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第4章第4.2节 等比数列
题型1 等比数列的性质 题型2 等比中项及其性质
题型3 等比数列的通项公式 题型4 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
题型5 等比数列通项公式的应用 题型6 等比数列的前n项和
题型7 求等比数列的前n项和 题型8 由等比数列的前n项和求解数列
题型9 等比数列前n项和的性质
▉题型1 等比数列的性质
【知识点的认识】
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am an＝ap aq．
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
1．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…log3a10＝（　　）
A．12 B．10 C．5 D．2log35
【答案】B
【解答】解：等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则 a5a6＝a4a7＝9，
则log3a1+log3a2+…log3a10＝log35log3（a5a6）＝5log39＝10，
故选：B．
2．在递增的等比数列{an}中，a2a3＝8，a1+a4＝9，则数列{an}的公比为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：在递增的等比数列{an}中，a2a3＝8，a1+a4＝9，
∴a1a4＝a2a3＝8，
∴a1，a4是方程x2﹣9x+8＝0的两个根，且a1＜a4，
解方程x2﹣9x+8＝0，得a1＝1，a4＝8，
∴数列{an}的公比为q2．
故选：B．
3．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f（x）x3+4x2+9x﹣1的极值点，则a5＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．9
【答案】B
【解答】解：由题意得f′（x）＝x2+8x+9，
因为a3，a7是函数f（x）x3+4x2+9x﹣1的极值点，
则a3，a7是方程x2+8x+9＝0的两根，
所以，从而可得a3，a7＜0，
又因为等比数列{an}，可得，且，所以a5＝﹣3．
故选：B．
4．若数列{an}为等比数列，则“a3＝1”是“a1 a5＝1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由题意知，若数列{an}为等比数列，
当a3＝1时，得，故充分性成立；
当a1a5＝1时，，解得a3＝±1，故必要性不成立．
故选：A．
5．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4），若a4＞1，则（　　）
A．a4＜a2，a3＜a1 B．a4＞a2，a3＜a1
C．a4＜a2，a3＞a1 D．a4＞a2，a3＞a1
【答案】B
【解答】解：令f（x）＝x﹣lnx﹣1，则f′（x）＝1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）≥f（1）＝0，即lnx≤x﹣1．
∴a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4）≤a2+a3+a4﹣1，得a1≤﹣1，
又a4＞1，∴1，
则等比数列的公比q＜0，且1，则q＜﹣1，
从而|q|＞1，即q2＞1，
∴a2，，
∵a1≤﹣1，q2＞1，
∴0，即a3＜a1．
故选：B．
6．在等比数列{an}中，a4＝﹣1，a1a3+2a3a5+a5a7＝12，则a2+a6＝（　　）
A． B． C． D．﹣12
【答案】B
【解答】解：在等比数列{an}中，a4＝﹣1，a1a3+2a3a5+a5a7＝12，
所以，
所以，又a4＝﹣2＜0，
设公比为q，则，
所以．
故选：B．
7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3a7＝9，则log3a1+log3a5+log3a9＝（　　）
A．7 B．9 C．81 D．3
【答案】D
【解答】解：依题意可得，
又an＞0，所以a5＝3，
所以log3a1+log3a5+log3a9＝log3（a1a9a5）＝log3（9×3）3．
故选：D．
8．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（　　）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
【答案】D
【解答】解：设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
根据题意得：S奇＝85，S偶＝170，
∴q2，又a1＝1，
∴S奇85，整理得：1﹣4n＝﹣3×85，即4n＝256，
解得：n＝4，
则这个等比数列的项数为8．
故选：D．
（多选）9．在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99 a100﹣1＞0，，则以下结论正确的是（　　）
A．0＜q＜1
B．a99 a101﹣1＜0
C．T100的值是Tn中最大的
D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于197
【答案】AB
【解答】解：因为等比数列{an}中，a99 a100﹣1＞0，
所以a99 a100＞1，
所以a99与a100同号，所以q＞0，
又因为，
所以a99与a100一个大于1，一个小于1，再有a1＞1，
所以a99＞1，a100＜1，
所以数列{an}是各项均为正数的递减的等比数列，所以0＜q＜1，故A正确；
因为0＜a100＜1，所以1，
所以，故B正确；
因为T100＝T99 a100＜T99，故C错误；
因为T198＝（a1 a198） （a2 a197） （a99 a100）1，
T199＝（a1 a199） （a2 a198） （a99 a101） a1001，
所以使Tn＞1成立的最大自然数n等于198．故D错误．
故选：AB．
（多选）10．记Sn为等比数列{an}的前n项和，则（　　）
A．是等比数列
B．{anan+1}是等比数列
C．Sn，S2n，S3n成等比数列
D．Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列
【答案】AB
【解答】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，设公比为q，则 ，
