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第9章第3节 实系数一元二次方程
题型1 实系数多项式虚根成对定理
▉题型1 实系数多项式虚根成对定理
【知识点的认识】
实系数多项式虚根成对定理：
n次多项式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系数都为实数，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（复数集），其中a0，b0∈R，则a0﹣b0i也是方程的根．
1．已知2+i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的根，则m+n＝（　　）
A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9
【答案】C
【解答】解：因为2+i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的根，
所以由复数根的共轭性可知另一根为2﹣i，
由韦达定理可知（2+i）+（2﹣i）＝4＝﹣m，得m＝﹣4，
（2+i）（2﹣i）＝4+1＝5＝n，
所以m+n＝﹣4+5＝1．
故选：C．
2．已知复数z1＝1﹣2i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则z2＝p+qi在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：因为复数z1＝1﹣2i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，
所以1+2i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的另一个根，
由韦达定理可得，，
解得，
所以z2＝p+qi＝﹣2+5i在复平面内的对应点为（﹣2，5），位于第二象限．
故选：B．
3．已知2﹣i是关于x的方程x2+mx+5＝0在复数范围内的一个根，则实数m＝（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：因为2﹣i是关于x的方程x2+mx+5＝0在复数范围内的一个根，
所以2+i是关于x的方程x2+mx+5＝0在复数范围内的另一个根，
则由韦达定理得：2+i+2﹣i＝﹣m，
解得m＝﹣4．
故选：B．
4．若复数是关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一个复数根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：复数是关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一个复数根，
则，
即，得，所以．
故选：A．
5．若复数3+i为方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，则该方程的另一个根是（　　）
A．﹣3﹣i B．3﹣i C．i﹣3 D．i+3
【答案】B
【解答】解：根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为3﹣i．
故选：B．
（多选）6．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝19
C．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D．若复数z满足|z﹣1+2i|＝1，则|z|的最小值为
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A，设z＝a+bi（a，b∈R），
可得z（2+i）＝（a+bi）（2+i）＝2a+2bi+ai﹣b＝（2a﹣b）+（2b+a）i，
则，
化简得a2+b2＝2，
所以，故选项A正确；
对于选项B，因为点Z的坐标为（﹣3，2），所以z＝﹣3+2i，
因为z＝﹣3+2i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，
所以3﹣2i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的另一个根，
由韦达定理可得，，
解得，所以p+q＝19，故选项B正确；
对于选项C，因为，
所以，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故选项C错误；
对于选项D，根据复数模的几何意义可知，|z﹣1+2i|＝1表示复数z与复数1﹣2i对应两点间的距离为1，
所以复数z对应的点是以点（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆，
又因为|z|表示圆上的点到原点的距离，
所以|z|的最小值为，故选项D正确；
故选：ABD．
（多选）7．已知复数z，w是方程x2﹣2x+2＝0的两个根，且在复平面内，z对应的点M在ω对应的点N的上方，O为坐标原点，则（　　）
A．z＝1+i B．
C． D．
【答案】ACD
【解答】解：对于A，因为方程x2﹣2x+2＝0的判别式Δ＝4﹣8＜0，
所以x2﹣2x+2＝0的两根为x11+i，x21﹣i，
两根对应的点分别为（1，1），（1，﹣1），
对于A，因为在复平面内，z对应的点M在ω对应的点N的上方，
所以z＝1+i，故A正确；
对于B，因为在复平面内，z对应的点M在ω对应的点N的上方，
所以M（1，1），N（1，﹣1），
故，故B错误；
对于C，w＝1﹣i，z﹣2w＝1+i﹣2（1﹣i）＝﹣1+3i，
故，故C正确；
对于D，因为z＝1+i，w＝1﹣i，
所以，
故，故D正确．
故选：ACD．
（多选）8．下列各数是方程x2﹣2x+3＝0的根有（　　）
A．﹣3 B． C．1 D．
【答案】BD
【解答】解：方程x2﹣2x+3＝0，
因为Δ＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0，
所以方程x2﹣2x+3＝0的解为．
故选：BD．
（多选）9．若z1，z2是方程x2+ax+1＝0的两个虚数根，则（　　）
A．a的取值范围为[﹣2，2] B．z1的共轭复数是 z2
C．z1z2＝1 D．z1为纯虚数
【答案】BCD
【解答】解：∵z1，z2是方程x2+ax+1＝0的两个虚数根，∴Δ＝a2﹣4＜0，∴﹣2＜a＜2，
∴方程x2+ax+1＝0的两个虚数根为，
不妨取，，
对于A，﹣2＜a＜2，故A错误；
对于B，和互为共轭复数，故B正确；
对于C，1，故C正确；
对于D，，∵，∴z1为纯虚数，故D正确．
故选：BCD．
10．若关于x的方程x2﹣2x+c＝0（c∈R）的一个虚根的模为3，则c的值为 　9　 ．
【答案】9．
【解答】解：由方程x2﹣2x+c＝0，得（x﹣1）2＝1﹣c，依题意，c＞1，解得，
