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第2章第2.4节 抛物线
题型1 抛物线的定义 题型2 抛物线的标准方程
题型3 抛物线的焦点与准线 题型4 直线与抛物线的综合
题型5 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 题型6 抛物线的弦及弦长
题型7 抛物线的焦点弦及焦半径 题型8 抛物线的焦点三角形
题型9 抛物线的定点及定值问题
▉题型1 抛物线的定义
【知识点的认识】
抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．
标准方程
①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；
②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．
性质
我们以y2＝2px（p＞0）为例：
①焦点为（，0）；②准线方程为：x；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．
1．已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
过点F作FE⊥m，交直线m于点E，
点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，
由抛物线的定义可知，d1＝|PF|，所以当P在线段EF上时，
d1+d2取得最小值，
．
故选：B．
▉题型2 抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上
焦点 （，0） （0，）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线 x y
2．若点（1，2）到抛物线C的准线的距离为3，请写出一个C的标准方程：y2＝8x（本题答案不唯一，y2＝8x，y2＝﹣16x，x2＝4y，x2＝﹣20y任选一个即可）　 ．
【答案】y2＝8x（本题答案不唯一，y2＝8x，y2＝﹣16x，x2＝4y，x2＝﹣20y任选一个即可）
【解答】解：由题意得抛物线C的准线可能为直线x＝﹣2，x＝4，y＝﹣1，y＝5，
所以C的标准方程可能为y2＝8x，y2＝﹣16x，x2＝4y，x2＝﹣20y．
故答案为：y2＝8x（答案不唯一，y2＝8x，y2＝﹣16x，x2＝4y，x2＝﹣20y中任选一个即可）．
▉题型3 抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q（6，3），则△PQF周长的最小值为（　　）
A．13 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【解答】解：y2＝2×4x，故F（2，0），
记抛物线C的准线为l，则l：x＝﹣2，
记点P到l的距离为d，点Q（6，3）到l的距离为d′，
则|PQ|+|PF|+|QF|＝|PQ|+dd′+5＝8+5＝13．
故选：A．
4．抛物线x2＝﹣4y的焦点到准线的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x2＝﹣4y，
其焦点坐标为（0，﹣1），准线方程为y＝1，
焦点到准线的距离为2；
故选：B．
5．若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．1或9 D．2或9
【答案】C
【解答】解：由抛物线y2＝2px（p＞0）知：准线为x，且对称轴为x轴，
不妨令M（m，）且m≥0，则，可得，
所以p2﹣10p+9＝（p﹣1）（p﹣9）＝0，解得p＝1或p＝9，均满足题意．
故选：C．
6．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解答】解：由抛物线C：y2＝x得2p＝1，
设PQ的倾斜角为，
则由|PF|cosθ+p＝|PF|，p﹣|QF|cosθ＝|QF|得，
所以，
所以，
所以．
故选：B．
7．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为10，到y轴的距离为9，则p＝（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】A
【解答】解：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，解得p＝2．
故选：A．
8．双曲线1（a＞0）有一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x
【答案】D
【解答】解：抛物线焦点（2，0），则a2+3＝4
∴a2＝1，∴a＝1，
∴双曲线方程为：．
∴渐近线方程为．
故选：D．
9．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，M（4，0），过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则|PF|+|PQ|的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由得，
，得，
所以直线过定点，
连接AM，则，由题易知点Q在以AM为直径的圆上，
设Q（x，y），所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，
过点Q，P，N分别作准线x＝﹣2的垂线，垂足分别为B，D，S，连接QD，
则，
当且仅当S，P，Q，N四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立，所以|PF|+|PQ|的最小值为．
故选：B．
10．已知抛物线与抛物线，则（　　）
A．过C1与C2焦点的直线方程为x+y＝4
B．C1与C2只有1个公共点
C．与x轴平行的直线与C1及C2最多有3个交点
D．不存在直线与C1和C2都相切
【答案】C
【解答】解：的焦点为（1，0），的焦点为（0，1），
过C1与C2焦点的直线方程为x+y＝1，故A错误；
C1与C2有（0，0），（4，4）2个公共点，故B错误；
与x轴平行的直线与C1有1个交点，与C2最多有2个交点，故C正确；
C1与C2关于直线y＝x对称，若存在直线与C1和C2都相切，则该切线也关于直线y＝x对称，
不妨设为y＝﹣x+t，联立，得x2+4x﹣4t＝0，
由Δ＝16+16t＝0，得t＝﹣1，故直线y＝﹣x﹣1与C1和C2 都相切，故D错误．
故选：C．
11．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝﹣2的距离为4，则|MF|＝（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解答】解：因为抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，
因为点M在C上，所以M到准线x＝﹣2的距离等于|MF|，
又M到直线x＝﹣2的距离为4，
故|MF|＝4．
故选：D．
12．如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（　　）（结果精确到0.01）
A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68
【答案】A
【解答】解：如图，设抛物线的方程为x2＝﹣2py，抛物线经过点（5，﹣6），
所以25＝12p，解得，所以抛物线顶点到焦点的距离为，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米．
故选：A．
13．已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线3x+2y﹣6＝0上，则抛物线C的标准方程为（　　）
A．y2＝﹣4x B．y2＝4x C．y2＝﹣8x D．y2＝8x
【答案】D
【解答】解：根据题意，抛物线C关于x轴对称，则抛物线的焦点在x轴上，
又由直线3x+2y﹣6＝0与x轴的交点为（2，0），所以抛物线C的焦点为（2，0），
故，解得p＝4，抛物线的标准方程为y2＝8x．
故选：D．
14．如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M，N为抛物线上两点，且有，直线MF，NF与准线分别交于A，B两点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为，则yM＝2，代入抛物线的方程可得xM2，xN4，
即，
抛物线的直线方程为x＝﹣1，焦点F（1，0），
由抛物线的性质可得|FM|＝2+1＝3，|FN|＝4+1＝5，
又因为kMF2，即直线MF：，如图所示：
令x＝﹣1，则，
即，同理，
则，
因为∠AFB＝∠MFN，所以sin∠AFB＝sin∠MFN，
所以．
故选：D．
15．若抛物线x2＝2py（p＞0）上的一点M（m，5）到焦点的距离为3p，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为（0，），准线方程为y，
由M（m，5）到焦点的距离为3p，结合抛物线的定义可得53p，
解得p＝2．
故选：B．
16．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0的垂线，垂足为P，则|MF|+|MP|的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．3
【答案】A
【解答】解：∵抛物线C的方程为y2＝4x，
∴F（1，0），抛物线C的准线方程为x＝﹣1，
∵方程（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0可化为y﹣1＝（1﹣a）（x﹣2），
