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第9章第1节 复数及其四则运算
题型1 复数的实部与虚部 题型2 纯虚数
题型3 复数的相等 题型4 共轭复数
题型5 复数的运算 题型6 复数的加、减运算及其几何意义
题型7 复数的乘法及乘方运算 题型8 复数的除法运算
题型9 复数的混合运算
▉题型1 复数的实部与虚部
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
1．已知i为虚数单位，复数，则（　　）
A．2﹣i
B．z的虚部为﹣i
C．
D．z在复平面内对应的点在第四象限
【答案】D
【解答】解：复数z2﹣i，则2+i，A错误；
z的虚部为﹣1，B错误；
|z|，C错误；
z在复平面内对应的点（2，﹣1）位于第四象限，D正确．
故选：D．
2．已知复数z＝﹣1+2i，则z的共轭复数的虚部为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵复数z＝﹣1+2i，
∴由共轭复数的定义得，
∴z的共轭复数的虚部为﹣2．
故选：D．
3．已知复数z＝（m2﹣6m+8）+（m﹣2）i（m∈R）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应点位于第二象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）m＝4；
（2）（2，4）．
【解答】解：（1）若复数z为纯虚数，则m2﹣6m+8＝0且m﹣2≠0，解得m＝4；
（2）因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，可得2＜m＜4．
所以实数m的取值范围为（2，4）．
▉题型2 纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
4．设a∈R，（3﹣i）（1+ai）为纯虚数，则a＝（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：由（3﹣i）（1+ai）＝a+3+（3a﹣1）i为纯虚数，得，即a＝﹣3．
故选：A．
5．已知复数z＝（m﹣2）+（m+3）i（m∈R）是纯虚数，则m＝ 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：由复数z＝（m﹣2）+（m+3）i（m∈R）是纯虚数，得，解得m＝2．
故答案为：2．
（多选）6．若z1，z2均为复数，且z2≠0，则下列结论错误的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则
B．为纯虚数
C．若z1＝iz2，则|z1|＝|z2|
D．若，则z1＝z2
【答案】ABD
【解答】解：A项，根据题意可知，z1，z2均为复数，取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但，∴，故A项错误；
B项，设z2＝a+bi（a，b∈R），且，当a≠0，b＝0时，，故B项错误；
C项，设z1＝c+di（c，d∈R），z2＝m+ni（m，n∈R），
则z1z2＝（cm﹣nd）+（cn+dm）i，
∴，
，
又z1＝iz2，∴|z1|＝|iz2|＝|i||z2|＝|z2|，故C项正确；
D项，取，
则，
满足，但z1≠z2，故D项错误．
故选：ABD．
7．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数是z的共轭复数）．
（1）求实数m及|z|；
（2）设复数，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）m＝﹣3，；
（2）（，+∞）．
【解答】解：（1）由z＝1+mi，得，
，
又为纯虚数，则3+m＝0且1﹣3m≠0，解得m＝﹣3，z＝1﹣3i，
所以；
（2）由（1）知z＝1﹣3i，．
又复数z2所对应的点在第一象限，可得，解得，
所以实数a的取值范围是（，+∞）．
8．已知复数Z＝（1+i）m2﹣（2+4i）m﹣3+3i．
（1）当m为何值时，Z为纯虚数？
（2）当m为何值时，Z对应的点在y＝x上？
【答案】（1）m＝﹣1；
（2）m＝3．
【解答】解：Z＝（1+i）m2﹣（2+4i）m﹣3+3i＝（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣4m+3）i，
（1）若Z为纯虚数，则m2﹣2m﹣3＝0且m2﹣4m+3≠0，解得m＝﹣1；
（2）根据Z对应的点在y＝x上，则m2﹣2m﹣3＝m2﹣4m+3，解得：m＝3．
9．已知复数z＝x+5+（x﹣3）i，x∈R．
（1）若z为实数，求x的值；
（2）若z为虚数，求x的取值范围；
（3）若z为纯虚数，求x的值．
【答案】（1）x＝3；
（2）（﹣∞，3）∪（3，+∞）；
（3）x＝﹣5．
【解答】解：（1）由题意可得x﹣3＝0，所以x＝3，
所以x的值为3；
（2）由虚数定义可得x﹣3≠0，解得x≠3，
所以x的取值范围为（﹣∞，3）∪（3，+∞）；
（3）由纯虚数的定义可得x+5＝0且x﹣3≠0，所以x＝﹣5，
所以x的值为﹣5．
10．已知复数z满足|z|＝|z﹣2i|，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数z＝　或　 ．
