资源简介

第六章第6.3节 利用导数解决实际问题
题型1 导数及其几何意义 题型2 变化率的极限与导数的概念
题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 题型4 导数与切线的斜率
题型5 函数图象趋势与导数大小的关系
▉题型1 导数及其几何意义
【知识点的认识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
1．函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列大小关系正确的是（　　）
A．2f′（4）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（2）
B．2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）
C．2f′（4）＜2f′（2）＜f（4）﹣f（2）
D．f（4）﹣f（2）＜2f′（4）＜2f′（2）
【答案】B
【解答】解：由图象可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由导数的几何意义可知，，
即2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）．
故选：B．
2．已知物体的运动方程是（t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是（　　）
A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒
【答案】D
【解答】解：s′＝t3﹣12t2+32t
令s′＝t3﹣12t2+32t＝0得
t＝0或 t＝4或t＝8
故选：D．
3．在平面直角坐标系xOy中，A，B，C分别为函数y＝lnx图象上的三点，横坐标依次为2，e，3（e为自然对数的底数），则直线OA，OB，OC的斜率k1，k2，k3的大小关系为（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1 C．k1＜k3＜k2 D．k3＜k1＜k2
【答案】C
【解答】解：依题意可得k1，k2，k3．
构造函数g（x），
则，可得函数g（x）在（e，+∞）单调递减．
∴g（4）＜g（3）＜g（e），即k1＜k3＜k2
故选：C．
4．若f（x）＝ex lnx，则f（x）的切线的倾斜角α满足（　　）
A．一定为锐角 B．一定为钝角
C．可能为直角 D．可能为0°
【答案】A
【解答】解：∵f（x）＝ex lnx，（x＞0）
∴，
设g（x）＝xlnx+1，则g′（x）＝lnx+1，
当0＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减，当x时，g′（x）＞0，g（x）递增，
而g（），所以x＞0时，g（x），所以f′（x）＞0，
切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．
故选：A．
5．曲线在点（1，）处的切线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，设曲线yx3﹣2x+3在该点处切线的倾斜角为θ，
曲线方程为yx3﹣2x+3，其导数y′＝x2﹣2，
则有y′|x＝1＝1﹣2＝﹣1，则切线的斜率k＝﹣1；
则有tanθ＝﹣1，故θ；
故选：D．
（多选）6．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（　　）
A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点
B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值
C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增
【答案】AD
【解答】解：根据导函数y＝f'（x）的图象，
可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0且仅当x＝1时，f'（x）＝0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上函数f（x）单调递减；在（﹣2，+∞）函数f（x）单调递增，
所以﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，所以A正确；
其中x＝1两侧函数的单调性不变，则在x＝1处不是函数y＝f（x）的最小值，所以B不正确；
由图像可知f'（0）＞0，所以函数y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率大于零，所以C不正确；
由y＝f（x）图象可得，当x∈（﹣2，2）时，f'（x）≥0，
所以函数y＝f（x）在x∈（﹣2，2）上单调递增，所以D正确，
故选：AD．
7．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为　　 ．
【答案】
【解答】解：y'＝ex，令y'＝ex＝1，得x＝0，故P（0，1）
点P到直线y＝x的最小距离为
故答案为：
8．函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝　2　 ．
【答案】2
【解答】解：∵y＝﹣x+8，
∴y′＝﹣1，即f′（5）＝﹣1，
又∵f（5）＝﹣5+8＝3，
∴f（5）+f′（5）＝3﹣1＝2，
故答案为2．
9．函数的图象在x＝0处的切线的倾斜角为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：函数，求导得，
因此切线的斜率k＝f′（0）＝1，所以切线的倾斜角为．
故答案为：．
10．已知点P在曲线y上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 　　 ．
【答案】
【解答】解：根据题意得f′（x），
∵，
且k＜0
则曲线y＝f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1，
又∵k＝tanα，结合正切函数的图象
由图可得α∈，
故答案为：．
▉题型2 变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
11．已知函数f（x）＝x2﹣2，则（　　）
A．3 B．5 C．7 D．6
【答案】D
【解答】解：根据题意，f'（x）＝2x，则f'（3）＝6，又．
故选：D．
12．已知f（x）在x＝x0处存在导数，则（　　）
A．与x0，Δx均有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
【答案】B
【解答】解：f（x）在x＝x0处存在导数，则f′（x0）．
所以仅与x0有关，而与Δx无关．
故选：B．
13．已知函数f（x）＝sinx，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝sinx，所以f′（x）＝cosx，
所以．
故选：A．
14．已知函数，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：由题意得，
则．
因为f′（x）＝ex+e﹣x，所以f′（0）＝2，
故f'（0）＝2．
故选：B．
▉题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
15．已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（　　）
A．﹣1 B． C．1 D．
【答案】A
【解答】解：．
故选：A．
16．设，则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由，
得2，
即2，
∴2f′（2）＝﹣2，可得f′（﹣2）＝﹣1．
∴曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的倾斜角是．
故选：C．
17．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．2
【答案】A
【解答】解：函数f（x）在x＝x0处可导，且，
则﹣f'（x0）＝3，解得f′（x0）＝﹣3．
故选：A．
18．若函数f（x）满足f′（3）＝1，则（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：函数f（x）满足f′（3）＝1，
则．
故选：C．
19．已知函数f（x）＝x2+ex，则（　　）
A．2+e B．﹣2﹣e C．3e D．2e
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝x2+ex，
所以f′（x）＝2x+ex，则f′（1）＝2+e，
所以f′（1）＝2+e．
故选：A．
20．已知函数f（x）＝2x2+3，则（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【解答】解：由题意知f′（x）＝4x，所以f′（1）＝4，
所以．
故选：B．
21．若f（x）＝ln（2﹣x）+x3，则（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解答】解：∵f（x）＝ln（2﹣x）+x3，
∴f′（x）3x2，∴f′（1）＝﹣1+3＝2，
则f′（1）＝1，
故选：A．
22．设函数f（x）可导且f（x）在x0处的导数值为1，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：依题意，f'（x0）＝1，
所以．
