资源简介

第六章第6.2节 利用导数研究函数的性质
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 题型4 利用导数研究函数的极值
题型5 函数在某点取得极值的条件 题型6 利用导数求解函数的极值
题型7 利用导数研究函数的最值 题型8 利用导数求解函数的最值
题型9 利用导数研究曲线上某点切线方程
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
1．当x≠0时，设函数f（x）存在导数f′（x），且满足f（x）+xf′（x）＝ex，若f（1）＝0，则f（﹣1）＝（　　）
A． B． C．0 D．
2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），且当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0，则不等式（x﹣2024）2f（x﹣2024）﹣f（﹣1）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，2025）
B．（2023，2025）
C．（﹣∞，2025）∪（2023，+∞）
D．（﹣∞，2023）∪（2025，+∞）
3．已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）的图象如图所示，则（　　）
A．f′（x1）＞f′（x3）＞f′（x2）
B．f′（x2）＞f′（x1）＞f′（x3）
C．f′（x3）＞f′（x1）＞f′（x2）
D．f′（x1）＞f′（x2）＞f′（x3）
4．若，则以下不等式正确的是（　　）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a
5．函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（0＜p＜1），当20辆汽车中恰有18辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X～N（550，σ2），则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9
7．已知a＝0.75e0.5，b＝eln1.5，c＝1.125则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
8．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）满足f（x）＞f′（x），则（　　）
A．f（1）＞ef（0） B．f（1）＜ef（0）
C．ef（ln2）＜2f（1） D．f（2）＞ef（1）
9．下列命题正确的是（　　）
A．若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在t＝3秒时的瞬时速度为米/秒
B．命题“ x≥0，ex≥sinx”是真命题
C．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝1
D．已知函数h（x）在R上可导，若，则h′（1）＝2
10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导数为f′（x），f（x）＞0且f（e）＝1，若xf'（x）lnx+f（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式的解集为（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（e，+∞） D．（0，e）
11．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．142857被称为世界上最神秘的数字，142857×1＝142857，142857×2＝285714，142857×3＝428571，142857×4＝571428，142857×5＝714285，142857×6＝857142，所得结果是这些数字反复出现，若，则（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
13．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f（x）+1﹣e2x（1+f（﹣x））＝0，f（1）＝e2﹣1，且当x∈（0，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＞1，则不等式f（x﹣1）＞ex﹣1的解集为（　　）
A．（0，2） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
14．，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
（多选）15．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，f（1）＝1，若g（x）＝xf′（x）+f（x），则称g（x）是f（x）的“增值”函数．下列函数是f（x）的“增值”函数，则使得f（x）在（0，+∞）上不是单调函数的是（　　）
A．g（x）＝0 B．g（x）＝2 C．g（x）＝x D．g（x）＝ex﹣1
（多选）16．已知正项等比数列{an}的公比为q，函数，则（　　）
A．当q＝2时，f（x）无极值
B．当q＝3时，f（x）的极小值点为am+2
C．当{an}是递增数列时，f（x）在（am+2，+∞）上单调递增
D．当{an}是递减数列时，f（x）在（am+2，4am）上单调递减
（多选）17．不动点定理是拓扑学中一个非常重要的定理，其应用非常广泛．对于函数y＝f（x），定义方程f（x）＝x的根称为f（x）的不动点．已知有唯一的不动点，则（　　）
A．a＝2e B．f（x）的不动点为
C．f（x）极大值为2 D．f（x）极小值为1
18．已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣x+a+1（a≥0）．
（1）当a＝0时，证明：f（x）≤0；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：．
19．若函数y＝f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），使得f′（x1），f′（x2），则称f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f（x）在[a，b]上的中值点．
（1）判断函数f（x）＝x3﹣3x2+1是否是[﹣1，3]上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数f（x）xlnx﹣ax，存在m＞n＞0，使得f（m）＝f（n），且f（x）是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2是f（x）在[n，m]上的中值点．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x1+x2＞2．
20．已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
（2）在图中画出函数f（x）的大致图象；
（3）若方程f（x）＝2m2﹣m（m∈R）有2个解，求实数m的取值范围．
21．已知函数f（x）＝x2﹣2alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）单调性；
（2）当时，求函数f（x）的图象过原点（0，0）的切线方程；
（3）证明：当时，对任意x＞0成立．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
22．已知函数f（x）＝﹣x2+8x+alnx在区间（4，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A．[0，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]
23．已知函数f（x）＝ex+x，g（x）＝lnx+x，若f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为（　　）
A．﹣e B． C．﹣1 D．
24．已知f（x）＝x2﹣2x﹣3，g（x）＝f（5﹣x2），那么（　　）
A．g（x）在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减
B．g（x）在区间（﹣2，0）上单调递减
C．x＝0是g（x）的极小值点
D．x＝2是g（x）的极大值点
25．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下列判断错误的是（　　）
A．y＝f（x）在区间（﹣1，2）上是增函数
B．y＝f（x）在区间（1，3）上是减函数
C．y＝f（x）在区间（4，5）上是增函数
D．y＝f（x）在区间（﹣3，﹣2）上是减函数
（多选）26．函数f（x）＝2xlnx+ax2﹣x，则下列说法正确的是（　　）
A．当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数
B．当a＝2时，f（x）在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．f（x）在（0，+∞）上为减函数，则a
D．当a＜0时，F（x）＝f（x）+ax有且只有一个零点，则a∈（，）
（多选）27．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（2）＜f（3）
B．若方程f（x）＝aex﹣1有两个不相等的实数根，则
C．存在x∈（0，+∞），使f（f（x））＝0
D．若不等式f（x）≤eax﹣x+a恒成立，则
（多选）28．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex，则下列结论正确的是（　　）
A．若f（x）在（﹣a，a）上单调递减，则a的最大值为1
B．当x＞0时，f（x）+3x＞0
C．当x＜0时，f（x）+3x＜0
D．存在直线l，使得l与y＝f（x）的图象有4个交点
（多选）29．设函数f（x）＝ex﹣e﹣x，则下列说法正确的是（　　）
A．曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝2x
B．记f（x）的导函数为f′（x），若方程f′（x）＝a恰有两个解，则a的取值范围是（2，+∞）
C．设g（x）＝2sinx﹣f（x），则关于x的不等式g（x2﹣4）+g（3x）＜0的解集为（﹣4，1）
D．设h（x）＝f（x﹣3）+x，则
（多选）30．已知函数f（x）与其导函数f′（x）的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数g（x）的结论不正确的是（　　）
A．在区间（3，6）上单调递减
B．在区间（﹣3，1）上单调递增
C．当x＝1时，函数g（x）有极小值
D．当x＝﹣3时，函数g（x）有极小值
（多选）31．已知函数f（x）＝xex，则下列结论正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）存在极小值
B．
C．当x＜0时，f（x）＜0
D．若函数g（x）＝f（x）﹣kx有且仅有两个零点，则k＞0且k≠1
32．若函数在定义域上单调递增，则 ．
