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第2章第2.2节 椭圆
题型1 椭圆的定义 题型2 椭圆的标准方程
题型3 根据定义求椭圆的标准方程 题型4 根据椭圆的几何特征求标准方程
题型5 由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数 题型6 求椭圆的焦点和焦距
题型7 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 题型8 椭圆上的点与焦点的距离
题型9 椭圆的几何特征 题型10 椭圆的离心率
题型11 求椭圆的离心率 题型12 椭圆的准线及第二定义
题型13 直线与椭圆的综合 题型14 椭圆的弦及弦长
题型15 椭圆的焦点弦及焦半径 题型16 椭圆的焦点三角形
题型17 椭圆与平面向量 题型18 椭圆的定点及定值问题
▉题型1 椭圆的定义
【知识点的认识】
1．椭圆的第一定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．
2．椭圆的第二定义
平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．
3．注意要点
椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．
（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；
（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；
（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．
1．已知椭圆，若C上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为 　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：椭圆，C上一点P到一个焦点的距离为5，
由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|＝2a＝8，所以P到另一个焦点距离为3．
故答案为：3．
▉题型2 椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
2．“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：由方程表示椭圆，可得，解得m＞1，
所以“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件．
故选：B．
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【答案】D
【解答】解：设椭圆方程为Ax2+By2＝1，A＞0．B＞0且A≠B，
（4，0），（0，2）代入可得16A＝1，4B＝1，
∴A，B，
∴椭圆的标准方程是1．
故选：D．
4．已知椭圆方程为1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【答案】C
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得，．
两式相减可得：0．
由x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，，代入上式可得：
0，化为a2＝3b2．
又c＝4，c2＝a2﹣b2，联立解得a2＝24，b2＝8．
∴椭圆的方程为：1．
故选：C．
5．”0＜t＜1”是”曲线表示椭圆”的（　　）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】B
【解答】解：若曲线表示椭圆，则，
解得0＜t＜1且t，
因为{t|0＜t＜1且t} {t|0＜t＜1}，
所以”0＜t＜1”是”曲线表示椭圆”的必要非充分条件．
故选：B．
6．“0＜t＜1”是“曲线表示椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：∵曲线表示椭圆，
∴，
∴0＜t＜1且t．
∴“0＜t＜1”是“曲线表示椭圆”的必要而不充分条件．
故选：B．
7．设F1，F2分别是椭圆E：x21（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x21　 ．
【答案】x21
【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2，
∴A点坐标为（c，b2），
设B（x，y），∵|AF1|＝3|F1B|，∴3，
∴（﹣c﹣c，﹣b2）＝3（x+c，y），
∴B（c，b2），
代入椭圆方程可得，
∵1＝b2+c2，∴b2，c2，∴x21．
故答案为：x21．
▉题型3 根据定义求椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆的定义是：平面上到两个定点（焦点）的距离之和等于常数（长轴长度）的点的轨迹．对于中心在原点的椭圆，其标准方程可以从定义直接推导．
8．已知方程，现从集合{﹣1，1，2，3，8，9}中随机取出一个元素作为n的值，记事件A：C表示的曲线为椭圆，事件B：C表示的曲线的焦点在x轴上，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：事件A：C表示的曲线为椭圆，事件A发生时，n＝1，2，3，8，9；
事件B：C表示的曲线的焦点在x轴上，事件AB发生时，n＝1，2，3；
则，
所以．
故选：B．
▉题型4 根据椭圆的几何特征求标准方程
【知识点的认识】
椭圆的几何特征包括长轴2a、短轴2b、焦点．
9．已知椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且过点D（，）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与椭圆E相交于M，N两点（N在P，M之间）证明：直线MB与直线NA的交点的横坐标是定值．
【答案】（1）y2＝1．
（2）证明详情见过程．
【解答】解：（1）由题意可得e，b2＝a2﹣c2，1，
解得a＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为y2＝1．
（2）证明：设直线l：x＝my+4，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，得（m2+4）y2+8my+12＝0，
所以Δ＝16m2﹣192＞0，解得m＞2或m＜﹣2，
由韦达定理可得y1+y2，y1y2，
由题意可得直线MB：y（x﹣2），直线NA：y（x+2），
所以y1（x2+2）（x﹣2）＝y2（x1﹣2）（x+2），
即x（my1y2+6y1﹣my1y2﹣2y2）＝2（my1y2+6y1+2y2+my1y2），
整理得x（6y1﹣2y2）＝2（2my1y2+2y2+6y1），
即x（6y1﹣2y2）＝2[﹣3（y1+y2）+2y2+6y1]，
即x（6y1﹣2y2）＝（6y1﹣2y2），
若2y2＝6y1，则m无解，
所以6y1﹣2y2≠0，
所以x＝1，
所以直线MB与NA交点的横坐标为定值1．
10．已知椭圆的离心率为，点A为椭圆右顶点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且△FAB的面积是1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线x＝my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q
与x轴交于点H，求△PQH面积的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，F（﹣c，0），B（0，b），A（a，0），
，，a2＝b2+c2，
联立以上各式可得：a＝2，b＝1．
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），P1（x1，﹣y1），
由，得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，（m≠0）．
显然Δ＞0，由根与系数的关系得：，．
直线P1Q的方程为：，
令y＝0，则x，
又x1＝my1+1，x2＝my2+1，
则x，
∴直线P1Q与x轴交点H（4，0），
，
令t，（t），
．
△PQH面积的取值范围为：（0，）．
▉题型5 由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数
【知识点的认识】
一般形式的椭圆方程可以通过完成平方转换为标准方程．例如，一般形式为：
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0