故答案为：．
23．已知函数，则　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：根据题意，22f′（1），
而函数，则f′（x）＝1，则有f′（1）＝2，
故2f′（1）＝4；
故答案为：4．
▉题型4 导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
24．已知函数f（x）＝1﹣2x﹣sinx，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【答案】D
【解答】解：因为f（x）＝1﹣2x﹣sinx，
所以f′（x）＝﹣2﹣cosx，
由导数的几何意义可知，曲线y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为f′（0）＝﹣3．
故选：D．
25．函数f（x）＝aex﹣sinx在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：由函数f（x）＝aex﹣sinx，
可得f′（x）＝aex﹣cosx，
所以f′（0）＝2 a﹣1＝2 a＝3．
故选：B．
26．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，如图：
由导数的几何意义，f′（1）为曲线在x＝1处切线的斜率，
f′（3）为曲线在x＝1处切线的斜率，
kAB，为割线AB的斜率，
则有．
故选：B．
27．已知，则曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线斜率为 　π3 ．
【答案】π3．
【解答】解：，两边求导，f′（x）＝3（﹣sinx）cos2x﹣2f′（0）e2x+x3，令x＝0，f′（0）＝﹣2f′（0） f′（0）＝0，
则，f′（x）＝3（﹣sinx）cos2x+x3，令x＝π，f′（π）＝π3＝k．
故答案为：π3．
▉题型5 函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
28．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；
∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0；
∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增；
∴f（x）的大致图象应是B．
故选：B．
29．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：从导函数的图象可以看出，f′（x）≥0恒成立，
所以原函数f（x）的图象必然单调递增，排除B，C；
且导函数的函数值在区间[﹣1，0]上递减，即原函数在区间[﹣1，0]上的切线斜率递减，
导函数的函数值在区间[0，1]上递增，即原函数在区间[0，1]上的切线斜率递增，故A正确，D错误．
故选：A．
30．已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，
故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．
导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，
故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选：B．第六章第6.3节 利用导数解决实际问题
题型1 导数及其几何意义 题型2 变化率的极限与导数的概念
题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 题型4 导数与切线的斜率
题型5 函数图象趋势与导数大小的关系
▉题型1 导数及其几何意义
【知识点的认识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
1．函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列大小关系正确的是（　　）
A．2f′（4）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（2）
B．2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）
C．2f′（4）＜2f′（2）＜f（4）﹣f（2）
D．f（4）﹣f（2）＜2f′（4）＜2f′（2）
2．已知物体的运动方程是（t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是（　　）
A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒
3．在平面直角坐标系xOy中，A，B，C分别为函数y＝lnx图象上的三点，横坐标依次为2，e，3（e为自然对数的底数），则直线OA，OB，OC的斜率k1，k2，k3的大小关系为（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1 C．k1＜k3＜k2 D．k3＜k1＜k2
4．若f（x）＝ex lnx，则f（x）的切线的倾斜角α满足（　　）
A．一定为锐角 B．一定为钝角
C．可能为直角 D．可能为0°
5．曲线在点（1，）处的切线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
（多选）6．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（　　）
A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点
B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值
C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增
7．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为　 ．
8．函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝　 　 ．
9．函数的图象在x＝0处的切线的倾斜角为 　 ．
10．已知点P在曲线y上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 　　 ．
▉题型2 变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
11．已知函数f（x）＝x2﹣2，则（　　）
A．3 B．5 C．7 D．6
12．已知f（x）在x＝x0处存在导数，则（　　）
A．与x0，Δx均有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
13．已知函数f（x）＝sinx，则（　　）
A． B． C． D．
14．已知函数，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
▉题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
15．已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（　　）
A．﹣1 B． C．1 D．
16．设，则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
17．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．2
18．若函数f（x）满足f′（3）＝1，则（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
19．已知函数f（x）＝x2+ex，则（　　）
A．2+e B．﹣2﹣e C．3e D．2e
20．已知函数f（x）＝2x2+3，则（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
21．若f（x）＝ln（2﹣x）+x3，则（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
22．设函数f（x）可导且f（x）在x0处的导数值为1，则 ．
23．已知函数，则　 ．
▉题型4 导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
24．已知函数f（x）＝1﹣2x﹣sinx，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
25．函数f（x）＝aex﹣sinx在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
26．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
27．已知，则曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线斜率为 　 ．
▉题型5 函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
28．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
29．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
30．已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．

展开更多......

收起↑