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第2章第2.1节 圆
题型1 圆的标准方程 题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程
题型3 圆的一般方程 题型4 根据圆的几何属性求圆的一般式方程
题型5 圆的一般式方程与标准方程的互化 题型6 二元二次方程表示圆的条件
题型7 点与圆的位置关系 题型8 关于点、直线对称的圆的方程
题型9 过圆外一点的圆的切线方程 题型10 直线与圆相交的性质
题型11 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 题型12 直线与圆的位置关系
题型13 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 题型14 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数
题型15 圆与圆的位置关系及其判定 题型16 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系
题型17 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 题型18 相交弦所在直线的方程
题型19 直线和圆的方程的应用 题型20 圆方程的综合应用
题型21 曲线与方程
▉题型1 圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
1．已知O为原点，点A（2，﹣2），以OA为直径的圆的方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝8
C．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝8
【答案】A
【解答】解：O为原点，点A（2，﹣2），
则，OA的中点坐标为（1，﹣1），
故以OA为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝2．
故选：A．
2．圆（x﹣1）2+y2＝3的圆心坐标和半径分别是（　　）
A．（﹣1，0），3 B．（1，0），3 C． D．
【答案】D
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝3的圆心坐标是（1，0），半径是，
故选：D．
3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
【答案】A
【解答】解：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离dr＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A．
4．过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y﹣1＝0相切于点B（2，1），则圆C的方程为 　（x﹣3）2+y2＝2　 ．
【答案】（x﹣3）2+y2＝2
【解答】解：∵直线x﹣y﹣1＝0的斜率为1，
∴过点B直径所在直线方程斜率为﹣1，
∵B（2，1），
∴此直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即x+y﹣3＝0，
设圆心C坐标为（a，3﹣a），
∵|AC|＝|BC|，即，
解得：a＝3，
∴圆心C坐标为（3，0），半径为，
则圆C方程为（x﹣3）2+y2＝2．
故答案为：（x﹣3）2+y2＝2．
5．已知圆C过B（2，6），A（﹣2，2）两点，且圆心C在直线3x+y＝0上．
（1）求圆C的方程．
（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，依题意有
，
解得，
故所求圆的方程为x2+y2+4x﹣12y+24＝0．
（2）如图所示，|AB|＝4，设D是线段AB的中点，
则 CD⊥AB，
∴|AD|＝2，|AC|＝4．
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2．
当直线l的斜率不存在时，满足题意，
此时方程为x＝0．
当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y﹣5＝kx，
即kx﹣y+5＝0．由点C到直线AB的距离公式：
，解得k，此时直线l的方程为
3x﹣4y+20＝0．
∴所求直线l的方程为x＝0或3x﹣4y+20＝0．
6．如图，在直角△ABC中，，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．AC边的中线BD所在直线方程为x+7y+2＝0；AB边的中线CE所在直线方程为13x+16y+1＝0．
（1）若A点坐标为（1，﹣4），求△ABC外接圆的方程；
（2）若，求△ABC的面积S．
【答案】（1）；
（2）100．
【解答】解：（1）因为点B在直线x+7y+2＝0上，
所以设B（﹣7y0﹣2，y0），
因为A点坐标为（1，﹣4），E为AB中点，
所以E，
因为E在直线13x+16y+1＝0上，
所以，
解得y0＝﹣1，
所以B（5，﹣1），
设D（x1，y1），则C（2x1﹣1，2y1+4），
所以，
解得，
所以C（﹣5，4），
因为A，
所以线段BC为三角形ABC外接圆直径，
BC的中点，半径，
所以△ABC外接圆方程为；
（2）设CE与BD相交于点G，则联立方程：，
解得，
所以G，G为△ABC的重心，
则有，
所以S△MAC＝3S△GBC，
因为，
所以，
因为A，
所以，
故，
因为，
所以，
所以，
设直线x+7y+2＝0的斜率为，
直线 13x+16y+1＝0的斜率为k2，
则由到角公式得，
因为G在圆的内部，
所以∠BGC为钝角，
则，
所以，
解得，
所以，
所以S△ABC＝3SΔGBC＝100．
▉题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
7．如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米．现将其截面图放置在直角坐标系xOy中，以地面所在的直线为x轴，过圆心的竖直直线为y轴，则门的轮廓所在圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设该圆的半径为r，如图，
由该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米知：|OD|＝4﹣r，|BD|＝r，|OB|＝2，
由勾股定理得：|BD|2＝|OD|2+|OB|2，即r2＝（4﹣r）2+4，解得：，
∴，即圆的圆心为，则圆的方程为．
故选：A．
8．过A（0，0），B（0，8），C（6，0）三点的圆的标准方程为 　（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25　 ．
【答案】（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
圆经过A（0，0），B（0，8），C（6，0），
则，解得，
故圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y＝0，
故圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25．
故答案为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25．
9．已知直线l1：2x﹣y﹣1＝0，直线l2：3x﹣y﹣2＝0，l1与l2交于点A，点B（2，﹣2）．
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）求过A，B两点，且圆心在直线l：x﹣y+1＝0上的圆的标准方程．
【答案】（1）；
（2）（x+3）2+（y+2）2＝25．
【解答】解：直线l1：2x﹣y﹣1＝0，直线l2：3x﹣y﹣2＝0，l1与l2交于点A，点B（2，﹣2）．
（1），故A（1，1），
因为B（2，﹣2），所以AB中点坐标为且．
所以AB的垂直平分线方程为，即．
（2），故圆心坐标为（﹣3，﹣2），半径为．
所以圆的标准方程为（x+3）2+（y+2）2＝25．
▉题型3 圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（，），半径r．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
（多选）10．已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2＝0，则下列结论中正确的是（　　）
A．实数k的取值范围是
B．实数k的取值范围是
C．当圆的周长最大时，圆心坐标是（0，﹣1）
D．圆的最大面积是π
【答案】ACD
【解答】解：将圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2＝0化为标准式为，
由，解得，故A正确，B错误；
当k＝0时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大，
此时半径为1，圆心坐标为（0，﹣1），则圆的面积为π 12＝π，故CD正确．
故选：ACD．
11．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+4m＝0．
（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；
（2）当m＝1时，曲线C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，求|MN|的值．
【答案】（1）m；（2）．
【解答】解：（1）方程C可化为 （x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣4m，
显然，时，方程C表示圆．
（2）圆C的圆心（1，2），圆心到直线l：x+2y﹣4＝0的距离为，
∵圆C的半径r＝1，
又 ，．
▉题型4 根据圆的几何属性求圆的一般式方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（，），半径r．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
12．以直线l：x+（m+2）y﹣3﹣m＝0恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（　　）
A．x2+y2﹣2x﹣2y＝2 B．x2+y2﹣2x﹣2y＝1
C．x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0 D．x2+y2﹣2x﹣2y＝0
【答案】D
【解答】解：由x+（m+2）y﹣3﹣m＝0，得x+2y﹣3+（y﹣1）m＝0，