11．下列结论：①若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（5，8）；②双曲线y2﹣15x2＝15与椭圆的焦点相同；③M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝9或1；④直线y＝kx与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为．其中错误结论的序号是 　①②③　 ．
【答案】①②③．
【解答】解：对于①，当k﹣5＝8﹣k时，方程表示圆，故错；
对于②，双曲线的焦点在y轴上，椭圆的焦点在x轴上，所以焦点不相同，故错；
对于③，由|MF2|≥c﹣a＝4﹣2＝2，则|MF2|1不可能，故错；
对于④，设P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1），A（x0，y0），
利用点差法即可得kAP kAQ，椭圆C的离心率为e，故正确．
故答案为：①②③．
12．方程表示椭圆的充要条件是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由已知可得方程是椭圆的方程只需：，
解得0＜k＜5且k，
故答案为：．
13．在平面直角坐标系内，已知曲线方程．
（1）若方程表示圆，则圆有多少个？
（2）若方程表示椭圆，则椭圆有多少个？
【答案】（1）5；
（2）20．
【解答】解：（1）若方程表示圆，则m＝n，
因为m，n∈{2，3，4，5，6}，所以共有5种情况，
即圆有5个；
（2）若方程表示椭圆，
则总的情况数为20种．
▉题型6 求椭圆的焦点和焦距
【知识点的认识】
椭圆的焦点位于，焦距c可以通过公式计算：
14．已知椭圆的方程为，则其焦距为（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解答】解：椭圆的方程为，
可得a，b，
则c．其焦距为2．
故选：C．
（多选）15．已知焦点在x轴上的椭圆的焦距大于6，则m的值可以为（　　）
A．6 B．7 C． D．9
【答案】AC
【解答】解：因为椭圆焦点在x轴上，
所以焦距为，
所以，解得0＜m＜7．
故选：AC．
▉题型7 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数
【知识点的认识】
已知焦点位置和焦距c，可以通过公式c2＝a2﹣b2计算a和b．
16．已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设P为第一象限的交点，|PF1|＝m、|PF2|＝n，
则m+n＝2a1、m﹣n＝2a2，
解得m＝a1+a2、n＝a1﹣a2，
在△PF1F2中，由余弦定理得：cos∠F1PF2，
∴m2+n2﹣mn＝4c2，即，
得，∴，
∴，由柯西不等式可得：
（）[22+（）2]≥（）2＝（）2，
∴2，当且仅当时等号成立，
故选：B．
（多选）17．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值可以为（　　）
A．1 B． C．4 D．5
【答案】ABC
【解答】解：由已知得2b＝2，
故b＝1，
∵△F1AB的面积为，
∴，
∴，
又a2﹣c2＝（a﹣c）（a+c）＝b2＝1，
故，
∴a＝2，，
∴，
又而a﹣c≤|PF1|≤a+c，
即，
当|PF1|＝2时，最大，且最大值为4；
当或时，最小，且最小值为1，
即，
∴，
即，
所以的取值范围为[1，4]．
故选：ABC．
▉题型8 椭圆上的点与焦点的距离
【知识点的认识】
椭圆上任意点（x1，y1）到焦点的距离可以用以下公式计算：
18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，|PF1|的最小值为1，且△PF1F2的周长为34，则椭圆C的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：因为|PF1|的最小值为1，所以a﹣c＝1．
因为△PF1F2的周长为34，所以2a+2c＝34，
所以c＝8，a＝9．因为a2﹣b2＝c2，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
故选：C．
19．已知椭圆C：，F1，F2为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则|PA|+|PF1|的范围为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由椭圆标准方程可知a＝5，c＝3，F1（﹣3，0），F2（3，0），
又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝10，所以|PF1|＝10﹣|PF2|，
所以|PA|+|PF1|＝10+|PA|﹣|PF2|，
易知﹣|AF2|≤|PA|﹣|PF2|≤|AF2|，当且仅当A，P，F2三点共线时等号成立，
又，
所以，即|PA|+|PF1|的范围为．
故答案为：．
▉题型9 椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
20．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，∵PF1⊥x轴，∴点P的坐标（﹣c，），
kAB，，
∵PF2∥AB，
∴kAB，即，
整理，得b＝2c，
∴a2＝b2+c2＝5c2，即ac，
∴e．
故选：B．
21．已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B．MN垂直椭圆的长轴，垂足为N，若|NA| |NB|＝2|MN|2，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设N（t，0），t∈（﹣a，a），
因为A（﹣a，0），B（a，0），
所以|NA|＝t+a，|NB|＝a﹣t，
所以|NA| |NB|＝（t+a）（a﹣t）＝a2﹣t2，
因为MN⊥AB，
所以点M的横坐标为t，
把x＝t代入椭圆方程，有，所以y2，即|MN|2，
因为|NA| |NB|＝2|MN|2，
所以a2﹣t2＝2，整理得（a2﹣2b2）（1）＝0，
因为t∈（﹣a，a），所以10，
所以a2﹣2b2＝0，即a2＝2b2，
所以椭圆的离心率e．
故选：B．
22．已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1| |MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解答】解：F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|＝6，
所以|MF1| |MF2|9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，取等号，
所以|MF1| |MF2|的最大值为9．
故选：C．
23．已知椭圆C：的焦距为4，直线x﹣y+3＝0与椭圆相交于A，B两点，若点Q（﹣2，1）是线段AB的中点，则椭圆C的短轴长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意可得，，，
∵A，B都在椭圆上，
∴，两式作差可得，
∴，
则ab，
又c2＝a2﹣b2＝4，∴b＝2，
即2b＝4．
故选：B．
24．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为，则（　　）
A．椭圆C的短轴长为 B．椭圆C的长轴长为4
C．椭圆C的焦距为4 D．a＝4
【答案】B
【解答】解：由椭圆的性质可知，椭圆C的短轴长为，椭圆的离心率，
则a2＝4，即a＝2，c2＝a2﹣3＝1，
所以椭圆C的长轴长2a＝4，椭圆C的焦距2c＝2，2b＝2，
所以A，C，D错误，B正确，
故选：B．
25．曲线1与曲线1（k＜9）的（　　）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【解答】解：曲线1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．
曲线1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，
离心率为，焦距为8．
对照选项，则D正确．
故选：D．
26．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，．
∴，
化为a2＝2b2，又c＝3，解得a2＝18，b2＝9．
∴椭圆E的方程为．
故选：D．
27．已知椭圆：的左焦点为F1，离心率为为椭圆上关于y轴对称的两点，，若MF1⊥NF1，则椭圆方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据M、N为椭圆上关于y轴对称的两点，，
设，则，
因为F1（﹣c，0），MF1⊥NF1，所以，
所以，根据点在椭圆上得，
所以，又椭圆的离心率为，所以，，
所以，解得a2＝4，则b2＝1，所以椭圆方程为．
故选：B．
