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第六章第6.1节 导数
题型1 变化的快慢与变化率 题型2 平均变化率
题型3 瞬时变化率 题型4 导数及其几何意义
题型5 变化率的极限与导数的概念 题型6 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
题型7 导数与切线的斜率 题型8 函数图象趋势与导数大小的关系
题型9 极限及其运算 题型10 基本初等函数的导数
题型11 简单复合函数的导数 题型12 利用导数求解曲线在某点上的切线方程
▉题型1 变化的快慢与变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
1．已知物体的运动方程为（t是时间，s是位移），则物体在时刻t＝3时的速度为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．若物体的运动方程是s＝t3+t2﹣1，t＝3时物体的瞬时速度是（　　）
A．27 B．31 C．39 D．33
3．已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2
（多选）4．如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（　　）
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在t0时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
▉题型2 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
5．函数f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为（　　）
A．1 B．2 C．π D．0
6．函数y＝x3﹣x2从1到2的平均变化率为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．某物体做直线运动，其位移s关于时间t的函数解析式为s（t）＝t2﹣t+1，则该物体在[1，1+Δt]内的平均速度为（　　）
A．Δt+1 B．1﹣Δt C．（Δt）2+1 D．1
8．函数在区间[1，7]上的平均变化率为 　 ．
▉题型3 瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
9．吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的关系式为，则V＝2L时气球的瞬时膨胀率大约是V＝16L时气球的瞬时膨胀率的（　　）
A．2倍 B．4倍 C． D．
10．一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是y（t）＝t2+4t，则物体在t＝2s时的瞬时速度为（　　）
A．2m/s B．6m/s C．8m/s D．12m/s
11．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝2t3﹣5t2，则当t＝3s时该质点的瞬时速度为（　　）
A．9m/s B．24m/s C．48m/s D．54m/s
12．一个物体的运动方程为s＝1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（　　）
A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒
（多选）13．某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间满足函数关系h（t）＝2t2+2t，则（　　）
A．在2≤t≤3这段时间内的平均速度为10m/s
B．在2≤t≤3这段时间内的平均速度为12m/s
C．在t＝4s时的瞬时速度为18m/s
D．在t＝4s时的瞬时速度为16m/s
▉题型4 导数及其几何意义
【知识点的认识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
14．函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列大小关系正确的是（　　）
A．2f′（4）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（2）
B．2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）
C．2f′（4）＜2f′（2）＜f（4）﹣f（2）
D．f（4）﹣f（2）＜2f′（4）＜2f′（2）
15．已知物体的运动方程是（t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是（　　）
A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒
16．在平面直角坐标系xOy中，A，B，C分别为函数y＝lnx图象上的三点，横坐标依次为2，e，3（e为自然对数的底数），则直线OA，OB，OC的斜率k1，k2，k3的大小关系为（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1 C．k1＜k3＜k2 D．k3＜k1＜k2
（多选）17．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（　　）
A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点
B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值
C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增
18．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为　 ．
19．函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝　 　 ．
20．函数的图象在x＝0处的切线的倾斜角为 ．
▉题型5 变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
