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第4章第4.4节 数学归纳法
题型1 数学归纳法 题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
题型3 数学归纳法证明命题 题型4 用数学归纳法证明不等式
▉题型1 数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
1．下列命题错误的个数是（　　）
①用数学归纳法证明2n＞n2时，正整数n的第一个取值是1．
②用数学归纳法证明，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是．
③设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”，若f（7）＜49成立，则当k≥8时，均有f（k）＜k2成立．
④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时，左边，右边＝1+1，不等式成立．
（2）假设当n＝k（k≥1且k∈N+）时，不等式成立，即，
那么当n＝k+1时，
，
所以当n＝k+1时，不等式成立．
综上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：对于命题①，当n＝2时，22＝22，不满足题意，
根据数学归纳法证明的要求可知，正整数n的第一个取值不是1，故命题①错误；
对于命题②，证明，
当n＝k时，左边的代数式为，
当n＝k+1时，左边的代数式为，
故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为：
，故命题②错误；
对于命题③，由题意，f（7）＜49无法推出k≥8时，均有f（k）＜k2成立，故命题③错误；
对于命题④，在n＝k+1时，没有用到n＝k的假设结论，不符合数学归纳法的证明方法，故命题④错误．
故选：D．
2．数学归纳法证明“1+a+a2+…+an，a≠1，n∈N*”，验证n＝1时，左边为（　　）
A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a3
【答案】B
【解答】解：用数学归纳法证明1+a+a2+…+an，a≠1，n∈N，在验证n＝1时，把当n＝1代入，
左端＝1+a．
故选：B．
3．用数学归纳法证明等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　）
A．增加了项
B．增加了项
C．增加了项
D．以上均不对
【答案】C
【解答】解：用数学归纳法证明等式1（n≥2）的过程中，
假设n＝k时不等式成立，左边（k≥2），
则当n＝k+1时，左边（k≥2），
∴由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边增加了：
．
故选：C．
▉题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
4．用数学归纳法证明：（n+1）（n+2） … （n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）（n∈N*），从n＝k到n＝k+1，等式的左边需要增乘的代数式是 （　　）
A．2k+1 B． C． D．2（2k+1）
【答案】D
【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）（n∈N*）时，
n＝k时，左侧＝（k+1）（k+2）…（k+k），
n＝k+1时，左侧＝（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k﹣1）（k+1+k）（k+1+k+1），
从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是2（2k+1）．
故选：D．
5．用数学归纳法证明：（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（　　）
A．1项 B．2k﹣1项 C．2k+1项 D．2k项
【答案】D
【解答】解：根据题意，证明时，
f（k+1）中有2k+1项，f（k）中有2k项，
则f（k+1）比f（k）增加了2k+1﹣2k＝2k项．
故选：D．
6．用数学归纳法证明不等式（n≥2）的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式的左边（　　）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
【答案】C
【解答】解：当，
当
．
故选：C．
7．用数学归纳法证明（n≥2，n为正整数）的过程中，从n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：由，则，
因此．
故选：C．
8．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边增加了（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：当n＝k时，左端，
那么当n＝k+1时左端，
故由k到k+1时不等式左端的变化是增加了两项，同时减少了这一项，
即，
故选：D．
9．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k（k≥1）变到n＝k+1时，左边增加了（　　）
A．1项 B．k项 C．3k项 D．2×3k项
【答案】D
【解答】解：由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到（3n﹣1），故共有3n﹣1项，
又由n＝k变到n＝k+1时，左边由（3k﹣1）项增加到（3k+1﹣1）项，
从而左边增加了（3k+1﹣1）﹣（3k﹣1）＝2×3k项．
故选：D．
▉题型3 数学归纳法证明命题
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
10．下题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？把错误的地方改正确．用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．
证明，①当n＝1时，左边＝S1＝a1，右边＝a1，等式成立．
②假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，即．则当n＝k+1时，Sk+1＝a1+a2+a3+ +ak+ak+1，Sk+1＝ak+1+ak+ak﹣1+…+a2+a1．
上面两式相加并除以2，可得，
即当n＝k+1时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前n项和公式是．
【答案】有错误，答案见解析．
【解答】解：有错误，
错误在于证明n＝k+1时，没有应用n＝k时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程．
