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第2章第2.5节 曲线与方程
题型1 轨迹方程 题型2 简单曲线的极坐标方程
题型3 平面直角坐标轴中的伸缩变换 题型4 极坐标刻画点的位置
题型5 点的极坐标和直角坐标的互化 题型6 参数方程化成普通方程
题型7 圆的参数方程 题型8 椭圆的参数方程
▉题型1 轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
1．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A（﹣1，0）和B（2，1），且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线mx+ny﹣2＝0对称，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知曲线C：x2+y2＝4（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PQ，Q为垂足，则线段PQ中点M的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知圆台O1O的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为45°，AB为下底面的一条直径，点P为圆台侧面上的一个动点，若|PA|2+|PB|2＝13，则P的轨迹长度为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
4．线段AB长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB中点的轨迹所围成图形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．2π D．4π
5．已知F1、F2分别是椭圆C：1的左、右焦点，点P是椭圆C上的任意一点，动点M满足，且|PM|＝|PF1|，则动点M的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，P是侧面AA1C1C内一点，若点P到平面BB1C1C的距离，则点P的轨迹是（　　）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
7．与两圆x2+y2＝4及x2+y2﹣8x+15＝0都外切的圆的圆心的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．双曲线的一支
C．抛物线 D．圆
8．已知平面内两个定点F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|+|PF2|＝10，则点P的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线
9．已知动点P到定点F（2，0）的距离比它到直线x+1＝0的距离大1，直线l与动点P的轨迹交于A，B两点，且线段AB的中点为（4，2），则直线l的方程为（　　）
A．x﹣2y＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．2x﹣y﹣10＝0 D．2x﹣y﹣6＝0
10．设P（x，y）满足：，则P的轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不存在
11．已知动圆M恒过点F（1，0），且与直线x＝﹣1相切，设圆心M的轨迹为曲线C，直线与曲线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与直线x＝﹣1交于点R，若|QF|＝3，则（　　）
A． B． C． D．
12．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知点P（x0，y0）是双纽线C上一点，下列说法中正确的有（　　）
①双纽线C关于原点O中心对称；
②；
③双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个；
④|PO|的最大值为．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④
（多选）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，M为棱CC1中心，P为正方形A1B1C1D1上的动点，则（　　）
A．满足MP∥平面BDA1的点P的轨迹长度为
B．满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得平面AMP经过点B
D．存在点P满足PA+PM＝2.2
（多选）14．“曼哈顿距离”是由赫尔曼 闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，定义点P（x1，y1）与点Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点F1（﹣1，0），点F2（1，0），直线a，b和c的方程分别是x﹣2y﹣2＝0，x＝﹣1和x＝1，则下列叙述正确的是（　　）
A．
B．点O与直线a上任意一点的曼哈顿距离最小值为2
C．若动点M满足d（M，F1）＝4，则M的轨迹围成图形的面积是32
D．若动点M与直线b上任意一点的曼哈顿距离最小值等于d（M，F2），则M的轨迹与直线c围成的封闭图形面积是2
15．在平面直角坐标系中，A（0，3），B（0，﹣1），点P满足|PA|＝2|PB|，则△PAB面积的最大值是　 ．
16．已知两定点M（4，0），N（1，0），动点P满足 6||，则动点P的轨迹方程为　 ．
17．在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（﹣4，0），点P到A与B的距离之和为8，则点P的轨迹为 　 ．
18．如图所示，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E在棱DD1上，DE＝2ED1，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度为 　　 ．
19．已知A（1，2）、B（3，6），动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）求过点A（1，2）且与曲线C相切的直线的方程．
20．已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（﹣2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若点P与点Q关于点（2，1）对称，点C（3，0），求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值；
（3）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，点P的坐标（x，y）满足（θ为参数），
（1）求点P的轨迹C1的方程；
（2）求曲线C2：x2+y2﹣6x+4y﹣7＝0与曲线C1公共弦的长．
22．已知圆C的圆心为C（3，0），且过点．
（1）求圆C的半径及标准方程；
（3）若O为坐标原点，点P（x，y）满足|PO|＝2|PC|，求点P的轨迹方程．
23．一动圆经过点F（0，﹣3）且与直线y＝3相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为（2，﹣4），求l的方程．
24．已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与直线y＝x+4相切．
（1）求圆O的标准方程；
（2）若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是（6，0），求线段AB的中点M的轨迹方程．
▉题型2 简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
25．在花语中，四叶草象征幸运．已知在极坐标系下，方程ρ＝2sin2θ对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”．已知P为“四叶草”上的点，则点P到直线距离的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
