已知向量，若，则tanθ的值等于（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】C
【解答】解：∵向量，
且，
∴（﹣3）sinθ﹣（cosθ﹣2sinθ）＝0
即﹣sinθ﹣cosθ＝0
即sinθ＝﹣cosθ
∴tanθ＝﹣1
故选：C．
（多选）10．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点（　　）
A．
B．向量与共线
C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2
D．若，则λ+μ最大值为
【答案】ACD
【解答】解：对于A选项，由题意可知，，则，因为M为BC的中点，
则，即，所以，（），
因为A、N、M三点共线，所以存在t∈R，使得t，
因为B、D、N三点共线，所以1，解得t，故，故A选项正确；
对于B选项，因为（）﹣（），所以、不共线，故B选项错误；
对于C选项，因为M为线段BC的中点，所以S△ACM＝S△BCMS△ABC，
由A选项的分析知，，
所以S△ACNS△ACMS△ABC，同理，S△ABNS△ABC，则S△BCNS△ABC，
所以S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2，故C选项正确；
对于D选项，因为m，m∈[0，1]，
所以若，则λ＝1，μ，当m＝1时，λ+μ最大值为，故D选项正确．
故选：ACD．
（多选）11．已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点并且点A到l1，l2的距离分别为1，2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，，则（　　）
A．△ABC面积的最小值为2
B．点G到直线l1的距离为定值
C．当时，△GAB的外接圆半径为
D．的最大值为﹣2
【答案】ABD
【解答】解：对于A选项，过A作l1，l2的垂线，分别交l1，l2于点E，F，则AF＝2，AE＝1，
设∠FAC＝θ，
在Rt△ACF中，，
又因为AC⊥AB，因此在Rt△ABE中，∠ABE＝θ，
因此，
因此，
又因为，因此当且仅当时，sin2θ＝1取到最大值，
因此△ABC面积的最小值为2，所以A选项正确；
对于B选项，如图，以A为原点，EF所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
所以，因此，，
因此，
因此，
因此，
因此点G到直线l1的距离为，是定值，所以B选项正确；
对于C选项，因为，，
因此，
又因为，
因此，
因此，
因此，
因此
即，
因此，解得tan2θ＝﹣1（舍去）或，
因此，
因此，B（2，1），C（1，﹣2），
因此，
因此，，
又因为，因此，
因此由正弦定理得，
因此，即△GAB的外接圆半径为，所以C选项错误；
对于D选项，因为，
因此
，
当且仅当，即当时取到等号，
所以的最大值为﹣2，所以D选项正确．
故选：ABD．
12．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角的得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，2），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 　（﹣1，2﹣2）　 ．
【答案】．
【解答】解：因为点A（1，2），点，
可得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点P，
绕其起点沿逆时针方向旋转θ角的得到向量，
则，
设P（x，y），
则，解得x＝﹣1，，
即点P的坐标为．
故答案为：．
13．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，P为斜边BC上一动点，点Q满足|PQ|＝2，且，则2m+n的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：取AB中点D，由题可知点Q点在以P为圆心，以2为半径的圆上，
则，
连接CD交AQ于点E，
，则，
故，
过Q作QF∥CD交直线AB于点，
如图，当P与B重合，FQ与⊙P相切时，取得最大值，
则，得，
得．
故答案为：．
14．（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足λ（），λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的　重心　 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心”）．
（2）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足λ（），λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的　内心　 ．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心”）
【答案】重心；内心
【解答】解：（1）由已知，，
根据平行四边形法则，设△ABC中BC边的中点为D，知，
∴，
∴，则A，P，D三点共线，
∴点P的轨迹必过△ABC的重心；
（2）由已知，，而表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
∴在∠BAC的角平分线上，
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
故答案为：重心，内心．
