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第3章第3.2节 空间向量基本定理
题型1 空间向量的共线与共面 题型2 空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
题型3 空间向量基本定理及空间向量的基底 题型4 空间向量基底表示空间向量
▉题型1 空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
1．已知向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），如果，那么x等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
2．已知点A（3，2，﹣1），B（4，1，﹣2），C（﹣5，4，3），且四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（　　）
A．（﹣6，5，4） B．（3，﹣2，7） C．（﹣1，2，6） D．（﹣6，1，﹣3）
3．已知空间向量（1，﹣1，2），（m，n，4），若∥（），则m+n＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．4
4．已知空间向量，，（其中x、y∈R），如果，则x+y＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
5．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，但任意三点不共线．如果，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（　　）
A．2 B．
C．0 D．0
7．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A（0，y，3）和B（﹣1，2，z）两点，则y﹣z等于（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
（多选）8．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（　　）
A．与是共线向量
B．与向量方向相同的单位向量坐标是
C．与夹角的余弦值是
D．在上的投影向量的模为
9．已知t∈R，A、B、C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若，且A、B、C、P四点共面，则t＝ 　 ．
10．已知，，是不共面向量，23，42，75λ，若，，三个向量共面，则实数λ＝　 ．
11．已知空间四点A（1，1，2），B（0，3，0），C（﹣2，﹣1，z），P（﹣3，y，﹣2），满足．
（1）求实数z的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
▉题型2 空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）．
12．如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则x+y+z＝（　　）
A． B． C． D．1
（多选）13．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．若 0，则，是钝角
（多选）14．设是空间一个基底，下列选项中正确的是（　　）
A．若，，则
B．则两两共面，但不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
（多选）15．下列结论正确的是（　　）
A．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则α⊥β
B．直线l的方向向量，平面α的法向量，则l∥α
C．若，则点P在平面ABC内
D．若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底
16．下列关于空间向量的命题中，正确的有　 ．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
②若非零向量，，满足⊥，⊥，则有∥；
③若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
17．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．若，，
（1）用基底表示向量；
（2）求向量的长度．
▉题型3 空间向量基本定理及空间向量的基底
【知识点的认识】
空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
18．已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（　　）
A． B． C． D．
19．下列四个命题中，正确命题的个数是（　　）
①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；
②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，则l∥m ；
③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则α∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
20．已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ 　 ．
▉题型4 空间向量基底表示空间向量
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
21．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（　　）
A． B．
C． D．
22．已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底．若向量在基底下的坐标为（4，2，3），则向量在基底下的坐标为（　　）
A．（4，0，3） B．（1，2，3） C．（3，1，3） D．（2，1，3）
23．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　）
A． B． C． D．
24．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若xyz，则（x，y，z）为（　　）
A．（，，） B．（，，）
C．（，，） D．（，，）
（多选）25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．设，则AN⊥BM
D．以D为球心，为半径的球与四边形BCC1B1的交线长为
26．如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，，，设，，．
（1）试用，，表示，；
（2）求MN的长度．第3章第3.2节 空间向量基本定理