28．已知椭圆C：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是F1，F2，M是C在第一象限上的一点，直线MF1与C的另一个交点为N．若MF2∥AN，则直线MN的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为椭圆C：的离心率为，
所以，
又因为AN∥MF2，所以△AF1N∽△F2F1M，
则，可得，
设|NF1|＝m，则|MF1|＝2m，
过M，N分别向左准线x＝﹣2a作垂线，分别交于M'，N'，过N作NQ⊥MM'交于Q，
则|NN'|2m，|MM'|4m，
所以|MQ|＝|MM'|﹣|NN'|＝2m，|MN|＝|NF1|+|MF1|＝3m，
所以cos∠M'MN，
所以tan∠QMN．
故选：D．
29．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为M上的一点，若|PF1|＝4|PF2|，则|PF2|＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解答】解：因为，则a＝5，
由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|＝2a＝10，
又因为|PF1|＝4|PF2|，解得：|PF2|＝2．
故选：B．
30．经过椭圆的左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点，F2是椭圆C的右焦点，则△ABF2的周长为（　　）
A．24 B．12 C．36 D．48
【答案】A
【解答】解：因为|AF1|+|AF2|＝2a＝12，|BF1|+|BF2|＝2a＝12，
又|AB|＝|AF1|+|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝24．
故选：A．
31．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，O是坐标原点，且，则△F1PF2的面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设P（x0，y0），则，消去x0得，
所以△F1PF2的面积．
故选：A．
（多选）32．已知点P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（　　）
A．存在点P，使得∠F1PF2＝75°
B．|PF1|+|PF2|＝4
C．△PF1F2的面积最大值为
D．1≤|PF1|≤3
【答案】BD
【解答】解：根据题意可得a＝2，b，c＝1，
对A选项，设∠F1PF2的最大值为2θ，则sinθ，θ∈[0，），
∴θ＝30°，∴∠F1PF2的最大值为60°，∴A选项错误；
对B选项，∵|PF1|+|PF2|＝2a＝4，∴B选项正确；
对C选项，∵当P为短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，
∴△PF1F2的面积最大值为，∴C选项错误；
对D选项，∵a﹣c≤|PF1|≤a+c，即1≤|PF1|≤3，∴D选项正确．
故选：BD．
（多选）33．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（　　）
A．|AF|+|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
【答案】ACD
【解答】解：设椭圆的左焦点为F'，则|AF'|＝|BF|，所以|AF|+|BF|＝|AF|+|AF'|为定值6，A正确；
△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|，因为|AF|+|BF|为定值6，易知|AB|的范围是（0，6），所以△ABF的周长的范围是（6，12），B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，又易知，所以，所以△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确．
故选：ACD．
（多选）34．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P（1，1）为线段MN的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．△PF1F2的面积为1
C．直线l的方程为x+3y﹣4＝0
D．
【答案】AC
【解答】解：根据题意，作图如下：
对A：由题知a2＝6，b2＝2，则c2＝4，所以离心率为，A正确；
对B：，B错误；
对C：设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，两式相减得，
因为P（1，1）为线段MN的中点，所以x1+x2＝2，y1+y2＝2，所以，
即直线MN的斜率为，所以直线l的方程为，即x+3y﹣4＝0，
经检验符合题意，C正确；
对D：联立得2x2﹣4x﹣1＝0，Δ＝16+8＞0，；
所以，D错误．
故选：AC．
35．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设椭圆的焦点坐标为（±c，0），
由已知求得a2＝25，b2＝9，则，
设过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为，
把点代入，得，解得．
∴过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为4．
故答案为：．
36．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是　（）　 ．
【答案】（）
【解答】解：根据题意，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，
解可得：m＜2，
即m的取值范围是（），
故答案为：（）．
37．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，动点P（x1，y1），Q（x2，y2）均在椭圆上，O是坐标原点，记OP和OQ的斜率分别为k1，k2；△OBP与△OAQ的面积分别为S1，S2．若，则S1S2的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由椭圆的方程可得A（﹣2，0），B（2，0），
假设P在第一象限，Q在第二象限，
设直线OP的方程为y＝kx，（k＝k1）k＞0，代入椭圆的方程，可得k2x2＝1，
可得xP，yP，即P（，），
因为直线OP，OQ的斜率，
则直线OQ的方程为yx，代入椭圆的方程，可得1，
解得xQ，yQ，即Q（，），
则S1S2|OB| yP |OA| yQ|＝yP yQ，
因为4k2，当且仅当k2时，即k时取等号，
所以S1S2．
即S1S2的最大值为．
由椭圆及直线的对称性，满足条件时的S1S2的最大值为．
故答案为：．
▉题型10 椭圆的离心率
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
38．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设内层椭圆方程为（a＞b＞0），
∵内、外层椭圆离心率相同，
∴外层椭圆方程可设成（m＞1），由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，
设切线AC方程为y＝k1（x+ma），与联立得，
，
由Δ＝0，则，
设切线BD方程为y＝k2x+mb，
同理可求得，两切线斜率之积等于，
∴，，
∴，因此．
故选：C．
39．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为B2，B1，点D在线段B1F上，且|B1D|＝2|DF|，若OD∥AB2，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得：B2（0，b），A（a，0），B1（0，﹣b），F（0，c），
又|B1D|＝2|DF|，
则D，
又OD∥AB2，
则，
即．
故选：B．
40．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2|BF2|，|AB|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：F1，F2为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，如图，
由|AF2|＝2|BF2|，|AB|＝|F1F2|，
∴|AF2|＝|BF1|＝2|BF2|，，
∴△ABF2是直角三角形，又|BF1|+|BF2|＝2a，则，，
|AB|＝2c，
∴，即，即，
∴．
故选：B．
▉题型11 求椭圆的离心率
【知识点的认识】
椭圆的离心率e由公式计算，其中．
41．已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，F1，F2，且四边形AF1BF2是正方形，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，F1，F2，且四边形AF1BF2是正方形，