令y﹣1＝0，则y＝1，x＝1，
所以直线l恒过定点（1，1），
则圆的方程为，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0．
故选：D．
▉题型5 圆的一般式方程与标准方程的互化
【知识点的认识】
﹣互化过程：从一般式方程到标准方程需要配方，将一般式方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0
转换为标准方程：
（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2
13．已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．
（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；
（2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且，求C的值．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y+2）2＝15，圆心坐标M（1，﹣2），半径为；
（2）C＝15或﹣5．
【解答】解：（1）由x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0，得x2﹣2x+1+y2+4y+4＝15，
则圆M的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝15，
圆M的圆心坐标M（1，﹣2），半径为；
（2）由，得圆心M到直线x+3y+C＝0的距离为，
则圆心M到直线x+3y+C＝0的距离，得C＝15或﹣5．
▉题型6 二元二次方程表示圆的条件
【知识点的认识】
1、圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．
2、圆的标准方程：
圆的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2＝r2．
3、圆的一般方程：
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（，），半径为的圆；
当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（，），；
当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形．
因此二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0．
注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件：
①A＝C≠0；
②B＝0；
③D2+E2﹣4F＞0．
14．若方程x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+a+1＝0表示圆，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，﹣1） D．[﹣1，+∞）
【答案】C
【解答】解：因为方程x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+a+1＝0可变形为（x﹣a）2+（y+a）2＝﹣a﹣1，
由题知﹣a﹣1＞0，得到a＜﹣1，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：C．
15．“m＞6”是“方程x2+y2﹣mx+4y+m+7＝0是圆的方程”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：若方程x2+y2﹣mx+4y+m+7＝0是圆的方程，
则m2﹣4m﹣12＞0，解得m＞6或m＜﹣2，
故“m＞6”是“方程x2+y2﹣mx+4y+m+7＝0是圆的方程”的充分不必要条件．
故选：A．
16．方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a﹣1＝0可化为（x+a）2+（y+a）2＝1﹣a，
方程表示圆，则需要满足1﹣a＞0，解得a＜1，
所以a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
▉题型7 点与圆的位置关系
【知识点的认识】
点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较．
①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；
②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；
③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．
17．已知P（m，n）是圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝8上的一个动点，则的取值范围为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意可作图如下：
表示点P到原点O的距离，由，
有，可得，
故的取值范围为．
故答案为：．
18．已知点A（﹣3，0），B（﹣1，﹣2），若圆（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，则r的取值范围是　（，）　 ．
【答案】（，）
【解答】解：由题意可得|AB|2，
根据△MAB和△NAB的面积均为4，
可得两点M，N到直线AB的距离为2；
由于AB的方程为，
即x+y+3＝0；
若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，
则有圆心（2，0）到直线AB的距离为r+2，解得r；
若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，
则有圆心（2，0）到直线AB的距离为r﹣2，解得r；
综上，r的取值范围是（，）．
故答案为：（，）．
▉题型8 关于点、直线对称的圆的方程
【知识点的认识】
（1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可．
（2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标．
19．已知圆，直线l过点A（1，﹣3）且与圆C1相切．
（1）求直线l的方程；
（2）设圆C2与圆C1关于直线l对称，求出圆C2的方程．
【答案】（1）x+2y+5＝0；
（2）（x﹣2）2+（y+1）2＝5．
【解答】解：（1）圆，
则圆心C1（0，﹣5），，
因为12+（﹣3+5）2＝5，
所以点A（1，﹣3）在圆C1上，即点A为切点，
因，故直线l的斜率为，
故直线l的方程为，即x+2y+5＝0．
（2）因为圆C2与圆C1关于直线l对称，
所以点A恰为C1C2的中点，
故得C2（2，﹣1），又圆C2的半径为，
故．
▉题型9 过圆外一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为：
20．过圆O：x2+y2＝1外的点P（3，2）作O的一条切线，切点为M，则|MP|＝（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解答】解：圆O：x2+y2＝1，
则圆心为O（0，0），半径r＝1，
．
故选：B．
▉题型10 直线与圆相交的性质
【知识点的认识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
21．直线l：3x﹣4y+m＝0（m＞0）与圆O：x2+y2＝16相交于A，B两点，当时m的值为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【解答】解：因为 4×4cos∠AOB＝﹣8，解得cos∠AOB，
结合∠AOB∈[0，π]，可得，
可得点O到直线l的距离d＝|OA|cos2，
即，结合m＞0，解得m＝10．
故选：A．
22．若直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：直线kx﹣y﹣2＝0化成y＝kx﹣2，可得它必定经过点（0，﹣2）
而曲线，可变形整理为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（x≥1）
∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x＝1右侧的部分
设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k1，直线过点（1，0）与圆有两个交点时的斜率为k2．
可得当直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足k1＜k≤k2．
由点（1，1）到直线kx﹣y﹣2＝0的距离d，解得k1
而k22，由此可得k≤2
故选：A．
▉题型11 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长
【知识点的认识】
﹣弦长公式：给定直线方程和圆的方程，可以计算直线截得圆的弦长．
23．以抛物线的焦点为圆心，且与C的准线相切的圆截直线y＝x所得弦长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：抛物线，即x2＝4y，抛物线的焦点为（0，1），准线为y＝﹣1，
因为圆是以抛物线的焦点为圆心，且与C的准线相切，
所以圆的圆心为（0，1），半径r＝2．
因为点（0，1）到直线y＝x的距离，
所以弦长．
故选：D．
24．已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．
（1）求m的取值范围；
（2）若直线x﹣y+1＝0与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
【答案】（1）（﹣∞，5）；
（2）m＝1．
【解答】解：（1）方程x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0为圆的方程，整理可得：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m，
可得5﹣m＞0，解得m＜5；
即m的范围为（﹣∞，5）；
（2）由（1）可知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m，则圆心C（2，1），半径，
圆心C到直线x﹣y+1＝0的距离，
故，即，即5﹣m﹣2＝2，
解得m＝1．
▉题型12 直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
