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第2章第2.3节 双曲线
题型1 双曲线的定义 题型2 根据定义求双曲线的标准方程
题型3 根据双曲线的几何特征求标准方程 题型4 根据abc及其关系式求双曲线的标准方程
题型5 求双曲线的焦点和焦距 题型6 由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数
题型7 双曲线上的点与焦点的距离 题型8 求双曲线的渐近线方程
题型9 由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数 题型10 双曲线的几何特征
题型11 双曲线的实轴和虚轴 题型12 双曲线的离心率
题型13 求双曲线的离心率 题型14 由双曲线的离心率求解方程或参数
题型15 双曲线的其他性质 题型16 直线与双曲线的综合
题型17 双曲线的弦及弦长 题型18 双曲线的焦点弦及焦半径
题型19 双曲线的焦点三角形 题型20 双曲线的中点弦
题型21 双曲线的定点及定值问题
▉题型1 双曲线的定义
【知识点的认识】
双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
标准方程
①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；
②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．
性质
这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：
①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．
1．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
2．已知点，，动点P满足条件|PM|﹣|PN|＝4．则动点P的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线，若C上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为 　 ．
▉题型2 根据定义求双曲线的标准方程
【知识点的认识】
双曲线是平面上到两个定点（焦点）的距离差的绝对值为常数的点的轨迹．双曲线的标准方程分为两种形式：
﹣对称轴为x轴（开口方向在x轴）：
﹣对称轴为y轴（开口方向在y轴）：
4．函数y＝x是我们最熟悉的函数之一，它是奇函数，且y轴和直线y＝x是它的渐近线，在第一象限和第三象限存在图象，其图象实质是圆锥曲线中的双曲线．
（1）函数y＝x的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，求其对称轴l的方程；
（2）若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转轴．
（ⅰ）请采用适当的变换方法，求函数y＝x变换后所对应的双曲线标准方程；
（ⅱ）已知函数y＝x图象上任一点到平面内定点A、B的距离差的绝对值为定值，以线段AB为直径的圆与y＝x的图象一个交点为P，求△PAB的面积．
▉题型3 根据双曲线的几何特征求标准方程
【知识点的认识】
双曲线的几何特征包括焦距、顶点和渐近线．顶点在坐标轴上，焦点间距2c，常数2a是双曲线上任意一点到两个焦点的距离差．
5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线C以椭圆E：x21的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
▉题型4 根据abc及其关系式求双曲线的标准方程
【知识点的认识】
a和b是双曲线的参数，它们满足关系c2＝a2+b2（其中c是焦距的一半）．
7．临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世．如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面．其横截面圆的最小半径为20cm，底座和上口的半径均为30cm，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（　　）
A．70cm B．80cm C．90cm D．100cm
▉题型5 求双曲线的焦点和焦距
【知识点的认识】
双曲线的焦点为或，焦距为2c，其中．
8．双曲线方程为x2﹣2y2＝1，则它的右焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
▉题型6 由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数
【知识点的认识】
已知双曲线的焦点位置和焦距2c，可以求解a和b，从而得到标准方程．
9．已知双曲线mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0）的一个焦点坐标为（﹣1，0），当m+4n取最小值时，双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
▉题型7 双曲线上的点与焦点的距离
【知识点的认识】
对于双曲线上的任意点（x1，y1），到焦点（c，0）或（﹣c，0）的距离可以用距离公式计算．
10．M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝（　　）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
11．已知F1、F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，若双曲线的一条渐近线与直线恰好平行．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若|F1F2|＝6，M为双曲线上一点，且，求|MF2|的值﹒
▉题型8 求双曲线的渐近线方程
【知识点的认识】
双曲线的渐近线是双曲线无限远处的切线．对于双曲线或，其渐近线方程为或．
12．已知a＞b＞0，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若，则C2的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．x±2y＝0
13．如图，已知F1，F2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若0，，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
14．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左、右两支分别于点M，N，且满足|F1N|＝3|F1M|，△MNF2是等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B．y＝±2x C． D．
15．双曲线x2+my2＝1的两条渐近线互相垂直，则m＝ 　 ．
16．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，若|MF1|＝3|OM|，则双曲线的渐近线方程为 ．
▉题型9 由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数
【知识点的认识】
已知双曲线的渐近线方程可以确定a和b，从而得到双曲线的标准方程．
17．已知双曲线的渐近线与圆x2+y2+8y+12＝0相切，则双曲线的离心率为 　 ．
▉题型10 双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
18．双曲线y2＝1的渐近线方程是（　　）
A．y＝±2x B． C．y＝±4x D．
19．已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（　　）
A． B．2 C．4 D．
20．三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”，“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”．公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”．某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四象限，且点B在双曲线T：x2﹣y2＝a（a＞0）的一条渐近线上，而OA与T在第一象限内交于点A．以点A为圆心，2|OA|为半径的圆与T在第四象限内交于点P，设AP的中点为Q，则．若|OA|＝5，|OQ|＝6，则a的值为（　　）
A． B．8 C． D．10
21．已知圆与双曲线，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线C2的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
22．如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆x2+y2＝c2上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线C2交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为k1、k2，若椭圆C1的离心率为，则k1 k2的值为（　　）