15．定义：对于非零向量（m，n），若函数f（x）＝msinx+ncosx，则称f（x）为向量的“伴生函数”，向量为函数f（x）的“源向量”．
（1）若函数g（x）＝sin（x+α）的“源向量”为，且以O为圆心，||为半径的圆内切于正△ABC（顶点C恰好在y轴的正半轴上），求证：为定值；
（2）已知向量（2，0）为函数h（x）的“源向量”，若方程h（x）＝k+1﹣2|cosx|在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（3）已知向量（0，1）为函数F（x）的“源向量”，F（x）在x＝t时的取值为，设P是△ABC外心，若cosA＝F（t），且，求实数λ的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）证明：因为函数g（x）＝sin（x+α）＝cosαsinx+sinαcosx，
所以其“源向量”，显然，
即M轨迹为单位圆，由正三角形的性质可知，，
所
，是定值；
（2）因为向量为函数g（x）的“源向量”，所以h（x）＝2sinx，
则方程在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，
所以[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，
令，x∈[0，2π]，
①当时，；
②当时，，
所以，
其图象为：
（3）由，
可得，
由向量的数量积公式可得，
即，
由正弦定理可得，
即，所以．
16．如图，已知A，B是半径为1的圆O上两点，且．
（1）求∠AOB的余弦值；
（2）若点C1，C2，…，C2024，C2025依次将线段AO平均分成2026份，设，，，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设∠AOB＝θ，由可得，
即，
平方得，解得，
故∠AOB的余弦值为．
（2）由题知AO的中点为C1013，C1013也为线段C1C2025，…，线段C1012C1014的中点，
因为，
所以，
而，
平方得，
即，
故．
17．如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”．设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对[x，y]叫做向量的“完美坐标”，记作．
（1）若，，求的“完美坐标”；
（2）已知，，证明：；
（3）若，，设函数，x∈R，求不等式的解集．
【答案】（1）[﹣1，5]；
（2）证明见解析；
（3），k∈Z．
【解答】解：（1）由题意易知，
求得；
证明：（2）由题意易知，
则，整理可得；
（3）由（2）知，
由于，
则，
对上边两式左右两边加平方可得，
，
则，
令，，
故，
可以得到，
化简得到t2+3t+2＞0，
解得t≤﹣2（舍去）或t≥﹣1，
所以，
即，
所以，k∈Z
所以，k∈Z
即不等式的解集为，k∈Z．
18．定义函数f（x）＝asinx+bcosx的“积向量”为，向量的“积函数”为f（x）＝asinx+bcosx．
（1）若a＝1，，求f（x）最大值及对应x的取值集合；
（2）若向量的“积函数”f（x）满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为g（x），其最大值为t，求（t﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时，的关系．
【答案】（1）最大值为2，x的取值集合为；
（2）；
（3）最小值为，此时．
【解答】解：（1）若a＝1，，则由题意，
可得，
当，k∈Z，即，k∈Z时，
函数有最大值2，
此时对应x的取值集合为；
（2）由“积函数”f（x）满足，
可得，
令，则有，
所以，k∈Z，即，k∈Z，
所以；
（3）因为，，
所以
＝（2λcosα+2μcosβ，2λsinα﹣2μsinβ），
所以g（x）＝（2λcosα+2μcosβ）sinx+（2λsinα﹣2μsinβ）cosx
＝2λsin（x+α）+2μsin（x﹣β）≤2λ+2μ，
此时存在x0满足，k1∈Z，k2∈Z，
当且仅当x＝x0时等号成立，
所以α+β＝2（k1﹣k2）π，即α＝﹣β+2kπ，k∈Z，
所以2λsin（x+α）+2μsin（x﹣β）＝2λsin（x﹣β）+2μsin（x﹣β）
＝（2λ+2μ）sin（x﹣β）≤（2λ+2μ）成立，
且，则t＝2λ+2μ，
所以，
当t＝1时，（t﹣2）（λ+μ）取得最小值为．
19．对于常数集合M＝{θ1，θ2，…，θn}和变量θ，定义μ为θ相对集合M的“n元余弦方差”．
（1）若集合M＝{，}，θ＝0，求θ相对集合M的二元余弦方差．
（2）当集合M＝{，0，}，θ∈R时，求θ相对集合M的三元的余弦方差．
（3）在直角坐标系中，已知A（﹣2，3），B（2，6），M＝{}，μ为θ相对集合M的一元余弦方差，函数h（θ）＝4μ，且φ（x）＝h（）﹣2，请问在y＝φ（x）的图像上，是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的指标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，P（0，2）．
【解答】解：（1）因为集合，θ＝0，
由余弦方差的计算公式，可得；
（2）因为集合，θ∈R时，
由余弦方差的计算公式，可得
；
（3）当时，可得一元余弦方差为，
则，
可得，
又点P在y＝φ（x）的图象上，故设点，
可得，，
由，可得，
即，
所以，
可得，
因为x∈R，，
可得，
而，故要（*）成立，当且仅当x＝0时，，
此时，P（0，2），即当点P（0，2）时，．