【答案】或．
【解答】解：根据题意，设z＝a+bi（a、b∈R），
若|z|＝|z﹣2i|，即|a+bi|＝|a+（b﹣2）i|，则有a2+b2＝a2+（b﹣2）2，
变形可得b＝1，
又由是纯虚数，即是纯虚数，
设mi（m∈R且m≠0），变形可得a﹣i＝﹣2m+ami，则有，解可得a＝±，
故z或z，
故答案为：或．
▉题型3 复数的相等
【知识点的认识】
复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．
11．设i为虚数单位，a，b∈R，且a+bi＝2i（1+i），则a+b＝（　　）
A．﹣4 B．0 C．﹣4i D．4
【答案】B
【解答】解：由a+bi＝2i（1+i）＝﹣2+2i，
得a＝﹣2，b＝2，则a+b＝0．
故选：B．
12．若xi﹣2i2＝y+2yi，x，y∈R，则复数x+yi等于（　　）
A．﹣2+i B．4+2i C．1﹣2i D．1+2i
【答案】B
【解答】解：由xi﹣2i2＝y+2yi，得2+xi＝y+2yi，
则，即，
故x+yi＝4+2i．
故选：B．
▉题型4 共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数a﹣bi．
13．若复数，则z的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵，
∴，
∴z的共轭复数的虚部为，
故选：A．
14．记复数z的共轭复数为，若z＝4+i，则i（z）＝（　　）
A．8i B．2i C．8 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由已知条件可得，则i（z）＝i（4+i+4﹣i）＝8i．
故选：A．
15．已知，则复数z的共轭复数为（　　）
A． B．3+i C． D．
【答案】D
【解答】解：，
复数z的共轭复数为．
故选：D．
16．已知z＝2﹣i，　　 ．
【答案】2．
【解答】解：∵z＝2﹣i，
∴，
∴．
故答案为：2．
（多选）17．已知z1，z2均为复数，且z2≠0，则下列结论正确的是（　　）
A．若z1z2＝0，则z1＝0
B．若，则z1+z2是实数
C．若，则z1是纯虚数
D．若，则z1＝z2
【答案】ABC
【解答】解：因为z1z2＝0，
所以|z1z2|＝|z1||z2|＝0，
z2≠0，
则|z2|≠0，
故|z1|＝0，即z1＝0，故A正确；
设z2＝a+bi（a，b∈R），则 ，
所以z1+z2＝（a﹣bi）+（a+bi）＝2a∈R，故B正确；
设z1＝a+bi（a，b∈R），则，所以，
解得a＝0，b≠0，所以 z1 是纯虚数，故C正确；
，
则，
但z1≠z2，故D错误．
故选：ABC．
18．在①复数z满足z+i和均为实数；⑦为复数z的共轭复数，且；③复数z＝a+bi（a∈R，b＜0）是关于x方程x2﹣4x+5＝0的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：
（1）求复数z；
（2）在复平面内，若对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）z＝2﹣i；
（2）（0，1）∪（﹣2，）．
【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b为实数），
若选①复数z满足z+i和均为实数，
则z+i＝a+（b+1）i为实数，为实数，
所以，解得a＝2，b＝﹣1，
所以z＝2﹣i；
若选②为复数z的共轭复数，且；
则（a+bi）（1+i）＝a﹣bi+1，
即a﹣b+（a+b）i＝a+1﹣bi，
所以，解得b＝﹣1，a＝2，
所以z＝2﹣i；
若选③复数z＝a+bi（a∈R，b＜0）是关于x方程x2﹣4x+5＝0的一个根，
则（a+bi）2﹣4（a+bi）+5＝0，即a2﹣b2﹣4a+5+（2ab﹣4b）i＝0，
所以a2﹣b2﹣4a+5＝0，2ab﹣4b＝0，b＜0，
所以a＝2，b＝﹣1，z＝2﹣i；
（2）若2+i（m2+m﹣3）i＝2（m2+m﹣2）i对应的点（2，m2+m﹣2）在第四象限，
则m2+m﹣2＜0，0，
解得0＜m＜1或﹣2．
故m的取值范围为（0，1）∪（﹣2，）．
19．已知复数z1＝m2﹣（m2﹣5m+6）i，z2＝10﹣（m2﹣3m）i，若（为z的共轭复数），则实数m的取值范围为 　{3}　 ．
【答案】{3}．
【解答】解：∵z2＝10﹣（m2﹣3m）i，∴10+（m2﹣3m）i，
∵，
∴z1，都是实数，且，
∴，
解得m＝3，
即实数m的取值范围为{3}．
故答案为：{3}．
20．若（2﹣i） z＝3i，则z的共轭复数为 　i ．
【答案】i．
【解答】解：依题意，zi．
所以z的共轭复数为i．
故答案为：i．
21．已知复数z＝m+2+（m﹣2）i（m∈R），为z的共轭复数，且．
（1）求m的值；
（2）若z﹣3i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【答案】（1）1；
（2）3+4i．
【解答】解：（1）z＝m+2+（m﹣2）i，
则，
由于，得m+2+（m﹣2）i+m+2﹣（m﹣2）i＝2m+4＝6，解得：m＝1；
（2）由（1）可知，z＝3﹣i，
将z﹣3i＝3﹣4i代入方程可得：（3﹣4i）2+a（3﹣4i）+b＝0，化简整理可得，（﹣7+3a+b）﹣（4a+24）i＝0，