33．已知a，b，c∈（0，1），且a﹣5＝lna﹣ln5，b﹣4＝lnb﹣ln4，c﹣3＝lnc﹣ln3，则a，b，c的大小关系是 （用“＜”号连接）．
34．已知函数f（x）＝2xlnx﹣a（x2﹣1）（a∈R）．
（1）若a＝1，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（2）若f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：．
35．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x﹣1．
（1）当a＝﹣5时，则过点（0，2）的曲线f（x）的切线有几条？并写出其中一条切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有唯一零点，求实数a的取值范围．
36．已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣4x+5恰有两个极值点x1、x2．
①求a的取值范围；
②证明：g（x1）+g（x2）＞lna．
37．如果函数F（x）的导数F′（x）＝f（x），可记为F（x）＝f（x）dx．若f（x）＞0，则F（b）﹣F（a）表示曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b以及x轴围成的“曲边梯形”的面积．
（1）求曲线xy＝1在x∈[1，2]上与x轴围成的封闭图形的面积；
（2）当t＞1时，求证：；
（3）求证：．
38．已知函数f（x）1﹣alnx（a∈R）．
（1）若a＝1，求函数y＝f（x）的单调区间；
（2）求证：当a＞0时，函数f（x）的最小值小于零．
▉题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
39．设函数f（x）的定义域为R，f′（x）是其导函数，若3f（x）+f′（x）＞0，f（0）＝1，则不等式f（x）＞e﹣3x的解集是（　　）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，1）
▉题型4 利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
40．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y＝x f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（　　）
A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）
C．f（﹣2）与f（2） D．f（2）与f（﹣2）
41．已知函数f（x）＝acosx﹣x2，则f（x）的极值点的个数情况可能为（　　）
A．没有极值点 B．有无穷多个极值点
C．恰有2025个极值点 D．恰有2026个极值点
42．已知函数f（x）＝m（x﹣1）ex﹣x2+x在上有两个极值点，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）43．已知函数f（x）＝2x3﹣6x+1，则（　　）
A．g（x）＝f（x）﹣1为奇函数
B．f（x）的单调递增区间为（﹣1，1）
C．f（x）的极小值为﹣3
D．若关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有3个不等的实根，则m的取值范围为（﹣3，5）
（多选）44．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的极大值点为
B．f（x）有且仅有3个零点
C．若f（x）在（﹣3，m）上的最大值为，则
D．
45．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）已知实数a≠0．
（ⅰ）讨论关于x的方程的解的个数；
（ⅱ）记，若m（x）＝g（g（x））﹣g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
▉题型5 函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
46．函数y＝f（x）的导数图象如图所示，则下列正确的判断是（　　）
①函数y＝f（x）在（3，+∞）上是单调递增的；
②x＝1是函数f（x）的极大值点；
③x＝4是函数f（x）的极小值点；
④函数f（x）在（﹣3，﹣1）上是单调递减的．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
▉题型6 利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
47．已知函数f（x）＝（x﹣a2）（x﹣1）2在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞1 C．﹣1＜a＜0 D．0＜a＜1
（多选）48．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，，则（　　）
A．曲线y＝f（x）在处的切线方程为
B．当x＜0时，
C．ef（x）+1≤0的解集为[﹣1，1]
D．为函数f（x）的极大值点
（多选）49．已知函数，g（x）＝lnf（x），则（　　）
A．函数f（x）在x＝2处取得极小值
B．存在唯一实数x，使得f（x）＝1
C．若x＞0，则g（x）图象上一点与y＝﹣x图象上一点之间的距离可能为1
D．若x＞0，则g（x）≥﹣2x3f（x）+3x+2
▉题型7 利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
50．已知aeax≥lnx对 x≥3恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
51．若对任意的x1，x2∈（m，+∞），且x1＜x2，都有，则m的最小值是（　　）
（注：e＝2.71828 为自然对数的底数）
A． B．e C．1 D．
▉题型8 利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
52．在边长为8×5cm的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为　 　 cm3．
53．已知函数，直线y＝a与f（x）有两个交点，交点横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，则x2﹣x1的最小值为　 　 ．
54．已知a＞0，b≥0，则的最小值为 ．
▉题型9 利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
55．若直线y＝ex+a与曲线y＝lnx+b相切，则a2+b2的最小值为（　　）
A．4 B．1 C． D．2
56．若点P是曲线y＝x2﹣lnx+1上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（　　）
A．1 B． C． D．
57．若曲线的图象点处的切线的方程为（　　）
A．y＝6x﹣5 B．y＝8x﹣6 C．y＝4x﹣4 D．y＝10x﹣7
58．已知函数f（x）＝ex+ax+1在点x＝0处的切线为l，若l与圆x2+（y+2）2＝1相切，则a的值为（　　）
A． B．
C．或 D．或
（多选）59．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象如图所示，令g（x）＝f（x）+f'（x），则下列关于函数g（x）的说法中正确的是（　　）
A．函数g（x）图象的对称轴方程为
B．函数g（x）的最大值为2
C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：y＝3x﹣1平行
D．方程g（x）＝2的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1﹣x2|最小值为
60．曲线f（x）＝lnx在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 ．第六章第6.2节 利用导数研究函数的性质
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 题型4 利用导数研究函数的极值
题型5 函数在某点取得极值的条件 题型6 利用导数求解函数的极值
题型7 利用导数研究函数的最值 题型8 利用导数求解函数的最值
题型9 利用导数研究曲线上某点切线方程
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
1．当x≠0时，设函数f（x）存在导数f′（x），且满足f（x）+xf′（x）＝ex，若f（1）＝0，则f（﹣1）＝（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解答】解：由f（x）+xf′（x）＝ex，
得[xf（x）]′＝ex，
所以xf（x）＝ex+c，c是常数，
当x＝1时，f（1）＝e+c＝0，所以c＝﹣e，
当x＝﹣1时，﹣f（﹣1）＝e﹣1﹣e，
得．
故选：D．
2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），且当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0，则不等式（x﹣2024）2f（x﹣2024）﹣f（﹣1）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，2025）
B．（2023，2025）
C．（﹣∞，2025）∪（2023，+∞）
D．（﹣∞，2023）∪（2025，+∞）
【答案】D
【解答】解：令F（x）＝x2f（x），则F′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]，
当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0，所以当x＜0时，F′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]＞0，
即F（x）在（﹣∞，0）上是增函数，由题意f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
所以F（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝F（x），所以F（x）是偶函数，在（0，+∞）单调递减，
所以F（x﹣2024）＝（x﹣2024）2f（x﹣2024），F（﹣1）＝（﹣1）2f（﹣1）＝f（﹣1），
即不等式（x﹣2024）2f（x﹣2024）﹣f（﹣1）＜0等价为F（x﹣2024）＜F（﹣1），
所以|x﹣2024|＞1，解得x＜2023或x＞2025．
故选：D．
3．已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）的图象如图所示，则（　　）
A．f′（x1）＞f′（x3）＞f′（x2）
B．f′（x2）＞f′（x1）＞f′（x3）
C．f′（x3）＞f′（x1）＞f′（x2）
D．f′（x1）＞f′（x2）＞f′（x3）
【答案】A
【解答】解：根据导数几何意义可知，f′（x1）＞0，f′（x2）＜0，f′（x3）＝0．
故选：A．
4．若，则以下不等式正确的是（　　）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【答案】D
【解答】解：因为，，，