20．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ（0＜θ＜π）角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下，则把有序数对（a，b）叫做向量的仿射坐标，记为，若满足，则称是θ仿射坐标系下的“完美向量”，已知在θ仿射坐标系下，．
（1）若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）；
（2）当时，是θ仿射坐标系下的“完美向量”，且，求；
（3）设∠AOB＝α，若对 t∈R恒成立，求cosα的最大值．
【答案】（1）向量的仿射坐标为（2，0）；其中一个“完美向量”的仿射坐标为；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1），
所以向量的仿射坐标为（2，0）．其中一个“完美向量”的仿射坐标为．
（2）因为当时，（a，b）是θ仿射坐标系下的“完美向量”，
所以，
由题意得0＜a＜b＜3，则，，
可得，，故，
，，
所以
所以；
（3）因为，，
，
因为，所以，
所以2t2（1+cosθ）﹣8（1+cosθ）t+7+6cosθ≥0对 t∈R恒成立，
又因为1+cosθ＞0，所以Δ＝[8（1+cosθ）]2﹣4×2（1+cosθ）×（7+6cosθ）≤0，
得，此时
，因为0＜θ＜π，，
且，所以，所以，
所以的最大值为．
21．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
（1）设，，求复向量与的模；
（2）①求证：对任意的实向量与，都有；
②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立．
【答案】（1），；
（2）①证明见解析；②证明见解析，当且仅当与共线；③证明见解析．
【解答】解：（1）根据题目定义：有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）视为一个向量，记作．
类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：
两个复向量，的数量积记作，
定义为；复向量的模定义为．
令．
，
由，可得，
由，可得．
（2）①证明：根据定义：；复向量的模定义为．
设实向量与的夹角为θ（0≤θ≤π），则，
因为|cosθ|≤1，所以，
即，当且仅当与共线时等号得证．
②证明：设，．
，，．
由①得得证，
当且仅当与共线时．即ad＝bc时等号成立．不等式成立；
③证明：设复向量，，
，
由，得．
又因为，，
所以得证．
22．一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里．船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动．
（1）若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离；
（2）若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角θ），以及到达B点所需时间．
【答案】（1）50公里；（2）；小时．
【解答】解：（1）若船头始终指向正北方向，则船的实际速度是静水速度与水流速度的矢量和，
过河时间为2小时，
由于河流以25公里/小时的速度持续向东流动，
所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为25×2＝50公里．
（2）若船头方向与正北方向的夹角为θ，则50sinθ＝25，即sinθ，
而θ∈[0，]，所以θ，即船头方向与正北方向的夹角为，
此时50cosθ＝5025，即船的实际速度是25公里/小时，
所以到达B点所需时间为小时．
23．对于平面向量，定义“Fθ变换”：，（0＜θ＜π）
（1）若向量，，求；
（2）求证：；
（3）已知，，且与不平行，，，求证：S△OAB＝S△OA′B′．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为向量，
所以，
所以．
（2）证明：因为．
所以，
．
．
，所以．
（3）证明：方法一：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且y＝cosx在[0，π]内单调递减，，
可知，
所以．
所以S△OAB＝S△OA′B′．
方法二：设，
，
因为，
，
所以，
，
所以S△OAB＝S△OA′B′．
24．对于给定的正整数n，记集合Rn＝{α|α＝（x1，x2，x3，…，xn），xj∈R，j＝1，2，3，…，n}，其中元素α称为一个n维向量．特别地，称为零向量．
设k∈R，α＝（a1，a2，…，an），β＝（b1，b2，…，bn）∈Rn，定义加法和数乘：α+β＝（a1+b1，a2+b2，…，an+bn），kα＝（ka1，ka2，…，kan）．
对一组向量，，…，（s∈N+，s≥2），若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得k1k2ks，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（Ⅰ）对n＝3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；
②，，；
③，，，．
（Ⅱ）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（Ⅲ）已知m（m≥2）个向量，，…，线性相关，但其中任意m﹣1个都线性无关，证明下列结论：
（ⅰ）如果存在等式k1（ki∈R，i＝1，2，3，…，m），则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；
（ⅱ）如果两个等式k1，l1（ki∈R，li∈R，i＝1，2，3，…，m）同时成立，其中l1≠0，则．