，解得a＝﹣6，b＝25，
代入一元二次方程中得：x2﹣6x+25＝0，解得，，
故方程另外一个复数根为3+4i．
22．已知2﹣i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，其中i为虚数单位．
（1）求m+2n的值；
（2）记复数z＝m+ni，求复数的模．
【答案】（1）m+2n＝6；
（2）．
【解答】解：（1）∵2﹣i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，
∴（2﹣i）2+m（2﹣i）+n＝0，即4﹣4i+i2+2m﹣mi+n＝0，
∴3+2m+n﹣（4+m）i＝0，
则3+2m+n＝0，4+m＝0，
解得：m＝﹣4，n＝5，得m+2n＝6；
（2）z＝﹣4+5i，，
∴，则．
23．已知：复数z＝（1﹣i）2，其中i为虚数单位．
（1）求z及|z|；
（2）若z2+ab＝6+7i，求实数a，b的值．
【答案】（1）z＝3+i，|z|．
（2）a＝﹣1，b＝1．
【解答】解：（1）∵复数z＝（1﹣i）22i3+i，其中i为虚数单位，
∴|z|．
（2）∵z2+ab＝6+7i，即8+6i+a（3﹣i）+b＝6+7i，
∴，
∴．
▉题型5 复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
24．若复数z满足（1+i）z＝|1+i|，则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由（1+i）z＝|1+i|，得z，
∴z的虚部为．
故选：D．
25．的虚部是（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【答案】B
【解答】解：，
则的虚部是﹣1．
故选：B．
26．已知复数z满足（1+i3）z＝3+i5，则z＝（　　）
A．2﹣2i B．1﹣2i C．2+2i D．1+2i
【答案】D
【解答】解：由（1+i3）z＝3+i5，得（1﹣i）z＝3+i，
所以．
故选：D．
27．设，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：处理i2025，因为i的周期为4，2025÷4＝506…1，所以i2025＝i，
则z，
所以，对应复平面的点为，位于第三象限．
故选：C．
28．已知z1＝a﹣i，z2＝1+bi（a，b∈R，i为虚数单位），若z1 z2是实数，则（　　）
A．ab﹣1＝0 B．ab+1＝0 C．a﹣b＝0 D．a+b＝0
【答案】A
【解答】解：z1 z2＝（a﹣i）（1+bi）＝a+b+（ab﹣1）i为实数，
则ab﹣1＝0．
故选：A．
29．已知复数z满足（1+i）z＝1﹣i，则z2025＝ 　﹣i ．
【答案】﹣i．
【解答】解：由（1+i）z＝1﹣i，得，
所以z2025＝（﹣i）2025＝﹣i．
故答案为：﹣i．
（多选）30．已知复数是z的共轭复数，则（　　）
A．
B．z的虚部是3i
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数是方程x2+2x+8＝0的一个根
【答案】AC
【解答】解：由题意，|z+3﹣2i|＝|﹣1+3i+3﹣2i|＝|2+i|，选项A正确；
z的虚部是3，选项B错误；
z在复平面内对应的点为（﹣1，3），位于第二象限，选项C正确；
方程x2+2x+8＝0的根为x＝﹣1±i，选项D错误．
故选：AC．
31．已知z1＝1+mi，z2＝3﹣2i，m∈R．
（1）若|z1+z2|＝5，求m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点P（x，y）满足关系式y＝2x，求m的值．
【答案】（1）m＝5或m＝﹣1；
（2）m＝8．
【解答】解：（1）因为z1＝1+mi，z2＝3﹣2i，
所以z1+z2＝4+（m﹣2）i，
因为|z1+z2|＝5，
所以16+（m﹣2）2＝25，
解得，m＝5或m＝﹣1；
（2）复数z
因为z在复平面内对应的点P（x，y）满足关系式y＝2x，
所以﹣（3m+2）＝2（3﹣2m），
所以m＝8．
32．设复数z1＝1﹣ai（a∈R），z2＝2+i．
（1）在复平面内，复数z1+z2对应的点在实轴上，求z1z2；
（2）若是纯虚数，求实数a的值．
【答案】（1）3﹣i；
（2）2．
【解答】解：（1）复数z1＝1﹣ai（a∈R），z2＝2+i，
则z1+z2＝3+（1﹣a）i，
复数z1+z2对应的点在实轴上，
则1﹣a＝0，解得a＝1，
故z1z2＝（1﹣i）（2+i）＝3﹣i；
（2）为纯虚数，
则，解得a＝2．
33．已知复数z＝1﹣i，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为z＝1﹣i，
所以．
故选：A．
34．已知z1，z2是两个虚数，则“z1，z2均为纯虚数”是“为实数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：设z1＝ai，z2＝bi（a，b为实数且ab≠0），
则为实数，充分性成立，
当z1＝1+i，z2＝2+2i时，为实数，但z1，z2不为纯虚数，即必要性不成立．
故选：A．
35．（　　）
A．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i
