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第3章第3.1节 空间向量及其运算
题型1 空间向量及其线性运算 题型2 空间向量的概念及属性
题型3 空间向量的数乘及线性运算 题型4 空间向量的共线与共面
题型5 空间向量的数量积运算 题型6 空间向量的夹角与距离求解公式
题型7 空间向量的投影向量与投影
▉题型1 空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，．
④|λ|＝|λ| ||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M为A1C1的中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是CC1上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面BDA1的交点，则t＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，记，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题正确的个数是（　　）
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面
③若共线，则与所在直线平行
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面
A．0 B．1 C．2 D．3
5．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体ABCD中，则（　　）
A． B．4 C． D．
6．直线l的方向向量为（1，1，0），且l过点A（1，1，1），则点P（2，2，﹣1）到直线l的距离为（　　）
A． B． C．2 D．3
7．已知向量，若，则（　　）
A．5 B． C．4 D．
（多选）8．在棱长均为1的四面体ABCD中，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，空间四边形OABC中，6条棱长都为a，且，则　__________（用，表示）．
10．棱长为4的正方体AC1中，M，N分别是平面A1B1C1D1和平面ACD1内动点，，则PM+MN的最小值为　 ．
11．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且EF＝2FA．设，，则 　 ， 　 ．
12．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为棱DD1的中点，E为棱BB1上一点．记，若，则____________．
13．已知向量在向量上的投影向量的模为an，则a5＝　 　 ，使an为整数的n的值按照从小到大的顺序排列，得到的新数列的前n项和Sn＝ ．
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若λ（λ∈R），则λ＝　 ．
15．在空间直角坐标系Oxyz中，向量，若O，A，B，C四点共面，则t＝　 ．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①（）； ②（）； ③（）﹣2； ④（）．
其中能够化简为向量的是　 　 ．（把你认为正确的序号填上）
17．如图，在斜三棱柱OAB﹣O1A1B1中，向量，三个向量之间的夹角均为，点M、N分别在O1A1、BA1上，且，，，，．
（1）将向量用向量、表示，并求；
（2）将向量用、、表示．
▉题型2 空间向量的概念及属性
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
18．已知空间的三个不共面的单位向量，，，对于空间的任意一个向量，（　　）
A．将向量，，平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上
B．总存在实数x，y，使得
C．总存在实数x，y，z，使得
D．总存在实数x，y，z，使得
（多选）19．下列说法正确的是（　　）
A．空间向量与的长度相等
B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
▉题型3 空间向量的数乘及线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，．
④|λ|＝|λ| ||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
20．已知空间三点O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为（　　）
A．（﹣2，2，0） B．（2，﹣2，0）
C．（，，0） D．（，，0）
21．如图，已知四面体ABCD的棱长都是2，点M为棱AD的中点，则的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
22．空间四边形ABCD中，，，，点P为AB中点，点Q为CD靠近D的三等分点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
23．下列选项中，不正确的命题是（　　）
A．若两条不同直线l，m的方向向量为，，则
B．若是空间向量的一组基底，且，则点D在平面ABC内，且D为△ABC的重心
C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数x，y，z使
24．如图，在四面体A﹣BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（　　）
A． B．
C． D．
25．三棱柱ABC﹣DEF中，G为棱AD的中点，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
26．如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D满足，，则x﹣y+z＝（　　）
A． B． C． D．2
27．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若，则（　　）