可得|AO|＝|OF2|，故b＝c，
又a2＝b2+c2＝2c2，
则E的离心率为．
故选：B．
▉题型12 椭圆的准线及第二定义
【知识点的认识】
椭圆的第二定义
平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．
（多选）42．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，∠F1MF2的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点G（0，m），则（　　）
A．四边形MF1NF2的周长为8
B．的最小值为9
C．直线BM，BN的斜率之积为
D．当时，|F1E|：|F2E|＝2：1
【答案】AC
【解答】解：对A选项，由椭圆的定义知，四边形MF1NF2的周长为2a+2a＝4a＝8，A正确；
对B选项，，
当且仅当时等号成立，故B错误；
对C选项，设M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1），又，所以．
因为点M（x1，y1）在椭圆上，所以，即，
所以，C正确；
对D选项，设E（t，0）（﹣1＜t＜1），则，|MF1|+|MF2|＝4，
所以|MF1|＝2（t+1），|MF2|＝2（1﹣t），
在椭圆C：中，
由其第二定义（d指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得，
∴|MF1|＝2，
所以x1＝4t，
故M（4t，y1），E（t，0），，
因为三点共线，所以，解得，则，解得，
当时，，当时，，故D错误．
故选：AC．
▉题型13 直线与椭圆的综合
【知识点的认识】
直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与椭圆相交 Δ＞0；
直线与椭圆相切 Δ＝0；
直线与椭圆相离 Δ＜0；
43．已知椭圆E：1，点F（﹣1，0），若直线x+λy﹣1＝0（λ∈R）与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【解答】解：易知a＝2，b，c＝1，
所以椭圆的左焦点F（﹣1，0），右焦点F′（1，0），
因为直线的方程为x+λy﹣1＝0，
即λy+（x﹣1）＝0，
此时直线过点F′（1，0），
则△ABF的周长C＝AF+AF′+BF+BF′＝2a+2a＝4a＝8．
故选：D．
44．已知点P为椭圆上任意一点，直线l过⊙M：x2+y2﹣4x+3＝0的圆心且与⊙M交于A，B两点，则的取值范围是（　　）
A．[3，35] B．[2，34] C．[2，36] D．[4，36]
【答案】A
【解答】解：易知圆M的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1，
所以圆M的圆心M（2，0），半径为1，
已知a2＝16，b2＝12，c2＝4，
则圆心M（2，0）为椭圆的右焦点，线段AB为⊙M的直径，
连接PM，
此时
，
点P为椭圆上任意一点，
则，，
即，
所以∈[3，35]．
故选：A．
45．已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且离心率为．
（1）求C的方程；
（2）已知M（2，0），N（﹣2，0），过椭圆C的右焦点且斜率不为0的直线与C交于点A，B．
（ⅰ）若四边形AMBN面积为，求直线AB的方程；
（ⅱ）若直线AN，BM的倾斜角分别为α，β，且sin（α+β）＝4cosαcosβ，求直线AN与直线BM的交点Q到直线AB的距离．
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）6．
【解答】解：（1）由，得，因此椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x＝my+1，联立椭圆C的方程，
整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，Δ＝（6m）2﹣4×（3m2+4）×（﹣9）＝144（m2+1）＞0，
因此，；
（ⅰ）四边形AMBN的面积，
整理得36m4+21m2﹣11＝0即（3m2﹣1）（12m2+11）＝0，解得，
因此直线AB的方程为，即；
（ⅱ）由，，得，
因此，
由题知cosαcosβ≠0，又sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝4cosαcosβ，
因此tanα+tanβ＝4，与联立，得tanα＝1，tanβ＝3，
因此直线AN，BM的方程分别为y＝x+2，y＝3（x﹣2），
联立，则x+2＝3x﹣6，可得x＝4，故Q（4，6），
联立，则，整理有7x2+16x+4＝0，
因此（7x+2）（x+2）＝0，则或x＝﹣2（N的横坐标，舍），故，
代入x＝my+1，则，可得，故直线AB的方程为4x+3y﹣4＝0，
因此点Q到直线AB的距离为．
46．已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线y＝x+1与椭圆C相交于A、B两点，且△AOB的面积为（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为椭圆上顶点的坐标为（0，b），左、右顶点的坐标分别为（﹣a，0）、（﹣a，0），
所以，
即a2＝3b2，
又a2＝b2+c2，
所以，
则椭圆C的离心率；
（2）不妨设A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，消去y并整理得4x2+6x+3﹣3b2＝0，
此时Δ＝48b2﹣12＞0，
解得，
由韦达定理得，，
所以|AB|，
又原点O到直线AB的距离，
所以△AOB的面积S，
解得b＝1，
故椭圆C的方程为．
47．已知椭圆，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若MA，NB的斜率分别为k1，k2，且k2＝3k1，证明：直线MN过定点．
（3）在（2）的条件下，若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求|PQ|的最小值．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析；
（3）．
【解答】解：（1）易知当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形，
因为当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4，
所以，2ab＝4，
解得a＝2，b＝1，
则椭圆C的方程为；
（2）证明：易知直线MN的斜率不为零，
设直线MN的方程为x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去x并整理得（m2+4）y2+2mny+n2﹣4＝0，
此时Δ＝16（m2﹣n2+4）＞0，
由韦达定理得，
此时，
因为A（﹣2，0），B（2，0），
若MA，NB的斜率分别为k1，k2，且k2＝3k1，
所以，
可得
，
解得n＝1，
则直线MN的方程为x＝my+1，
故直线MN恒过定点（1，0）
（3）由（2）知n＝1，
直线AM的方程为，直线BN的方程为，
则，
，
解得x＝4，
所以xP＝4，，
同理得xQ＝4，，
，
当且仅当m＝0时，等号成立．
故|PQ|的最小值为．
48．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点F（﹣2，0），短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：x与x轴交于点Q，过焦点F（﹣2，0）的直线与椭圆交于M，N两点．
（i）证明：Q点在以MN为直径的圆外；
（ii）在l上是否存在点E使得△EMN是等边三角形，若存在，求出直线MN的方程，若不存在请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设椭圆半焦距为c，因为椭圆焦点F（﹣2，0），短轴长为2，
所以，所以a2＝b2+c2＝2+4＝6，
所以椭圆C的标准方程为，
（2）（i）证明：由题意直线l的方程为x＝﹣3，所以Q（﹣3，0），
当直线MN斜率为0时，此时以MN为直径的圆的方程为x2+y2＝6，显然Q在此圆外；
当直线MN斜率不为0时，设直线MN的方程为x＝my﹣2，
联立，消去x得（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，
Δ＝16m2+8（m2+3）＝24m2+24＞0恒成立，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
，
故Q在以MN为直径的圆外．
（ii）当MN斜率存在且不为0时，设直线MN的方程为x＝my﹣2，
设MN中点为G（xG，yG），又M（x1，y1），N（x2，y2），