26．在极坐标系中，把曲线C：ρ＝2sinθ绕极点逆时针旋转后所得曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
27．在极坐标系中，过点（1，0）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（　　）
A．ρ＝1 B．ρsinθ＝1 C．ρcosθ＝1 D．
28．已知直线l的极坐标方程为，圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝1，则直线l与圆C的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
29．在极坐标系中，方程θ（ρ≥0）表示的图形为（　　）
A．一条直线 B．一条射线 C．一个点 D．一个圆
30．在极坐标系中，点到直线的距离为（　　）
A．2 B．1 C． D．
31．圆ρ＝2（cosθ﹣sinθ）的圆心极坐标是（　　）
A． B． C． D．
32．在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（　　）
A．ρ＝2 B．θ C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2
33．把极坐标方程ρ＝﹣6cosθ化成直角坐标方程是（　　）
A．（x+3）2+y2＝9 B．（x﹣3）2+y2＝9
C．x2+（y+3）2＝9 D．x2+（y﹣3）2＝9
34．在极坐标系下，点到直线ρcosθ+ρsinθ＝0的距离为 　 ．
35．已知点A是曲线ρ＝2cosθ上任意一点，则点A到直线ρsin（θ）＝4的距离的最小值是　 ．
36．若曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
37．已知⊙C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求⊙C的直角坐标方程，
（2）过M（1，1）作直线l交圆⊙C于P，Q两点，且|PM|＝2|OM|，求直线l的斜率．
38．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1．P为曲线C1上一动点，且，点Q的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为，点M为曲线C3上一动点，求|MQ|最大值．
39．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．
40．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM| |OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
▉题型3 平面直角坐标轴中的伸缩变换
【知识点的认识】
平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P（x，y）对应到
点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化，简称伸缩变换．
41．圆x2+y2＝1经过伸缩变换后所得图形的焦距是（　　）
A．4 B． C． D．6
▉题型4 极坐标刻画点的位置
【知识点的认识】
点的极坐标
设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对 （ρ，θ）
称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对（ρ，θ）决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．
由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．
42．在极坐标系中，已知点，，则|P1P2|＝（　　）
A． B．10 C． D．
▉题型5 点的极坐标和直角坐标的互化
【知识点的认识】
坐标之间的互化
（1）点的极坐标和直角坐标的互化
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位（如图）．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：，．
通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π．
（2）空间点P的直角坐标（x，y，z）与柱坐标（ρ，θ，z）之间的变换公式为：．
（3）空间点P的直角坐标（x，y，z）与球坐标（r，φ，θ）之间的变换关系为：．
43．已知点P的直角坐标为，则它的极坐标是（　　）
A． B． C． D．
44．点P极坐标为，则它的直角坐标是（　　）
A． B． C． D．
▉题型6 参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
45．已知曲线（θ为参数）．若直线与曲线C相交于不同的两点A，B，则|AB|的值为（　　）
A． B． C．1 D．
46．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心的极坐标为（　　）
A． B．（1，π） C．（0，﹣1） D．
47．在同一平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2+y2＝1所对应的图形经过伸缩变换得到图形C′．点P在曲线C′上，则点P到直线的距离的最小值为 　 ．
48．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0．
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，设M（2，0），求|MA||MB|的值．
49．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P（4，3），直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．
50．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2（cosθ﹣sinθ）．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设曲线C1与曲线C2交于P、Q两点，求|OP| |OQ|的值．
51．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．
52．在同一平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝1按照伸缩变换后得到曲线方程C1．
（1）求曲线C1的方程；
（2）若过点P（λ，0）的直线l与椭圆交于相异的两点A，B，且，求实数λ的取值范围．
53．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA| |OB|＝8，点B的轨迹为C2．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．
54．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为ρ＝4acosθ（a＞0）．
（1）设t为参数，若，求直线l的参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设，且|PQ|2＝|MP| |MQ|，求实数a的值．
55．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知P（﹣4，0），设直线l和曲线C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
56．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若l与C交于A，B两点，P（5，﹣3），求|PA| |PB|的值．
57．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；
（Ⅱ）设C1与C2交点为A，B，求△AOB的面积．
58．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ+2sinθ．