∴（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0过定点B（2，1），
设P（x，y），设F，B的中点为A，则，
因为FP⊥BP，P为垂足，
∴，所以，
即点P的轨迹为以A为圆心，半径为的圆，
过点M作准线x＝﹣1的垂线，垂足为M1，则|MM1|＝|MF|，
∴|MF|+|MP|＝|MM1|+|MP|，
又，当且仅当M，P，A三点共线且P在M，A之间时等号成立，
∴，
过点A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为A1，
则，当且仅当A1，M，A三点共线时等号成立，
∴，当且仅当A1，M，P，A四点共线且P在M，A之间时等号成立，
所以|MF|+|MP|的最小值为，
故选：A．
17．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB＝6，深度MO＝2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点，则|PF|+|PQ|的最小值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
因为AB＝6，MO＝2，
所以点A（2，3）在抛物线上，
所以9＝4p，故，
所以抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为，
在方程中取可得，
所以点Q在抛物线内，过点P作PP'与准线垂直，P'为垂足，
点Q作QQ'与准线垂直，Q'为垂足，则|PF|＝|PP'|，
所以，
当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以|PF|+|PQ|的最小值为3，
故选：B．
18．若F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P是抛物线C上任意一点，PF的最小值为，且A，B是抛物线C上两点，|AF|+|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【解答】解：PF的最小值为，则，解得p＝1，
取AB中点E，抛物线的准线l：x＝﹣1，分别过点A、B、E作AD⊥l，BC⊥l，EG⊥l于点D、C、G，DG与y轴交于点H，如图所示：
由抛物线的定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，
∴|AD|+|BC|＝|AF|+|BF|＝5．
∵GE为梯形ABCD的中位线，
∴，
故线段AB的中点到y轴的距离，
故选：B．
19．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝3|OF|，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为（　　）
A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝20x
【答案】C
【解答】解：由题意，F（，0），准线方程为x，∵|MF|＝3|OF|，∴|MF|p．
∴M的横坐标为pp，
∴M的纵坐标为y＝±p，
∵△MFO的面积为16，
∴，
∴p＝8，
∴抛物线的方程为y2＝16x．
故选：C．
（多选）20．对抛物线y＝﹣8x2，下列描述正确的是（　　）
A．开口向下，准线方程为
B．开口向下，焦点为
C．开口向左，焦点为
D．开口向左，准线方程为
【答案】AB
【解答】解：由题设，抛物线可化为，
∴开口向下，焦点为，准线方程为．所以A、B正确，C、D错误．
故选：AB．
（多选）21．已知抛物线C：的焦点为F，点P（x0，y0）为抛物线C上一动点，点A（1，﹣3），则（　　）
A．抛物线C的准线方程为y＝2
B．|PA|+|PF|的最小值为5
C．当x0＝4时，则抛物线C在点P处的切线方程为x+y﹣4＝0
D．过AF的直线交抛物线C于M，N两点，则弦MN的长度为16
【答案】ABD
【解答】解：选项A，将抛物线C：化成标准方程为x2＝﹣8y，
所以焦点F（0，﹣2），准线方程为y＝2，即选项A正确；
选项B，过点P作PQ垂直准线于点Q，连接AQ，如图所示，
由抛物线的定义知，|PF|＝|PQ|，
所以|PA|+|PF|＝|PA|+|PQ|≥|AQ|＝3+2＝5，当且仅当A，P，Q三点共线时，等号成立，
所以|PA|+|PF|的最小值为5，即选项B正确；
选项C，当x0＝4时，y0＝﹣2，所以点P（4，﹣2），
由，知，
所以点P处的切线斜率为1，切线方程为y+2＝﹣（x﹣4），即x+y﹣2＝0，故选项C错误；
选项D，由A（1，﹣3），F（0，﹣2），知直线AF的方程为y+2（x﹣0），即y＝﹣x﹣2，
联立，消去y得x2﹣8x﹣16＝0，
所以xM+xN＝8，yM+yN＝﹣（xM+xN）﹣4＝﹣8﹣4＝﹣12，
所以|MN|＝﹣（yM+yN）+p＝12+4＝16，即选项D正确．
故选：ABD．
（多选）22．已知抛物线E：y2＝2px的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点P（原点除外）反射，则反射光线平行于x轴．经过点F且垂直于x轴的直线交抛物线E于B，C两点，经过点P且垂直于x轴的直线交x轴于点Q；抛物线E在点P处的切线l与x，y轴分别交于点M，N，则（　　）
A．|PQ|2＝|BF| |QF| B．|PQ|2＝|BC| |OQ| C．|PF|＝|MF| D．FN⊥l
【答案】BCD
【解答】解：对于AB，设点P（x，y），则，
则，而，
所以，故A错误；
又|BC|＝2p，|OQ|＝x，则|PQ|2＝2px＝|BC| |OQ|，故B正确；
对于C，如下图所示，过点P作x轴的平行线RH，与抛物线E的准线KH交于点H，
由题意所给抛物线的光学性质可得∠SPR＝∠MPF，
又∠SPR＝∠PMF，所以∠MPF＝∠PMF，从而|PF|＝|MF|，故C正确；
对于D，因为∠SPR＝∠HPM，所以∠MPF＝∠HPM，即PM为∠HPF的角平分线，
又由抛物线定义知|PH|＝|PF|，结合|PF|＝|MF|，可得四边形MFPH为菱形，
而y轴经过线段FH中点，从而PM与y轴的交点即为点N，所以FN⊥l，故D正确．
故选：BCD．
（多选）23．已知抛物线y2＝2px的焦点为F，且A（2，2），B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（　　）
A．点F的坐标为
B．若直线BC过点F，O为坐标原点，则
C．若|BC|＝4，则线段BC的中点到y轴距离的最小值为
D．若直线AB，AC是圆（x﹣2）2+y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为3x+6y+4＝0
【答案】ABD
【解答】解：已知抛物线y2＝2px的焦点为F，且A（2，2），B，C三点都在抛物线上，
因为A（2，2）在抛物线上，所以22＝2p×2，解得p＝1，所以抛物线焦点F的坐标为，故A正确；
由题意显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为，
由得y2﹣2ty﹣1＝0，由韦达定理可得y1y2＝﹣1，所以，
所以，故B正确；
因为（大于通径长2），
当且仅当B，C，F三点共线时，等号成立，所以x1+x2≥3，所以，
即线段BC的中点到y轴距离的最小值为，故C错误；
若直线AB，AC是圆（x﹣2）2+y2＝1的两条切线，
直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，
即2x﹣（y1+2）y+2y1＝0，又直线AB与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，
所以，整理得，
即3x1+6y1+4＝0．同理可得3x2+6y2+4＝0，
所以直线BC的方程为3x+6y+4＝0，故D正确．
故选：ABD．
（多选）24．已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，分别过A，B作抛物线的准线l1的垂线，垂足分别为A1，B1，以线段A1B1为直径作圆M，O为坐标原点，下列正确的判断有（　　）
A．x1+x2≥2 B．△AOB为钝角三角形
C．点F在圆M外部 D．直线A1F平分∠OFA
【答案】ABD
【解答】解：如图所示：
对选项A，由抛物线的焦半径公式可知|AB|＝x1+x2+2≥2p＝4，所以x1+x2≥2，
故A正确；
对于选项B，，
令直线l的方程为x＝my+1，代入y2＝4x得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1y2＝﹣4，
所以，所以△AOB是钝角三角形，故B正确；
对选项C，D，由|AA1|＝|AF|可知∠AA1F＝∠AFA1，
又AA1∥OF，所以∠AA1F＝∠OFA1＝∠AFA1，所以直线FA1平分角∠AFO，
同理可得FB′平分角∠BFO，所以A1F⊥B1F，即∠A1FB1＝90°，
所以圆M经过点F，故C错误，D正确．
故选：ABD．
（多选）25．如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是（　　）
A．|AB|＝5
B．四边形MNST的面积为
C． 0
D．|CD|的取值范围为
【答案】ACD
【解答】解：抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4，抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6，
Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，
对于A选项，设直线AB与直线l1，l2分别交于G、H，
由题可知|GA|＝|AF|＝2，|FB|＝|BH|＝3，所以|GH|＝|MN|＝10，|AB|＝5，所以A选项正确；