A． B． C． D．
▉题型4 空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
28．已知空间向量（1，﹣1，2），（m，n，4），若∥（），则m+n＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．4
29．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，但任意三点不共线．如果，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
30．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A（0，y，3）和B（﹣1，2，z）两点，则y﹣z等于（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
31．已知向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），如果，那么x等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
32．已知空间向量，，c＝（1，1，1），且，，共面，则实数x＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
（多选）33．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（　　）
A．与是共线向量
B．与向量方向相同的单位向量坐标是
C．与夹角的余弦值是
D．在上的投影向量的模为
34．已知t∈R，A、B、C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若，且A、B、C、P四点共面，则t＝ 　 ．
35．已知，，是不共面向量，23，42，75λ，若，，三个向量共面，则实数λ＝　 ．
36．已知x，y∈R，空间向量．若，则2x+y＝　 　 ．
37．已知空间四点A（1，1，2），B（0，3，0），C（﹣2，﹣1，z），P（﹣3，y，﹣2），满足．
（1）求实数z的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
▉题型5 空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作 ，即 ||||cos，
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：λ（） （）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
38．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．则与分别等于（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
39．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A．（﹣1，2，3） B．（1，0，2）
C． D．（1，2，0）
40．已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．0
41．已知空间向量，若，则m＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
（多选）42．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
B．已知两个向量，，且，则mn＝﹣3
C．若，且，，则x1x2+y1y2+z1z2＝0
D．，，则在上的投影向量为
（多选）43．如图，圆柱OO'的底面直径为2，高为4，AB为下底面的一条直径，PB为圆柱OO'的一条母线，点C沿着弧AB由A向B运动（与端点不重合），则下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥A﹣PBC的体积逐渐增大
B．为平面PBC的一个法向量
C．的值先减小后增大
D．若C为弧AB的中点，则直线AP与CO'所成角的余弦值为
（多选）44．已知向量，则（　　）
A．若，则
B．若x＝1，y＝1，则
C．若，则
D．若则向量在向量上的投影向量
（多选）45．给出下列命题，其中正确的是（　　）
A．任意向量，，满足
B．在空间直角坐标系中，点P（﹣1，3，5）关于坐标平面Oyz的对称点是P'（1，3，5）
C．已知，，，为空间向量的一个基底，则向量，，能共面
D．已知A（﹣1，1，2），B（2，2，4），C（3，﹣2，0），则向量在向量上的投影向量是
（多选）46．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，，且，则（　　）
A．
B．AA1⊥BD
C．
D．直线AA1与平面ABCD所成的角为
47．平行六面体ABCD﹣AB1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，则AC1的长是 ．
48．已知向量，满足，，且．则在上的投影向量的坐标为________________．
49．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，点E，F分别为AB，AD的中点，则　 ．
50．已知（﹣1，2，1），（2，0，1），则（23） （）＝　 ．
51．若（2，﹣3，1），（2，0，3），（3，4，2），则 （）＝　 　 ．
52．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 　 ．
53．已知（1，2，﹣2），（0，2，4），则，夹角的余弦值为 ．
54．四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB，AC，AD两两垂直，，则四面体ABCD体积的最大值为 　 ．
▉题型6 空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），
cos
注意：
（1）当cos1时，与同向；
（2）当cos1时，与反向；