【答案】（Ⅰ）①线性相关，②线性相关，③线性相关；
（Ⅱ）向量，，线性无关，理由见解析；
（Ⅲ）证明见解析．
【解答】（Ⅰ）解：对于①，设，则可得k1+2k2＝0，所以线性相关；
对于②，设，则可得，所以k1+2k2＝0，k3＝0，
所以线性相关；
对于③，设，则可得，解得k1＝k2＝k3，
可取k1＝1，k4＝2，满足方程组，所以线性相关；
（Ⅱ）解：设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，解得k1＝k2＝k3＝0，
所以向量，，线性无关，
（Ⅲ）证明：（i），如果某个ki＝0，i＝1，2， ，m，
则，
因为任意m﹣1个都线性无关，所以k1，k2， ki﹣1，ki+1，…，km都等于0，
所以这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零，
（ii）因为l1≠0，所以l1，l2，…，lm全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，…，，
所以．
25．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝4，c＝2，asinA+csinC＝2bsinB，D是线段AC上的一点，满足，过D作一条直线分别交射线BA、射线BC于M、N两点．
（1）求b，并判断△ABC的形状；
（2）求BD的长；
（3）求的最小值．
【答案】（1），钝角三角形；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由正弦定理得，asinA+csinC＝2bsinB a2+c2＝2b2，
又a＝4，c＝2，解得，
又因为b2+c2﹣a2＝﹣2＜0，故，
因为0＜A＜π，故，所以△ABC是钝角三角形；
（2）由平面向量基本定理，可作为一组基底向量，且有，
，
由于，所以，
故，
；
（3）由题意可设，
由于M，D，N三点共线，设，0＜t＜1，
故，故，
所以，
由平面向量基本定理，解得，所以，
因此，
而，
其中，当且仅当1﹣t＝t，即时，等号成立，
因此当时，为最小值．
26．已知向量（2cosx，sinx），（cosx，2cosx），f（x） 1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数y＝f（x）的值域．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意，f（x） 1＝2cos2x+2sinxcosx+1＝cos2xsin2x+2＝2sin（2x）+2 …（2分）
（Ⅰ）由2kπ2x2kπ，得kπx≤kπ，k∈z，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈z …（5分）
（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x
∴sin（2x）≤1，…（8分）
∴3≤2sin（2x）+2≤4，
∴函数y＝f（x）的值域[3，4]…（10分）．
27．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（AFAD，BGBC．设，．
（1）用，表示，；
（2）如果||||，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．
【答案】（1），
（2）EF⊥EG，证明见解析．
【解答】解：（1），
，
（2）EF⊥EG，证明：由（1）得，，，
∴ （）0，
∴，
∴EF⊥EG．
28．设，是两个不共线的非零向量．
（1）记，t，（），那么实数t为何值时，ABC三点共线？
（2）若||＝||＝1且与夹角为120°，那么实数x为何值时，|x|的值最小？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得，则有
又
∴，又、是两个不共线的非零向量
∴解得
故存在时，A、B、C三点共线
（2）∵且两向量的夹角是120°
∴21+x+x2＝（x）2
∴当x时，的值最小为
29．已知O为坐标原点，，．
（1）求y＝f（x）的最小正周期；
（2）将f（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为g（x），且，，求cos2（α﹣β）﹣1的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题设有，，
∴函数y＝f（x）的最小正周期为．
（2）由题设有，又，
即，
因为，所以，
∴．
∴，
所以．第8章第4节 向量的应用
题型1 平面向量在物理中的应用 题型2 平面向量的综合题
▉题型1 平面向量在物理中的应用
【知识点的认识】
向量在物理中的应用
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决．因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题．
应用1：向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
应用2：向量与速度、加速度与位移
速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
应用3：向量与功、动量
物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
（1）力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即，功是一个实数，它可正，也可负．
（2）在解决问题时要注意数形结合．