对于B选项，如图以A为原点建立平面直角坐标系，则F（2，0），l1：x＝﹣2，
所以抛物线Γ1的方程为y2＝8x，
连接PF，由抛物线的定义可知|PF|＝|MP|，|PF|＝|NP|，又|MN|＝10，
所以|MP|＝5，所以xP＝3，代入y2＝8x，可得，
所以，又|MN|＝10，故四边形MNST的面积为，所以B选项错误；
对于C选项，连接QF，因为|QF|＝|QT|＝|QS|，所以∠QFT＝∠QTF，∠QFS＝∠QSF，
所以，故，所以C选项正确；
对于D选项，根据抛物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，
设C，D在直线l1，l2上的射影分别为C1，D1，
当点D在抛物线BP，点C在抛物线AQ上时，|CD|＝|CC1|+|DD1|，
当C，D与A，B重合时，|CD|最小，最小值为|CD|＝5，
当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，因为，
直线，与抛物线Γ1的方程为y2＝8x联立，可得3x2﹣13x+12＝0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），则，所以；
当点D在抛物线PA，点C在抛物线AQ上时，设CD：x＝ty+2，
与抛物线Γ1的方程为y2＝8x联立，可得y2﹣8ty﹣16＝0，
设C（x3，y3），D（x4，y4），则，
当t＝0，即CD⊥AB时取等号，故此时；
当点D在抛物线PA，点C在抛物线QB上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故|CD|的取值范围为[5，]，所以D选项正确．
故选：ACD．
（多选）26．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则（　　）
A．以AB为直径的圆与准线相切
B．
C．△OAF可能为正三角形
D．sin∠PMN的取值范围为
【答案】ABD
【解答】解：由题意可知，直线AB斜率不为0，抛物线y2＝2px焦点F为，
设直线AB为，
则，
联立有，可得y2﹣2pmy﹣p2＝0，Δ＝4p2m2+4p2＞0，
则，
对A：有，即，
，
则以AB为直径的圆的圆心为，半径为，
又抛物线y2＝2px准线为，则点P到准线距离为pm2+p，
即以AB为直径的圆的圆心到抛物线准线的距离等于半径，
即以AB为直径的圆与准线相切，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：由，若△OAF为等边三角形，则有，
此时，不符合要求，故C错误；
对D：过点P作PC⊥y轴于点C，则，
所以，
又∠PMN不可能为90°，故，故D正确．
故选：ABD．
（多选）27．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，点Q（m，n），点P到点Q和到y轴的距离分别为d1、d2，则（　　）
A．抛物线C的准线方程为y＝﹣1
B．若m＝n＝1，则△PQF周长的最小值等于3
C．若（m﹣3）2+n2＝1，则d1的最小值等于2
D．若m﹣n＝﹣4，则d1+d2的最小值等于
【答案】BD
【解答】解：对于选项A：由抛物线方程可知抛物线准线是l：x＝﹣1，
即选项A错误．
对于选项B：当m＝n＝1时，△PQF的周长L＝PQ+PF+1＝d1+dP﹣l+1≥dQ﹣l+1＝3，
即选项B正确．
对于选项C：因为（m﹣3）2+n2＝1，
所以Q（m，n）在圆上，圆心为M（3，0），
所以d1≥|PM|﹣1，
设，
则，
所以，
所以d1的最小值等于，
即选项C错误．
对于选项D：若m﹣n＝﹣4，
则Q（m，n）在直线l1：x﹣y+4＝0上，
则，
即选项D正确．
故选：BD．
（多选）28．已知点M（2，4）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的一点，直线AB交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2），交y轴于P（0，t），交x轴于Q（s，0），则下列结论正确的是（　　）
A．C的准线方程为x＝﹣2
B．C在点M（2，4）处的切线方程为3x﹣y﹣2＝0
C．若s＝2，则x1+4x2≥8
D．若t＝﹣2，则|PQ|2＝|PA| |PB|
【答案】ACD
【解答】解：对于A，将M（2，4）代入抛物线方程y2＝2px（p＞0）得p＝4，所以抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝﹣2，故A正确；
对于B，由题意C在点M（2，4）处的切线斜率存在且不为0，所以设为x﹣2＝t（y﹣4），
联立抛物线方程y2＝8x得，y2﹣8ty+32t﹣16＝0，所以Δ＝64t2﹣4（32t﹣16）＝0，
解得t＝1，所以C在点M（2，4）处的切线方程为x﹣y+2＝0，故B错误；
对于C，若s＝2，直线AB斜率不为0，所以设直线AB方程为x＝my+2，
联立抛物线方程y2＝8x得，y2﹣8my﹣16＝0，显然Δ＞0，
所以，又x1，x2＞0，
所以，等号成立当且仅当x1＝4x2＝4，故C正确；
对于D，若t＝﹣2，直线AB斜率不为0，所以设直线AB方程为x＝ny+2n，
联立抛物线方程y2＝8x得，y2﹣8ny﹣16n＝0，
Δ＝64n（n+1）＞0 n＞0或n＜﹣1，y1+y2＝8n，y1y2＝﹣16n，
所以，
，
，
所以|PQ|2＝|PA| |PB|，故D正确．
故选：ACD．
29．抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1　 ．
【答案】y＝﹣1
【解答】解：∵抛物线方程为x2＝4y，
∴其准线方程为：y＝﹣1．
故答案为：y＝﹣1．
30．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作圆G：（x+2）2+y2＝4的两条切线，切点分别为P，Q，若△FPQ为等边三角形，则p的值为 　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作圆G：（x+2）2+y2＝4的两条切线，切点分别为P，Q，
又△FPQ为等边三角形，
则在直角三角形PGF中，，，
又G（﹣2，0），，
又|GP|＝2，，
则，
即，
则p＝4．
故答案为：4．
31．过点M（﹣1，m）作抛物线C：y2＝2px的两条切线，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），又直线AB经过抛物线C的焦点F，那么　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：过点M（﹣1，m）作抛物线C：y2＝2px的两条切线，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），
由题意，显然过点M（﹣1，m）作抛物线C：y2＝2px的切线的斜率存在，设该鈄率为k，
则该切线方程为y﹣m＝k（x+1），即y＝kx+k+m，
联立，消去y可得k2x2+（2k2+2km﹣2p）x+k2+2km+m2＝0，
由于切线与抛物线只有唯一交点，则Δ＝（2k2+2km﹣2p）2﹣4k2（k2+2km+m2）＝0，
整理可得2k2+2km﹣p＝0，
由题意，可知kMA，kMB为方程2k2+2km﹣p＝0的两个根，则，
由题意，设直线AB的方程为，
联立可得，消去x可得y2﹣2pny﹣p2＝0，由题意可知y1，y2为该方程的两个根，则，
故，
由抛物线方程y2＝2px，（p＞0），可得函数与函数，则与，
不妨设A（x1，y1）在第一象限，则x1＞0，y1＞0，即，且，
由设A（x1，y1）在第一象限，则B（x1，y2）在第四象限，即x2＞0，y2＜0，可得，且，故，
由，则，
综上可得2p＝p2，解得p＝2，故．
故答案为：4．
32．已知抛物线y2＝2px的焦点为点F，过点F的直线l交抛物线于点A，B两点，交抛物线的准线于点M，且，，则λ+μ＝　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：依题意，抛物线y2＝2px的焦点F坐标为，
易知直线l斜率存在，设直线方程为：，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y，得4k2x2﹣（4k2+16）x+k2p2＝0，
易知Δ＞0，则，即p2﹣4x1x2＝0，
过A作AQ垂直于x轴，过M作MQ平行于x轴，两者交于Q，
过B作BP垂直于x轴，交x轴于P，根据对称性，示意图如下，
因为，所以，
因为，所以，
则．
故答案为：0．
33．已知点M在抛物线Γ：x2＝4y上运动，过点M的两直线l1，l2与圆C：x2+（y﹣3）2＝4相切，切点分别为A，B，则当|AB| |MC|取最小值时，点M的坐标为 　（±2，1）　 ．
【答案】（±2，1）．
【解答】解：依题意，C点坐标为（0，3），
如图，设，设AB与MC交于H，
根据圆的性质，有AB⊥MC，且在Rt△ACM中，
，
而|AB|＝2|AH|，则，
所以，当|CM|最小时，|AB| |MC|最小，
又，
当且仅当时，取得最小值，此时M（±2，1）．
故答案为：（±2，1）．
34．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P，Q两点，则|PQ|＝　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），直线l过点F且斜率为2，
则l的方程为y＝2（x﹣1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由消去y，得x2﹣3x+1＝0，
又Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
且x1+x2＝3，
∴|PQ|＝x1+x2+2＝5．
