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第1章第1.2节 直线的方程
题型1 直线的点斜式方程 题型2 直线的两点式方程
题型3 直线的一般式方程与直线的性质 题型4 待定系数法求直线方程
▉题型1 直线的点斜式方程
【知识点的认识】
设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点．
方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程．
1．已知直线l的倾斜角为60°，且经过点（0，1），则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意知：直线l的斜率为，则直线l的方程为．
故选：C．
2．若直线l的方向向量为，且过点（0，2），则直线l的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：直线l的方向向量为，则k，
直线过点（0，2），则直线l的方程为y2，
即x+y﹣2＝0．
故选：A．
3．过点（1，﹣1）且斜率为的直线l的方程是（　　）
A．3x+2y﹣7＝0 B．2x+y﹣4＝0 C．x﹣2y﹣3＝0 D．x﹣2y+3＝0
【答案】C
【解答】解：过点（1，﹣1）且斜率为的直线l的方程是，
即x﹣2y﹣3＝0．
故选：C．
4．过点P（2，3），且倾斜角为90°的直线方程为（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．y＝2 D．y＝3
【答案】A
【解答】解：∵直线的倾斜角为90°，∴直线的斜率不存在，直线垂直于x轴，
又直线过点（2，3），
∴直线方程为x＝2．
故选：A．
▉题型2 直线的两点式方程
【知识点的认识】
直线的两点式方程：
经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．
（x1≠x2，y1≠y2）
#注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线．
特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1；
②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1．
（多选）5．下列说法错误的是（　　）
A．直线xsinα+y+2＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，]∪[，π）
B．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程为
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
【答案】BCD
【解答】解：对于A：直线xsinα+y+2＝0的倾斜角为θ，则tanθ＝﹣sinθ∈[﹣1，1]，
因为0≤θ＜π，所以，故选项A说法正确；
对于B：当a＝﹣1时，x﹣y+1＝0与直线x+y﹣2＝0斜率乘积等于﹣1，
两直线互相垂直，所以充分性成立，
若“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”，则a2+a＝0，可得a＝0或a＝﹣1，
所以得不出a＝﹣1，故必要性不成立，
“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件，
故选项B说法不正确；
对于C：当x1＝x2或y1＝y2时，直线的方程为x＝x1或y＝y1，
此时直线的方程不成立，故选项C说法不正确；
对于D：当过（1，1）且横纵截距都为0时，所求直线方程为x﹣y＝0，
当过（1，1）且横纵截距相等不为0时，
设所求直线方程为，即，可得a＝2，
所以直线的方程为x+y﹣2＝0，故选项D说法不正确；
故选：BCD．
▉题型3 直线的一般式方程与直线的性质
【知识点的认识】
直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2 k1＝k2；（2）l1⊥l2 k1 k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2 A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交 A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2 ；l1与l2重合 ；l1与l2相交 ．
6．已知直线l：ax+by+c＝0的斜率为正，且a，b，c∈{﹣2，﹣1，0，1，2}，则符合上述条件的不同的直线条数为（　　）
A．40 B．20 C．17 D．15
【答案】C
【解答】解：直线l：ax+by+c＝0的斜率为正，且a，b，c∈{﹣2，﹣1，0，1，2}，
则ab＜0，
当a＞0，b＜0时，a的取值有2种取法，b的取值有2种取法，c的取值有5种取法，共有2×2×5＝20种取法，
其中x﹣y﹣1＝0和2x﹣2y﹣2＝0，2x﹣2y＝0和x﹣y＝0，2x﹣2y+2＝0和x﹣y+1＝0表示同一条直线，
故符合条件的直线共有20﹣3＝17条．
当a＜0，b＞0时，此时所得直线与a＞0，b＜0时所得直线相同．
故选：C．
（多选）7．下列说法中，正确的是（　　）
A．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
C．过点（1，1）且与直线2x+y+1＝0相互平行的直线方程是y＝﹣2x+3
D．经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0
【答案】AC
【解答】解：对于A：直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣4）和（4，0），故围成的三角形的面积是S8，故A正确；
对于B：过（x1，y1），（x2，y2）且满足x1≠x2，y1≠y2，故并不满足的直线方程，故B错误；
对于C：过点（1，1）且与直线2x+y+1＝0相互平行的直线方程设为2x+y+c＝0，整理得y＝﹣2x+3，故C正确；
对于D：经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误．
故选：AC．
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1）
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
【答案】AB