（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；
（2）设点P的极坐标为（2，），C1与C2相交于A，B两点，求△PAB的面积．
▉题型7 圆的参数方程
【知识点的认识】
直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程
轨迹 普通方程 参数方程
直线 y﹣y0＝tan α（x﹣x0） （t为参数）
圆 （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2 （θ为参数）
椭圆 1（a＞b＞0） （θ为参数）
双曲线 1 （θ为参数）
抛物线 y2＝2px（p＞0） （t为参数）
59．已知点P（x，y）是圆x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0上的动点，则x+y的最大值为（　　）
A． B． C．6 D．5
▉题型8 椭圆的参数方程
【知识点的认识】
直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程
轨迹 普通方程 参数方程
直线 y﹣y0＝tan α（x﹣x0） （t为参数）
圆 （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2 （θ为参数）
椭圆 1（a＞b＞0） （θ为参数）
双曲线 1 （θ为参数）
抛物线 y2＝2px（p＞0） （t为参数）
60．过椭圆C：（θ为参数）的右焦点F作直线l交C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则的值为（　　）
A． B． C． D．不能确定第2章第2.5节 曲线与方程
题型1 轨迹方程 题型2 简单曲线的极坐标方程
题型3 平面直角坐标轴中的伸缩变换 题型4 极坐标刻画点的位置
题型5 点的极坐标和直角坐标的互化 题型6 参数方程化成普通方程
题型7 圆的参数方程 题型8 椭圆的参数方程
▉题型1 轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
1．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A（﹣1，0）和B（2，1），且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线mx+ny﹣2＝0对称，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：设点P（x，y），因为平面内有两点A（﹣1，0）和B（2，1），且该平面内的点P满足，
所以，
两边取平方化简得P的轨迹方程为：（x﹣5）2+（y﹣2）2＝20，
所以其为圆，又点P的轨迹关于直线mx+ny﹣2＝0对称，
所以圆心（5，2）在直线mx+ny﹣2＝0上，所以5m+2n﹣2＝0，
所以．
故选：B．
2．已知曲线C：x2+y2＝4（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PQ，Q为垂足，则线段PQ中点M的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设M为（x，y），则P（x，2y），且P在曲线C：x2+y2＝4（y＞0）上，
∴x2+4y2＝4（y＞0），即为（y＞0）．
故选：C．
3．已知圆台O1O的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为45°，AB为下底面的一条直径，点P为圆台侧面上的一个动点，若|PA|2+|PB|2＝13，则P的轨迹长度为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【解答】解：因为圆台O1O的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为45°，
又AB为下底面的一条直径，点P为圆台侧面上的一个动点，且|PA|2+|PB|2＝13，
所以设圆台O1O的母线长为l，则，
建系如图：
设点P（x，y，z），且A（0，﹣2，0），B（0，2，0），
则，
所以母线，而，所以OE⊥EB，
又点P为O1O侧面上的一点，且，
所以，所以P为EB的中点，
故点P的轨迹是半径为的圆，
所以P的轨迹长度为3π．
故选：C．
4．线段AB长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB中点的轨迹所围成图形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．2π D．4π
【答案】D
【解答】解：根据题意，设A（a，0），B（0，b），AB的中点为M（x，y），
则，可得，即A（2x，0），B（0，2y），
由|AB|＝4，可得，整理得x2+y2＝4，
因此，线段AB中点的轨迹是以O（0，0）为圆心，半径为2的圆，围成图形的面积S＝π×22＝4π．
故选：D．
5．已知F1、F2分别是椭圆C：1的左、右焦点，点P是椭圆C上的任意一点，动点M满足，且|PM|＝|PF1|，则动点M的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：椭圆C：1中，a，b＝1，c，可得F1（，0），F2（，0），
动点M满足，且|PM|＝|PF1|，
可得M在F2P的延长线上，且|PM|＝|PF1|，
则|MF2|＝|F2P|+|PM|＝|F2P|+|F1P|＝2a＝2，
可得动点P的轨迹是以F2为圆心，半径为2的圆，其方程为（x）2+y2＝24．
故选：D．
6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，P是侧面AA1C1C内一点，若点P到平面BB1C1C的距离，则点P的轨迹是（　　）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】D
【解答】解：如图，作ED⊥B1B，做A1F⊥B1C1，连接PD，
因几何体为直三棱柱，则CC1⊥平面A1B1C1，又A1F 平面A1B1C1，
则CC1⊥A1F，又CC1 平面C1CBB1，B1C1 平面C1CBB1，
B1C1∩CC1＝C1，则A1F⊥平面C1CBB1．
又由题可得PE⊥平面C1CBB1，则PE∥A1F，
因ED⊥C1C，C1B1⊥C1C，则ED∥C1B1．
又ED 平面EPD，EP 平面EPD，EP∩ED＝E，
A1F 平面A1B1C1，FC1 平面A1B1C1，A1F∩FC1＝F，
则平面EPD∥平面A1B1C1．
因平面A1C1CA∩平面EPD＝PD，平面A1C1CA∩平面A1B1C1＝A1C1，则PD∥A1C1．
故，结合PE⊥平面C1CBB1，ED 平面C1CBB1，
可得PE⊥ED，则，
又，则|PD|＝|PA1|，
由题有CC1⊥A1C1，结合PD∥A1C1，则CC1⊥PD，
即|PD|为点P到直线CC1距离．
故点P到定点A1距离等于点P到直线BB1距离，
则点P轨迹为抛物线的一部分．
故选：D．
7．与两圆x2+y2＝4及x2+y2﹣8x+15＝0都外切的圆的圆心的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．双曲线的一支
C．抛物线 D．圆
【答案】B
【解答】解：如图，
圆x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径为2，
圆x2+y2﹣8x+15＝0的标准方程为（x﹣4）2+y2＝1，圆心为B（4，0），半径为1，
设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，
由于动圆P与圆O、圆B均外切，则，
∴|PO|﹣|PB|＝1＜|OB|＝4，因此动圆的圆心P的轨迹为双曲线的一支．
故选：B．
8．已知平面内两个定点F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|+|PF2|＝10，则点P的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【解答】解：F1，F2为平面上两个不同定点，|F1F2|＝6，|PF1|+|PF2|＝10，
动点P满足|PF1|+|PF2|＞6，
则动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．
故选：A．
9．已知动点P到定点F（2，0）的距离比它到直线x+1＝0的距离大1，直线l与动点P的轨迹交于A，B两点，且线段AB的中点为（4，2），则直线l的方程为（　　）