21．已知函数，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．已知f（x）在x＝x0处存在导数，则（　　）
A．与x0，Δx均有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
▉题型6 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
23．设函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x0）＝2，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．已知的值是（　　）
A．2 B．1 C． D．﹣2
25．已知函数，则　 ．
▉题型7 导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
26．函数f（x）＝aex﹣sinx在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
27．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
28．已知函数f（x）＝1﹣2x﹣sinx，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
▉题型8 函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
29．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
30．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
▉题型9 极限及其运算
【知识点的认识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但f（x0）．
31．若f（x）＝sinx．则（　　）
A．0 B． C．1 D．2
32．设f（x）是可导函数，且（　　）
A． B．﹣1 C．0 D．﹣2
33．已知，则　 ．
▉题型10 基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
34．已知函数f（x）＝e﹣2x+3，则f′（2）＝（　　）
A．2e B．e C． D．
35．已知函数f（x）满足，则（　　）
A． B． C． D．
36．下列导数运算正确的是（　　）
A．（sinx）′＝﹣cosx B．（3x）′＝3x
C．（log2x）′ D．（）′
37．下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若y＝sin（2x），则y'＝2cos（2x）
C．若y＝ln（5x），则
D．若y＝e2x，则y'＝e2x
38．下列求导正确的有（　　）
①（sinx）′＝cosx；
②；
③；
④；
⑤（e2x）′＝e2x；
⑥（cosπ）′＝﹣sinπ；
⑦（xlnx）′＝lnx+1；
⑧（2x）′＝2xln2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
39．函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）仍是x的函数，通常把导函数y＝f'（x）的导数叫做函数的二阶导数，记作y＝f''（x），类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…．一般地，n﹣1阶导数的导数叫做n阶导数，函数y＝f（x）的n阶导数记为y＝f（n）（x），例如y＝ex的n阶导数（ex）（n）＝ex．若f（x）＝xex+cos2x，则f（50）（0）＝（　　）
A．49+249 B．49 C．50 D．50﹣250
40．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间（a，b）内的导数为f′（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点c，使得f（b）﹣f（a）＝f′（c）（b﹣a）成立，其中c叫做f（x）在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f（x）＝x3﹣3x在[﹣2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
41．已知y＝excosx，则（　　）
A．y′＝﹣exsinx B．y′＝ex﹣sinx
C．y′exsin（x） D．y′exsin（x）
（多选）42．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f′（x））′．若f″（x）≥0在D上恒成立，则称f（x）在D上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（　　）
A．f（x）＝x2﹣4x+3 B．
C．h（x）＝x2+2cosx D．φ（x）＝x2lnx
43．设f（5）＝5，f′（5）＝3，g（5）＝4，g′（5）＝1，若h（x），则h′（5）＝　 ．
▉题型11 简单复合函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
44．若函数f（x）＝exsin2x，则f′（0）等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
45．若函数f（x）＝x2﹣3x﹣5lnx的导函数为f′（x），则f′（x）＞0的解集为（　　）
A．（0，+∞） B．
C．（﹣1，0） D．
（多选）46．下列命题正确的是（　　）
A．（sinπ）′＝cosπ
B．点（0，1）是函数f（x）＝x3+x+1的对称中心
C．已知函数，若f′（x0）＝2，则x0＝1
D．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝0
47．已知f（x）＝sinx+f′（0）cosx，则 　 ．
48．已知函数f（x）＝excosx，则 　 ．
▉题型12 利用导数求解曲线在某点上的切线方程
【知识点的认识】
曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．
49．已知曲线f（x）＝lnx+ax2+2在点Q（1，f（1））处的切线与直线x+4y+8＝0垂直，则a的值为（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
50．曲线y＝xlnx在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
51．若直线l与函数f（x）＝ex﹣2（x＞1）和g（x）＝lnx的图象分别相切于点A，B，则|AB|＝（　　）
A．2 B． C． D．
52．若直线l同时是曲线y＝aex（a＞1）和曲线y＝ex+a的切线，则l斜率的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．e D．2e
53．已知函数f（x）＝ex+1（e为自然对数的底数），g（x）＝lnx+3，直线l既与f（x）相切又与g（x）相切，则线l的方程是（　　）
A．y＝x+1 B．y＝﹣x+2
C．y＝ex+1或y＝x+2 D．或y＝x+1
54．设函数，则曲线y＝f（x）在处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
55．设函数f（x）＝1﹣ex的图象与x轴相交于点P，则曲线在点P处的切线方程为（　　）
A．ex+y＝0 B．ex﹣y＝0 C．x+y＝0 D．y﹣x＝0
（多选）56．设直线y＝t与函数f（x）＝x（x﹣3）2图象的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t）且a＜b＜c，则（　　）
A．f（x）图象的对称中心为（2，2）
B．abc的取值范围为（0，12）
C．c﹣a的取值范围为
D．设g（x）＝f（x）﹣t，曲线g（x）在点（a，0），（b，0），（c，0）处的切线斜率分别记为k1，k2，k3，则
57．曲线y＝ex+x在x＝0处的切线也是曲线y＝ln（x+a）的切线，则实数a＝ 　 ．
58．若过点（2，t）可以作曲线y＝lnx的两条切线，则实数t的取值范围是 　 　 ．
59．已知函数f（x）＝x2﹣xf′（1），则曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为　 　 ．
60．若斜率为k的两条平行直线l1，l2，曲线C：y＝f（x）满足以下两条性质：
（Ⅰ）l1，l2分别与曲线C至少有两个切点；
（Ⅱ）曲线C上的所有点都在l1，l2之间或两条直线上．则称直线l1，l2为曲线C的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d（k）．已知曲线C：f（x）＝mx+nsinx．
（1）判断m＝0，n＝1时，曲线C是否存在“双夹线”，并说明理由；
（2）若m＝1，n＝﹣1，试问：l1：y＝x+1和l2：y＝x﹣1是否是函数y＝f（x）的一对“双夹线”？若是，求此时d（k）的值；若不是，请说明理由．
（3）对于任意的正实数m，n，函数y＝f（x）是否都存在“双夹线”？若是，求d（k）的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．第六章第6.1节 导数
题型1 变化的快慢与变化率 题型2 平均变化率
题型3 瞬时变化率 题型4 导数及其几何意义
题型5 变化率的极限与导数的概念 题型6 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
题型7 导数与切线的斜率 题型8 函数图象趋势与导数大小的关系
题型9 极限及其运算 题型10 基本初等函数的导数
题型11 简单复合函数的导数 题型12 利用导数求解曲线在某点上的切线方程
▉题型1 变化的快慢与变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
1．已知物体的运动方程为（t是时间，s是位移），则物体在时刻t＝3时的速度为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：因为物体的运动方程为，
所以物体的速度v＝s′＝2t，
所以物体在时刻t＝3时的速度为26．
故选：C．
2．若物体的运动方程是s＝t3+t2﹣1，t＝3时物体的瞬时速度是（　　）
A．27 B．31 C．39 D．33
【答案】D
【解答】解：∵v＝s′＝3t2+2t，
∴此物体在t＝3时的瞬时速度＝3×32+2×3＝33．
故选：D．
3．已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【解答】解：因为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，
则．
故选：B．
（多选）4．如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（　　）
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在t0时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【答案】CD
【解答】解：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故选项A错误；
在t0时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故选项B错误；
在t0到t1范围内，，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项C正确；
在0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项D正确．
故选：CD．
▉题型2 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
5．函数f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为（　　）
A．1 B．2 C．π D．0
【答案】A
【解答】解：f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为．
故选：A．