故答案为：5．
35．已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵y2＝2px过点P（1，1），
∴1＝2p，
解得p，
∴y2＝x，
∴焦点坐标为（，0），准线为x，
（2）证明：设过点（0，）的直线方程为
y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴直线OP为y＝x，直线ON为：yx，
由题意知A（x1，x1），B（x1，），
由，可得k2x2+（k﹣1）x0，
∴x1+x2，x1x2
∴y1kx12kx12kx12kx1+（1﹣k） 2x1＝2x1，
∴A为线段BM的中点．
方法二：过点（x1，y1）和点（x2，y2）的直线的横截距a与纵截距b分别为a，b，
设M（m2，m），N（n2，n），则，即2，
此时A（m2，m2），B（m2，），
因此A为BM的中点，即m2m2，显然成立，
问题得以证明．
36．如图，已知直线与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：点D的坐标为（2，1），O（0，0），
则，
∵OD⊥AB，
∴kAB＝﹣2，
∴直线AB的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0，
联立，化简整理可得，y2+py﹣5p＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理可得，y1y2＝﹣5p，x1x2，
∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2＝0，即，解得p．
37．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y0）为抛物线上一点，且|AF|＝4．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．
【答案】（1）y2＝8x；（2）﹣8．
【解答】解：（1）由抛物线y2＝2px（p＞0）过点A（2，y0），且|AF|＝4，
得，解得p＝4；
所以抛物线方程为y2＝8x；
（2）由不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q
设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得x2+（2m﹣8）x+m2＝0，
所以Δ＝（2m﹣8）2﹣4m2＝64﹣32m＞0，
所以m＜2，
所以，
因为OP⊥OQ，
所以，
则，
所以2m2+m（8﹣2m）+m2＝0，即m2+8m＝0，
解得m＝0或m＝﹣8，
当m＝0时，直线与抛物线的交点中有一点与原点O重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数m＝﹣8．
▉题型4 直线与抛物线的综合
【知识点的认识】
直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与抛物线相交 Δ＞0；
直线与抛物线相切 Δ＝0；
直线与抛物线相离 Δ＜0；
38．已知抛物线C：y2＝4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α＝45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x，
则F（1，0），
又直线AC的倾斜角α＝45°，
则直线AC的方程为y＝x﹣1，
联立，
得x2﹣6x+1＝0，
解得，
结合图可取，，
故，，
根据抛物线的对称性结合AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，
可知，
故，
故结合抛物线对称性可得“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为2×4＝8．
故选：B．
39．设O为坐标原点，直线l：x＝ty+2与抛物线C：y2＝8x交于M、N两点，与C的准线交于点H．若，F为C的焦点，则△OMF与△ONF的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，分别过点M、N作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为P、Q，
根据抛物线的定义可得|NQ|＝|NF|，|MP|＝|MF|，△HPM∽△HQN，
因为y2＝8x的焦点F（2，0），x＝ty+2过定点F（2，0），
因为△HPM∽△HQN，，所以，
所以．
故选：C．
（多选）40．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作一直线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，过点M作C的准线l的垂线，垂足为D，则（　　）
A．以线段MN为直径的圆与l有且只有一个公共点
B．若p＝2，则y1y2＝﹣4
C．若p＝2，直线MN的斜率为，则|MN|＝15
D．若，则直线FD的斜率为±3
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A：设MN的中点为P，
过点N，P作准线l的垂线，垂足为E，P′，
因为直线MN过焦点F，
所以|MD|＝|MF|，|NE|＝|NF|，
此时，
所以以|MN|为直径的圆的圆心P到准线l的距离等于圆的半径，
则|MN|为直径的圆与抛物线C的准线相切，只有1个公共点，故选项A正确；
对于选项B：当p＝2时，
抛物线C的焦点F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，
显然直线MN的斜率不为0，
设直线MN的方程为x＝my+1，
联立，消去x并整理得y2﹣4my﹣4＝0，
由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，故选项B正确；
对于选项C：当直线MN的斜率为时，，
此时直线MN的方程为，
可得，
所以，
则|MN|＝x1+x2+p＝14+2＝16，
所以当p＝2，直线MN的斜率为时，|MN|＝16，故选项C错误；
对于选项D：过点M作MQ⊥x轴，垂足为Q，连接FD，
此时Q（x1，0），
因为，，，
所以，
解得，
因为，
所以y1＝±3p，
则，故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）41．已知抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点（2，0）的直线l交抛物线C与A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（　　）
A．抛物线C的准线为x＝﹣2
B．y1y2＝﹣8
C．
D．S△AOB的最小值为4
【答案】BC
【解答】解：抛物线C：y2＝4x，可得准线方程为x＝﹣1，所以A不正确；
设过点（2，0）的直线l：y＝k（x﹣2），又交抛物线C与A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
可得：y2＝4（），即y2y﹣8＝0，所以y1y2＝﹣8．所以B正确．
消去y可得：k2x2﹣（4k2+4）x+4k2＝0，x1x2＝4k，
可得x1x2+y1y2＝﹣4，所以，所以C正确；
显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+n．
联立，消去x，得y2y﹣8＝0，
所以y1+y2，y1y2＝﹣8，
原点（0，0）到直线l的距离为d，
|AB||y1﹣y2|4，
∴S△AOB|AB| d＝4444，
当直线与x轴垂直时，A（2，2），B（2，﹣2），
此时S△AOB＝4，所以S△AOB≥4．故D错误．
故选：BC．
（多选）42．已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，直线l交抛物线于A，B两点，则下列说法正确的是（　　）
A．当直线l过焦点时，以BF为直径的圆与x轴相切
B．存在直线l，使得A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称
C．若|AF|+|BF|＝16，则线段AB的中点M到x轴距离为8
D．当直线l过焦点时，则2|AF|+3|BF|的最小值
【答案】ABD
【解答】解：依题意，抛物线的标准方程为x2＝8y，所以F（0，2），准线方程为y＝﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
对于A，因为直线l过焦点，由抛物线的定义有|BF|＝y2+2，则以BF为直径的圆半径为，
线段BF的中点坐标为，其到x轴的距离为，
所以BF为直径的圆与x轴相切，故A正确；
对于B，设直线l的方程为y＝kx+m，联立，消去y得x2﹣8kx﹣8m＝0，
则x1+x2＝8k，所以，
所以AB中点C坐标为（4k，4k2+m），
若A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称，则，则，
代入x2﹣8kx﹣8m＝0得x2﹣4x﹣8＝0，Δ＝16+32＝48＞0，
即当直线l方程为时，A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称，故B正确；
对于C，由抛物线定义得|AF|＝y1+2，|BF|＝y2+2，
因为|AF|+|BF|＝16，所以y1+y2＝16﹣4＝12，
所以AB中点M纵坐标为6，则点M到x轴的距离为6，故C错；
对于D，因为直线l过焦点，且斜率一定存在，则设l方程为y＝kx+2，
联立，消去y得x2﹣8kx﹣16＝0，
所以x1x2＝﹣16，所以，
所以2|AF|+3|BF|＝2（y1+2）+3（y2+2）
，