A．x﹣2y＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．2x﹣y﹣10＝0 D．2x﹣y﹣6＝0
【答案】D
【解答】解：∵P到定点F（2，0）的距离比它到直线x+1＝0的距离大1，
∴P到定点F（2，0）的距离与它到直线x＝﹣2的距离相等，
∴P的轨迹是以F为焦点，直线x＝﹣2为准线的抛物线，
∴P的轨迹方程为y2＝8x，
设直线l与动点P的轨迹的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的中点为（4，2），
∴x1+x2＝2×4＝8，y1+y2＝2×2＝4，
又A，B在P的轨迹：y2＝8x上，
∴，∴，
∴直线l的斜率为2，
∴直线l的方程为y﹣2＝2（x﹣4），即为2x﹣y﹣6＝0．
故选：D．
10．设P（x，y）满足：，则P的轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不存在
【答案】B
【解答】解：设F1（0，﹣2），F2（0，2），则，，
由，即|PF1|+|PF2|＝5，
又|F1F2|＝4，所以|PF1|+|PF2|＝5＞|F1F2|，
根据椭圆的定义可知点P的轨迹是以F1（0，﹣2），F2（0，2）为焦点的椭圆．
故选：B．
11．已知动圆M恒过点F（1，0），且与直线x＝﹣1相切，设圆心M的轨迹为曲线C，直线与曲线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与直线x＝﹣1交于点R，若|QF|＝3，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：已知动圆M恒过点F（1，0），且与直线x＝﹣1相切，
设圆心M的轨迹方程曲线C，
由抛物线的定义可得：圆心M的轨迹为以F（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，
即圆心M的轨迹方程为y2＝4x，
直线与曲线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与直线x＝﹣1交于点R，
又|QF|＝3，
则3＝xQ+1，
解得 xQ＝2．
联立，
整理得，
则2xp＝5，
解得，
则．
故选：C．
12．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知点P（x0，y0）是双纽线C上一点，下列说法中正确的有（　　）
①双纽线C关于原点O中心对称；
②；
③双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个；
④|PO|的最大值为．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④
【答案】B
【解答】解：根据双纽线C的定义可得，，
用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，①正确；
根据三角形的等面积法可知，|PF1||PF2|sin∠F1PF22a×|y0|，即|y0|sin∠F1PF2，
亦即y0，②正确；
若双纽线C上点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x＝0，代入方程，
解得y＝0，所以这样的点P只有一个，③错误；
因为，所以||2[||2+2||||cos∠F1PF2+||2]
由余弦定理可得，4a2＝||2﹣2||||cos∠F1PF2+||2
||2＝a2+||||cos∠F1PF2＝a2+a2cos∠F1PF2≤2a2，所以PO|的最大值为a，④正确．
故选：B．
（多选）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，M为棱CC1中心，P为正方形A1B1C1D1上的动点，则（　　）
A．满足MP∥平面BDA1的点P的轨迹长度为
B．满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得平面AMP经过点B
D．存在点P满足PA+PM＝2.2
【答案】ABD
【解答】解：如图，以D原点，以DA，DC，DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），，设P（x，y，1），（0≤x≤1，0≤y≤1），
所以，．
对于A：取B1C1的中点Q，D1C1的中点N，如图，
因为点M为CC1的中点，由正方体的性质知MQ∥A1D，NQ∥BD，
又MQ 平面BDA1，A1D 平面BDA1，所以MQ∥平面BDA1，
同理可得NQ∥平面BDA1，又MQ∩NQ＝Q，MQ、NQ 平面MQN，
所以平面MQN∥平面BDA1，由MP 平面MQN，得MP∥平面BDA1，
所以点P的轨迹为线段NQ，其长度为，故A正确；
对于B：由MP⊥AM得，即，又0≤x≤1，0≤y≤1，
所以点P的轨迹为线段EF，且，
则，即点P的轨迹长度为，故B正确；
对于C：如图，连接BM，取DD1的中点H，连接AH、HM，
则平面ABM截正方体所得截面为ABMH，与正方形A1B1C1D1没有交点，
所以不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误；
对于D：由B知，点M关于平面A1B1C1D1的对称点为，
所以当P、A、M三点共线时PA+PM最小，
即，
又，所以存在点P满足PA+PM＝2.2，故D正确．
故选：ABD．
（多选）14．“曼哈顿距离”是由赫尔曼 闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，定义点P（x1，y1）与点Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点F1（﹣1，0），点F2（1，0），直线a，b和c的方程分别是x﹣2y﹣2＝0，x＝﹣1和x＝1，则下列叙述正确的是（　　）
A．
B．点O与直线a上任意一点的曼哈顿距离最小值为2
C．若动点M满足d（M，F1）＝4，则M的轨迹围成图形的面积是32
D．若动点M与直线b上任意一点的曼哈顿距离最小值等于d（M，F2），则M的轨迹与直线c围成的封闭图形面积是2
【答案】CD
【解答】解；d（F1，F2）＝|﹣1﹣1|+|0﹣0|＝2，所以选项A错误；
令直线a上任意点为A（2y+2，y），
那么，
那么当y＝﹣1时，d（O，A）的最小值为1，所以选项B错误；
设M（x，y），那么d（M，F1）＝|x+1|+|y|＝4，
当x≥﹣1，y＜0时，则x+y﹣3＝0；当x≥﹣1，y≥0时，则x+y﹣3＝0；
当x＜﹣1，y＜0时，则x+y+5＝0；当x＜﹣1，y≥0时，则x﹣y+5＝0，
那么M点轨迹为上述四条线段围成的封闭曲线，如图：
那么M的轨迹围成图形的面积是，所以选项C正确；
设M（x，y），当M与直线b上的点连线垂直于b时曼哈顿距离最小，
所以可得|x+1|＝|x﹣1|+|y|，
当﹣1≤x＜0时，x+1＝1﹣x+|y|，则|y|＝2x＜0，不符合题意；
当x＜﹣1时，﹣x﹣1＝1﹣x+|y|，则|y|＝﹣2，不符合题意；
当0≤x＜1，y＜0时，x+1＝1﹣x﹣y，则2x+y＝0，
当0≤x＜1，y≥0时，x+1＝1﹣x+y，则2x﹣y＝0，
当x≥1，y＜0时，x+1＝x﹣1﹣y，则y＝﹣2，
当x≥1，y≥0时，x+1＝x﹣1+y，则y＝2，
则M点轨迹如图示：
则M的轨迹与直线c围成的封闭图形面积为，所以选项D正确．
故选：CD．
15．在平面直角坐标系中，A（0，3），B（0，﹣1），点P满足|PA|＝2|PB|，则△PAB面积的最大值是　　 ．
【答案】．
【解答】解：设点P（x，y），由|PA|＝2|PB|可得，
整理得，
又直线AB的方程为y轴，点P到直线AB的最大距离为圆的半径，
因此．
故答案为：．
16．已知两定点M（4，0），N（1，0），动点P满足 6||，则动点P的轨迹方程为　　 ．
【答案】
【解答】解：设动点P（x，y），（x﹣4，y），（﹣3，0），（x﹣1，y），
由 6||，得﹣3（x﹣4）＝6，平方化简得3x2+4y2＝12，即．
∴点P的轨迹方程为．
故答案为：．
17．在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（﹣4，0），点P到A与B的距离之和为8，则点P的轨迹为 　线段AB ．
【答案】线段AB．
【解答】解：∵点A（4，0），B（﹣4，0），点P到A与B的距离之和为8，
即|PA|+|PB|＝AB＝8，