6．函数y＝x3﹣x2从1到2的平均变化率为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：y＝f（x）＝x3﹣x2，
则f（2）＝8﹣4＝4，f（1）＝1﹣1＝0，
故平均变化率为．
故选：C．
7．某物体做直线运动，其位移s关于时间t的函数解析式为s（t）＝t2﹣t+1，则该物体在[1，1+Δt]内的平均速度为（　　）
A．Δt+1 B．1﹣Δt C．（Δt）2+1 D．1
【答案】A
【解答】解：因为位移s关于时间t的函数解析式为s（t）＝t2﹣t+1，
所以该物体在[1，1+Δt]内的平均速度为Δt+1．
故选：A．
8．函数在区间[1，7]上的平均变化率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，f（x）在区间[1，7]上的平均变化率为．
故答案为：．
▉题型3 瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
9．吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的关系式为，则V＝2L时气球的瞬时膨胀率大约是V＝16L时气球的瞬时膨胀率的（　　）
A．2倍 B．4倍 C． D．
【答案】B
【解答】解：因为，所以，
则V＝2L时气球的瞬时膨胀率大约是V＝16L时气球的瞬时膨胀率的倍．
故选：B．
10．一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是y（t）＝t2+4t，则物体在t＝2s时的瞬时速度为（　　）
A．2m/s B．6m/s C．8m/s D．12m/s
【答案】C
【解答】解：因为y（t）＝t2+4t，
所以y′（t）＝2t+4，
故物体在t＝2s时的瞬时速度为2×2+4＝8m/s．
故选：C．
11．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝2t3﹣5t2，则当t＝3s时该质点的瞬时速度为（　　）
A．9m/s B．24m/s C．48m/s D．54m/s
【答案】B
【解答】解：由题可得：S′（t）＝6t2﹣10t，
所以S′（3）＝6×32﹣10×3＝24，
即当t＝3s时该质点的瞬时速度为24m/s．
故选：B．
12．一个物体的运动方程为s＝1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（　　）
A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒
【答案】C
【解答】解：∵s＝1﹣t+t2，∴s′＝﹣1+2t，
把t＝3代入上式可得s′＝﹣1+2×3＝5
由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，
故选：C．
（多选）13．某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间满足函数关系h（t）＝2t2+2t，则（　　）
A．在2≤t≤3这段时间内的平均速度为10m/s
B．在2≤t≤3这段时间内的平均速度为12m/s
C．在t＝4s时的瞬时速度为18m/s
D．在t＝4s时的瞬时速度为16m/s
【答案】BC
【解答】解：平均速度为m/s，故A错误，B正确；
因为h′（t）＝4t+2，所以h′（4）＝4×4+2＝18，即在t＝4s时瞬时速度为18m/s，故C正确，D错误．
故选：BC．
▉题型4 导数及其几何意义
【知识点的认识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
14．函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列大小关系正确的是（　　）
A．2f′（4）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（2）
B．2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）
C．2f′（4）＜2f′（2）＜f（4）﹣f（2）
D．f（4）﹣f（2）＜2f′（4）＜2f′（2）
【答案】B
【解答】解：由图象可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由导数的几何意义可知，，
即2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）．
故选：B．
15．已知物体的运动方程是（t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是（　　）
A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒
【答案】D
【解答】解：s′＝t3﹣12t2+32t
令s′＝t3﹣12t2+32t＝0得
t＝0或 t＝4或t＝8
故选：D．
16．在平面直角坐标系xOy中，A，B，C分别为函数y＝lnx图象上的三点，横坐标依次为2，e，3（e为自然对数的底数），则直线OA，OB，OC的斜率k1，k2，k3的大小关系为（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1 C．k1＜k3＜k2 D．k3＜k1＜k2
【答案】C
【解答】解：依题意可得k1，k2，k3．
构造函数g（x），
则，可得函数g（x）在（e，+∞）单调递减．
∴g（4）＜g（3）＜g（e），即k1＜k3＜k2
故选：C．
（多选）17．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（　　）
A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点
B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值
C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增
【答案】AD
【解答】解：根据导函数y＝f'（x）的图象，
可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0且仅当x＝1时，f'（x）＝0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上函数f（x）单调递减；在（﹣2，+∞）函数f（x）单调递增，