∴{}是以为首项，以为公比的等比数列，故A正确；
∵anan+1 q2n﹣1 q （q2）n﹣1，∴{anan+1}是以 q为首项，以q2为公比的等比数列，故B正确；
∵Sn，S2n，S3n，
∴当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
∴Sn，S2n，S3n 不成等比数列，故C错误；
对于数列1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1…
比数列，故D错误，
故选：AB．
（多选）11．设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2022a2023＞1，（a2022﹣1）（a2023﹣1）＜0，则下列选项正确的是（　　）
A．0＜q＜1
B．S2022+1＜S2023
C．T2022是数列{Tn}中的最大项
D．T4043＞1
【答案】ACD
【解答】解：由于等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，
若a1＞1，a2022a2023＞1，（a2022﹣1）（a2023﹣1）＜0，
则数列{an}各项均为正值，且（a1q20121）（a1q2022）＝（a1）2（q4043）＞1，
故有a2022＞1，0＜a2023＜1，则0＜q＜1，故A正确，等比数列{an}为正项的递减数列；
由于S2022+1＞S2020+a2023＝S2023，故B错误；
根据a1＞a2＞…＞a2021＞1＞a2022＞1＞a2023…＞0，可知T2022是数列{Tn}中的最大项，故C正确；
由等比数列的性质可得a1a4043＝a2a4042＝…＝a2021a2023，
所以T4043＝a1a2…a40431，故D正确，
故选：ACD．
12．已知等比数列{an}中，存在s，t∈N*，满足，则的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由等比数列的性质可知，s+t＝10，s，t∈N*，
则（）（s+t）（5）（5+2），
当时，等号成立，联立s＝2t和s+t＝10，得t，s时，取等号，
∵s，t∈N*，∴等号取不到，
设x，x＞0，其中s，t∈N*，则，
设函数f（x）＝x，x＞0，函数区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，
由上可知，2不成立，则2两侧满足条件的数值有s＝7，t＝3，此时x，
以及s＝6，t＝4，此时x，
f（），f（）．
∵，∴的最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：．
13．已知等比数列{an}共有2n项，其和为﹣240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝　2　 ．
【答案】2
【解答】由题意，得
解得S奇＝﹣80，S偶＝﹣160，
∴q2．
故答案为：2．
14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则　156　 ．
【答案】156．
【解答】解：设S4＝a，
，
则S8＝6a，
∵数列{an}为等比数列，
∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也为等比数列，
∵，
∴S12﹣S8＝25a，S16﹣S12＝125a，
∴S16＝156a，
∴．
故答案为：156．
15．已知数列{an}为等比数列，a2＝1024，a9＝8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若Tn是数列{an}的前n项积，求Tn的最大值．
【答案】（1）；
（2）266．
【解答】（1）因为数列{an}为等比数列，a2＝1024，a9＝8，
所以a2＝a1×q＝1024，，
所以a1＝2048，，
所以
（2）方法一：因为Tn＝a1 a2 a3 an，
所以
由二次函数的知识以及n∈N*，在n＝11或者n＝12时，同时取得最大值，
此时，Tn的最大值为266．
方法二：因为Tn＝a1 a2 a3 an，且an＞0，数列{an}为单调递减数列，
当时，Tn最大，
即，解得：11≤n≤12，
此时，Tn的最大值为266．
▉题型2 等比中项及其性质
【知识点的认识】
等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
在两个数a和b中，插入一个数G使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项．
有 G2＝a b （ab≠0）
16．已知数列{an}的通项公式为an＝2n+6，若am是a1与a2m的等比中项，则m＝ 　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：∵am是a1与a2m的等比中项，an＝2n+6，
∴，即（2m+6）2＝8（4m+6），解得m＝3或﹣1（舍）．
故答案为：3．
▉题型3 等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
17．在正项等比数列{an}中，a3，a7是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，则（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解答】解：因为a3，a7是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，
由韦达定理，，
又因为{an}是正项等比数列，所以，得a5＝4，
所以．
故选：B．
18．已知数列{an}的首项a1＝4，且满足，则a5＝（　　）
A．8 B．32 C．16 D．64
【答案】D
【解答】解：由题意可得为常数，
所以数列{an}是以a1＝4，公比为2的等比数列，
因此．
故选：D．
19．已知{an}为正项等比数列，若lga2，lga2024是函数f（x）＝3x2﹣12x+9的两个零点，则a1a2025＝（　　）
A．10 B．104 C．108 D．1012
【答案】B
【解答】解：由题意可得lga2，lga2024是方程3x2﹣12x+9＝0的两个解，
则lga2+lga2024＝4，
∴，
∴a1a2025＝a2a2024＝104．
故选：B．
20．在正项等比数列{an}中，a1＝2，a2+4是a1，a3的等差中项，则a4＝（　　）
A．16 B．27 C．32 D．54
【答案】D
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
∵a2+4是a1，a3的等差中项，a1＝2，
∴2（a2+4）＝a1+a3，即4（q+2）＝2+2q2，