（3）当cos0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
dA，B＝||．
55．若，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
▉题型7 空间向量的投影向量与投影
【知识点的认识】
﹣投影向量：向量在上的投影是．
﹣投影长度：投影的长度为．
56．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B．
C．（﹣2，4，4） D．
57．已知向量（2，1，3），（1，2，4），则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
58．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A．（﹣1，2，3） B．（1，0，2）
C．（2，0，4） D．
（多选）59．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（　　）
A．与点A（﹣3，4，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣4，﹣2）
B．若{，，}是空间向量的一组基底，且（λ，μ∈R），则{，，}也是空间向量的一组基底
C．已知（﹣1，2，0），（1，2，3），则在上的投影向量的坐标为（，，0）
D．已知（﹣1，，0），平面α的法向量为（1，2，1），则AB∥α
60．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．第3章第3.1节 空间向量及其运算
题型1 空间向量及其线性运算 题型2 空间向量的概念及属性
题型3 空间向量的数乘及线性运算 题型4 空间向量的共线与共面
题型5 空间向量的数量积运算 题型6 空间向量的夹角与距离求解公式
题型7 空间向量的投影向量与投影
▉题型1 空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，．
④|λ|＝|λ| ||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M为A1C1的中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图所示：
因为M为A1C1的中点，
所以，
所以．
故选：C．
2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是CC1上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面BDA1的交点，则t＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由点M是CC1上靠近点C的三等分点，
得，
因为
所以，
由N为AM与平面BDA1的交点，得点N，B，D，A1共面，
则，所以．
故选：C．
3．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，记，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：．
故选：A．
4．下列命题正确的个数是（　　）
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面
③若共线，则与所在直线平行
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：对于①：若A，B，C，D是空间任意四点，则有，故①正确；
对于②：若向量所在的直线为异面直线，由于向量可以任意平移，则向量一定共面，故②错误；
对于③：若共线，则与所在直线平行或在同一条线上，故③错误；
对于④：对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、z∈R），当x+y+z＝1时，则P、A、B、C四点共面，故④错误．
故选：B．
5．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体ABCD中，则（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，，
设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，
则OC⊥平面ABD，又AO，AB，AD 平面ABD，
故OC⊥AO，OC⊥AB，OC⊥AD，
则，
，
在△ACO中，，
则，
又的方向与相同，
所以．
故选：A．
6．直线l的方向向量为（1，1，0），且l过点A（1，1，1），则点P（2，2，﹣1）到直线l的距离为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：∵A（1，1，1），P（2，2，﹣1），
∴，又，
∴在方向上的投影，
点P（2，2，﹣1）到直线l的距离为．
故选：C．
7．已知向量，若，则（　　）
A．5 B． C．4 D．
【答案】D
【解答】解：由题意，解得x＝﹣1，
即，．
故选：D．
（多选）8．在棱长均为1的四面体ABCD中，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解答】解：图形如右，显然该四面体为正四面体，则所有棱长为1，
每个三角形面的内角都是60°，
对于A，数量积的运算结果为实数，故A错误；
对于B，由向量加法的多边形法则可知：等式的左边，故B正确；
对于C，1，故C正确；
对于D，，1+1+2×1×1×cos60°＝3，
故，故D错误．
故选：BC．
9．如图，空间四边形OABC中，6条棱长都为a，且，则　　 （用，表示）．
【答案】
【解答】解：空间四边形OABC中，6条棱长都为a，由已知条件得：
所以，
故答案为：．
10．棱长为4的正方体AC1中，M，N分别是平面A1B1C1D1和平面ACD1内动点，，则PM+MN的最小值为　　 ．
【答案】
【解答】解：取点P关于平面A1B1C1D1的对称点为P1，设点P1到平面ACD1的距离为d，则PM＝P1M，
所以PM+MN＝P1M+MN≥d，
以D1为原点，以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为4，且，