令，定义域为（0，+∞），则，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
又因为2＜e＜3，所以f（2）＜f（e），f（e）＞f（3），
又，
所以f（2）＜f（3），
所以f（e）＞f（3）＞f（2），即b＞c＞a．
故选：D．
5．函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：，定义域为{x|x≠1}，
∴，
令f'（x）＞0 x∈（﹣∞，0）∪（，+∞），
所以f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，排除A、C，
当x＜0时，2x﹣1＜0，x﹣1＜0，所以f（x）＞0，排除B．
故选：D．
6．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（0＜p＜1），当20辆汽车中恰有18辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X～N（550，σ2），则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9
【答案】A
【解答】解：设20辆汽车中恰有18辆达到标准时的概率为f（p），
则，
则，
当p∈（0，0.9）时，f′（p）＞0，f（p）单调递增，
当p∈（0.9，1）时，f′（p）＜0，f（p）单调递减，
所以f（p）在p＝0.9处取得最大值，即P（X≥500）＝0.9，
又因为X～N（550，σ2），
所以P（X≥600）＝P（X≤500）＝1﹣P（X≥500）＝0.1，
即这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为0.1．
故选：A．
7．已知a＝0.75e0.5，b＝eln1.5，c＝1.125则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】A
【解答】解：构造函数，x＞0，则，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，
当x＞e时，f'（x）＜0，则函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
故f（x）≤f（e）＝lne﹣1＝0，故，当且仅当x＝e时取等号．由于x2＞0，则，
则，则，则，当且仅当时取等号．
当x＝0.75时，，所以eln1.5＜1.125，所以b＜c．
构造函数g（x）＝ex﹣1﹣x，则g'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，g'（x）＞0，当x＜1时，g'（x）＜0，
所以g（x）＝ex﹣1﹣x在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减，
故g（x）≥g（1）＝0，所以ex﹣1≥x，当且仅当x＝1时取等号，
故e2x﹣1≥2x，当且仅当x＝0.5时取等号．
当x＝0.75时，e0.5＞1.5，则0.75e0.5＞0.75×1.5＝1.125，所以a＞c．
综上得：b＜c＜a．
故选：A．
8．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）满足f（x）＞f′（x），则（　　）
A．f（1）＞ef（0） B．f（1）＜ef（0）
C．ef（ln2）＜2f（1） D．f（2）＞ef（1）
【答案】B
【解答】解：构造函数，
因为f（x）＞f′（x），
则，所以函数g（x）为R上的减函数，
则g（1）＜g（0），即，所以f（1）＜ef（0），A错误，B正确；
因为ln2＜1，所以g（ln2）＞g（1），即，
所以ef（ln2）＞2f（1），C错误，
因为g（2）＜g（1），可得：，
所以f（2）＜ef（1），D错误．
故选：B．
9．下列命题正确的是（　　）
A．若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在t＝3秒时的瞬时速度为米/秒
B．命题“ x≥0，ex≥sinx”是真命题
C．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝1
D．已知函数h（x）在R上可导，若，则h′（1）＝2
【答案】B
【解答】解：对于A，，则米/秒，错误；
对于B，令f（x）＝ex﹣sinx，x≥0，因为ex≥1，cosx≤1，
则f′（x）＝ex﹣cosx≥0，
可知函数f（x）在[0，+∞）内单调递增，则f（x）≥f（0），即ex≥sinx，x≥0，
所以命题“ x≥0，ex≥sinx”是真命题，故B正确；
对于C，由，得φ′（x）＝x2﹣xφ′（1）﹣1，故φ′（1）＝12﹣φ′（1）﹣1，
所以φ′（1）＝0，C错误；
对于D，由导数定义知4，
所以，D错误．
故选：B．
10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导数为f′（x），f（x）＞0且f（e）＝1，若xf'（x）lnx+f（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式的解集为（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（e，+∞） D．（0，e）
【答案】C
【解答】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞），
∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∵f（x）＞0，∴不等式等价于f（x）lnx＞1，即g（x）＞0，即g（x）＞g（e），
又∵函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴x＞e，
∴不等式lnx的解集为{x|x＞e}．
故选：C．
11．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由f′（x）的图象知，当x＜﹣m（m＞0）时，f′（x）＜0；
当﹣m＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜m时，f′（x）＜0；
当x＞m时，f′（x）＞0，
∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣m），（0，m）；增区间为（﹣m，0），（m，+∞）．
故选：D．
12．142857被称为世界上最神秘的数字，142857×1＝142857，142857×2＝285714，142857×3＝428571，142857×4＝571428，142857×5＝714285，142857×6＝857142，所得结果是这些数字反复出现，若，则（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【答案】D
【解答】解：由题意知，，
设f（x）＝ex﹣x﹣1（x＞0），f′（x）＝ex﹣1，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）＝ex﹣x﹣1＞f（0）＝0，所以ex＞x+1（x＞0）．
因为x2+2x+1＞1+2x（x＞0），所以，
得，所以，即a＞c；
由ex＞x+1（x＞0），得x＞ln（x+1）（x＞0），所以x﹣1＞lnx（x＞1），即x＞lnx+1（x＞1），
所以，即c＞b．
综上a＞c＞b．
故选：D．
13．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f（x）+1﹣e2x（1+f（﹣x））＝0，f（1）＝e2﹣1，且当x∈（0，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＞1，则不等式f（x﹣1）＞ex﹣1的解集为（　　）
A．（0，2） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】C
【解答】解：由f（x）+1﹣e2x（1+f（﹣x））＝0，得，x∈R，
令，则g（﹣x）＝g（x），即g（x）是R上的偶函数，
求导得，因为当x∈（0，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＞1，
即f′（x）﹣f（x）﹣1＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
，f（x﹣1）＞ex﹣1，即f（x﹣1）+1＞ex，
即，即，即g（x﹣1）＞g（1），即g（|x﹣1|）＞g（1），
所以|x﹣1|＞1，解得x＞2或x＜0，则解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
故选：C．
14．，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
【答案】D
【解答】解：设，则，
x＞e时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
4＞3＞e，则f（4）＜f（3）＜f（e），
所以，即，，
所以，即a＜b＜c．
故选：D．
（多选）15．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，f（1）＝1，若g（x）＝xf′（x）+f（x），则称g（x）是f（x）的“增值”函数．下列函数是f（x）的“增值”函数，则使得f（x）在（0，+∞）上不是单调函数的是（　　）
A．g（x）＝0 B．g（x）＝2 C．g（x）＝x D．g（x）＝ex﹣1
【答案】CD
【解答】解：由函数g（x）＝xf′（x）+f（x），可得函数g（x）＝[xf（x）]′．
对于选项A：根据g（x）＝0，可得xf（x）＝C，C为常数，
令x＝1，那么C＝1，因此，那么f（x）在（0，+∞）上是减函数，因此选项A错误；
对于选项B：根据g（x）＝2可得xf（x）＝2x+C，C为常数，
令x＝1，那么C＝﹣1，因此函数，
那么函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，因此选项B错误；
对于选项C，根据函数g（x）＝x可得，C为常数，
令x＝1，则，因此，
由对勾函数的单调性可知：f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故C正确；
对于D，由g（x）＝ex﹣1可得：xf（x）＝ex﹣1+C，C为常数，
令x＝1，则C＝0，所以，
令f′（x）＞0，可得x＞1，令f′（x）＜0，可得x＜1，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故D正确．
故选：CD．
（多选）16．已知正项等比数列{an}的公比为q，函数，则（　　）
A．当q＝2时，f（x）无极值
B．当q＝3时，f（x）的极小值点为am+2
C．当{an}是递增数列时，f（x）在（am+2，+∞）上单调递增
D．当{an}是递减数列时，f（x）在（am+2，4am）上单调递减
【答案】ABD
【解答】解：正项等比数列{an}的公比为q，函数，
由题意可知：，
，
则f′（x）＝x2﹣（4am+am+2）x+4amam+2＝（x﹣4am）（x﹣am+2），
对于A：q＝2，则，即f（x）单调递增，无极值，A正确；
对于B，q＝3，则f′（x）＝（x﹣4am）（x﹣9am），
所以当x＜4am或x＞9am时，f′（x）＞0，当4am＜x＜9am时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，4am），（9am，+∞）单调递增；在（4am，9am）单调递减，