所以﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，所以A正确；
其中x＝1两侧函数的单调性不变，则在x＝1处不是函数y＝f（x）的最小值，所以B不正确；
由图像可知f'（0）＞0，所以函数y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率大于零，所以C不正确；
由y＝f（x）图象可得，当x∈（﹣2，2）时，f'（x）≥0，
所以函数y＝f（x）在x∈（﹣2，2）上单调递增，所以D正确，
故选：AD．
18．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为　　 ．
【答案】
【解答】解：y'＝ex，令y'＝ex＝1，得x＝0，故P（0，1）
点P到直线y＝x的最小距离为
故答案为：
19．函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝　2　 ．
【答案】2
【解答】解：∵y＝﹣x+8，
∴y′＝﹣1，即f′（5）＝﹣1，
又∵f（5）＝﹣5+8＝3，
∴f（5）+f′（5）＝3﹣1＝2，
故答案为2．
20．函数的图象在x＝0处的切线的倾斜角为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：函数，求导得，
因此切线的斜率k＝f′（0）＝1，所以切线的倾斜角为．
故答案为：．
▉题型5 变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
21．已知函数，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：由题意得，
则．
因为f′（x）＝ex+e﹣x，所以f′（0）＝2，
故f'（0）＝2．
故选：B．
22．已知f（x）在x＝x0处存在导数，则（　　）
A．与x0，Δx均有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
【答案】B
【解答】解：f（x）在x＝x0处存在导数，则f′（x0）．
所以仅与x0有关，而与Δx无关．
故选：B．
▉题型6 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
23．设函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x0）＝2，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：∵f'（x0）＝2，
∴22f′（x0）＝4，
故选：D．
24．已知的值是（　　）
A．2 B．1 C． D．﹣2
【答案】A
【解答】解：f'（x0）＝4，
则
．
故选：A．
25．已知函数，则　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：根据题意，22f′（1），
而函数，则f′（x）＝1，则有f′（1）＝2，
故2f′（1）＝4；
故答案为：4．
▉题型7 导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
26．函数f（x）＝aex﹣sinx在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：由函数f（x）＝aex﹣sinx，
可得f′（x）＝aex﹣cosx，
所以f′（0）＝2 a﹣1＝2 a＝3．
故选：B．
27．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，如图：
由导数的几何意义，f′（1）为曲线在x＝1处切线的斜率，
f′（3）为曲线在x＝1处切线的斜率，
kAB，为割线AB的斜率，
则有．
故选：B．
28．已知函数f（x）＝1﹣2x﹣sinx，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【答案】D
【解答】解：因为f（x）＝1﹣2x﹣sinx，
所以f′（x）＝﹣2﹣cosx，
由导数的几何意义可知，曲线y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为f′（0）＝﹣3．
故选：D．
▉题型8 函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
29．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：从导函数的图象可以看出，f′（x）≥0恒成立，
所以原函数f（x）的图象必然单调递增，排除B，C；
且导函数的函数值在区间[﹣1，0]上递减，即原函数在区间[﹣1，0]上的切线斜率递减，
导函数的函数值在区间[0，1]上递增，即原函数在区间[0，1]上的切线斜率递增，故A正确，D错误．
故选：A．
30．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；
∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0；
∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增；
∴f（x）的大致图象应是B．
故选：B．
▉题型9 极限及其运算
【知识点的认识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但f（x0）．
31．若f（x）＝sinx．则（　　）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：由题意，f′（x）＝cosx，
则22f′（0）＝2，
故选：D．
32．设f（x）是可导函数，且（　　）
A． B．﹣1 C．0 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：∵22f′（x0）＝2
∴f′（x0）＝﹣1
故选：B．
33．已知，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：，
则f'（x），
f'（2），
所以f'（2）．
故答案为：．