所以P1（4，4，﹣1），A（4，0，4），C（0，4，4），D1（0，0，0），
整理得：，，
设平面ACD1的法向量为，
则，解得．
取x＝1，则y＝1，z＝﹣1，则．
所以点P1到平面ACD1的距离d3；
即PM+MN的最小值为．
故答案为：．
11．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且EF＝2FA．设，，则 　　 ， 　　 ．
【答案】；．
【解答】解：在△BAD中，，
在△BAC中，，
因为在△DAC中，E是CD的中点，
所以，
而EF＝2FA，即，
所以在△BAF中，，
所以直线AE，BF的方向向量分别为、．
故答案为：；．
12．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为棱DD1的中点，E为棱BB1上一点．记，若，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，
，
又，且，
∴x＝﹣1，y＝1，z＝λ+μ，可得，由已知得，
则，即，可得．
故答案为：．
13．已知向量在向量上的投影向量的模为an，则a5＝　5　 ，使an为整数的n的值按照从小到大的顺序排列，得到的新数列的前n项和Sn＝　　 ．
【答案】5；；
【解答】解：，，
则，所以a5＝5；
通过计算可得，当n＜5或5＜n＜17时，an均不是整数，
当n＝18时，an＝17．由此可得新数列为5，18，31，44，……，该数列是首项为5，公差为13的等差数列，
所以．
故答案为：5；．
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若λ（λ∈R），则λ＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意作出图象，连接A1C1，C1D，
因为点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，
所以EF∥A1D且，
则，即，
又λ（λ∈R），
则λ．
故答案为：．
15．在空间直角坐标系Oxyz中，向量，若O，A，B，C四点共面，则t＝　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：O，A，B，C四点共面，则存在实数λ，μ使得，
代入向量的坐标得：（﹣1，1，t）＝（λ+2μ，λ+μ，2λ﹣μ），
∴，解得λ＝3，μ＝﹣2，t＝8．
故答案为：8．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①（）； ②（）； ③（）﹣2； ④（）．
其中能够化简为向量的是　①②　 ．（把你认为正确的序号填上）
【答案】①②
【解答】解：如图所示
①（）；
②（）；
③（）﹣2；
④（）．
综上可得：只有①②能够化简为向量．
故答案为：①②．
17．如图，在斜三棱柱OAB﹣O1A1B1中，向量，三个向量之间的夹角均为，点M、N分别在O1A1、BA1上，且，，，，．
（1）将向量用向量、表示，并求；
（2）将向量用、、表示．
【答案】（1），；
（2）．
【解答】解：（1），
因为，
所以，
所以；
（2）因为，所以N为A1B的中点，
所以．
▉题型2 空间向量的概念及属性
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
18．已知空间的三个不共面的单位向量，，，对于空间的任意一个向量，（　　）
A．将向量，，平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上
B．总存在实数x，y，使得
C．总存在实数x，y，z，使得
D．总存在实数x，y，z，使得
【答案】D
【解答】解：对于A，当空间的三个不共面的单位向量，，作为空间直角坐标系的标准正交基底时，
向量，，平移到同一起点即坐标原点，此时它们的终点形成边长为的正三角形，其外接圆半径r满足，即，不是单位圆，故A不正确；
对于C，由于向量，则向量是空间中的一组共面向量，不能作为空间的基底向量，
对于B，由三个向量共面的充要条件可知，当向量，，共面时，总存在实数x，y，使得，但向量是空间的任意一个向量，即，，可以不共面，故B错误；
所以当不与，共面时，则找不到实数x，y，z，使得成立，故C不正确；
对于D，已知空间的三个不共面的单位向量，，，则向量不共面，所以可以作为空间向量的一组基底，则总存在实数x，y，z，使得，故D正确．
故选：D．
（多选）19．下列说法正确的是（　　）
A．空间向量与的长度相等
B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
【答案】AB
【解答】解：对于A，由向量模的定义，可得两向量长度相等，正确；
对于B能平移到同一个平面上的三个向量叫共面向量，平行于同一个平面的向量显然可以平移到同一平面，正确；
对于C，在空间中，起点相同的所有单位向量，终点会在一个球面上，错误；
对于D，根据基底定义，不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底，错误．
综上，AB正确．
故选：AB．
▉题型3 空间向量的数乘及线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，．
④|λ|＝|λ| ||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
20．已知空间三点O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为（　　）
A．（﹣2，2，0） B．（2，﹣2，0）
C．（，，0） D．（，，0）
【答案】C
【解答】解：由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），
∴（﹣1，1，0），
且点H在直线OA上，可设H（﹣λ，λ，0），
则（﹣λ，λ﹣1，﹣1），
又BH⊥OA，
∴ 0，
即（﹣λ，λ﹣1，﹣1） （﹣1，1，0）＝0，
即λ+λ﹣1＝0，
解得λ，
∴点H（，，0）．
故选：C．
21．如图，已知四面体ABCD的棱长都是2，点M为棱AD的中点，则的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解答】解：点M为棱AD的中点，四面体ABCD的棱长都是2，