∴q＝3或q＝﹣1（舍去），
∴a4＝2×33＝54．
故选：D．
21．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a10+a9＝6a8，若存在两项am，an使得，则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．9
【答案】C
【解答】解：设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q＞0，
∵a10+a9＝6a8，
∴a8（q2+q）＝6a8，解得q＝2．
∵存在两项am，an使得，
∴4a1，化为：m+n＝6．
∴（m+n）（）（5）（5+4），当且仅当时，等号成立．
故的最小值等于．
故选：C．
22．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少？你的答案是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，该女子每天织布的尺数成等比数列{an}，其公比为q＝2，
设第一天织布的尺数为a1，第一天织布的尺数为a5，前5天共织布为S5＝5，
则S55，解得a1，所以a5＝a1q424．
故选：D．
23．已知等比数列{an}中，a1＜0，a3a7＝16，则a5等于（　　）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．不确定
【答案】C
【解答】解：由等比数列的性质可知，a3a716，
因为a1＜0，所以，a5＜0，
则a5＝﹣4．
故选：C．
24．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家．朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”．十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半音比例应该是，如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是，第三个音的频率就是，第四个音的频率是，……，第十二个音的频率是，第十三个音的频率是，就是2F．在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（　　）
A．2F B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意知，第二个音到第十三个音的频率分别为，
显然以上12个数构成了以为首项，以为公比的等比数列，
故其和为SF．
故选：D．
25．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）
（参考数据：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
【答案】B
【解答】解：设第n年开始超过200万元，
则130×（1+12%）n﹣2015＞200，
化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，
n﹣20153.8．
取n＝2019．
因此开始超过200万元的年份是2019年．
故选：B．
▉题型4 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
26．已知等比数列{an}中，a3＝3，a7＝27，则a5＝（　　）
A．15 B．9 C．﹣9 D．±9
【答案】B
【解答】解：设公比为q（q≠0），则，
因为a3＝3，a7＝27，
由等比中项的性质可得，故a5＝9．
故选：B．
27．已知等比数列{an}，若a2，a6是方程x2﹣130x+625＝0的两个实数根，则a4＝（　　）
A．±25 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【解答】解：∵a2，a6是方程x2﹣130 x+625＝0的两个实数根，
∴a2 a6＝625，
∵{an}为正项等比数列，∴．
故选：D．
（多选）28．设公比为q的等比数列{an}的前n项积为Tn，若8T5＝T8，则（　　）
A．当a1＝2时，q＝1
B．a7＝2
C．当q≠1时，{log2|Tn|}为等差数列
D．
【答案】BD
【解答】解：公比为q的等比数列{an}中，
由8T5＝T8可得，则a7＝2，故B正确；
当a1＝2时，，所以q＝1或﹣1，故A不正确；
当q≠1时，log2|q|≠0，0，
则log2|Tn+1|﹣log2|Tn|不为常数，故{log2|Tn|}不为等差数列，故C不正确；
，当且仅当a6＝a8＝a7＝2时等号成立，故D正确．
故选：BD．
▉题型5 等比数列通项公式的应用
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
29．数列{an}是公差不为零的等差数列，其中a2，a5，a10是等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比等于（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：根据题意，设数列{bn}的公比为q，等差数列公差为d，
a2，a5，a10是等比数列{bn}的连续三项，
则有，变形可得q．
故选：C．
30．已知等比数列{an}的公比为q，若a1a2a3＝2，a3a4a5＝10，则q6＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：由等比数列性质，，，，
则，
已知a1a2a3＝2，a3a4a5＝10，
故，即q6＝5．
故选：D．
31．在递增的等比数列{an}中，a1a2a3＝8，a1+a2+a3＝7，则log2a2026＝ 　2025　 ．
【答案】2025．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则q＞1，
由a1a2a3＝8可得，解得a2＝2，
则，可得2q2﹣5q+2＝0，
解得q＝2或，
故q＝2，
于是，，故．
故答案为：2025．
▉题型6 等比数列的前n项和
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
32．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a4﹣a2＝6，a5﹣a3＝12，则Sn＝（　　）
A．2n﹣1 B．2n+1﹣2 C． D．
【答案】A
【解答】解：等比数列{an}中，a4﹣a2＝6，a5﹣a3＝（a4﹣a2）q＝12，
故q＝2，
故，故a1＝1，
故．
故选：A．