A．2 B． C． D．4
23．已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点F1，F2，点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线C1上，若记曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，满足e1 e2＝1，且直线PF1与y轴的交点的坐标为，则∠F1QF2的最大值为（　　）
A． B． C． D．
24．已知F1、F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2＝60°．则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
25．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2作直线AB⊥F1F2交C于A，B两点．现将C所在平面沿直线F1F2折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A，B两点的对应点分别为A'，B'，且∠A'F1B'＝β 若，则C的离心率为（　　）
A． B． C．3 D．
26．双曲线8x2﹣y2＝8的焦点坐标是（　　）
A．（±3，0） B．（0，±3） C． D．
27．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知PF2＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（　　）
A． B．1
C． D．
28．双曲线1的渐近线方程是（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
29．双曲线的两条渐近线与圆x2+y2﹣2mx+1＝0没有公共点，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣2，2） B．
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．
（多选）30．已知点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为C上一动点，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为
C．若|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为
D．若直线l：y＝kx与双曲线C无交点，则直线l的斜率的取值范围为
（多选）31．已知抛物线C1：y2＝mx与双曲线C2：有相同的焦点，点P（2，y0）在抛物线C1上，则下列结论正确的有（　　）
A．双曲线C2的离心率为2
B．双曲线C2的渐近线为
C．m＝8
D．点P到抛物线C1的焦点的距离为4
（多选）32．已知双曲线和，其中a＞0，b＞0，且a≠b，则（　　）
A．C1与C2虚轴长相等 B．C1与C2焦距相等
C．C1与C2离心率相等 D．C1与C2渐近线相同
（多选）33．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|＝3|PF2|，则（　　）
A．|PQ|＝2a B．
C．C的离心率为 D．直线PQ的斜率为±4
（多选）34．已知O为坐标原点，M（1，2），P是抛物线C：y2＝2px上的一点，F为其焦点，若F与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（　　）
A．若|PF|＝6，则点P的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π
D．△PMF周长的最小值为
（多选）35．已知F（2，0）是双曲线的右焦点，P为右支上一点，则（　　）
A．双曲线C的虚轴长为
B．|OP|≥|PF|（O为坐标原点）
C．双曲线C的渐近线方程为
D．M为圆E：（x+2）2+y2＝1上一点，|PM|﹣|PF|的最小值为1
（多选）36．已知曲线C1：4x2+3y2＝48，C2：，则（　　）
A．C1的长轴长为4
B．C2的渐近线方程为
C．C1与C2的焦点坐标相同
D．C1与C2的离心率互为倒数
37．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，E是圆O：x2+y2＝a2上一点，点A关于E的对称点D恰好在双曲线上，且，则双曲线C的离心率为 ．
38．若m是2和8的等比中项，则双曲线的渐近线方程为 ．
39．抛物线y＝ax2的焦点恰好为双曲线y2﹣x2＝2的一个焦点，则a＝　 ．
▉题型11 双曲线的实轴和虚轴
【知识点的认识】
双曲线的实轴是通过两个顶点的线段，虚轴是与双曲线相交的渐近线的距离．对于双曲线，实轴长度为2a，虚轴长度为2b．
40．已知双曲线C：，其左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C的左右两支分别于A，B两点，且|F2A|＝|F2B|，|AB|＝8，则C的实轴长为（　　）
A．1 B．6 C．2 D．4
▉题型12 双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
41．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别在C的左支和右支上，且满足AF1∥BF2，5|AF1|＝3|BF2|，|BF1|＝2|AF1|，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
42．点F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，|PQ|＝|F1F2|，△PF1Q的面积为，e为双曲线的离心率，则e2为（　　）
A． B． C． D．
43．如图，已知A，B是双曲线的右支上的两点（点A在第一象限），点A关于坐标原点O对称的点为C，且∠ABC，若直线AB的斜率为﹣3，则该双曲线的离心率为 ．
44．设双曲线C：的左，右焦点分别是F1，F2，点M是C上的点，若△MF1F2是等腰直角三角形，则C的离心率是 　 ．
▉题型13 求双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的离心率e是，其中是焦距的一半．
45．设F1，F2为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且成等差数列，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
46．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点，在双曲线右支上存在点P，使得|PF2|，|PQ|，|PF1|成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（　　）
A． B． C． D．
47．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（a＞0，b＞0）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
▉题型14 由双曲线的离心率求解方程或参数
【知识点的认识】
已知离心率e，可以求解c和a，从而得到双曲线的标准方程．
48．设曲线，的离心率分别为e1，e2，若，则a＝（　　）
A． B． C． D．2
▉题型15 双曲线的其他性质
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2
离心率 e（e＞1） e（e＞1）
渐近线 即y＝±x 即y＝±x
准线 x＝± y＝±
（多选）49．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，A、B、P是C上的三个互不相同的动点，且A与B关于原点O对称，则下列结论正确的有（　　）
A．若|PF1|＝6，则有|PF2|＝10或|PF2|＝2
B．若△PF1F2的周长为20，则△PF1F2的面积为
C．的最大值为5
D．设PA，PB的斜率分别为k1、k2，则的最小值为
▉题型16 直线与双曲线的综合
【知识点的认识】
直线与双曲线的位置判断：将直线方程与双曲线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与双曲线相交 Δ＞0；
直线与双曲线相切 Δ＝0；
直线与双曲线相离 Δ＜0；
直线与双曲线的位置关系只有三种，不可能出现有多个解，因为直线与双曲线的交点个数最多有2个．值得注意的是，当直线方程和双曲线方程联立后，如果得到一元一次方程，说明此时直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线相交，且只有一个交点．
（多选）50．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点P（xp，0），则（　　）
A．
B．平面上点B（4，1），|AF2|+|AB|的最小值为
C．若经过左焦点F1的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为
