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第1章第1.3节 两条直线的位置关系
题型1 直线的一般式方程与直线的平行关系 题型2 直线的一般式方程与直线的垂直关系
题型3 两条直线的交点坐标 题型4 过两条直线交点的直线系方程
题型5 恒过定点的直线 题型6 与直线关于点、直线对称的直线方程
题型7 两直线的夹角与到角问题
▉题型1 直线的一般式方程与直线的平行关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2 k1＝k2；（2）l1⊥l2 k1 k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2 A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交 A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2 ；l1与l2重合 ；l1与l2相交 ．
1．已知直线l1：5x+（a﹣3）y+10＝0，直线l2：（a+1）x+y+a＝0．若l1∥l2，则a＝（　　）
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．3
【答案】A
【解答】解：因为l1∥l2，所以（a﹣3）（a+1）＝5×1，且5a≠10（a+1），
解得a＝4．
故选：A．
2．已知直线2x﹣3y﹣3＝0与直线ax+by﹣4＝0平行，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由直线2x﹣3y﹣3＝0与直线ax+by﹣4＝0平行可知，，
所以．
故选：B．
3．直线l1：ax+3y+2a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+（a+1）＝0平行，则“l1∥l2”是“a＝﹣2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解答】解：当l1∥l2时，则a（a﹣1）＝6，故a＝﹣2或a＝3，
当a＝3时，l1的方程为x+y+2＝0，l2的方程为x+y+2＝0，此时两条直线重合，不符合；
当a＝﹣2时，l1的方程为2x﹣3y+4＝0，l2的方程为2x﹣3y﹣1＝0，符合；
综上，“l1∥l2”是“a＝﹣2”的充要条件．
故选：B．
4．已知直线mx+2y+m+2＝0与直线4x+（m+2）y+2m+4＝0平行，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．2或﹣4 D．﹣2或4
【答案】B
【解答】解：因为直线mx+2y+m+2＝0与直线4x+（m+2）y+2m+4＝0平行，
所以m（m+2）＝2×4，解得m＝2或m＝﹣4，
当m＝2时，直线2x+2y+4＝0与直线4x+4y+8＝0重合，不符合题意；
当m＝﹣4时，直线﹣4x+2y﹣2＝0与直线4x﹣2y﹣4＝0平行．
故选：B．
5．过点（1，﹣3）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（　　）
A．x﹣2y﹣5＝0 B．x﹣2y﹣7＝0 C．2x+y﹣5＝0 D．2x+y﹣7＝0
【答案】B
【解答】解：设过点（1，﹣3）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程为x﹣2y+c＝0，
把（1，﹣3）代入，得：
1+6+c＝0，
解得c＝﹣7．
∴过点（1，﹣3）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是x﹣2y﹣7＝0．
故选：B．
（多选）6．以下四个命题表述正确的是（　　）
A．直线l1：x+y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0的距离为
B．已知直线l过点P（2，4），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣6＝0
C．“直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣5＝0平行”是“m＝2”的必要不充分条件
D．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
【答案】AC
【解答】解：对于A，直线l1：x+y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0平行，
∴直线l1：x+y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0的距离为d，故A正确；
对于B，直线过原点时也满足题意，
∴直线l的方程还可以是y＝2x，故B错误；
对于C，∵直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣5＝0平行，
∴m≠0，∴，解得m＝2或m＝﹣3，
∴“直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣5＝0平行”是“m＝2”的必要不充分条件，故C正确；
对于D，两点式直线方程的前提是x1≠x2，y1≠y2，故D错误．