25．2025蛇年央视春晚中，四川大凉山妞妞合唱团带来节目《玉盘》唱出了对月亮的呼唤，舞台的“月亮”元素惟妙惟肖，若将其中的一个“月亮”元素看作圆C，当动点P（m，n）在圆C上运动时，OP斜率的取值范围，则直线OC的斜率为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示：
，
∵的取值范围，
∴直线OP的倾斜角的取值范围是，
由题意可知，直线yx、yx为圆C的两条切线，
即直线x+y＝0，为圆C的两条切线，
由图可知，直线OC的斜率为负数，则，
设圆心C（a，b），则，
整理可得，
即，
可得，
∵，解得，
因此，圆心C一定在直线x上，
即直线OC的斜率为2．
故选：D．
26．直线l：x﹣my﹣1﹣3m＝0与曲线有两个交点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，直线l：x﹣my﹣1﹣3m＝0经过定点P（1，﹣3），
曲线，即（x﹣2）2+y2＝1（x≥2），
对应的曲线是以M（2，0）为圆心，半径为1的圆的右半圆，曲线C的下端点为N（2，﹣1）．
要使直线l与曲线C有两个交点，则直线l应位于直线PN和切线PQ之间（可以与PN重合），
此时直线l的斜率存在，且kPQ＜kl≤kPN，其中kl是直线l的斜率，kl，
即kPN0，且圆心M（2，0）到直线l的距离小于半径．
由，解得，
根据，解得，所以，m的取值范围是[，）．
故选：B．
27．“点（a，b）在圆x2+y2＝1外”是“直线ax+by+2＝0与圆x2+y2＝1相交”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：①若点（a，b）在圆x2+y2＝1外，则a2+b2＞1，
∵圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线ax+by+2＝0的距离d，
∴d与半径1的大小无法确定，
∴不能得到直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交，∴充分性不成立，
②若直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交，
则圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线ax+by+1＝0的距离d1，
即a2+b2＞4，点（a，b）在圆x2+y2＝1外．
∴点（a，b）在圆x2+y2＝1外是直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交的必要不充分条件．
故选：B．
（多选）28．已知直线l：3x+2y+m＝0，圆，则下列说法正确的是（　　）
A．若或，则直线l与圆C相切
B．若m＝5，则圆C关于直线l对称
C．若圆与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则m＝2
D．若m＞5，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则
【答案】BD
【解答】解：圆的方程，化为标准方程，
可知圆的圆心，半径为2．
对于选项A，若直线l与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，则，
解得或，故A选项错误；
对于选项B，若圆C关于直线l对称，则直线通过圆心，则有，
解得m＝5，故B选项正确；
对于选项C，圆C与圆E的方程作差得，即，
则，解得m＝﹣2，
经检验此时圆，
满足，
则m＝﹣2，故C选项错误；
对于选项D，若圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则圆心到直线l的距离d∈（r﹣1，r+1），即d∈（1，3），
即，且m＞5，解得，故D选项正确．
故选：BD．
（多选）29．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，直线l：kx﹣y+1＝0与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，P（0，3），O为坐标原点，则（　　）
A．弦|AB|有最小值为
B．|OM|有最小值为
C．△OCM面积的最大值为
D． 的最大值为9
【答案】BCD
【解答】解：由题意知，圆心C（2，1），半径r＝3，直线恒过定点P（0，1），
当CP与直线l垂直时，|AB|取得最小值，但此时CP的斜率为0，则直线l的斜率不存在，不符合题意，故A错误；
因为M为弦AB的中点，所以CM⊥AB，
所以点M的轨迹是以CP为直径的圆，
故点M的轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
所以|OM|的最小值为，故B正确；
当M到直线OC的距离最大时，△COM的面积最大．
由CM⊥AB，可得M在以PC为直径的圆上，圆心为（1，1），半径为1，
则△OCM的面积的最大值为（1），故C正确；
因为 ，
当与同向时，取得最大值，最大值为，故D正确．
故选：BCD．
（多选）30．以下四个命题表述正确的是（　　）
A．直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣3（m∈R）恒过定点（5，﹣2）
B．圆x2+y2＝2上有且仅有2个点到直线x﹣y+1＝0的距离等于
C．曲线与恰有四条公切线
D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线上一动点，过点P向圆C引切线PA，其中A为切点，则|PA|的最小值为2
【答案】ACD
【解答】解：对于选项A：由（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣3（m∈R），
可得（﹣x﹣y+3）+m（x+2y﹣1）＝0，
联立，解得，即该直线恒过定点（5，﹣2）．故A正确；
对于选项B：由圆x2+y2＝2，可得圆心为（0，0），半径为，
所以（0，0）到直线x﹣y+1＝0的距离为，
故直线x﹣y+1＝0与圆x2+y2＝2相交，
故到直线距离为的有两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于．故选项B错误；
对于选项C：曲线可化为（x+1）2+y2＝1，
故曲线C1是圆心为C1（﹣1，0），半径为r1＝1的圆；
曲线可化为（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4，
故曲线C2是圆心为C2（2，4），半径为r2＝2的圆；
所以，
故曲线C1与曲线C2外离，此时公切线的条数有且只有4条．故选项C正确；
对于选项D：由圆C：x2+y2＝2，可得圆心为C（0，0），半径为，
所以，
要使|PA|最小，只需|PC|最小，
即只需C（0，0）到直线的距离，
所以．故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）31．已知A（x1y1），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝1上两点，则下列结论正确的是（　　）
A．若|AB|＝1，则∠AOB
B．若点O到直线AB的距离为，则
C．若∠AOB，则|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最小值为1
D．若∠AOB，则|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值为2
【答案】AD
【解答】解：因为A（x1y1），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝1上两点，
当|AB|＝1时，△AOB为正三角形，所以，A正确；
点O到直线AB的距离为时，，B错误；
的值可转化为单位圆上的A，B到直线x+y﹣1＝0的距离之和，
又，
所以△AOB为等腰三角形，设M是AB的中点，
则OM⊥AB，且，
则M在以点O为圆心，半径为的圆上，A，B两点到直线x+y﹣1＝0的距离之和为点M到直线x+y﹣1＝0的距离的2倍，
点O到直线x+y﹣1＝0的距离为，
所以点M到直线x+y﹣1＝0的距离的最大值为，
最小值为，则A，B两点到直线x+y﹣1＝0的距离之和最大值为，最小值为．
所以|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值为，最小值为，C错误，D正确；
故选：AD．
（多选）32．已知圆方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4与直线x+my﹣m﹣2＝0，下列选项正确的是（　　）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为
D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【解答】解：由题意，圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4的圆心C（1，1），半径r＝2，
直线x+my﹣m﹣2＝0变形可得x﹣2+m（y﹣1）＝0，
则直线恒过定点A（2，1），
∵，
∴点A在圆内，
∴直线与圆必相交，故A正确，BD错误，
由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，
弦长有最小值，
则弦长为，故C正确．
故选：AC．
33．已知圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x﹣y+1＝0．
（1）求判断直线x﹣y+1＝0与圆C的位置关系；
（2）求该圆过点M（1，4）的切线方程．
【答案】（1）直线x﹣y+1＝0与圆C相交．
（2）x＝1和5x﹣12y+43＝0．
【解答】解：（1）圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝4，圆心C（﹣1，1），半径R＝2．
圆心C到直线l的距离d，
∵，即d＜R，
∴直线x﹣y+1＝0与圆C相交．
（2）若切线没有斜率，则方程为x＝1．圆心C到直线x＝1的距离为d＝2＝r，满足条件；
若切线有斜率，设其值为k，切线方程为y﹣4＝k（x﹣1），即kx﹣y+4﹣k＝0．
2，
解得．
此时，切线方程为y﹣4（x﹣1），化为5x﹣12y+43＝0．
综上所述，该圆过点M（1，4）的切线方程x＝1和5x﹣12y+43＝0．
34．已知圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0）与x轴相切．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；
（Ⅱ）直线l：2x+y﹣2＝0与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
【答案】（Ⅰ）圆心坐标（0，﹣2），半径为2．