【答案】C
【解答】解：i3＝i2 i＝﹣i，
则．
故选：C．
36．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1＝1﹣i，则z1z2＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣2i D．﹣2
【答案】A
【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1＝1﹣i，
∴z2＝1+i，
则z1z2＝（1﹣i）（1+i）＝1﹣i2＝2．
故选：A．
▉题型6 复数的加、减运算及其几何意义
【知识点的认识】
﹣加法：两个复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的和是（a1+a2）+（b1+b2）i．
﹣减法：两个复数z1和z2的差是（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i．
﹣几何意义：加法和减法可以看作是复平面中向量的平移操作．
37．已知复数z1，z2满足，则|z2﹣2i|的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设复数z1＝a+bi，a，b∈R，由已知条件得a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，
整理得3a﹣bi＝3﹣i，于是3a＝3，﹣b＝﹣1，即a＝1，b＝1，z1＝1+i，
由|z2﹣z1|＝1，可知复平面内表示复数z2的对应点在以表示复数z1的对应点（1，1）为圆心，1为半径的圆上，
|z2﹣2i|表示这个圆上的点到表示复数2i的对应点（0，2）的距离，
距离的最大值是．
故答案为：．
38．计算：
（1）（2﹣i）﹣（2+3i）+4i；
（2）（1+2i）（2﹣3i）；
（3）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（2﹣i）﹣（2+3i）+4i＝2﹣2﹣4i+4i＝0．
（2）（1+2i）（2﹣3i）＝2+4i﹣3i﹣6i2＝8+i．
（3）．
39．已知复数z1＝3+4i，z2＝3﹣4i，则z1+z2＝（　　）
A．8i B．6 C．6+8i D．6﹣8i
【答案】B
【解答】解：∵z1＝3+4i，z2＝3﹣4i，
∴z1+z2＝（3+4i）+（3﹣4i）＝6．
故选：B．
▉题型7 复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
40．已知i为虚数单位，则（2+3i）（4﹣i）＝（　　）
A．10i B．11+10i C．11i D．10+11i
【答案】B
【解答】解：（2+3i）（4﹣i）＝8﹣2i+12i+3＝11+10i．
故选：B．
41．下列关于复数的命题错误的是（　　）
A．复数i2025的虚部是1
B．的共轭复数的模为2
C．方程x2+2x+3i＝0的两根之和不等于﹣2
D．满足方程z（1+i）＝1﹣i的z＝﹣i
【答案】C
【解答】解：复数i2025＝i2024 i＝（i4）506 i＝i，虚部是1，故A正确；
由共轭复数的定义可知，所求模为，故B正确；
方程x2+2x+3i＝0的两根之和为，故C错误；
z（1+i）＝1﹣i，则，故D正确．
故选：C．
42．已知复数z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），若复数z1 z2为纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．﹣1
【答案】C
【解答】解：z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），
∵z1 z2＝（2+i）（a﹣i）＝2a+1+（a﹣2）i为纯虚数，
∴2a+1＝0且a﹣2≠0，解得．
故选：C．
43．复数（3﹣7i）（7+i）的虚部为　﹣46　 ．
【答案】﹣46．
【解答】解：（3﹣7i）（7+i）＝21+3i﹣49i﹣7i2＝28﹣46i，其虚部为﹣46．
故答案为：﹣46．
44．已知（1﹣i）z＝2i2024+i2025，则复数z在复平面内对应的点位于第　一　 象限．
【答案】一．
【解答】解：i2024＝（i4）506＝1，i2025＝（i4）506 i＝i，
故（1﹣i）z＝2i2024+i2025＝2+i，
故，
故复数z在复平面内对应的点位于第一象限．
故答案为：一．
45．已知复数，则|ω|+ω2＝（　　）
A．ω B． C．﹣ω D．2ω
【答案】C
【解答】解：复数，则，，
所以．
故选：C．
▉题型8 复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是．
46．已知（1﹣i）2z＝3+2i，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：（1﹣i）2z＝3+2i，
则，故．
故选：A．
47．已知复数，则z的实部与虚部的差为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】A
【解答】解：复数，
所以复数z的实部为，虚部为，
故z的实部与虚部的差为﹣1．
故选：A．