由（i）得，，
由于G在直线x＝my﹣2上，所以，
直线EG的斜率为﹣m，所以，
，
因为△EMN是等边三角形，所以，则，
解得m2＝1，即m＝±1，
故直线l的方程为y＝x+2或y＝﹣x﹣2；
当直线MN斜率不存在时，，
此时Q到MN距离为1，故不存在等边三角形；
当MN斜率为0时，易得不存在等边三角形．
综上所述，直线l的方程为y＝x+2或y＝﹣x﹣2．
49．已知椭圆满足a2﹣b2＝4，点M（2，3）为C上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点（2，0）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）6．
【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，左、右焦点分别为F1，F2，
因为椭圆C满足a2﹣b2＝4，
所以c＝2，
所以F1（﹣2，0），F2（2，0），
此时|MF1|＝5，|MF2|＝3，
由椭圆的定义得，
所以b2＝a2﹣c2＝12，
则椭圆C的标准方程为；
（2）易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为x＝my+2，
联立，消去x并整理得（3m2+4）y2+12my﹣36＝0，
由韦达定理得，
此时，
又点O到直线PQ的距离为，
所以△OPQ的面积S，
设，
此时m2＝t2﹣1，
则△OPQ的面积S．
当t＝1时，△OPQ的面积取得最大值，最大值为6．
50．已知椭圆，四点中恰有三个点在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）过点A（1，0）作两条互相垂直的直线l1、l2，直线l1交椭圆Γ于B、C两点，直线l2交椭圆Γ于D、E两点；
（i）设BC中点为M，DE中点为N，证明：直线MN过定点；
（ii）求△AMN面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）（i）证明过程见解析；
（ii）．
【解答】解：（1）由椭圆的对称性，知不在椭圆上，
所噢耶三点在椭圆上，
此时，
解得a＝2，b＝1，
则椭圆Γ的方程为；
（2）（i）证明：若直线l1、l2中任意一条斜率为零时，直线MN的方程为y＝0；
若直线l1、l2的斜率都不为零时，
设直线l1的方程为x＝my+1，
此时直线l2的方程为，
联立，消去x并整理得（1+4m2）y2+2my﹣3＝0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），
此时，
可得，
将代入直线l1的方程中，
解得，
即，
同理得，
当，即m2＝1，直线MN⊥x轴，
此时直线MN与x轴的交点坐标为，
当m2≠1时，，
所以直线MN的方程为，
即，
此时直线MN恒过点，
当直线MN斜率不存在时，直线MN也经过点，
综上所述，直线MN恒过点；
（ii）直线l1、l2的斜率显然都不为零，
设直线MN经过的定点为，
此时
，
设f（x）＝4x，函数定义域为[2，+∞），
可得0，f（x）单调递增，
所以当x＝2时，f（x）取得最小值，最小值，
所以，
当且仅当m2＝1时，等号成立．
则△AMN的最大值为．
51．已知椭圆，椭圆C与x轴交于点A1，A2，直线l与椭圆交于M，N两点（其中点M在x轴上方，点N在x轴下方），设直线l的方程为y＝kx+b．如图，将平面xOy沿x轴折叠，使点M移动到点M'的位置，y轴的正半轴经折叠后记为y'，且二面角M′﹣A1A2﹣N的大小为．
（1）折叠前，若椭圆C的焦点F1，F2在x轴上，且与椭圆上一点P构成三角形．PF1F2，△PF1F2的周长为．直线l的方程为．
（i）求椭圆C的标准方程．
（ii）求折叠后直线M'N与平面A1NA2所成角的大小．
（2）折叠后，是否存在定值k，对于任意，OM'⊥ON始终成立．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（i）椭圆方程为；
（ii）直线M′N与平面A1NA2夹角为；
（2）不存在定值k，对于任意，OM'⊥ON始终成立．
【解答】解：（1）（i）由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|＝2m，，
则△PF1F2的周长为，解得m＝4，
即椭圆方程为．
（ii）设M（x1，y1），N（x2，y2），y1＞0，y2＜0，
联立直线与椭圆，得，
解得，，即，，
如图所示，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则MQ＝2，折叠后|M′Q|＝2，
过M'作M'M″⊥平面A1NA2，连接M''Q，
则M′′Q⊥x轴，且直线M′N在平面A1NA2上的投影为M″N，且，
则，
分别设x轴，y轴，y'轴正方向上的单位向量分别为，，，
即，，
又，，，
则，
由直线M′N与平面A1NA2夹角的平面角为∠M'NM″，
则，
所以直线M′N与平面A1NA2夹角为；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，，
联立直线与椭圆
得（5+16k2）x2+32kbx+16（b2﹣5）＝0，，
则△＞0恒成立，
且，，
又OM'⊥ON，
则，
即，
即，不为定值，
所以不存在定值k，对于任意，OM'⊥ON始终成立．
52．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴一端点与左右焦点构成等腰直角三角形，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x＝a+1于点E、F．
（Ⅰ）若点，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2．
①试探究：k1 k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；
②求△AEF的面积的最小时，k1，k2的值．
【答案】（Ⅰ）1；
（Ⅱ）①k1 k2为定值；
②k1，k2．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得A（a，0），
再由等腰直角三角形可得b＝c，可得a2＝b2+c2＝2b2，
因为B（，），所以1，
可得b2＝4，a2＝8，
所以椭圆的方程为：1；
（Ⅱ）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），则1，A（2，0），
①由题意可得k1 k2 ，
即k1 k2为定值；
②直线AB的方程为y（x﹣2），直线l的方程为：x＝a+1＝21，
令x＝21，可得yE；
直线AC的方程为：y（x﹣2），令x＝21，
可得yF，
可得S△AEF|EF| （a+1﹣a） （）
，这时x0＝0，即B为上顶点（0，2），C（0，﹣2），
这时k1，k2．
▉题型14 椭圆的弦及弦长
【知识点的认识】
椭圆的弦是连接椭圆上两点的线段，弦长可以用椭圆的参数和弦的方程计算．
53．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，点P，Q在C上，若，且∠PQF1＝∠PF1Q，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，点P，Q在C上，
由，可得P，Q，F2在同一条直线上，|F1F2|＝2c，
设x，则2x，
由椭圆的定义，2a，
则2a﹣2x，
∵∠PQF1＝∠PF1Q，则，即2a﹣x＝3x，解得x，
∴
在△F1PQ中，cos∠F1PQ，
在△F1PQ中，cos∠F1PF2，
则，化简得4c2，即e2，解得：e．
故选：B．
▉题型15 椭圆的焦点弦及焦半径
【知识点的认识】
焦点弦是通过椭圆的焦点并且与椭圆交于两点的弦．焦半径是焦点到椭圆上某点的距离．
54．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，若|PF1| |PF2|，则cos∠F1PF2＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，
则a＝2，，c＝1，
则|PF1|+|PF2|＝4，
又|PF1| |PF2|，
则9，
则cos∠F1PF2．
故选：A．
55．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为Γ上一点，则的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：由题，|PF1|+|PF2|＝2a＝4，
由基本不等式可得：，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时等号成立，
所以|PF1| |PF2|≤4，
所以，
即的最小值为1．
故选：A．
（多选）56．设O为坐标原点，P为椭圆C1：1与双曲线C2：x2﹣y2＝1在第一象限的公共点，F1，F2分别是椭圆C1的左、右焦点，则（　　）
A．C1与C2的焦点相同 B．|PF1|﹣|PF2|＝2
C．|PF1|＝3 D．|OP|
【答案】ABD