题型1 空间向量的共线与共面 题型2 空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
题型3 空间向量基本定理及空间向量的基底 题型4 空间向量基底表示空间向量
▉题型1 空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
1．已知向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），如果，那么x等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】B
【解答】解：∵向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），，
∴，
解得x＝1．
故选：B．
2．已知点A（3，2，﹣1），B（4，1，﹣2），C（﹣5，4，3），且四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（　　）
A．（﹣6，5，4） B．（3，﹣2，7） C．（﹣1，2，6） D．（﹣6，1，﹣3）
【答案】A
【解答】解：由于点A（3，2，﹣1），B（4，1，﹣2），C（﹣5，4，3），
故，
设D（x，y，z）；
故（x﹣3，y﹣2，z+1）＝（﹣9，3，5）；
故x＝﹣6，y＝5，z＝4．
故D（﹣6，5，4）．
故选：A．
3．已知空间向量（1，﹣1，2），（m，n，4），若∥（），则m+n＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．4
【答案】C
【解答】解：由（1，﹣1，2），（m，n，4），
可得，
又，则有，
解得m＝2，n＝﹣2，
故m+n＝0．
故选：C．
4．已知空间向量，，（其中x、y∈R），如果，则x+y＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：因为，
所以有，
故选：B．
5．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，但任意三点不共线．如果，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：因为，变形可得m，
变形可得：m2，
又由O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，但任意三点不共线．
则有m+2+1＝1，解可得m＝﹣2．
故选：A．
6．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（　　）
A．2 B．
C．0 D．0
【答案】C
【解答】解：根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是x+y+z＝1．
由此可得A，B，D不正确；
选项C：点M为三角形ABC的重心，所以共面．
故选：C．
7．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A（0，y，3）和B（﹣1，2，z）两点，则y﹣z等于（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：（﹣1，2﹣y，z﹣3）．
∴k．
∴﹣1＝2k，2﹣y＝﹣k，z﹣3＝3k．
解得k，yz．
∴y﹣z＝0．
故选：A．
（多选）8．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（　　）
A．与是共线向量
B．与向量方向相同的单位向量坐标是
C．与夹角的余弦值是
D．在上的投影向量的模为
【答案】BD
【解答】解：A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），
则，，，，因此与不共线，故A错误；
，所以与向量方向相同的单位向量坐标是，故B正确；
，，，故C错误；
在上的投影是，
故投影向量的模为，故D正确．
故选：BD．
9．已知t∈R，A、B、C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若，且A、B、C、P四点共面，则t＝ 　　 ．
【答案】
【解答】解：已知：，
整理得，
即，
因为A，B，C，P四点共面，所以，解得．
故答案为：．
10．已知，，是不共面向量，23，42，75λ，若，，三个向量共面，则实数λ＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：若，，三个向量共面，则存在实数m，n满足，
即2m（）+n（7），
所以，解得m，
故答案为：．
11．已知空间四点A（1，1，2），B（0，3，0），C（﹣2，﹣1，z），P（﹣3，y，﹣2），满足．
（1）求实数z的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
【答案】（1）z＝0；
（2）12．
【解答】解：（1）由题意得，，
，
∵∥，则，
∴，解得，
即实数z＝0；
（2）由（1）知，，
∴，，，
∴，
则，
∴6，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为12．
▉题型2 空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）．
12．如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则x+y+z＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：设，λ∈[0，1]，
则，
所以，y＝1﹣λ，z＝λ，
所以．
故选：B．
（多选）13．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．若 0，则，是钝角
【答案】ABC
【解答】解：A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，
由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确；
B．对空间中任意一点O，有，
由1，则P，A，B，C四点共面，正确；
C．向量组是空间的一个基底，
若，则也是空间的一个基底，由空间基底定义可知正确；
D.，则是钝角或平角，因此不正确．
故选：ABC．
（多选）14．设是空间一个基底，下列选项中正确的是（　　）
A．若，，则
B．则两两共面，但不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【解答】解：是空间一个基底，
对于A，若，，则所成角不一定是，∴不一定成立，故A错误；
对于B，由基底的定义和性质得两两共面，但不可能共面，故B正确；
对于C，根据空间向量基本定理得：
对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使，故C正确；
对于D，假设，，共面，而不共面，
有与不共线，
则存在实数λ，μ，使得λ（）+μ（），
∴（1﹣μ）（1﹣λ）（λ+μ），
是空间一个基底，则，矛盾，
∴假设错误，∴，，不共面，
∴，，一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：BCD．