（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0），化为x2+（y+2）2＝a，圆C的圆心坐标（0，﹣2），半径为．圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0）与x轴相切．可得a＝4．半径为2．
（Ⅱ）圆的圆心到直线l：2x+y﹣2＝0的距离为：，
线段AB的长为：2．
35．已知直线l：4x+3y+10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a），
∵直线l：4x+3y+10＝0，半径为2的圆C与l相切，
∴d＝r，即 2，
解得：a＝0或a＝﹣5（舍去），
则圆C方程为x2+y2＝4；
（2）当直线AB⊥x轴，则x轴必平分∠ANB，
此时N可以为x轴上任一点，
当直线AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），（k≠0），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，经检验Δ＞0，
∴x1+x2，，
若x轴平分∠ANB，设N为（t，0）
则kAN＝﹣kBN，即0，
整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0，即2t＝0，
解得：t＝4，
当点N（4，0），能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
▉题型13 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
﹣位置关系：直线与圆的位置关系取决于直线到圆心的距离与圆半径的比较：
﹣相交：距离小于半径
﹣切线：距离等于半径
﹣外离：距离大于半径
36．若直线x+ky+1＝0与圆x2+（y﹣2）2＝1有公共点，则实数k的值不可能是（　　）
A．1 B．0 C． D．﹣1
【答案】A
【解答】解：由圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1，可得圆心坐标为（0，2），半径r＝1，
由题可得：圆心（0，2）到直线x+ky+1＝0的距离1，
解得：，
对于选项A，1＞0，不在范围内；
对于选项B，k＝0，在范围内；
对于选项C，，在范围内；
对于选项D，k＝﹣1，在范围内．
故选：A．
（多选）37．已知点A（3，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上运动，则（　　）
A．直线AB与圆C相离
B．△PAB的面积的最小值为2
C．圆C上存在点P使得∠APB＝90°
D．当∠PBA最小时，
【答案】ACD
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心坐标为C（3，4），半径r＝2，
A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为，即4x+3y﹣12＝0．
可得圆心C（3，4）到直线AB距离，所以直线AB与圆C相离，故A正确．
由A可知圆心C到直线AB的距离，则圆上的点P到直线AB的距离的最小值为．
又，根据三角形面积公式可得△PAB面积的最小值为，故B错误．
以AB为直径的圆的圆心坐标为，半径．
两圆的圆心距，而，，
因为，所以两圆相交，故圆C上存在点P使得∠APB＝90°，故C正确．
当直线BP为圆C的切线时，∠PBA可取到最值．
因为圆心C（3，4），B（0，4），所以|BC|＝3，又圆C的半径r＝2，
根据勾股定理可得，故D正确．
故选：ACD．
▉题型14 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数
【知识点的认识】
﹣求方程或参数：根据直线与圆的位置关系，可以推导直线的方程或圆的方程的参数．
38．已知实数x1，x2，y1，y2满足4，4，x1x2+y1y2＝0，则的最大值为（　　）
A． B．6 C． D．12
【答案】C
【解答】解：根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由于4，4，x1x2+y1y2＝0，
则点A（x1，y1），B（x2，y2）在圆x2+y2＝4上，且AO⊥BO，
表示A，B到直线x+y﹣4＝0的距离之和，
原点O到直线x+y﹣4＝0的距离为，
如图所示：AC⊥CD，BD⊥CD，E是AB的中点，EF⊥CD于F，
|AC|+|BD|＝2|EF|，，
故E在圆x2+y2＝2上，．
故的最大值为．
故选：C．
▉题型15 圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
39．已知圆，圆，M、N分别是圆C1、C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：圆的圆心为C1（2，3），半径为1，
的圆心为C2（3，4），半径为3，
要使|PN|﹣|PM|的最大，需|PN|尽可能大，|PM|尽可能小，
∴连接PC2、PC1，让两直线与两圆的交点，N离P尽可能远，M离P尽可能近，如图所示：
在△PC1C2中|PC2|﹣|PC1|最大即可，令P（x，0），C1关于x轴的对称点为C（2，3），
∴故P，C，C2共线时|PC2|﹣|PC|最大，此时|PC2|﹣|PC1|最大，
故|PC2|﹣|PC|的最大值为，
∴|PN|﹣|PM|的最大值为．
故选：D．
（多选）40．已知圆C1：（x﹣1）2+（y+2）2＝1与圆C2：（x+1）2+y2＝4交于A，B两点，则下列说法正确的是（　　）
A．线段AB的中垂线方程为x+y+1＝0
B．直线AB的方程为4x﹣4y﹣7＝0
C．
D．若点P是圆C1上的一点，则的最大值是
【答案】ABD
【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+（y+2）2＝1
则圆心C1（1，﹣2），半径为r1＝1；
圆C2：（x+1）2+y2＝4
则圆心C2（﹣1，0），半径为r2＝2；
对于A，由圆的对称性可知：直线C1C2是线段AB的中垂线，
∵，∴直线AB的中垂线方程为：y＝﹣（x+1），即x+y+1＝0，A正确；
对于B，圆C1：（x﹣1）2+（y+2）2＝1与圆C2：（x+1）2+y2＝4，
两圆方程作差可得直线AB方程为：4x﹣4y﹣7＝0，B正确；
对于C，∵C1到直线AB的距离，
∴，C错误；
对于D，记M为AB中点，则，
∵，∴，D正确．
故选：ABD．
▉题型16 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系
【知识点的认识】
﹣位置关系：两圆的位置关系可以通过圆心距和半径之和与半径之差确定：
﹣相交：圆心距小于两半径之和且大于半径之差
﹣外离：圆心距大于两半径之和
﹣内切：圆心距等于半径之差
﹣外切：圆心距等于两半径之和
（多选）41．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝4a的半径为2，则（　　）
A．a＝1
B．点（1，4）在圆C的外部
C．圆（x﹣9）2+（y+5）2＝64与圆C外切
D．当直线mx+y﹣2＝0平分圆C的周长时，m＝﹣1
【答案】ABC
【解答】解：根据题意可得4a＝4，所以a＝1，故A正确；
圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，由（1﹣1）2+（4﹣1）2＞4，得点（1，4）在圆C的外部，故B正确；
圆（x﹣9）2+（y+5）2＝64的圆心为M（9，﹣5），半径为8，因为，
所以圆（x﹣9）2+（y+5）2＝64与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，外切，故C正确；
圆C的圆心坐标为（1，1），半径为2，若直线mx+y﹣2＝0平分圆C的周长，则直线mx+y﹣2＝0过点（1，1），则m+1﹣2＝0，得m＝1，故D错误．
故选：ABC．
▉题型17 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数
【知识点的认识】
﹣方程或参数：根据圆与圆的位置关系，可以确定圆的方程或参数，如圆心位置和半径．
42．若两圆x2+y2＝m和x2+y2+6x﹣8y﹣11＝0没有公共点，则实数m的可能取值为（　　）
A．1 B．11 C．121 D．1331
【答案】D
【解答】解：圆x2+y2+6x﹣8y﹣11＝0可化为（x+3）2+（y﹣4）2＝62，
圆心为（﹣3，4），半径为6，
圆x2+y2＝m的圆心为（0，0），半径为，
则两圆圆心距离d＝5，
∵两圆x2+y2＝m和x2+y2+6x﹣8y﹣11＝0有公共点，
∴|6|≤56．
∴1≤m≤121．
故选：D．
（多选）43．下列命题正确的有（　　）
A．若方程x2+y2﹣x+my+1＝0表示圆，则m的取值范围是
B．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线3x﹣4y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
C．若点P（x，y）在圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上，则的最大值为0
D．已知圆和，则圆C1和圆C2的公共弦长为
【答案】ACD
【解答】解：对于A：若方程x2+y2﹣x+my+1＝0表示圆，则（﹣1）2+m2﹣4×1＞0，解得或，故A正确；
对于B：设圆心C（a，1）（a＞0），则圆心到直线3x﹣4y＝0的距离为，
解得a＝3（负值已舍去），所以圆心为C（3，1），所以圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，故B错误；
对于C：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0化为标准方程得：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，其圆心C（2，2），半径r＝1，
因为表示圆上的点（x，y）与点（0，3）连线的斜率，可得相切时取得最值，
设切线为kx﹣y+3＝0，则，解得k＝0或，所以的最大值为0，故C正确；
对于D：圆，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆心C1（2，1），r1＝1；
圆，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，圆心C2（2，2），r2＝1；
因为|C1C2|＝1＜r1+r2，所以圆C1和圆C2相交，两圆相减可得：2y﹣3＝0，
所以圆心C1（2，1）到直线2y﹣3＝0的距离，
所以弦长为，即公共弦长为，故D正确．
故选：ACD．
▉题型18 相交弦所在直线的方程
【知识点的认识】
求解相交弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程．
44．圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为　2　 ．