33．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么请问此人前两天所走的里程为（　　）
A．189里 B．216里 C．288里 D．192里
【答案】C
【解答】解：由题意可知此人每天走的步数{an}构成公比为的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得378，
解得a1＝192，
此人第二天走19296里，
可得此人前两天所走的里程为192+96＝288里．
故选：C．
34．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则λ＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【答案】D
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，
则，
6×2n+λ，
故，即．
故选：D．
35．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1，a2，a3，
则{an}是公比为的等比数列，
∴S350，
解得a1，
故选：D．
36．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（　　）
A．人 B．人
C．人 D．人
【答案】D
【解答】解：根据题意，该问题中有8名将官，分82个营，分83阵，有84名先锋，85名旗头，86名队长，87名甲头，88名士兵，
则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8+84+85+86+87+88＝88（89﹣84）人，
故选：D．
37．等比数列{an}，若，则（　　）
A． B．
C． D．4n﹣1
【答案】A
【解答】解：等比数列{an}，①
当n＝1时，可得a1＝1
当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1＝2n﹣1﹣1…②．
由①﹣②可得：2n﹣1．
验证n＝1，可得a1＝1，满足要求．
∴
那么：4n﹣1，
记数列bn．
则4
可知{bn}是等比数列，首项为1，公比为4．
∴b1+b2+…bn（4n﹣1）．
故选：A．
38．数列1，x，x2，x3，…前n项和Sn＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：分三种情况讨论：
①，x＝0时，数列为1，0，0，0，…；此时Sn＝1，
②，z＝1时，数列为1，1，1，1，…；此时Sn＝n；
③，x≠1且x≠0时，数列为首项为1，公比为x的等比数列，此时Sn；
综合可得Sn；
故选：D．
（多选）39．已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若a1+a3＝5，a4+a6＝135，则（　　）
A． B．q＝3
C． D．
【答案】BD
【解答】解：依题，，解得，故A错误，B正确；
则，
，故C错误，D正确．
故选：BD．
（多选）40．已知正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，a4＝2，a6＝8，则（　　）
A．q＝2 B．a10＝256
C．数列是递减数列 D．
【答案】AC
【解答】解：由正项等比数列{an}的公比为q可得：，an＞0，q＞0，
因为a4＝2，a6＝8，
所以，解得，
则．
故选项A 正确；
对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，因为，所以，即，
故数列是递减数列，故选项C正确；
对于选项D，，故选项D错误．
故选：AC．
（多选）41．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2024a2025＞1，（a2024﹣1）（a2025﹣1）＜0，则下列选项正确的是（　　）
A．0＜q＜1
B．S2024+1＞S2025
C．T2024是数列{Tn}中的最大项
D．T4049＞1
【答案】ABC
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，若（a2024﹣1）（a2025﹣1）＜0，
则有a2024﹣1＞0，a2025﹣1＜0或a2024﹣1＜0，a2025﹣1＞0；
又由a1＞1，a2024a2025＞1，则a2024，a2025同号，则有a2024a2025＝（a2024）2q＞0，必有q＞0，
若q≥1，则an＞1，（a2024﹣1）（a2025﹣1）＜0不会成立，不满足题意，
故必有0＜q＜1，此时a2024﹣1＞0，a2025﹣1＜0，即a2024＞1，a2025＜1；
依次分析选项：
对于A，由上知0＜q＜1，即A正确；
对于B，因为a2025＜1，所以S2025﹣S2024＝a2025＜1，即S2024+1＞S2025，可得B正确；
对于C，由于{an}是递减数列，且a2024＞1，a2025＜1，
因此T2024是数列{Tn}中的最大项，故C正确；
对于D，易知，即D错误．
故选：ABC．
（多选）42．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝27，则（　　）
A．{anan+1}的公比为9
B．{log3an+1}的前20项和为210
C．{an}的前20项积为3200
D．
【答案】AB
【解答】解：等比数列{an}中，a1＝1，a4＝27，
则q327，即q＝3，
所以an＝3n﹣1，
A：9，A正确；
B：log3an+1＝lon，
故前20项和为1+2+…+20210，B正确；
C：{an}的前20项积为1×3×32×…×319＝3190，C错误；
D：（ak+ak+1）＝a1+a2+…+an+（a2+a3+…+an+1）
＝2（3n﹣1），D错误；
故选：AB．
（多选）43．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2+a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则（　　）
A．q＝2 B．
C．S10＝2047 D．an+an+1＜an+2
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，
对于A，正项等比数列{an}满足2q3＝4q+2q2，变形可得q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1，
又由{an}为正项等比数列，则q＝2，故选项A正确；
对于B，，选项B正确；
对于C，，所以S10＝2046，选项C错误；
对于D，根据B的结论：an＝2n，则an+an+1＝2n+2n+1＝3×2n＝3an，而an+2＝2n+2＝4×2n＝4an＞3an，选项D正确．