▉题型10 基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
34．已知函数f（x）＝e﹣2x+3，则f′（2）＝（　　）
A．2e B．e C． D．
【答案】D
【解答】解：因为函数f（x）＝e﹣2x+3，
所以f′（x）＝﹣2e﹣2x+3，
所以．
故选：D．
35．已知函数f（x）满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意函数f（x）满足，
求导可得，
故，
故．
故选：A．
36．下列导数运算正确的是（　　）
A．（sinx）′＝﹣cosx B．（3x）′＝3x
C．（log2x）′ D．（）′
【答案】C
【解答】解：根据导数的运算法则可得：（sinx）′＝cosx，（3x）′＝3xln3，，．
故选：C．
37．下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若y＝sin（2x），则y'＝2cos（2x）
C．若y＝ln（5x），则
D．若y＝e2x，则y'＝e2x
【答案】B
【解答】解：A：是常数，所以y'＝0，不正确；
B：y'＝cos（2x） （2x）'＝2cos2x，正确；
C：，不正确；
D：y'＝e2x （2x）'＝2e2x，不正确．
故选：B．
38．下列求导正确的有（　　）
①（sinx）′＝cosx；
②；
③；
④；
⑤（e2x）′＝e2x；
⑥（cosπ）′＝﹣sinπ；
⑦（xlnx）′＝lnx+1；
⑧（2x）′＝2xln2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：对于①，（sinx）′＝cosx，故①正确；
对于②，，故②错误；
对于③，，故③错误；
对于④，，故④正确；
对于⑤，（e2x）′＝2e2x，故⑤错误；
对于⑥，（cosπ）′＝0，故⑥错误；
对于⑦，，故⑦正确；
对于⑧，（2x）′＝2xln2，故⑧正确．
故选：C．
39．函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）仍是x的函数，通常把导函数y＝f'（x）的导数叫做函数的二阶导数，记作y＝f''（x），类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…．一般地，n﹣1阶导数的导数叫做n阶导数，函数y＝f（x）的n阶导数记为y＝f（n）（x），例如y＝ex的n阶导数（ex）（n）＝ex．若f（x）＝xex+cos2x，则f（50）（0）＝（　　）
A．49+249 B．49 C．50 D．50﹣250
【答案】D
【解答】解：f′（x）＝ex+xex﹣2sin2x＝（x+1）ex﹣2sin2x，f″（x）＝ex+（x+1）ex﹣4cos2x＝（x+2）ex﹣4cos2x，
∴f（50）（x）＝（x+50）ex﹣250cos2x，
∴f（50）（0）＝50﹣250．
故选：D．
40．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间（a，b）内的导数为f′（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点c，使得f（b）﹣f（a）＝f′（c）（b﹣a）成立，其中c叫做f（x）在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f（x）＝x3﹣3x在[﹣2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x，
则有f（2）＝2，f（﹣2）＝﹣2，f'（x）＝3x2﹣3，
由f（2）﹣f（﹣2）＝f'（c）（2+2），
可得f'（c）＝1，即3c2﹣3＝1，解得，
f（x）在[﹣2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．
故选：B．
41．已知y＝excosx，则（　　）
A．y′＝﹣exsinx B．y′＝ex﹣sinx
C．y′exsin（x） D．y′exsin（x）
【答案】D
【解答】解：∵y＝excosx，∴由乘积的导数可得：
y′＝（ex）′cosx+ex（cosx）′
＝excosx﹣exsinx＝ex（cosx﹣sinx）
exsin（x），
故选：D．
（多选）42．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f′（x））′．若f″（x）≥0在D上恒成立，则称f（x）在D上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（　　）
A．f（x）＝x2﹣4x+3 B．
C．h（x）＝x2+2cosx D．φ（x）＝x2lnx
【答案】ABC
【解答】解：f（x）＝x2﹣4x+3，
则f（x）定义域为R，f′（x）＝2x﹣4，f″（x）＝2＞0，故A正确．
B．g（x）定义域为（0，+∞），，，故B正确．
C．h（x）定义域为R，h′（x）＝2x﹣2sinx，h″（x）＝2﹣2cosx≥0，故C正确．
D．φ（x）＝x2lnx，
则φ（x）定义域为（0，+∞），，，
当时，φ″（x）＜0，故D错误．
故选：ABC．
43．设f（5）＝5，f′（5）＝3，g（5）＝4，g′（5）＝1，若h（x），则h′（5）＝　　 ．
【答案】
【解答】解：设f（5）＝5，f′（5）＝3，g（5）＝4，g′（5）＝1，
∵h′（x），
∴h′（5），
故答案为：
▉题型11 简单复合函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
44．若函数f（x）＝exsin2x，则f′（0）等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：根据复合函数求导可知，f′（x）＝ex（sin2x+2cos2x），所以f′（0）＝e0（sin0+2cos0）＝2．
故选：D．
45．若函数f（x）＝x2﹣3x﹣5lnx的导函数为f′（x），则f′（x）＞0的解集为（　　）
A．（0，+∞） B．
C．（﹣1，0） D．
【答案】D
【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣3x﹣5lnx的导函数为，
∴，解得．
故选：D．
（多选）46．下列命题正确的是（　　）
A．（sinπ）′＝cosπ