【解答】解：∵椭圆C1：1与双曲线C2：x2﹣y2＝1的半焦距均为，且焦点都在x轴上，
∴C1与C2的焦点相同，∴A选项正确；
∵|PF1|﹣|PF2|＝2×1＝2，∴B选项正确；
联立，解得P（，），又F1为（，0），
∴|PF1|3，∴C选项错误；
∴|OP|，∴D选项正确．
故选：ABD．
▉题型16 椭圆的焦点三角形
【知识点的认识】
焦点三角形是由椭圆的两个焦点和椭圆上的一点形成的三角形．三角形的面积和其他性质可以通过椭圆的参数计算．
（多选）57．已知椭圆的焦点分别为F1（0，﹣2），F2（0，2），设直线l与椭圆C交于M、N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．椭圆上存在点Q使得∠F1QF2＝90°
C．直线l的方程为3x+y﹣2＝0
D．△F1MN的周长为
【答案】BCD
【解答】解：对于选项A．由椭圆的焦点分别为F1（0，﹣2），F2（0，2），可知，m2﹣2＝4，解得：m2＝6，∴椭圆，
∴，椭圆C的离心率，故A选项错误；
对于选项B．由椭圆方程可知，，c＝2，以|F1F2|为直径的圆与椭圆由4个交点，∴椭圆上存在点Q使得∠F1QF2＝90°，故B选项正确；
对于选项C．设M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，，两式相减得，
由直线l与椭圆C交于M、N两点，且点为线段MN的中点，可知，x1+x2＝1，y1+y2＝1，
∴，x1≠x2，∴，∴直线l的斜率为﹣3，
∴直线l的方程为，整理为3x+y﹣2＝0，故C选项正确；
对于选项D．∵直线l过椭圆的焦点F2（0，2），∴△F1MN的周长为，故D选项正确．
故选：BCD．
▉题型17 椭圆与平面向量
【知识点的认识】
椭圆与平面向量的关系涉及椭圆的参数、平面向量的方向和椭圆的标准方程．
58．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，且|AF1|+|AF2|＝4，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线AM，AN分别交直线x＝﹣1于P，Q两点，若，证明：直线MN过定点．
【答案】（1）；（2）直线MN过定点（﹣1，0），证明过程请见解答．
【解答】（1）解：设C的半焦距为c，由题意得，
解得，
故C的方程为．
（2）证明：由题意知，直线MN的斜率不可能为0，设其方程为x＝sy+t（t≠2），
联立，得（3s2+4）y2+6sty+3t2﹣12＝0，
由Δ＝36s2t2﹣4（3s2+4）（3t2﹣12）＞0，得3s2+4﹣t2＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
所以x1+x2＝s（y1+y2）+2t，x1x2＝（sy1+t）（sy2+t）＝s2y1y2+st（y1+y2）+t2，
因为A（2，0），M（x1，y1），
所以直线AM的方程为，
令x＝﹣1，得，所以，
同理可得，
所以，，
因为，所以，即，
所以，
整理得，解得t＝﹣1或t＝2（舍），
所以直线MN的方程为x＝sy﹣1，
故直线MN过定点（﹣1，0）．
59．已知椭圆的右焦点F与抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点相同，曲线C的离心率为为E上一点且|PF|＝3．
（1）求曲线C和曲线E的标准方程；
（2）过F的直线交曲线C于H、G两点，若线段HG的中点为M，且，求四边形OHNG面积的最大值．
【答案】（1），E：y2＝4x；
（2）．
【解答】解：（1）椭圆，
又，
所以椭圆，
抛物线E：y2＝4x；
（2）因为直线HG斜率不为0，设为x＝ty+1，
设G（x1，y1），H（x2，y2），
联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，
所以Δ＝36t2+36（3t2+4）＝144（t2+1）＞0，
所以，
所以，
∵，∴S△GHN＝2S△OHG，
设四边形OHNG的面积为S，
则，
令，再令，
易知在[1，+∞）单调递增，
所以m＝1时，ymin＝4，
此时取得最小值4，所以．
▉题型18 椭圆的定点及定值问题
【知识点的认识】
定点问题涉及椭圆上的某点到固定点的距离、角度等特性．定值问题通常要求解决椭圆上的点的距离问题．
60．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（0，1）．
（1）求C的方程；
（2）过C的右焦点F的直线交⊙O；x2+y2＝a2于A，B两点，线段AB的垂直平分线交C于M，N两点．
（i）证明：四边形AMBN的面积为定值，并求出该定值；
（ii）若直线AB的斜率存在且不为0，设线段AB的中点为E，记△AEN，△BEM的面积分别为S1，S2，当S1＜S2时，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）①证明过程见解析，定值为；
②．
【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为，且过点（0，1），
所以，
解得a，b＝1，c，
则椭圆C的方程为．
（2）（ⅰ）证明：设四边形AMBN的面积为S，
因为过椭圆C的右焦点的直线交⊙O：x2+y2＝1于A，B两点，
直线MN的垂直平分线段AB，
所以四边形AMBN的面积，
当直线AB与x轴重合时，
此时，|MN|＝2，
所以四边形AMBN的面积．
由圆的性质知直线MN过坐标原点O，
由椭圆的对称性知|OM|＝|ON|，
当直线AB与x轴不重合时，
设直线AB方程为，
因为，，
所以，
因为MN⊥AB，
所以直线MN的方程为y＝﹣tx，
联立，
解得，
所以．
所以，
则四边形AMBN的面积，
综上所述，四边形AMBN的面积为定值，定值为；
（ⅱ）易知，，
因为|AE|＝|BE|，
易知直线AB的斜率存在且不为0，
所以
，
由（ⅰ）知，
设3t2+1＝m（m≥1），
此时，
所以．
当且仅当，即m＝2时，等号成立，
此时．
故的最小值为．第2章第2.2节 椭圆
题型1 椭圆的定义 题型2 椭圆的标准方程
题型3 根据定义求椭圆的标准方程 题型4 根据椭圆的几何特征求标准方程
题型5 由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数 题型6 求椭圆的焦点和焦距
题型7 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 题型8 椭圆上的点与焦点的距离
题型9 椭圆的几何特征 题型10 椭圆的离心率
题型11 求椭圆的离心率 题型12 椭圆的准线及第二定义
题型13 直线与椭圆的综合 题型14 椭圆的弦及弦长
题型15 椭圆的焦点弦及焦半径 题型16 椭圆的焦点三角形
题型17 椭圆与平面向量 题型18 椭圆的定点及定值问题
▉题型1 椭圆的定义
【知识点的认识】
1．椭圆的第一定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．
2．椭圆的第二定义
平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．
3．注意要点
椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．
（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；
（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；
（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．
1．已知椭圆，若C上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为 　 ．
▉题型2 椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
2．“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
4．已知椭圆方程为1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
5．”0＜t＜1”是”曲线表示椭圆”的（　　）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
6．“0＜t＜1”是“曲线表示椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．设F1，F2分别是椭圆E：x21（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 ．
▉题型3 根据定义求椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆的定义是：平面上到两个定点（焦点）的距离之和等于常数（长轴长度）的点的轨迹．对于中心在原点的椭圆，其标准方程可以从定义直接推导．