D．过点F1作F1H⊥AP，垂足为H，则
51．已知双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A，B，M是C上的一个动点，，且C的一条渐近线方程为，设△MAB的面积为S，则S tan∠AMB＝　 ．
52．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为．
（1）求C的方程；
（2）记C的左右顶点分别为A1，A2，过（4，0）的直线与C交于M，N两点，M在第一象限，直线MA2与NA1交于点P，证明：点P在定直线上．
53．已知双曲线分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点．
（1）当直线l过点F2，且|AB|＝6时，求△ABF1的周长；
（2）已知点N（﹣2，3），若直线AN、BN的斜率之和为0，且，当AN、BN分别与y轴交于点R、S时，求△RSN的面积；
（3）已知直线l过点F2，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段AB上，若，求点P的坐标．
▉题型17 双曲线的弦及弦长
【知识点的认识】
双曲线的弦是连接双曲线上的两点的线段．弦长可以通过点的坐标和双曲线参数计算．
54．如图，过双曲线的左焦点F引圆x2+y2＝1的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
▉题型18 双曲线的焦点弦及焦半径
【知识点的认识】
焦点弦是通过焦点且与双曲线的两个交点形成的线段．焦半径是从焦点到双曲线上任意点的线段．
55．已知双曲线的方程为，点F1（0，5），点Q（5，7），点P为双曲线上的一个动点，则|PQ|+|PF1|的最小值为 ．
▉题型19 双曲线的焦点三角形
【知识点的认识】
焦点三角形由双曲线上的点、焦点组成的三角形．其面积可以通过双曲线的参数计算．
56．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作倾斜角为的直线交双曲线C于A，B两点，若△AF1F2，△BF1F2的内切圆半径分别为r1，r2，则r1r2＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
（多选）57．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，过F2的直线l与双曲线的右支交于P，Q两点（P在第一象限），PQ中点为M，△PF1F2，△QF1F2的内切圆圆心分别为I1，I2，半径分别为r1，r2，则下列结论正确的是（　　）
A．I1，B，I2三点共线
B．直线l斜率存在时，kPQ kOM＝3
C．若r1＝2r2，则直线l的斜率为
D．r1+r2的取值范围是
▉题型20 双曲线的中点弦
【知识点的认识】
中点弦是指经过某点P，与双曲线相较于两点，且P为两点的中点，两个交点为端点的线段称为过P点的中点弦．
58．已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点P（1，1）是线段AB的中点，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．
59．已知直线l：x﹣y+3＝0与双曲线C：1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，点P（1，4）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
▉题型21 双曲线的定点及定值问题
【知识点的认识】
定点问题指的是在双曲线上或双曲线的相关几何位置上找定点，定值问题指的是求双曲线上的定值．
60．已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A（﹣2，0），B（﹣4，3）两点．
（1）求C的方程；
（2）设P，M，N三点在C的右支上，BM∥AP，AN∥BP，证明：
（ⅰ）存在常数λ，满足；
（ⅱ）△MNP的面积为定值．第2章第2.3节 双曲线
题型1 双曲线的定义 题型2 根据定义求双曲线的标准方程
题型3 根据双曲线的几何特征求标准方程 题型4 根据abc及其关系式求双曲线的标准方程
题型5 求双曲线的焦点和焦距 题型6 由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数
题型7 双曲线上的点与焦点的距离 题型8 求双曲线的渐近线方程
题型9 由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数 题型10 双曲线的几何特征
题型11 双曲线的实轴和虚轴 题型12 双曲线的离心率
题型13 求双曲线的离心率 题型14 由双曲线的离心率求解方程或参数
题型15 双曲线的其他性质 题型16 直线与双曲线的综合
题型17 双曲线的弦及弦长 题型18 双曲线的焦点弦及焦半径
题型19 双曲线的焦点三角形 题型20 双曲线的中点弦
题型21 双曲线的定点及定值问题
▉题型1 双曲线的定义
【知识点的认识】
双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
标准方程
①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；
②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．
性质
这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：
①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．
1．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
【答案】B
【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12＝0的圆心为F（4，0），半径为2．
依题意得|PF|＝2+r，|PO|＝1+r，则|PF|﹣|PO|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．
故选：B．
2．已知点，，动点P满足条件|PM|﹣|PN|＝4．则动点P的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由点，，可得，
又由|PM|﹣|PN|＝4，可得，
根据双曲线的定义，可得点P的轨迹表示以M，N为焦点的双曲线的右支，
且，可得，则b2＝c2﹣a2＝1，
所以点P的轨迹方程为．
故选：C．
3．已知双曲线，若C上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为 　13　 ．
【答案】13．
【解答】解：由双曲线C的方程知，a＝4，b＝3，
设其左、右焦点分别为F1，F2，
由双曲线的定义知，||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，
不妨设|PF1|＝5，则|PF2|＝13或|PF2|＝﹣3（舍负），
所以P到另一个焦点的距离为13．
故答案为：13．
▉题型2 根据定义求双曲线的标准方程
【知识点的认识】
双曲线是平面上到两个定点（焦点）的距离差的绝对值为常数的点的轨迹．双曲线的标准方程分为两种形式：
﹣对称轴为x轴（开口方向在x轴）：
﹣对称轴为y轴（开口方向在y轴）：
4．函数y＝x是我们最熟悉的函数之一，它是奇函数，且y轴和直线y＝x是它的渐近线，在第一象限和第三象限存在图象，其图象实质是圆锥曲线中的双曲线．
（1）函数y＝x的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，求其对称轴l的方程；
（2）若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转轴．
（ⅰ）请采用适当的变换方法，求函数y＝x变换后所对应的双曲线标准方程；
（ⅱ）已知函数y＝x图象上任一点到平面内定点A、B的距离差的绝对值为定值，以线段AB为直径的圆与y＝x的图象一个交点为P，求△PAB的面积．
【答案】（1）y和y＝（1）x；
（2）（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解答】解：（1）函数y＝x的图象是圆锥曲线中的双曲线，且y轴和直线y＝x是它的渐近线，
可知对称轴为直线y＝x tan和y＝x tan.
由tantan（2），得．
解得tan，则tantan（），
tantan（）＝﹣tan1．
∴对称轴l的方程为y和y＝（1）x；
（2）（ⅰ）在转轴下，设坐标轴的旋转角为α，
平面上任一点P在旧坐标系xOy与新坐标系x′Oy′内的坐标分别
为（x，y）与（x′，y′），作PM⊥Ox，PN⊥Ox′，再设∠POx′＝θ，
则x′＝|ON|＝|OP|cosθ，y′＝|NP|＝|OP|sinθ，
x＝|OM|＝|OP|cos（α+θ）
＝|OP|（cosαcosθ﹣sinαsinθ）＝x′cosα﹣y′sinα，
y＝|MP|＝|OP|sin（α+θ）
＝|OP|（sinαcosθ+cosαsinθ）＝x′sinα+y′cosα．
由（1）可知将坐标轴逆时针旋转，
函数y＝x将变为双曲线标准方程，
由公式可得，代入y＝x，
得，
即1，
1，
1，
∴，
则，
得．
则函数y＝x变换后所对应的双曲线标准方程为；