【答案】2
【解答】解：圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的方程相减得：x﹣y+2＝0，
由圆x2+y2﹣4＝0的圆心（0，0），半径r为2，
且圆心（0，0）到直线x﹣y+2＝0的距离d，
则公共弦长为222．
故答案为：2．
45．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的公共弦所在直线被圆C3：所截得的弦长是　　 ．
【答案】
【解答】解：圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为：x2+y2﹣1﹣（x2+y2﹣2x﹣2y+1）＝0，即x+y﹣1＝0，
圆心C3（1，1）到直线x+y﹣1＝0的距离 ，
所以所求弦长为 ，
故答案为．
▉题型19 直线和圆的方程的应用
【知识点的认识】
1、直线方程的形式：
2、圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
（2）圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心（，），半径r．
46．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y＝x上．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于两点E，F，
（ⅰ）求b的取值范围；
（ⅱ）若在圆C上存在点D，使四边形OEDF为平行四边形，其中O为坐标原点，求b的值．
【答案】（1）x2+y2＝4；
（2）（ⅰ）（﹣4，4）；
（ⅱ）b＝±2．
【解答】解：（1）根据圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y＝x上，
设圆心C（a，a），
所以|CA|＝|CB|，
所以，解得a＝0．
所以圆心C（0，0），所以圆C的方程为x2+y2＝4．
（2）（ⅰ）由题意，，所以|b|＜4，
即﹣4＜b＜4，所以b的取值范围是（﹣4，4）．
（ⅱ）因为四边形OEDF为平行四边形，又因为|OE|＝|OF|，所以OEDF为菱形，
因为|OD|＝2，所以点O到直线EF的距离，
所以b＝±2，符合题意．
47．为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度AB为32米，拱桥顶点C离河面8米．
（1）如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程；
（2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）B（16，0），C（0，8），设圆心（0，b），
圆的方程为：x2+（y﹣b）2＝r2，
由圆过点B，C可得
解得b＝﹣12，r＝20，
所以圆形拱桥所在圆的方程是x2+（y+12）2＝400．
（2）可设船右上角竖直方向0.5米处点为P（4，7.5），
代入圆方程左端得396.25＜400，
所以点P在圆内，
故船可以通过．
▉题型20 圆方程的综合应用
【知识点的认识】
圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
（2）圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心（，），半径r．
48．已知圆M：x2+y2+2x＝0，圆N：x2+y2﹣4x﹣21＝0，点P在圆N上运动，直线PA与圆M相切于点A，则PA的最大长度为（　　）
A．8 B．7 C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，圆M：x2+y2+2x＝0，其标准方程为（x+1）2+y2＝1，
其圆心M（﹣1，0），半径为r1＝1，
圆N：x2+y2﹣4x﹣21＝0，其标准方程为：（x﹣2）2+y2＝25，
其圆心N（2，0），半径为r2＝5，
作图如下，
因为，
由几何性质可知，当P的坐标为（7，0）时，|PM|有最大值为7+1＝8，
此时|PA|最大，最大值为．
故选：C．
▉题型21 曲线与方程
【知识点的认识】
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．
49．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若p＝2，则下列说法错误的是（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点O的距离的最大值为
C．动直线x+y＝t被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2
D．四叶图的面积小于32
【答案】C
【解答】解：由逆时针旋转90°所得的曲线为x2＝4y，A正确；
由题知，C：y2＝4x，
逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线为x2＝4y，y2＝﹣4x，x2＝﹣4y，
联立，解得或，
根据对称性可知，（4，4）到点O的距离即是最大，且为，B正确；
如图，设直线x+y＝t与第一象限叶子分别交于M，N，
由，解得或（舍去），
由，解得或（舍去），
即，﹣2+2），N（﹣2+2，2+t﹣2），
则弦长，
由图知，直线x+y＝t经过点A时t取最大值8，
经过点O时，t取最小值0，即在第一象限部分满足0＜t≤8，
不妨设，则4＜μ≤12，且，
代入得，，
所以当μ＝8时，|MN|最大，且为，C错．
如图，
由图像可知，四叶图的面积小于由各曲线交点围成的正方形面积的一半，
即四叶图的面积小于，D正确．
故选：C．
50．当α从0°到180°变化时，方程x2+y2cosα＝1不可能表示的曲线是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】C
【解答】解：对于方程x2+y2cosα＝1（0°≤α≤180°），
当α＝0°时，cosα＝1方程为x2+y2＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，
当0°＜α＜90°时，0＜cosα＜1，此时方程x2+y2cosα＝1表示焦点在y轴的椭圆，
当α＝90°时cosα＝0，此时方程x2＝1，即x＝±1，表示两条直线，
当90°＜α≤180°时，﹣1≤cosα＜0，此时方程x2+y2cosα＝1表示焦点在x轴的双曲线，
综上可得符合依题意的有C．
故选：C．
51．如图，矩形ABCD中，|AB|＝8，|BC|＝6．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，且都在坐标轴上，R，S，T是线段OF的四等分点，R'，S'，T'是线段DH的四等分点，直线ER与GR'、ES与GS'、ET与GT'的交点L，M，N都在以下哪条曲线上（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由已知得E（0，﹣3）、F（4，0）、G（0，3）、H（﹣4，0），
因为R、S、T是线段OF的四等分点，
则R（1，0）、S（2，0）、T（3，0），
因为R′、S′、T′是线段DH的四等分点，
则、、，
，
则直线ER的方程为y＝3x﹣3，，
则直线GR的方程为，
联立这两直线方程，解得，，
即点，，
同理可得点、，，
设L、M、N在曲线mx2+ny2＝1上，
则，解得，
因此，点L、M、N都在曲线．
故选：D．
52．方程为mx2+ny＝0和mx2+ny2＝1（mn≠0）的两条曲线在同一坐标系中可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：方程mx2+ny＝0 即 x2y，表示抛物线，方程mx2+ny2＝1（mn≠0）表示椭圆或双曲线．
当m和n同号时，抛物线开口向下，方程mx2+ny2＝1（mn≠0）表示椭圆，无符合条件的选项．
当m和n异号时，抛物线x2y，开口向上，方程mx2+ny2＝1表示双曲线，注意B满足，
故选：B．
53．某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，下面同学提出的结论正确的有（　　）
甲：曲线C1，C2都关于直线y＝x对称
乙：曲线C1在第一象限的点都在椭圆内
丙：曲线C2上的点到原点的最大距离为
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【解答】解：对于曲线，用y代换x，x代换y，得，
与原方程不相同，故曲线C2不关于直线y＝x对称，可知甲同学提出的结论不正确；
若点P是曲线C1在第一象限上的点，设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，两边平方得，
结合，可得，再平方得，因此，
由1，可知点P在椭圆内部，故乙同学提出的结论正确；
对于曲线，设Q（x1，y1）为其上一点，则，
联想到cos2θ+sin2θ＝1，设，其中，则，其中φ＝arctan2，
当sin（θ+φ）＝1时，即时，|OQ|有最大值，
即曲线C2上的点到原点的最大距离为，可知丙同学提出的结论不正确．
综上所述，三位同学提出结论只有乙是正确的，正确结论只有1个．
故选：C．
（多选）54．已知曲线C的方程为x2+y2+y3＝2，其部分图象如图所示，直线y＝ax与C在第四象限存在唯一公共点P，则（　　）
A．C是中心对称图形
B．过点可向C作两条相互垂直的切线
C．C与直线相切
D．P的纵坐标小于
【答案】BC
【解答】解：对于选项A，由图可知曲线C是关于y轴对称的轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A错误；
对于选项B，因为y2+y3＝2﹣x2≤2，记f（y）＝y2+y3，
f′（y）＝2y+3y2＝y（3y+2），
所以f（y）在和（0，+∞）单调递增，在单调递减．
，所以y≤1，仅当x＝0取等，
因此y＝1是C的一条切线．
下证与C相切（仅讨论第四象限），
令，则y2+y3＝2﹣x2≥0，解得y≥﹣1，
即y∈（﹣1，0）∪（0，1）时，恒有，
而y＝0时，，因此与C相切，故选项B正确；
对于选项C，由于C过点和点，
则令﹣1＜y＜0（仅讨论第四象限），
由选项B项分析可知，
所以，即，
所以直线与C切于点，故选项C正确；
对于D，依题意，联立，（a＜0）
则a3x3+（a2+1）x2﹣2＝0在（0，+∞）内只有一解，
令g（x）＝a3x3+（a2+1）x2﹣2，
则g′（x）＝x[3a3x+2（a2+1）]，
由于a＜0，可知g（x）存在极大值点，则极大值，
由，
解得，即，故选项D错误．
故选：BC．
（多选）55．已知一条线段的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2），关于x，y的方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+b（y﹣y1）（y﹣y2）＝c，则（　　）
