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第4章第4.3节 数列
题型1 数列的概念及简单表示法 题型2 由数列若干项归纳出通项公式
题型3 由通项公式求解或判断数列中的项 题型4 由实际问题归纳出数列的通项
题型5 数列的函数特性 题型6 数列的单调性
题型7 数列的应用 题型8 数列的求和
题型9 数列求和的其他方法 题型10 数列递推式
题型11 数列与不等式的综合 题型12 数列与解析几何的综合
▉题型1 数列的概念及简单表示法
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
1．数列{an}的通项公式如下，则递增数列是（　　）
A． B．
C．an＝2n﹣3 D．
【答案】C
【解答】解：A．计算n＝1时a1＝1，n＝2时a2＝0，a2＜a1，非递增，排除；
B．底数数列为递减数列，排除；
C．计算an+1﹣an＝[2（n+1）﹣3]﹣（2n﹣3）＝2＞0，恒成立，是递增数列；
D．计算an+1﹣an＝2n﹣2，当n＝1时，2n﹣2＝0，不满足an+1＞an，排除．
故选：C．
2．已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（　　）
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
【答案】B
【解答】解：根据题意，数列，，3，，，…，
其通项公式可以为an，
若3，可得n＝9，即是这个数列的第9项．
故选：B．
3．是数列、、、、 的（　　）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
【答案】A
【解答】解：由题意可知，该数列为、、、、、、 ，
故是数列、、、、 的第6项．
故选：A．
4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2+1，则a8的值为（　　）
A．15 B．16 C．49 D．64
【答案】A
【解答】解：数列{an}的前n项和，则a8＝S8﹣S7＝65﹣50＝15，
故选：A．
5．下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}与an是相同的
B．数列2，4，6，8可以表示为{2，4，6，8}
C．数列0，1，2，3与2，3，0，1是相同的数列
D．数列{n2+n}的第k项为k2+k
【答案】D
【解答】解：对于A项，数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，a3， ，an， ，而an表示数列{an}中的第n项，故A项错误；
对于B项，{2，4，6，8}是一个集合，故B项错误；
对于C项，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故C项错误；
对于D项，，故D项正确．
故选：D．
6．数列，，，，…的一个通项公式为（　　）
A．an＝（﹣1）n B．an＝（﹣1）n
C．an＝（﹣1）n+1 D．an＝（﹣1）n+1
【答案】D
【解答】解：由已知中数列，，，，…
可得数列各项的分母为一等比数列{2n}，分子2n+1，
又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负
故可用（﹣1）n+1来控制各项的符号，
故数列的一个通项公式为an＝（﹣1）n+1
故选：D．
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且，求an＝　　 ．
【答案】
【解答】解：由，可得（n≥2）．
两式作差得：4n﹣1（n≥2）．
又a1＝S1＝4不适合上式，
∴．
故答案为：．
▉题型2 由数列若干项归纳出通项公式
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
8．数列﹣1，，，， 的一个通项公式为an＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，观察数列﹣1，，，，
每个项的分母为n，其分子是﹣1，1交替出现，故分子可为（﹣1）n，
所以该数列的一个通项公式为an．
故选：A．
9．已知数列1，3，7，15，…，2n﹣1，…，则1023是这个数列的（　　）
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
【答案】C
【解答】解：根据题意，数列1，3，7，15，…，2n﹣1，…，
归纳可得，该数列的通项公式为，
令2n﹣1＝1023，即2n＝1024，必有n＝10，
故1023是这个数列的第10项．
故选：C．
10．数列的通项公式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：a1＝11+（﹣1）1 ，
a2，
1+（﹣1）3 ，
1+（﹣1）4 ，
a51+（﹣1）5 ，
∴根据数列的特点，归纳可得其通项公式为：．
故选：D．
▉题型3 由通项公式求解或判断数列中的项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
11．若数列{an}满足，，则数列{an}中的项的值不可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵，
∴当n＝1时，可得；
当n＝2时，可得；
当n＝3时，可得；
当n＝4时，可得；
当n＝5时，可得；
由此可知，数列{an}是以4为周期的周期数列．
故选：D．
12．在数列{an}中，若，，则下列数不是{an}中的项的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．3
【答案】B
【解答】解：因为，，
所以，，，，
所以数列{an}是以4为周期的数列，故﹣1不是{an}中的项．
故选：B．
（多选）13．下列有关数列的说法正确的是（　　）
A．数列2，6，9与数列9，6，2是同一个数列
B．数列{an}的通项公式为an＝n（n﹣1），则110是该数列的第11项
C．数列中，第12项是
D．数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为
【答案】BCD
【解答】解：对于A，数列2，6，9递增，数列9，6，2递减，它们不是同一数列，故A错误；
对于B，an＝n（n﹣1），
令n2﹣n＝110，n＞0，解得n＝11，故B正确；
对于C，在数列，
故数列通项，第12项是：，故C正确；
对于D，数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n+1，故D正确．
故选：BCD．
▉题型4 由实际问题归纳出数列的通项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
14．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3．已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（　　）
（参考数据：1.39≈10.6，1.310≈13.8，1.311≈17.9）
A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元
【答案】C
【解答】解：某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，
以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3，
第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，
该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，
依题意，当n∈N*，n≤9时，an+1＝1.3an﹣3，即an+1﹣10＝1.3（an﹣10），
∴数列{an﹣10}是首项为90，公比为1.3的等比数列，
，即，
则，