当且仅当2y1＝3y2时，即时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
43．已知抛物线E：y2＝8x，O为坐标原点，直线l交抛物线E于A，B两点（A，B在x轴两侧），过点O向直线l作垂线，垂足为C，且|CO|2＝|CA| |CB|，则点C到x轴的最大距离为　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：由OC⊥AB于C，|CO|2＝|CA| |CB|，得△OCA∽△BCO，则∠AOC＝∠ABC，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝∠ABC+∠BOC＝90°，即OA⊥OB，
设直线l的方程为x＝ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，消去x整理得y2﹣8ty﹣8m＝0，
则y1y2＝﹣8m＜0，则m＞0，，
由OA⊥OB，得，解得m＝8，
∴直线l恒过定点D（8，0），点C的轨迹是以线段OD为直径的圆（除点O，D外），
∴点C到x轴的最大距离为．
故答案为：4．
44．如图，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N．若四边形CMNF的面积等于，则p的值为　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：易知，直线AB的方程为，四边形CMNF为梯形，且FC∥NM.
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，所以y1+y2＝2p，所以y0＝p，
作MK⊥x轴于点K，则|MK|＝p．
因为直线AB的斜率为1，所以△FMC为等腰直角三角形，故|FK|＝|MK|＝|KC|＝p，
所以，|FC|＝2p，
所以四边形CMNF的面积为，
解得p＝3．
故答案为：3．
45．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则||PA|+|PM||的最小值是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：易知抛物线y2＝2x的焦点，准线为，
此时，
所以，
因为，
所以，
此时，
当且仅当A，P，F三点共线且P在线段AF上时，等号成立，
则|PA|+|PM|的最小值为，
故答案为：．
46．已知抛物线E的顶点为坐标原点O，焦点为（1，0），过点M（2，0）的直线与E交于A，B两点，过点B作y轴的垂线与直线OA相交于点P．
（1）求E的方程；
（2）证明：点P在定直线l上；
（3）延长BO交（2）中的直线l于点Q，求四边形ABPQ面积S的最小值．
【答案】（1）y2＝4x；（2）证明见解析；（3）．
【解答】解：（1）∵抛物线E的顶点为坐标原点O，焦点为（1，0），
∴设抛物线E的标准方程为y2＝2px，
则，
解得p＝2，
∴抛物线E的标准方程为y2＝4x．
（2）若直线AB与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线AB的方程为x＝my+2，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，
则y2﹣4my﹣8＝0，
Δ＝16m2+32＞0，
由韦达定理可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，
由题意可知，直线BP的方程为y＝y2，
直线OA的方程为，
联立直线BP、OA的方程得，
可得，
∴．
∴点P在定直线l：x＝﹣2上．
（3）如下图所示：
易知点P（﹣2，y2），直线OB的方程为，
联立直线OB与直线l的方程可得，
则，
∴点Q（﹣2，y1），则AQ⊥l，
且|AQ|＝x1+2，|BP|＝x2+2，
∴
，
∵，
当且仅当时，即当时，等号成立，
∴．
∴四边形ABPQ面积S的最小值为．
47．已知抛物线的焦点F也是椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，为C1与C2的一个公共点．
（1）求C1，C2的方程；
（2）过点F的直线l交C1于M，N两点，交C2于P，Q两点，若|MN|＝|PQ|，求l的方程．
【答案】（1）y2＝4x，；
（2）．
【解答】解：（1）已知抛物线的焦点F也是椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，为C1与C2的一个公共点，
将代入得p＝2，
则C1的方程为y2＝4x，
其焦点坐标为F（1，0），
因为F也是椭圆C2的一个焦点，
所以a2﹣b2＝1①；
又C2过点，
所以②，
联立①②得（4b2+3）（b2﹣8）＝0，
所以a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为．
（2）当直线斜率为0时，直线l与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线l的斜率不为0，设方程为x＝my+1，
联立x＝my+1与y2＝4x，
可得y2﹣4my﹣4＝0，
则Δ＝16m2+16＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
故y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
则，
故，
联立x＝my+1与，
可得（8m2+9）y2+16my﹣64＝0，
则Δ＝2304（m2+1）＞0，
设P（x3，y3），Q（x4，y4），
则，
则，
所以，
解得，
所以直线l方程为．
48．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点O，并且经过点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设直线l：x＝my+2与C交于A，B两点．
①当m＝1时，求△OAB的面积S△OAB；
②过点A，B分别作抛物线C的切线交于点P．
证明：点P在定直线x＝﹣2上．
【答案】（1）y2＝4x；（2）①；②证明见解析．
【解答】解：（1）由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0），
由点在抛物线上，得，解得p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x．
（2）①当m＝1时，直线l的方程y＝x﹣2．
联立，消去y得x2﹣8x+4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝8，x1x2＝4，
所以，
又O到直线l的距离，
所以．
②证明：联立，消去x得y2﹣4my﹣8＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8．
不妨设A在第一象限，则A在曲线上，有，
则在A（x1，y1）处的切线方程为，又，
整理可得在A处的切线方程为，
同理，B在曲线上，有，
则在B（x2，y2）处的切线方程为，且，
所以在B处的切线方程为，
联立，解得，
所以点p在定直线x＝﹣2上．
49．已知抛物线E：x2＝y，焦点为F，动直线y＝kx+2与抛物线E交于A，B两点，分别作A，B处的切线PA，PB交于点P．
（1）证明：动点P的轨迹为定直线，并求出轨迹方程；
（2）证明：|PF|2＝|FA| |FB|恒成立；
（3）证明：∠APF＝∠PBF恒成立．
【答案】（1）证明过程见解析，y＝﹣2；
（2）证明过程见解析；
（3）证明过程见解析．
【解答】解：（1）证明：设，，P（x0，y0），
联立，消去y并整理得x2﹣kx﹣2＝0，
由韦达定理得，
因为抛物线E的方程为y＝x2，
可得y′＝2x，
此时kAP＝2x1，
所以直线PA的方程为，
整理得，①
同理得直线PB的方程为，②
联立①②，
解得，
则动点P的轨迹方程为y＝﹣2；
（2）证明：易知，
由（1）知，
所以，
由抛物线定义知
，
则；
（3）证明：由（2）得，
要证∠APF＝∠PBF，
需证△PFA～△BFP，
要证∠PFA＝∠BFP，
即证cos∠PFA＝cos∠BFP，
需证，
要证，
易知，，
所以，
又，
所以，
同理得
此时要证，
即证，
又x1 x2＝﹣2，
此时需证，
即证，
由（1）知，显然成立．
故∠APF＝∠PBF．
50．已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜6）的焦点为F，直线y＝4与C交于P，且|PF|＝5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线y＝﹣x+1与C交于M，N两点，求△PMN的面积．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）．
【解答】解：（1）设P（x0，4），
因为点P在抛物线上，
所以42＝2px0，
解得8＝px0，
因为|PF|＝5，
由抛物线的定义得，
解得，
又8＝px0，
所以，
解得p＝2或p＝8（舍去），
则抛物线C的方程为y2＝4x；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去y并整理得x2﹣6x+1＝0，
由韦达定理得x1+x2＝6，x1x2＝1，
所以，
由（1）知P（4，4），
因为点P到直线MN的距离d．
所以△PMN的面积．
51．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M（m，）为C上一点，且|MF|．
（1）求C的方程；
（2）过P（4，0）且斜率存在的直线l与C交于不同的两点A，B，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于Q．
（i）求点Q的坐标；