A．当a＝b≠0，c＝0时，方程所表示的曲线是以AB为直径的圆
B．当a＝1，b＝﹣1，c≠0时，方程所表示的曲线是双曲线
C．存在a，b，c，使得方程所表示的曲线是椭圆
D．任意a＞0，b＞0，c＞0，方程所表示的曲线围成的封闭区域面积大于
【答案】AC
【解答】解：对于选项A：若a＝b≠0，c＝0，
取a＝b＝1时，方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）＝0，
整理得，
此时方程所表示的曲线是以AB为直径的圆，故选项A正确；
对于选项B：当a＝1，b＝﹣1，c≠0时，方程为（x﹣x1）（x﹣x2）﹣（y﹣y1）（y﹣y2）＝c，
整理得c，
当c＝0时，该方程不为双曲线，故选项B错误；
对于选项C：易知原方程可化为a（x）2+b（y）2c，
当a＞0，b＞0，c＞0时，方程所表示的曲线是椭圆，故选项C正确；
对于选项D：易知原方程可化为1，
所以曲线围成的封闭区域面积S＝π
[a（x1﹣x2）2+b（y1﹣y2）2+4c]，
因为，
此时无法确定与之间的大小关系，故选项D错误．
故选：AC．
（多选）56．材料1：在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程F（x，y，z）＝0之间满足：
①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程F（x，y，z）＝0的解；
②以三元方程F（x，y，z）＝0的任意解（x0，y0，z0）为坐标的点均在曲面S上．则称曲面S的方程为F（x，y，z）＝0，方程F（x，y，z）＝0的曲面为S．
材料2：称之为“小蛮腰”的广州塔和双曲线型冷却塔的外形，都可近似看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，这种曲面称为单叶双曲面．
已知单叶双曲面C的方程为，C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面，直线l过C上一点Q（1，1，2），且以为方向向量，则（　　）
A．坐标平面Oxy，Oyz，Ozx截曲面C所得曲线均为双曲线
B．点P（﹣1，1，﹣2）在曲面C上
C．坐标平面Ozx截曲面C所得曲线的一条渐近线与l平行
D．直线l在曲面C内
【答案】BCD
【解答】解：对于A，坐标平面Oxy截曲面C所得曲线，即令z＝0，得到x2+y2＝1，是圆，故A错误；
对于B，代入P点坐标可得：成立，故B正确；
对于C，坐标平面Ozx截曲面C所得曲线，即令y＝0，得到，
其渐近线方程为：z＝±2x，y＝0，
由直线l过C上一点Q（1，1，2），且以为方向向量，
设直线上任意一点坐标为（x，y，z），
由向量共线可得：，由此可得：z＝2x，y＝1，
所以坐标平面Ozx截曲面C所得曲线的一条渐近线与l平行，故C正确；
对于D：由，得，代入，
可得恒成立，
即直线l在曲面C内上，故D正确．
故选：BCD．
（多选）57．已知α∈[0，π]，则方程x2+y2cosα＝1表示的曲线的形状可以是（　　）
A．两条直线
B．圆
C．焦点在x轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
【答案】ABD
【解答】解：对于方程x2+y2cosα＝1（0≤α≤π），
当α＝0时，cosα＝1，方程为x2+y2＝1表示圆心在原点，半径为1的圆；
当时，0＜cosα＜1，则，
此时方程x2+y2cosα＝1，即表示焦点在y轴的椭圆；
当时，cosα＝0，此时方程x2＝1，即x＝±1，表示两条直线；
当时，﹣1≤cosα＜0，则，
此时方程x2+y2cosα＝1，即表示焦点在x轴的双曲线．
综上可得符合依题意的有ABD．
故选：ABD．
58．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F1（﹣a，0），F2（a，0）（a＞0）的距离之积为定值．当a＝3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为原点O在C上，
所以C上的点到F1，F2的距离之积为，
设（x，y）为C上任意一点，
此时 ，
整理得（x2+y2）2＝2a2（x2﹣y2），
因为△PF1F2的面积S，
所以∠F1PF2＝90°，
所以点P是曲线C：（x2+y2）2＝18（x2﹣y2）与以F1F2为直径的圆x2+y2＝9在第一象限内的交点，
联立，
解得，
所以．
故答案为：．
59．设P（x，y）为曲线上的任意一点，则|x﹣2y+2|的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为曲线，
当x≥0，y≥0时，曲线C的方程为；
当x＜0，y＞0时，曲线C的方程为，该方程不成立；
当x＜0，y＜0时，曲线C的方程为；
当x≥0，y＜0时，曲线C为；
综上所述，曲线，
其中，，，双曲线的图象无限接近于渐近线，
，表示曲线上的点到直线x﹣2y+2＝0距离，
设直线x﹣2y+a＝0，
表示直线间的距离，
当直线x﹣2y+a＝0为曲线的切线且在曲线下方时，有最大值，
由图可知最多只有一个解，
即最多有一个负数解，
需满足直线x﹣2y+a＝0在y轴上截距，
当时，
解得，
所以直线方程为，
可得，
则|x﹣2y+2|的最大值为．
故答案为：．
60．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心．M为平面ABCD上的一个动点，则下列命题正确的 　②③　 ．
①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线AB，A1D1距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线CD，BB1距离相等，则M的轨迹是抛物线
【答案】②③．
【解答】解：对于①，建立如图空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a，
对于A，A（0，0，0），B1（a，0，a），M（x，y，0），则，
，则x2+y2＝2[（x﹣a）2+y2+a2]，即（x﹣2a）2+y2＝0，
此时仅有x＝2a，y＝0，所以M的轨迹是一个点，故①错误；
对于②，过M向AB作垂线，垂足为M3，过M向AD作垂线，垂足为M1，
过M1向A1D1作垂线，垂足为M2，由于MM1⊥AD，M1M2⊥A1D1，
又因为AD∥A1D1，MM1∩M1M2＝M1，MM1，M1M2 平面MM1M2，
所以A1D1⊥平面MM1M2，又因为MM2 平面MM1M2，
所以MM2⊥A1D1，
若M到直线AB，A1D1距离相等，即|MM3|＝|MM2|，
因为M（x，y，0），所以，
则y2＝x2+a2，即，则M的轨迹是双曲线，故②正确；
对于③，若M到直线CD，BB1距离相等，BB1⊥面ABCD，MB 面ABCD，
所以BB1⊥MB，所以M到直线BB1的距离为M到点B的距离，
则M到直线CD与到点B距离相等，由抛物线定义可得，M的轨迹是抛物线，故③正确．
故答案为：②③．第2章第2.1节 圆
题型1 圆的标准方程 题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程
题型3 圆的一般方程 题型4 根据圆的几何属性求圆的一般式方程
题型5 圆的一般式方程与标准方程的互化 题型6 二元二次方程表示圆的条件
题型7 点与圆的位置关系 题型8 关于点、直线对称的圆的方程
题型9 过圆外一点的圆的切线方程 题型10 直线与圆相交的性质
题型11 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 题型12 直线与圆的位置关系
题型13 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 题型14 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数
题型15 圆与圆的位置关系及其判定 题型16 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系
题型17 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 题型18 相交弦所在直线的方程
题型19 直线和圆的方程的应用 题型20 圆方程的综合应用
题型21 曲线与方程
▉题型1 圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
1．已知O为原点，点A（2，﹣2），以OA为直径的圆的方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝8
C．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝8
2．圆（x﹣1）2+y2＝3的圆心坐标和半径分别是（　　）
A．（﹣1，0），3 B．（1，0），3 C． D．
3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
4．过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y﹣1＝0相切于点B（2，1），则圆C的方程为 　 　 ．
5．已知圆C过B（2，6），A（﹣2，2）两点，且圆心C在直线3x+y＝0上．
（1）求圆C的方程．
（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．
6．如图，在直角△ABC中，，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．AC边的中线BD所在直线方程为x+7y+2＝0；AB边的中线CE所在直线方程为13x+16y+1＝0．
（1）若A点坐标为（1，﹣4），求△ABC外接圆的方程；
（2）若，求△ABC的面积S．
▉题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
7．如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米．现将其截面图放置在直角坐标系xOy中，以地面所在的直线为x轴，过圆心的竖直直线为y轴，则门的轮廓所在圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．过A（0，0），B（0，8），C（6，0）三点的圆的标准方程为 　 　 ．
9．已知直线l1：2x﹣y﹣1＝0，直线l2：3x﹣y﹣2＝0，l1与l2交于点A，点B（2，﹣2）．
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）求过A，B两点，且圆心在直线l：x﹣y+1＝0上的圆的标准方程．
▉题型3 圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（，），半径r．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