故选：AC．
7．判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否平行：
（1）l1的斜率为2，l2经过点A（1，2），B（4，8）；
（2）l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），l2平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），l2经过点R（﹣4，3），S（0，5）．
【答案】（1）平行；
（2）平行；
（3）平行．
【解答】解：（1）l2经过点A（1，2），B（4，8），可得kAB2，
则不同直线l1与l2的斜率相等，可得它们平行；
（2）l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），可得kPQ＝0，
l2平行于x轴，但不经过P，Q两点，即l2的斜率也为0，
即有它们的斜率相等，可得它们平行；
（3）l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），可得kMN，
l2经过点R（﹣4，3），S（0，5），可得kRS，
即有它们的斜率相等，可得它们平行．
▉题型2 直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2 k1＝k2；（2）l1∥l2 k1 k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2 A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交 A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2 ；l1与l2重合 ；l1与l2相交 ．
8．直线ax+4y﹣2＝0与直线2x﹣5y+b＝0垂直，垂足为（1，c），则a+b+c＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【答案】B
【解答】解：由题意可得：1，a+4c﹣2＝0，2﹣5c+b＝0，
解得a＝10，c＝﹣2，b＝﹣12．
∴a+b+c＝﹣4．
故选：B．
9．已知△ABC满足2lnsinB＝lnsinA+lnsinC，且两条直线方程分别为，，试判断两条直线位置关系是（　　）
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交且不垂直
【答案】B
【解答】解：由2lnsinB＝lnsinA+lnsinC可得lnsin2B＝ln（sinA sinC），即sin2B＝sinA sinC，且sinA，sinB，sinC＞0，设△ABC外接圆半径为R，则：
，即l1：sinAx+y+2R＝0，
，即sinAsinCx+sinCy+c＝0，故sinAx+y+2R＝0．
故l1，l2两条直线位置关系是重合．
故选：B．
10．“m＝﹣1”是“直线（2m﹣4）x+（m+1）y+2＝0与直线（m+1）x﹣my+3＝0垂直”的（　　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解答】解：若直线（2m﹣4）x+（m+1）y+2＝0与直线（m+1）x﹣my+3＝0垂直，
则（2m﹣4）（m+1）﹣m（m+1）＝0 （m﹣4）（m+1）＝0 m＝4或m＝﹣1，
故“m＝﹣1”是“直线（2m﹣4）x+（m+1）y+2＝0与直线（m+1）x﹣my+3＝0垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
（多选）11．已知直线，直线l2：ax﹣（a﹣2）y﹣3＝0，若l1⊥l2，则实数a可能的取值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】BC
【解答】解：若l1⊥l2，有a+a2（a﹣2）＝0，解得a＝0或1，
故选：BC．
（多选）12．已知直线l1：（a+2）x+3y+3＝0与l：x﹣y﹣2＝0，则（　　）
A．若a＝1，则两直线垂直
B．若两直线平行，则a＝5
C．直线l1恒过定点（0，﹣1）
D．直线l2在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解答】解：A中，当a＝1时，直线l1的方程为：x+y+1＝0，因为两条直线的斜率互为负倒数，所以两条直线垂直，所以A正确；
B中，若两条直线平行，则，解得a＝﹣5，所以B不正确；
C中，直线l1：（a+2）x+3y+3＝0整理可得ax+2x+3y+3＝0，
联立，解得x＝0，y＝﹣1，即直线恒过定点（0，﹣1），所以C正确；
D中，直线l：x﹣y﹣2＝0在x轴的截距为2，在y轴的截距为﹣2，所以直线l在坐标轴上的截距不相等，所以D不正确．
故选：AC．
（多选）13．对于直线l1：ax+2y+3a＝0，l2：3x+（a﹣1）y+3﹣a＝0，则（　　）
A．l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝﹣2
B．当时，l1⊥l2
C．直线l2经过第二象限内的某定点
D．点P（1，3）到直线l1的距离的最大值为
【答案】ABC
【解答】解：对于A，若l1∥l2，则a（a﹣1）﹣2×3＝0，解得a＝3或a＝﹣2，