②正确的证明方法：
假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，即，
则当n＝k+1时，．
这表明，当n＝k+1时，等式也成立．
11．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，4Sn2an（n∈N*）．
（1）计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果猜想an的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当n＝1时，，解得a1＝2或0（舍去），
当n＝2时，4a1+4a2，解得a2＝4或﹣2（舍去），
当n＝3时，，解得a3＝6或﹣4（舍去），
当n＝4时，4a1+4a2+4a3+4a4，解得a4＝8或﹣6（舍去），
故猜想an＝2n；
（2）证明：①当n＝1时，显然成立，
②假设n＝k，k≥2，k∈N*时，
ak＝2k，
当n＝k+1时，
ak+1＝Sk+1﹣Sk，
故，即（ak+1+2k）[ak+1﹣2（k+1）]＝0，
∵an＞0，
∴an+1+2k＞0，
∴ak+1＝2（k+1），即当n＝k+1时，结论成立，
由①②可知，an＝2n．
▉题型4 用数学归纳法证明不等式
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
12．（1）若数列{bn}满足，，求bn；
（2）若n为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）由①，又有，
所以易知bn＞0，且②，联立解得；
（2）证明：由题意知：，
所以令
，
即证明，
因为n为大于1的自然数，
当n＝2时，左边，右边，
左边＞右边，所以n＝2时，不等式成立；
假设当n＝k时原不等式也成立，
即成立；
则当n＝k+1时，，
即，
所以依然成立，即n＝k+1时，原不等式仍成立，
所以n∈N*且n＞1时原不等式总成立，
故．第4章第4.4节 数学归纳法
题型1 数学归纳法 题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
题型3 数学归纳法证明命题 题型4 用数学归纳法证明不等式
▉题型1 数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
1．下列命题错误的个数是（　　）
①用数学归纳法证明2n＞n2时，正整数n的第一个取值是1．
②用数学归纳法证明，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是．
③设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”，若f（7）＜49成立，则当k≥8时，均有f（k）＜k2成立．
④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时，左边，右边＝1+1，不等式成立．
（2）假设当n＝k（k≥1且k∈N+）时，不等式成立，即，
那么当n＝k+1时，
，
所以当n＝k+1时，不等式成立．
综上．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．数学归纳法证明“1+a+a2+…+an，a≠1，n∈N*”，验证n＝1时，左边为（　　）
A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a3
3．用数学归纳法证明等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　）
A．增加了项
B．增加了项
C．增加了项
D．以上均不对
▉题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
4．用数学归纳法证明：（n+1）（n+2） … （n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）（n∈N*），从n＝k到n＝k+1，等式的左边需要增乘的代数式是 （　　）
A．2k+1 B． C． D．2（2k+1）
5．用数学归纳法证明：（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（　　）
A．1项 B．2k﹣1项 C．2k+1项 D．2k项
6．用数学归纳法证明不等式（n≥2）的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式的左边（　　）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
7．用数学归纳法证明（n≥2，n为正整数）的过程中，从n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边增加了（　　）
A． B．
C． D．
9．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k（k≥1）变到n＝k+1时，左边增加了（　　）
A．1项 B．k项 C．3k项 D．2×3k项
▉题型3 数学归纳法证明命题
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
10．下题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？把错误的地方改正确．用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．
证明，①当n＝1时，左边＝S1＝a1，右边＝a1，等式成立．
②假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，即．则当n＝k+1时，Sk+1＝a1+a2+a3+ +ak+ak+1，Sk+1＝ak+1+ak+ak﹣1+…+a2+a1．
上面两式相加并除以2，可得，
即当n＝k+1时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前n项和公式是．
11．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，4Sn2an（n∈N*）．
（1）计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果猜想an的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．
▉题型4 用数学归纳法证明不等式
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
12．（1）若数列{bn}满足，，求bn；
（2）若n为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：．

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