（多选）10．已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2＝0，则下列结论中正确的是（　　）
A．实数k的取值范围是
B．实数k的取值范围是
C．当圆的周长最大时，圆心坐标是（0，﹣1）
D．圆的最大面积是π
11．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+4m＝0．
（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；
（2）当m＝1时，曲线C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，求|MN|的值．
▉题型4 根据圆的几何属性求圆的一般式方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（，），半径r．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
12．以直线l：x+（m+2）y﹣3﹣m＝0恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（　　）
A．x2+y2﹣2x﹣2y＝2 B．x2+y2﹣2x﹣2y＝1
C．x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0 D．x2+y2﹣2x﹣2y＝0
▉题型5 圆的一般式方程与标准方程的互化
【知识点的认识】
﹣互化过程：从一般式方程到标准方程需要配方，将一般式方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0
转换为标准方程：
（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2
13．已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．
（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；
（2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且，求C的值．
▉题型6 二元二次方程表示圆的条件
【知识点的认识】
1、圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．
2、圆的标准方程：
圆的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2＝r2．
3、圆的一般方程：
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（，），半径为的圆；
当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（，），；
当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形．
因此二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0．
注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件：
①A＝C≠0；
②B＝0；
③D2+E2﹣4F＞0．
14．若方程x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+a+1＝0表示圆，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，﹣1） D．[﹣1，+∞）
15．“m＞6”是“方程x2+y2﹣mx+4y+m+7＝0是圆的方程”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2
▉题型7 点与圆的位置关系
【知识点的认识】
点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较．
①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；
②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；
③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．
17．已知P（m，n）是圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝8上的一个动点，则的取值范围为 　 ．
18．已知点A（﹣3，0），B（﹣1，﹣2），若圆（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，则r的取值范围是　 　 ．
▉题型8 关于点、直线对称的圆的方程
【知识点的认识】
（1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可．
（2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标．
19．已知圆，直线l过点A（1，﹣3）且与圆C1相切．
（1）求直线l的方程；
（2）设圆C2与圆C1关于直线l对称，求出圆C2的方程．
▉题型9 过圆外一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为：
20．过圆O：x2+y2＝1外的点P（3，2）作O的一条切线，切点为M，则|MP|＝（　　）
A．2 B． C． D．4
▉题型10 直线与圆相交的性质
【知识点的认识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
21．直线l：3x﹣4y+m＝0（m＞0）与圆O：x2+y2＝16相交于A，B两点，当时m的值为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
22．若直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
▉题型11 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长
【知识点的认识】
﹣弦长公式：给定直线方程和圆的方程，可以计算直线截得圆的弦长．
23．以抛物线的焦点为圆心，且与C的准线相切的圆截直线y＝x所得弦长为（　　）
A．2 B． C． D．
24．已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．
（1）求m的取值范围；
（2）若直线x﹣y+1＝0与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
▉题型12 直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
25．2025蛇年央视春晚中，四川大凉山妞妞合唱团带来节目《玉盘》唱出了对月亮的呼唤，舞台的“月亮”元素惟妙惟肖，若将其中的一个“月亮”元素看作圆C，当动点P（m，n）在圆C上运动时，OP斜率的取值范围，则直线OC的斜率为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
26．直线l：x﹣my﹣1﹣3m＝0与曲线有两个交点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
27．“点（a，b）在圆x2+y2＝1外”是“直线ax+by+2＝0与圆x2+y2＝1相交”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）28．已知直线l：3x+2y+m＝0，圆，则下列说法正确的是（　　）
A．若或，则直线l与圆C相切
B．若m＝5，则圆C关于直线l对称
C．若圆与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则m＝2
D．若m＞5，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则
（多选）29．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，直线l：kx﹣y+1＝0与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，P（0，3），O为坐标原点，则（　　）
A．弦|AB|有最小值为
B．|OM|有最小值为
C．△OCM面积的最大值为
D． 的最大值为9
（多选）30．以下四个命题表述正确的是（　　）
A．直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣3（m∈R）恒过定点（5，﹣2）
B．圆x2+y2＝2上有且仅有2个点到直线x﹣y+1＝0的距离等于
C．曲线与恰有四条公切线
D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线上一动点，过点P向圆C引切线PA，其中A为切点，则|PA|的最小值为2
（多选）31．已知A（x1y1），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝1上两点，则下列结论正确的是（　　）
A．若|AB|＝1，则∠AOB
B．若点O到直线AB的距离为，则
C．若∠AOB，则|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最小值为1
D．若∠AOB，则|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值为2
（多选）32．已知圆方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4与直线x+my﹣m﹣2＝0，下列选项正确的是（　　）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为
D．直线与圆可以相切
33．已知圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x﹣y+1＝0．
（1）求判断直线x﹣y+1＝0与圆C的位置关系；
（2）求该圆过点M（1，4）的切线方程．
34．已知圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0）与x轴相切．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；
（Ⅱ）直线l：2x+y﹣2＝0与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
35．已知直线l：4x+3y+10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