B．点（0，1）是函数f（x）＝x3+x+1的对称中心
C．已知函数，若f′（x0）＝2，则x0＝1
D．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝0
【答案】BCD
【解答】解：对于A，（sinπ）′＝0，A错误；
对于B，由f（﹣x）+f（x）＝2，可得f（0）＝1，点（0，1）是函数y＝f（x）的对称中心，B正确；
对于C，由题意可得，，
由f′（x0）＝2，得，解得x0＝1或（舍去），C正确；
对于D，由，得φ′（x）＝x2﹣xφ′（1）﹣1，
故φ′（1）＝12﹣φ′（1）﹣1，∴φ′（1）＝0，D正确．
故选：BCD．
47．已知f（x）＝sinx+f′（0）cosx，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为f′（x）＝cosx﹣f′（0）sinx，
所以f′（0）＝cos0﹣f′（0）sin0，解得f′（0）＝1，
将其代入f（x）可得f（x）＝sinx+cosx，则．
故答案为：．
48．已知函数f（x）＝excosx，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意可知，f（x）＝ex（cosx﹣sinx），则．
故答案为：．
▉题型12 利用导数求解曲线在某点上的切线方程
【知识点的认识】
曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．
49．已知曲线f（x）＝lnx+ax2+2在点Q（1，f（1））处的切线与直线x+4y+8＝0垂直，则a的值为（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
【答案】D
【解答】解：∵，
∴f′（1）＝1+2a，
∵曲线f（x）在点Q（1，f（1））处的切线与直线x+4y+8＝0垂直，
∴f′（1）＝4，即1+2a＝4，故．
故选：D．
50．曲线y＝xlnx在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】D
【解答】解：由y＝xlnx，得y′＝lnx+1，
则y′|x＝1＝1，又当x＝1时，y＝0，
∴曲线y＝xlnx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，
取x＝0，得y＝﹣1，取y＝0，得x＝1．
∴曲线y＝xlnx在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．
故选：D．
51．若直线l与函数f（x）＝ex﹣2（x＞1）和g（x）＝lnx的图象分别相切于点A，B，则|AB|＝（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为f（x）＝ex﹣2与g（x）＝lnx的导数分别为：
f′（x）＝ex﹣2与g′（x），
设A（m，em﹣2），B（n，lnn），m＞1，
则根据题意可得，
所以m﹣2＝﹣lnn，所以m＝2﹣lnn，
所以，
所以n﹣1＝lnn（n﹣1），所以n＝1或n＝e，
当n＝e时，m＝2﹣lnn＝1不满足m＞1，
所以n＝1，m＝2，
所以A（2，1），B（1，0），
所以|AB|．
故选：C．
52．若直线l同时是曲线y＝aex（a＞1）和曲线y＝ex+a的切线，则l斜率的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．e D．2e
【答案】C
【解答】解：设直线l与曲线y＝aex、曲线y＝ex+a相切的切点分别为，
由y＝aex、y＝ex+a，分别得y′＝aex，y′＝ex，
则，且，
由得：t﹣x0＝lna，
代入，可得，
令，得，
当1＜a＜e时，f′（a）＜0，函数f（a）在（1，e）上单调递减，
当a＞e，f′（a）＞0，函数f（a）在（e，+∞）上单调递增，可得f（a）min＝f（e）＝e，
所以l斜率的最小值为e．
故选：C．
53．已知函数f（x）＝ex+1（e为自然对数的底数），g（x）＝lnx+3，直线l既与f（x）相切又与g（x）相切，则线l的方程是（　　）
A．y＝x+1 B．y＝﹣x+2
C．y＝ex+1或y＝x+2 D．或y＝x+1
【答案】C
【解答】解：因为f（x）＝ex+1，g（x）＝lnx+3，
所以f′（x）＝ex，g′（x），
设l与f（x）相切于点，f′（x）＝ex，则切线的斜率为，
切线方程：，即，
设l与g（x）相切于点B（x1，lnx1+3），则切线的斜率为，
切线方程：，即
所以，解得x0＝1，或x0＝0，x1＝1，
则直线l的方程：y＝ex+1或y＝x+2．
故选：C．
54．设函数，则曲线y＝f（x）在处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：因为函数，
则，
当x＝0时，曲线y＝f（x）在点处的切线斜率为，
此时切线方程为，
即．
故选：D．
55．设函数f（x）＝1﹣ex的图象与x轴相交于点P，则曲线在点P处的切线方程为（　　）
A．ex+y＝0 B．ex﹣y＝0 C．x+y＝0 D．y﹣x＝0
【答案】C
【解答】解：由1﹣ex＝0，解得x＝0，
函数f（x）＝1﹣ex的图象与x轴相交于点P（0，0），
函数f（x）＝1﹣ex的导数为f′（x）＝﹣ex，
可得曲线在点P处的切线斜率为﹣e0＝﹣1，
则曲线在点P处的切线方程为y＝﹣x，
即有x+y＝0．
故选：C．
（多选）56．设直线y＝t与函数f（x）＝x（x﹣3）2图象的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t）且a＜b＜c，则（　　）
A．f（x）图象的对称中心为（2，2）
B．abc的取值范围为（0，12）
C．c﹣a的取值范围为
D．设g（x）＝f（x）﹣t，曲线g（x）在点（a，0），（b，0），（c，0）处的切线斜率分别记为k1，k2，k3，则
【答案】ACD
【解答】解：因为f（x）＝x（x﹣3）2，
所以f（﹣x+4）+f（x）
＝（﹣x+4）（﹣x+4﹣3）2+x（x﹣3）2
＝（4﹣x）（x2﹣2x+1）+x3﹣6x2+9x
＝﹣x3+6x2﹣9x+4+x3﹣6x2+9x＝4，
所以f（x）图象的对称中心为（2，2），所以选项A正确；
因为f（x）＝x（x﹣3）2，
所以f′（x）＝（x﹣3）2+x 2（x﹣3）＝3（x﹣3）（x﹣1），