（i）求△OAQ与△OAB面积之和的最小值．
【答案】（1）y2＝3x；
（2）（i）Q（﹣4，0）；
（ii）．
【解答】解：（1）由题意可得，解得：p，
所以C的方程为：y2＝3x；
（2）（i）设过点（2，0）的直线l：x＝my+4，代入抛物线y2＝3x的方程，可得y2﹣3my﹣12＝0，
设直线l与抛物线C的交点A（x1，y1）B（x2，y2）D（x2，﹣y2），不妨设y1＞0，
则y1+y2＝3m，y1y2＝﹣12，Δ＝9m2+48＞0，
所以直线AD的方程为：，即，
即，令y＝0，可得，
所以，所以x＝﹣4，
所以Q（﹣4，0）；
（ii）如图所示，
可得，，
所以△OAQ与△OAB面积之和S，
当且仅当4时，即时等号成立，
所以△OAQ与△OAB面积之和的最小值为．
▉题型5 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数
【知识点的认识】
直线与抛物线的位置关系可以是相交、切线或不相交．公共点的个数通过解直线与抛物线方程组确定．
52．设抛物线T：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，|AF|＝4，若将直线AF绕点F逆时针旋转45°得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则|CD|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题可得，F（1，0），如图，设A（x0，y0），x0＞0，y0＞0，
则|AF|＝x0+1＝4，所以x0＝3，则，
故，
所以∠AFx＝60°，
则直线l的倾斜角α＝60°+45°，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，
联立，消y得，
则，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则，
所以．
故选：A．
（多选）53．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（　　）
A．若x1+x2＝6，则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M（2，0），则||PM|﹣|PP1||≤1
D．若直线y＝kx+1与抛物线C有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有1条
【答案】ABC
【解答】解：因为抛物线方程为y2＝4x，所以2p＝4，p＝2，
所以抛物线的焦点为F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，
所以可设点F的直线方程为x＝my+1，
联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以4m2+2，
1，
对A选项，若x1+x2＝6，则|PQ|＝p+x1+x2＝2+6＝8，所以A选项正确；
对B选项，因为PQ的中点到准线l的距离为，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，所以B选项正确；
对C选项，设M（2，0），则||PM|﹣|PP1||＝||PM|﹣|PF||≤|FM|＝1，
当且仅当P，F，M三点共线时，等号成立，所以C选项正确；
对D选项，因为直线y＝kx+1过定点（0，1），
所以直线y＝kx+1与抛物线C有且仅有一个公共点时，满足条件的直线有3条：
两条与抛物线相切，一条与抛物线的对称轴平行，所以D选项错误．
故选：ABC．
54．（1）求抛物线y2＝2x的焦点坐标和准线方程；
（2）求过点P（0，1）且与抛物线y2＝2x有且只有一个公共点的直线方程．
【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为；（2）x＝0或y＝1或x﹣2y+2＝0．
【解答】解：（1）因为抛物线方程为y2＝2x，
所以p＝2，
所以焦点为，准线方程为；
（2）因为所求直线过P（0，1），
若直线没有斜率，则x＝0与抛物线相切，满足要求；
若直线有斜率，则设其方程为y＝kx+1，
联立，得k2x2+2（k﹣1）x+1＝0，
当k＝0时，直线方程为y＝1，解得只有一个公共点；
当k≠0时，Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2＝0，解得，
此时直线方程为；
所以所求直线方程为x＝0或y＝1或x﹣2y+2＝0．
▉题型6 抛物线的弦及弦长
【知识点的认识】
弦是连接抛物线上的两点的线段．弦长可以通过弦中点和焦点的距离计算．
55．过抛物线x2＝4y焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则直线AB的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：当A在第一象限，过抛物线x2＝4y焦点F的直线交抛物线于A，B两点，
又，
过A作AC垂直准线交准线于点C，过B作BD垂直准线交准线于点D，过B作BM垂直直线AC交于点M，
设|BF|＝t，
则|AF|＝3t，|BD|＝t，|AC|＝3t，|AM|＝2t，|AB|＝4t，
则，
即，
即直线AB的斜率为，
当A在第四象限，由抛物线的对称性可得：直线AB的斜率为．
故选：A．
▉题型7 抛物线的焦点弦及焦半径
【知识点的认识】
焦点弦是通过焦点且与抛物线的两条切线相交的弦．焦半径是从焦点到弦上任意一点的距离．
56．已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，点A（m，2）是抛物线上一点，则|AF|＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，
又焦点F到准线的距离为p，
则p＝2，则．
故选：B．
57．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则|BD|＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解答】解：已知抛物线x2＝8y的焦点为F，
则F（0，2），
即直线AB的方程为y＝kx+2，其中k≠0，
联立，
消y可得：x2﹣8kx﹣16＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1x2＝﹣16，
又，
则x1＝﹣2x2，
即，
则y2＝1，
则|BF|＝y2+2＝3，
又，
则，
即|BD|＝3|BF|＝9．
故选：C．
58．已知F为抛物线y2＝18x的焦点，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|＝（　　）
A．27 B．18 C． D．9
【答案】A
【解答】解：因为F为抛物线y2＝18x的焦点，所以p＝9，，
设C（x3，y3），B（x2，y2），A（x1，y1），
又因为F是△ABC的重心，因此，
所以|AF|+|BF|+|CF|．
故选：A．
▉题型8 抛物线的焦点三角形
【知识点的认识】
焦点三角形是由抛物线上的点、焦点及其切线交点组成的三角形．焦点三角形的面积可以通过抛物线的参数p计算．
（多选）59．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为直线l，直线PQ与C交于P，Q两点．则下列说法正确的是（　　）
A．点F到直线l的距离是4
B．若PQ的方程是2x﹣y﹣4＝0，则△FPQ的面积为3
C．若PQ的中点G到直线l的距离为3，则|FP|+|FQ|＝8
D．若点（4，0）在直线PQ上，则OP⊥OQ
【答案】BD
【解答】解：对于A，由题意可知抛物线C的焦点为F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，
所以点F到直线l的距离是2，故A错误；
对于B，联立，化简得：y2﹣2y﹣8＝0，
解得y＝﹣2或y＝4，所以|yP﹣yQ|＝6，
又PQ与x轴的交点为E（2，0），所以|EF|＝1，
所以△FPQ的面积为，故B正确；
对于C，因为PQ的中点G到直线l的距离为3，所以，即xP+xQ＝4，
所以|FP|+|FQ|＝xP+xQ+2＝6，故C错误；
对于D，设PQ：x＝my+4，P（x1，y1），Q（x1，y2），
联立，化简得y2﹣4my﹣16＝0，则Δ＝16m2+64＞0，
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，
则，
所以OP⊥OQ，故D正确．
故选：BD．
▉题型9 抛物线的定点及定值问题
【知识点的认识】
定点问题涉及到抛物线上点到固定点或直线的距离问题．定值问题通常涉及求解某点到焦点或准线的最值．
60．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）是C上的一点，且|PF|＝7．
（1）求p和m的值；
（2）过点F的直线与C交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，其中O为坐标原点，求证：k1k2为定值．
【答案】（1）p＝6，；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）根据题意可得，p＝6，抛物线方程为y2＝12x，
又因为P在抛物线上，所以m2＝12×4＝48，因此；
（2）证明：根据第一问知焦点为F（3，0），显然直线AB与x不重合，
令直线AB的方程为x＝ty+3，设B（x2，y2），A（x1，y1），
根据，得y2﹣12ty﹣36＝0，所以y1y2＝﹣36，
又因为，，
因此，
因此．第2章第2.4节 抛物线
题型1 抛物线的定义 题型2 抛物线的标准方程
题型3 抛物线的焦点与准线 题型4 直线与抛物线的综合