∴从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元．
故选：C．
▉题型5 数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn
﹣1；前n项和公式Sn
（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an
＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an
是n的一次函数，对应的点（n，an
）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn
，则Sn
＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an
}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn
﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an
}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
15．函数f（x）的定义域为[1，+∞），数列{an}满足an＝f（n），则“函数f（x）为减函数”是“数列{an}为递减数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：根据题意，函数f（x）为定义域为[1，+∞）的减函数，当n≥1且n∈Z时，必有f（n）＞f（n+1），则数列{an}为递减数列，
反之，当f（x）＝﹣（x）2时，an+1﹣an＝﹣x，数列{an}为递减数列，但函数f（x）在定义域上不是减函数，
故“函数f（x）为减函数”是“数列{an}为递减数列”的充分不必要条件．
故选：A．
16．已知数列{an}是递增数列，且，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，因为数列{an}是递增数列，且，
所以，解得，
则a的取值范围是．
故选：D．
17．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2024项的和为（　　）
A．1348 B．675 C．1349 D．1350
【答案】D
【解答】解：依题意，若an＝0，等价于F（n）为偶数，若an＝1，等价于F（n）为奇数，
显然a1＝1，a2＝1，a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0， ，
猜想：，
当k＝1时，a1＝1，a2＝1，a3＝0成立；
假设当k＝m≥1（m∈N*）时，a3m﹣2＝1，a3m﹣1＝1，a3m＝0成立，
则F（3m﹣2），F（3m﹣1）为奇数，F（3m）为偶数；
当k＝m+1时，则F（3m+1）＝F（3m﹣1）+F（3m）为奇数，
F（3m+2）＝F（3m）+F（3m+1）为奇数，F（3m+3）＝F（3m+1）+F（3m+2）为偶数，
故a3m+1＝1，a3m+2＝1，a3m+3＝0符合猜想，
因此，，
所以数列{an}的前2024项的和为674（a1+a2+a3）+a1+a2＝674×2+1+1＝1350．
故选：D．
18．下列叙述正确的是（　　）
A．数列是递增数列
B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n
C．数列0，0，0，1，…是常数列
D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列
【答案】A
【解答】解：对于A，不妨设，
an﹣an﹣10，
故数列是递增数列，故A正确；
对于B，数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n﹣1，故B错误；
对于C，数列0，0，0，1，…不是常数列，故C错误；
对于D，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列，故D错误．
故选：A．
19．已知数列的通项公式an，则数列{an}的前30项中最大值和最小值分别是（　　）
A．a10，a9 B．a10，a30 C．a1，a30 D．a1，a9
【答案】A
【解答】解：an
当n≥10时，an1，n为正值且随n减小而减小，则an越大；
数列{an}的前30项中最大值是a10，
当n≤9时，an1，n为负值且随n减小而减小，则an越大；
数列{an}的前30项中最小值是a9，
∴数列{an}的前30项中最大值和最小值分别是a10，a9；
故选：A．
（多选）20．已知数列{an}的通项式为an（n∈N*）．则下列说法正确的是（　　）
A．这个数列的第10项为
B．是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间[，1）内
D．数列{an}是单调递减数列
【答案】BC
【解答】解：由已知得，an1（n∈N*），
对于A，a10＝1，故A错误；
对于B，令1，解得n＝33，故是数列中第33项，B正确；
对于C和D，因为an＝1在n∈N+时递增且恒小于1，以及a1，
所以数列中的各项都在区间[，1）内，C正确，D错误．
故选：BC．
（多选）21．已知数列{an}的前n项和公式为，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}的首项为
B．数列{an}的通项公式为
C．数列{an}为递减数列
D．数列{Sn}的前n项积为Tn，则
【答案】ABC
【解答】解：数列{an}的前n项和公式为，
A．数列{an}的首项为，故正确；
B．当 n≥2时，，适合上式，故正确；
C．因为，所以数列{an}为递减数列，故正确；
D． ，所以数列{Sn}的前n项积为，故错误．
故选：ABC．
（多选）22．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　）
A．1，，，，…，，...
B．﹣1，，，，…，，...
C．sin，sin，sin，…，sin，...
D．1，，，…，，...
【答案】BD
【解答】解：对于A，数列1，，，，…，，...是无穷数列且为递减数列；
对于B，数列﹣1，，，，…，，...是无穷数列且为递增数列；
对于C，数列sin，sin，sin，…，sin，...是无穷数列但有增有减；
对于D，数列1，，，…，，...是无穷数列且为递增数列．
故选：BD．
（多选）23．已知函数，设数列{an}的通项公式an＝f（n），其中n∈N+，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．数列{an}为周期数列
C．数列{an}为单调递增数列
D．数列{an}为常数列
【答案】AC
【解答】解：根据题意，，n∈N+，
依次分析选项：
对于A，，则，A正确；
对于BCD，显然，则，即an＜an+1恒成立，
因此数列{an}为单调递增数列，不是周期数列，也不是常数列，C正确，BD错误．
故选：AC．
（多选）24．记数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，若，点（an，an+1）在函数f（x）＝x2﹣x+1的图像上，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}递增 B．
C． D．
【答案】ABD
【解答】解：由题意知，
对于A，所以，∴an+1≥an，
若存在an+1＝an，则有，即存在an＝1，
当n＝1时，a1＝1，与矛盾，
当n≥2时，由得，若an＝1，有，则an﹣1＝0或an﹣1＝1，
若an﹣1＝0与且an+1≥an矛盾；若an＝1时有an﹣1＝1，递推可得a1＝1，与矛盾，
综上，不存在an+1＝an，
∴an+1＞an，∴数列{an}递增，故A正确．
对于B，数列{an}递增，，故，
故，所以an﹣1与an+1﹣1同号，
因为，所以an﹣1＜0，即an＜1．
综上，，故B正确．
对于C，由选项B知，
∴，
即，故C错误．
对于D，由题意，2Sn﹣Tn可视为数列的前n项和，
