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第1章第1.4节 点到直线的距离
题型1 点到直线的距离公式 题型2 两条平行直线间的距离
▉题型1 点到直线的距离公式
【知识点的认识】
﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：
1．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．点（1，2）到直线y＝x﹣2的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．已知直线l1：kx﹣y+1与直线l2：x+ky相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线l：x﹣y+b＝0的距离为1，则b＝（　　）
A．±1 B． C． D．±2
4．已知A（﹣2，0），B（2，0），点P满足|PA|2+|PB|2＝16，直线l：（m+1）x﹣y+1﹣3m＝0（m∈R），当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知圆C经过点M（1，2），N（3，0），则点P（2，﹣1）到圆心C的距离的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．1
6．已知a＞0，直线l1：x+ay＝2a+4与y轴的交点为A，l2：2x+ay＝2a+8与x轴的交点为B，l1与l2的交点为C．当四边形OACB的面积取最小值时，点B到直线l1的距离是（　　）
A． B． C． D．
（多选）7．已知点A（0，0），B（1，﹣1），直线l：mx﹣y+2＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．当m＝﹣3时，点A，B到直线l距离相等
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l在x轴上的截距为﹣2
D．当m＝﹣1时，直线l与直线AB平行
8．如图，矩形OABC中，|OA|＝3，|OC|＝2．M，N分别为线段OA，AB上的动点，且满足．点C关于原点的对称点为C′，直线C′M与CN交于点P，则点P到直线x+2y﹣10＝0的最小距离为 　 ．
9．在△ABC中，B（1，4），C（6，3），∠BAC的平分线所在的直线方程为x﹣y+1＝0，则△ABC的面积为 　 　 ．
▉题型2 两条平行直线间的距离
【知识点的认识】
﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为：
直线Ax+By+C1＝0与
直线Ax+By+C2＝0
它们之间的距离为：
10．已知两直线l1：x﹣y+6＝0与l2：﹣3x+3y﹣2＝0，则l1与l2间的距离为（　　）
A． B． C． D．
11．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+6＝0间的距离为d，则a，d的值分别为（　　）
A． B．a＝6，
C．a＝﹣6， D．
12．若平面内两条平行线l1：x+（a﹣1）y+2＝0，l2：ax+2y+1＝0间的距离为，则实数a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣2或1 C．﹣1 D．﹣1或2
13．已知直线l1：x+2y+a＝0，l2：2x+4y+1＝0相互平行，且l1，l2间的距离为，则a的值为（　　）
A． B．6 C．或 D．6或﹣4
（多选）14．下列结论正确的是（　　）
A．直线5x﹣4y+1＝0的倾斜角大于45°
B．直线（2+m）x+4y﹣2+m＝0（m∈R）过定点（﹣1，1）
C．直线x+y﹣1＝0与直线2x+2y+1＝0之间的距离是
D．与点A（﹣1，2）距离为1，且与点B（3，﹣1）距离为4的直线共有4条
（多选）15．下列说法正确的有（　　）
A．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为2
B．过点M（﹣3，2）且与直线x+2y﹣9＝0垂直的直线方程是2x﹣y+8＝0
C．两条平行直线与之间的距离为
D．经过点（﹣1，2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y＝1
16．经过直线x+y﹣5﹣0和2x﹣3y＝0的交点且与直线4x+y﹣2＝0平行的直线方程为　 ．
17．已知直线l：x+2y＝0与直线m：ax+4y+a＝0平行，则l与m之间的距离为 　 ．第1章第1.4节 点到直线的距离
题型1 点到直线的距离公式 题型2 两条平行直线间的距离
▉题型1 点到直线的距离公式
【知识点的认识】
﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：
1．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：由题意d，
∴当sin（θ﹣α）＝﹣1时，
dmax＝13．
∴d的最大值为3．
另解：由点P（cosθ，sinθ），可得P为单位圆O上一点，
直线x﹣my﹣2＝0为恒过定点Q（2，0）的直线，
而dmax＝1+|OQ|max，
由|OQ|max＝2，
即有dmax＝1+2＝3．
故选：C．
2．点（1，2）到直线y＝x﹣2的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：点（1，2）到直线y＝x﹣2的距离d．
故选：B．