则2×2×cos60°1．
故选：B．
22．空间四边形ABCD中，，，，点P为AB中点，点Q为CD靠近D的三等分点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，（）（）．
故选：D．
23．下列选项中，不正确的命题是（　　）
A．若两条不同直线l，m的方向向量为，，则
B．若是空间向量的一组基底，且，则点D在平面ABC内，且D为△ABC的重心
C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数x，y，z使
【答案】C
【解答】解：对于A：两条不同直线l，m的方向向量为，，则，故A正确；
对于B：若是空间向量的一组基底，且，整理得，所以，故，
所以，设点E为BC的中点，所以，，点D在平面ABC内，且D为△ABC的重心，故B正确；
对于C：若是空间向量的一组基底，由于，则不是空间向量的一组基底，故C错误；
对于D：若空间向量，，共面，由共面向量基本定理，则存在不全为0的实数x，y，z使，故D正确．
故选：C．
24．如图，在四面体A﹣BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：连接EC，ED，如图所示，
（）（）（）．
故选：A．
25．三棱柱ABC﹣DEF中，G为棱AD的中点，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：（）（）＝（）．
故选：B．
26．如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D满足，，则x﹣y+z＝（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解答】解：由题意可知，，
所以，y＝﹣1，，
所以x﹣y+z＝2．
故选：D．
27．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若，
则．
故选：B．
▉题型4 空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
28．已知空间向量（1，﹣1，2），（m，n，4），若∥（），则m+n＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．4
【答案】C
【解答】解：由（1，﹣1，2），（m，n，4），
可得，
又，则有，
解得m＝2，n＝﹣2，
故m+n＝0．
故选：C．
29．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，但任意三点不共线．如果，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：因为，变形可得m，
变形可得：m2，
又由O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，但任意三点不共线．
则有m+2+1＝1，解可得m＝﹣2．
故选：A．
30．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A（0，y，3）和B（﹣1，2，z）两点，则y﹣z等于（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：（﹣1，2﹣y，z﹣3）．
∴k．
∴﹣1＝2k，2﹣y＝﹣k，z﹣3＝3k．
解得k，yz．
∴y﹣z＝0．
故选：A．
31．已知向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），如果，那么x等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】B
【解答】解：∵向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），，
∴，
解得x＝1．
故选：B．
32．已知空间向量，，c＝（1，1，1），且，，共面，则实数x＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】D
【解答】解：因为共面，
所以存在实数λ，μ，使得，
即（x，x﹣1，0）＝（0，λ，λ）+（μ，μ，μ）＝（μ，λ+μ，λ+μ）
所以，解得x＝1．
故选：D．
（多选）33．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（　　）
A．与是共线向量
B．与向量方向相同的单位向量坐标是
C．与夹角的余弦值是
D．在上的投影向量的模为
【答案】BD
【解答】解：A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），
则，，，，因此与不共线，故A错误；
，所以与向量方向相同的单位向量坐标是，故B正确；
，，，故C错误；
在上的投影是，
故投影向量的模为，故D正确．
故选：BD．
34．已知t∈R，A、B、C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若，且A、B、C、P四点共面，则t＝ 　　 ．
【答案】
【解答】解：已知：，
整理得，
即，
因为A，B，C，P四点共面，所以，解得．
故答案为：．
35．已知，，是不共面向量，23，42，75λ，若，，三个向量共面，则实数λ＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：若，，三个向量共面，则存在实数m，n满足，
即2m（）+n（7），
所以，解得m，
故答案为：．
36．已知x，y∈R，空间向量．若，则2x+y＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：因为，所以，即，得2x+y＝1．
故答案为：1．
37．已知空间四点A（1，1，2），B（0，3，0），C（﹣2，﹣1，z），P（﹣3，y，﹣2），满足．
（1）求实数z的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
【答案】（1）z＝0；
（2）12．
【解答】解：（1）由题意得，，
，
∵∥，则，
∴，解得，