∴点P的轨迹为线段AB，
故答案为：线段AB．
18．如图所示，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E在棱DD1上，DE＝2ED1，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设H在棱CC1上，且CH＝2HC1，
又I在棱C1D1上，且D1I＝2IC1，G在棱CD上，且DG＝2GC，
连接B1I，B1H，IH，CD1，EG，BG，则A1B∥CD1∥GE，
∴A1，B，E，G四点共面，
由B1H∥A1E，A1E 平面B1HI，B1H 平面B1HI，
∴A1E∥平面B1HI，
同理A1B∥面B1HI，又A1B∩A1E＝A1，A1B，A1E 平面A1BGE，
所以平面A1BGE∥平面B1HI，又B1F∥平面A1BE，
∴F落在线段HI上，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，
∴，
即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是．
故答案为：．
19．已知A（1，2）、B（3，6），动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）求过点A（1，2）且与曲线C相切的直线的方程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设P（x，y），由A（1，2）、B（3，6），
得，，
由，得（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1，
可得曲线C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1；
（2）曲线C是以（2，4）为圆心，1为半径的圆，
当过点A（1，2）的直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足与圆C相切；
当过点A（1，2）的切线斜率存在时，设切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，
则，解得，可得切线方程为3x﹣4y+5＝0．
综上所述，所求切线方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0．
20．已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（﹣2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若点P与点Q关于点（2，1）对称，点C（3，0），求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值；
（3）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为动点P（x，y）到点A（﹣2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍，
所以，
整理得x2﹣4x+y2＝0，
即（x﹣2）2+y2＝4，
则点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝4；
（2）设Q（m，n），
因为点P与点Q关于点（2，1）对称，
所以P（4﹣m，2﹣n），
因为点P在圆上运动，
所以（4﹣m﹣2）2+（2﹣n）2＝4，
则点Q的轨迹方程为（m﹣2）2+（n﹣2）2＝4，
设m＝2+2cosθ，n＝2+2sinθ（0≤θ≤2π），
此时|QA|2+|QC|2＝（m+2）2+n2+（m﹣3）2+n2
＝（2+2cosθ+2）2+（2+2sinθ）2+（2+2cosθ﹣3）2+（2+2sinθ）2
＝8cos2θ+12cosθ+8sin2θ+16sinθ+25＝20sin（θ+φ）+33，，
所以当sin（θ+φ）＝1时，|QA|2+|QC|2取得最大值，最大值为33+20＝53；
当sin（θ+φ）＝﹣1时，|QA|2+|QC|2取得最小值，最小值为33﹣20＝13；
（3）易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k（x+2），E（x1，y1），F（x2，y2），
联立，消去y并整理得（k2+1）x2+4（k2﹣1）x+4k2＝0，
此时Δ＝16（k2﹣1）2﹣16（k2+1）＞0，
解得，
因为直线l不经过点M（2，0），
所以，
因为点M（2，0）到直线l的距离，
又，
所以，
因为，，
所以d2∈（0，4），
所以当d2＝2时，S△EFM取得最大值，最大值为2，
此时，
解得．
则直线I的方程为或．
21．在平面直角坐标系中，点P的坐标（x，y）满足（θ为参数），
（1）求点P的轨迹C1的方程；
（2）求曲线C2：x2+y2﹣6x+4y﹣7＝0与曲线C1公共弦的长．
【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝4；
（2）2．
【解答】解：（1）因为，
所以，
两式平方再相加得（x﹣1）2+y2＝4，
则轨迹C1的方程为（x﹣1）2+y2＝4；
（2）因为曲线C1：x2+y2﹣2x﹣3＝0和曲线，
两方程作差得x﹣y+1＝0，
联立，
解得x2＝1，
则两个交点分别为（1，2），（﹣1，0）．
故公共弦长为．
22．已知圆C的圆心为C（3，0），且过点．
（1）求圆C的半径及标准方程；
（3）若O为坐标原点，点P（x，y）满足|PO|＝2|PC|，求点P的轨迹方程．
【答案】（1）3，（x﹣3）2+y2＝9；
（2）x2+y2﹣8x+12＝0．
【解答】解：（1）由题意，圆心为C（3，0），过点，
则半径，
所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+y2＝9；
（2）设P（x，y），则由题意可得，
化简可得x2+y2﹣8x+12＝0．
23．一动圆经过点F（0，﹣3）且与直线y＝3相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为（2，﹣4），求l的方程．
【答案】（1）x2＝﹣12y；（2）x+3y+10＝0．
【解答】解：（1）由一动圆经过点F（0，﹣3）且与直线y＝3相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C，
可得该动圆的圆心到点F（0，﹣3）与到直线y＝3的距离相等．
又点F（0，﹣3）不在直线y＝3上，根据抛物线的定义可知，
该动圆圆心的轨迹是以F（0，﹣3）为焦点，直线y＝3为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x2＝﹣12y．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意知直线l斜率存在，则x1≠x2，
则，
两式相减得，即，
因为线段AB的中点坐标为（2，﹣4），
所以x1+x2＝4，则，
即直线l的斜率为，
则直线l的方程为y+4（x﹣2），即x+3y+10＝0．
24．已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与直线y＝x+4相切．
（1）求圆O的标准方程；
（2）若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是（6，0），求线段AB的中点M的轨迹方程．
【答案】（1）x2+y2＝16；
（2）（x﹣3）2+y2＝4．
【解答】解：（1）圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与直线y＝x+4相切．
所以r4，
所以圆O的标准方程为x2+y2＝16；
（2）设M（x，y），A（x0，y0），
∵AB中点是M，
∴，
∴x0＝2x﹣6，y0＝2y，
∵x02+y02＝16，
∴（2x﹣6）2+（2y）2＝16，
∴（x﹣3）2+y2＝4，
∴线段AB的中点M的轨迹方程为（x﹣3）2+y2＝4．
▉题型2 简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
25．在花语中，四叶草象征幸运．已知在极坐标系下，方程ρ＝2sin2θ对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”．已知P为“四叶草”上的点，则点P到直线距离的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解答】解：直线，即，即，