故选：ABD．
44．沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动．现计划某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r，则爱好者每期需要付款x＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得a（1+r）n＝x+x（1+r）+ +x（1+r）n﹣1，
∴，
∴．
故答案为：．
▉题型7 求等比数列的前n项和
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
45．设等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为，且a1和a3的等差中项为5，则Tn的最大值为（　　）
A．128 B．64 C．16 D．8
【答案】B
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，
前n项积为，且a1和a3的等差中项为5，
设等比数列{an}的公比为q，
若q＝1，则，不符合题意，
∴，解得．
∵a1＝2和a3的等差中项为5，
∴a1+a3＝10，则，解得a1＝8．
∴，
当n≤3时，an＞1，
当n＝4时，an＝1，当n＞4时，0＜an＜1，
∴Tn的最大值为．
故选：B．
46．若数列{an}为等比数列，首项a1＝1，公比，则求和等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：因为数列{an}为等比数列，首项a1＝1，公比，
所以数列{}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
所以2n﹣1，
则2+23+…+219．
故选：D．
47．已知数列{an}为等比数列，a1＝8，公比，则a1a2…an的最大值为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【解答】解：数列{an}为等比数列，a1＝8，公比，
则，
则，
当n＝3或4时，表达式取得最大值64．
故选：C．
48．李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为0.5%，则李华每个月的还款额为（精确到0.01元，参考数据（　　）
A．733.21元 B．757.37元 C．760.33元 D．770.66元
【答案】B
【解答】解：设每一期所还款数为x元，
则每期所还款本金为，，，…，，
所以8800，
则x757.37，
所以李华每个月所要还款约757.37元．
故选：B．
（多选）49．已知等比数列{an}的前n项和，则（　　）
A．m＝﹣1
B．等比数列{an}的公比为2
C．
D．
【答案】BC
【解答】解：对于A，∵等比数列{an}的前n项和，
∴a1＝S1＝22+m＝4+m，
a2＝S2﹣S1＝（8+m）﹣（4+m）＝4，
a3＝S3﹣S2＝24+m﹣（23+m）＝8，
由等比数列的性质得a1a3，
16＝（4+m）×8，
解得m＝﹣2，故A错误；
对于B，由A的分析得a1＝4﹣2＝2，a2＝4，
∴等比数列{an}的公比为q2，故B正确；
对于C，2×2n﹣1＝2n，故C正确；
＝22+24+26+…+220
，故D错误．
故选：BC．
（多选）50．已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有（　　）
A．若{an}是等比数列，S2＝2，S4＝8，则S6＝16
B．若an＝2n﹣11，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝61
C．若{an}是等差数列，a1＝﹣2025，若，则S2025＝﹣2025
D．若a1＝1，，则a50＝99
【答案】BCD
【解答】解：对于A，因为{an}是等比数列，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
所以，即62＝2×（S6﹣8），解得S6＝26，故A错误；
对于B，因为an＝2n﹣11，所以an+1﹣an＝2，所以{an}是等差数列，
由an＝2n﹣11＜0得，
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝﹣（a1+a2+ +a5）+（a6+a7+ +a11）
，故B正确；
对于C，因为，
所以S2025＝﹣2025，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，a1＝1，
所以，所以，
所以，故D正确．
故选：BCD．
（多选）51．已知数列{an}是等比数列，则下列命题中正确的是（　　）
A．数列是等比数列
B．若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8
C．若数列{an}的前n项和，则r＝﹣1
D．若a1＜0，公比q∈（0，1），则数列{an}是递增数列
【答案】AD
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
对于A，因为为常数，所以数列是等比数列，故A正确；
对于B，因为a3＝2，a7＝32，所以，解得，
所以，故B错误，
对于C，因为，令n＝1，得a1＝r+1，令n＝2，得a1+a2＝3+r，所以a2＝2，
令n＝3，得a1+a2+a3＝9+r，所以a3＝6，
因为数列{an}是等比数列，所以，即6（r+1）＝4，解得，故C错误，
对于D，因为，又a1＜0，公比q∈（0，1），所以数列{an}是递增数列，故D正确．
故选：AD．
52．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1+a4+a7＝3，a2+a5+a8＝6，则S9＝　21　 ．
【答案】21．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
由于a1+a4+a7＝3，a2+a5+a8＝6，则，
而S9＝a1+a4+a7+a2+a5+a8+a3+a6+a9＝（a1+a4+a7）+（a2+a5+a8）+（a3+a6+a9）＝（a1+a4+a7）+q（a1+a4+a7）+q2（a1+a4+a7）
＝（1+q+q2）（a1+a4+a7）＝7×3＝21，
故答案为：21．
53．欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如n＝9时，满足的为1，2，4，5，7，8，则φ（9）＝6．数列{an}满足，则{an}的前n项和大于1000的最小整数n＝ 　7　 ．
【答案】7．