∵，
∴2Sn﹣Tn＝（1+a1﹣a2）+（1+a2﹣a3）+ +（1+an﹣an+1）＝n+a1﹣an+1，
又{an}递增，∴a1﹣an+1＜0，
∴2Sn﹣Tn＝n+a1﹣an+1＜n，即，故D正确．
故选：ABD．
（多选）25．数列{an}的前n项和为Sn，已知，则（　　）
A．{an}是递减数列
B．{an}是等差数列
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
【答案】CD
【解答】解：当n＝1时，，
当n≥2时，，
a1＝3不满足上式，
所以，
对于A，由于a1＝3，a2＝4，所以{an}不是递减数列，所以A错误，
对于B，由于a1＝3，a2＝4，a3＝2，所以a3﹣a2≠a2﹣a1，
所以{an}不是等差数列，所以B错误，
对于C，由﹣2n+8＜0，得n＞4，所以当n＞4时，an＜0，所以C正确，
对于D，，因为n∈N*，
所以当n＝3或4时，Sn取得最大值，所以D正确，
故选：CD．
26．设数列{an}的首项a1为常数，且an+1＝3n﹣2an，（n∈N*）
（1）证明：{an}是等比数列；
（2）若a1，{an}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若{an}是递增数列，求a1的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵an+1＝3n﹣2an，（n∈N*），
∴2，
∴数列{an}是等比数列．
（2）解：{an}是公比为﹣2，首项为a1的等比数列．
通项公式为an（a1）（﹣2）n﹣1（﹣2）n﹣1，
若{an}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1＝an+an+2，
即，
解得n＝4，即a4，a5，a6成等差数列．
（3）解：如果an+1＞an成立，
即（a1）（﹣2）n﹣1对任意自然数均成立．
化简得（﹣2）n，
当n为偶数时，
∵p（n）是递减数列，
∴p（n）max＝p（2）＝0，即a1＞0；
当n为奇数时，a1，
∵q（n）是递增数列，
∴q（n）min＝q（1）＝1，即a1＜1；
故a1的取值范围为（0，1）．
▉题型6 数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
27．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，该数列不是递增数列，A不是；
对于B，，数列不是递增数列，B不是；
对于C，，数列是递增数列，是无穷数列，C是；
对于D，数列是有穷数列，D不是．
故选：C．
28．已知数列{an}的通项公式为，则an取到最小值时n的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解答】解：因为，
当n≤7，n∈N*时，2n﹣15＜0，单调递减，
且1，
所以当n＞7，n∈N*时，2n﹣15＞0，单调递减，
且，
所以an取到最小值时n的值是7．
故选：B．
29．已知{an}是无穷等比数列，则“a3＞a2＞a1”，是“对 n∈N*，均有an+3＞an”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：根据题意，{an}是无穷等比数列，设其公比为q，
若a3＞a2＞a1，即a1q2＞a1q＞a1，
当a1＞0时，有q2＞q＞1，解可得q＞1，此时数列{an}递增，
当a1＜0时，有q2＜q＜1，解可得0＜q＜1，此时数列{an}递增，
综合可得：数列{an}递增，必有对 n∈N*，均有an+3＞an，
反之，若对 n∈N*，均有an+3＞an，即a1qn+2＞a1qn﹣1，
必有q＞0，变形可得a1q3＞a1，
当a1＞0时，有q3＞1，解可得q＞1，此时有q2＞q＞1，而a1＞0，必有a1q2＞a1q＞a1，即a3＞a2＞a1，
当a1＜0时，有0＜q3＜1，解可得0＜q＜1，此时有q2＜q＜1，而a1＜0，必有a1q2＞a1q＞a1，即a3＞a2＞a1，
综合可得：必有a3＞a2＞a1成立；
故“a3＞a2＞a1”是“对 n∈N*，均有an+3＞an”的充分必要条件．
故选：C．
30．已知数列{an}的通项公式为，若{an}是单调递增数列，则实数t的取值范围是（　　）
A． B．（0，1） C．（﹣∞，1） D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，数列{an}是单调递增数列，
而，则．
则有恒成立，
则有an+1﹣an＝[（n+1）2﹣2t（n+1）+5]﹣（n2﹣2tn+5）＝n2+2n+1﹣2tn﹣2t+5﹣n2+2tn﹣5＝2n+1﹣2t＞0恒成立，
变形可得2t＜2n+1，
又由n∈N+，则2t＜3，解得．
即实数t的取值范围是（﹣∞，）．
故选：D．
31．数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，则“k≥﹣2”是“{an}为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【答案】A
【解答】解：若“{an}为递增数列”，
则an﹣an﹣1＝n2+kn﹣（n﹣1）2﹣k（n﹣1）＝2n+k﹣1＞0，
则k＞﹣2n+1，（n＞1），
故k＞﹣3，
所以“k≥﹣2”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
故选：A．
（多选）32．已知等比数列{an}是递减数列，q是其公比，则下列说法一定正确的是（　　）
A．a1＜0 B．q＞0 C．a1q＜0 D．a1（q﹣1）＜0
【答案】BD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，等比数列{an}的首项a1＝1，q，是递减数列，但a1＞0，A错误；
对于B，等比数列{an}是递减数列，则数列{an}一定是全部为正或全部为负的数列，必有q＞0，B正确；
对于C，等比数列{an}的首项a1＝1，q，是递减数列，但a1q＞0，C错误；
对于D，等比数列{an}是递减数列，当n≥1且n∈Z时，有an+1﹣an＝a1qn﹣a1qn﹣1＝a1qn﹣1（q﹣1）＜0，
又由q＞0，必有a1（q﹣1）＜0，D正确．
故选：BD．
（多选）33．已知，若数列{an}不是递增数列，则下列数值中k的可能取值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】BD
【解答】解：若数列{an}是递增数列，则有an+1＞an（n≥1，n∈Z），
因为{an}不是递增数列，
所以k≤0或，解得，
结合选项可知k的可能取值为和．
故选：BD．
（多选）34．下列说法正确的是（　　）
A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列
B．等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比q＞1
C．若数列{an}的前n项和为，则数列{an}是等差数列
D．若{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k， 仍为等比数列（k∈N*）
【答案】AC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由等差数列、等比数列的定义，非零常数列既是等差数列，又是等比数列，A正确；
对于B，等比数列单调递增，则有或，所以B错误．
对于C，由可知当n≥2，n∈N+时，
且a1＝S1＝3，符合等式，所以数列通项为an＝2n+1，则an+1﹣an＝2（n+1）+1﹣2n﹣1＝2，所以是等差数列，所以C正确．
对于D，当q＝﹣1，k为偶数时，易得Sk＝0，S2k﹣Sk＝0，S3k﹣S2k＝0，Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k， 不是等比数列，所以D错误．
故选：AC．
▉题型7 数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