“四叶草”ρ＝2sin2θ极径的最大值为2，且可于点处取得，
连接OP且与直线垂直且交于点，
所以P点到直线l的最小距离即为|PM|＝3．
故选：D．
26．在极坐标系中，把曲线C：ρ＝2sinθ绕极点逆时针旋转后所得曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设曲线C上的点为（ρ0，θ0），旋转后对应的点为（ρ1，θ1），
则，
∴，
∴，
即旋转后所得曲线方程为：．
故选：B．
27．在极坐标系中，过点（1，0）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（　　）
A．ρ＝1 B．ρsinθ＝1 C．ρcosθ＝1 D．
【答案】C
【解答】解：如图所示，
设P（x，y）是所求直线上的任意一点，∠AOP＝θ，|OA|＝1，则，
∴ρcosθ＝1．
故选：C．
28．已知直线l的极坐标方程为，圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝1，则直线l与圆C的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解答】解：由已知可得直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝2，
∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣2＝0．
而圆C的圆心（1，0）到直线l的距离，
所以直线l与圆C相交．
故选：A．
29．在极坐标系中，方程θ（ρ≥0）表示的图形为（　　）
A．一条直线 B．一条射线 C．一个点 D．一个圆
【答案】B
【解答】解：极坐标系中，方程θ（ρ≥0），转换为直角坐标方程为，
由于ρ≥0，
故该图象为一条射线．
故选：B．
30．在极坐标系中，点到直线的距离为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解答】解：点A（3，）根据转换为直角坐标为（），
直线根据转换为直角坐标方程为，
利用点到直线的距离公式d．
故选：A．
31．圆ρ＝2（cosθ﹣sinθ）的圆心极坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：圆ρ＝2（cosθ﹣sinθ）即：ρ2＝2ρ（cosθ﹣sinθ），
化为直角坐标方程：x2+y2＝2（x﹣y），
配方为：4．
圆心C，可得极坐标2，tanθ1，且θ在第四象限，
∴θ．
∴圆心C极坐标为．
故选：B．
32．在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（　　）
A．ρ＝2 B．θ C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2
【答案】D
【解答】解：点（2，）在直角坐标系下的坐标为（2，2），即（0，2）
∴过点（0，2）且与x轴平行的直线方程为y＝2．
即为ρsinθ＝2．
故选：D．
33．把极坐标方程ρ＝﹣6cosθ化成直角坐标方程是（　　）
A．（x+3）2+y2＝9 B．（x﹣3）2+y2＝9
C．x2+（y+3）2＝9 D．x2+（y﹣3）2＝9
【答案】A
【解答】解：∵极坐标方程ρ＝﹣6cosθ，两边同时乘以ρ 可得 ρ2＝﹣6ρcosθ，化为直角坐标方程是 x2+y2＝﹣6x，
即 （x+3）2+y2＝9，
故选：A．
34．在极坐标系下，点到直线ρcosθ+ρsinθ＝0的距离为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：点的直角坐标为（1，1），
直线ρcosθ+ρsinθ＝0化为普通方程为x+y＝0，
则点（1，1）到直线x+y＝0的距离为．
故答案为：．
35．已知点A是曲线ρ＝2cosθ上任意一点，则点A到直线ρsin（θ）＝4的距离的最小值是　　 ．
【答案】
【解答】解：曲线ρ＝2cosθ即（x﹣1）2+y2＝1表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线ρsin（θ）＝4，即x8＝0，圆心（1，0）到直线的距离等于，所以点A到直线ρsin（θ）＝4的距离的最小值是．
故答案为：．
36．若曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为3x2+4y2＝12，整理得．
（2）直线，根据转换为直角坐标方程为x﹣y+1＝0；
所以，整理得7x2+8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）；
所以，；
根据弦长公式，．
37．已知⊙C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求⊙C的直角坐标方程，
（2）过M（1，1）作直线l交圆⊙C于P，Q两点，且|PM|＝2|OM|，求直线l的斜率．
【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝4．
（2）或．
【解答】解：（1）因为⊙C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ，且x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以ρ2＝4ρcosθ，x2+y2＝4x，
故⊙C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．
（2）设直线的倾斜角为α，
则直线的参数方程为（t为参数），与（x﹣2）2+y2＝4联立，得t2+2（sinα﹣cosα）t﹣2＝0，
设点P对应的参数为t1，点Q对应的参数为t2，
则，
因为|t1|＝2|t2|，
所以t1＝﹣2t2，联立可得3sin2α﹣8sinαcosα+3cosα＝0，解得，
所以直线的斜率为或．
38．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1．P为曲线C1上一动点，且，点Q的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为，点M为曲线C3上一动点，求|MQ|最大值．
【答案】（1）ρ＝2sinθ，ρ＝4sinθ；（2）5．
【解答】解：（1）由题意可知：曲线C1的方程为：x2+（y﹣1）2＝1，
曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，
设点P的极坐标为（ρ0，θ0），
则ρo＝2sinθ0，
点Q的极坐标为（ρ，θ），由得
所以点Q轨迹曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ；
（2）曲线C3直角坐标方程为，设点M，
曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，设圆心为N（0，2），|MQ|max＝|MN|max+2；
，
当sinφ＝﹣1时，|MN|max＝3，
所以|MQ|max＝3+2＝5．
39．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得．
∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，即x2+y2﹣4x＝0．
∴曲线的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4；
（Ⅱ）把代入x2+y2﹣4x＝0，得．
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则，t1t2＝﹣3．
不妨设t1＜0，t2＞0，
∴．
40．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM| |OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝4（x≠0）；（2）2．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x＝4，
设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0，
∵|OM||OP|＝16，
∴16，
即（x2+y2）（1）＝16，