1．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为α，下列结论中正确的是（　　）
A．当时，|F1|＝|G|
B．当时，
C．当时，|F1|有最小值
D．α越小越费力，α越大越省力
2．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ．给出以下结论：
①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0，π]；③当时，；④当时，．
其中正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
3．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为370N，则该学生的体重（单位：kg）约为（　　）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，1.732）
A．64 B．70 C．76 D．60
4．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
5．已知力作用于一物体，使物体从点A（﹣1，3）处移动到点B（2，6）处，则力对物体所做的功为 　 　 焦耳．
6．物体在力的作用下，由点A（10，5）移动到点B（4，0），已知，力对该物体所做功的大小为 ．
▉题型2 平面向量的综合题
【知识点的认识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
7．在△ABC中，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．将函数f（x）＝4cos（x）和直线g（x）＝x﹣1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，An，若P点坐标为（0，），则||＝（　　）
A．0 B．2 C．6 D．10
9．已知向量，若，则tanθ的值等于（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
（多选）10．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点（　　）
A．
B．向量与共线
C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2
D．若，则λ+μ最大值为
（多选）11．已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点并且点A到l1，l2的距离分别为1，2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，，则（　　）
A．△ABC面积的最小值为2
B．点G到直线l1的距离为定值
C．当时，△GAB的外接圆半径为
D．的最大值为﹣2
12．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角的得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，2），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 　 　 ．
13．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，P为斜边BC上一动点，点Q满足|PQ|＝2，且，则2m+n的最大值为 　　 ．
14．（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足λ（），λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的　 　 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心”）．
（2）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足λ（），λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的　 　 ．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心”）
15．定义：对于非零向量（m，n），若函数f（x）＝msinx+ncosx，则称f（x）为向量的“伴生函数”，向量为函数f（x）的“源向量”．
（1）若函数g（x）＝sin（x+α）的“源向量”为，且以O为圆心，||为半径的圆内切于正△ABC（顶点C恰好在y轴的正半轴上），求证：为定值；
（2）已知向量（2，0）为函数h（x）的“源向量”，若方程h（x）＝k+1﹣2|cosx|在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（3）已知向量（0，1）为函数F（x）的“源向量”，F（x）在x＝t时的取值为，设P是△ABC外心，若cosA＝F（t），且，求实数λ的值．
16．如图，已知A，B是半径为1的圆O上两点，且．
（1）求∠AOB的余弦值；
（2）若点C1，C2，…，C2024，C2025依次将线段AO平均分成2026份，设，，，求的值．
17．如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”．设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对[x，y]叫做向量的“完美坐标”，记作．
（1）若，，求的“完美坐标”；
（2）已知，，证明：；
（3）若，，设函数，x∈R，求不等式的解集．