48．若复数z＝m﹣i（m∈R），为实数，则m＝（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：因为，
又为实数，
所以，解得m＝0．
故选：A．
49．已知，则z的实部是（　　）
A．﹣i B．i C．0 D．1
【答案】C
【解答】解：因为，
所以z的实部是0．
故选：C．
50．已知复数z1＝a+4i，z2＝4+3i，i为虚数单位，其中a是实数．
（1）若是实数，求a的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）（﹣∞，﹣3）．
【解答】解：（1），
因为是实数，则16﹣3a＝0，∴．
（2），
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则，
故a的取值范围为（﹣∞，﹣3）．
51．已知复数z＝（1+i）m2﹣3im+2i﹣4，m为实数．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围；
（3）若m＝0，求的值．
【答案】（1）﹣2；
（2）（﹣2，1）；
（3）．
【解答】解：（1）由z＝（1+i）m2﹣3im+2i﹣4得，z＝m2﹣4+（m2﹣3m+2）i，
因为z是纯虚数，所以，
解得m＝﹣2，
所以m的值是﹣2；
（2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，则，
解得﹣2＜m＜1，
即m的取值范围为（﹣2，1）；
（3）当m＝0时，z＝﹣4+2i，
则||＝||．
▉题型9 复数的混合运算
【知识点的认识】
复数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法的组合运算．混合运算需要按照运算优先级处理，确保准确性．
52．若复数z满足（z+i）（1﹣2i）＝5，则|z|＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解答】解：由题意，，
所以|z|．
故选：A．
53．设复数z满足，令，则|z1|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由，可知复数Z对应的点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，
又，
∴|z1|＝|z﹣1﹣i|，表示圆上的点与B（1，1）两点连线的距离，如图，
，则．
故选：D．
（多选）54．已知复数z1，z2，为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．为实数 B．
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．
【答案】ABD
【解答】解：对于AB，设z1＝a+bi（a，b∈R），
则，
，故A正确；
，故B正确；
对于C，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，故C错误；
对于D，|z2||z1|＝|z2z1|，故D正确．
故选：ABD．
55．已知复数z满足，z2的虚部是2．
（1）求复数z；
（2）若z是关于x的实系数方程x2+bx+2＝0的一个复数根，求b的值；
（3）若复数z的实部大于0，设z，z3，z﹣z3在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【答案】（1）z＝1+i或z＝﹣1﹣i；
（2）﹣2或 2；
（3）2．
【解答】解：（1）设z＝a+bi，a，b∈R，由可得：a2+b2＝2 ①，由z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，依题，2ab＝2 ②，
联立①②，解得或，故z＝1+i或z＝﹣1﹣i．
（2）当z＝1+i时，依题可知，也是方程x2+bx+2＝0的一个复数根，
由韦达定理，，，故b＝﹣2；
当z＝﹣1﹣i时，也是方程x2+bx+2＝0的一个复数根，
由韦达定理，，，故b＝2，
综上所述，b的取值为2或﹣2．
（3）由上分析，因z的实部大于0，故z＝1+i，
则z3＝（1+i）3＝1+3i+3i2+i3＝﹣2+2i，z﹣z3＝（1+i）﹣（﹣2+2i）＝3﹣i，
依题意得，A（1，1），B（﹣2，2），C（3，﹣1），则，
设∠BAC＝θ，则，则，
于是△ABC的面积为．第9章第1节 复数及其四则运算
题型1 复数的实部与虚部 题型2 纯虚数
题型3 复数的相等 题型4 共轭复数
题型5 复数的运算 题型6 复数的加、减运算及其几何意义
题型7 复数的乘法及乘方运算 题型8 复数的除法运算
题型9 复数的混合运算
▉题型1 复数的实部与虚部
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
1．已知i为虚数单位，复数，则（　　）
A．2﹣i
B．z的虚部为﹣i
C．
D．z在复平面内对应的点在第四象限
2．已知复数z＝﹣1+2i，则z的共轭复数的虚部为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．已知复数z＝（m2﹣6m+8）+（m﹣2）i（m∈R）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应点位于第二象限，求实数m的取值范围．