3．已知直线l1：kx﹣y+1与直线l2：x+ky相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线l：x﹣y+b＝0的距离为1，则b＝（　　）
A．±1 B． C． D．±2
【答案】B
【解答】解：直线l1：kx﹣y+1，即，直线l1恒过点（，1），直线l1的斜率为k，
直线l2：x+ky，即，直线l2恒过点（，﹣1），直线l2的斜率为，
，
则直线l1与直线l2垂直，
故点M的轨迹是以（0，0）为圆心，半径r的圆，
恰有3个不同的点M到直线l：x﹣y+b＝0的距离为1，
则直线到圆心距离为1，
故，解得b．
故选：B．
4．已知A（﹣2，0），B（2，0），点P满足|PA|2+|PB|2＝16，直线l：（m+1）x﹣y+1﹣3m＝0（m∈R），当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），则|PA|2+|PB|2＝（x+2）2+y2+（x﹣2）2+y2＝2x2+2y2+8，∵|PA|2+|PB|2＝16，∴2x2+2y2+8＝16，化简得x2+y2＝4，
即点P的轨迹方程为x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径为2，l：（m+1）x﹣y+1﹣3m＝0（m∈R），化简为m（x﹣3）+x﹣y+1＝0，
由，解得，即直线l恒过定点（3，4），
设定点为M（3，4），如图，当OM⊥l时，此时点P到直线l的距离最大，∴kOM kl＝﹣1，，kl＝m+1，∴，．
故选：C．
5．已知圆C经过点M（1，2），N（3，0），则点P（2，﹣1）到圆心C的距离的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：设C（x，y），依题意，|CM|＝|CN|，则，
整理得x﹣y﹣1＝0，点P（2，﹣1）到x﹣y﹣1＝0的距离，
所以点P（2，﹣1）到圆心C的距离的最小值．
故选：C．
6．已知a＞0，直线l1：x+ay＝2a+4与y轴的交点为A，l2：2x+ay＝2a+8与x轴的交点为B，l1与l2的交点为C．当四边形OACB的面积取最小值时，点B到直线l1的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，
直线l1：x﹣4＝﹣a（y﹣2），l2：2（x﹣4）＝﹣a（y﹣2）都过点（4，2），
即点C的坐标是（4，2）．
在x+ay＝2a+4中，令x＝0，得，所以，
同理可得B（4+a，0），
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，四边形OACB的面积取最小值．
此时，点B的坐标为，直线l1的方程是，
点B到直线l1的距离是．
故选：B．
（多选）7．已知点A（0，0），B（1，﹣1），直线l：mx﹣y+2＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．当m＝﹣3时，点A，B到直线l距离相等
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l在x轴上的截距为﹣2
D．当m＝﹣1时，直线l与直线AB平行
【答案】CD
【解答】解：对于A，当m＝﹣3时，直线l为﹣3x﹣y+2＝0，
此时点A到l的距离为，点B到直线l的距离为，不相等，故A不正确；
对于B，m＝0时，直线l为y＝2，直线的斜率存在且为0，故B不正确；
对于C，m＝1时，直线l为x﹣y+2＝0，取y＝0，得x＝﹣2，即直线l在x轴上的截距为﹣2，故C正确；
对于D：m＝﹣1时，直线l为﹣x﹣y+2＝0，其斜率k＝﹣1，不过A点，
而，AB斜率与直线l的斜率相等，所以直线l与直线AB平行，故D正确．
故选：CD．
8．如图，矩形OABC中，|OA|＝3，|OC|＝2．M，N分别为线段OA，AB上的动点，且满足．点C关于原点的对称点为C′，直线C′M与CN交于点P，则点P到直线x+2y﹣10＝0的最小距离为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由图可知：C（0，2），C′（0，﹣2），M（3t，0），N（3，2﹣2t）．
当t＝0时，则交点为C；当t＝1时，则交点为A．
当0＜t＜1时，则，
于是可得，，
联立上式可得点P的轨迹方程为．
又点A，C满足方程，故点P的轨迹方程为．
法一：设，则，
当sin（θ+φ）＝1时，距离最小，最小为．
法二：点P的轨迹方程为：，与x+2y﹣10＝0无公共点．
设直线m平行于直线x+2y﹣10＝0，则直线m的方程可以写为x+2y﹣n＝0，
由方程组，消去x，得25y2﹣16ny+4n2﹣36＝0．
令其根的判别式Δ＝0，得n＝±5．
由图知，当n＝5时，直线x+2y﹣5＝0与的公共点到直线x+2y﹣10＝0的距离最小，
即两平行直线x+2y﹣5＝0和x+2y﹣10＝0之间的距离，
所以最小距离为．
故答案为：．
9．在△ABC中，B（1，4），C（6，3），∠BAC的平分线所在的直线方程为x﹣y+1＝0，则△ABC的面积为 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：∵B（1，4），C（6，3），
∴，
∴直线BC的方程为y﹣4，即x+5y﹣21＝0，
设直线BC与直线x﹣y+1＝0的交点为D（x，y），
，解得D（），
∵∠BAC的平分线所在的直线方程为x﹣y+1＝0，
∴可设A（a，a+1），，
直线AB，AC的方程分别为y﹣4，y﹣3，
即（a﹣3）x﹣（a﹣1）y+3a﹣1＝0，即（a﹣2）x﹣（a﹣6）y﹣3a﹣6＝0，
由题意可知，点D到直线AB，AC的距离相等，
则，
化简整理可得，，解得a＝0或a（舍去），故A（0，1），