所以当x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，f（x）上单调递减，
又f（1）＝f（4）＝4，f（3）＝f（0）＝0，
所以t∈（0，4）且b∈（1，3），
又直线y＝t与函数f（x）＝x（x﹣3）2图象的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t）且a＜b＜c，
所以f（x）＝x（x﹣3）2﹣t＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），
所以x3﹣6x2+9x﹣t＝x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，
则a+b+c＝6，ab+ac+bc＝9，abc＝t，故abc＝t∈（0，4），故选项B错误；
由a+b+c＝6，则a+c＝6﹣b．
又ab+ac+bc＝9，即ac＝9﹣b（a+c）＝9﹣b（6﹣b）＝b2﹣6b+9＝（b﹣3）2，
所以（c﹣a）2＝（a+c）2﹣4ac＝（6﹣b）2﹣4（b﹣3）2＝﹣3b2+12b＝﹣3（b﹣2）2+12．
又由b∈（1，3），则b﹣2∈（﹣1，1），故（c﹣a）2＝﹣3（b﹣2）2+12∈（9，12]．
又a＜c，故，故选项C正确；
因为g（x）＝f（x）﹣t＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），
所以g′（x）＝（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣a） [（x﹣b）（x﹣c）]′，
所以g′（a）＝（a﹣b）（a﹣c），同理g′（b）＝（b﹣a）（b﹣c），g′（c）＝（c﹣a）（c﹣b），
所以
，故选项D正确．
故选：ACD．
57．曲线y＝ex+x在x＝0处的切线也是曲线y＝ln（x+a）的切线，则实数a＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由y＝ex+x，可得y′＝ex+1，所以y′|x＝0＝2，
又当x＝0时，y＝1，则曲线y＝ex+x在x＝0处的切线为y﹣1＝2x，
即y＝2x+1，
令g（x）＝ln（x+a），则，设切点（x0，ln（x0+a）），
由，解得．
故答案为：．
58．若过点（2，t）可以作曲线y＝lnx的两条切线，则实数t的取值范围是 　（ln2，+∞）　 ．
【答案】（ln2，+∞）．
【解答】解：因为y＝lnx，所以y′，
设过点（2，t）的切线与曲线y＝lnx切于点（m，lnm），
则切线方程为y﹣lnm（x﹣m），又其过（2，t），
所以t﹣lnm（2﹣m），又切线有两条，
所以关于m的方程t﹣lnm（2﹣m）有两不等根，
即t＝lnm1有两不等根，
所以y＝t与y＝lnm1有两个交点，
设g（m）＝lnm1，m＞0，则g′（m），m＞0，
所以当m∈（0，2）时，g′（m）＜0，g（m）单调递减；
当m∈（2，+∞）时，g′（m）＞0，g（m）单调递增；
所以g（m）≥g（2）＝ln2，且m→0时，g（m）→+∞；m→+∞时，g（m）→+∞，
所以要使y＝t与y＝lnm1有两个交点，则t∈（ln2，+∞）．
故答案为：（ln2，+∞）．
59．已知函数f（x）＝x2﹣xf′（1），则曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为　5x﹣y﹣9＝0　 ．
【答案】5x﹣y﹣9＝0．
【解答】解：依题意，f′（x）＝2x﹣f′（1），
令x＝1，可得f′（1）＝2﹣f′（1），
所以f′（1）＝1，
可得f（x）＝x2﹣x，则f（3）＝6，
又f′（x）＝2x﹣1，则f′（3）＝5，
所以切线方程为y﹣6＝5（x﹣3），即5x﹣y﹣9＝0．
故答案为：5x﹣y﹣9＝0．
60．若斜率为k的两条平行直线l1，l2，曲线C：y＝f（x）满足以下两条性质：
（Ⅰ）l1，l2分别与曲线C至少有两个切点；
（Ⅱ）曲线C上的所有点都在l1，l2之间或两条直线上．则称直线l1，l2为曲线C的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d（k）．已知曲线C：f（x）＝mx+nsinx．
（1）判断m＝0，n＝1时，曲线C是否存在“双夹线”，并说明理由；
（2）若m＝1，n＝﹣1，试问：l1：y＝x+1和l2：y＝x﹣1是否是函数y＝f（x）的一对“双夹线”？若是，求此时d（k）的值；若不是，请说明理由．
（3）对于任意的正实数m，n，函数y＝f（x）是否都存在“双夹线”？若是，求d（k）的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．
【答案】（1）存在，理由见解析；（2）是，；（3）答案见解析．
【解答】解：（1）曲线C：f（x）＝sinx，由正弦函数的图像可知：l1：y＝﹣1和l2：y＝1为曲线C的一对“双夹线”，故曲线C是存在“双夹线”；
（2）曲线C：f（x）＝x﹣sinx，
f′（x）＝1﹣cosx，令f'（x）＝1，即cosx＝1，
时，，点是曲线C与l1的一个切点；
时，，点是曲线C与l1的一个切点；
∴直线l1与曲线C至少存在两个切点，
同理可得时，，点是曲线C与l2的一个切点；
时，，点是曲线C与l2的一个切点；
∴直线l2与曲线至少存在两个切点，
令g（x）＝x+1，h（x）＝x﹣1，
则g（x）﹣f（x）＝x+1﹣x+sinx＝1+sinx≥0，
f（x）﹣h（x）＝x﹣sinx﹣x+1＝1﹣sinx≥0，
∴l1和l2是函数y＝f（x）的一对“双夹线”，
；
（3）f（x）＝mx+nsinx，则f'（x）＝m+ncosx，
∵，当时，，
则过点的切线方程为：y＝mx+n，
当时，，过点的切线方程也为：y＝mx+n，
∴直线y＝mx+n与f（x）至少存在两个切点；
同理可得直线y＝mx﹣n与f（x）相切于点和，
∴直线y＝mx﹣n与f（x）至少存在两个切点；
令h1（x）＝mx+n，g1（x）＝mx﹣n，
则h1（x）﹣f（x）＝mx+n﹣mx﹣nsinx＝n（1﹣sinx）≥0，
f（x）﹣g1（x）＝mx+nsinx﹣mx+n＝n（1+sinx）≥0，
∴f（x）在两条直线之间，
故对于任意的正实数m，n，函数y＝f（x）都存在“双夹线”，
，
故d（k）的所有取值构成的集合（0，+∞）．

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