（ⅱ）由题意知A、B为双曲线的两个焦点，
∴．
又∵△PAB为直角三角形，∴．
由双曲线性质可知|PA|﹣|PB|，
得，
则．
得△PAB的面积为．
▉题型3 根据双曲线的几何特征求标准方程
【知识点的认识】
双曲线的几何特征包括焦距、顶点和渐近线．顶点在坐标轴上，焦点间距2c，常数2a是双曲线上任意一点到两个焦点的距离差．
5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：因为双曲线的虚轴长是实轴长的倍，即2b＝2a，所以ba，
又椭圆的焦点为（±2，0），
所以a2+b2＝a2+3a2＝4a2＝4，解得a2＝1，b2＝3；
所以双曲线的标准方程为x21．
故选：A．
6．已知双曲线C以椭圆E：x21的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：椭圆E：x21，
则椭圆E的焦点为（0，2），（0，﹣2），顶点为（0，±），
双曲线C以椭圆E：x21的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，
则c，a＝2，b＝c2﹣a2＝1，
由题意可知，双曲线C的焦点为y轴，
故双曲线C的标准方程为．
故选：C．
▉题型4 根据abc及其关系式求双曲线的标准方程
【知识点的认识】
a和b是双曲线的参数，它们满足关系c2＝a2+b2（其中c是焦距的一半）．
7．临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世．如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面．其横截面圆的最小半径为20cm，底座和上口的半径均为30cm，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（　　）
A．70cm B．80cm C．90cm D．100cm
【答案】D
【解答】解：因为彩陶摆件横截面圆的最小半径为20cm，所以a＝20，则a2＝400，
由题意可知，，即，则c2＝2400，
所以b2＝c2﹣a2＝2000，可得双曲线的方程为，
将x＝30代入可得y＝±50，所以该彩陶摆件的高为100cm．
故选：D．
▉题型5 求双曲线的焦点和焦距
【知识点的认识】
双曲线的焦点为或，焦距为2c，其中．
8．双曲线方程为x2﹣2y2＝1，则它的右焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：双曲线的，，，
∴右焦点为．
故选：C．
▉题型6 由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数
【知识点的认识】
已知双曲线的焦点位置和焦距2c，可以求解a和b，从而得到标准方程．
9．已知双曲线mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0）的一个焦点坐标为（﹣1，0），当m+4n取最小值时，双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：由题意，
所以m+4n＝（）（m+4n）＝55+25+4＝9，
当且仅当，即m＝2n＝3时，等号成立．
所以a2，b2
又c＝1，所以e．
故选：C．
▉题型7 双曲线上的点与焦点的距离
【知识点的认识】
对于双曲线上的任意点（x1，y1），到焦点（c，0）或（﹣c，0）的距离可以用距离公式计算．
10．M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝（　　）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
【答案】C
【解答】解：M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，|MF1|＝5，
所以，
由双曲线定义可知||MF1|﹣|MF2||＝2a＝4，
所以|MF2|＝1或者9，又|MF2|≥c﹣a＝2，
所以|MF2|＝9．
故选：C．
11．已知F1、F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，若双曲线的一条渐近线与直线恰好平行．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若|F1F2|＝6，M为双曲线上一点，且，求|MF2|的值﹒
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为，
∴，即，
∵c2＝a2+b2，
∴，
∴离心率．
（2）∵|F1F2|＝2c＝6，
∴c＝3，
∵，
∴，b，
双曲线C的方程为，
∵，
∴或，
∵，
∴．
▉题型8 求双曲线的渐近线方程
【知识点的认识】
双曲线的渐近线是双曲线无限远处的切线．对于双曲线或，其渐近线方程为或．
12．已知a＞b＞0，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若，则C2的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．x±2y＝0
【答案】C
【解答】解：因为，所以，
所以，整理得a2＝2b2，即，
所以双曲线的渐近线方程为，即．
故选：C．
13．如图，已知F1，F2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若0，，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设|AF1|＝2m，|BF1|＝3m，
则|AF2|＝2a+2m，|BF2|＝2a+3m，
在Rt△ABF2中，可得25m2+（2m+2a）2＝（3m+2a）2，
可得m或m＝0（舍去）．
∴，|AF2|，
在Rt△AF1F2中，有，整理得37a2＝25c2，
∴37a2＝25（a2+b2），可得，
则双曲线C的渐近线方程为．
故选：C．
14．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左、右两支分别于点M，N，且满足|F1N|＝3|F1M|，△MNF2是等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B．y＝±2x C． D．
【答案】C
【解答】解：设|NF2|＝m，
因为△MNF2是等边三角形，
所以|MN|＝|MF2|＝m，
由双曲线的定义知，|NF1|﹣|NF2|＝2a，|MF2|﹣|MF1|＝2a，
所以|NF1|＝2a+m，|MF1|＝m﹣2a，
因为|F1N|＝3|F1M|，所以2a+m＝3（m﹣2a），即m＝4a，
在△MF1F2中，由余弦定理知，|F1F2|2＝|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1| |MF2|cos∠F1MF2，
所以4c2＝（m﹣2a）2+m2﹣2（m﹣2a） mcos120°＝4a2+16a2﹣2 2a 4a （），
即c2＝7a2，
所以渐近线方程y＝±x＝±x＝±x．
故选：C．
15．双曲线x2+my2＝1的两条渐近线互相垂直，则m＝ 　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：x2+my2＝1为双曲线的方程，可知m＜0，
可得双曲线x2+my2＝1的渐近线方程为，
双曲线x2+my2＝1的两条渐近线互相垂直，
可得，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，若|MF1|＝3|OM|，则双曲线的渐近线方程为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，
则∠OMF2＝90°，|OM|＝a，|OF2|＝c，
所以，则，且|MF1|＝3a，
由余弦定理得，
解得6a2＝c2，又c2＝a2+b2，所以5a2＝b2，
所以双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
▉题型9 由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数
【知识点的认识】
已知双曲线的渐近线方程可以确定a和b，从而得到双曲线的标准方程．
17．已知双曲线的渐近线与圆x2+y2+8y+12＝0相切，则双曲线的离心率为 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y，即bx﹣ay＝0，
圆x2+y2+8y+12＝0的圆心坐标为（0，﹣4），半径为2，
∵双曲线的渐近线与圆x2+y2+8y+12＝0相切，
∴，可得．
∴e．
故答案为：2．
▉题型10 双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
18．双曲线y2＝1的渐近线方程是（　　）
A．y＝±2x B． C．y＝±4x D．
【答案】B
【解答】解：双曲线y2＝1的渐近线方程是y2＝0，整理可得．
故选：B．
19．已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【解答】解：双曲线C：的离心率为，
可得e，
解得b＝2，
所以双曲线，
则焦点（±，0）到渐近线y＝±2x的距离为．
故选：B．