∴x4+2x2y2+y4＝16x2，即（x2+y2）2＝16x2，
两边开方得：x2+y2＝4x，
整理得：（x﹣2）2+y2＝4（x≠0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝4（x≠0）．
（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|＝2，
∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d，
∴△AOB的最大面积S|OA| （2）＝2．
▉题型3 平面直角坐标轴中的伸缩变换
【知识点的认识】
平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P（x，y）对应到
点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化，简称伸缩变换．
41．圆x2+y2＝1经过伸缩变换后所得图形的焦距是（　　）
A．4 B． C． D．6
【答案】C
【解答】解：圆x2+y2＝1经过伸缩变换后得到：；
故，
故2c＝2；
故选：C．
▉题型4 极坐标刻画点的位置
【知识点的认识】
点的极坐标
设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对 （ρ，θ）
称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对（ρ，θ）决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．
由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．
42．在极坐标系中，已知点，，则|P1P2|＝（　　）
A． B．10 C． D．
【答案】A
【解答】解：由于|OP1|＝6，|OP2|＝8且它们夹角为，
由余弦定理得
．
故选：A．
▉题型5 点的极坐标和直角坐标的互化
【知识点的认识】
坐标之间的互化
（1）点的极坐标和直角坐标的互化
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位（如图）．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：，．
通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π．
（2）空间点P的直角坐标（x，y，z）与柱坐标（ρ，θ，z）之间的变换公式为：．
（3）空间点P的直角坐标（x，y，z）与球坐标（r，φ，θ）之间的变换关系为：．
43．已知点P的直角坐标为，则它的极坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由于点P的直角坐标为，则，
再由，结合选项可得：，
所以点P的极坐标为．
故选：B．
44．点P极坐标为，则它的直角坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由P点的直角坐标为（x，y），则，，
则P点的直角坐标为．
故选：C．
▉题型6 参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
45．已知曲线（θ为参数）．若直线与曲线C相交于不同的两点A，B，则|AB|的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解答】解：由题意可知曲线C表示圆心坐标为（1，0），半径为r＝1的圆，
则圆心到直线的距离为，
所以，
故选：C．
46．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心的极坐标为（　　）
A． B．（1，π） C．（0，﹣1） D．
【答案】A
【解答】解：圆C的参数方程为为参数），
化为普通方程：x2+（y+1）2＝1，可得圆心C（0，﹣1）
圆C的圆心的极坐标为（1，）．
故选：A．
47．在同一平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2+y2＝1所对应的图形经过伸缩变换得到图形C′．点P在曲线C′上，则点P到直线的距离的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由得到，代入到x2+y2＝1中得，
即为曲线C′的直角坐标方程，
设，则点P到直线的距离，
其中（，），
所以当sin（θ+φ）＝1时，即点P到直线l的距离最小值为．
故答案为：．
48．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0．
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，设M（2，0），求|MA||MB|的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴消去t可得直线l的普通方程为：，
∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ＝0，
又∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．
（2）将（t为参数）代入y2＝4x，
得3t2﹣8t﹣32＝0，显然Δ＞0，即方程有两个不相等的实根，
设点A，B在直线l的参数方程中对应的参数分别是t1，t2，
则，，
∴．
49．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P（4，3），直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．
【答案】（1）直线l的普通方程为x﹣y﹣1＝0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0．
（2）．
【解答】解：（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），
所以直线l的普通方程为x﹣y﹣1＝0，
曲线C的极坐标方程为2cosθ+2sinθ，
则ρ2＝2ρcosθ+2ρsinθ，
曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0．
（2）直线l的参数方程为（t为参数），
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
将，代入x2+y2﹣2x﹣2y＝0得，
则，t1t2＝11，则t1＜0，t2＜0，
则．
50．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2（cosθ﹣sinθ）．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设曲线C1与曲线C2交于P、Q两点，求|OP| |OQ|的值．
【答案】（1）x2+y2﹣2x+2y＝0；
（2）2．
【解答】解：（1）∵，
消去参数t可得x+y＝1，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝1，
由ρ＝2（cosθ﹣sinθ），得x2+y2＝2x﹣2y，
即曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0；
（2）由ρ＝2（cosθ﹣sinθ）及ρ（cosθ+sinθ）＝1可得 ，即ρ4﹣8p2+4＝0，
设P，Q两点所对应的极径分别为ρ1，ρ2，则，
∴|OP| |OQ|＝ρ1 ρ2＝2．
51．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由，
得，
将ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y代入，
得圆C的直角坐标方程为．
（2）把参数方程化为标准形式：，
代入，得，
设t1，t2是上述方程的两根，
则有，t1t2＝4＞0，
因此由t的几何意义可知．
52．在同一平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝1按照伸缩变换后得到曲线方程C1．
（1）求曲线C1的方程；
（2）若过点P（λ，0）的直线l与椭圆交于相异的两点A，B，且，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）x2+4y2＝1；