18．定义函数f（x）＝asinx+bcosx的“积向量”为，向量的“积函数”为f（x）＝asinx+bcosx．
（1）若a＝1，，求f（x）最大值及对应x的取值集合；
（2）若向量的“积函数”f（x）满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为g（x），其最大值为t，求（t﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时，的关系．
19．对于常数集合M＝{θ1，θ2，…，θn}和变量θ，定义μ为θ相对集合M的“n元余弦方差”．
（1）若集合M＝{，}，θ＝0，求θ相对集合M的二元余弦方差．
（2）当集合M＝{，0，}，θ∈R时，求θ相对集合M的三元的余弦方差．
（3）在直角坐标系中，已知A（﹣2，3），B（2，6），M＝{}，μ为θ相对集合M的一元余弦方差，函数h（θ）＝4μ，且φ（x）＝h（）﹣2，请问在y＝φ（x）的图像上，是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的指标；若不存在，说明理由．
20．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ（0＜θ＜π）角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下，则把有序数对（a，b）叫做向量的仿射坐标，记为，若满足，则称是θ仿射坐标系下的“完美向量”，已知在θ仿射坐标系下，．
（1）若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）；
（2）当时，是θ仿射坐标系下的“完美向量”，且，求；
（3）设∠AOB＝α，若对 t∈R恒成立，求cosα的最大值．
21．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
（1）设，，求复向量与的模；
（2）①求证：对任意的实向量与，都有；
②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立．
22．一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里．船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动．
（1）若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离；
（2）若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角θ），以及到达B点所需时间．
23．对于平面向量，定义“Fθ变换”：，（0＜θ＜π）
（1）若向量，，求；
（2）求证：；
（3）已知，，且与不平行，，，求证：S△OAB＝S△OA′B′．
24．对于给定的正整数n，记集合Rn＝{α|α＝（x1，x2，x3，…，xn），xj∈R，j＝1，2，3，…，n}，其中元素α称为一个n维向量．特别地，称为零向量．
设k∈R，α＝（a1，a2，…，an），β＝（b1，b2，…，bn）∈Rn，定义加法和数乘：α+β＝（a1+b1，a2+b2，…，an+bn），kα＝（ka1，ka2，…，kan）．
对一组向量，，…，（s∈N+，s≥2），若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得k1k2ks，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（Ⅰ）对n＝3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；
②，，；
③，，，．
（Ⅱ）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（Ⅲ）已知m（m≥2）个向量，，…，线性相关，但其中任意m﹣1个都线性无关，证明下列结论：
（ⅰ）如果存在等式k1（ki∈R，i＝1，2，3，…，m），则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；
（ⅱ）如果两个等式k1，l1（ki∈R，li∈R，i＝1，2，3，…，m）同时成立，其中l1≠0，则．
25．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝4，c＝2，asinA+csinC＝2bsinB，D是线段AC上的一点，满足，过D作一条直线分别交射线BA、射线BC于M、N两点．
（1）求b，并判断△ABC的形状；
（2）求BD的长；
（3）求的最小值．
26．已知向量（2cosx，sinx），（cosx，2cosx），f（x） 1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数y＝f（x）的值域．
27．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（AFAD，BGBC．设，．
（1）用，表示，；
（2）如果||||，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．
28．设，是两个不共线的非零向量．
（1）记，t，（），那么实数t为何值时，ABC三点共线？
（2）若||＝||＝1且与夹角为120°，那么实数x为何值时，|x|的值最小？
29．已知O为坐标原点，，．
（1）求y＝f（x）的最小正周期；
（2）将f（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为g（x），且，，求cos2（α﹣β）﹣1的值．

展开更多......

收起↑