关于x的方程x2﹣2x+c＝0（c∈R）的一个虚根的模为3，
由，所以c＝9．
故答案为：9．
11．已知2i﹣3是关于x的实系数方程2x2+px+q＝0的一个根，则实数p的值为 　12　 ．
【答案】12．
【解答】解：2i﹣3是关于x的实系数方程2x2+px+q＝0的一个根，
则﹣3﹣2i也是关于x的实系数方程2x2+px+q＝0的一个根，
由韦达定理可知，，解得p＝12．
故答案为：12．
12．已知1﹣2i是关于x的方程x2+ax+2b＝0（a，b∈R）的一个根，则ab＝　﹣5　 ．
【答案】﹣5．
【解答】解：因为1﹣2i是关于x的方程x2+ax+2b＝0（a，b∈R）的一个根，
所以1+2i也是关于x的方程x2+ax+2b＝0（a，b∈R）的一个根，
所以，解得，
所以．
故答案为：﹣5．
13．已知1+i是方程x2+bx+c＝0（b，c为实数）的一个根．则b＝　﹣2　 ，c＝　2　 ．
【答案】﹣2；2．
【解答】解：∵1+i是方程x2+bx+c＝0的一个根，
∴（1+i）2+b（1+i）+c＝0，即（b+c）+（2+b）i＝0，
∴，
解得．
故答案为：﹣2；2．
14．已知方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）在复数范围内的一个根为3+2i，则a+b＝　7　 ．
【答案】7．
【解答】解：由题意可知方程x2+ax+b＝0的另一个根为3﹣2i，
则﹣a＝（3﹣2i）+（3+2i）＝6，b＝（3﹣2i）（3+2i）＝9﹣4i2＝13，
则a＝﹣6，b＝13
故a+b＝7．
故答案为：7．
15．已知复数z和它的共轭复数满足3z4+4i．
（1）求复数z；
（2）若z是关于x的方程x2+2x+t＝0（t∈C）的一个根，求方程的另一个根，并验证此方程的两个根是否满足韦达定理．
【答案】（1）z＝1+2i；（2）答案见解析．
【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则a﹣bi，
3z3（a+bi）+（a﹣bi）＝4a+2bi＝4+4i，
所以4a＝4，2b＝4，解得a＝1，b＝2，z＝1+2i；
（2）由题意，（1+2i）2+2（1+2i）+t＝0，
即﹣3+4i+2+4i+t＝0，解得t＝1﹣8i，
解方程x2+2x+1﹣8i＝0，化简得（x+1）2＝8i，解得x+1＝±（2+2i），
即x1＝1+2i，x2＝﹣3﹣2i，
则x1+x2＝﹣2，x1x2＝1﹣8i，
所以方程的另一个根为﹣3﹣2i，此方程的两根满足韦达定理．
16．已知复数z＝1+i是一元二次方程x2+ax+b＝0（a∈R，b∈R）的根．
（1）求a，b的值；
（2）若复数（a+bi）（m﹣i）（其中m∈R）为纯虚数，求复数ω＝（5m﹣1）+3mi的模．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为z＝1+i是一元二次方程x2+ax+b＝0的根，
所以z＝1﹣i也是一元二次方程x2+ax+b＝0的根，
故，解得．
（2）因为复数（a+bi）（m﹣i）＝2﹣2m+（2+2m）i为纯虚数，
所以2﹣2m＝0，且2+2m≠0，即m＝1．
所以复数ω＝（5m﹣1）+3mi＝4+3i，
故．第9章第3节 实系数一元二次方程
题型1 实系数多项式虚根成对定理
▉题型1 实系数多项式虚根成对定理
【知识点的认识】
实系数多项式虚根成对定理：
n次多项式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系数都为实数，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（复数集），其中a0，b0∈R，则a0﹣b0i也是方程的根．
1．已知2+i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的根，则m+n＝（　　）
A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9
2．已知复数z1＝1﹣2i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则z2＝p+qi在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知2﹣i是关于x的方程x2+mx+5＝0在复数范围内的一个根，则实数m＝（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
4．若复数是关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一个复数根，则（　　）
A． B． C． D．
5．若复数3+i为方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，则该方程的另一个根是（　　）
A．﹣3﹣i B．3﹣i C．i﹣3 D．i+3
（多选）6．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝19
C．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D．若复数z满足|z﹣1+2i|＝1，则|z|的最小值为
（多选）7．已知复数z，w是方程x2﹣2x+2＝0的两个根，且在复平面内，z对应的点M在ω对应的点N的上方，O为坐标原点，则（　　）
A．z＝1+i B．
C． D．
（多选）8．下列各数是方程x2﹣2x+3＝0的根有（　　）
A．﹣3 B． C．1 D．
（多选）9．若z1，z2是方程x2+ax+1＝0的两个虚数根，则（　　）
A．a的取值范围为[﹣2，2] B．z1的共轭复数是 z2
C．z1z2＝1 D．z1为纯虚数
10．若关于x的方程x2﹣2x+c＝0（c∈R）的一个虚根的模为3，则c的值为 　 　 ．
11．已知2i﹣3是关于x的实系数方程2x2+px+q＝0的一个根，则实数p的值为 　 ．
12．已知1﹣2i是关于x的方程x2+ax+2b＝0（a，b∈R）的一个根，则ab＝　 　 ．
13．已知1+i是方程x2+bx+c＝0（b，c为实数）的一个根．则b＝　 　　 ，c＝　 　　 ．
14．已知方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）在复数范围内的一个根为3+2i，则a+b＝　 　 ．
15．已知复数z和它的共轭复数满足3z4+4i．
（1）求复数z；
（2）若z是关于x的方程x2+2x+t＝0（t∈C）的一个根，求方程的另一个根，并验证此方程的两个根是否满足韦达定理．
．
16．已知复数z＝1+i是一元二次方程x2+ax+b＝0（a∈R，b∈R）的根．
（1）求a，b的值；
（2）若复数（a+bi）（m﹣i）（其中m∈R）为纯虚数，求复数ω＝（5m﹣1）+3mi的模．

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