35．现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种10排塔松，第1排栽种6棵，第2排比第1排多栽种2棵，第3排比第2排多栽种4棵，…，第n排比第n﹣1排多栽种2（n﹣1）棵（2≤n≤10且n∈N*），则第10排栽种塔松的棵数为（　　）
A．90棵 B．92棵 C．94棵 D．96棵
【答案】D
【解答】解：设第n排栽种的塔松的数量为an（n＝1，2，3， ，10），
由题意知a1＝6，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4， ，a10﹣a9＝18，
所以．
故选：D．
36．设m为正整数，数列a1，a2，…，a3m+2是公比不为1的等比数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的3m项可被平均分为m组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列a1，a2，…，a3m+2是（i，j）﹣可分数列．现有下列3个命题：
①数列a1，a2，…，a5是（1，5）可分数列；
②数列a1，a2，…，a8是（2，5）可分数列；
③数列a1，a2，…，a3m+2（m≥3）是（6，9）可分数列．
其中是真命题的为（　　）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【解答】解：对于①，由于从数列a1，a2，…，a5中删去a1，a5两项后，
剩余的3项可被平均分为1组，
a2，a3，a4能构成等比数列，
所以数列a1，a2，…，a5是（1，5）可分数列，故①正确；
对于②，由于从数列a1，a2，…，a8中删去a2，a5两项后，剩余的项a1，a3，a4，a6，a7，a8，
平均分为2个组后不可能构成等比数列，
所以数列a1，a2，…，a8是（2，5）不可分数列，故②错误；
对于③，由于从数列a1，a2，…，a3m+2（m≥3）中删去a6，a9两项后，
{a1，a2，a3}，{a4，a7，a10}，{a5，a8，a11}，a11项后的顺序不变，依次三项可构成等比数列，
所以数列a1，a2，…，a3m+2（m≥3）是（6，9）可分数列，故③正确．
故选：C．
37．欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素（也称互质）的正整数的个数，例如 φ（1）＝1，φ（4）＝2，φ（9）＝6，则下列选项正确的是（　　）
A．φ（6）＝φ（2）+φ（3）
B．数列{φ（2n）}递增
C．数列φ（2n）＝2n﹣2
D．数列的前n项和小于
【答案】D
【解答】解：φ（6）＝2，φ（2）＝1，φ（3）＝2，φ（6）≠φ（2）+φ（3），所以A项错误；
数列{φ（2n）}中，φ（4）＝2，φ（6）＝2，所以数列{φ（2n）}不递增，B项错误；
易知所有偶数与2n不互素，所有奇数与2n互素，所以φ（2n）＝2n﹣1，C项错误；
前5n个数中，每5个数一组，共有5n﹣1组，每组中5n，5n+1，5n+2，5n+3，5n+4，
有4个与5n互素，所以φ（5n）＝4×5n﹣1，
所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
则其前n项和为，D项正确．
故选：D．
（多选）38．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有为常数），则称{an}为等差比数列，k称为公差比．下列说法正确的是（　　）
A．等差数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列{an}是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
【答案】BCD
【解答】解：若数列{an}为常数数列，则an+2﹣an+1＝0，an+1﹣an＝0，无法计算公差比，选项A错误，
若k＝0，则分子an+2﹣an+1＝0，此时数列{an}为常数数列，则an+1﹣an也为0，分母为0，推出矛盾，
所以k不可能为0，选项B正确，
，所以数列{an}是等差比数列，选项C正确，
结合等比数列通项公式可得，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）39．朱世杰（1249年﹣1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉．他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为1，3，6，10，15， ，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个n层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列{an}，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是（　　）（参考公式：）
A．是等差数列
B．a7＝27
C．函数单调递增
D．原书中该“堆垛问题”的结果为15180
【答案】ACD
【解答】解：依题意设从顶层向下数，每层的果子数组成数列{an}，其前n项和为Sn，
每层的果子数分别为，
则数列{an}的通项，
对于A，n≥2时，，为等差数列，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，
，则，单调递增，C正确；
对于D，，D正确．
故选：ACD．
40．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是 　135　 ．
【答案】135．
【解答】解：根据题目将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，
被3除余2且被5除余4的数构成首项为14，
公差为15的等差数列，记为{an}，则an＝14+15（n﹣1）＝15n﹣1，令an＝15n﹣1≤2025，解得．
∴将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是135．
故答案为：135．
41．一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款　176　 元．（参考数据：1.00811≈1.092，1.00812≈1.100，1.0811≈2.332，1.0812≈2.518）
【答案】176
【解答】解：根据题目：现价2000元，实行分期付款，一年后还清，
购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，
月利率为0.8%，并按复利计息，
设每期应付款x元，第n期付款后欠款An元，
则A1＝2000（1+0.008）﹣x＝2000×1.008﹣x，
，…
．
因为A12＝0，所以2000×1.00812﹣（1.00811+1.00810+...+1）x＝0，
解得，
即每期应付款176元．
故答案为：176．
42．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k+1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n次取出的球是红球的概率为Pn，若有，则常数B＝　　 ，且Pn＝　　 （用含有正整数n的式子表示）．
【答案】，．
【解答】解：第n次取出的球是红球的概率为Pn，则取出的球为白球的概率为1﹣Pn，
对于第n+1次取出的球是红球有两种情况：
①红球从红箱中取出，其概率为；
②红球从白箱中取出，其概率为，所以，
所以．由，得，令，
则，且，则数列{an}为等比数列，且公比为，
所以，则．
故答案为：．
▉题型8 数列的求和
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
（多选）43．以下命题正确的有（　　）
A．若等差数列{an}满足a1＝8，a4＝﹣1，则|a1|+|a2|+…+|a8|＝32