经检验，都符合题意，所以a＝3或a＝﹣2，所以l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝﹣2，故A正确；
对于B，当时，，所以l1⊥l2，故B正确；
对于C，由l2：3x+（a﹣1）y+3﹣a＝0，得（y﹣1）a+3x﹣y+3＝0，令，解得，
所以直线l2经过定点，结合该点位于第二象限，可知C正确；
对于D，由l1：ax+2y+3a＝0，得（x+3）a+2y＝0，令，解得，
所以直线l1过定点M（﹣3，0），
当PM⊥l1时，点P（1，3）到直线l1的距离的最大，最大值为，故D不正确．
故选：ABC．
（多选）14．对于直线l1：ax+2y+3a＝0，l2：3x+（a﹣1）y+3﹣a＝0．以下说法正确的有（　　）
A．l1∥l2的充要条件是a＝3
B．当a时，l1⊥l2
C．直线l1一定经过点M（3，0）
D．点P（1，3）到直线l1的距离的最大值为5
【答案】BD
【解答】解：A：由a（a﹣1）﹣6＝0，解得a＝3或a＝﹣2，经验证a＝3，a＝﹣2时两条直线平行，∴A错误，
B：当a时，则l1：x+5y+3＝0，l2：15x﹣3y+13＝0，∵1×15+5×（﹣3）＝0，∴l1⊥l2，∴B正确，
C：∵直线l1：ax+2y+3a＝0，则a（x+3）+2y＝0，∴x+3＝0且y＝0，∴x＝﹣3，y＝0，∴直线l1过定点（﹣3，0），∴C错误，
D：∵直线l1过定点N（﹣3，0），∴点P（1，3）到直线l1的距离的最大值为PN5，∴D正确，
故选：BD．
15．若直线l1：2x+my+1＝0与直线l2：m2x﹣y0垂直，则实数m的值为 　0或　 ．
【答案】0或．
【解答】解：由两条直线垂直可得2m2﹣m＝0，解得m＝0或．
故答案为：0或．
16．已知直线l1：ax+2y+6＝0和直线l2：x+y﹣1＝0．
（1）若l1⊥l2时，求a的值；
（2）当l1∥l2，求两直线l1，l2的距离．
【答案】（1）a＝﹣2；
（2）2．
【解答】解：直线l1：ax+2y+6＝0和直线l2：x+y﹣1＝0．
（1）若l1⊥l2时，则a+2＝0，即a＝﹣2；
（2）若l1∥l2平行，则a﹣2＝0，即a＝2，
此时直线l1：x+y+3＝0和直线l2：x+y﹣1＝0的距离d2．
17．已知△ABC的三个顶点是A（1，2），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣2）．求：
（1）边AC上的中线BD所在直线方程；
（2）边AC上的高BE所在直线方程．
【答案】（1）x﹣4y﹣2＝0；
（2）x﹣2y＝0．
【解答】解：（1）由题知AC的中点D（2，0），所以直线BD的斜率，
则边AC上的中线BD所在直线的方程为，化简得x﹣4y﹣2＝0．
（2）由题意得直线AC的斜率，且kBE kAC＝﹣1，所以．
则边AC上的高BE所在直线的方程为，化简得x﹣2y＝0．
18．已知⊙A关于直线y＝x对称，点O（0，0），N（4，0）都在⊙A上．
（1）求线段ON垂直平分线的方程；
（2）求⊙A的标准方程．
【答案】（1）x＝2；
（2）（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8．
【解答】解：（1）因为点O（0，0），N（4，0），
所以线段ON的中点为E（2，0）
因为直线ON的斜率为k＝0，所以ON垂直平分线的斜率不存在．
所以ON垂直平分线的方程为x＝2；
（2）因为直线ON与直线y＝x的交点为圆心，
由，解得，
故圆心A（2，2）．
又因为r＝|OA|＝2．
所以⊙A的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8．
19．在△ABC中，A（5，﹣2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上．
（1）求AB边上的高CH所在直线方程；
（2）设过点C的直线为l，且点A与点B到直线l距离相等，求l的方程．
【答案】（1）x+3y+17＝0；
（2）3x﹣y+11＝0或5x﹣11y﹣19＝0．
【解答】解：（1）设C（x0，y0），则x0+5＝0，y0+4＝0，
∴C（﹣5，﹣4），
由，得，，即x+3y+17＝0；
（2）当斜率不存在时，l：x＝﹣5，不满足题意；
当斜率存在时，设l：y+4＝k（x+5），即kx﹣y+5k﹣4＝0，
依题意得：，
有10k﹣2＝12k﹣8或10k﹣2＝8﹣12k，
解得k＝3或 ，
直线l的方程为：y+4＝3（x+5）或 ，
即：3x﹣y+11＝0或5x﹣11y﹣19＝0．
20．如图，已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，﹣2），C（﹣2，3），求：
（1）直线AB的方程；
（2）AB边上的高所在直线的方程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由已知直线AB的斜率kAB3，
∴直线AB的方程为y＝3x﹣2，即3x﹣y﹣2＝0，
（2）设AB边上的高所在的直线方程为yx+m，由直线过点C（﹣2，3），
∴3m，解得m，
故所求直线为yx，
即x+3y﹣7＝0
21．在△ABC中，边AB所在的直线方程为x+3y＝2，其中顶点A的纵坐标为1，顶点C的坐标为（1，2）．
（1）求AB边上的高所在的直线方程；