即实数z＝0；
（2）由（1）知，，
∴，，，
∴，
则，
∴6，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为12．
▉题型5 空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作 ，即 ||||cos，
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：λ（） （）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
38．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．则与分别等于（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
【解答】解：已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．
故：，
所以；
．
故选：A．
39．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A．（﹣1，2，3） B．（1，0，2）
C． D．（1，2，0）
【答案】B
【解答】解：已知空间向量，
则在上的投影向量为：
（1，0，2）．
故选：B．
40．已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．0
【答案】A
【解答】解：由题意知：正方体的外接球的球心为O，
正方体的外接球的直径AB，
则O为AB的中点，
所以，
且，
故，
由于，
所以的最小值1﹣3＝﹣2．
故选：A．
41．已知空间向量，若，则m＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】D
【解答】解：∵空间向量，且，
∴2×0+2×6﹣3m＝0，
解得m＝4．
故选：D．
（多选）42．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
B．已知两个向量，，且，则mn＝﹣3
C．若，且，，则x1x2+y1y2+z1z2＝0
D．，，则在上的投影向量为
【答案】BC
【解答】解：对于A，若P、A、B、C四点共面，
则存在λ、μ∈R，使得，
即，
所以，且（1﹣λ﹣μ）+λ+μ＝1，
因为对空间中任意一点O，有，
但，故P、A、B、C四点不共面，故A错误；
对于B，已知两个向量，，
由，可得，解得
故mn＝﹣3，故B正确；
对于C，，，
若，则，故C正确；
对于D，若，，
则在上的投影向量为：
，故D错误．
故选：BC．
（多选）43．如图，圆柱OO'的底面直径为2，高为4，AB为下底面的一条直径，PB为圆柱OO'的一条母线，点C沿着弧AB由A向B运动（与端点不重合），则下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥A﹣PBC的体积逐渐增大
B．为平面PBC的一个法向量
C．的值先减小后增大
D．若C为弧AB的中点，则直线AP与CO'所成角的余弦值为
【答案】BD
【解答】解：对于A，当点C沿着由A向B运动时，三棱锥A﹣PBC的体积，
即三棱锥P﹣ABC的体积先变大后变小，故A错误；
对于B，因为PB⊥平面ABC，AC 平面ABC，所以PB⊥AC，
又AC⊥BC，PB∩BC＝B，所以AC⊥平面PBC，
所以为平面PBC的一个法向量，故B正确；
对于C，因为PB⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PB⊥BC，
所以，故C错误；
对于D，如图，以O为坐标原点，
向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），O′（0，0，4），A（0，﹣1，0），C（﹣1，0，0），P（0，1，4），
所以，，
所以 ，故D正确．
故选：BD．
（多选）44．已知向量，则（　　）
A．若，则
B．若x＝1，y＝1，则
C．若，则
D．若则向量在向量上的投影向量
【答案】ACD
【解答】解：对于A：当，则，所以，故A正确；
对于B：当x＝1，y＝1时，则，故，故B错误；
对于C：当时，则，故，故C正确；
对于D：当时，则，所以向量在向量上的投影向量，故D正确．
故选：ACD．
（多选）45．给出下列命题，其中正确的是（　　）
A．任意向量，，满足
B．在空间直角坐标系中，点P（﹣1，3，5）关于坐标平面Oyz的对称点是P'（1，3，5）
C．已知，，，为空间向量的一个基底，则向量，，能共面
D．已知A（﹣1，1，2），B（2，2，4），C（3，﹣2，0），则向量在向量上的投影向量是
【答案】BC
【解答】解：对于A，取，，，则，，
此时，，等式不成立，故A项不正确；
对于B，点（x，y，z）关于坐标平面Oyz的对称点是（﹣x，y，z），
因此点P（﹣1，3，5）关于坐标平面Oyz的对称点是P'（1，3，5），B项正确；
对于C，若为空间向量的一个基底，，，，
则，可知向量，，能共面，故C项正确；
对于D，根据A（﹣1，1，2），B（2，2，4），C（3，﹣2，0），得，，
，向量在向量上的投影为，
所以量在向量上的投影向量是，故D不正确．
故选：BC．
（多选）46．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，，且，则（　　）
A．
B．AA1⊥BD
C．
D．直线AA1与平面ABCD所成的角为
【答案】BD
【解答】解：对于选项A：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，
易得，，
所以，故选项A错误；
对于选项B：因为，所以，
所以，即AA1⊥BD，故选项B正确；
对于选项C：由，
所以
所以，故选项C错误；
对于选项D：取AC，BD的交点O，连接C1B，C1D，
如图所示：
因为底面ABCD是正方形，且，
所以△CC1B △CC1D，所以C1B＝C1D，
所以C1O⊥BD，
因为，
所以，
所以，即C1O⊥CA．
因为CA∩BD＝O，CA，BD 面ABCD，
所以C1O⊥面ABCD．
所以CO为CC1在面ABCD的投影，即∠C1CO为直线AA1与平面ABCD所成的角．
在△C1CA中，易得AC1＝CC1＝CA＝2，所以，故选项D正确．