B．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则使得Sn取得最大值的正整数n的值为8
C．若数列{an}满足a1＝2，，则a2025＝﹣1
D．已知Tn为数列{an}的前n项积，若，则数列{Tn}的前n项和
【答案】BD
【解答】解：对于A：因为{an}为等差数列，设公差为d，由a1＝8，a4＝﹣1，可得8+3d＝﹣1，
可得d＝﹣3，则an＝8﹣3（n﹣1）＝﹣3n+11．
则|a1|+|a2|+ +|a8|＝8+5+2+1+4+7+10+13＝50，故A错误；
对于B，等差数列{an}的前n项和为Sn，S15＞0，S16＜0，
所以，即a8＞0，
，即a8+a9＜0，故a9＜0，
所以S8是Sn的最大项，即使得Sn取得最大值的正整数n的值为8，故B正确；
对于C，若数列{an}满足a1＝2，，
可得a1＝2，，且，， ，
则此数列有周期性，故{an}是周期为3的数列，即an+3＝an，
则，故C错误；
对于D，已知Tn为数列{an}的前n项积，，
当n≥2时，，于是，即Tn﹣Tn﹣1＝2，
当n＝1时，a1＝T1，即，解得T1＝3，
数列{Tn}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以数列{Tn}的前n项和，故D正确．
故选：BD．
▉题型9 数列求和的其他方法
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
44．正项数列{an}满足，其前n项和为Sn，且a2 a4＝64，5S2＝S4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足6n2﹣（t+3bn）n+2bn＝0（t∈R，n∈N*）．
①试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，得到一个数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm＝2cm+1的所有正整数m．
【答案】（1）；
（2）①t＝4；②m＝2．
【解答】解：（1）因为在数列{an}中，，所以数列{an}为等比数列，
因为a2 a4＝64，5S2＝S4，显然q不为1，an＞0，
所以，解得a1＝2，q＝2，
故；
（2）①当n＝1时，b1＝6﹣t，当n＝2时，，当n＝3时，，
因为数列{bn}为等差数列，可得b1+b3＝2b2，可得6﹣t12﹣t，
解得t＝4，
当t＝4时，由6n2﹣（t+3bn）n+2bn＝0，可得bn＝2n，
又由bn+1﹣bn＝2，当t＝4时，数列{bn}为等差数列；
②由题意知c1＝a1＝2，c2＝c3＝2，c4＝a2＝4，c5＝c6＝c7＝c8＝2，c9＝a3＝8， ，
则当m＝1时，T1＝2≠2c2＝4，不合题意，舍去；
当m＝2时，T2＝c1+c2＝4＝2c3，所以m＝2成立；
当m≥3时，若cm+1＝2，显然Tm≠2cm+1，
若cm+1不为2，则cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，
则
＝（2+22+23+ +2k）+2（b1+b2+b3+ +bk）
2k+1+2k2+2k﹣2，
又因为，所以2k+1+2k2+2k﹣2＝2×2k+1，
即2k﹣k2﹣k+1＝0，所以2k+1＝k2+k＝k（k+1），
因为2k+1（k∈N*）为奇数，而k2+k＝k（k+1）为偶数，上式无解，
即当m≥3时，Tm≠2cm+1，不合题意，舍去；
综上所述，满足题意的正整数仅有m＝2．
▉题型10 数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an
}中，前n项和Sn
与通项公式an
的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an
的表达式，则an
不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
45．数列{an}中，a1＝3，am+n＝am an，若，则k＝（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解答】解：因为a1＝3，am+n＝am an，所以取m＝1得am+1＝a1 an＝3an，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，
所以ak+1+ak+2+...+ak+10＝3k+1+3k+2+...+3k+10，
因为，所以k+1＝9，解得k＝8．
故选：A．
46．已知数列{an}满足：若，则a2025＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，
且，，
，，
， ，
所以数列{an}是周期数列，且周期为4，
所以．
故选：C．
47．数列{an}满足a1＝5，an+1则a4＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：由a1＝5，an+1，
得a2＝3×5+1＝16，，a4．
故选：C．
48．数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列{an}，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列{bn}，则b7＝（　　）
A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】B
【解答】解：根据二阶等差数列{an}，其中前几项分别为5，8，13，20，
可得b1＝3，b2＝5，b3＝7，
满足bn﹣1＝an﹣an﹣1＝2n+1（n≥2），
新数列{bn}为3，5，7，9，11，13，15，…，所以b7＝a8﹣a7＝15．
故选：B．
49．在数列{an}中，a1＝1，对任意m，n∈N+，am+n＝am+an+2mn，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在数列{an}中，a1＝1，对任意m，n∈N+，am+n＝am+an+2mn，
令m＝1，则an+1＝a1+an+2n，即an+1﹣an＝2n+1，
故an﹣an﹣1＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1，
an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝1+3+5+...+（2n﹣1）n（1+2n﹣1）＝n2，对n＝1也成立，
故，
故．
故选：B．
50．设首项为1的数列{an}满足，则a2025的个位数字为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【解答】解：因为，
所以令n＝1，得am+1+am﹣1＝2am+2，即am+1﹣am＝am﹣am﹣1+2，
所以数列{am﹣am﹣1}是公差为2的等差数列，
所以am﹣am﹣1＝（a2﹣a1）+2（m﹣2），
因为，
所以取m＝3，n＝2，得a5+a1＝2a3+2a2，结合a3﹣a2＝a2﹣a1+2，a1＝1，得a5＝6a2+1，
取m＝4，n＝1，同理可得a5＝4a2+9，所以6a2+1＝4a2+9，解得a2＝4，
所以am﹣am﹣1＝2m﹣1，
所以a2﹣a1＝3，a3﹣a2＝5，a4﹣a3＝7，…，am﹣am﹣1＝2m﹣1，
累加得：am﹣a1
，
所以，所以的个位数为5．
故选：D．
51．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足，数列{bn}是递减数列，且Bn，则实数B的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，6] C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，6）
【答案】D
【解答】解：因为，
所以a1＝S1＝4+A，a2＝S2﹣S1＝（8+A）﹣（4+A）＝4，
a3＝S3﹣S2＝（16+A）﹣（8+A）＝8，
因为数列{an}为等比数列，所以，
所以42＝8（4+A），解得A＝﹣2，