（2）若CA，CB的中点分别为E，F，求直线EF的方程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵kAB，所以AB边上的高所在直线的斜率为3，
由点斜式得y﹣2＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣1＝0
（2）易得A（﹣1，1），E（0，），
根据中位线定理可得kEF，
由点斜式可得直线EF的方程为y（x﹣0），
即直线EF的方程为：2x+6y﹣9＝0
▉题型3 两条直线的交点坐标
【知识点的认识】
﹣直线方程：在平面直角坐标系中，两条直线的方程通常为：
l1：a1x+b1y+c1＝0
l2：a2x+b2y+c2＝0
﹣交点的计算：两条直线的交点是同时满足这两个方程的点，可以通过解这个二元一次方程组来找到交点的坐标．
22．已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：2x﹣3y﹣1＝0交于点P．
（1）求直线l1和l2交点P的坐标；
（2）若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程．
【答案】（1）P（2，1）；（2）x﹣y﹣1＝0或x﹣2y＝0．
【解答】解：（1）由于两直线相交于点P，所以，解得，
∴点P（2，1）
（2）直线l的斜率显然存在且不为0，设直线l为y﹣1＝k（x﹣2）
令x＝0，得y＝1﹣2k，令y＝0，得；所以
∴2k2﹣3k+1＝0，∴k＝1，或
故直线l的方程为x﹣y﹣1＝0或x﹣2y＝0．
▉题型4 过两条直线交点的直线系方程
【知识点的认识】
﹣直线方程：给定两条直线l1和l2的交点P（x0，y0），可以用直线的一般方程表示：
a（x﹣x0）+b（y﹣y0）＝0
﹣直线系方程：通过交点和斜率来确定直线方程，通常会使用斜截式或点斜式．
﹣已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），过两条直线交点的直线系方程为：
λ（A1x+B1y+C1）+μ（A2x+B2y+C2）＝0，其中λ、μ不同时为0．
23．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是（　　）
A．（ 5，2 ） B．（ 2，3 ） C．（ 5，9 ） D．（，3 ）
【答案】B
【解答】解：直线方程可整理为（2x﹣y﹣1）k+（﹣x﹣3y+11）＝0，
∴直线恒过2x﹣y﹣1＝0和﹣x﹣3y+11＝0的交点，
联立方程可得，解得，
∴直线恒过定点（2，3），
故选：B．
▉题型5 恒过定点的直线
【知识点的认识】
﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
其中a和b是直线的方向向量分量．
24．已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C．k≤﹣4或 D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，
即 k，或 k4，
∴k，或k≤﹣4，
故选：C．
（多选）25．设直线l1：2x+ay＝2+2a，则（　　）
A．直线l1在y轴上的截距为1+a
B．直线l1与直线l2：ax+2y＝1一定垂直
C．直线l1过定点（1，2）
D．当点O（0，0）在直线l1的右下方时，a＜﹣1
【答案】CD
【解答】解：因为直线l1：2x+ay＝2+2a可化为：a（y﹣2）+（2x﹣2）＝0，
所以直线l1过定点（1，2），所以C选项正确；
对直线l1：2x+ay＝2+2a，当a＝0时，可化为：x＝1，此时直线l1与y轴无交点，所以A选项错误；
因为直线l1：2x+ay＝2+2a可化为：2x+ay﹣2a﹣2＝0，又直线l2：ax+2y＝1，
而2a+2a＝0，只有在a＝0时成立，
所以仅当a＝0时，直线l1与直线l2垂直，所以B选项错误；
因为直线l1：2x+ay＝2+2a可化为：2x+ay﹣2a﹣2＝0，
又当点O（0，0）在直线l1的右下方时，所以a（﹣2a﹣2）＜0，且，
解得a＜﹣1，所以D选项正确．
故选：CD．
（多选）26．已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列说法正确的是（　　）
A．l2始终过定点
B．若l1⊥l2，则a＝0或2
C．当a＝﹣3时，l1与l2的距离为
D．若l1不经过第三象限，则a＞0
【答案】ABC
【解答】解：对于选项A，由ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0得a（x﹣2y）+3y﹣1＝0，
由得，直线l2始终过定点，故选项A正确；
对于选项B，由l1⊥l2得a﹣（2a﹣3）a＝0，解得a＝0或2，故选项B正确；
对于选项C，由直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，
可得当a＝﹣3时，l1：x﹣3y+3＝0，即3x﹣9y+9＝0，l2：3x﹣9y+1＝0，
l1与l2的距离为，故选项C正确；
对于选项D，当a＝0时，l1：x＝0，不经过第三象限，故选项D错误．
故选：ABC．
27．已知直线l：（2a+3）x﹣（a﹣1）y+3a+7＝0，a∈R．
（1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；