题型5 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 题型6 抛物线的弦及弦长
题型7 抛物线的焦点弦及焦半径 题型8 抛物线的焦点三角形
题型9 抛物线的定点及定值问题
▉题型1 抛物线的定义
【知识点的认识】
抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．
标准方程
①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；
②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．
性质
我们以y2＝2px（p＞0）为例：
①焦点为（，0）；②准线方程为：x；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．
1．已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上
焦点 （，0） （0，）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线 x y
2．若点（1，2）到抛物线C的准线的距离为3，请写出一个C的标准方程： 　 ．
▉题型3 抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q（6，3），则△PQF周长的最小值为（　　）
A．13 B．12 C．10 D．8
4．抛物线x2＝﹣4y的焦点到准线的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．1或9 D．2或9
6．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则（　　）
A． B．1 C． D．2
7．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为10，到y轴的距离为9，则p＝（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
8．双曲线1（a＞0）有一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x
9．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，M（4，0），过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则|PF|+|PQ|的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
10．已知抛物线与抛物线，则（　　）
A．过C1与C2焦点的直线方程为x+y＝4
B．C1与C2只有1个公共点
C．与x轴平行的直线与C1及C2最多有3个交点
D．不存在直线与C1和C2都相切
11．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝﹣2的距离为4，则|MF|＝（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
12．如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（　　）（结果精确到0.01）
A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68
13．已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线3x+2y﹣6＝0上，则抛物线C的标准方程为（　　）
A．y2＝﹣4x B．y2＝4x C．y2＝﹣8x D．y2＝8x
14．如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M，N为抛物线上两点，且有，直线MF，NF与准线分别交于A，B两点，则（　　）
A． B． C． D．
15．若抛物线x2＝2py（p＞0）上的一点M（m，5）到焦点的距离为3p，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0的垂线，垂足为P，则|MF|+|MP|的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．3
17．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB＝6，深度MO＝2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点，则|PF|+|PQ|的最小值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
18．若F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P是抛物线C上任意一点，PF的最小值为，且A，B是抛物线C上两点，|AF|+|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）
A．3 B．2 C． D．
19．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝3|OF|，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为（　　）
A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝20x
（多选）20．对抛物线y＝﹣8x2，下列描述正确的是（　　）
A．开口向下，准线方程为
B．开口向下，焦点为
C．开口向左，焦点为
D．开口向左，准线方程为
（多选）21．已知抛物线C：的焦点为F，点P（x0，y0）为抛物线C上一动点，点A（1，﹣3），则（　　）
A．抛物线C的准线方程为y＝2
B．|PA|+|PF|的最小值为5
C．当x0＝4时，则抛物线C在点P处的切线方程为x+y﹣4＝0
D．过AF的直线交抛物线C于M，N两点，则弦MN的长度为16
（多选）22．已知抛物线E：y2＝2px的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点P（原点除外）反射，则反射光线平行于x轴．经过点F且垂直于x轴的直线交抛物线E于B，C两点，经过点P且垂直于x轴的直线交x轴于点Q；抛物线E在点P处的切线l与x，y轴分别交于点M，N，则（　　）
A．|PQ|2＝|BF| |QF| B．|PQ|2＝|BC| |OQ| C．|PF|＝|MF| D．FN⊥l
（多选）23．已知抛物线y2＝2px的焦点为F，且A（2，2），B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（　　）
A．点F的坐标为
B．若直线BC过点F，O为坐标原点，则
C．若|BC|＝4，则线段BC的中点到y轴距离的最小值为
D．若直线AB，AC是圆（x﹣2）2+y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为3x+6y+4＝0
（多选）24．已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，分别过A，B作抛物线的准线l1的垂线，垂足分别为A1，B1，以线段A1B1为直径作圆M，O为坐标原点，下列正确的判断有（　　）
A．x1+x2≥2 B．△AOB为钝角三角形
C．点F在圆M外部 D．直线A1F平分∠OFA
（多选）25．如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是（　　）
A．|AB|＝5
B．四边形MNST的面积为
C． 0
D．|CD|的取值范围为
（多选）26．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则（　　）
A．以AB为直径的圆与准线相切
B．
C．△OAF可能为正三角形
D．sin∠PMN的取值范围为
（多选）27．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，点Q（m，n），点P到点Q和到y轴的距离分别为d1、d2，则（　　）
A．抛物线C的准线方程为y＝﹣1
B．若m＝n＝1，则△PQF周长的最小值等于3
C．若（m﹣3）2+n2＝1，则d1的最小值等于2
D．若m﹣n＝﹣4，则d1+d2的最小值等于
（多选）28．已知点M（2，4）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的一点，直线AB交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2），交y轴于P（0，t），交x轴于Q（s，0），则下列结论正确的是（　　）
A．C的准线方程为x＝﹣2
B．C在点M（2，4）处的切线方程为3x﹣y﹣2＝0
C．若s＝2，则x1+4x2≥8
D．若t＝﹣2，则|PQ|2＝|PA| |PB|
29．抛物线x2＝4y的准线方程为 　 ．
30．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作圆G：（x+2）2+y2＝4的两条切线，切点分别为P，Q，若△FPQ为等边三角形，则p的值为 　 　 ．
31．过点M（﹣1，m）作抛物线C：y2＝2px的两条切线，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），又直线AB经过抛物线C的焦点F，那么　 　 ．
32．已知抛物线y2＝2px的焦点为点F，过点F的直线l交抛物线于点A，B两点，交抛物线的准线于点M，且，，则λ+μ＝　 　 ．
33．已知点M在抛物线Γ：x2＝4y上运动，过点M的两直线l1，l2与圆C：x2+（y﹣3）2＝4相切，切点分别为A，B，则当|AB| |MC|取最小值时，点M的坐标为 　 　 ．