所以在x＝9am＝am+2处取得极小值，B正确；
对于C：当{an}是递增数列时，f′（x）＝（x﹣4am）（x﹣am+2），
若am+2＜4am，即1＜q＜2，
易知f′（x）＝（x﹣4am）（x﹣am+2）＞0的解集为：（﹣∞，am+2）∪（4am，+∞），
所以f（x）在（﹣∞，am+2），（4am，+∞）单调递增，故C错误；
对于D，当{an}是递减数列时易知am+2＜4am，
所以f′（x）＝（x﹣4am）（x﹣am+2）＜0的解集为：（am+2，4am），
即f（x）在（am+2，4am）上单调递减，D正确．
故选：ABD．
（多选）17．不动点定理是拓扑学中一个非常重要的定理，其应用非常广泛．对于函数y＝f（x），定义方程f（x）＝x的根称为f（x）的不动点．已知有唯一的不动点，则（　　）
A．a＝2e B．f（x）的不动点为
C．f（x）极大值为2 D．f（x）极小值为1
【答案】ABC
【解答】解：由方程f（x）＝x有唯一解，即alnx﹣x2＝0（a＞0）有唯一解，
令g（x）＝alnx﹣x2，可得，解得，
当，可得g′（x）＞0；当，g′（x）＜0；
∴函数g（x）＝alnx﹣x2在内单调递增，在在单调递减，
∴，
且当x趋近于0或+∞时，g（x）趋近于﹣∞，
由题意可知：g（x）max＝0，可得a＝2e，此时，故AB正确；
此时，可得f′（x），
当x∈（0，e），可得f′（x）＞0；当x∈（e，+∞），f′（x）＜0；
可知f（x）在（0，e）内单调递增，在（e，+∞）内单调递减，
∴f（x）的极大值为f（e）＝2，无极小值，故C正确，D错误．
故选：ABC．
18．已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣x+a+1（a≥0）．
（1）当a＝0时，证明：f（x）≤0；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：．
【答案】（1）证明见解答．
（2）当a＝0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当时，f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增；
f（x）在上单调递减；
当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）证明见解答．
【解答】解：（1）证明：当a＝0时，f（x）＝lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），则．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，此时f（x）在（1，+∞）上单调递减；
因此函数f（x）在x＝1处取得极大值，也是最大值；
所以f（x）≤f（1）＝0，所以当a＝0时，f（x）≤0；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由f（x）＝lnx+ax2﹣x+a+1，可得，
令g（x）＝2ax2﹣x+1，x＞0，
（i）当a＝0时，由（1）得f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（ii）当a＞0时，g（x）为开口向上的二次函数，对称轴为；易知g（0）＝1，，
①当时，，此时在（0，+∞）上恒成立，
f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当时，，令g（x）＝2ax2﹣x+1＝0，可得，
当时，g（x）＞0，此时f（x）在上单调递增；
当时，g（x）＜0，
此时f（在（，）上单调递减；
当时，g（x）＞0，此时f（x）在上单调递增；
综上，当a＝0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当时，f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增；
f（x）在上单调递减；
当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）证明：因为f（x）存在两个极值点x1，x2，由（2）知，
且方程2ax2﹣x+1＝0在（0，+∞）上有两个解x1，x2，由韦达定理得，
．
要证成立，只需证，
即证，由，得，
不妨设x1＞x2＞0，即证，即证，
令，即证，
设，则h′（t），
h（t）在（1，+∞）上递增，h（t）＞h（1）＝0，所以成立，
所以．
19．若函数y＝f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），使得f′（x1），f′（x2），则称f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f（x）在[a，b]上的中值点．
（1）判断函数f（x）＝x3﹣3x2+1是否是[﹣1，3]上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数f（x）xlnx﹣ax，存在m＞n＞0，使得f（m）＝f（n），且f（x）是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2是f（x）在[n，m]上的中值点．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x1+x2＞2．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）a的取值范围为（0，+∞）；证明见解析．
【解答】解：函数y＝f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），使得f′（x1），
f′（x2），则称f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，
（1）是，理由如下：
根据条件易知f（3）＝1，f（﹣1）＝﹣3，∴，
又f′（x）＝3x2﹣6x＝1，可得，
显然，符合“双中值函数”定义，
即函数f（x）＝x3﹣3x2+1是[﹣1，3]上的“双中值函数”；
（2）①因为f（m）＝f（n），所以．
因为f（x）是[n，m]上的“双中值函数”，所以f′（x1）＝f′（x2）＝0．
由题意可得f′（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1．
设g（x）＝f′（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1，则．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，则g（x）为减函数，即f′（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）为增函数，即f′（x）为增函数．
故f′（x）min＝f′（1）＝﹣a．
因为f′（x1）＝f′（x2）＝0，且x→0时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，
所以﹣a＜0，所以a＞0，即a的取值范围为（0，+∞）；
②证明：不妨设0＜x1＜1＜x2，
则x1﹣lnx1﹣a﹣1＝0，x2﹣lnx2﹣a﹣1＝0，即x1﹣lnx1＝a+1，x2﹣lnx2＝a+1．
要证x1+x2＞2，可证x1+x2＞a+2，即证x2＞a+2﹣x1＝1﹣lnx1．
设h（x）＝g（x）﹣g（1﹣lnx）＝x﹣1+ln（1﹣lnx）（0＜x＜1），
则．
设φ（x）＝x（1﹣lnx）（0＜x＜1），则φ′（x）＝﹣lnx＞0，
所以φ（x）在（0，1）上单调递增，所以0＜φ（x）＜φ（1）＝1，
所以，则h（x）在（0，1）上单调递减．
因为h（1）＝g（1）﹣g（1）＝0，所以h（x）＞0，即g（x）＞g（1﹣lnx）．
因为0＜x1＜1，所以g（x1）＞g（1﹣lnx1）．
因为g（x1）＝g（x2）＝0，所以g（x2）＞g（1﹣lnx1）．
因为0＜x1＜1，所以1﹣lnx1＞1．
由①可知g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以x2＞1﹣lnx1，即x1+x2＞a+2＞2得证．
20．已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
（2）在图中画出函数f（x）的大致图象；
（3）若方程f（x）＝2m2﹣m（m∈R）有2个解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，f（x）有极大值1，无极小值；
（2）函数图像见解析；
（3）．
【解答】解：（1）函数的定义域为R，，
令f′（x）＞0，解得x＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；
令f′（x）＜0，解得x＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当x＝0时，f（x）有极大值f（0）＝1，无极小值．
（2）函数f（x）经过特殊的点A（0，1），B（﹣1，0），
当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
当x→+∞时，与一次函数相比，指数函数y＝ex呈爆炸性增长，从而，
根据以上信息及（1）的单调区间，画出f（x）的大致图象如图：
（3）若方程f（x）＝2m2﹣m有2个解，
即函数y＝f（x）的图象和y＝2m2﹣m的图象有2个交点，
结合图象得0＜2m2﹣m＜1，解得或．
所以实数m的取值范围为．
21．已知函数f（x）＝x2﹣2alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）单调性；
（2）当时，求函数f（x）的图象过原点（0，0）的切线方程；
（3）证明：当时，对任意x＞0成立．
【答案】（1）当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在上单调递减；f（x）在上单调递增．
（2）y＝x．
（3）证明见解答．
【解答】解：（1），
当a＞0时，f（x）在上单调递减；f（x）在上单调递增；
当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）当时，函数f（x）＝x2﹣lnx，导函数，设切点为，
那么切线为，
因此，所以，
令函数φ（x）＝x2+lnx﹣1，导函数，因此φ（x）单调递增，
令函数φ（x）＝0，x＝1是唯一解，因此切点为（1，1），切线为y＝x．
（3）证明：当时，成立，
令，，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
g（x）的最小值为，当时，，
即g（x）≥0成立，原不等式得证．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
22．已知函数f（x）＝﹣x2+8x+alnx在区间（4，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A．[0，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]
【答案】C
【解答】解：因为函数f（x）＝﹣x2+8x+alnx在区间（4，+∞）上是减函数，
所以x∈（4，+∞），0恒成立．
所以x∈（4，+∞），a≤2x2﹣8x恒成立．
设g（x）＝2x2﹣8x，x∈（4，+∞），
因为对称轴为x＝2，所以g（x）＝2x2﹣8x在（4，+∞）为增函数，
所以g（x）＞g（4）＝0，所以a≤0．