▉题型2 纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
4．设a∈R，（3﹣i）（1+ai）为纯虚数，则a＝（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
5．已知复数z＝（m﹣2）+（m+3）i（m∈R）是纯虚数，则m＝ 　 ．
（多选）6．若z1，z2均为复数，且z2≠0，则下列结论错误的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则
B．为纯虚数
C．若z1＝iz2，则|z1|＝|z2|
D．若，则z1＝z2
7．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数是z的共轭复数）．
（1）求实数m及|z|；
（2）设复数，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
8．已知复数Z＝（1+i）m2﹣（2+4i）m﹣3+3i．
（1）当m为何值时，Z为纯虚数？
（2）当m为何值时，Z对应的点在y＝x上？
9．已知复数z＝x+5+（x﹣3）i，x∈R．
（1）若z为实数，求x的值；
（2）若z为虚数，求x的取值范围；
（3）若z为纯虚数，求x的值．
10．已知复数z满足|z|＝|z﹣2i|，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数z＝ ．
▉题型3 复数的相等
【知识点的认识】
复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．
11．设i为虚数单位，a，b∈R，且a+bi＝2i（1+i），则a+b＝（　　）
A．﹣4 B．0 C．﹣4i D．4
12．若xi﹣2i2＝y+2yi，x，y∈R，则复数x+yi等于（　　）
A．﹣2+i B．4+2i C．1﹣2i D．1+2i
▉题型4 共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数a﹣bi．
13．若复数，则z的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
14．记复数z的共轭复数为，若z＝4+i，则i（z）＝（　　）
A．8i B．2i C．8 D．﹣2
15．已知，则复数z的共轭复数为（　　）
A． B．3+i C． D．
16．已知z＝2﹣i，　　 ．
（多选）17．已知z1，z2均为复数，且z2≠0，则下列结论正确的是（　　）
A．若z1z2＝0，则z1＝0
B．若，则z1+z2是实数
C．若，则z1是纯虚数
D．若，则z1＝z2
18．在①复数z满足z+i和均为实数；⑦为复数z的共轭复数，且；③复数z＝a+bi（a∈R，b＜0）是关于x方程x2﹣4x+5＝0的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：
（1）求复数z；
（2）在复平面内，若对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
19．已知复数z1＝m2﹣（m2﹣5m+6）i，z2＝10﹣（m2﹣3m）i，若（为z的共轭复数），则实数m的取值范围为 ．
20．若（2﹣i） z＝3i，则z的共轭复数为 　i ．
21．已知复数z＝m+2+（m﹣2）i（m∈R），为z的共轭复数，且．
（1）求m的值；
（2）若z﹣3i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
22．已知2﹣i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，其中i为虚数单位．
（1）求m+2n的值；
（2）记复数z＝m+ni，求复数的模．
23．已知：复数z＝（1﹣i）2，其中i为虚数单位．
（1）求z及|z|；
（2）若z2+ab＝6+7i，求实数a，b的值．
▉题型5 复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
24．若复数z满足（1+i）z＝|1+i|，则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
25．的虚部是（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
26．已知复数z满足（1+i3）z＝3+i5，则z＝（　　）
A．2﹣2i B．1﹣2i C．2+2i D．1+2i
27．设，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
28．已知z1＝a﹣i，z2＝1+bi（a，b∈R，i为虚数单位），若z1 z2是实数，则（　　）
A．ab﹣1＝0 B．ab+1＝0 C．a﹣b＝0 D．a+b＝0
29．已知复数z满足（1+i）z＝1﹣i，则z2025＝ 　 ．
（多选）30．已知复数是z的共轭复数，则（　　）
A．
B．z的虚部是3i
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数是方程x2+2x+8＝0的一个根
31．已知z1＝1+mi，z2＝3﹣2i，m∈R．