（2）在（1）的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线l′的方程．
【答案】（1）定点A的坐标为（﹣2，﹣1）；
（2）或．
【解答】解：（1）证明：直线l：（2a+3）x﹣（a﹣1）y+3a+7＝0可化为（2x﹣y+3）a+3x+y+7＝0，
则，解得，
∴直线l过定点，且定点A的坐标为（﹣2，﹣1）；
（2）∵直线l′过点（﹣2，﹣1），且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，
则当直线l′过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即x﹣2y＝0；
当直线l′的横纵截距均不为零时，设直线l′的方程为，
代入点（﹣2，﹣1），得，解得a＝﹣4，
此时直线l′的方程为，即x+2y+4＝0，
综上，直线l′的方程为x﹣2y＝0或x+2y+4＝0．
▉题型6 与直线关于点、直线对称的直线方程
【知识点的认识】
﹣对称直线：
﹣点对称：直线l关于点（x0，y0）的对称直线方程为：
﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程．
28．点（3，0）关于直线x﹣y+3＝0对称的点的坐标为（　　）
A．（3，6） B．（6，﹣3） C．（﹣6，3） D．（﹣3，6）
【答案】D
【解答】解：设所求对称点的坐标为（a，b），
则，
解得．
故选：D．
29．一条光线从点A（0，1）射出，经直线y＝x反射后与圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1相切，则反射光线所在直线的方程可以为 x＝1或15x﹣8y﹣15＝0　 ．（写出满足条件的一条直线方程即可）
【答案】x＝1或15x﹣8y﹣15＝0．
【解答】解：因为A（0，1）关于y＝x对称的点A′（1，0），
则反射光线经过点A′（1，0），
当反射光线的斜率不存在时，直线x＝1与圆C相切，符合题意；
当反射光线的斜率存在时，可设直线方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，
由直线与圆相切可得，1，
解得，k，此时直线方程为15x﹣8y﹣15＝0．
故答案为：x＝1或15x﹣8y﹣15＝0．
30．一条光线从点P（﹣1，2）射出，与x轴相交于点，经x轴反射，反射光线所在的直线为l．若曲线x2+y2﹣6x+10y+34﹣m2＝0上有且仅有两个点到直线l的距离为1，则实数m的取值范围是 　（﹣6，﹣4）∪（4，6）　 ．
【答案】（﹣6，﹣4）∪（4，6）．
【解答】解：根据题意可知，反射光线所在的直线l经过点P′（﹣1，﹣2），
设反射光线的所在直线的方程为y＝kx+b（k≠0），点（﹣1，﹣2），在直线方程上，
所以，解得，
所以反射光线的所在直线的方程为，即4x﹣3y﹣2＝0．
因为曲线x2+y2﹣6x+10y+34﹣m2＝0可化为（x﹣3）2+（y+5）2＝m2，
可得其圆心为M（3，﹣5），半径r＝|m|，
根据点到直线的距离公式可得点M（3，﹣5）到4x﹣3y﹣2＝0的距离．
因为圆（x﹣3）2+（y+5）2＝m2上有且仅有两个点到直线l的距离为1，
所以||m|﹣5|＜1 4＜|m|＜6 ﹣6＜m＜﹣4或4＜m＜6．
故答案为：（﹣6，﹣4）∪（4，6）．
▉题型7 两直线的夹角与到角问题
【知识点的认识】
﹣夹角：两条直线的夹角θ可以由斜率k1和k2计算：
﹣斜率k的计算方法是将直线方程Ax+By+C＝0转换为y＝kx+b的形式．
31．已知直线l：x﹣y+1＝0，点A（﹣a，0）、B（a，0）（a＞0），若直线l上存在点P满足∠APB＝90°，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】B
【解答】解：设点P（x，y），因为∠APB＝90°，则|PA|2+|PB|2＝|AB|2，
即（x+a）2+y2+（x﹣a）2+y2＝4a2，整理可得x2+y2＝a2，
所以，点P既在直线l上，又在圆x2+y2＝a2上，
所以，直线l与圆x2+y2＝a2有公共点，
因为a＞0，且圆x2+y2＝a2的圆心为原点，半径为a，所以，，
可得，故实数a的取值范围为．
故选：B．第1章第1.3节 两条直线的位置关系
题型1 直线的一般式方程与直线的平行关系 题型2 直线的一般式方程与直线的垂直关系
题型3 两条直线的交点坐标 题型4 过两条直线交点的直线系方程
题型5 恒过定点的直线 题型6 与直线关于点、直线对称的直线方程
题型7 两直线的夹角与到角问题
▉题型1 直线的一般式方程与直线的平行关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2 k1＝k2；（2）l1⊥l2 k1 k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2 A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交 A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2 ；l1与l2重合 ；l1与l2相交 ．