20．三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”，“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”．公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”．某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四象限，且点B在双曲线T：x2﹣y2＝a（a＞0）的一条渐近线上，而OA与T在第一象限内交于点A．以点A为圆心，2|OA|为半径的圆与T在第四象限内交于点P，设AP的中点为Q，则．若|OA|＝5，|OQ|＝6，则a的值为（　　）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【解答】解：某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四象限，且点B在双曲线T：x2﹣y2＝a（a＞0）的一条渐近线上，
而OA与T在第一象限内交于点A．以点A为圆心，2|OA|为半径的圆与T在第四象限内交于点P，
设AP的中点为Q，则．若|OA|＝5，|OQ|＝6，
设，直线OA的倾斜角为，
则∠QOA＝2α，直线OA的斜率为k＝tanθ，
∵Q为AP的中点，∴，
∵|OQ|＝6，∴，
∴，，
∴，∵，∴tanα∈（0，1），∴，
∴，
又∴，
∴，∴直线OA的方程为，
联立，得，
∵|OA|＝5，∴x2+y2＝25，即，
∴．
故选：C．
21．已知圆与双曲线，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线C2的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接OA、OB、OP，则OA⊥AP，OB⊥BP，
由切线长定理可知，|PA|＝|PB|，
又因为|OA|＝|OB|，|OP|＝|OP|，所以，△AOP≌△BOP，
所以，，则|OP|＝2|OA|＝2b，
设点P（x，y），则，且|x|≥a，
所以，，
所以，，故，
故选：B．
22．如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆x2+y2＝c2上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线C2交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为k1、k2，若椭圆C1的离心率为，则k1 k2的值为（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解答】解：由题意设椭圆标准方程为 ，（a＞b＞0），
双曲线标准方程为，则a2﹣b2＝s2+t2＝c2，
由，∴4a2＝5c2，
∵c2＝a2﹣b2，∴b2a2，
故椭圆方程为x2+5y2＝a2，联立x2+y2＝c2，可得：4y2＝a2﹣c2＝b2，
∴y＝±b，x2＝c2b2b2，
则A（b，b），
由对称性可知A、C两点关于原点对称，A、B两点关于x轴对称，
则B（b，b），C（b，b），
∴P（b，0），
故kCP，直线CP：y（xb）．
将A点代入 中得，1．①
s2+t2＝a2﹣b2＝4b2，②
②①结合得到 s2＝3b2或5b2，
∵a2＝5b2，显然s＜a，
故s2＝3b2，∴t2＝4b2﹣3b2＝b2
故双曲线的方程为1．
联立CP：y（xb）与1，
化为76x2+4bx﹣255b2＝0，
设Q（x0，y0），解得x0b，y0b，
∴Q（b，b），
∴k1＝kAC，k2＝kAQ，
∴k1k2．
故选：B．
23．已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点F1，F2，点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线C1上，若记曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，满足e1 e2＝1，且直线PF1与y轴的交点的坐标为，则∠F1QF2的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可知：，解得，
又∵，∴，
由直线PF1与y轴的交点的坐标为，可得，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：
cos∠PF1F2
．
可得，整理得，解得或（舍去），
且e1＞0，∴，
由椭圆性质可知：当Q为椭圆短轴顶点时，∠F1QF2取到最大值，
此时，
且∠F1QF2∈（0，π），则，∴，即．
故选：A．
24．已知F1、F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2＝60°．则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解答】解：不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n（m＞n）．
椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，两曲线的半焦距均为c，
由椭圆及双曲线的定义得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，
于是，m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，
又在△PF1F2中，由余弦定理得：
，
则，得，
由均值不等式得，当，时，等号成立，
所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为．
故选：B．
25．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2作直线AB⊥F1F2交C于A，B两点．现将C所在平面沿直线F1F2折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A，B两点的对应点分别为A'，B'，且∠A'F1B'＝β 若，则C的离心率为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解答】解：∵AB⊥F1F2，将x＝c代入双曲线方程1，可得，
∴，由题意可知，△A′B′F1，△A′B′F2均为等腰三角形，
且|A′F1|＝|B′F1|，|A′F2|＝|B′F2|，
在△A′B′F2中，，
在△A′B′F1中，，
∴，
∴，
解得：e＝3（e＞1）．
故选：C．
26．双曲线8x2﹣y2＝8的焦点坐标是（　　）
A．（±3，0） B．（0，±3） C． D．
【答案】A
【解答】解：双曲线8x2﹣y2＝8，标准方程为：x21，
所以a＝1，b＝2，c3，
所以双曲线8x2﹣y2＝8的焦点坐标是（±3，0）．
故选：A．
27．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知PF2＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（　　）
A． B．1
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为，
则过F2（c，0）且垂直渐近线的直线方程为，
联立，可得P（，），
∴|PF2|b＝2，又F1（﹣c，0），
∴，∴，
∴，∴a，又b＝2，
∴双曲线的方程为．
故选：D．
28．双曲线1的渐近线方程是（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【答案】A
【解答】解：双曲线1的渐近线方程是：y＝±x．
故选：A．
29．双曲线的两条渐近线与圆x2+y2﹣2mx+1＝0没有公共点，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣2，2） B．
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．
【答案】D
【解答】解：由双曲线，得a＝4，b＝2，则双曲线的一条渐近线方程为y，
即x﹣2y＝0．
由圆x2+y2﹣2mx+1＝0，得（x﹣m）2+y2＝m2﹣1．
由题意得：，解得或1＜m．
∴实数m的取值范围为（，﹣1）∪（1，）．
故选：D．
（多选）30．已知点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为C上一动点，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为
C．若|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为
D．若直线l：y＝kx与双曲线C无交点，则直线l的斜率的取值范围为
【答案】AC
【解答】解：因为双曲线方程为，所以a2＝4，b2＝2，c2＝a2+b2＝6，
所以a＝2，b，c，
所以双曲线的离心率为，A正确；
根据双曲线的定义，||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4①，
因为PF1⊥PF2，则根据勾股定理得②，
由①式取平方减去②式，可得﹣2|PF1| |PF2|＝﹣8，即得|PF1| |PF2|＝4，
则△PF1F2的面积为，B错误；
因为|PF1|＝2|PF2|，所以点P在双曲线右支上，
因为|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4，