所以，
因为数列{bn}是递减数列，
所以[﹣2n2+Bn]＜0，
所以B＜4n+2，因为n∈N*，所以B＜6，
所以实数B的取值范围为（﹣∞，6）．
故选：D．
52．斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．斐波那契数列{an}满足a1＝a2＝1，，设1+a3+a5+a7+a9+ +a2024＝ak，则k＝（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【解答】解：由a1＝a2＝1，，
可得1+a3+a5+a7+a9+ +a2024＝a2+a3+a5+a7+a9+ +a2024＝a4+a5+a7+a9+ +a2024＝a6+a7+a9+ +a2024
＝a8+a9+ +a2024＝...＝a2025＝ak，
则k＝2025．
故选：C．
53．设数列{an}的前n项之积为Tn，满足，则T2025＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：数列{an}的前n项之积为Tn，满足，
可得a1+2T1＝a1+2a1＝1，解得a1，
由n≥2时，an，可得2Tn＝1，
化为2，
可得数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
即有3+2（n﹣1）＝2n+1，
即Tn，
则T2025．
故选：C．
（多选）54．若数列{Fn}满足F1＝F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n＞2），则称数列{Fn}为斐波那契数列，设，若数列{an}的前k项和为﹣50，则k的值可能是（　　）
A．148 B．150 C．152 D．154
【答案】ABC
【解答】解：若数列{Fn}满足F1＝F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n＞2），
可得Fn+2＝Fn+1+Fn（n∈N*），
所以，
即有，
观察{Fn}的各项：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， ，
从第2项起奇偶性分别为：奇偶奇，奇偶奇，奇偶奇， ，
且Fn为奇（偶）数时，也是奇（偶）数，
所以{an}的各项依次为：﹣1，1，﹣1，﹣1，1，﹣1， ，
其中每隔三项的和为﹣1，即有数列{an}的前150项和为﹣50，
因为a151+a152＝﹣1+1＝0，a149+a150＝1﹣1＝0，
若数列{an}的前k项和为﹣50，
所以k的值可以是148，150，152．
故选：ABC．
（多选）55．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an+1＝3an﹣2an﹣1（n≥2），则下列说法正确的有（　　）
A．数列{an+1﹣an}为等差数列
B．数列{an+1﹣2an}为等比数列
C．
D．
【答案】BCD
【解答】解：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an+1＝3an﹣2an﹣1（n≥2），
所以an+1﹣an＝2（an﹣an﹣1），
则{an+1﹣an}是首项为a2﹣a1＝2，公比为2的等比数列，故A错误；
根据题意得an+1＝3an﹣2an﹣1 an+1﹣2an＝an﹣2an﹣1，a2﹣2a1＝1，
所以数列{an+1﹣2an}为首项为1，公比为1的等比数列，故B正确；
由，
所以an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+ +（an﹣an﹣1）
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
56．已知在数列{an}中，a1＝2，an+1an，设数列{anan+1}的前n项和为Sn，若不等式（n+8）k≥Sn对 n∈N*恒成立，则k的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在数列{an}中，a1＝2，an+1an，
知（n+2）an+1＝（n+1）an，则数列{（n+1）an}是首项为（1+1）×2＝4的常数列，
即有，
∴，
，
若不等式（n+8）k≥Sn对 n∈N*恒成立，
则，
∵n＞0，∴，当且仅当n＝4时取等号，
∴，
则k的最小值为．
故答案为：．
57．已知数列{an}的前n项和．
（1）证明：a2n＝2an+1；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）当n＝1时，，
当n≥2时，，
由于a1＝2×1﹣1＝1，故对n∈N*，an＝2n﹣1，
所以a2n＝4n﹣1，而2an+1＝2（2n﹣1）+1＝4n﹣1，
故a2n＝2an+1；
（2）．
【解答】（1）证明：已知，
当n＝1时，，
当n≥2时，，
验证a1＝1适合上式，故对n∈N*，an＝2n﹣1，
所以a2n＝4n﹣1，而2an+1＝2（2n﹣1）+1＝4n﹣1，
故a2n＝2an+1；
（2）解：由（1）知，an＝2n﹣1，
则，
故，
，
两式相减得：，
故．
▉题型11 数列与不等式的综合
【知识点的认识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
[]
（n≥2），
（）（n≥2），
，
2（）2（）．
．
58．已知数列{an}满足，对任意p，q∈N*，都有，设，则对任意n∈N*，下列结论恒成立的是（　　）
A．bn≥b3 B．bn≥b4
C．bn≤b4 D．（bn﹣b2）（bn﹣b4）≥0
【答案】B
【解答】解：根据题目：已知数列{an}满足，对任意p，q∈N*，
都有，设，则对任意n∈N*，
因为对任意p，q∈N*，都有，
取p＝n，q＝1，得，
所以，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
，
当n≤3时，bn+1﹣bn＜0 bn+1＜bn，即b1＞b2＞b3＞b4；
当n≥4时，bn+1﹣bn＞0 bn+1＞bn，即b4＜b5＜b6 ．
所以当n＝4时bn最小，排除AC；
D项，因为b2＞b3＞b4，（b3﹣b2）（b3﹣b4）＜0，即n＝3时，D不成立．
故选：B．
▉题型12 数列与解析几何的综合
【知识点的认识】
函数、数列、解析几何作为高中数学的主要躯干，蕴含着诸多的数学思想和方法（数形结合、函数与方程、转化和归纳等），因而一直是高考的重点．尤其是它们互相之间及和其他数学知识（如复数、向量等）之间的互相渗透、互相联系，更为高考命题带来广阔的空间．而传统的章节复习法使学生分散地学习知识，对各个章节的联系和渗透考虑较少，从而造成对一些综合题心存胆怯．近几年高考中常见的函数﹣数列﹣解析几何综合题就是其中的典型．
59．过点P（﹣1，0）向曲线 n：（n为正整数）引斜率为kn（kn＞0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．数列的前n项和为
D．
【答案】D
【解答】解：对于选项A，由可得：x2﹣2nx+2y2＝0，
设直线ln：y＝kn（x+1），联立x2﹣2nx+2y2＝0，
得，
则由Δ＝0，即，
解得：（负值舍去），故A选项错误；
对于选项B，由韦达定理可得：，，
∴，故B选项错误；
对于C选项，∵，则，故C选项错误；
对于D选项，∵，，
∴，
设f（x）＝x+cosx，则f′（x）＝1﹣sinx≥0，可得f（x）在R上单调递增，
则x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+cosx＞f（0）＝1，
又，则，故D选项正确．
故选：D．
60．如图，曲线y2＝4x（y≥0）上的点Ai与x轴非负半轴上的点Bi﹣1，Bi（i＝1，2 ，n）构成一系列正三角形，记为△B0A1B1，△B1A2B2，…，△Bn﹣1AnBn（B0为坐标原点）．设△Bn﹣1AnBn的边长为an，点Bn（bn，0）．
（1）求b1，b2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若数列，记{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜3．