1．已知直线l1：5x+（a﹣3）y+10＝0，直线l2：（a+1）x+y+a＝0．若l1∥l2，则a＝（　　）
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．3
2．已知直线2x﹣3y﹣3＝0与直线ax+by﹣4＝0平行，则（　　）
A． B． C． D．
3．直线l1：ax+3y+2a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+（a+1）＝0平行，则“l1∥l2”是“a＝﹣2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要
4．已知直线mx+2y+m+2＝0与直线4x+（m+2）y+2m+4＝0平行，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．2或﹣4 D．﹣2或4
5．过点（1，﹣3）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（　　）
A．x﹣2y﹣5＝0 B．x﹣2y﹣7＝0 C．2x+y﹣5＝0 D．2x+y﹣7＝0
（多选）6．以下四个命题表述正确的是（　　）
A．直线l1：x+y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0的距离为
B．已知直线l过点P（2，4），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣6＝0
C．“直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣5＝0平行”是“m＝2”的必要不充分条件
D．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
7．判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否平行：
（1）l1的斜率为2，l2经过点A（1，2），B（4，8）；
（2）l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），l2平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），l2经过点R（﹣4，3），S（0，5）．
▉题型2 直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2 k1＝k2；（2）l1∥l2 k1 k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2 A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合 A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交 A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2 ；l1与l2重合 ；l1与l2相交 ．
8．直线ax+4y﹣2＝0与直线2x﹣5y+b＝0垂直，垂足为（1，c），则a+b+c＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
9．已知△ABC满足2lnsinB＝lnsinA+lnsinC，且两条直线方程分别为，，试判断两条直线位置关系是（　　）
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交且不垂直
10．“m＝﹣1”是“直线（2m﹣4）x+（m+1）y+2＝0与直线（m+1）x﹣my+3＝0垂直”的（　　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
（多选）11．已知直线，直线l2：ax﹣（a﹣2）y﹣3＝0，若l1⊥l2，则实数a可能的取值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
（多选）12．已知直线l1：（a+2）x+3y+3＝0与l：x﹣y﹣2＝0，则（　　）
A．若a＝1，则两直线垂直
B．若两直线平行，则a＝5
C．直线l1恒过定点（0，﹣1）
D．直线l2在两坐标轴上的截距相等
（多选）13．对于直线l1：ax+2y+3a＝0，l2：3x+（a﹣1）y+3﹣a＝0，则（　　）
A．l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝﹣2
B．当时，l1⊥l2
C．直线l2经过第二象限内的某定点
D．点P（1，3）到直线l1的距离的最大值为
（多选）14．对于直线l1：ax+2y+3a＝0，l2：3x+（a﹣1）y+3﹣a＝0．以下说法正确的有（　　）
A．l1∥l2的充要条件是a＝3
B．当a时，l1⊥l2
C．直线l1一定经过点M（3，0）
D．点P（1，3）到直线l1的距离的最大值为5
15．若直线l1：2x+my+1＝0与直线l2：m2x﹣y0垂直，则实数m的值为 　 ．
16．已知直线l1：ax+2y+6＝0和直线l2：x+y﹣1＝0．
（1）若l1⊥l2时，求a的值；
（2）当l1∥l2，求两直线l1，l2的距离．
17．已知△ABC的三个顶点是A（1，2），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣2）．求：