故选：C．
23．已知函数f（x）＝ex+x，g（x）＝lnx+x，若f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为（　　）
A．﹣e B． C．﹣1 D．
【答案】B
【解答】解：∵f（x）＝ex+x，g（x）＝lnx+x，f（x1）＝g（x2），
∴，
令h（x）＝ex+x，h′（x）＝ex+1＞0，
∴h（x）＝ex+x在R上单调递增，
∴x1＝lnx2，即，
∴，
令u（x）＝xex，
则u′（x）＝x′ex+x（ex）′＝ex+xex
即u′（x）＝ex（x+1），
令u′（x）＜0，解得x＜﹣1，即当x∈（﹣∞，﹣1）时，u（x）单调递减；
令u′（x）＞0，解得x＞﹣1，即当x∈（﹣1，+∞）时，u（x）单调递增；
∴当x＝﹣1时，函数u（x）＝xex取得最小值，
即，
∴．
故选：B．
24．已知f（x）＝x2﹣2x﹣3，g（x）＝f（5﹣x2），那么（　　）
A．g（x）在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减
B．g（x）在区间（﹣2，0）上单调递减
C．x＝0是g（x）的极小值点
D．x＝2是g（x）的极大值点
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x﹣3，g（x）＝f（5﹣x2），
所以g（x）＝（5﹣x2）2﹣2（5﹣x2）﹣3＝x4﹣8x2+12，x∈R，
g′（x）＝4x3﹣16x＝4x（x+2）（x﹣2），令g′（x）＝0得x＝0或﹣2或2，
g′（x）＜0 x＜﹣2或0＜x＜2，g′（x）＞0 ﹣2＜x＜0或x＞2，
所以g（x）在（﹣∞，﹣2），（0，2）上递减，在（﹣2，0），（2，+∞）上递增，A正确，B错误；
x＝0是极大值点，x＝2是极小值点，C、D错误．
故选：A．
25．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下列判断错误的是（　　）
A．y＝f（x）在区间（﹣1，2）上是增函数
B．y＝f（x）在区间（1，3）上是减函数
C．y＝f（x）在区间（4，5）上是增函数
D．y＝f（x）在区间（﹣3，﹣2）上是减函数
【答案】B
【解答】解：对A：由导函数f'（x）的图象知，在区间（﹣1，2）上，f′（x）＞0，故y＝f（x）在区间（﹣1，2）上单调递增，故A项正确；
对B：在区间（1，3）上，f′（x）有大于零和小于零的部分，故y＝f（x）在区间（1，3）上不单调，故B项错误；
对C：在区间（4，5）上，f′（x）＞0，所以函数y＝f（x）在区间（4，5）上单调递增，故C项正确．
对D：在区间（﹣3，﹣2）上，f′（x）＜0，故y＝f（x）在区间（﹣3，﹣2）上是减函数，故D项正确．
故选：B．
（多选）26．函数f（x）＝2xlnx+ax2﹣x，则下列说法正确的是（　　）
A．当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数
B．当a＝2时，f（x）在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．f（x）在（0，+∞）上为减函数，则a
D．当a＜0时，F（x）＝f（x）+ax有且只有一个零点，则a∈（，）
【答案】BD
【解答】解：对于A，f'（x）＝2lnx+2ax+为增函数，x→0时f′（x）趋向负无穷，x→+∞时f′（x）趋向正无穷，
所以存在x0∈（0，+∞）使f'（x0）＝0，
故x∈（0，x）上f′（x）＜0，f（x）在（0，xo）上为减函数，A错；
对于B，由题设f′（x）＝2lnx+4x+1，则f′（1）＝5，且f（1）＝1，
所以f（x）在x＝1处的切线方程为y＝5x﹣4，
切线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为（0，﹣4），
所以f（x）在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，B对；
对于C，因为函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
则在（0，+∞）上f′（x）＝2lnx+2ax+1≤0恒成立，即，
令g（x），则，
易知0＜x时，g′（x）＜0，时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，
所以，C错；
对于D，函数F（x）＝f（x）+ax＝2xlnx+ax2﹣x+ax有且只有一个零点，
即2xlnx+ax2﹣x+ax＝0有唯一解，则，
令，且x＞0，则，
令，显然在（0，+∞）上为增函数，，
则 x0∈（5，6），使得，
易知0＜x＜x0时，h（x0）＜0，x＞x0时，h（x0）＞0，
则g（x）在（0，x0）为减函数，在（x0，+∞）为增函数，
则，
当a＜0时，→∞，→0，
所以有且只有一个解时，，即，D对．
故选：BD．
（多选）27．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（2）＜f（3）
B．若方程f（x）＝aex﹣1有两个不相等的实数根，则
C．存在x∈（0，+∞），使f（f（x））＝0
D．若不等式f（x）≤eax﹣x+a恒成立，则
【答案】ABD
【解答】解：由于函数，因此导函数，
因此函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，在（0，e）上单调递增，
．
根据函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，得f（3）＞f（4）＝f（2），因此选项A正确．
根据函数f（x）＝aex﹣1，得，因此lnx+x＝ln（xex）＝axex．
易知y＝xex在（0，+∞）上单调递增．令xex＝t，那么lnt＝at，因此，
即y＝a与有两个交点，因此，因此选项B正确．
由于f（1）＝0，且当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，
因此由f（f（x））＝0，得，因此选项C错误．
根据f（x）≤eax﹣x+a，得，因此xeax+ax≥x2+lnx，
即．
令g（x）＝ex+x，易知函数g（x）在R上单调递增．
因为，所以g（lnx+ax）≥g（lnx2），
所以lnx+ax≥lnx2，所以，，故D正确．
故选：ABD．
（多选）28．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex，则下列结论正确的是（　　）
A．若f（x）在（﹣a，a）上单调递减，则a的最大值为1
B．当x＞0时，f（x）+3x＞0
C．当x＜0时，f（x）+3x＜0
D．存在直线l，使得l与y＝f（x）的图象有4个交点
【答案】BCD
【解答】解：由f（x）＝（x2﹣2x）ex，可得f′（x）＝（x2﹣2）ex，
由f′（x）＜0，解得，
则a的最大值为，故A不正确；
当x＞0时，f（x）+3x＞0，即（x﹣2）ex+3＞0．
设g（x）＝（x﹣2）ex+3，则g′（x）＝（x﹣1）ex，
易知函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）在x＝1处取得最小值g（1）＝3﹣e＞0，故B正确；
当x＜0时，f（x）+3x＜0，即（x﹣2）ex+3＞0．
由B选项的过程知，在x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，g（x）＞g（0）＝1＞0，故C正确；
画出f（x）的图象如图，
可知存在直线l，使得l与y＝f（x）的图象有4个交点，故D正确．
故选：BCD．
（多选）29．设函数f（x）＝ex﹣e﹣x，则下列说法正确的是（　　）
A．曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝2x
B．记f（x）的导函数为f′（x），若方程f′（x）＝a恰有两个解，则a的取值范围是（2，+∞）
C．设g（x）＝2sinx﹣f（x），则关于x的不等式g（x2﹣4）+g（3x）＜0的解集为（﹣4，1）
D．设h（x）＝f（x﹣3）+x，则
【答案】ABD
【解答】解：由题意，f'（x）＝ex+e﹣x，则f'（0）＝2．又f（0）＝0，
所以曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y﹣0＝2（x﹣0），即y＝2x，故选项A正确；
f'（x）＝ex+e﹣x，根据基本不等式可得，
当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0时等号成立，
所以f'（x）＝ex+e﹣x的最小值是2，
当x→﹣∞时，f'（x）→+∞，当x→+∞时，f'（x）→+∞，
所以若方程f'（x）＝a恰有两个解，则a的取值范围是（2，+∞），故选项B正确；
g（x）＝2sinx﹣f（x）＝2sinx﹣（ex﹣e﹣x），
g（﹣x）＝2sin（﹣x）﹣（e﹣x﹣ex）＝﹣2sinx﹣（e﹣x﹣ex）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数，
对g（x）求导，g'（x）＝2cosx﹣（ex+e﹣x），
因为ex+e﹣x≥2，2cosx∈[﹣2，2]，所以g'（x）≤0，g（x）在R上单调递减，
由g（x2﹣4）+g（3x）＜0得g（x2﹣4）＜﹣g（3x）＝g（﹣3x），
根据单调性可得x2﹣4＞﹣3x，即x2+3x﹣4＞0，即（x+4）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣4，故选项C错误；
h（x）＝f（x﹣3）+x＝（ex﹣3﹣e3﹣x）+x，
h（6﹣x）＝f（3﹣x）+6﹣x＝（e3﹣x﹣ex﹣3）+6﹣x，
则h（x）+h（6﹣x）＝（ex﹣3﹣e3﹣x）+x+（e3﹣x﹣ex﹣3）+6﹣x＝6，
因为，
，h（）+h（）＝6，…，共338组余，h（3）＝f（0）+3＝3，
所以338×6+3＝2028+3＝2031，故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）30．已知函数f（x）与其导函数f′（x）的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数g（x）的结论不正确的是（　　）
A．在区间（3，6）上单调递减
B．在区间（﹣3，1）上单调递增
C．当x＝1时，函数g（x）有极小值
D．当x＝﹣3时，函数g（x）有极小值
【答案】ABD
【解答】解：根据函数，有导函数，
根据图可知f（x），f′（x）的分布如图所示：
当3＜x＜6时，导函数f′（x）＞0，函数f（x）＜0，f′（x）﹣f（x）＞0，因此导函数g′（x）＞0，
因此函数g（x）在（3，6）单调递增，故A错误；
当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜f（x）＜0，因此f′（x）﹣f（x）＜0，所以g′（x）＜0，
函数g（x）在（﹣3，1）单调递减，故B错误；
当x＝1时，f′（x）＝f（x），因此g′（x）＝0，根据图可知当﹣3＜x＜1时，导函数g′（x）＜0，
当1＜x＜3时，导函数g′（x）＞0，
因此g（x）在（1，3）单调递增，在（﹣3，1）单调递减，
因此x＝1时函数g（x）的极小值点，因此当x＝1时，函数g（x）有极小值，故C正确；
当x＝﹣3时，f′（x）＝f（x），所以g′（x）＝0，由图可知当x＜﹣3时，f′（x）＞0＞f（x），
所以f′（x）﹣f（x）＞0，所以g′（x）＞0，
所以g（x）在（﹣∞，﹣3）单调递增，所以当x＝﹣3时，函数g（x）有极大值，故D错误．
故选：ABD．