【答案】（1）；
（2）an；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）已知B0（0，0），设A1（x1，y1），
因为B0A1B1为正三角形，
所以直线B0A1的斜率为，
则直线B0A1的方程为，
联立
化简可得3x2＝4x，
因为x＞0，解得，则，
即，
则，所以，
因为△B1A2B2为正三角形，且B1B2＝a2＞0，
在曲线y2＝4x上，
所以，整理得，
得，
所以；
（2）由Bn﹣1（bn﹣1，0），得An的横坐标为xn＝bn﹣1，纵坐标为，
且在曲线y2＝4x（y≥0）上．
则，
即，
又因为，
所以，
又因为bn﹣bn﹣1＝an，可得an），
即．
由an+1＞0，a．＞0可得an+1+an＞0，
所以，
所以数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，
则；
（3）证明；，
因为2n﹣2≥2n﹣1（n≥2），所以，
当n＝1时，c1＝2＜3，
当n≥2时，第4章第4.3节 数列
题型1 数列的概念及简单表示法 题型2 由数列若干项归纳出通项公式
题型3 由通项公式求解或判断数列中的项 题型4 由实际问题归纳出数列的通项
题型5 数列的函数特性 题型6 数列的单调性
题型7 数列的应用 题型8 数列的求和
题型9 数列求和的其他方法 题型10 数列递推式
题型11 数列与不等式的综合 题型12 数列与解析几何的综合
▉题型1 数列的概念及简单表示法
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
1．数列{an}的通项公式如下，则递增数列是（　　）
A． B．
C．an＝2n﹣3 D．
2．已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（　　）
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
3．是数列、、、、 的（　　）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2+1，则a8的值为（　　）
A．15 B．16 C．49 D．64
5．下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}与an是相同的
B．数列2，4，6，8可以表示为{2，4，6，8}
C．数列0，1，2，3与2，3，0，1是相同的数列
D．数列{n2+n}的第k项为k2+k
6．数列，，，，…的一个通项公式为（　　）
A．an＝（﹣1）n B．an＝（﹣1）n
C．an＝（﹣1）n+1 D．an＝（﹣1）n+1
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且，求an＝ ．
▉题型2 由数列若干项归纳出通项公式
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
8．数列﹣1，，，， 的一个通项公式为an＝（　　）
A． B．
C． D．
9．已知数列1，3，7，15，…，2n﹣1，…，则1023是这个数列的（　　）
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
10．数列的通项公式为（　　）
A． B．
C． D．
▉题型3 由通项公式求解或判断数列中的项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
11．若数列{an}满足，，则数列{an}中的项的值不可能为（　　）
A． B． C． D．
12．在数列{an}中，若，，则下列数不是{an}中的项的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．3
（多选）13．下列有关数列的说法正确的是（　　）
A．数列2，6，9与数列9，6，2是同一个数列
B．数列{an}的通项公式为an＝n（n﹣1），则110是该数列的第11项
C．数列中，第12项是
D．数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为
▉题型4 由实际问题归纳出数列的通项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
14．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3．已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（　　）
（参考数据：1.39≈10.6，1.310≈13.8，1.311≈17.9）
A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元
▉题型5 数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn
﹣1；前n项和公式Sn
（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an
＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an
是n的一次函数，对应的点（n，an
）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn
，则Sn
＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an
}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn
﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an
}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
15．函数f（x）的定义域为[1，+∞），数列{an}满足an＝f（n），则“函数f（x）为减函数”是“数列{an}为递减数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
16．已知数列{an}是递增数列，且，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
17．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2024项的和为（　　）
A．1348 B．675 C．1349 D．1350
18．下列叙述正确的是（　　）
A．数列是递增数列
B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n
C．数列0，0，0，1，…是常数列
D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列
19．已知数列的通项公式an，则数列{an}的前30项中最大值和最小值分别是（　　）
A．a10，a9 B．a10，a30 C．a1，a30 D．a1，a9
（多选）20．已知数列{an}的通项式为an（n∈N*）．则下列说法正确的是（　　）
A．这个数列的第10项为
B．是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间[，1）内
D．数列{an}是单调递减数列
（多选）21．已知数列{an}的前n项和公式为，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}的首项为
B．数列{an}的通项公式为
C．数列{an}为递减数列
D．数列{Sn}的前n项积为Tn，则
（多选）22．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　）
A．1，，，，…，，...
B．﹣1，，，，…，，...
C．sin，sin，sin，…，sin，...
D．1，，，…，，...