▉题型13 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
﹣位置关系：直线与圆的位置关系取决于直线到圆心的距离与圆半径的比较：
﹣相交：距离小于半径
﹣切线：距离等于半径
﹣外离：距离大于半径
36．若直线x+ky+1＝0与圆x2+（y﹣2）2＝1有公共点，则实数k的值不可能是（　　）
A．1 B．0 C． D．﹣1
（多选）37．已知点A（3，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上运动，则（　　）
A．直线AB与圆C相离
B．△PAB的面积的最小值为2
C．圆C上存在点P使得∠APB＝90°
D．当∠PBA最小时，
▉题型14 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数
【知识点的认识】
﹣求方程或参数：根据直线与圆的位置关系，可以推导直线的方程或圆的方程的参数．
38．已知实数x1，x2，y1，y2满足4，4，x1x2+y1y2＝0，则的最大值为（　　）
A． B．6 C． D．12
▉题型15 圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
39．已知圆，圆，M、N分别是圆C1、C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
（多选）40．已知圆C1：（x﹣1）2+（y+2）2＝1与圆C2：（x+1）2+y2＝4交于A，B两点，则下列说法正确的是（　　）
A．线段AB的中垂线方程为x+y+1＝0
B．直线AB的方程为4x﹣4y﹣7＝0
C．
D．若点P是圆C1上的一点，则的最大值是
▉题型16 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系
【知识点的认识】
﹣位置关系：两圆的位置关系可以通过圆心距和半径之和与半径之差确定：
﹣相交：圆心距小于两半径之和且大于半径之差
﹣外离：圆心距大于两半径之和
﹣内切：圆心距等于半径之差
﹣外切：圆心距等于两半径之和
（多选）41．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝4a的半径为2，则（　　）
A．a＝1
B．点（1，4）在圆C的外部
C．圆（x﹣9）2+（y+5）2＝64与圆C外切
D．当直线mx+y﹣2＝0平分圆C的周长时，m＝﹣1
▉题型17 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数
【知识点的认识】
﹣方程或参数：根据圆与圆的位置关系，可以确定圆的方程或参数，如圆心位置和半径．
42．若两圆x2+y2＝m和x2+y2+6x﹣8y﹣11＝0没有公共点，则实数m的可能取值为（　　）
A．1 B．11 C．121 D．1331
（多选）43．下列命题正确的有（　　）
A．若方程x2+y2﹣x+my+1＝0表示圆，则m的取值范围是
B．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线3x﹣4y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
C．若点P（x，y）在圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上，则的最大值为0
D．已知圆和，则圆C1和圆C2的公共弦长为
▉题型18 相交弦所在直线的方程
【知识点的认识】
求解相交弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程．
44．圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为__________ ．
45．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的公共弦所在直线被圆C3：所截得的弦长是　 ．
▉题型19 直线和圆的方程的应用
【知识点的认识】
1、直线方程的形式：
2、圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
（2）圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心（，），半径r．
46．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y＝x上．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于两点E，F，
（ⅰ）求b的取值范围；
（ⅱ）若在圆C上存在点D，使四边形OEDF为平行四边形，其中O为坐标原点，求b的值．
47．为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度AB为32米，拱桥顶点C离河面8米．
（1）如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程；
（2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由．
▉题型20 圆方程的综合应用
【知识点的认识】
圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
（2）圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心（，），半径r．
48．已知圆M：x2+y2+2x＝0，圆N：x2+y2﹣4x﹣21＝0，点P在圆N上运动，直线PA与圆M相切于点A，则PA的最大长度为（　　）
A．8 B．7 C． D．
▉题型21 曲线与方程
【知识点的认识】
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．
49．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若p＝2，则下列说法错误的是（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点O的距离的最大值为
C．动直线x+y＝t被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2
D．四叶图的面积小于32
50．当α从0°到180°变化时，方程x2+y2cosα＝1不可能表示的曲线是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
51．如图，矩形ABCD中，|AB|＝8，|BC|＝6．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，且都在坐标轴上，R，S，T是线段OF的四等分点，R'，S'，T'是线段DH的四等分点，直线ER与GR'、ES与GS'、ET与GT'的交点L，M，N都在以下哪条曲线上（　　）
A． B．
C． D．
52．方程为mx2+ny＝0和mx2+ny2＝1（mn≠0）的两条曲线在同一坐标系中可以是（　　）
A． B．
C． D．
53．某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，下面同学提出的结论正确的有（　　）
甲：曲线C1，C2都关于直线y＝x对称
乙：曲线C1在第一象限的点都在椭圆内
丙：曲线C2上的点到原点的最大距离为
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
（多选）54．已知曲线C的方程为x2+y2+y3＝2，其部分图象如图所示，直线y＝ax与C在第四象限存在唯一公共点P，则（　　）
A．C是中心对称图形
B．过点可向C作两条相互垂直的切线
C．C与直线相切
D．P的纵坐标小于
（多选）55．已知一条线段的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2），关于x，y的方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+b（y﹣y1）（y﹣y2）＝c，则（　　）
A．当a＝b≠0，c＝0时，方程所表示的曲线是以AB为直径的圆
B．当a＝1，b＝﹣1，c≠0时，方程所表示的曲线是双曲线
C．存在a，b，c，使得方程所表示的曲线是椭圆
D．任意a＞0，b＞0，c＞0，方程所表示的曲线围成的封闭区域面积大于
（多选）56．材料1：在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程F（x，y，z）＝0之间满足：
①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程F（x，y，z）＝0的解；
②以三元方程F（x，y，z）＝0的任意解（x0，y0，z0）为坐标的点均在曲面S上．则称曲面S的方程为F（x，y，z）＝0，方程F（x，y，z）＝0的曲面为S．
材料2：称之为“小蛮腰”的广州塔和双曲线型冷却塔的外形，都可近似看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，这种曲面称为单叶双曲面．
已知单叶双曲面C的方程为，C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面，直线l过C上一点Q（1，1，2），且以为方向向量，则（　　）
A．坐标平面Oxy，Oyz，Ozx截曲面C所得曲线均为双曲线
B．点P（﹣1，1，﹣2）在曲面C上
C．坐标平面Ozx截曲面C所得曲线的一条渐近线与l平行
D．直线l在曲面C内
（多选）57．已知α∈[0，π]，则方程x2+y2cosα＝1表示的曲线的形状可以是（　　）
A．两条直线
B．圆
C．焦点在x轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
58．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F1（﹣a，0），F2（a，0）（a＞0）的距离之积为定值．当a＝3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为，则 　 ．
59．设P（x，y）为曲线上的任意一点，则|x﹣2y+2|的最大值为 　 ．
60．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心．M为平面ABCD上的一个动点，则下列命题正确的 　 ．
①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线AB，A1D1距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线CD，BB1距离相等，则M的轨迹是抛物线

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