（多选）31．已知函数f（x）＝xex，则下列结论正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）存在极小值
B．
C．当x＜0时，f（x）＜0
D．若函数g（x）＝f（x）﹣kx有且仅有两个零点，则k＞0且k≠1
【答案】ACD
【解答】解：f′（x）＝（x+1）ex，
当x＞﹣1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故函数在x＝﹣1处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A正确；
当x＞﹣1时，函数f（x）单调递增，且，所以，B错误：
当x＜0时，xex＜0，易知C正确；
由f（x）＝kx得x（ex﹣k）＝0，若函数g（x）有两个零点，只需k＞0且k≠1，D正确．
故选：ACD．
32．若函数在定义域上单调递增，则　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意知，在x＞﹣1时恒成立，
即x2+（2m﹣m2）x≥0在x＞﹣1时恒成立，即x[x+（2m﹣m2）]≥0在x＞﹣1时恒成立，
所以2m﹣m2＝0，解得m＝2或m＝0（舍去）．
故答案为：2．
33．已知a，b，c∈（0，1），且a﹣5＝lna﹣ln5，b﹣4＝lnb﹣ln4，c﹣3＝lnc﹣ln3，则a，b，c的大小关系是 a＜b＜c （用“＜”号连接）．
【答案】a＜b＜c．
【解答】解：设f（x）＝x﹣lnx，
则，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又a﹣5＝lna﹣ln5，
则a﹣lna＝5﹣ln5，
则f（a）＝f（5），
又b﹣4＝lnb﹣ln4，
则b﹣lnb＝4﹣ln4，
则f（b）＝f（4），
又c﹣3＝lnc﹣ln3，
则c﹣lnc＝3﹣ln3，
则f（c）＝f（3），
因为5＞4＞3＞1，
所以f（5）＞f（4）＞f（3），
即f（a）＞f（b）＞f（c），
而a，b，c∈（0，1），
所以a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c．
34．已知函数f（x）＝2xlnx﹣a（x2﹣1）（a∈R）．
（1）若a＝1，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（2）若f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：．
【答案】（1）证明见解析．
（2）a∈[1，+∞）．
（3）证明见解析．．
【解答】解：（1）证明：由a＝1，那么函数f（x）＝2xlnx﹣（x2﹣1），
因此导函数f′（x）＝2+2lnx﹣2x，令函数h（x）＝2+2lnx﹣2x，
那么导函数，令h′（x）＝0，则x＝1，
因此x∈（1，+∞），导函数h′（x）＜0，h（x）在x∈（1，+∞）单调递减，
x∈（0，1），导函数h′（x）＞0，h（x）在x∈（0，1）单调递增，
因此导函数f′（x）＝h（x）≤h（1）＝2+0﹣2＝0，
那么函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递减；
（2）根据f（x）≤0在[1，+∞）恒成立，
那么在[1，+∞）恒成立，
令函数在[1，+∞）恒成立，
导函数，令函数h（x）＝ax2﹣2x+a，
当a≤0时，函数h（x）＝ax2﹣2x+a，a≤0，x2≥1，因此h（x）＜0
因此导函数g′（x）＜0，那么函数在[1，+∞）单调递减，
因此g（x）≤g（1）＝0，这与g（x）≥0在[1，+∞）恒成立矛盾，因此a≤0不满足条件，
当a＞0时，函数h（x）＝ax2﹣2x+a，对称轴，
如果根的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4a2＝4﹣4a2≤0，即a≥1，
当a≥1时，x∈[1，+∞），根的判别式Δ＝4﹣4a2≤0，函数h（x）＝ax2﹣2x+a≥0，
因此导函数g′（x）≥0，那么函数在[1，+∞）单调递增，
因此g（x）≥g（1）＝0，因此a≥1．
如果根的判别式Δ＝4﹣4a2＞0，即0＜a＜1，
当0＜a＜1时，函数h（x）＝ax2﹣2x+a＝0，那么
因此当x∈（1，x1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在x∈（1，x1）单调递增，
当x∈（x1，x2）时，g′（x）＜0，函数g（x）在x∈（x1，x2）单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）在x∈（x1，x2）单调递增，
因此g（x2）≤g（1）＝0与g（x）≥0在[1，+∞）恒成立矛盾，
所以a∈[1，+∞）．
（3）证明：a＝1时，（x≥1）
故x＞1时，，
令，则，k＝1，2， ，n，
则n个不等式相加
故n∈N*．
35．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x﹣1．
（1）当a＝﹣5时，则过点（0，2）的曲线f（x）的切线有几条？并写出其中一条切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有唯一零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣32x+2；
（2）当a＝0时，f（x）在R上单调递增，无递减区间；
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a）和上单调递增，在上单调递减；
当a＜0时，f（x）在和（﹣a，+∞）上单调递增，在上单调递减；
（3）．
【解答】解：（1）当a＝﹣5时，f（x）＝x3﹣5x2﹣25x﹣1，函数定义域为R，
可得f′（x）＝3x2﹣10x﹣25，
设切点为（x0，y0），
因为切线过点（0，2），
所以切线斜率存在，
设切线方程为y＝kx+2，
此时，
整理得，
易知方程的判别式Δ＞0，
所以该方程有2个不等实根且不为1，
则有3个不等的实根，
即共有3条切线，其中一条切线的切点横坐标为1，
此时k＝3﹣10﹣25＝﹣32，
则切线方程为y＝﹣32x+2；
（2）易知f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a），
当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，
所以f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，，
当x＜﹣a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当a＜0时，，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞﹣a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，当a＝0时，f（x）在R上单调递增，无递减区间；
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a）和上单调递增，在上单调递减；
当a＜0时，f（x）在和（﹣a，+∞）上单调递增，在上单调递减；
（3）当a＝0时，f（x）＝x3﹣1，
此时函数仅有1个零点1；
当a＞0时，由（2）知，f（x） 的极大值为f（﹣a），
当x→+∞时，f（x）→+∞，
若f（x）有唯一零点，
此时f（﹣a）＝﹣a3+a3+a3﹣1＜0，
解得a＜1，
即a∈（0，1）；
当a＜0时，由（2）知，f（x）的极大值为，
若f（x）有唯一零点，
此时，
解得，
即．
综上，实数a的取值范围为．
36．已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣4x+5恰有两个极值点x1、x2．
①求a的取值范围；
②证明：g（x1）+g（x2）＞lna．
【答案】（1）答案见解析
（2）①（0，4）；②证明见解析．
【解答】解：（1）由题意知．
当a＜0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得，
此时，函数f（x）的减区间为，增区间为；
当a≥0时，f′（x）＞0，所以f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
综上所述，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（2）①由题意知，
所以，
因g（x）恰有两个极值点x1、x2，
所以方程g′（x）＝0，即方程x2﹣4x+a＝0有两不等正根，
所以，解得0＜a＜4，
即a的取值范围为（0，4）；
②证明：由①知x1+x2＝4，x1x2＝a，
所以，
所以g（x1）+g（x2）﹣lna＝（a﹣1）lna﹣a+2，
令h（a）＝（a﹣1）lna﹣a+2，其中0＜a＜4，
所以，
因为函数y＝lna、在（0，4）上均为增函数，
则函数h′（a）在（0，4）上单调递增，
又h′（1）＝﹣1＜0，，
所以 a0∈（1，2），使得g′（a0）＝0，即，
当0＜a＜a0时，h′（a）＜0，当a0＜a＜4时，h′（a）＞0，
所以h（a）在（0，a0）上单调递减，在（a0，4）上单调递增，
又在（1，2）上单调递增，则，
所以，所以h（a）＞0，所以g（x1）+g（x2）＞lna．
37．如果函数F（x）的导数F′（x）＝f（x），可记为F（x）＝f（x）dx．若f（x）＞0，则F（b）﹣F（a）表示曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b以及x轴围成的“曲边梯形”的面积．
（1）求曲线xy＝1在x∈[1，2]上与x轴围成的封闭图形的面积；
（2）当t＞1时，求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）ln2；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）由xy＝1，得，
令，则G（x）＝lnx+c（c是常数），
则曲线xy＝1在x∈[1，2]上与x轴围成的封闭图形的面积G（2）﹣G（1）＝ln2+c﹣（ln1+c）＝ln2．
（2）证明：令，可得（m是常数），
所以，
要证，只需证，
令，
当t＞1时，，
所以f（t）在（1，+∞）上单调递减，所以当t＞1时，，
所以，即．
（3）证明：由（2）得，当t＞1时，．
因为，所以，
即，
所以，
，
，
……
，
累加可得，
即，
所以．
38．已知函数f（x）1﹣alnx（a∈R）．
（1）若a＝1，求函数y＝f（x）的单调区间；
（2）求证：当a＞0时，函数f（x）的最小值小于零．
【答案】（1）单调增区间为（1，+∞）；单调减区间为（0，1）；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a＝1时，，，
当时，解得x＞1，函数y＝f（x）的单调增区间为（1，+∞），
当时，解得x＜1，函数y＝f（x）的单调减区间为（0，1），
故函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）；单调减区间为（0，1）；
（2）证明：0，
由f'（x）＝0，解得，
当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以．
令，则，
令，解得a＝1．
当a∈（0，1）时，h'（a）＞0，函数h（a）在区间（0，1）上单调递增；
当a∈（1，+∞）时h'（α）＜0，函数h（a）在区间（1，+∞）上单调递减；
所以a＝1时，h（a）max，
所以f（x）min＜0．