【解答】解：直线x﹣y﹣2＝0在两坐标轴上的截距分别为：2，﹣2，与坐标轴围成的三角形的面积是：2＝2，所以A正确；
点（0，2）与（1，1）的中点坐标（，）满足直线方程y＝x+1，并且两点的斜率为：﹣1，所以点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1），所以B正确；
当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为，所以C不正确；
经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或y＝x，所以D不正确；
故选：AB．
9．已知△ABC的顶点B（﹣2，0），AB边上的高所在的直线方程为x+3y﹣26＝0．
（1）求直线AB的方程；
（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角A的平分线所在直线方程为x+y﹣2＝0；
②BC边上的中线所在的直线方程为y＝3．
若_____，求直线AC的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）3x﹣y+6＝0；
（2）x﹣3y+10＝0．
【解答】解：（1）因为AB边上的高所在的直线方程为x+3y﹣26＝0，
所以直线AB的斜率为k＝3，又因为△ABC的顶点B（﹣2，0），
所以直线AB的方程为：y＝3（x+2），即3x﹣y+6＝0；
（2）若选①，角A的平分线所在直线方程为x+y﹣2＝0，
由，解得x＝﹣1，y＝3，所以点A坐标为A（﹣1，3），
设点B关于x+y﹣2＝0的对称点为B'（x0，y0），
则，解得x0＝2，y0＝4，即B'坐标为（2，4），
又点B'（4，2）在直线AC上，所以，
所以直线AC的方程为y﹣4（x﹣2），即x﹣3y+10＝0．
若选②：BC边上的中线所在的直线方程为y＝3，
由，解得x＝﹣1，y＝3，所以点A（﹣1，3），
设点C（x1，y2），则BC的中点在直线y＝3上，
所以，即y1＝6，又点C（x1，6）在直线x+3y﹣26＝0上，所以C（8，6），
所以，所以直线AC的方程为，
即直线AC的方程为x﹣3y+10＝0．
10．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l1：2x﹣y﹣2＝0和l2：x+y+3＝0，
（1）求直线l1与l2的交点坐标；
（2）过点P（3，0）作直线l与直线l1，l2分别交于点A、B，且满足，求直线l的方程．
【答案】（1）；
（2）8x﹣y﹣24＝0．
【解答】解：（1）根据题意，由，解得，
所以直线l1与l2的交点坐标为；
（2）由可知，点P是线段AB的中点，
在直线l2上任取一点M（x0，﹣3﹣x0），所以点M关于P（3，0）的对称点为N（6﹣x0，3+x0），
根据题意，可知点N在直线l1上，把点N（6﹣x0，3+x0）代入l1 方程2x﹣y﹣2＝0，
得2（6﹣x0）﹣（3+x0）﹣2＝0，解得所以，直线l的斜率，
因此，直线l方程为y＝8（x﹣3），即8x﹣y﹣24＝0．
11．已知点A（1，﹣6），B（3，2），直线l的方程为ax+y+a+1＝0（a∈R）．
（1）若直线l不经过第二象限，求a的取值范围；
（2）若点A，B到直线l的距离相等，求a的值
【答案】（1）[﹣1，0]；
（2）a＝﹣4或．
【解答】解：（1）直线l的方程化为斜截式，得y＝﹣ax﹣a﹣1，
当a＝0时，直线为y＝﹣1，不经过第二象限，符合题意；
当a≠0时，若直线l不经过第二象限，则，解得﹣1＜a≤0．
综上所述，﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围为[﹣1，0]．
（2）由点到直线的距离公式，可得，即|2a﹣5|＝|4a+3|，
所以2a﹣5＝±（4a+3），解得a＝﹣4或．
12．已知直线l经过两直线3x+4y﹣2＝0与2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣3y﹣1＝0．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
【答案】（1）3x+y+4＝0；
（2）．
【解答】解：（1）由，得x＝﹣2，y＝2，即点P（﹣2，2），
由题意设直线l为3x+y+m＝0，
因为直线l过P（﹣2，2），
所以3×（﹣2）+2+m＝0，得m＝4，
所以直线l的方程为3x+y+4＝0；
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，，
所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为．
13．已知△ABC的三个顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6）．
（Ⅰ）求过A点且垂直于BC的直线方程；
（Ⅱ）求过B点且与点A，C距离相等的直线方程．
【答案】（Ⅰ）2x+y﹣8＝0；
（Ⅱ）7x﹣6y+4＝0或3x+2y﹣44＝0．
【解答】解：（I）kBC，∴与BC垂直的直线斜率为﹣2．
∴过A点且垂直于BC的直线方程为：y﹣0＝﹣2（x﹣4），化为：2x+y﹣8＝0．
（II）当经过点B的直线方程斜率不存在时，不满足要求．
当经过点B的直线方程斜率存在时，设为k，则直线方程为：y﹣10＝k（x﹣8），即kx﹣y+10﹣8k＝0．
则，解得k或k．
因此所求的直线方程为：7x﹣6y+4＝0，或3x+2y﹣44＝0．
▉题型4 待定系数法求直线方程
【知识点的认识】
求直线方程的一般方法：
（1）直接法：
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．
（2）待定系数法：
先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．
利用待定系数法求直线方程的步骤：
①设方程；
②求系数；
③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定A（x0，y0），可以利用直线的点斜式y﹣y0＝k（x﹣x0）求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．
14．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故边AC所在直线的方程为：，
即3x﹣y+9＝0，
（2）BC边上的中点D（0，2），
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，