34．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P，Q两点，则|PQ|＝　 　 ．
35．已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
36．如图，已知直线与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值．
37．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y0）为抛物线上一点，且|AF|＝4．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．
▉题型4 直线与抛物线的综合
【知识点的认识】
直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与抛物线相交 Δ＞0；
直线与抛物线相切 Δ＝0；
直线与抛物线相离 Δ＜0；
38．已知抛物线C：y2＝4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α＝45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
39．设O为坐标原点，直线l：x＝ty+2与抛物线C：y2＝8x交于M、N两点，与C的准线交于点H．若，F为C的焦点，则△OMF与△ONF的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
（多选）40．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作一直线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，过点M作C的准线l的垂线，垂足为D，则（　　）
A．以线段MN为直径的圆与l有且只有一个公共点
B．若p＝2，则y1y2＝﹣4
C．若p＝2，直线MN的斜率为，则|MN|＝15
D．若，则直线FD的斜率为±3
（多选）41．已知抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点（2，0）的直线l交抛物线C与A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（　　）
A．抛物线C的准线为x＝﹣2
B．y1y2＝﹣8
C．
D．S△AOB的最小值为4
（多选）42．已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，直线l交抛物线于A，B两点，则下列说法正确的是（　　）
A．当直线l过焦点时，以BF为直径的圆与x轴相切
B．存在直线l，使得A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称
C．若|AF|+|BF|＝16，则线段AB的中点M到x轴距离为8
D．当直线l过焦点时，则2|AF|+3|BF|的最小值
43．已知抛物线E：y2＝8x，O为坐标原点，直线l交抛物线E于A，B两点（A，B在x轴两侧），过点O向直线l作垂线，垂足为C，且|CO|2＝|CA| |CB|，则点C到x轴的最大距离为　 ．
44．如图，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N．若四边形CMNF的面积等于，则p的值为　 ．
45．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则||PA|+|PM||的最小值是 ．
46．已知抛物线E的顶点为坐标原点O，焦点为（1，0），过点M（2，0）的直线与E交于A，B两点，过点B作y轴的垂线与直线OA相交于点P．
（1）求E的方程；
（2）证明：点P在定直线l上；
（3）延长BO交（2）中的直线l于点Q，求四边形ABPQ面积S的最小值．
47．已知抛物线的焦点F也是椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，为C1与C2的一个公共点．
（1）求C1，C2的方程；
（2）过点F的直线l交C1于M，N两点，交C2于P，Q两点，若|MN|＝|PQ|，求l的方程．
48．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点O，并且经过点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设直线l：x＝my+2与C交于A，B两点．
①当m＝1时，求△OAB的面积S△OAB；
②过点A，B分别作抛物线C的切线交于点P．
证明：点P在定直线x＝﹣2上．
49．已知抛物线E：x2＝y，焦点为F，动直线y＝kx+2与抛物线E交于A，B两点，分别作A，B处的切线PA，PB交于点P．
（1）证明：动点P的轨迹为定直线，并求出轨迹方程；
（2）证明：|PF|2＝|FA| |FB|恒成立；
（3）证明：∠APF＝∠PBF恒成立．
50．已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜6）的焦点为F，直线y＝4与C交于P，且|PF|＝5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线y＝﹣x+1与C交于M，N两点，求△PMN的面积．
51．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M（m，）为C上一点，且|MF|．
（1）求C的方程；
（2）过P（4，0）且斜率存在的直线l与C交于不同的两点A，B，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于Q．
（i）求点Q的坐标；
（i）求△OAQ与△OAB面积之和的最小值．
▉题型5 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数
【知识点的认识】
直线与抛物线的位置关系可以是相交、切线或不相交．公共点的个数通过解直线与抛物线方程组确定．
52．设抛物线T：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，|AF|＝4，若将直线AF绕点F逆时针旋转45°得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则|CD|＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）53．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（　　）
A．若x1+x2＝6，则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M（2，0），则||PM|﹣|PP1||≤1
D．若直线y＝kx+1与抛物线C有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有1条
54．（1）求抛物线y2＝2x的焦点坐标和准线方程；
（2）求过点P（0，1）且与抛物线y2＝2x有且只有一个公共点的直线方程．
▉题型6 抛物线的弦及弦长
【知识点的认识】
弦是连接抛物线上的两点的线段．弦长可以通过弦中点和焦点的距离计算．
55．过抛物线x2＝4y焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则直线AB的斜率为（　　）
A． B． C． D．
▉题型7 抛物线的焦点弦及焦半径
【知识点的认识】
焦点弦是通过焦点且与抛物线的两条切线相交的弦．焦半径是从焦点到弦上任意一点的距离．
56．已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，点A（m，2）是抛物线上一点，则|AF|＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
57．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则|BD|＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
58．已知F为抛物线y2＝18x的焦点，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|＝（　　）
A．27 B．18 C． D．9
▉题型8 抛物线的焦点三角形
【知识点的认识】
焦点三角形是由抛物线上的点、焦点及其切线交点组成的三角形．焦点三角形的面积可以通过抛物线的参数p计算．
（多选）59．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为直线l，直线PQ与C交于P，Q两点．则下列说法正确的是（　　）
A．点F到直线l的距离是4
B．若PQ的方程是2x﹣y﹣4＝0，则△FPQ的面积为3
C．若PQ的中点G到直线l的距离为3，则|FP|+|FQ|＝8
D．若点（4，0）在直线PQ上，则OP⊥OQ
▉题型9 抛物线的定点及定值问题
【知识点的认识】
定点问题涉及到抛物线上点到固定点或直线的距离问题．定值问题通常涉及求解某点到焦点或准线的最值．
60．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）是C上的一点，且|PF|＝7．
（1）求p和m的值；
（2）过点F的直线与C交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，其中O为坐标原点，求证：k1k2为定值．

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