（2）．
【解答】解：（1）由伸缩变换可知；
将代入x2+y2＝1得x′2+4y′2＝1，
即曲线C1的方程为x2+4y2＝1．
（2）如下图所示：
设B（x0，y0），A（x1，y1），
由得（λ﹣x1，﹣y1）＝2（x0﹣λ，y0），
从而x1＝3λ﹣2x0，y1＝﹣2y0，即A（3λ﹣2x0，﹣2y0），
因为点A在椭圆x2+4y2＝1上，故，
即，
又B（x0，y0）在椭圆上，即，
解得，
由椭圆定义知﹣1≤x0≤1，故，
解得，
又由题设知λ≠±1，故，
所以实数λ的取值范围是．
53．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA| |OB|＝8，点B的轨迹为C2．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）将曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，
又，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；
又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知，即为曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）由，
而cos2θ≤1，
故△ABM面积的最小值为2．
54．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为ρ＝4acosθ（a＞0）．
（1）设t为参数，若，求直线l的参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设，且|PQ|2＝|MP| |MQ|，求实数a的值．
【答案】（1）（t为参数）；
（2）．
【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为，
∴，即，
∵将代入上式得，
∴直线l的参数方程为（t为参数）；
（2）由ρ＝4acosθ（a＞0），得ρ2＝4aρcosθ（a＞0），
∴x2+y2＝4ax（a＞0），
将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得，
由，解得a＞1，
设点P和点Q分别对应参数t1、t2为上述方程的根，
由根与系数的关系得，
由题意得，，
|MP| |MQ|＝|t1| |t2|＝|t1t2|＝12，
∴12（1+a）2﹣48＝12，
解得，或（舍），
∴．
55．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知P（﹣4，0），设直线l和曲线C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
【答案】（1）（x+4）2+（y﹣2）2＝4，x﹣2y+4＝0；
（2）．
【解答】解：（1）由得（x+4）2+（y﹣2）2＝4，
所以曲线C的普通方程为（x+4）2+（y﹣2）2＝4．
将代入ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0得x﹣2y+4＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x﹣2y+4＝0．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得5y2﹣4y＝0得，
所以Q的纵坐标为，则横坐标为，
即，所以．
56．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若l与C交于A，B两点，P（5，﹣3），求|PA| |PB|的值．
【答案】（Ⅰ）（x﹣1）2+y2＝4；x+y﹣2＝0；（Ⅱ）21．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝4；
直线l的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0；
（Ⅱ）把直线的方程转换为参数式为（t为参数），代入（x﹣1）2+y2＝4，
得到：；
故t1t2＝21；
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝21．
57．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；
（Ⅱ）设C1与C2交点为A，B，求△AOB的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由题意曲线C1的参数方程为（t为参数），得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5，即x2+y2﹣4x﹣6y+8＝0
曲线C1的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+8＝0；
（Ⅱ）联立方程，解得，，
∴A（0，2），B（1，1），
∴．
58．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ+2sinθ．
（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；
（2）设点P的极坐标为（2，），C1与C2相交于A，B两点，求△PAB的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）曲线C1表示过原点，且倾斜角为的直线，
从而其极坐标方程．
由曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ+2sinθ．
得x2+y2＝4x+2y，即曲线C2的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．
（2）将代入曲线C2的极坐标方程ρ＝4cosθ+2sinθ，
得，
故，
因为点P的极坐标为（），
所以点P到AB的距离为，
所以．
▉题型7 圆的参数方程
【知识点的认识】
直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程
轨迹 普通方程 参数方程
直线 y﹣y0＝tan α（x﹣x0） （t为参数）
圆 （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2 （θ为参数）
椭圆 1（a＞b＞0） （θ为参数）
双曲线 1 （θ为参数）
抛物线 y2＝2px（p＞0） （t为参数）
59．已知点P（x，y）是圆x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0上的动点，则x+y的最大值为（　　）
A． B． C．6 D．5
【答案】A
【解答】解：由x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0，得（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，
令x﹣3＝cosθ，y﹣2＝sinθ，
则x+y＝5+sinθ+cosθ＝5sin（θ），
∴x+y的最大值为5．
故选：A．
▉题型8 椭圆的参数方程
【知识点的认识】
直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程
轨迹 普通方程 参数方程
直线 y﹣y0＝tan α（x﹣x0） （t为参数）
圆 （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2 （θ为参数）
椭圆 1（a＞b＞0） （θ为参数）
双曲线 1 （θ为参数）
抛物线 y2＝2px（p＞0） （t为参数）
60．过椭圆C：（θ为参数）的右焦点F作直线l交C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则的值为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解答】解：椭圆C：（θ为参数）的普通方程为，
当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1，代入，可得y＝±
∴m＝n，
∴．
故选：B．

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