即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k，
故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为：y＝2（x+3），
即2x﹣y+6＝0．第1章第1.2节 直线的方程
题型1 直线的点斜式方程 题型2 直线的两点式方程
题型3 直线的一般式方程与直线的性质 题型4 待定系数法求直线方程
▉题型1 直线的点斜式方程
【知识点的认识】
设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点．
方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程．
1．已知直线l的倾斜角为60°，且经过点（0，1），则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．
2．若直线l的方向向量为，且过点（0，2），则直线l的方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．过点（1，﹣1）且斜率为的直线l的方程是（　　）
A．3x+2y﹣7＝0 B．2x+y﹣4＝0 C．x﹣2y﹣3＝0 D．x﹣2y+3＝0
4．过点P（2，3），且倾斜角为90°的直线方程为（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．y＝2 D．y＝3
▉题型2 直线的两点式方程
【知识点的认识】
直线的两点式方程：
经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．
（x1≠x2，y1≠y2）
#注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线．
特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1；
②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1．
（多选）5．下列说法错误的是（　　）
A．直线xsinα+y+2＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，]∪[，π）
B．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程为
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
▉题型3 直线的一般式方程与直线的性质
【知识点的认识】
直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2 k1＝k2；（2）l1⊥l2 k1 k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2 A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交 A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2 ；l1与l2重合 ；l1与l2相交 ．
6．已知直线l：ax+by+c＝0的斜率为正，且a，b，c∈{﹣2，﹣1，0，1，2}，则符合上述条件的不同的直线条数为（　　）
A．40 B．20 C．17 D．15
（多选）7．下列说法中，正确的是（　　）
A．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
C．过点（1，1）且与直线2x+y+1＝0相互平行的直线方程是y＝﹣2x+3
D．经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1）
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
9．已知△ABC的顶点B（﹣2，0），AB边上的高所在的直线方程为x+3y﹣26＝0．
（1）求直线AB的方程；
（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角A的平分线所在直线方程为x+y﹣2＝0；
②BC边上的中线所在的直线方程为y＝3．
若_____，求直线AC的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
10．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l1：2x﹣y﹣2＝0和l2：x+y+3＝0，
（1）求直线l1与l2的交点坐标；
（2）过点P（3，0）作直线l与直线l1，l2分别交于点A、B，且满足，求直线l的方程．
11．已知点A（1，﹣6），B（3，2），直线l的方程为ax+y+a+1＝0（a∈R）．
（1）若直线l不经过第二象限，求a的取值范围；
（2）若点A，B到直线l的距离相等，求a的值
12．已知直线l经过两直线3x+4y﹣2＝0与2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣3y﹣1＝0．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
13．已知△ABC的三个顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6）．
（Ⅰ）求过A点且垂直于BC的直线方程；
（Ⅱ）求过B点且与点A，C距离相等的直线方程．
▉题型4 待定系数法求直线方程
【知识点的认识】
求直线方程的一般方法：
（1）直接法：
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．
（2）待定系数法：
先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．
利用待定系数法求直线方程的步骤：
①设方程；
②求系数；
③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定A（x0，y0），可以利用直线的点斜式y﹣y0＝k（x﹣x0）求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．
14．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程．

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