（1）边AC上的中线BD所在直线方程；
（2）边AC上的高BE所在直线方程．
18．已知⊙A关于直线y＝x对称，点O（0，0），N（4，0）都在⊙A上．
（1）求线段ON垂直平分线的方程；
（2）求⊙A的标准方程．
19．在△ABC中，A（5，﹣2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上．
（1）求AB边上的高CH所在直线方程；
（2）设过点C的直线为l，且点A与点B到直线l距离相等，求l的方程．
20．如图，已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，﹣2），C（﹣2，3），求：
（1）直线AB的方程；
（2）AB边上的高所在直线的方程．
21．在△ABC中，边AB所在的直线方程为x+3y＝2，其中顶点A的纵坐标为1，顶点C的坐标为（1，2）．
（1）求AB边上的高所在的直线方程；
（2）若CA，CB的中点分别为E，F，求直线EF的方程．
▉题型3 两条直线的交点坐标
【知识点的认识】
﹣直线方程：在平面直角坐标系中，两条直线的方程通常为：
l1：a1x+b1y+c1＝0
l2：a2x+b2y+c2＝0
﹣交点的计算：两条直线的交点是同时满足这两个方程的点，可以通过解这个二元一次方程组来找到交点的坐标．
22．已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：2x﹣3y﹣1＝0交于点P．
（1）求直线l1和l2交点P的坐标；
（2）若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程．
▉题型4 过两条直线交点的直线系方程
【知识点的认识】
﹣直线方程：给定两条直线l1和l2的交点P（x0，y0），可以用直线的一般方程表示：
a（x﹣x0）+b（y﹣y0）＝0
﹣直线系方程：通过交点和斜率来确定直线方程，通常会使用斜截式或点斜式．
﹣已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），过两条直线交点的直线系方程为：
λ（A1x+B1y+C1）+μ（A2x+B2y+C2）＝0，其中λ、μ不同时为0．
23．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是（　　）
A．（ 5，2 ） B．（ 2，3 ） C．（ 5，9 ） D．（，3 ）
▉题型5 恒过定点的直线
【知识点的认识】
﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
其中a和b是直线的方向向量分量．
24．已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C．k≤﹣4或 D．以上都不对
（多选）25．设直线l1：2x+ay＝2+2a，则（　　）
A．直线l1在y轴上的截距为1+a
B．直线l1与直线l2：ax+2y＝1一定垂直
C．直线l1过定点（1，2）
D．当点O（0，0）在直线l1的右下方时，a＜﹣1
（多选）26．已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列说法正确的是（　　）
A．l2始终过定点
B．若l1⊥l2，则a＝0或2
C．当a＝﹣3时，l1与l2的距离为
D．若l1不经过第三象限，则a＞0
27．已知直线l：（2a+3）x﹣（a﹣1）y+3a+7＝0，a∈R．
（1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；
（2）在（1）的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线l′的方程．
▉题型6 与直线关于点、直线对称的直线方程
【知识点的认识】
﹣对称直线：
﹣点对称：直线l关于点（x0，y0）的对称直线方程为：
﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程．
28．点（3，0）关于直线x﹣y+3＝0对称的点的坐标为（　　）
A．（3，6） B．（6，﹣3） C．（﹣6，3） D．（﹣3，6）
29．一条光线从点A（0，1）射出，经直线y＝x反射后与圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可）
30．一条光线从点P（﹣1，2）射出，与x轴相交于点，经x轴反射，反射光线所在的直线为l．若曲线x2+y2﹣6x+10y+34﹣m2＝0上有且仅有两个点到直线l的距离为1，则实数m的取值范围是 　 　 ．
▉题型7 两直线的夹角与到角问题
【知识点的认识】
﹣夹角：两条直线的夹角θ可以由斜率k1和k2计算：
﹣斜率k的计算方法是将直线方程Ax+By+C＝0转换为y＝kx+b的形式．
31．已知直线l：x﹣y+1＝0，点A（﹣a，0）、B（a，0）（a＞0），若直线l上存在点P满足∠APB＝90°，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C．（1，+∞） D．[1，+∞）

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