所以|PF2|＝4，所以|PF1|＝8，所以△PF1F2的周长为，C正确；
因为双曲线方程为，则其渐近线方程为．
因为直线l：y＝kx与双曲线C无交点，则当k＞0时，；当k＜0时，；
故直线l的斜率的取值范围为，故D错误．
故选：AC．
（多选）31．已知抛物线C1：y2＝mx与双曲线C2：有相同的焦点，点P（2，y0）在抛物线C1上，则下列结论正确的有（　　）
A．双曲线C2的离心率为2
B．双曲线C2的渐近线为
C．m＝8
D．点P到抛物线C1的焦点的距离为4
【答案】ACD
【解答】解：对A，∵双曲线C2的离心率为，∴A正确；
对B，∵双曲线C2的渐近线为，∴B错误；
对C，∵C1，C2有相同焦点，∴，∴m＝8，∴C正确；
对D，∵抛物线y2＝8x焦点为（2，0），又点P（2，y0）在C1上，
∴y0＝±4，∴P（2，4）或P（2，﹣4），
∴P到C1的焦点的距离为4，∴D正确．
故选：ACD．
（多选）32．已知双曲线和，其中a＞0，b＞0，且a≠b，则（　　）
A．C1与C2虚轴长相等 B．C1与C2焦距相等
C．C1与C2离心率相等 D．C1与C2渐近线相同
【答案】BD
【解答】解：由已知，a＞0，b＞0，且a≠b，
双曲线C1的虚轴在y轴上，虚轴长为2b，
双曲线C2的虚轴在x轴上，虚轴长为2a，故A错误；
双曲线C1和C2焦距均为，故B正确；
双曲线C1的离心率为，
双曲线C2的离心率为，故C错误；
双曲线C1的渐近线为，
双曲线C2的渐近线为，故D正确．
故选：BD．
（多选）33．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|＝3|PF2|，则（　　）
A．|PQ|＝2a B．
C．C的离心率为 D．直线PQ的斜率为±4
【答案】ACD
【解答】解：如图，由4|PQ|＝3|PF2|，可设|PQ|＝3m，|PF2|＝4m，
因为PQ⊥PF2，所以|QF2|＝5m，
设|PF1|＝x，|QF1|＝y，则4m﹣x＝2a，5m﹣y＝2a，x+y＝3m，
解得，则，
所以|PQ|＝2a，故A选项正确；
，故B选项错误；
在△PF1F2中，由，得，则，
从而C的离心率为，故C选项正确；
又，所以直线PQ的斜率为±4，故D选项正确．
故选：ACD．
（多选）34．已知O为坐标原点，M（1，2），P是抛物线C：y2＝2px上的一点，F为其焦点，若F与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（　　）
A．若|PF|＝6，则点P的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π
D．△PMF周长的最小值为
【答案】ACD
【解答】解：由双曲线，得c2＝a2+b2＝4，则F（2，0），
∴，则p＝4，设P（x0，y0），
∴|PF|＝x0+2＝6，得x0＝4，故A正确；
联立，解得y，
则该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，故B错误；
∵O（0，0），F（2，0），∴△POF外接圆圆心的横坐标为1，
由已知可得△POF外接圆的半径r＝1﹣（﹣2）＝3，
则外接圆的面积为πr2＝9π，故C正确；
△PMF的周长为|PF|+|PM|+|MF|
．
∴△PMF周长的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）35．已知F（2，0）是双曲线的右焦点，P为右支上一点，则（　　）
A．双曲线C的虚轴长为
B．|OP|≥|PF|（O为坐标原点）
C．双曲线C的渐近线方程为
D．M为圆E：（x+2）2+y2＝1上一点，|PM|﹣|PF|的最小值为1
【答案】ABD
【解答】解：由题意知c＝2，a＝1，则，虚轴长为，A项正确；
易知右顶点A（1，0）是OF的中点，当点P在右支上运动时，有|OP|≥|PF|，B项正确；
双曲线C的渐近线方程为，C项错误；
对于D，如图，
由已知，E（﹣2，0）为双曲线的左焦点，则|PE|﹣|PF|＝2，
则|PM|﹣|PF|≥|PE|﹣1﹣|PF|＝1，当且仅当M为线段PE与圆交点时取等号，D项正确．
故选：ABD．
（多选）36．已知曲线C1：4x2+3y2＝48，C2：，则（　　）
A．C1的长轴长为4
B．C2的渐近线方程为
C．C1与C2的焦点坐标相同
D．C1与C2的离心率互为倒数
【答案】BD
【解答】解：曲线C1：4x2+3y2＝48整理得，
则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中，
所以，离心率为，
故曲线C1的长轴长2a1＝8，故A错误；
曲线C2：是焦点在x轴上的双曲线，其中，
所以，离心率为，故与曲线C1的焦点位置不同，故C错误；
C2：的渐近线方程为，故B正确；
又，
所以C1与C2的离心率互为倒数，故D正确．
故选：BD．
37．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，E是圆O：x2+y2＝a2上一点，点A关于E的对称点D恰好在双曲线上，且，则双曲线C的离心率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由图可得，E在圆O：x2+y2＝a2上，所以∠AEB是直角，
又因为点A关于E的对称点D恰好在双曲线上，
所以BE是AD的垂直平分线，
所以△ABE △DBE，所以|AB|＝|BD|＝2a，
因为，所以，
在△ODB中，由余弦定理得，
所以点D横坐标为，
纵坐标为，
所以点D的坐标为，
将点D代入双曲线方程得，
得a2＝b2，所以a2＝c2﹣a2，即2a2＝c2，
所以，所以双曲线C的离心率．
故答案为：．
38．若m是2和8的等比中项，则双曲线的渐近线方程为 y＝±2x ．
【答案】y＝±2x
【解答】解：m是2和8的等比中项，
则m2＝2×8＝16，
又为双曲线方程，
则m＜0，
即m＝﹣4，
即双曲线方程为，
则双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
故答案为：y＝±2x．
39．抛物线y＝ax2的焦点恰好为双曲线y2﹣x2＝2的一个焦点，则a＝　或　 ．
【答案】或
【解答】解：双曲线y2﹣x2＝2化成标准方程，得1
∴双曲线的焦点在y轴，且a2＝b2＝2
因此双曲线的半焦距c2，得焦点坐标为（0，2）或（0，﹣2）
∵抛物线y＝ax2即x2y，得它的焦点为F（0，），且F为双曲线的一个焦点
∴2或2，解之得a或
故答案为：或
▉题型11 双曲线的实轴和虚轴
【知识点的认识】
双曲线的实轴是通过两个顶点的线段，虚轴是与双曲线相交的渐近线的距离．对于双曲线，实轴长度为2a，虚轴长度为2b．
40．已知双曲线C：，其左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C的左右两支分别于A，B两点，且|F2A|＝|F2B|，|AB|＝8，则C的实轴长为（　　）
A．1 B．6 C．2 D．4
【答案】D
【解答】解：设|F2B|＝m，则|F2A|＝m，画出图形，如图所示：
由双曲线的定义可知，|F1B|＝2a+m，|F1A|＝m﹣2a，
所以|AB|＝|F1B|﹣|F1A|＝（2a+m）﹣（m﹣2a）＝4a＝8，
解得a＝2，
所以双曲线C的实轴长2a＝4．
故选：D．
▉题型12 双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
41．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别在C的左支和右支上，且满足AF1∥BF2，5|AF1|＝3|BF2|，|BF1|＝2|AF1|，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设O为坐标原点，延长BF2交双曲线C于点D，
连接DF1，
因为AF1∥BF2，点O为F1F2的中点，
由双曲线的对称性可知AF1∥DF2，|AF1|＝|DF2|，
因为5|AF1|＝3|BF2|，
设|AF1|＝|DF2|＝3t，
此时|BF2|＝5t，
所以|BF1|＝2a+|BF2|＝2a+5t，|DF1|＝2a+|DF2|＝2a+3t，
因为BF1|＝2|AF1|，
所以2a+5t＝2×3t，
解得t＝2a，
所以|BF1|＝12a，|BF2|＝10a，|DF2|＝6a，|DF1|＝8a，
在△BF1D中，，
在△BF1F2中，，
所以，
解得．
故选：A．
42．点F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，|PQ|＝|F1F2|，△PF1Q的面积为，e为双曲线的离心率，则e2为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由双曲线的对称性，知PF1QF2为平行四边形，且，
又|PQ|＝|F1F2|，则平行四边形PF1QF2为矩形，则，
因为，整理得，则，
所以，可得，即．
故选：A．
43．如图，已知A，B是双曲线的右支上的两点（点A在第一象限），点A关于坐标原点O对称的点为C，且∠ABC，若直线AB的斜率为﹣3，则该双曲线的离心率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意，点A关于坐标原点O对称的点为C，且∠ABC，可得，kBC，
设A（m，n），C（﹣m，﹣n），设B（s，t），可得，得，可得，
又
，，可得，得，代入，化简可得，
e．
故答案为：．