▉题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
39．设函数f（x）的定义域为R，f′（x）是其导函数，若3f（x）+f′（x）＞0，f（0）＝1，则不等式f（x）＞e﹣3x的解集是（　　）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，1）
【答案】A
【解答】解：令g（x）＝e3xf（x），则g'（x）＝3e3xf（x）+e3xf'（x），
因为3f（x）+f′（x）＞0，所以3e3xf（x）+e3xf'（x）＞0，
所以g′（x）＞0，所以函数g（x）＝e3xf（x）在R上单调递增，
而f（x）＞e﹣3x可化为e3xf（x）＞1，又g（0）＝e3×0f（0）＝1，
即g（x）＞g（0），解得x＞0，
所以不等式f（x）＞e﹣3x的解集是（0，+∞）．
故选：A．
▉题型4 利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
40．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y＝x f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（　　）
A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）
C．f（﹣2）与f（2） D．f（2）与f（﹣2）
【答案】C
【解答】解：由y＝x f′（x）的图象知，
x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，2）时，f′（x）≤0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0
∴当x＝﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）；当x＝2时，f（x）有极小值f（2）
故选：C．
41．已知函数f（x）＝acosx﹣x2，则f（x）的极值点的个数情况可能为（　　）
A．没有极值点 B．有无穷多个极值点
C．恰有2025个极值点 D．恰有2026个极值点
【答案】C
【解答】解：由题意可得f′（x）＝﹣asinx﹣2x．
令f′（x）＝0，可得asinx＝﹣2x．
则f（x）的极值点个数等价于函数y＝asinx与y＝﹣2x图象的交点（不算切点）的个数．
当a＝0时，y＝asinx＝0，y＝﹣2x与y＝0只有一个交点（0，0），且在该点两侧导数符号改变，所以此时f（x）有1个极值点；
当a≠0时，y＝asinx与y＝﹣2x都是奇函数，图象关于原点对称，
y＝asinx是周期函数，y＝﹣2x是过原点的直线，
随着a的取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图象的交点（不算切点）的个数只能是有限个，且是奇数个（因为关于原点对称）．
所以该函数可能恰有2025个极值点．
故选：C．
42．已知函数f（x）＝m（x﹣1）ex﹣x2+x在上有两个极值点，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：因为函数f（x）＝m（x﹣1）ex﹣x2+x在上有两个极值点，
所以f′（x）在上有两个变号零点，
因为f′（x）＝mxex﹣2x+1，令f′（x）＝0，即mxex﹣2x+1＝0，可得，
令，则，
令h′（x）＞0，得，令h′（x）＜0，得1＜x＜2，
所以函数h（x）在上递增，在（1，2）上递减，
因为，，，如下图所示：
当时，直线y＝m与函数h（x）在上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
由图可知，当或x2＜x＜2时，，此时，，
当x1＜x＜x2时，，此时，，
所以函数f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，2）上递增，
此时函数f（x）有两个极值点，合乎题意，
因此，实数m的取值范围为．
故选：B．
（多选）43．已知函数f（x）＝2x3﹣6x+1，则（　　）
A．g（x）＝f（x）﹣1为奇函数
B．f（x）的单调递增区间为（﹣1，1）
C．f（x）的极小值为﹣3
D．若关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有3个不等的实根，则m的取值范围为（﹣3，5）
【答案】ACD
【解答】解：由f（x）＝2x3﹣6x+1，得f′（x）＝6x2﹣6＝6（x﹣1）（x+1），
对于A，由g（x）＝f（x）﹣1＝2x3﹣6x，定义域为R，关于原点对称，
且g（﹣x）＝2（﹣x）3﹣6（﹣x）＝﹣2x3+6x＝﹣g（x），故g（x）为奇函数，A正确；
对于B，由f′（x）＝6（x﹣1）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞1，
即函数f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），B错误；
对于C，由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的递减区间为（﹣1，1），
结合B选项中的解答，函数f（x）的极小值为f（1）＝﹣3，C正确；
对于D，结合B，C选项的解答可知：函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在区间（﹣1，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
极大值为f（﹣1）＝5，极小值为f（1）＝﹣3，
又由关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有3个不等的实根，
即函数y＝f（x）与y＝m的图象有3个不同的交点，可得﹣3＜m＜5，
所以实数m的取值范围为（﹣3，5），所以D正确．
故选：ACD．
（多选）44．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的极大值点为
B．f（x）有且仅有3个零点
C．若f（x）在（﹣3，m）上的最大值为，则
D．
【答案】BCD
【解答】解：A选项，由函数，
可得f′（x）＝2x2﹣2x﹣12＝2（x﹣3）（x+2），
令f′（x）＞0，解得x＜﹣2或x＞3；令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜3，
所以函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，3）上单调递减，在（3，+∞）单调递增，
当x＝﹣2时，f（x）取得极大值，极大值为，所以极大值点为﹣2，A错误；
B选项，由A知，当x＝3时，f（x）取得极小值，
极小值，且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，
当x→+∞时，f（x）→+∞，，
所以函数f（x）有3个零点，所以B正确；
C选项，令，
即2x3﹣3x2﹣36x﹣44＝0，整理得（2x﹣11）（x﹣2）2＝0，解得x＝﹣2或x，
若f（x）在（﹣3，m）上的最大值为，则﹣2＜m，故C正确；
D选项，由f′（x）＝2x2﹣2x﹣12，可得f″（x）＝4x﹣2，
令f″（x）＝0，可得，
又由，
所以点是函数f（x）的对称中心；
因为是函数f（x）的对称中心，所以f（x）+f（1﹣x）＝4，
令，
可得，
所以
，
所以S＝4048，即，故D正确．
故选：BCD．
45．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）已知实数a≠0．
（ⅰ）讨论关于x的方程的解的个数；
（ⅱ）记，若m（x）＝g（g（x））﹣g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）极大值f（﹣2）＝2e，无极小值；
（Ⅱ）（i）当a＞0时，y＝a，y＝F（x）有两个交点，即关于x的方程af（x）有有两解；
当a＜0时，y＝a，y＝F（x）有一个交点，即关于x的方程af（x）有一解．
（ii）．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数，
所以，
令f'（x）＝0，解得x＝﹣2，
故当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
故当x＝﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）＝2e，无极小值．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，，
显然，x＝﹣4不是方程的根，
所以，
记，
因为（当且仅当x＝﹣2取等号），
所以F（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣4，+∞）上均单调递增，
作出函数F（x）的大致图象如图所示，
观察可知，当a＞0时，y＝a，y＝F（x）有两个交点，即关于x的方程af（x）有有两解；
当a＜0时，y＝a，y＝F（x）有一个交点，即关于x的方程af（x）有一解．
（ⅱ）令t＝g（x），
则m（x）＝g（g（x））﹣g（x）＝0 g（t）＝t，
当a＞0，由（ⅰ）知，此时g（x）＝t有两个解，设为ti（其中i∈{1，2}，t2＞t1）．
m（x）的零点个数，即方程g（x）＝ti的解的个数，
由g（x）＝ti＝g（ti），得，
令，则，
由n'（x）＝0，得x＝﹣3，
当x＜﹣3时，n'（x）＞0，n（x）单调递增；
当x＞﹣3时，n'（x）＜0，n（x）单调递减，
n（x）的大致图象如图所示，
因为t1∈（﹣∞，﹣4），所以此时只有一个解x1＝t1；
因为t2∈（0，+∞），所以此时有两个解x2＝t2，﹣4＜x3＜﹣3，
故m（x）共有三个零点，不满足题意；
当a＜0，由（ⅰ）知，此时g（x）＝t只有一个解，设为t3，
同理，
当t3＝﹣3时，只有一个解x＝﹣3，不满足题意，此时，
当t3∈（﹣4，﹣3）∪（﹣3，0）时，有两个解，满足题意；
综上所述，实数a的取值范围为．
▉题型5 函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
46．函数y＝f（x）的导数图象如图所示，则下列正确的判断是（　　）
①函数y＝f（x）在（3，+∞）上是单调递增的；
②x＝1是函数f（x）的极大值点；
③x＝4是函数f（x）的极小值点；
④函数f（x）在（﹣3，﹣1）上是单调递减的．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】C
【解答】解：结合函数图象可得，当﹣3＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当2＜x＜4时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞4时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故x＝﹣1，x＝4为函数的极小值点，x＝2为函数的极大值点．
故选：C．
▉题型6 利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
47．已知函数f（x）＝（x﹣a2）（x﹣1）2在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞1 C．﹣1＜a＜0 D．0＜a＜1
【答案】A
【解答】解：函数f（x）＝（x﹣a2）（x﹣1）2，