（多选）15．下列结论正确的是（　　）
A．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则α⊥β
B．直线l的方向向量，平面α的法向量，则l∥α
C．若，则点P在平面ABC内
D．若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底
【答案】ACD
【解答】解：因为，所以α⊥β，故A正确；
因为直线l的方向向量，平面α的法向量，
不能确定直线是否在平面内，故B不正确；
因为，
所以，，共面，即点P在平面ABC内，故C正确；
若是空间的一组基底，
则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组（x，y，z），
使得，
于是，
所以也是空间一组基底，故D正确．
故选：ACD．
16．下列关于空间向量的命题中，正确的有　①③④　 ．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
②若非零向量，，满足⊥，⊥，则有∥；
③若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
【答案】①③④
【解答】解：①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，则∥；故①正确；
②若非零向量，，满足⊥，⊥，则与不确定；故②错误；
③若，，是空间的一组基底，则A，B，C三点不共线，且，由空间向量基本定理得到A，B，C，D四点共面；故③正确；
④若向量，，，是空间一组基底，则空间任何一个向量，存在唯一的实数组（x，y，z），，则，，也是空间的一组基底；故④正确；
故答案为：①③④．
17．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．若，，
（1）用基底表示向量；
（2）求向量的长度．
【答案】（1）．（2）．
【解答】解：（1）由题意可得 （），
故 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由条件得 1，2，3． ，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
故|AC1|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）
▉题型3 空间向量基本定理及空间向量的基底
【知识点的认识】
空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
18．已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由基底定义可知，空间中三个不共面的向量可以作为空间向量的一组基底，
选项A，零向量与任一向量共线，故不能与构成空间向量的一组基底；
选项B，设，可得（0，0，1）＝x（1，0，0，）+y（0，1，0），此式无解，
故能与构成空间向量的一组基底；
选项C，显然，故，，共面，不能构成空间向量的一组基底；
选项D，显然，故，，共面，不能构成空间向量的一组基底．
故选：B．
19．下列四个命题中，正确命题的个数是（　　）
①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；
②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，则l∥m ；
③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则α∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：由空间向量基本定理可知，若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，故选项①正确；
若两条不同直线l，m的方向向量分别是，则l∥m ，故选项②正确；
若是空间的一个基底，且，
所以，
则，
所以A，B，C，D四点共面，故选项③正确；
两个不同平面α，β的法向量分别是，且，
因为，
所以，
则α∥β，故选项④正确．
故选：D．
20．已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ 　　 ．
【答案】
【解答】解：已知是空间的一组基底，其中，，．
由A，B，C，D四点共面，得，
而向量，，，
则，又不共面，
因此，解得，
所以．
故答案为：．
▉题型4 空间向量基底表示空间向量
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
21．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．
因G为△ABC的重心，，
故，
又PM＝3MG，
故
．
故选：A．
22．已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底．若向量在基底下的坐标为（4，2，3），则向量在基底下的坐标为（　　）
A．（4，0，3） B．（1，2，3） C．（3，1，3） D．（2，1，3）
【答案】C
【解答】解：设在基底{}下的坐标为（x，y，z），
则，
整理得：4（x+y）（x﹣y）z，
所以，解得，
故选：C．
23．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，
，，，
∴
（）
．
故选：A．
24．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若xyz，则（x，y，z）为（　　）
A．（，，） B．（，，）
C．（，，） D．（，，）
【答案】A
【解答】解：∵（）
[（）][（）+（）]
，
而xyz，∴x，y，z．
故选：A．
（多选）25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．设，则AN⊥BM
D．以D为球心，为半径的球与四边形BCC1B1的交线长为
【答案】ACD
【解答】解：由题得，
，故A正确．
因为，
，，
所以，
所以，故B错误．
因为，
所以
，
所以，以AN⊥BM，故C正确．
取BC的中点为H，连接DH，易知DH⊥平面BCC1B1，且．
由球的半径为，知球面与平面BCC1B1的交线是以H为圆心，为半径的圆．
如图，在正方形BCC1B1内，以H为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧PQ即为所求交线．
由题意可知，所以弧PQ的长为，故D正确．
故选：ACD．
26．如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，，，设，，．
（1）试用，，表示，；
（2）求MN的长度．
【答案】（1）；
（2）MN的长度为．
【解答】（1）连接AM，AN，如图所示：
∵，，，，，
∴，，，，；
（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，
则，
又，
∴，
∴，
故MN的长度为．

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