44．设双曲线C：的左，右焦点分别是F1，F2，点M是C上的点，若△MF1F2是等腰直角三角形，则C的离心率是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：双曲线C：的左，右焦点分别是F1，F2，△MF1F2是等腰直角三角形，|F1F2|＝|MF1|或|F1F2|＝|MF2|，
不妨令|F1F2|＝|MF2|，将x＝c代入双曲线方程，，
解得：，由等腰直角三角形可得，则c2﹣a2＝2ac，
方程两边同除以a2得：e2﹣2e﹣1＝0，解得：，
∵e＞1，∴离心率为．
故答案为：．
▉题型13 求双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的离心率e是，其中是焦距的一半．
45．设F1，F2为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且成等差数列，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：不妨设点P在第一象限，
由，两边平方可得22+2 22﹣2 ，
得，
即PF1⊥PO，
又P为C的一条渐近线上一点，
所以|PF1|＝b，|PO|＝a，|F1O|＝c，
因为成等差数列，
所以2|PO|＝|PF1|+|F1O|，即2a＝b+c，
可得2a﹣c＝b，两边平方可得4a2+c2﹣4ac＝b2＝c2﹣a2，
即4ac＝5a2，
所以．
故选：B．
46．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点，在双曲线右支上存在点P，使得|PF2|，|PQ|，|PF1|成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点，
在双曲线右支上存在点P，使得|PF2|，|PQ|，|PF1|成等比数列，如图，
设|PF2|＝m，|PQ|＝x，|PF1|＝n，则m﹣n＝2a，x2＝mn，
则x2﹣n2＝mn﹣n2＝2an，即n2+2an﹣x2＝0，①，
又x2﹣m2＝mn﹣m2＝﹣2am，∴m＝a，n＝﹣a（*），
在△PF1Q，△PF2Q中，∵cos∠PQF1+cos∠PQF2＝0，
∴0，
化简得：0，即，
由图得|PQ|＝x，则2a2，
∴4c3﹣9a2c+2a3≤0，即4e3﹣9e+20，
分解因式得（2e）（2e2e﹣2）≤0，
∴（2e）（e）（e）≤0，
∵e＞1，∴1＜e．
∴双曲线离心率取值范围是（1，]．
故选：B．
47．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（a＞0，b＞0）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为，
又双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，
∴，∴，∴，
∴该双曲线的离心率为，
故选：D．
▉题型14 由双曲线的离心率求解方程或参数
【知识点的认识】
已知离心率e，可以求解c和a，从而得到双曲线的标准方程．
48．设曲线，的离心率分别为e1，e2，若，则a＝（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解答】解：已知曲线，的离心率分别为e1，e2，
则，
又，
所以且a＞1，
则，
即．
故选：A．
▉题型15 双曲线的其他性质
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2
离心率 e（e＞1） e（e＞1）
渐近线 即y＝±x 即y＝±x
准线 x＝± y＝±
（多选）49．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，A、B、P是C上的三个互不相同的动点，且A与B关于原点O对称，则下列结论正确的有（　　）
A．若|PF1|＝6，则有|PF2|＝10或|PF2|＝2
B．若△PF1F2的周长为20，则△PF1F2的面积为
C．的最大值为5
D．设PA，PB的斜率分别为k1、k2，则的最小值为
【答案】ABC
【解答】解：对于A选项：由题可得a2＝4，b2＝5，
因此c2＝a2+b2＝9，因此c＝3，
因此双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），
因此||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4，若|PF1|＝6，则|6﹣|PF2||＝2a＝4，
因此|PF2|＝2或|PF2|＝10，又P在右支时，|PF2|min＝c﹣a＝3﹣2＝1，
P在左支时，|PF2|min＝c+a＝3+2＝5，
因此|PF2|＝2或|PF2|＝10，因此A选项对；
对于B选项：若△PF1F2的周长为20，则|PF1|+|PF2|＝20﹣2c＝14，又||PF1|﹣|PF2||＝4，
由对称性，不妨设|PF1|＞|PF2|，因此|PF1|＝9，|PF2|＝5，
由余弦定理可得，
因此，
因此△PF1F2的面积为，因此B选项正确；
对于C选项：设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则，
因此，
当且仅当y1＝0时，取等号，因此C选项正确；
对于D选项：设P（x2，y2），由，可得，
因此，则可得，
因此，当且仅当取等号，
又时，P，A，B三点共线，由题意，P，A，B三点不能共线，因此D选项错误．
故选：ABC．
▉题型16 直线与双曲线的综合
【知识点的认识】
直线与双曲线的位置判断：将直线方程与双曲线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与双曲线相交 Δ＞0；
直线与双曲线相切 Δ＝0；
直线与双曲线相离 Δ＜0；
直线与双曲线的位置关系只有三种，不可能出现有多个解，因为直线与双曲线的交点个数最多有2个．值得注意的是，当直线方程和双曲线方程联立后，如果得到一元一次方程，说明此时直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线相交，且只有一个交点．
（多选）50．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点P（xp，0），则（　　）
A．
B．平面上点B（4，1），|AF2|+|AB|的最小值为
C．若经过左焦点F1的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为
D．过点F1作F1H⊥AP，垂足为H，则
【答案】ABD
【解答】解：对于A、设直线AP的方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），，
联立，得，
由Δ，
又，可得，得，
∴直线AP的方程为，即x0x﹣3y0y＝3，
取y＝0，解得，
∵，∴，故A正确；
对于B、由双曲线定义得，且F1（﹣2，0），
则，
∴|AF2|+|AB|的最小值为，故B正确；
对于C、根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线AF2，
∵，且，∴，
若，则，，
可得，
∴直线AF1⊥直线AF2；
同理可知，当时，有直线AF1⊥直线AF2，
∴入射光线与反射光线的夹角为，故C错误；
对于D、如图，
AP为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AP平分∠F1AF2，
延长F1H与AF2的延长线交于点E，则AH垂直平分F1E，即点H为F1E的中点．
又O是F1F2的中点，
∴，故D正确．
故选：ABD．
51．已知双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A，B，M是C上的一个动点，，且C的一条渐近线方程为，设△MAB的面积为S，则S tan∠AMB＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得，故，
C的渐近线方程为，即，
又c2＝a2+b2，解得，故A（﹣3，0），B（3，0），|AB|＝6，
设M（m，n），则，，
，，
由余弦定理得
，
故，
故，
所以．
故答案为：．
52．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为．
（1）求C的方程；
（2）记C的左右顶点分别为A1，A2，过（4，0）的直线与C交于M，N两点，M在第一象限，直线MA2与NA1交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】（1）；
（2）点P在定直线x＝1上，证明见解答．
【解答】（1）解：依题意得，，
解得a＝2，b1，
所以双曲线C的方程为．
（2）证明：解法一：由（1）得A1（﹣2，0），A2（2，0），
设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MA2：y＝m（x﹣2），直线NA1：y＝n（x+2），
联立，得（1﹣4m2）x2+16m2x﹣16m2﹣4＝0，
由，得，故，
由，得（1﹣4n2）x2﹣16n2x﹣16n2﹣4＝0，
由，得，故，
由题设知，故（4mn﹣1）（3n+m）＝0，由题意知mn＜0，故m＝﹣3n，
点P（x，y），满足y＝m（x﹣2）且y＝n（x+2），所以x＝1，点P在定直线x＝1上．
解法二：由题意可知MN不垂直于y轴，可设MN：x＝my+4（m≠±2），
代入，可得（m2﹣4）y2+8my+12＝0，因为Δ＝16m2+192＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则．