【解答】解：因为与3n互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，3n﹣1，共有2×3n﹣1，
所以φ（3n）＝2×3n﹣1，
于是，
所以3n﹣1＞1000，即3n＞1001，
所以最小整数n＝7．
故答案为：7．
54．若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为 　300　 ．
【答案】300．
【解答】解：设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，
则S1＝a1+a3+a5+ +a2n﹣1，
S2＝a2+a4+a6+ +a2n＝q（a1+a3+a5+ +a2n﹣1）＝2S1，
由题意可得：S1+100＝S2，即S1+100＝2S1，解得S1＝100，S2＝200，
故数列{an}的所有项之和是100+200＝300．
故答案为：300．
▉题型8 由等比数列的前n项和求解数列
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
55．各项均为正数的等比数列{an}的前5项和为，且3a3+4a1＝a5，则a3＝（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若3a3+4a1＝a5，则q≠1，
又由前5项和为，则有，解可得，
故a3＝a1q2＝2．
故选：A．
56．朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为A1，前八个音的频率总和为A2，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，
设第一个音的频率为a1，相邻的两个音之间的频率之比为q（q≠1），
则将每个音的频率看作等比数列{an}，共13项，
因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，可得，可得，
所以，，
所以1+q4＝1．
故选：B．
57．等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则t＝（　　）
A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12
【答案】A
【解答】解：等比数列{an}中，，
设等比数列的公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，不合题意；
当q≠1时，等比数列前n项和公式，
依题意，得：，解得：t＝﹣12．
故选：A．
58．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则公比q＝（　　）
A． B． C．或1 D．或1
【答案】A
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，若，
由，得，解得．
故选：A．
59．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，则q＞0，
若，即a1+a2+a3+a4（a1+a2），变形可得a3+a4（a1+a2），
则有q2，即q，
则q3．
故答案为：．
▉题型9 等比数列前n项和的性质
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
60．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a4﹣a2＝6，a5﹣a3＝12，则（　　）
A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1
【答案】B
【解答】解；设等比数列{an}的公比为q，
因为，则，解得q＝2，a1＝1，
所以．
故选：B．第4章第4.2节 等比数列
题型1 等比数列的性质 题型2 等比中项及其性质
题型3 等比数列的通项公式 题型4 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
题型5 等比数列通项公式的应用 题型6 等比数列的前n项和
题型7 求等比数列的前n项和 题型8 由等比数列的前n项和求解数列
题型9 等比数列前n项和的性质
▉题型1 等比数列的性质
【知识点的认识】
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am an＝ap aq．
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
1．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…log3a10＝（　　）
A．12 B．10 C．5 D．2log35
2．在递增的等比数列{an}中，a2a3＝8，a1+a4＝9，则数列{an}的公比为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
3．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f（x）x3+4x2+9x﹣1的极值点，则a5＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．9
4．若数列{an}为等比数列，则“a3＝1”是“a1 a5＝1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4），若a4＞1，则（　　）
A．a4＜a2，a3＜a1 B．a4＞a2，a3＜a1
C．a4＜a2，a3＞a1 D．a4＞a2，a3＞a1
6．在等比数列{an}中，a4＝﹣1，a1a3+2a3a5+a5a7＝12，则a2+a6＝（　　）
A． B． C． D．﹣12
7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3a7＝9，则log3a1+log3a5+log3a9＝（　　）
A．7 B．9 C．81 D．3
8．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（　　）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
（多选）9．在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99 a100﹣1＞0，，则以下结论正确的是（　　）
A．0＜q＜1
B．a99 a101﹣1＜0
C．T100的值是Tn中最大的
D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于197