（多选）23．已知函数，设数列{an}的通项公式an＝f（n），其中n∈N+，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．数列{an}为周期数列
C．数列{an}为单调递增数列
D．数列{an}为常数列
（多选）24．记数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，若，点（an，an+1）在函数f（x）＝x2﹣x+1的图像上，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}递增 B．
C． D．
（多选）25．数列{an}的前n项和为Sn，已知，则（　　）
A．{an}是递减数列
B．{an}是等差数列
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
26．设数列{an}的首项a1为常数，且an+1＝3n﹣2an，（n∈N*）
（1）证明：{an}是等比数列；
（2）若a1，{an}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若{an}是递增数列，求a1的取值范围．
▉题型6 数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
27．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　）
A．
B．
C．
D．
28．已知数列{an}的通项公式为，则an取到最小值时n的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
29．已知{an}是无穷等比数列，则“a3＞a2＞a1”，是“对 n∈N*，均有an+3＞an”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
30．已知数列{an}的通项公式为，若{an}是单调递增数列，则实数t的取值范围是（　　）
A． B．（0，1） C．（﹣∞，1） D．
31．数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，则“k≥﹣2”是“{an}为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
（多选）32．已知等比数列{an}是递减数列，q是其公比，则下列说法一定正确的是（　　）
A．a1＜0 B．q＞0 C．a1q＜0 D．a1（q﹣1）＜0
（多选）33．已知，若数列{an}不是递增数列，则下列数值中k的可能取值为（　　）
A．1 B． C． D．
（多选）34．下列说法正确的是（　　）
A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列
B．等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比q＞1
C．若数列{an}的前n项和为，则数列{an}是等差数列
D．若{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k， 仍为等比数列（k∈N*）
▉题型7 数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
35．现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种10排塔松，第1排栽种6棵，第2排比第1排多栽种2棵，第3排比第2排多栽种4棵，…，第n排比第n﹣1排多栽种2（n﹣1）棵（2≤n≤10且n∈N*），则第10排栽种塔松的棵数为（　　）
A．90棵 B．92棵 C．94棵 D．96棵
36．设m为正整数，数列a1，a2，…，a3m+2是公比不为1的等比数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的3m项可被平均分为m组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列a1，a2，…，a3m+2是（i，j）﹣可分数列．现有下列3个命题：
①数列a1，a2，…，a5是（1，5）可分数列；
②数列a1，a2，…，a8是（2，5）可分数列；
③数列a1，a2，…，a3m+2（m≥3）是（6，9）可分数列．
其中是真命题的为（　　）
A．① B．①② C．①③ D．②③
37．欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素（也称互质）的正整数的个数，例如 φ（1）＝1，φ（4）＝2，φ（9）＝6，则下列选项正确的是（　　）
A．φ（6）＝φ（2）+φ（3）
B．数列{φ（2n）}递增
C．数列φ（2n）＝2n﹣2
D．数列的前n项和小于
（多选）38．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有为常数），则称{an}为等差比数列，k称为公差比．下列说法正确的是（　　）
A．等差数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列{an}是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
（多选）39．朱世杰（1249年﹣1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉．他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为1，3，6，10，15， ，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个n层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列{an}，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是（　　）（参考公式：）
A．是等差数列
B．a7＝27
C．函数单调递增
D．原书中该“堆垛问题”的结果为15180
40．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是 　 　 ．
41．一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款　 元．（参考数据：1.00811≈1.092，1.00812≈1.100，1.0811≈2.332，1.0812≈2.518）
42．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k+1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n次取出的球是红球的概率为Pn，若有，则常数B＝　 ，且Pn＝　 （用含有正整数n的式子表示）．
▉题型8 数列的求和
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
（多选）43．以下命题正确的有（　　）
A．若等差数列{an}满足a1＝8，a4＝﹣1，则|a1|+|a2|+…+|a8|＝32
B．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则使得Sn取得最大值的正整数n的值为8
C．若数列{an}满足a1＝2，，则a2025＝﹣1
D．已知Tn为数列{an}的前n项积，若，则数列{Tn}的前n项和
▉题型9 数列求和的其他方法
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
44．正项数列{an}满足，其前n项和为Sn，且a2 a4＝64，5S2＝S4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足6n2﹣（t+3bn）n+2bn＝0（t∈R，n∈N*）．
①试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，得到一个数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm＝2cm+1的所有正整数m．
▉题型10 数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an
}中，前n项和Sn
与通项公式an
的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an
的表达式，则an
不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
45．数列{an}中，a1＝3，am+n＝am an，若，则k＝（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
46．已知数列{an}满足：若，则a2025＝（　　）
A． B． C． D．
47．数列{an}满足a1＝5，an+1则a4＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
48．数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列{an}，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列{bn}，则b7＝（　　）
A．13 B．15 C．17 D．19
49．在数列{an}中，a1＝1，对任意m，n∈N+，am+n＝am+an+2mn，则（　　）
A． B． C． D．
50．设首项为1的数列{an}满足，则a2025的个位数字为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
51．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足，数列{bn}是递减数列，且Bn，则实数B的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，6] C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，6）
52．斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．斐波那契数列{an}满足a1＝a2＝1，，设1+a3+a5+a7+a9+ +a2024＝ak，则k＝（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
53．设数列{an}的前n项之积为Tn，满足，则T2025＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）54．若数列{Fn}满足F1＝F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n＞2），则称数列{Fn}为斐波那契数列，设，若数列{an}的前k项和为﹣50，则k的值可能是（　　）
A．148 B．150 C．152 D．154
（多选）55．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an+1＝3an﹣2an﹣1（n≥2），则下列说法正确的有（　　）
A．数列{an+1﹣an}为等差数列
B．数列{an+1﹣2an}为等比数列
C．
D．
56．已知在数列{an}中，a1＝2，an+1an，设数列{anan+1}的前n项和为Sn，若不等式（n+8）k≥Sn对 n∈N*恒成立，则k的最小值为 　 ．
57．已知数列{an}的前n项和．
（1）证明：a2n＝2an+1；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
▉题型11 数列与不等式的综合
【知识点的认识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
[]
（n≥2），
（）（n≥2），
，
2（）2（）．
．
58．已知数列{an}满足，对任意p，q∈N*，都有，设，则对任意n∈N*，下列结论恒成立的是（　　）
A．bn≥b3 B．bn≥b4
C．bn≤b4 D．（bn﹣b2）（bn﹣b4）≥0
▉题型12 数列与解析几何的综合
【知识点的认识】
函数、数列、解析几何作为高中数学的主要躯干，蕴含着诸多的数学思想和方法（数形结合、函数与方程、转化和归纳等），因而一直是高考的重点．尤其是它们互相之间及和其他数学知识（如复数、向量等）之间的互相渗透、互相联系，更为高考命题带来广阔的空间．而传统的章节复习法使学生分散地学习知识，对各个章节的联系和渗透考虑较少，从而造成对一些综合题心存胆怯．近几年高考中常见的函数﹣数列﹣解析几何综合题就是其中的典型．
59．过点P（﹣1，0）向曲线 n：（n为正整数）引斜率为kn（kn＞0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．数列的前n项和为
D．
60．如图，曲线y2＝4x（y≥0）上的点Ai与x轴非负半轴上的点Bi﹣1，Bi（i＝1，2 ，n）构成一系列正三角形，记为△B0A1B1，△B1A2B2，…，△Bn﹣1AnBn（B0为坐标原点）．设△Bn﹣1AnBn的边长为an，点Bn（bn，0）．
（1）求b1，b2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若数列，记{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜3．

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