（1）若|z1+z2|＝5，求m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点P（x，y）满足关系式y＝2x，求m的值．
32．设复数z1＝1﹣ai（a∈R），z2＝2+i．
（1）在复平面内，复数z1+z2对应的点在实轴上，求z1z2；
（2）若是纯虚数，求实数a的值．
33．已知复数z＝1﹣i，则（　　）
A． B． C． D．
34．已知z1，z2是两个虚数，则“z1，z2均为纯虚数”是“为实数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
35．（　　）
A．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i
36．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1＝1﹣i，则z1z2＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣2i D．﹣2
▉题型6 复数的加、减运算及其几何意义
【知识点的认识】
﹣加法：两个复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的和是（a1+a2）+（b1+b2）i．
﹣减法：两个复数z1和z2的差是（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i．
﹣几何意义：加法和减法可以看作是复平面中向量的平移操作．
37．已知复数z1，z2满足，则|z2﹣2i|的最大值为 ．
38．计算：
（1）（2﹣i）﹣（2+3i）+4i；
（2）（1+2i）（2﹣3i）；
（3）．
39．已知复数z1＝3+4i，z2＝3﹣4i，则z1+z2＝（　　）
A．8i B．6 C．6+8i D．6﹣8i
▉题型7 复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
40．已知i为虚数单位，则（2+3i）（4﹣i）＝（　　）
A．10i B．11+10i C．11i D．10+11i
41．下列关于复数的命题错误的是（　　）
A．复数i2025的虚部是1
B．的共轭复数的模为2
C．方程x2+2x+3i＝0的两根之和不等于﹣2
D．满足方程z（1+i）＝1﹣i的z＝﹣i
42．已知复数z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），若复数z1 z2为纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．﹣1
43．复数（3﹣7i）（7+i）的虚部为　 ．
44．已知（1﹣i）z＝2i2024+i2025，则复数z在复平面内对应的点位于第 象限．
45．已知复数，则|ω|+ω2＝（　　）
A．ω B． C．﹣ω D．2ω
▉题型8 复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是．
46．已知（1﹣i）2z＝3+2i，则（　　）
A． B． C． D．
47．已知复数，则z的实部与虚部的差为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
48．若复数z＝m﹣i（m∈R），为实数，则m＝（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
49．已知，则z的实部是（　　）
A．﹣i B．i C．0 D．1
50．已知复数z1＝a+4i，z2＝4+3i，i为虚数单位，其中a是实数．
（1）若是实数，求a的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围．
51．已知复数z＝（1+i）m2﹣3im+2i﹣4，m为实数．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围；
（3）若m＝0，求的值．
▉题型9 复数的混合运算
【知识点的认识】
复数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法的组合运算．混合运算需要按照运算优先级处理，确保准确性．
52．若复数z满足（z+i）（1﹣2i）＝5，则|z|＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
53．设复数z满足，令，则|z1|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
（多选）54．已知复数z1，z2，为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．为实数 B．
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．
55．已知复数z满足，z2的虚部是2．
（1）求复数z；
（2）若z是关于x的实系数方程x2+bx+2＝0的一个复数根，求b的值；
（3）若复数z的实部大于0，设z，z3，z﹣z3在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

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