8．已知方程，现从集合{﹣1，1，2，3，8，9}中随机取出一个元素作为n的值，记事件A：C表示的曲线为椭圆，事件B：C表示的曲线的焦点在x轴上，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型4 根据椭圆的几何特征求标准方程
【知识点的认识】
椭圆的几何特征包括长轴2a、短轴2b、焦点．
9．已知椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且过点D（，）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与椭圆E相交于M，N两点（N在P，M之间）证明：直线MB与直线NA的交点的横坐标是定值．
10．已知椭圆的离心率为，点A为椭圆右顶点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且△FAB的面积是1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线x＝my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q
与x轴交于点H，求△PQH面积的取值范围．
▉题型5 由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数
【知识点的认识】
一般形式的椭圆方程可以通过完成平方转换为标准方程．例如，一般形式为：
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0
11．下列结论：①若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（5，8）；②双曲线y2﹣15x2＝15与椭圆的焦点相同；③M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝9或1；④直线y＝kx与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为．其中错误结论的序号是 　 　 ．
12．方程表示椭圆的充要条件是 ．
13．在平面直角坐标系内，已知曲线方程．
（1）若方程表示圆，则圆有多少个？
（2）若方程表示椭圆，则椭圆有多少个？
▉题型6 求椭圆的焦点和焦距
【知识点的认识】
椭圆的焦点位于，焦距c可以通过公式计算：
14．已知椭圆的方程为，则其焦距为（　　）
A． B．6 C． D．
（多选）15．已知焦点在x轴上的椭圆的焦距大于6，则m的值可以为（　　）
A．6 B．7 C． D．9
▉题型7 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数
【知识点的认识】
已知焦点位置和焦距c，可以通过公式c2＝a2﹣b2计算a和b．
16．已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
（多选）17．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值可以为（　　）
A．1 B． C．4 D．5
▉题型8 椭圆上的点与焦点的距离
【知识点的认识】
椭圆上任意点（x1，y1）到焦点的距离可以用以下公式计算：
18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，|PF1|的最小值为1，且△PF1F2的周长为34，则椭圆C的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
19．已知椭圆C：，F1，F2为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则|PA|+|PF1|的范围为 　 ．
▉题型9 椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
20．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
21．已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B．MN垂直椭圆的长轴，垂足为N，若|NA| |NB|＝2|MN|2，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
22．已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1| |MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
23．已知椭圆C：的焦距为4，直线x﹣y+3＝0与椭圆相交于A，B两点，若点Q（﹣2，1）是线段AB的中点，则椭圆C的短轴长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
24．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为，则（　　）
A．椭圆C的短轴长为 B．椭圆C的长轴长为4
C．椭圆C的焦距为4 D．a＝4
25．曲线1与曲线1（k＜9）的（　　）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
26．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）
A． B．
C． D．
27．已知椭圆：的左焦点为F1，离心率为为椭圆上关于y轴对称的两点，，若MF1⊥NF1，则椭圆方程为（　　）
A． B．
C． D．
28．已知椭圆C：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是F1，F2，M是C在第一象限上的一点，直线MF1与C的另一个交点为N．若MF2∥AN，则直线MN的斜率为（　　）
A． B． C． D．
29．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为M上的一点，若|PF1|＝4|PF2|，则|PF2|＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
30．经过椭圆的左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点，F2是椭圆C的右焦点，则△ABF2的周长为（　　）
A．24 B．12 C．36 D．48
31．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，O是坐标原点，且，则△F1PF2的面积等于（　　）
A． B． C． D．
（多选）32．已知点P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（　　）
A．存在点P，使得∠F1PF2＝75°
B．|PF1|+|PF2|＝4
C．△PF1F2的面积最大值为
D．1≤|PF1|≤3
（多选）33．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（　　）
A．|AF|+|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
（多选）34．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P（1，1）为线段MN的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．△PF1F2的面积为1
C．直线l的方程为x+3y﹣4＝0
D．
35．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为 ___________．
36．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是　 　 ．
37．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，动点P（x1，y1），Q（x2，y2）均在椭圆上，O是坐标原点，记OP和OQ的斜率分别为k1，k2；△OBP与△OAQ的面积分别为S1，S2．若，则S1S2的最大值为 ．
▉题型10 椭圆的离心率
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
38．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
39．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为B2，B1，点D在线段B1F上，且|B1D|＝2|DF|，若OD∥AB2，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
40．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2|BF2|，|AB|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