（多选）10．记Sn为等比数列{an}的前n项和，则（　　）
A．是等比数列
B．{anan+1}是等比数列
C．Sn，S2n，S3n成等比数列
D．Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列
（多选）11．设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2022a2023＞1，（a2022﹣1）（a2023﹣1）＜0，则下列选项正确的是（　　）
A．0＜q＜1
B．S2022+1＜S2023
C．T2022是数列{Tn}中的最大项
D．T4043＞1
12．已知等比数列{an}中，存在s，t∈N*，满足，则的最小值为 　 ．
13．已知等比数列{an}共有2n项，其和为﹣240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝　 　 ．
14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则　 ．
15．已知数列{an}为等比数列，a2＝1024，a9＝8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若Tn是数列{an}的前n项积，求Tn的最大值．
▉题型2 等比中项及其性质
【知识点的认识】
等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
在两个数a和b中，插入一个数G使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项．
有 G2＝a b （ab≠0）
16．已知数列{an}的通项公式为an＝2n+6，若am是a1与a2m的等比中项，则m＝ 　 　 ．
▉题型3 等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
17．在正项等比数列{an}中，a3，a7是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，则（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
18．已知数列{an}的首项a1＝4，且满足，则a5＝（　　）
A．8 B．32 C．16 D．64
19．已知{an}为正项等比数列，若lga2，lga2024是函数f（x）＝3x2﹣12x+9的两个零点，则a1a2025＝（　　）
A．10 B．104 C．108 D．1012
20．在正项等比数列{an}中，a1＝2，a2+4是a1，a3的等差中项，则a4＝（　　）
A．16 B．27 C．32 D．54
21．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a10+a9＝6a8，若存在两项am，an使得，则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．9
22．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少？你的答案是（　　）
A． B．1 C． D．
23．已知等比数列{an}中，a1＜0，a3a7＝16，则a5等于（　　）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．不确定
24．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家．朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”．十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半音比例应该是，如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是，第三个音的频率就是，第四个音的频率是，……，第十二个音的频率是，第十三个音的频率是，就是2F．在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（　　）
A．2F B．
C． D．
25．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）
（参考数据：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
▉题型4 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
26．已知等比数列{an}中，a3＝3，a7＝27，则a5＝（　　）
A．15 B．9 C．﹣9 D．±9
27．已知等比数列{an}，若a2，a6是方程x2﹣130x+625＝0的两个实数根，则a4＝（　　）
A．±25 B．15 C．20 D．25
（多选）28．设公比为q的等比数列{an}的前n项积为Tn，若8T5＝T8，则（　　）
A．当a1＝2时，q＝1
B．a7＝2
C．当q≠1时，{log2|Tn|}为等差数列
D．
▉题型5 等比数列通项公式的应用
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
29．数列{an}是公差不为零的等差数列，其中a2，a5，a10是等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比等于（　　）
A． B． C． D．2
30．已知等比数列{an}的公比为q，若a1a2a3＝2，a3a4a5＝10，则q6＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
31．在递增的等比数列{an}中，a1a2a3＝8，a1+a2+a3＝7，则log2a2026＝ 　 　 ．
▉题型6 等比数列的前n项和
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
32．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a4﹣a2＝6，a5﹣a3＝12，则Sn＝（　　）
A．2n﹣1 B．2n+1﹣2 C． D．
33．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么请问此人前两天所走的里程为（　　）
A．189里 B．216里 C．288里 D．192里
34．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则λ＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