故选：BD．
47．平行六面体ABCD﹣AB1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，则AC1的长是　　 ．
【答案】．
【解答】解：平行六面体ABCD﹣AB1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，则，
所以21+1+15；
故．
故答案为：．
48．已知向量，满足，，且．则在上的投影向量的坐标为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴在上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
49．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，点E，F分别为AB，AD的中点，则　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：因为点E，F分别为AB，AD的中点，
所以，
又因为四面体ABCD的所有棱长都等于2，
所以||||cos∠CBD2×21．
故答案为：1．
50．已知（﹣1，2，1），（2，0，1），则（23） （）＝　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：因为（﹣2，4，2）+（6，0，3）＝（4，4，5），（﹣3，2，0），
所以12+8+0＝﹣4．
故答案为：﹣4．
51．若（2，﹣3，1），（2，0，3），（3，4，2），则 （）＝　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：因为（2，﹣3，1），（2，0，3），（3，4，2），
所以，
所以 （）＝2×5+（﹣3）×4+1×5＝10﹣12+5＝3．
故答案为：3．
52．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 　{x|x＞0且x≠3}　 ．
【答案】{x|x＞0且x≠3}．
【解答】解：因为，，
所以 0，且与不共线；
即，
解得x＞0且x≠3，
所以x的取值范围是{x|x＞0且x≠3}．
故答案为：{x|x＞0且x≠3}．
53．已知（1，2，﹣2），（0，2，4），则，夹角的余弦值为　　 ．
【答案】
【解答】解：∵（1，2，﹣2），（0，2，4），
∴cos．
故答案为：．
54．四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB，AC，AD两两垂直，，则四面体ABCD体积的最大值为 　　 ．
【答案】
【解答】解：由题意， c c2＝2，
∵a2+b2+c2＝16，
∴a2+b2＝14≥2ab，
∴ab≤7，
∴四面体ABCD体积Vabcab，
∴四面体ABCD体积的最大值，
故答案为：
▉题型6 空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），
cos
注意：
（1）当cos1时，与同向；
（2）当cos1时，与反向；
（3）当cos0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
dA，B＝||．
55．若，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：因为，，
令与共线，则，即（2﹣x，x+1，3）＝λ（﹣1，0，x），即，解得，
此时，，即，此时与反向，
又与的夹角为钝角，
所以且与不共线反向，
即﹣（2﹣x）+3x＜0且x≠﹣1，
解得x＜﹣1或，即．
故选：B．
▉题型7 空间向量的投影向量与投影
【知识点的认识】
﹣投影向量：向量在上的投影是．
﹣投影长度：投影的长度为．
56．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B．
C．（﹣2，4，4） D．
【答案】B
【解答】解：因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为：．
故选：B．
57．已知向量（2，1，3），（1，2，4），则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为向量（2，1，3），（1，2，4），
所以 2×1+1×2+3×4＝16，||，
所以向量在向量上的投影向量为 ．
故选：C．
58．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A．（﹣1，2，3） B．（1，0，2）
C．（2，0，4） D．
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，在上的投影向量为：
（2，0，4）．
故选：C．
（多选）59．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（　　）
A．与点A（﹣3，4，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣4，﹣2）
B．若{，，}是空间向量的一组基底，且（λ，μ∈R），则{，，}也是空间向量的一组基底
C．已知（﹣1，2，0），（1，2，3），则在上的投影向量的坐标为（，，0）
D．已知（﹣1，，0），平面α的法向量为（1，2，1），则AB∥α
【答案】AC
【解答】解：对于A，与点A（﹣3，4，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣4，﹣2），故A正确；
对于B，{，，}是空间向量的一组基底，且（λ，μ∈R），
当μ＝0时，{，，}不是空间向量的一组基底，故B错误；
对于C，（﹣1，2，0），（1，2，3），
则，，
故在上的投影向量的坐标为，故C正确，
对于D，（﹣1，，0），平面α的法向量为（1，2，1），则AB∥α或AB α，故D错误．
故选：AC．
60．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 　　 ．
【答案】．
【解答】向量在向量上的投影向量为：
．
故答案为：

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