▉题型11 求椭圆的离心率
【知识点的认识】
椭圆的离心率e由公式计算，其中．
41．已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，F1，F2，且四边形AF1BF2是正方形，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
▉题型12 椭圆的准线及第二定义
【知识点的认识】
椭圆的第二定义
平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．
（多选）42．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，∠F1MF2的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点G（0，m），则（　　）
A．四边形MF1NF2的周长为8
B．的最小值为9
C．直线BM，BN的斜率之积为
D．当时，|F1E|：|F2E|＝2：1
▉题型13 直线与椭圆的综合
【知识点的认识】
直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与椭圆相交 Δ＞0；
直线与椭圆相切 Δ＝0；
直线与椭圆相离 Δ＜0；
43．已知椭圆E：1，点F（﹣1，0），若直线x+λy﹣1＝0（λ∈R）与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
44．已知点P为椭圆上任意一点，直线l过⊙M：x2+y2﹣4x+3＝0的圆心且与⊙M交于A，B两点，则的取值范围是（　　）
A．[3，35] B．[2，34] C．[2，36] D．[4，36]
45．已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且离心率为．
（1）求C的方程；
（2）已知M（2，0），N（﹣2，0），过椭圆C的右焦点且斜率不为0的直线与C交于点A，B．
（ⅰ）若四边形AMBN面积为，求直线AB的方程；
（ⅱ）若直线AN，BM的倾斜角分别为α，β，且sin（α+β）＝4cosαcosβ，求直线AN与直线BM的交点Q到直线AB的距离．
46．已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线y＝x+1与椭圆C相交于A、B两点，且△AOB的面积为（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程．
47．已知椭圆，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若MA，NB的斜率分别为k1，k2，且k2＝3k1，证明：直线MN过定点．
（3）在（2）的条件下，若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求|PQ|的最小值．
48．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点F（﹣2，0），短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：x与x轴交于点Q，过焦点F（﹣2，0）的直线与椭圆交于M，N两点．
（i）证明：Q点在以MN为直径的圆外；
（ii）在l上是否存在点E使得△EMN是等边三角形，若存在，求出直线MN的方程，若不存在请说明理由．
49．已知椭圆满足a2﹣b2＝4，点M（2，3）为C上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点（2，0）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．
50．已知椭圆，四点中恰有三个点在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）过点A（1，0）作两条互相垂直的直线l1、l2，直线l1交椭圆Γ于B、C两点，直线l2交椭圆Γ于D、E两点；
（i）设BC中点为M，DE中点为N，证明：直线MN过定点；
（ii）求△AMN面积的最大值．
51．已知椭圆，椭圆C与x轴交于点A1，A2，直线l与椭圆交于M，N两点（其中点M在x轴上方，点N在x轴下方），设直线l的方程为y＝kx+b．如图，将平面xOy沿x轴折叠，使点M移动到点M'的位置，y轴的正半轴经折叠后记为y'，且二面角M′﹣A1A2﹣N的大小为．
（1）折叠前，若椭圆C的焦点F1，F2在x轴上，且与椭圆上一点P构成三角形．PF1F2，△PF1F2的周长为．直线l的方程为．
（i）求椭圆C的标准方程．
（ii）求折叠后直线M'N与平面A1NA2所成角的大小．
（2）折叠后，是否存在定值k，对于任意，OM'⊥ON始终成立．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
52．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴一端点与左右焦点构成等腰直角三角形，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x＝a+1于点E、F．
（Ⅰ）若点，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2．
①试探究：k1 k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；
②求△AEF的面积的最小时，k1，k2的值．
▉题型14 椭圆的弦及弦长
【知识点的认识】
椭圆的弦是连接椭圆上两点的线段，弦长可以用椭圆的参数和弦的方程计算．
53．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，点P，Q在C上，若，且∠PQF1＝∠PF1Q，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
▉题型15 椭圆的焦点弦及焦半径
【知识点的认识】
焦点弦是通过椭圆的焦点并且与椭圆交于两点的弦．焦半径是焦点到椭圆上某点的距离．
54．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，若|PF1| |PF2|，则cos∠F1PF2＝（　　）
A． B． C． D．
55．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为Γ上一点，则的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
（多选）56．设O为坐标原点，P为椭圆C1：1与双曲线C2：x2﹣y2＝1在第一象限的公共点，F1，F2分别是椭圆C1的左、右焦点，则（　　）
A．C1与C2的焦点相同 B．|PF1|﹣|PF2|＝2
C．|PF1|＝3 D．|OP|
▉题型16 椭圆的焦点三角形
【知识点的认识】
焦点三角形是由椭圆的两个焦点和椭圆上的一点形成的三角形．三角形的面积和其他性质可以通过椭圆的参数计算．
（多选）57．已知椭圆的焦点分别为F1（0，﹣2），F2（0，2），设直线l与椭圆C交于M、N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．椭圆上存在点Q使得∠F1QF2＝90°
C．直线l的方程为3x+y﹣2＝0
D．△F1MN的周长为
▉题型17 椭圆与平面向量
【知识点的认识】
椭圆与平面向量的关系涉及椭圆的参数、平面向量的方向和椭圆的标准方程．
58．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，且|AF1|+|AF2|＝4，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线AM，AN分别交直线x＝﹣1于P，Q两点，若，证明：直线MN过定点．
59．已知椭圆的右焦点F与抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点相同，曲线C的离心率为为E上一点且|PF|＝3．
（1）求曲线C和曲线E的标准方程；
（2）过F的直线交曲线C于H、G两点，若线段HG的中点为M，且，求四边形OHNG面积的最大值．
▉题型18 椭圆的定点及定值问题
【知识点的认识】
定点问题涉及椭圆上的某点到固定点的距离、角度等特性．定值问题通常要求解决椭圆上的点的距离问题．
60．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（0，1）．
（1）求C的方程；
（2）过C的右焦点F的直线交⊙O；x2+y2＝a2于A，B两点，线段AB的垂直平分线交C于M，N两点．
（i）证明：四边形AMBN的面积为定值，并求出该定值；
（ii）若直线AB的斜率存在且不为0，设线段AB的中点为E，记△AEN，△BEM的面积分别为S1，S2，当S1＜S2时，求的最小值．

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