35．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（　　）
A． B． C． D．
36．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（　　）
A．人 B．人
C．人 D．人
37．等比数列{an}，若，则（　　）
A． B．
C． D．4n﹣1
38．数列1，x，x2，x3，…前n项和Sn＝（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）39．已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若a1+a3＝5，a4+a6＝135，则（　　）
A． B．q＝3
C． D．
（多选）40．已知正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，a4＝2，a6＝8，则（　　）
A．q＝2 B．a10＝256
C．数列是递减数列 D．
（多选）41．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2024a2025＞1，（a2024﹣1）（a2025﹣1）＜0，则下列选项正确的是（　　）
A．0＜q＜1
B．S2024+1＞S2025
C．T2024是数列{Tn}中的最大项
D．T4049＞1
（多选）42．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝27，则（　　）
A．{anan+1}的公比为9
B．{log3an+1}的前20项和为210
C．{an}的前20项积为3200
D．
（多选）43．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2+a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则（　　）
A．q＝2 B．
C．S10＝2047 D．an+an+1＜an+2
44．沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动．现计划某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r，则爱好者每期需要付款x＝ 　 ．
▉题型7 求等比数列的前n项和
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
45．设等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为，且a1和a3的等差中项为5，则Tn的最大值为（　　）
A．128 B．64 C．16 D．8
46．若数列{an}为等比数列，首项a1＝1，公比，则求和等于（　　）
A． B．
C． D．
47．已知数列{an}为等比数列，a1＝8，公比，则a1a2…an的最大值为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
48．李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为0.5%，则李华每个月的还款额为（精确到0.01元，参考数据（　　）
A．733.21元 B．757.37元 C．760.33元 D．770.66元
（多选）49．已知等比数列{an}的前n项和，则（　　）
A．m＝﹣1
B．等比数列{an}的公比为2
C．
D．
（多选）50．已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有（　　）
A．若{an}是等比数列，S2＝2，S4＝8，则S6＝16
B．若an＝2n﹣11，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝61
C．若{an}是等差数列，a1＝﹣2025，若，则S2025＝﹣2025
D．若a1＝1，，则a50＝99
（多选）51．已知数列{an}是等比数列，则下列命题中正确的是（　　）
A．数列是等比数列
B．若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8
C．若数列{an}的前n项和，则r＝﹣1
D．若a1＜0，公比q∈（0，1），则数列{an}是递增数列
52．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1+a4+a7＝3，a2+a5+a8＝6，则S9＝　 ．
53．欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如n＝9时，满足的为1，2，4，5，7，8，则φ（9）＝6．数列{an}满足，则{an}的前n项和大于1000的最小整数n＝ 　 　 ．
54．若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为 　 ．
▉题型8 由等比数列的前n项和求解数列
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
55．各项均为正数的等比数列{an}的前5项和为，且3a3+4a1＝a5，则a3＝（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
56．朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为A1，前八个音的频率总和为A2，则（　　）
A． B． C． D．
57．等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则t＝（　　）
A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12
58．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则公比q＝（　　）
A． B． C．或1 D．或1
59．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则 　 ．
▉题型9 等比数列前n项和的性质
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
60．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a4﹣a2＝6，a5﹣a3＝12，则（　　）
A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1

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