∴A（0，1）到直线BC的距离为，
又∵|BC|，
∴△ABC的面积为．
故答案为：8．
▉题型2 两条平行直线间的距离
【知识点的认识】
﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为：
直线Ax+By+C1＝0与
直线Ax+By+C2＝0
它们之间的距离为：
10．已知两直线l1：x﹣y+6＝0与l2：﹣3x+3y﹣2＝0，则l1与l2间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：直线l1：x﹣y+6＝0可变形为﹣3x+3y﹣18＝0，
又直线l2：﹣3x+3y﹣2＝0，
所以两条直线平行，
则l1与l2间的距离为．
故选：B．
11．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+6＝0间的距离为d，则a，d的值分别为（　　）
A． B．a＝6，
C．a＝﹣6， D．
【答案】B
【解答】解：直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+6＝0平行，
则2×（﹣3）＝﹣a，解得a＝6，
经检验，当a＝6时，两直线不重合，
ax﹣3y+6＝0，即2x﹣y+2＝0
2x﹣y+3＝0和2x﹣y+2＝0的距离为：．
故选：B．
12．若平面内两条平行线l1：x+（a﹣1）y+2＝0，l2：ax+2y+1＝0间的距离为，则实数a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣2或1 C．﹣1 D．﹣1或2
【答案】C
【解答】解：∵平面内两条平行线l1：x+（a﹣1）y+2＝0，l2：ax+2y+1＝0，
∴，∴a＝2或 a＝﹣1．
当a＝2时，两条平行直线即 l1：2x+2y+4＝0，l2：2x+2y+1＝0，
它们之间的距离为，不满足条件．
当a＝﹣1时，两条平行直线即 l1：x﹣2y+2＝0，l2：﹣x+2y+1＝0，即x﹣2y﹣1＝0，
它们之间的距离为，满足条件，
故实数a＝﹣1，
故选：C．
13．已知直线l1：x+2y+a＝0，l2：2x+4y+1＝0相互平行，且l1，l2间的距离为，则a的值为（　　）
A． B．6 C．或 D．6或﹣4
【答案】C
【解答】解：∵直线l1：x+2y+a＝0即2x+4y+2a＝0，l2：2x+4y+1＝0相互平行，
∴l1，l2间的距离为：，
∴a或，
故选：C．
（多选）14．下列结论正确的是（　　）
A．直线5x﹣4y+1＝0的倾斜角大于45°
B．直线（2+m）x+4y﹣2+m＝0（m∈R）过定点（﹣1，1）
C．直线x+y﹣1＝0与直线2x+2y+1＝0之间的距离是
D．与点A（﹣1，2）距离为1，且与点B（3，﹣1）距离为4的直线共有4条
【答案】AB
【解答】解：因为直线 5x﹣4y+1＝0的斜率为 ，所以该直线的倾斜角大于45°，故A正确；
将直线（2+m）x+4y﹣2+m＝0 整理成（x+1）m+2x+4y﹣2＝0，由，解得x＝﹣1，y＝1，所以该直线过定点 （﹣1，1），故B正确；
将直线x+y﹣1＝0 化为2x+2y﹣2﹣0，所以两直线间的距离，故C错误；
记以A（﹣1，2）为圆心，1为半径的圆为 O1，以B（3，﹣1）为圆心，4为半径的圆为O2，因为两圆的圆心距 ，且两圆的半径之和r1+r2＝5，
所以d＝r1+r2，所以两圆外切，所以两圆有三条公切线，这三条公切线满足与点A（﹣1，2）的距离为1，且与点B（3，﹣1）的距离为4，故D错误．
故选：AB．
（多选）15．下列说法正确的有（　　）
A．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为2
B．过点M（﹣3，2）且与直线x+2y﹣9＝0垂直的直线方程是2x﹣y+8＝0
C．两条平行直线与之间的距离为
D．经过点（﹣1，2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y＝1
【答案】BC
【解答】解：因为y＝3x﹣2，令x＝0，得到y＝﹣2，所以直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2，故选项A错误；
因为直线x+2y﹣9＝0的斜率为，
所以过点M（﹣3，2）且与直线x+2y﹣9＝0垂直的直线方程是y﹣2＝2（x+3），即2x﹣y+8＝0，故选项B正确；
由得到，所以两平行线间的距离，故选项C正确；
当两坐标轴上截距均为0时，直线方程为y＝﹣2x，所以选项D错误．
故选：BC．
16．经过直线x+y﹣5﹣0和2x﹣3y＝0的交点且与直线4x+y﹣2＝0平行的直线方程为　4x+y﹣14＝0　 ．
【答案】4x+y﹣14＝0
【解答】解：由 求得，则直线x+y﹣5﹣0和2x﹣3y＝0的交点为（3，2），
设经过直线x+y﹣5﹣0和2x﹣3y＝0的交点且与直线4x+y﹣2＝0平行的直线方程为4x+y+c＝0，把点（3，2）代入求得c＝﹣14，
故设经过直线x+y﹣5﹣0和2x﹣3y＝0的交点且与直线4x+y﹣2＝0平行的直线方程为4x+y﹣14＝0，
故答案为：4x+y﹣14＝0．
17．已知直线l：x+2y＝0与直线m：ax+4y+a＝0平行，则l与m之间的距离为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：若直线l：x+2y＝0与直线m：ax+4y+a＝0平行，
则且a≠0，解得a＝2，直线m方程为2x+4y+2＝0，即x+2y+1＝0，
因此，直线l与m之间的距离d．
故答案为：．

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