由MA2：，NA1：，
可得，
从而x＝1，故点P在定直线x＝1上．
53．已知双曲线分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点．
（1）当直线l过点F2，且|AB|＝6时，求△ABF1的周长；
（2）已知点N（﹣2，3），若直线AN、BN的斜率之和为0，且，当AN、BN分别与y轴交于点R、S时，求△RSN的面积；
（3）已知直线l过点F2，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段AB上，若，求点P的坐标．
【答案】（1）16；（2）2；（3）．
【解答】解：（1）根据双曲线定义得：|AF1|﹣|AF2|＝2，|BF1|﹣|BF2|＝2，
两式相加得|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+|BF2|）＝4，
即|AF1|+|BF1|﹣|AB|＝4，
由已知|AB|＝6得|AF1|+|BF1|＝10，
所以△ABF1的周长为16；
（2）设直线AN、BN的倾斜角分别为α、β，
由已知kAN+kBN＝0得α+β＝π，
不妨设，
则∠ANB＝2α，
则，
可求得，，
所以直线，令x＝0，解得R（0，4），
直线，令x＝0，解得S（0，2），
所以△RSN的面积为；
（3）设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），由，知Q（2x0，2y0），
若直线l斜率不存在，则l：x＝2，此时P（1，0），Q（2，0）与点F2（2，0）重合，不符题意，舍．
设直线l方程为：y＝k（x﹣2），
与双曲线，
联立化简得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3＝0，
k2﹣3≠0，Δ＞0显然成立，
设交点A（x1，y1）、B（x2，y2），
由韦达定理：，
由，得（x2﹣x1，y2﹣y1）＝2（2﹣2x0，﹣2y0），
从而x2﹣x1＝2（2﹣2x0），即，
将韦达定理代入，
化简得，（*）
因为，即y0＝k（x0﹣1），
由已知P（x0，y0）在双曲线上，得，
从而，
得代入（*）式，
，
化简得，
即，
解得，
点P的坐标为．
▉题型17 双曲线的弦及弦长
【知识点的认识】
双曲线的弦是连接双曲线上的两点的线段．弦长可以通过点的坐标和双曲线参数计算．
54．如图，过双曲线的左焦点F引圆x2+y2＝1的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解答】解：双曲线实半轴长a＝1，虚半轴长b＝3，令半焦距为c，
设F1是双曲线的右焦点，连接PF1，OT，OM，如图，
由M，O分别为FP，FF1的中点，得，由双曲线定义，得|PF|﹣|PF1|＝2a，
过双曲线的左焦点F引圆x2+y2＝1的切线，切点为T，
即FP切圆x2+y2＝1于点T，得|FT|，
∴b﹣a＝2．
故选：D．
▉题型18 双曲线的焦点弦及焦半径
【知识点的认识】
焦点弦是通过焦点且与双曲线的两个交点形成的线段．焦半径是从焦点到双曲线上任意点的线段．
55．已知双曲线的方程为，点F1（0，5），点Q（5，7），点P为双曲线上的一个动点，则|PQ|+|PF1|的最小值为 　7　 ．
【答案】7．
【解答】解：因为双曲线的方程为，所以a＝3，b＝4，c＝5，焦点在y轴上，
所以点F1（0，5）为双曲线的上焦点，设下焦点为F2（0，﹣5），
结合图形可知点P为上支上的点时才可能取得最小值，
因为|PF2|﹣|PF1|＝2a＝2×3＝6，所以|PF1|＝|PF2|﹣2a＝|PF2|﹣6，
所以|PQ|+|PF1|＝|PQ|+|PF2|﹣2×3≥|QF2|﹣6＝13﹣6＝7，
当且仅当P、Q、F2三点共线时取等号，
故|PQ|+|PF1|的最小值为7．
故答案为：7．
▉题型19 双曲线的焦点三角形
【知识点的认识】
焦点三角形由双曲线上的点、焦点组成的三角形．其面积可以通过双曲线的参数计算．
56．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作倾斜角为的直线交双曲线C于A，B两点，若△AF1F2，△BF1F2的内切圆半径分别为r1，r2，则r1r2＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解答】解：双曲线中，a＝3，b＝4，c＝5，
设△AF1F2，△BF1F2的内切圆的圆心分别为M，N，
则根据双曲线的几何性质易得MN⊥x轴，且两圆都切于双曲线的右顶点P，
∠AF2M＝∠MF2F1＝60°，∠F1F2N＝∠BF2N＝30°，
∴r1＝|PF2|tan60°＝（c﹣a），
r2＝|PF2|tan30°＝（c﹣a），
∴r1r2＝4．
故选：A．
（多选）57．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，过F2的直线l与双曲线的右支交于P，Q两点（P在第一象限），PQ中点为M，△PF1F2，△QF1F2的内切圆圆心分别为I1，I2，半径分别为r1，r2，则下列结论正确的是（　　）
A．I1，B，I2三点共线
B．直线l斜率存在时，kPQ kOM＝3
C．若r1＝2r2，则直线l的斜率为
D．r1+r2的取值范围是
【答案】ABD
【解答】解：依题意，得a2＝1，b2＝3，得c2＝4，
则F1（﹣2，0），F2（2，0），A（﹣1，0），B（1，0），
设点 P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）
对于A项，如图，设△PF1F2的内切圆的切点为R，S，T，
由双曲线的定义得，|PF1|﹣|PF2|＝2a，而|PR|＝|PS|，
得|RF1|﹣|SF2|＝2a，而|RF1|＝|TF1|，|SF2|＝|TF2|，
得|TF1|﹣|TF2|＝2a，又因为|BF1|﹣|BF2|＝（c+a）﹣（c﹣a）＝2a，
得切点T与点B 重合，得点T（1，0），则内心I1的横坐标为1，
同理可得，内心I2的横坐标也为1，得I1，B，I2三点均在直线x＝1上，故A项正确．
对于B项，由相减得，，
得，即kPQ kOM＝3，故B项正确；
对于C项，设直线l的倾斜角为θ，连接I1F2，I2F2，
则，，
|BF2|＝c﹣a＝1，，，
若r1＝2r2，则，故C项错误；
对于D项，由C选项分析，，θ为直线l的倾斜角，
因为双曲线的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角分别为，
因为直线l与双曲线的右支交于P，Q两点，
所以，
令，则，则在单调递减，在单调递增，
故，
故，故D项正确．
故选：ABD．
▉题型20 双曲线的中点弦
【知识点的认识】
中点弦是指经过某点P，与双曲线相较于两点，且P为两点的中点，两个交点为端点的线段称为过P点的中点弦．
58．已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点P（1，1）是线段AB的中点，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得：
用（1）式减去（2）式可得：
0，0，0，
∵点P（1，1）是线段AB的中点，根据中点坐标公式：可得：
，即x1+x2＝2，y1+y2＝2．
代入0，可得：，
化简得：，可得：，
而就是直线l的斜率k，∴直线l的斜率为．
故选：B．
59．已知直线l：x﹣y+3＝0与双曲线C：1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，点P（1，4）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵点P（1，4）是弦AB的中点，
根据中点坐标公式可得：，
∵A，B两点在直线l：x﹣y+3＝0根据两点斜率公式可得：，
∵A，B两点在双曲线C上，
，
∴，即．
解得：，
∴．
故选：D．
▉题型21 双曲线的定点及定值问题
【知识点的认识】
定点问题指的是在双曲线上或双曲线的相关几何位置上找定点，定值问题指的是求双曲线上的定值．
60．已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A（﹣2，0），B（﹣4，3）两点．
（1）求C的方程；
（2）设P，M，N三点在C的右支上，BM∥AP，AN∥BP，证明：
（ⅰ）存在常数λ，满足；
（ⅱ）△MNP的面积为定值．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析．
【解答】解：（1）设C的方程为mx2﹣ny2＝1，其中mn＜0．
由C过A，B两点，故4m＝1，16m﹣9n＝1，解得，．
因此C的方程为．
（2）（ⅰ）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），其中xi＞0，，i＝0，1，2．
因为BM∥AP，所以直线BM的斜率为，方程为y﹣3＝k1（x+4）．
由，得，
所以，
．
因此．
同理可得直线AN的斜率为，直线AN的方程为y＝k2（x+2）．
由，得，
所以，
，
因此
．
则，即存在λ＝4，满足．
（ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为，
所以点P到直线MN的距离．
而，
所以△MNP的面积为定值．

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