则f′（x）＝（x﹣1）2+2（x﹣a2）（x﹣1）＝（x﹣1）（3x﹣1﹣2a2），
令f′（x）＝0，可得x＝1或x，
因为函数f（x）在x＝1处取得极小值，
所以在x＝1两侧导数需满足左负右正，
所以1，解得﹣1＜a＜1．
故选：A．
（多选）48．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，，则（　　）
A．曲线y＝f（x）在处的切线方程为
B．当x＜0时，
C．ef（x）+1≤0的解集为[﹣1，1]
D．为函数f（x）的极大值点
【答案】ACD
【解答】解：对于A：依题意，
故，又，
故所求切线方程为，故A正确；
对于B：当x＜0时，﹣x＞0，又f（x）是偶函数，
所以，故B错误；
对于C：，
由于f（x）是偶函数，可先只考虑[0，+∞）上的情况，
因为，
所以当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，且f（x）＞0，
又，
所以在[0，+∞）上的解集为[0，1]，
由偶函数的对称性，可得ef（x）+1≤0的解集为[﹣1，1]，故C正确；
对于D：因为为函数f（x）的极大值点，
由偶函数的对称性，可知为函数f（x）的极大值点，故D正确．
故选：ACD．
（多选）49．已知函数，g（x）＝lnf（x），则（　　）
A．函数f（x）在x＝2处取得极小值
B．存在唯一实数x，使得f（x）＝1
C．若x＞0，则g（x）图象上一点与y＝﹣x图象上一点之间的距离可能为1
D．若x＞0，则g（x）≥﹣2x3f（x）+3x+2
【答案】ABD
【解答】解：对于A，由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，
当x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减；
当x＝2时，f（x）取得极小值，故A正确；
对于B，令，得ex﹣x2＝0，且x≠0，
令h（x）＝ex﹣x2，x∈R，则h′（x）＝ex﹣2x，
令φ（x）＝ex﹣2x，则φ′（x）＝ex﹣2，
令φ′（x）＝ex﹣2＝0，解得x＝ln2，
当x＜ln2时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x＞ln2时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
所以φ（x）在x＝ln2处取得最小值φ（ln2）＝eln2﹣2ln2＝2﹣2ln2＞0，
则φ（x）＞0成立，即h′（x）＞0，从而h（x）在R上单调递增，
又因为h（0）＝e0﹣02＝1＞0，，h（0）h（﹣1）＜0，
所以h（x）＝ex﹣x2＝0有且仅有一个实数根，且此根在区间（﹣1，0）上，
即存在唯一实数x（x≠0），使得f（x）＝1，故B正确；
对于C，，
设P（x0，x0﹣2lnx0）是g（x）图象上一点，
则点P到直线y＝﹣x的距离，
设m（x）＝2x﹣2lnx，（x＞0），则，
当0＜x＜1时，m′（x）＜0，m（x）单调递减；
当x＞1时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
所以m（x）min＝m（1）＝2，
则，
所以g（x）图象上一点与y＝﹣x图象上一点之间的距离不可能为1，故C错误；
对于D，当x＞0时，g（x）≥﹣2x3f（x）+3x+2等价于，
即xex﹣x﹣lnx﹣1≥0，即ex+lnx﹣（x+lnx）﹣1≥0．
令x+lnx＝t，则et﹣t﹣1≥0，
设n（t）＝et﹣t﹣1，则n′（t）＝et﹣1，
当t＜0时，n′（t）＜0，n（t）单调递减；当t＞0时，n′（t）＞0，n（t）单调递增，
所以n（t）min＝n（0）＝0，
所以n（t）≥0，即ex+lnx﹣（x+lnx）﹣1≥0，即g（x）≥﹣2x3f（x）+3x+2，故D正确．
故选：ABD．
▉题型7 利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
50．已知aeax≥lnx对 x≥3恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设f（t）＝tet（t＞0），则f′（t）＝（t+1）et．
∵t＞0时，f′（t）＝（t+1）et＞0，∴f（t）在（0，+∞）上单调递增．
已知aeax≥lnx对 x≥3恒成立，当x＝3时，ae3a≥ln3＞0，则有a＞0，
当a＞0时，aeax≥lnx可变形为axeax≥xlnx＝lnx elnx．
∵f（t）在（0，+∞）上单调递增，且ax＞0，lnx＞0（x≥3），
∴由axeax≥lnx elnx可得ax≥lnx，即对 x≥3恒成立．
设，则．
当x≥3时，lnx≥ln3＞1，∴1﹣lnx＜0，x2＞0，则．
这说明g（x）在[3，+∞）上单调递减，那么g（x）在[3，+∞）上的最大值为．
∵对 x≥3恒成立，∴，即实数a的取值范围是．
故选：A．
51．若对任意的x1，x2∈（m，+∞），且x1＜x2，都有，则m的最小值是（　　）
（注：e＝2.71828 为自然对数的底数）
A． B．e C．1 D．
【答案】A
【解答】解：由题意可知，x2＞x1＞0，所以x2﹣x1＞0，
则等价于x1lnx2﹣x2lnx1＜2（x2﹣x1），
即x1lnx2+2x1＜x2lnx1+2x2，
所以x1（lnx2+2）＜x2（lnx1+2），
故，
令，
则f（x2）＜f（x1），
又x2＞x1＞m，
所以f（x）在（m，+∞）上是减函数，
则f'（x），解得，
故，
所以m的最小值为．
故选：A．
▉题型8 利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
52．在边长为8×5cm的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为　18　 cm3．
【答案】18．
【解答】解：根据题目：边长为8×5cm的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），
设小正方形的边长为x，依题意，箱子容积V（x）＝（8﹣2x）（5﹣2x）x＝4x3﹣26x2+40x，
由，解得0＜x＜2.5，所以V（x）的定义域为（0，2.5）．
则V′（x）＝12x2﹣52x+40＝4（3x﹣10）（x﹣1），
所以V（x）在区间（0，1），V′（x）＞0，V（x）单调递增；
在区间（1，2.5），V′（x）＜0，V（x）单调递减，
所以当x＝1cm时，V（x）取到最大值，且最大值为V（1）＝18cm3．
故答案为：18．
53．已知函数，直线y＝a与f（x）有两个交点，交点横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，则x2﹣x1的最小值为　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：如图所示：
由f（x）与y＝a图象有两个交点，得，
，设g（x）＝ex﹣1﹣lnx（0＜x≤1），
则，令，，
因此h（x）在（0，1]单调递增，则h（x）≤h（1）＝e0﹣1＝0，
因此g′（x）≤0，则g（x）在（0，1]单调递减，因此g（x）min＝g（1）＝1，
因此x2﹣x1的最小值为1．
故答案为：1．
54．已知a＞0，b≥0，则的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：条件转化为，记P（a，lna），，H（2，0），F（0，1），G（2，﹣1），
则L＝|PQ|+|QH|＝|PQ|+|QG|﹣1＝|PQ|+|QF|﹣1，
即原问题转化为抛物线x2＝4y上Q到定点F（0，1）与y＝lnx上的P的距离之和最小，
|PQ|+|QF|﹣1≥|PF|﹣1，当且仅当P，Q，F共线时，等号成立，
令f（a）＝|PF|2＝a2+（lna﹣1）2，f′（a）＝2a，a＞0，
由于y＝a2+lna﹣1单调增，则a＝1是f′（a）的唯一零点，即有f（a）在（0，1）上单调递增，则f（a）≥f（1）＝2，
即|PF|的最小值为，
则．
故答案为：．
▉题型9 利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
55．若直线y＝ex+a与曲线y＝lnx+b相切，则a2+b2的最小值为（　　）
A．4 B．1 C． D．2
【答案】D
【解答】解：因为y＝lnx+b的导数为y′，
设直线y＝ex+a与曲线y＝lnx+b相切于点（t，lnt+b），t＞0，
所以，
所以﹣1+b＝1+a，
所以b＝a+2，
所以a2+b2＝a2+（a+2）2＝2a2+4a+4＝2（a+1）2+2，
所以当a＝﹣1，b＝1时，a2+b2取得最小值为2．
故选：D．
56．若点P是曲线y＝x2﹣lnx+1上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：y＝x2﹣lnx+1的导数为y′＝2x，
设P（m，m2﹣lnm+1），m＞0，
可得曲线y＝x2﹣lnx+1在P处的切线的斜率为k＝2m，
当P处的切线与直线y＝x﹣2平行时，P到直线y＝x﹣2的距离最小．
由k＝1，解得m＝1（舍去），
即有切点P（1，2），可得P到直线y＝x﹣2的距离为d．
故选：D．
57．若曲线的图象点处的切线的方程为（　　）
A．y＝6x﹣5 B．y＝8x﹣6 C．y＝4x﹣4 D．y＝10x﹣7
【答案】A
【解答】解：的导数为f′（x），
可得点处的切线的斜率为k6，
切点为（，﹣2），
则点处的切线的方程为y+2＝6（x），
化为y＝6x﹣5．
故选：A．
58．已知函数f（x）＝ex+ax+1在点x＝0处的切线为l，若l与圆x2+（y+2）2＝1相切，则a的值为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解答】解：因为f′（x）＝ex+a，
所以f（0）＝2，f′（0）＝a+1，
所以切线方程为l：（a+1）x﹣y+2＝0，
由题意，圆心（0，﹣2）到直线l：（a+1）x﹣y+2＝0的距离为，
解得：．
故选：C．
（多选）59．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象如图所示，令g（x）＝f（x）+f'（x），则下列关于函数g（x）的说法中正确的是（　　）
A．函数g（x）图象的对称轴方程为
B．函数g（x）的最大值为2
C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：y＝3x﹣1平行
D．方程g（x）＝2的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1﹣x2|最小值为
【答案】AD
【解答】解：由图可知，A＝2，，则T＝2π，ω＝1，
由五点作图的第二点可知，φ，则φ．
∴f（x）＝2sin（x）．
∴g（x）＝f（x）+f'（x）＝2sin（x）+2cos（x）．
由，得x＝k，k∈Z．
∴函数g（x）图象的对称轴方程为，故A正确；
函数g（x）的最大值为，故B错误；
由g′（x）cos（x）3，得函数g（x）的图象上不存在点P，使得在P点处的切线与直线l：y＝3x﹣1平行，故C错误；
由g（x）＝2，得，∴，
则x或，k∈Z．
∴对于不同的解x1，x2，则|x1﹣x2|最小值为，故D正确．
故选：AD．
60．曲线f（x）＝lnx在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 　　 ．
【答案】
【解答】解：因为f（x）＝lnx，所以，则k＝f′（1）＝1，
又f（1）＝ln1＝0，所以切线方程为y﹣0＝1 （x﹣1），即y＝x﹣1，
则切线与坐标轴的交点为（1，0），（0，﹣1），
则所求周长为．
故答案为：．

展开更多......

收起↑